（基础数学专业论文）关于smarandache函数和序列的相关性质.pdf

中文摘要 数论一直被称为数学中的皇冠，而各种数论函数和序列的性质则是解析数 论研究的核心内容著名数论专家罗马尼亚的f l o r e n t i ns m a r a n d a c h e 教授提出 了很多新的数论函数和序列，并针对这些函数和序列提出了相关的问题，这为 数论的研究者提供了学习的方向例如f l o r e n t i ns m a r a n d a c h e 教授提出的著名 的s m a r a n d a c h e 函数s ( n ) ，很多学者都对它进行了研究，并得到了许多非常有意 义的结论，这促进了数论不断向前发展但是f l o r e n t i ns m a r a n d a c h e 教授提出 的很多问题还没有得到解决，这些问题的解决可能会为数论的发展带来一个崭 新的时代 正是基于上述原因，所以本文就是针对s m a r a n d a c h e 教授提出的未被解 决的问题中的几个，运用初等以及解析数论中的相关方法对它们进行研究 探索，具体来说就是以下三个问题：( 1 ) 一个包含数论函数s l ( n ) 和s 彳( 几) 的 方程；( 2 ) 一个与伪s m a r a n d a c h e 函数z ( 礼) 有关的均值问题；( 3 ) 关于置换序 列p m ( n ) 的相关性质本文最终得到的主要成果概括如下： 1 对于一个包含数论函数s l ) 和s m ( 亿) 的方程的可解性进行了研究，最 终给出了该方程的所有正整数解，并根据该方程的解集定义了一个d i r i c h l e t 级 数，证明了该级数的收敛性，同时还给出数论函数 署 限制在该方程的解集上的 均值公式 2 对伪s m a r a n d a c h e i 函数z w ) 的均值性质进行了研究，利用解析的方法最 终给出了z ( n ) a ( n ) 的渐近公式 3 对于任意的正整数7 7 , ，置换序列p m ( n ) 定义为：p m ( n ) = 1 3 5 ( 2 n 一 1 ) ( 2 n ) 4 2 ，对该序列中数的性质进行了研究，提出了一个假设，并对其进行了 证明；而且由此对该序列中数的因数的形式进行了探索，最终得到了一个相关 的定理 关键词 数论函数，正整数解，d i r i c h l e t 级数，均值，置换序列，完全幂数 a b s t r a c t ( 英文摘要) n u m b e rt h e o r yh a sa l w a y sb e e nc a l l e dt h er o y a lc r o w no fm a t h e m a t i c s i ti s t h ec o r ec o n t e n to fa n a l y t i cn u m b e rt h e o r yt om a k er e s e a r c h e so nt h ep r o p e r t i e s 0 fa l lk i n d so fa r i t h m e t i c a lf u n c t i o n sa n ds e q u e n c e s f l o r e n t i ns m a r a n d a c h e w h oi saf a m o u sr o m a n i a np r o f e s s o ro fn u m b e rt h e o r y , g a v em a n yn e wa r i t h m e t i c a lf u n c t i o n sa n ds e q u e n c e s ，a n dt h e np u tf o r w a r ds o m er e l a t e dp r o b l e m s a b o u tt h e s ef u n c t i o n sa n ds e q u e n c e s w h a th ed i dp r o v i d e sad i r e c t i o nf o rt h e r e s e a r c h e r so nn u m b e rt h e o r y a f t e rt h ep r o f e s s o rg a v et h ea r i t h m e t i c a lf u n c - t i o n ss m a r a n d a c h es ( n ) ，m a n ys c h o l a r sm a d er e s e a r c h e so ni ta n dg o tan u m b e r o fv a l u a b l ec o n c l u s i o n s ，w h i c hp r o m o t eaf u r t h e rd e v e l o p m e n to fn u m b e rt h e o r y h o w e v e rm a n yp r o b l e m sw h i c ht h ep r o f e s s o rp u tf o r w a r dh a v eb e e nu n s o l v e d ， w h i c hm a yb r i n gan e wt i m ef o rt h ed e v e l o p m e n to fn u m b e rt h e o r yi nt h ef u t u r e b e c a u s eo ft h ea b o v er e a s o n s ，t h ed i s s e r t a t i o nc h o o s e ss e v e r a lu n s o l v e dq u e s - t i o n sf r o mt h ep r o b l e m st h a tf l o r e n t i ns m a r a n d a c h ep u tf o r w a r d ，a n dt h e n m a k e su s eo fe l e m e n t a r ya n da n a l y t i cw a y st os t u d yt h e m s p e c i f i c a l l yt h e t h r e eq u e s t i o n sa r ea sf o l l o w s ：( 1 ) a ne q u a t i o na b o u tt h ea r i t h m e t i cf u n c t i o n s s l ( n ) a n ds ，( n ) ；( 2 ) ad i s t r i b u t i o nq u e s t i o no fm e a nv a l u ea b o u tt h ep s e u d o - s m a r a n d a c h ef u n c t i o nz ( n ) ；( 3 ) t h ep r o p e r t i e so ft h ep e r m u t a t i o ns e q u e n c e p m ( n ) a tl a s t ，t h ed i s s e r t a t i o ng e t st h ef o l l o w i n gr e s u l t s ： 1 t h es o l v a b i l i t yo fa ne q u a t i o na b o u tt h ea r i t h m e t i cf u n c t i o n ss l ( n ) a n d s m ( n ) i ss t u d i e d ，a n da l lt h ep o s i t i v ei n t e g e rs o l u t i o n so f t h ee q u a t i o na r eg i v e n a tt h es a m et i m ead i r i c h l e ts e r i e si sp u tf o r w a r d t h ea s t r i n g e n c yo ft h es e r i e s i sp r o v e d ，a n dt h ed i s t r i b u t i 。nf o r m u l a 。ft h ea r i t h m e t i c a lf u n c t i 。n 罢 o nt h e s o l u t i o ng a t h e ro ft h ee q u a t i o ni sg o t t e n 2 t h ed i s t r i b u t i o np r o p e r t yo ft h ep s e u d o - s m a r a n d a c h ef u n c t i o nz ( n ) i n i ss t u d i e d ，a n daa s y m p t o t i cf o r m u l a a n a l v t i c a lm e t h o da tl a s t o f z ( n ) a ( 礼) i sg i v e nb yu s i n gt h e n v i q 年占月，日卅口年b 月j 予日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢 的地方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：弯敏 d 年多月b 日 西北大学颐十学位论文 第一章绪论弟一早殖t 匕 1 1 研究背景与课题意义 德国著名的数学家高斯说过：“数学是科学的皇后，数论是数学的皇冠” 既然社会的进步离不开科学的发展，那么这就说明数论对人类文明具有非常重 要的作用纵观数学发展，可以说数论在其中起着催化剂的作用在早期的数学 发展中，数论是数学家们重点研究的领域不管是在古希腊还是古代中国的数 学文明中，数论知识都显现着耀眼的光芒像古希腊的数学家欧几里得证明了 素数的无穷性，古代中国的数学著作孙子算经中的“物不知数”问题算法 是现代解决一次同余方程组的剩余定理的特殊情况在之后数学发展的道路上， 数论一直都是数学家们的焦点所在，它推动着数学不断向前发展同时数论作 为一门入门较易的学科，它不仅得到了大数学家的关注，而且对于一般的仅仅 因为兴趣而钻研数学问题的人更是一个很好的领域因为即使是世界上最著名 的数学家也没法解决的数论问题，其题目本身看起来也是非常简单的，稍微有 点数论基础的人都可以尝试去解决，也正是因为这个原因一大批的数学爱好者 加入到研究数论的大队伍中来 随着科学在实际中发挥着越来越重要作用，人们对每个学科的实际应用性 有了更高的要求，对于那些在实际中没有应用价值的知识已经不断被人们淘汰 了而数论也曾经一度被人们认为是没有应用价值的学科，不断的受到大众的 质疑，使得数论专家们陷入到尴尬的境地然而信息时代的到来使得数论终于 大放异彩，通信行业的发展使得人们对信息的安全传输提出了更高要求人们 对于各种私人信息，像银行账号、商业秘密等希望能够秘密的传输并且可以不 被其他不相关的人截取，这就要求对所传输的信息进行加密并且使其很难被人 解密，于是数论就成为信息安全专家的最爱了在加密算法的发展道路上，很多 算法例如r s a 算法、背包型算法都离不开数论，它们都是利用数论中的相关知 识进行加密的，这就表明了数论在实际应用中的巨大价值 】 第一辛绪论 正是因为数论的巨大应用价值，使数论吸引了更多的学者对其进行研究 探索数论的发展离不开对各种数论函数和数论序列的研究，不管是初等数 论还是解析数论或者是其它的数论学科，在探索的过程中学者们的目光都是 放在那些具有研究价值的数论函数和算术序列上，运用各种方法对它们的性 质进行研究，以便得到具有价值的结论著名的数学家罗马尼亚的f l o r e n t i n s m a r a n d a c h e 2 教授曾经提出了一百多个新的数论函数和算数序列，并针对这 些函数和序列提出自己对它们的一些猜想和问题，希望众多的数论学者们能够 解决它们以促进数论的发展 所以本文就是根据自己的研究方向，选择f l o r e n t i ns m a r a n d a c h e 教授提出 的问题中的几个，运用数论中的初等以及解析的方法对它们进行学习研究 具体地讲就是讨论了关于数论函数的方程以及它们的均值分布问题，同时 对f l o r e n t i ns m a r a n d a c h e 教授提出的一些特殊序列的性质进行了研究，最终得 到一些很有价值的结论 1 2 主要成果和内容组织 如前所述，本文主要研究的是包含数论函数的方程问题、数论函数的均值 分布问题以及特殊序列的性质问题最终得到的结果包括解决了一个包含数论 函数s l ( n ) 和s ，( n ) 的方程的求解问题，由此给出的一个级数的收敛问题以及 关于数论函数 署 的均值分布问题；解决了关于伪s m a r a n d a c h e z ( n ) 的一个均 值分布问题，给出了z ( n ) a ( n ) 的渐近公式；根据f l o r e n t i ns m a r a n d a c h e 教授 n ：圭来讨论，并建立了与 ( s ) 的零点相关的表 n 。= l 7 0 。 示不超过某个定值的素数的个数的公式，这样就将研究素数分布问题转换为研 究黎曼函数的性质问题黎曼的这一理论使解析数论进入了一个新的时期 1 9 世纪末期，德国数学家闵科夫斯基研究n 个变元的二次型的约化问题时， 他为了简化狄立克雷和埃尔米特建立的关于丢番图逼近的解析理论而将几何上 的格和凸集等概念引入数论，最终得到了相当精彩和清晰的结论后来，他就把 用这种方法建立的关于数的理论称为“数的几何”，这其实就是我们现在所说 的几何数论，即应用几何的方法来研究数论问题的理论 2 3 数论的未来 曾经数论一直被人们认为是一门纯粹的数学学科，甚至于有的数学家也是 这样认为的例如英国数学家哈代就认为数论是一门和现实，战争无缘的数学 分支，而美国的数学家迪克森曾经也说过感谢神使得数论没有被任何应用所玷 污但是在进入2 0 世纪之后，数论与实际应用无缘的情况发生了改变特别是随 着计算机技术和电子技术的深入发展，数论已经变成了一门具有极强应用性的 学科在今天，数论知识已经广泛的应用到物理、声学、电子、通信等领域，而 对数论知识应用最深入的应该是密码学了随着数论与其他学科的不断结合， 新的数论分支在不断的涌现，使得数论体系在不断的完善，相信这些新的数论 分支一定会在未来的实际应用中发挥出巨大的作用 6 西北大学硕十学位论文 第三章一个包含数论函数的方程 3 1 引言及结论 对于任意正整数n ，我们称一个定义在整数集合上的函数为数论函数或 者算术函数著名的数论专家罗马尼亚的f s m a r a n d a c h e 教授提出了两个数论 函数s m ( n ) 和s l ( n ) ，并建议人们研究它们的性质设正整数凡的标准分解式 为凡= 矸1 p ；2 p ，则s m ( 佗) 和s l ( n ) 的定义如下 跏： 1 如果舻1 ； 【m a x c q p l ，唧2 ，o k p k ，如果n 2 p 芋1 p 呈2 p 嚣 以及 s l ( n ) ： 1 如果佗= 1 ； im a x p i 1 ，鹾2 ，p 岩) ，如果仡= p 1 p 呈2 p m k 这两个数论函数已经引起了很多数论学者的重视和关注，对这两个函数的性 质进行了研究，并且也得到了很多具有重要理论价值的研究结果，可参阅文 献【2 5 】 例如，付静【6 】对于函数s 三( 礼) ，得至u t t 面的渐近公式 乏埘跚垆等掣。面x a + 2 + 妻譬+ 。( 蔫) ， 其中后2 为给定的正整数；z 为2 的任意实数；( 咒) 为除数函数，指的 是佗的所有正因子的a 次幂的和，也就是说( 扎) = 矿，此处q 1 ；另 外c i ( i = 2 ，3 ，七) 为可计算的常数 李晓燕【7 】给出了包含s ( n ) 函数的两个混合均值，具体如下 跏脚细3 妻惫+ 。( 熹) ， n x = 1 一一、7 以及 至小脚h 3 薹k 惫+ 。( 禹) ，竹 a n ；当n = 2 ，0 3 时，2 a 2 a 证明：( i ) 当a = 2 时，矿= 佗2 ，o z n = 2 n ，于是礼2 2 n = 扎( 他一2 ) 0 ， 则酽q 佗假设当o l = 七时，舻k n 成立则当口= k + 1 时，n k + l = n 七n k n 佗22 k n ( k + 1 ) n ，于是结论成立 ( i i ) 当q = 2 时，由于n 3 ，于是n 2 2 n = n ( n 一2 ) 0 ，则扎2 2 n 假设当o t = k 时，矿 k n 成立则当o l = 七- 4 - 1 时，矿+ 1 = 扩礼 k n n 3 k n ( k + 1 ) n ( 因为七3 ) ，于是结论成立 ( i i i ) 当q = 3 时，2 3 = 8 ，2z3 = 6 ，所以2 3 2 3 假设当q = 尼时， 2 七 k 2 成立则当q = k - 4 - 1 时，2 七十1 = 2 七2 2 k 2 ( k4 - 1 ) 2 ( 因 为k 3 ) ，于是结论成立 综上所述，引理3 1 成立 引理3 2 ：对任意实数s 1 ，我们有恒等式 ) = 争n = l 三s2 罂( 1 + 刍+ 1 + ) ：h 一1 1 ， 其中表示对所有素数求积 证明：这是熟知的e u l e r 乘积公式，证明见参考文献 1 3 】 9 及 旦卿 i | 1 一护 悬 zo + znz 7 一一 = z n 警 第二幸一个包含教论函数的方程 3 3 定理的证明 有了以上两个引理，我们就可以完成定理的证明了显然问题的实质是求 集合a 为此，我们先确定集合a 中元素的形式 ( a ) 当n = 1 时，仅有一个因数1 ，由于s m ( 1 ) = 1 ，s l ( 1 ) = 1 所 以s m ( 1 ) = s l ( 1 ) ，因此1 a ( b ) 当n = p 为素数时，其因数只有l 和p ，由( a ) 可知s m ( 1 ) = s l ( 1 ) ， 而s l ，( p ) = p ，s l ( p ) = p ，于是s m ( p ) = s l ( p ) ，所以s m ( d ) = s l ( d ) ， d i 几d l n 因此当n = p 是素数时，n a ( c ) 当礼= 2 2 时，其因数为1 ，2 ，4 ，由( a ) 可知s m ( 1 ) = s l ( 1 ) ，s m ( 2 ) = s l ( 2 ) 又因为s m ( 4 ) = 4 ，s l ( 4 ) = 4 ，于是s m ( 4 ) = s l ( 4 ) 所以s m ( d ) = d l n s l ( d ) ，因蚍= 4 a d i 几 ( d ) 当n = p i p 2 p k ( k 2 ) ，其中鼽( i = 1 ，2 ，忌) 是不同 的素数，且对j ，p i 功时，其因数d 可表示为d = p i 。p i ：巩，其 中t 1 ， p l ，p 2 ，p k 于是s m ( d ) = m a x p i 。，p i ：，p i 。 ，s l ( d ) = m a x p 毛，p 乞，p 乞) ，故j a s m ( d ) = s l ( d ) 所以s m ( d ) = s l ( d ) ，因 d l nd i n 此n = p l p 2 p k a ( e ) 当n = 2 2 p i p 2 p k ，对j ，p i 乃，p i 2 ，( i = 1 ，2 ，七) 时，其因数d 可表示为d = p i 。p i 2 p i 。或d = 2 2 p i ，p i 2 p i 。 当d = p i 。p i ：p 赴时，由( d ) 可知s m ( d ) = s l ( d ) ；当d = 2 2 p i ，p i ：p i 。时， s m ( d ) = m a x 2 x2 ，p i ，p i 2 ，鼽。) = m a x 4 ，p i l ，p i 2 ，p “) ，s l ( d ) = m a x 2 2 ，p i l ，p i 2 ，p i t ) = m a x 4 ，p i l ，p i 2 ，p i t ) 于是对任意的因数d 均有s m ( d ) = s l ( d ) ，所以s m ( d ) = s l ( d ) ，因 d l 几 d j n 此n = 2 2 p i p 2 p k a 除了以上情况外，方程( 3 1 ) 再没有其它形式的正整数解事实上对 于v n z + ，当n 不是上述5 种分类中的任何一种时，易证它必为以下两种情况之 1 0 西北大学硕+ 学伊论文 ( a ) n = 2 3 p 1 p 呈2 p 岩。，( s = 0 ，1 ，2 q i 中至少有一个大于或等于2 ， p i 2 ) ( b ) 7 , = 2 印芋1 p 呈2 p 托( s 3 ，p i 2 ) 以下证明对于以上两种情况n 均不满足es m ( d ) = e s l ( d ) ( a ) 当仃= 2 印芋1 p 多2 p 警，其因数d 具有如下形式：d = 2 r p 鲁p 尝p e ，0 s r s ，0屈q i ，于是s ，( d ) = m a x 2 s ，尻p n ，仍p i ：，p 勿矗) ，s l ( d ) = m a x 2 8 ，p 0 ，p 鲁，p 0 ) 由引理3 1 可知，2 5 2 s ，对巧，p 等岛p 幻，所以s m ( d ) s l ( d ) ，进一步可 得s m ( d ) e s l ( d ) d i nd i 几 又因为中至少有一个大于或等于2 ，故不妨设2 ，于是n 必有因 数如= 西，贝, j s m ( d o ) = m a x a j p j = 乃，s l ( d o ) = m a x 雩) = 茑由 勃 2 ，哟2 ，所以由引理3 1 可得乃 茑，g 改s m ( d o ) s l ( d o ) 由此可得s m ( d ) e s l ( d ) ( b ) 当n = 2 印宇1 p 呈2 p ，( s 3 ，p i 2 ) 时，同前面一样的道理可 得s m ( d ) e s l ( d ) 又因为佗必有因数d o = 2 5 ，贝j j s m ( d o ) = m a x s 2 ) = 2 s ，s l ( d o ) = m a x 2 8 ) = 2 5 由于s 3 ，于是由引理3 1 可得2 s 2 8 ，所p a s m ( d o ) 1 时，由于_ 厂( s ) 绝对收敛，所以 m ) = 嘉= 妻掣+ 壹鼎 n =n=lnea1 = 耋掣+ 去2 耋掣 厶一矿如厶_ n 8 ：孵) + 刍掣 = 吣珊+ 面1 ) = u ( 1 + 歹1 ) ( 1 + 南) = 怒( 1 + 采高) 于是根删2 “( 4 ) 矧8 ) 的值可 ! 导当s _ 2 时，( 2 ) = 三矛1 = 釜器； 芴2 7 3 丽( ( 4 ) 这样就完成了定理3 1 和推论的证明 i l 1 一俨 悬 = ，-、 时 哇=s 当 西北大学硕十学伊论文 下面来证明定理3 2 根据m 动i u s 函数的定义，我们易得 罢 = el 俐圈x + i 嘲 ( 3 2 ) n zn z n s 专 n e a n ? 2 由m 洮i u s 函数的性质，可知i p ( 咒) i = p ( d ) ，于是由( 3 2 ) 式可得 d 2 1 n 嘲= n z 圈d 2 - t n 则) + 薹 翻蒹刖) n e a 2 i n 2 蒹嘲则) + 磊 壶m )d 2 l s z d 2 l s 詈 2 r a n t = 乏州，。墓嘲+ 护景，d 则，。s 。2 ，。 去 ( 3 3 ) 对于( 3 3 ) 式中的第一项我们可得 = p ( d ) ( 壶+ d ( 1 ) ) a n s z i , i s 者 = 乏譬。墓1 瞳警z ) ( 3 4 ， 去= l nx + c + o ( 圭) ，二一n z 。 n x 、 以及 f j1：#+(s)+d(z一8)，1厶一s 。”7 。、 “ 于是( 3 4 ) 式可化为如下结果 z ( 1 n x + c ) 乏警一2 z 乏警1 n d + 。( n ( 3 5 ) 又因为 警= 善+ 。( 去) ， 厶n 27 r 2 。西， n x 、 1 3 皤 鳓 焖 姬 第二章一个包含数论函数的方程 再结合阿贝尔等式可将( 3 5 ) 式化简为 善北z + ) 这样( 3 3 ) 式的第一项最终可化为 乏砌) ，墓嘲x = 昙北 ( 3 6 ) 接下来我们看( 3 3 ) 式的第二项类似于( 3 3 ) 式第一项的化简，以及 可将( 3 3 ) 式第二项化简如下 因为 舻萋2 t d 则，s 。2 ，l 嘉 d 2 s 三，1 s z 壶，2 t 一 扣z 丢警一堍警姗删- 篆警l n d2 丢警l l l d 一丢譬l 咄 以及 聂警删 d 2 吾 一 再结合阿贝尔等式可得 又因为 丢警l n d = 0 1 一n 嗡 一 1 一n 疃 = 1 一仡 啦嘶 坠矿 批 一 = 墅护 扭 一 些护 略 、- 、 土讧 0 8 一一 | | 鼍l 护 繁 西北大学硕士学化论文 于是( 3 3 ) 式第二项最终可化为 俨+ d 州，。s 。，。 去 = 去础。圳n 7 ， 至此综合( 3 6 ) 和( 3 7 ) 式则可得 这样定理3 2 的证明就完成了 zd + znz 7 = z n 毫 第网章关于伪s m a r a n d a c h e 函数的一个均值 第四章关于伪s m a r a n d a c h e 函数的一个均值 4 1 引言及结论 对任意的正整数n ，伪s m a r a n d a c h e 函数被定义为 孙，= m i n m en n i 掣) 其中代表的是正整数集合根据定义易得z ( 1 ) = 1 ，z ( 2 ) = 3 ，z ( 3 ) = 2 ，z ( 4 ) = 7 ，z ( s ) = 1 5 ，对于这个函数，很多学者都对其进行了研究，也 得到了它的一些性质但由于这个函数的特殊性，我们对它的认识还是不够全 面，特别是对该函数均值的研究可以说还处在初级阶段所以对这个函数的均 值性质进行研究就显得尤为重要关于这个函数现阶段的一些研究成果可参阅 文献 1 8 - 2 2 例如娄源冰f 2 4 就针对函数z ( 几) ，给出了关于这个函数的一个均值公式 l nz ( n ) = x i nx + o ( z ) n o 田呈亮【2 5 】则对下面两个与z ( 佗) 有关的方程的可解性进行了研究 z ( n ) = ( 礼) ， ( 4 1 ) z ( n ) + ( n ) = n ( 4 2 ) 最终得到对于方程( 4 1 ) ，除了n 为奇素数与n = 印，其中p 三l ( m o d4 ) 为奇素数 这种形式的解外，还存在不同于它的一组无限复合数集满足该方程；而对于方 程( 4 2 ) ，则证明了除了解n = 2 2 j 3 ，j 1 外，它还存在另外一组无限正整数集 满足该方程 在本章我们的主要目的则是对包含z ( n ) 函数的一个均值问题进行研究，具 体地讲就是对于任意的实数z 1 ，研究下面的均值 z ( n ) 人( n ) n z 】6 西北大学硕七学 t 论文 最终得到了下面的定理 定理4 1 ：对任意实数z 1 ，有下面的均值公式成立 4 2 定理的证明 三挪= 萼+ 。( 鑫) 凡 z 、7 在这一部分，我们将主要利用解析的方法来证明定理( 4 1 ) 由于 a ( n ) ： 1 n n 如果佗2p m ，其中p 为素数，m 为1 的任意正整数； 【0 ， 如果n = 其它 所以有下式成立 z ( 礼) a ( n ) = z 扩) a 妒) = z ( p m ) a 矿) n x p ”z m = lp m s = z ( 2 m ) a ( 2 m ) + z ( p m ) 人扩) nm州=，l，n=12 p z 击 2 m z - 、r 二- = i n2 ( 2 m + 1 1 ) + l n p 杪一1 ) m g l 0 9 2z r n s l 0 9 2 。2 p z 击 = l n 2 2 叶1 + h a p p m m 冬1 0 9 2xr e l 0 9 2x2 p _ z 击 一 i n p - i n 2 l 0 9 2z + o ( 1 ) ( 4 3 ) 因为 再结合阿贝尔等式可得 丌( z ) = 1 = 三i n x + 0 x 。j ) ， p z 一一 h a p p m 2 p s z 击 = 丌( z 去) z l nz 去- i n 2 2 r n - z 。”丌( ) ( t m - 1 + l nt m m 一1 ) 出 1 7 j 羁j q 早大丁1 刀3 m a r a n a a c i l e e 列盘1 1 yj 剖1 ：( 熹删鑫，) z l n 小啪也m 一厂( 丽t + d ( 蕊t ) ) ( t m - 1 + i n t 们一1 ：翁11 + r n 2 m + l - - i n 2 - 2 m - 厂面t m 出m + 1 。m + 12 l nt + 。( 芸) + 0 最+ 秽m t m ：翁11 + m m + 】2 m + 1 - h a 2 2 r n + o m 2 x , + - 南i n 、 ( 4 4 ) m + 1 。m + 1 于是根据( 4 3 ) 和( 4 4 ) 式可得 z ( 凡) a ( n ) = l n2 2 m + 1 一 l n p 一1 n 2 l 0 9 2z + o ( 1 ) 一。藉+ m 2 m + 1 - h a 2 - 2 m ) + 0flogrelogm_l092z 喾) o z z = ( 1 n2 + 2 ) 2 m + z 希一磊 一- o o m 十1 m j 0 9 2zr n - - - j u 吕2 玉 ：1 u 5 2 - 、 一ze ，击i n p - i n 2l 0 9 2 x+orel092l 击m 妻茹舻矗) 2 z p z 击 ”1 0 9 2 4 易得 下面我们来分别计算( 4 5 ) 式里的各项首先我们计算( 1 n2 + 2 ) 2 m ， r e l 0 9 2 ( i n 2 + 2 ) 紫 2 ( 1 n 2 + 2 ) ( 2 t 1 0 9 z 叫一1 ) 0 ( z ) ( 4 6 ) 对n m 妻：。希，我f 门可将勒加卅秘如 l 0 9 2 柄部分计算 再结合 丢= l nx + c + o ( 三) ，厶一凡z n x 、 7 m 2 z啦m 2+2n n = ， 西北大学硕十学化论文 则可得 对于f j ：_ ， r e l 0 9 2z r e l 0 9 2z z 去z 2z mz 磊玎2 虿+ zm + 12 竺，由于 m + 1 7 一 r e l 0 9 2z 2 r e l 0 9 2z 1 z m + l = 扣k 墓：z 而1 ) ：萼+ 。( 而n ( - 昭2z + 1 ) ) 礼 z丢= nz + c + 。( 三) ，所以有 礼z ( 4 7 ) 而2 m + l 2 1 0 9 2 z + l ：z 而1 ) = 0 ( x l n ( 1 0 9 2z + 1 ) ) ( 4 8 ) 接下删撇。m 妻，2 z 击) 0 r n l 0 9 2 z m 2 z 去三fm 2 z 击 l nz 2 急。工“ 孙z 妒) 最后我们来计算l n p ，因为实际上 所以有 r e _ l 0 9 2z2 p s z 击 l n p = l n p ， r e l 0 9 2z2 p s z 击 r e l 0 9 2x2 p 墨击 l i l p = h l p 2 p x f 1 n p ，一 2 p x 2 p s zm s 啬 m s 而i n x ( 警删，) 1 9 ( 4 9 ) 三m ， 第网章关于伪s r n a r a n d a c h e 函数的一个均值 一。1 + 0 2 p z b 2 p s x0 f = i n x ( 7 r ( z ) 一1 ) = d ( z ) 综合( 4 6 ) - ( 4 1 0 ) 式，则可得 z ( 礼) a ( n ) n z _ 0 ( 卅虿x 2 + 。( 凼n ( 1 0 9 2x + 1 ) ) - i n 2 - l 0 9 2x + 0 ( 盖) = - - 萼+ 0 ( 岳) 这样就证明了定理4 1 2 0 o哇 、( 岔 盟f z z丌zn d+ 西北大学硕士学化论文 第五章关于置换序列p ( n ) 的一些性质 5 1 引言及结论 各种算术序列一直是数论研究者关注的焦点? f l o r e n t i ns m a r a n d a c h e 教授 提出了很多新序列，并针对它们提出了相关问题例如对于任意的偶数n ，若将 其各位数字置换后所得为奇数，则称它是第二类s m a r a n d a c h e 伪奇数，由第二 类s m a r a n d a c h e 伪奇数构成的序列称为第二类s m a r a n d a c h e 伪奇数序列，它的前 几项分别为1 0 ，1 2 ，1 4 ，1 6 ，1 8 ，3 0 ，3 2 ，同理有第二类s m a r a n d a c h e 伪偶数 序列的定义；又如s m a r a n d a c h e 交错相邻倒序f i b o n a c c i 序列，它的前几项分别 为1 ，1 1 ，1 1 2 ，3 2 1 1 ，1 1 2 3 5 ，8 5 3 2 1 1 ，1 1 2 3 5 8 1 3 ，很多学者对这些序列进行 了研究，并得到了许多重要的有应用价值的结论，可参阅文献 1 1 1 4 例如，刘燕妮【2 8 | 对于第二类s m a r a n d a c h e 伪奇数序列和伪偶数序列得到下 面两个均值公式 薹如) = x l n x + ( 兰7 一t i n 2 一虿3 。i n 5 - t - ：) ， 和 m ) = 丢山z + ( 互1 7 一丁l n2 一互1 ) z + o ( z 蒜+ ) ， 其中a 表示所有第二类s m a r a n d a c h e 伪奇数的集合，b 表示所有第二 类s m a r a n d a c h e 伪偶数的集合，d ( n ) 是d i r i c h l e t 除数函数，7 是欧拉常数，e 为 任意给定的正数 杨衍婷【2 9 】对s m a r a n d a c h e 交错相邻倒序f i b o n a c c i 序列的性质进行研究，得 到了下面一个极限 nt-h*oo蒜a 1 一o 1 n 十j 2 1 第百章关卡置换序列p ( n ) 的一些作质 在本章我们要研究的序列是置换序列，对任意的正整数他， f s m a r a n d a c h e 詈_ 换序歹l j p , l l ( n ) 被定义为p m ( n ) = 1 3 5 ( 2 n 一1 ) ( 2 n ) 4 2 例如，p m ( n ) 的前几项的值分别为：p m ( 1 ) = 1 2 ，p m ( 2 ) = 1 3 4 2 ，p m ( 3 ) = 1 3 5 6 4 2 ，p m ( 4 ) = 1 3 5 7 8 6 4 2 ，这个序列是f l o r e n t i ns m a r a n d a c h e 教授在文 献 2 】中提出的，在文献 1 6 中f 1 0 r e n t i ns m a r a n d a c h e 教授关于这个序列提出了 下面这个问题：在置换序列p m ( n ) q 是否含有完全幂数，也就是说在该序列中 是否存在正整数n ，m ，k ，其中尼2 ，使得p m ( n ) = m 七 本章的主要目的就是利用初等数论中的一些方法来研究这个问题，并且最 终完全解决了这个问题同时，我们还得到了关于置换序列p ，( n ) 的因数形式 的一个定理，具体的也就是得到了下面两个定理： 定理5 1 ：在置换序列尸m ( n ) 中，对于任意的正整数n ，都不存在正整数m ， k ，使得p m ( n ) = m 七 定理5 2 ：在置换序列p m ( n ) 中，对于任意的正整数n ，p m ( n ) 都不存 在2 岛形式的因数，其中克2 ；但是在这个序列中存在无穷多个项含有3 2 这样的 因数 5 2 定理的证明 在这一部分，我们将用初等的方法来证明以上两个定理，首先来证明定 理5 1 对于任意的正整数n 2 ，可以看到p m ( n ) 是一个偶数，并且我们可以用下 面的式子来具体的表示p m ( n ) p m ( n ) = 1 3 5 ( 2 几一1 ) ( 2 n ) 4 2 =1 0 n 1 + + ( 2 n 一1 ) 1 0 q “+ ( 2 n ) i 0 q n + 1 + + 2 ( 5 1 ) 从( 5 1 ) 式中我们可以得到 p m ( n ) =1 0 口1 + 3 1 0 q 2 + + ( 2 n 一1 ) 1 0 n “+ ( 2 n ) 1 0 q 1 + + 2 2 2 西北大学硕十学 妒论文 以及 兰0 ( r o o d2 ) p m ( n ) = 1 0 a 1 + 3 x1 0 a 2 + + ( 2 扎一1 ) x1 0 q “+ ( 2 n ) x1 0 q n + 1 + + 2 三2 ( r o o d4 ) 。 ( 5 2 ) 这也就是说，2p m ( n ) ，i f i i 4 t p m ( n ) 所以，对于任意的正整数n ，p i 彳( 礼) 不是完 全幂数因为假如p m ( n ) 是完