（电力系统及其自动化专业论文）电力系统电能质量检测.pdf

华中科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t w i t ht h er a p i dd e v e l o p m e n to fm o d e ms c i e n c e t e c h n o l o g y ，t h ep r o b l e m so f p o w e rq u a l i t yh a v ed r a w n m o r ea n dm o r ea t t e n t i o no f t h ep u b l i c t h i st h e s i sd i s c u s st h e d e t e c t i o no f v a r i e sp r o b l e m si nt h ea r e ao f p o w e rq u a l i t y f i r s t l y ，a l l k i n d so f p o w e rq u a l i t yp r o b l e m sa n dt h e i rh a r m st op o w e rs y s t e m sa s w e l la sr e s e a r c hl i t e r a t u r ea r ei n t r o d u c e d b a s e do nt h ed e s c r i p t i o no ff o u r i e ra n a l y s i s ， w a v e l e tt r a n s f o r mi si n t r o d u c e d f r o mf u n d a m e n t a l sa n dr e s e a r c hm e t h o d so fw a v e l e t a n a l y s i s ，t h e t h e s i so u t l i n e ds o m ec h a r a c t e r i s t i c so ft i m e f r e q u e n c yl o c a t i o n t h e n m o d e l a n a l y s i so f r a n d o m s i g n a l sa n d m o d e m s p e c u u me s t i m a t i o na t ed i s c u s s e d a p p l i c a t i o no fd f t o i ls t e a d yh a r m o n i ca n a l y s i si sd i s c u s s e di nd e t a i l s p e c t r u m l e a k a g et h a tl e a d st oc o m p u t a t i o ne r r o rb yd f ti sa n a l y z e da n dm a n yi m p r o v e m e n t a l g o r i t h m sb a s e do nf f t a r ei n t r o d u c e d s i m u l a t i o n sh a v es h o w nt h ee f f e c t i v e n e s so f d i f f e r e n ta l g o r i t h m s f u r t h e r m o r e ，p r o n ym e t h o db a s e do nm o d e m s p e c m m a e s t i m a t i o n j si n t r o d u c e da n da p p l i e dt od e t e c t i o no fn o n i n t e g e rh a r m o n i c a n a l y s i s i n p o w e r s y s t e m s s i n g u l a r i t yd e t e c t i o nb yw a v e l e ta n a l y s i si sd i s c u s s e di nn o i s ye n v i r o n m e n t t h r e e n e wm e t h o d so f p o w e rd i s t u r b a n c ed e t e c t i o na r ep r o p o s e d ：s h o r t - w i n d o wc o r r e l a t i o n a l g o r i t h mr e s u l t i n gf r o ms e l f - s i m i l a rf e a t u r e so fd i s t u r b a n c e s ；t i m e f r e q u e n c ym e t h o di s b a s e do ni n s t a n t a n e o u sw a t c l e s sp o w e rt h e o r yt oe x t r a c tf u n d a m e n t a lw a v e f o r m s ，a n d d i s t u r b a n c ec o m p o n e n t sa r es p r e a do u ti nt i m e - f r e q u e n c yp l a n e u s i n gi d e a so fl i n e a r p e r d i t i o nf o rs i n g t a a r i t yd e t e c t i o n ，t h i sm e t h o dh a ss h o w nc l e a rp h y s i c a lm e a n i n ga n di s c o m p a r a b l e w i t l lw a v e l e tt r a n s f o r m a t1 a s t , ac o n c l u s i o ni sm a d ew h e r ew e p o i n to u t s o m ef 1 r t h e rr e s e a r c hp r o b l e m s k e yw o r d s ：p o w e rq u a l i t y , w a v e l e ta n a l y s i s ，m o d e ms p e c t r u ma n a l y s i s ，h a r m o n i c a n a l y s i s ，t r a n s i e n td i s t u r b a n c ea n a l y s i s u il k，l i 华中科技大学硕士学位论文 1 概述 提要：现代社会中电能是一种最为广泛使用的能源，其应用程度是一个国家发展水平的主要 标志之一随着科学技术和国民经济的发展，对电能质量的要求越来越高。电能质量的指标若 偏离正常水平过大，会给发电、输变电和用电带来不同程度的危害。如何检测到电能扰动并采 取合适的补偿措施是非常有价值的研究方向。本章介绍了各种电能质量问题的表现形式和它们 对电力系统的危害及其研究现状，最后简述本文的主要工作及章节安排。 1 1 引言 大型电力变压器、电力电子设备、各种自动化设备以及其他一些非线性负荷的 大量使用已经造成了电能质量方面的一些问题。电压波形畸变的程度越来越严 重，近年来已引起许多国家电力部门和用户的关注。在我国，随着国民经济的快 速发展，以及未来电力市场的形成和推进，电能质量问题的研究已经在我国大量 展开【2 】【3 1 1 4 1 5 】【6 】。 所谓电能质量，是指将发电厂发出的电能，看作一种商品，从而对它的各种技 术指标做出规定，以判断其是否合格。在理想的交流供电系统中，三相交流电压 是平衡的，电压和电流的波形呈正弦波无畸变状态。然而，在实际情况下，电能 在输送过程中会受到各种用电负荷的影响，到达用户的电能会偏离正弦波形而发 生畸变。高压直流输电系统、变频器、可控整流器、电弧炉、电动机车等的应用， 使电网中的谐波污染、三相电压的不对称性以及电压波动和闪变日趋严重。同时， 由于上述负荷的存在，使得电力系统中的供电电压即便是正弦波形，其电流波形 也将偏离正弦波形而发生畸变。当非正弦波形的电流在供电系统中传输时，将追 使沿途电压下降，其电压波形也将受其影响而产生不同程度的畸变。这种电能质 量的下降会给电力系统和用电设备带来严重的危害。 电能质量问题主要包括以下几个方面p j ： 1 1 1 电力系统谐波及波形畸变 国标规定，谐波是指对周期性交流进行傅立叶级数分解后得到频率为基波频率 华中科技大学硕士学位论文 大于1 的整数倍的分量。 ( 1 1 谐波、间谐波和次谐波 电力系统中存在一些时变负荷( 如含有铁磁材料的电工设备) ，这类负荷的电气 i 特性是随时间的变化而变化。根据流经该负荷的电流波动周期分解的傅立叶级数， 可能不是基波的整数倍谐波，而是它的分数谐波( f r a c t i o n a lh a r m o n i c s ) 或称为间谐波r i f i n t e r h a r m o n i c s ) 。而低于工频的间谐波，通常称为次谐波( s u b h a r m o n i c s ) 。例如时变 电导g ( t ) = g os i n c o ，f 表示的是一个电导随时间作正弦波规律变化的线性时变元 1 件，它的i - u 关系依然由欧姆定律确定，即f ( f ) = g ( t ) u ( t ) 。若元件两端电压为 “( f ) = 2 u ，s i n ，f ，则流过此线性时变电导的电流为 f ( ，) = 1 u i g o c o s ( c 0 1 一曲。p - - c o s ( c o l + 国g ) 明。式中若g 不是q 的整数倍，则在此电 1 流中就存在着间谐波或次谐波。在电力系统中，具有周期性或非周期性开关功能 的各类电子器件，它们的电压和电流特性都属于此类情况，都可用一个时变元件 来表示。 f 2 ) 短时冲击产生的谐波。 变压器空载合闸时，会产生短时的冲击电流( 励磁涌流) 。例如由可控硅控制的 轧钢机，当钢锭通过轧辊或电力机车、绞车启动时，都会产生短时间的冲击电流。 这种电流称为短时间的谐波电流或暂态的谐波电流。通常，这种谐波不是周期性l 变化的。从理论上讲，它不能用傅立叶级数来表示，而且它的分析比周期信号的 谐波分析要复杂得多。 ( 3 ) 谐波的危害 谐波使电能的生产、传输和利用的效率降低，使电气设备过热、产生振动和噪 。 声，并使绝缘老化，使用寿命缩短，甚至发生故障或烧毁。造成电容器等设备烧 毁。谐波还会引起继电保护和自动装置误动作，使电能计量出现混乱。此外，谐 波对通信设备和电子设备也会产生严重干扰。 1 1 2 电压波动和闪变 电压波动是指工频电压包络线的系列变动或周期变化。电压的快速波动会使 电动机转速不均匀，这不仅危及电动机的安全运行，而且会在一定程度上影响一 些产品的质量。 华中科技大学硕士学位论文 电压闪变是指人眼对由电压波动所引起的照明异常的视觉感受，它通常是以白 炽灯的工况作为判断。闪变可分为周期性和非周期性两种，前者主要是由于周期 性的电压波动引起的，如往复式压缩机、电弧炉等；后者往往与随机性电压波动 有关，如电焊机等。 影响闪变的其他因素还有照明装置、人的视感度等。通常人对照明变化需要有 一定的视觉暂留时间，高于或低于某一段频率的照明变化，普通人便察觉不到。 若将载波电压的调幅波进行频谱分析则会发现它是由l 2 一( 五为基波电压频率) 以 下的低频成分所组成。在所有这些低频成分中，人眼对8 8 f iz 的电压波动最为敏 感。因此，i e c ( i n t e m a t i o n a l e l e c t r o t e c h n i c a jc o m m i s s i o n ) 标准以s = if s 为瞬时闪变 视觉度) 为察觉单位，对1 2 以下的低频成分以8 8 hz 为标准作归一化处理，并通 过在电压频率波动、电压幅值波动及视觉系数s = i 之间的关系，将不同频率下的 低频电压波动转化为一个特定频率( 如8 8 h z ) 的电压波动，以该特定频率电压波动 的限值作为判断是否发生闪变的标准，大于该限值则判断为发生了闪变：反之， 则没有： 由此可见，闪变与电压波动有着直接的关系，但由于引起闪变的某些量值难以 量化，而且它还需要对电压波动( 调幅波) 频谱分析度进行统计，因此对闪变的计算 远远比计算电压波动要复杂得多。 1 1 3 电压偏差 电压允许偏差是指电力系统在正常运行的条件下，供电电压对额定电压的偏 差。电网用户负荷一般由异步电动机、同步电动机、电热电炉、整流和照明设备 等组成，其中异步电动机占的比例最大。当电动机轴端负荷为恒定时，电压减少 1 0 ，则滑差约增大o 6 ；负荷率为8 5 的电动机，电压降低1 0 1 5 时则可 能失去稳定。国标g b 7 5 5 规定，电动机在额定频率下电源电压的偏差不超过5 时才能维持额定出力。 用电设备设计在额定电压时性能最好、效率最高，发生电压偏差时，其性能和 效率都会降低，有的还会减少使用寿命。电压偏差超过一定范围时，设备会由于 过电压或过电流而损坏。电压偏差也危害着电网稳定，输电线的输送功率受稳定 极限的限制，特别是小扰动下的静态稳定功率极限与电网运行电压有很大的关系， 华中科技大学硕士学位论文 电压越低，功率极限越低，越是容易发生不稳定现象。电网缺乏无功功率，运行 电压低，有可能发生电压不稳定现象，造成电网电压崩溃。同步运行稳定的破坏 或电压不稳定都是严重的电力系统事故，会造成大量负荷停电及系统瓦解等十分 严重的后果。同时，电网电压过低或无功功率远距离流动都会增加电网的线损， 提高用电成本。 1 1 4 电力系统频率 频率允许偏差是指电力系统频率的实际值和标称值( 5 0 h z ) 之差。国标g b l 9 8 0 规定，电力供电系统及设备的额定频率允许偏差为i ( 即o 5 h z ) 。 电力系统正常运行工况下，应该在标称频率下运行。因为系统中直接相连的所 有电气设备，在设计时都是优先按标称频率来保证设备运行的可靠性和经济性。 但是电力系统负荷在不断变动其大小，电源出力及其调节系统追随负荷变换又有 一定的惯性，致使系统频率总是一直处于变化的状态之中。因此运行中须对运行 频率不可避免地偏离标称值，划出允许的偏差范围，以确保运行的可靠性和经济 性。 频率下降即发电机的转速下降时，发电机的电动势将减小，无功功率出力降低， 系统内部并联电容器补偿的出力也随之下降，而用户需要励磁用的无功功率却增 加，导致系统电压随频率下降而降低，威胁系统的安全稳定。当频率低至4 3 4 5 h z 时，极易引起电压崩溃。 1 1 5 三相电压不平衡度 三相电压允许不平衡度是指三相电力系统中三相不平衡的程度。造成三相电压 不对称的原因较多，但主要有两类：一类是大容量非对称负荷的接入，如电力机 车等：另一类是电网中的谐波造成三相不平衡。 三相电压或电流不平衡会对电力系统和用户造成一系列的危害，其中主要有： ( 1 ) 引起旋转电机的附加发热和振动，危及其安全运行和正常出力。( 2 ) 引起以负序 分量为启动元件的多种保护发生误动作( 特别是当电网中同时存在谐波时) 。( 3 ) 使半 导体变流设备产生附加的谐波电流( 非特征谐波) 。( 4 ) 使发电机容量利用率下降。( 5 ) 使变压器负荷较大的一相绕组过热导致其寿命缩短，同时还会由于磁路不平衡引 华中科技大学硕士学位论文 起大量漏磁通经箱壁、夹件等使其严重发热，造成附加损耗。( 6 ) 在低压配电线路 中，三相不平衡会影响计算机正常工作，还会引起照明电灯寿命缩短( 电压过高) 或照度不足( 电压过低) 以及电视机的损坏等。( 7 ) 引起电网损耗的增加a ( 8 ) 使矿热 炉的电能损耗增加，产量减少，使炉子的效率降低。( 9 ) 对于通信系统，电力三相 不平衡时，会增大对其干扰，影响其正常通信质量。 1 2 电能质量检测的研究现状和论文的主要工作 1 2 1 电能质量检测的研究现状 为采取合理措施提高电能质量，建立电能质量监测和分析系统，对其进行正确 的检测、评佶和分类十分必要，这就依赖于功能齐全的电能质量综合分析仪器。 目前电能质量分析仪都是以数字计算机为中心的数字处理系统，其实现包括硬件 和软件两个部分。 电能质量检测装置的硬件电路主要包括输入变换电路、微处理电路、人机接口 电路等几部分组成i g d i 懈。其中，输入变换电路、模拟预处理电路和人机接口电路 的构成、电路结构和常规的微机式测控系统类似。数据采集与变换电路的结构与 采样频率的高低、输入信号动态范围的大小、以及测量的精度等诸多因素有关。 由于需要分析较高次数的谐波和分析各种暂态信号，一般要求电能质量分析仪的 采样频率比较高，这要求数据采集与变换电路中的采样保持器、多路转换开关和 a d 转换器等部件均应有比较快的工作速度。a d 转换器的分辨率主要取决于测 量系统的精度要求和输入量的动态范围，一般情况下，需要采用1 2 位及以上的a d 才可满足测量的要求。微处理机是都成整个检测装置的核心，它的优劣对装置的 性能有决定性的影响，电能质量检测系统的主要特点是要求采样的速度较快，需 要计算的量很多，计算的方法也比较复杂，微机的运算工作量很大。目前比较理 想的系统设计是采用一个控制和接口比较好的主c p u 和一个运算能力比较强的d s p 处理芯片组成主从式微机系统，由主c p u 负责系统管理和控制以及人机接口等任 务，而由d s p 负责数据采集和分析计算。 电能质量检测系统的软件设计的重点主要集中在各种检测算法的设计上，这也 是目前电能质量分析的研究热点：数字信号处理技术在电能质量检测中的应用。 华中科技大学硕士学位论文 其中傅里叶变换在电能质量问题的分析中已经取的了成功的应用，但因其不具有 时频分析能力，对含有短时高频分量和长时间低频分量的电能质量信号进行分析 时具有局限性，而窗口傅里叶变换的时频窗口没有自适应能力，不适合分析信号 的突变过程，且其离散形式没有正交展开，难以实现高效算法。近年来发展起来 的小波变换分析具有良好的时频局部化特性，它通过对不同频率成分采用逐渐精 细的采样步长，可以聚焦到信号的任意细节，能很好的处理微弱或突变信号，特 别适合于对非稳态畸变波形问题进行分析。目前电能质量检测中最大的热点就在 于小波变换的应用【2 】【1 3 】【1 4 心】【1 6 】。由于其良好的时频分析特性小波变换已经被成 功的应用于暂态扰动的检测和定位、谐波分析和电力系统故障数据压缩中 【1 7 l 【1 8 j 【1 9 】【2 0 1 1 2 1 1 ，但是小波变换对噪声也十分灵敏，这样在实际应用中为了取的较好 的结果必须将小波算法和其他有效的去噪方法结合使用。傅里叶算法及其改进算 法和最小二乘法已被成功的应用于高精度谐波分析之中田j 1 2 3 】f 2 4 】【2 5 】【2 6 l 。在电力系统 频率测量方面比较成功的算法【2 7 】【2 8 】【2 9 】【3 0 1 1 3 1 1 则有误差最小的牛顿迭代法、扩展的卡 尔曼滤波算法、d f t 算法及其改进算法、正交去调制法和子空间频率跟踪法。 1 2 2 论文的主要工作 ( 1 ) 稳态谐波分析：快速傅里叶变换的计算量比较小，而且是一种积分算法，计 算稳定，在电力系统谐波分析中有着很成功的应用，但是由于在实际应用中不可 避免的对采样信号进行了加窗，在一定情况下会产生频谱泄漏的现象，大大减低 了其频谱分析的有效性。本人在论文中对该算法进行了一定的改进，大大的提高 了存在频谱泄漏时的频谱分析精度，为了减小噪声在谐波分析中的影响，论文中 引进了基于自相关变换的现代功率谱估计的方法，该方法从根本上摒弃了对数据 序列加窗的隐含假设，可以极大的提高频率的分辨率，即使在数据记录很短的情 况下也能得到较好的效果。 ( 2 ) 电力系统暂态扰动检测：小波分析对噪声同样十分敏感，这样提高了噪声情 况下的暂态扰动检测的难度，论文中介绍了一种短窗自相关算法，利用含有突变 的信号的白噪声的自相关特性会发生变化来检测信号的奇异性，还介绍了一种基 于时频分布的暂态扰动的检测和分类的方法，首先结合瞬时无功功率理论和小波 滤波器将工频分量提取出来，剩下的信号成分都可以认为是加载在工频分量上的 6 华中科技大学硕士学位论文 各种扰动，然后将这些扰动信号在时频平面上展开，以提取其时频特征，最后提 出了一种基于信号线性预测的电能质量暂态扰动的定位方法，并以仿真算例证明 了该方法的有效性。 华中科技大学硕士学位论文 2 电能质量检测中的数字信号处理技术 提要：电力系统电能质量的检测实际上是对电力系统中各种交流信号的采样序列( 电流、电压 等) 进行处理、分析，目前电能质量的检测的主要工作是如何将数字信号处理工具有效地应用 于电力系统信号检测中，研究信号的特点和分析电能质量的好坏，本犟将简单地介绍已经成功 地应用于电力系统电能质量检测中的各种数字信号处理技术 2 1引言 数字信号处理技术的发展在各行各业产生了深远的影响。f o u r i e r 分析作为一 种传统的分析乎稳信号的方法，在频谱分析领域起着至关重要的作用。它在电力 系统的应用也是非常广泛的，已经成功地被用于继电保护运算、谐波分析、电能质 量检测之中。然而，f o u r i e r 分析的局限性也是非常明显的。它只包含了频域信息， 而不能反映时间域信息。短窗f o u r i e r 分析可以部分的解决这个问题，但真正的革 命还是小波分析的出现1 3 ”。小波分析作为一种现代频谱分析工具，被誉为数字显 微镜。目前已经在图像处理、语音信息压缩方面显示出它的优越性。作为从短窗 f o u r i e r 分析发展而成的理论，小波分析在电力系统有相当广的应用前景。电力系 统中的谐波分析的数学模型就是中正弦信号组合的系数的求解过程，随着随机信 号模型分析方法的出现，现代谱估计技术被引入到谐波分析当中，这种方法用来 可以分析非整数倍的谐波，并且在短数据窗下的谐波分析效果也很不错。 2 2f o u ri e r 分析和小波分析 2 2 1 f o u r i e r 分析 f o u r i e r 分析( f o u r i e r 变换和f o u r i e r 级数) 在信号的分析处理中起着非常重要的 作用，因为f o u r i e r 分析能将信号的时域特性变换为频域特性，时域和频域特性的 相互转换不仅在理论和形式上非常方便，而且其数值实现已有f f t 算法和软件可 供使用【3 3 】。 华中科技大学硕士学位论文 分析时域信号f ( t ) ，总是假定其能量有限，这在数学上描述为f ( t ) r ( r ) ， 其中2 俾) = ( s ( , ) l l l s l l ：= l ( f ) 1 2 出 m ，f r ，r 为实数集。 时域信号的f o u r i e r 变换及其反演可采用如下形式： f ；( ) = f 厂( f ) 。一删出，。r 。由 ( 2 1 ) ll_“ 7 【巾) 2 去f ( 。) d r a r f o u r i e r 变换及其反演在形式上是对称的，它具有一些良好的性质，如叠加性 和相关性等，特别重要的是在时域和频域上存在p a s e v a l 等式： f ，( ，) g 丽- ) d t = 去驴( 叫耋蜘 扩虻= 荆 。之 ( 2 - 1 ) 和( 2 2 ) 式表明f o u r i e r 变换及其反演是一一对应的。即信号厂( ，) 的时域特 性可转化为频域特性，( m ) 来研究，信号的频域特性也可很方便地通过它对应的时 域特性来研究，通常的信号时频分析就是利用了这一特点。 任一在【o ，2 一】区间上能量有限的周期信号都可以展开为f o u r i e r 级数的形式： f ，( f ) = z c 。e “ k 去胁占们矿m 出 。 e “ 是- - 组i e 交基，而且有 去r 4 i s ( r ) f 2 拈z i c t l 2 。 ( z 4 ) f o u r i e r 分析虽然可以用来对信号作时频分析，然而它没有任何时频局部化的 能力。事实上，若要得到某个固定频率m 处的频谱信息f ( o a ) ，必须利用全部的时 域信息f ( t ) ，t e r ；而若仅仅已知局部的频谱信息，却不能由此获得信号在局部时 域中的特性。同样，信号在局部时域上的改变会影响它在全部时域中的特性。 然而，在很多实际问题中，人们特别关心的是局部时域信号在局部频域中的对 应特性，例如在电力系统故障信号分析中，人们关注的是故障电流( 电压) 的突发时 刻及在随后的极短时段内对应的频谱特征，希望能及时判断出故障和扰动发生的 9 华中科技大学硕士学位论文 时刻和类型。对于这样的突变信号的时频分析，f o u r i e r 分析是无能为力的，人们 需要短时的时频局部化分析方法。 2 2 2 短时f o u r i e r 分析的优缺点 短时f o u r i e r 变换是传统的短时的时频局部化分析方法，它定义为： ( g a b o r n j ) ( c o ) 2i ，( f ) 岛( 6 ) p d t ( 2 - 5 ) 其中g a ( f 一6 ) 称为时窗函数，它能把整体的时域信号限制在某个局部的范围内 ( 岛( f 一6 ) 有局部非零的定义域) 。( 2 5 ) 式表示对已被时窗函数限制的信号 ( ，( ，) g 口( 卜6 ) ) 作f o u r i e r 变换。 特别地，时窗函数可取为g u a s s 函数，即 ( t - b ) 2 孺1 p叫“”。44(2-6) g u a s s 函数的f o u r i e r 变换仍为g u a s s 函数，这就是说g u a s s 窗函数g 口( r _ 6 ) 和 它的f o u r i e r 变换量押一m ) 都有快速衰减性，可分别作为对时域信号和频域信号 起局部化作用的窗函数，所以又称式( 2 6 ) 为时频窗函数或双窗函数。 短时f o u r i e r 分析能分解夕，从而给出局部谱信息，此特性可由下式得出： l ( g a b o r d ，) ( ) 曲。f ( r o ) ，r 短时f o u r i e r 变换有类似于p a s e v a l 等式的特点，这是因为若令 g ：( ，) = g 。g 。( r b ) 则有 ( g a b o r “f ) ( 咖f f ( t ) 丽= 去p ( _ ) ( 枷( 2 - 7 ) 为了观察由( 2 6 ) 式定义的双窗函数关于时频局部化的效果，先将( 2 7 ) 式恒等变 形为： f ，( f 蛾( f _ 6 扩d t = ( e “去f 而玩( 口刊e ”却( 2 - 8 ) 再定义窗函数( 卜6 ) 的窗口中心和窗口半径分别为： 1 0 华中科技大学硕士学位论文 地”篡凳零l怒篙bl：lgo(x-l g o ( x - b 私： 陋。， 8 “o 一6 2 i i i 石。：i i i 。一6 一8 口。一6 3 12 出“2 求得： f ，( g 。( o 一6 ) ) = b( g 。( f 一6 ) ) ：i 卜一。刊m 垴一) ) _ 壶 。 ( 2 - 8 ) 式表明：时域信号f ( t ) 的短时f o u r i e r 变换在菌 6 一石，6 + 石】内的局部信息，可 以在窗陋一，m + 】内通过观察f ( r ) 得到。于是矩形时频窗表明了信号在时间一 z v az v a 频率域中被局部化的范围度量。在工程上得到广泛应用的全周f o u r i e r 算法即为采 用矩形时频窗的f o u r i e r 变换。 值得注意的是，短时f o u r i e r 变换的时频窗的宽度对于观察所有频率的谱都是 不变的，这就限制了短时f o u r i e r 变换在精细分析方面的应用。在实际信号分析中， 若要观察分析局部时域的高频信号特性，应该选取较窄的时间窗，并希望相应的 频率窗较宽，以便包含更多的频率信息，最好能将局部频域信息做出等级分离。 同样，若要分析局部时域的低频信号，应该选取较宽的时窗，并希望相应的频窗 窄些。换句话说，在实际的信号分析中，希望有一个自适应的可调时频窗。然而， 短时f o u r i e r 分析不能实现这一目标。 2 2 3 小波变换与可调时频窗 为了发扬短时f o u r i e r 分析的特点，克服其不足，希望积分变换既具有类似于 f o u r i e r 变换和反演的性质，y - n 时具备时间窗和频率窗的性质，并且相应的时频 窗是可调的。这个理想的积分变换函数就是小波函数。 对于) 。( ，) l 2 ( r ) 形如 i p 曲= 纩j 妒( 掣) ( 2 - 1 1 ) 且满足“容许性”条件： 华中科技大学硕士学位论文 f ，：，。止2 j ；上一一。 c ：j ：， 则称y 。( ，) 是一个容许小波，或称基小波。 小波变换定义为： ( ) ( a , b ) = 盯孤( f ) ( 等协 d ，6 r , a o ( 2 - 1 3 ) 显然，小波函数矿( f ) 的放缩和平移表现了它对信号不同频率和不同时间位置的 限制。容许性条件( 2 1 2 ) 式是保证y 。( f ) 和。( 。) 都具有快速衰减性的条件之一， 矿。( ，) 可作为时窗函数，多。( m ) 可作为频窗函数。另外，由容许性条件可推知， 茹( o ) ：0 ，【妒( t ) d t = 0 ，矿( r ) 具有振荡性和类似阻尼波的特点，这就是y 。( f ) 被称为小 波的原因。 由式( 2 1 l _ 卜( 2 1 3 ) 定义的小波变换具有类似于f o u r i e r 变换的性质： f ( t ) = 古工( ，) 【础) ( f ) 专出曲( 2 - 1 4 ) l 上( ，) ( a , b 耽) 丽专出曲= l 邝) i 硇( 2 - 1 5 ) 。( ，) 可作为时窗函数，时窗中心，+ ( 。( ，) ) 和时窗半径仍按( 2 9 ) 式定义。若记y ( f ) 的 窗口中心和窗口半径分别为，：和。，则可算出 r ( 妒神u ) ) = 鲥：+ 6 ，( y 。6 ( ，) ) = a a 。 ( 2 - 1 6 ) 痧。( ) 可作为频窗函数，其频窗中心和频窗半径的定义仍类似于( 2 9 ) 式，若记 沙( ) 的频窗中心和频窗半径分别为：和、，则可计算出 t v 1 国( 痧曲( ) ) = 二0 9 ：，( 矿。6 ( ) ) = 二a ( 2 1 7 ) 于是，该矩形时频窗可表示为 b + a t ：一日，b + a t ：一a ，】e 。l - m ：一：i 。i 1 ；+ ：i 】 这个时频窗的重要性在于：对于检测高频信号，窗会自动变窄：而检测低频信 号时窗则会自动变宽。这种自适应的“变焦”功能决定了小波变换在突变信号处 理上的特殊地位。 仿照f o u r i e r 级数和f o u r i e r 变换的关系，人们希望小波函数矿( ，) 经整数放缩和 整节点平移后构成时间一频率空间中的正交函数族，这就是离散正交二进小波： 华中科技大学硕士学位论文 y 仲o ) _ 2 2 孵j 卜 “z( 2 - 1 8 ) ( y 肚( f ) ，v i i ( 0 ) ) 5 6 ，f 8 k l “1 5 z 于是，小波级数表示为： p i 磊z ( 2 1 9 ) i 。，嘣o 当然，为了实现用小波级数描述，( f ) f ( 固，应要求 y 肚( f ) ) ，肛：满足r i e s z 条 件： a f cm f 2 58 c j k 妒p ( f ) 8sb f c ) k j 2 ( 2 - 2 0 ) “2i i j g gi l o j e 2 显然，小波级数类似于f o u r i e r 级数，它能把能量有限的信号，( f ) sl 2 ( r ) 和一个 数列 c 。 实现一一对应，以利于数值计算：它能把这个信号按不同时频位置分解， 分解系数c 。就是相应的二迸小波变换，离散二进小波变换的反演公式就是( 2 1 9 ) 式所示的小波级数：离散二进小波变换是连续小波变换的特殊情形，特别地，在 ( f ) 中取a = 2 - ，b = 2 j k 就得到( r ) ，于是利用连续小波变换时间频率窗的结果， 可知对某个具体时频位置的小波妒。( ，) ，其离散二进小波变换所给出的矩形时频窗 为： 2 k + 2 一，：一2 一y ，2 。k + 2 - j ，：+ 2 一。a v 】【2 珊；一2 a p ，2 。；+ 2 。p 】 特别地，取：= 3 a p ，则有频率窗【2 ”1 a i , 2 ”2 p 】，于是信号正频可以按频 窗宽度2 p 分离，即( o 叫= j ( 2 j 4 p 2 。州6 p ) 。另一方面，对于给定的二进离散小波 妒。( f ) ，其小波变换可实现频率在 2 j a 2 j “a 】内的带通滤波。 由此可见，若能设计出如( 2 1 1 ) 式和( 2 1 ) 式所定义的小波函数妒( f ) ，则小波分 析就能理想地发挥f o u r i e r 分析和开窗f o u r i e r 分析的优点，克服其在时频局部化方 面的不足。小波分析的本质特征之一是聚焦功能，它提供了一个自适应的可调时 频窗，也正是利用这一特性和快速小波算法，小波分析在众多领域的应用中起到 了不可替代的作用。 华中科技大学硕士学位论文 2 3 小波分析的快速算法 2 3 1关于小波函数的构造 在f o u r i e r 分析中以p 函数的伸缩作为积分变换函数，其伸缩参数。反映了对 信号频率的某种限制，特别是它经整数放缩后， e “ 。构成了能表现所有以2 x 为 周期的能量有限函数，( f ) 2 ( o ，2 z 】) 的一组正交基底，信号，( r ) t 2 ( o ，2 x 1 ) 可用这组 正交基底展开为f o u r i e r 级数。 在小波变换中，人们采用小波母函数( f ) 经伸缩和平移后的函数y 。( f ) 作为小波 变换的积分变换函数，其伸缩参数a 和平移参数b 反映了对信号频率和时位的限 制：特别是它经整数放缩和整数平移后的函数y 。( ，) 被要求是正交的，信号 厂( f ) l 2 ( r ) 可用舻t ( f ) j 。z 展开为小波级数。显然，h ( f ) 和舻t ( f ) ) ；z 同f o u r i e r 分 析中的p 和如) 柑的关系非常类似，舻n ( r ) ) ，。应是l 2 ( 8 ) 中的一组正交基底。 不同的是，f o u r i e r 级数描述 o , 2 x l 上的周期函数，小波级数要描述r 上的函数。 单独寻找一个小波母函数妒( ，) ，使其整数放缩平移后的函数族 妒。( f ) + ：构成 e 2 ( 月) 的基底是一项十分困难的工作，为了在统一的框架下有效地确定矿( f ) ，m e y e r y 从函数空间l 2 ( r ) 的逼近构造角度提出了多分辨分析( m r a ) 的概念。 f ( r ) 的一个多分辨分析( m r a ) 是指满足下列条件的一组函数子空间序列： ( 1 ) ) 满足嵌套性质，即r ， r 。，z ； ( 2 ) y ，) 满足完全分解性质，即nv ，= 0 ，k _ v = 上2 ( r ) ： ( 3 ) 是由r i e s z 基构成的线性函数空间_ 即对任一函数g ( r ) e r ，有常数 口a 0 ，使得对于圪= s p a n # ( t - n ) , n z g ( f ) = c - 舻一) ，有 爿莓川2 s 0 莓q 如一。| j 2 韭；盂| 2 ( 4 ) _ 满足二进放缩性质，即 y ( ，) y ( 2 t ) 一+ i m r a 概念中， “一一) ) 。z 是的一组r i e s z 基，f ( f ) w = 2 m ( 2 ，卜 ) ) w 是_ 的一组r i e s z 基，m r a 描述了子空间序列 _ 的逼近关系。在给定的实轴上用 ，为 4 华中科技大学硕士学位论文 尺度等距划分，在整节点处分别设置线性样条函数，此样条尺度函数记为九o ( f ) ， 得到由线性样条基函数 ，。( f ) ) 。z 张成的尺度空间。若在原划分基础上- - 进细分， 等距划分尺度为 ，+ = h j 2 ，则划分节点数增加一倍，对此划分也可设置线性样条 函数。( f ) 作为尺度函数，这组基协m ( f ) 一张成尺度空间t ，依此类推，有尺 度空间序列c 0c 0 “c ，且当_ 时，_ l 2 ( r ) 。这样，若设乃( f ) 巧， ，( f ) l 2 ( r ) ，是，在y ，中的