（固体力学专业论文）线弹性平面问题有限元法与无网格局部边界元法的耦合研究.pdf

中文摘要 摘要 计算机的出现与应用是力学计算方法发展史上的一个转折点。近半个世纪以 来，数值计算方法发展迅速。本文对历史上占有重要地位的几种数值计算方法： 有限差分、有限元法、边界元法、无网格法进行了简要的评述。无网格法作为一 种新的数值方法，文中也对其基本原理、近似理论与权函数的选择、施加边界条 件的方法进行了归纳与总结。 无网格局部边界元法( l b i e ) 是一种特殊的无网格法。它基于传统的边界积分方 程，引入问题基本解与伴随解之差作为试探函数，积分仅在局部子域内完成。它 同时具有有限元法、边界元法和无网格法的优点。在解决线性、非线性问题中表 现出巨大潜力。本文在普通无网格法基础上，对线弹性平面问题的无网格局部边 界元法进行了详细推导，选择移动最小二乘近似构造近似函数，选择高斯函数与 样条函数作为权函数，最后建立了离散方程，并且提出了积分奇异性的处理方案。 由于各种数值方法都有其优缺点，为了充分利用各种方法的优点，而尽量避 免其缺点，出现了耦合与并行计算的思想。本文提出了线弹性平面问题有限元法 与无网格局部边界元法的耦合思想。首先，根据主要的几种耦合技术，结合有限 元法与无网格局部边界元法的特点，提出了有限元与无网格局部边界元法的耦合 理论直接耦合技术。，由于无网格局部边界元法中基本解的引入，这种耦合技 术方便直接，且不会引起过大的误差。然后本文根据提出的耦合理论编制了相应 的计算程序，并对自由端作用集中力的悬臂梁及具有中心圆孔的无限板两端受水 平均匀拉应力的例子进行计算。通过将计算结果与精确解的比较，给出了无网格 局部边界元法部分权函数选择及其参数选择的建议，并得到了各截面位移与应力 曲线、误差范数等分析结果。根据结果可以看出，文中所提算法能够达到一定的 求解精度，具有可行性。最后在结论中对本课题的发展前景与研究方向进行了展 望。 关键词：有限元法，无网格法，无网格局部边界元法，耦合 英文摘要 a b s t r a c t t h e a i ，p e a l a n c ea n da p p l i c a t i o no fc o m p u t e ri sat u r n i n gp o i l l ti nd e v e l o p m e n t a l h i s t o r yo fc o m p u t a t i o n a lm e t h o df o rm e c h a n i c s d u r i n gt h el a s tf i f 【yy e a r s ，n u m e r i c a l m e t h o d sh a v ear a p i dd e v e l o p m e n t t h i sp a p e rb r i e f l yi n t r o d u c e s 翻d i n en u m e r i c a l m e t h o d s ：f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ( d f m ) ，f i n i t ee l e m e n tm c t h o d ( f e m ) ，b o u n d a r y e l e m e n tm e t h o d ( b e l v oa n dm e s h l e s sm e t h o d ，w h i c ho c c u p ya l li m p o r t a n ts t a t u si n h i s t o r y a sm e s h l e s sm e t h o di san e wn u m e r i c a lm e t h o d , t h i sp a p e rc o n c l u d e sa n d s u m m a r i z e si t sf u n d a m e n t a l ，t h e o r yo f a p p r o x i m a t i o n , c h o i c eo f w e i g h tf u n c t i o na n dt h e m e t h o do f i m p l e m e n t i n ge s s e n t i a lb o u n d a r y l o c a lb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o nm e t h o d ( l b i e ) i sas p e c i a lm e s h l 髓$ m e t h o d i t b a s e do nt h et r a d i t i o n a lb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n ，e n di n t r o d u c e st h ev a l u eo ft h e f u n d a m e n t a ls o l u t i o ns u b s t r a c tt h ec o m p a n i o ns o l u t i o na st e s tf u n c t i o n ，a n di n t e g r a t e si n s u b d o m a i n s i th a st h ea d v a n t a g e so ff e m ，b e ma n dm e s h l e s sm e t h o d , a n de x h i b i t s g r e a tp o t e n t i a lf o ri nl i n e a ra n dn o n l i n e a rp r o b l e m s o nt h eb a s i so fc o l n n l o nm e s h l e s s m e i l h o d ，u s i n gm o v i n gl e a s ts q u a r ea p p r o x i m a t i o n ( m l s ) t oc o n s t r u c ta p p r o x i m a t e f u n c t i o n , g a u s sf u n c t i o na n ds p l i n ef u n c t i o na sw e i g h tf u n c t i o n s ，t h i sp a p e rd e d u c e s l b i ef o rp l a n ep r o b l e m si nl i n e a re l a s t i c i t y , e s t a b l i s h e st h ed i s c r e t ee q u a t i o n , a n d p r o p o s e st h em e t h o do f d e n l i n gw i t l li n t e g r a ls i n g u l a r i t y , b e c a u s ea 1 1n u m e r i c a lm e t h o d sh a v eo w i ia d v a n t a g e sa n dd i s a d v a n t a g e s ，a n dw i t h t h ea i mo fu s i n gt h e i ra d v a n t a g e sa n da v o i d i n gt h e i rd i s a d v a n t a g e s ，t h ei d e a so f c o u p l i n ga n dp a r a l l e lc o m p u t a t i o na r 0a p p e a r e d t h ec o u p l i n go ff e ma n dl b i ef o r p l a n ep r o b l e mi nl i n e a re l a s t i c i t yh a sb e e np r o p o s e di nt h i sp a p e r a tf i r s t , c o n s i d e r i n g t h ec o u p l i n gt e c h n i q u e sw h i c ha r et h em a s t e rm e t h o d sa tp r e s e n ta n dc o m b i n i n gt h e c h a r a c t e r so ff e ma n dl b i e ，t h ed i r e c tc o u p l i n gt e d m i q u ef o rf e ma n dl b i eh a s b e e np r o p o s e d d u et oi n t r o d u c i n gt h ef u n d m e n t a ls o l u t i o ni n t ot h el b i e ，t h i sc o u p l i n g t e c h n i q u e si sc o n v e n i e n ta n dd i r e c t , w i t hn ol a r g eo i t o i $ s e c o n d ，a c c o r d i n gt ot h e c o u p l i n gt e c h n i q u e t h ec o r r e s p o n d i n gp r o g r a mh a sb e e np r o p o s e da n du s e di t t 0 c o m p u t et w oe x a m p l e s ，w h i c ha l et h ec a n t i l e v e rb e a mw i t hc o n c e n t r a t e df o r c ea tt h e f l e ee n da n dt h ei n f i n i t ep l a t ew i t hc i r c l eh o l ei nc e n t e ra n dl e v e le q u a l p u l ls t r e s sa t t w op e r p e n d i c u l a rb o u n d a r i e s t h r o u g hc o m p a r i n gt h ec o m p u t a t i o n a lr e s u l t st 0t h e 锄_ a l 如c a ls o l u t i o n s , t h ea d v i c e so fc h o i c e so fw e i g h tf u n c t i o na n dp a l a r n e t e r sh a v e b e e np r o p o s e d , a n ds o m er e s u l t sw e r er e c e i v e d ，s u c ha st h ec u r v e so fd i s p l a c e m e n t , b i 重庆大学硕士学位论文 s t r e s s e so f s o m et 燃- t i o n s ，t h ee l t o l 瞎a c c o r d i n gt ot h er e s u l t s ，w ek n o wt h a tt h i sm e t h o d w h i c hw a sp r o p o s e di nt h i sp a p e rh a sd e f i n i t ep r e c i s i o na n di sf e a s i b l e a t l a s t ，t h e d e v e l o p m e n t a lp r o s p e c ta n dt h er e s e a r c ha s p e c t sh a v eb e e np r o p o s e di nc o n c l u s i o n k e yw o r d s ：f i n i t ee l e m e n tm e t h o d , m e s h l e s sm e t h o d ，l o c a lb o t m d a r yi n t e g r a l e q u a t i o nm e t h o d ，c o u p l i n g i v 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得重庞太堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本 研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：张春畏签字日期：2 口口7 年6 月1 1 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解重麽太堂有关保留、使用学位论文的 规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许 论文被查阅和借阅。本人授权重庆太堂可以将学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存、汇编学位论文。 保密() ，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密( ) 。 ( 请只在上述一个括号内打“4 ”) 学位论文作者签名：张春1 靛 签字日期：z0 0 7 年6 月i le t 导师戤徽华 签字日期：伽7 年多月f 7 日 ， i 绪论 1 绪论 1 1 引言 力学问题是和我们日常生活紧密联系的科学问题，它吸引着一代又一代的学 者。经过长期努力，力学基本理论已经相当成熟，研究方向也逐步由理论向解决 方法上转变。经过实践证实，科学技术领域内的众多力学和物理问题都可通过不 同的途径归结为不同形式的数学模型，它们或是表现为偏微分方程的边值问题，或 是表现为区域上的变分问题，或是归结为边界上的积分方程；所以解决力学问题的 方法也从早期的通过解析法求解简单问题向用数值法解决复杂问题转变。这就大 致形成了力学计算方法的发展历史，可归纳为：传统的解析方法、近似求解方法 ( 古典数值方法) 和现代数值方法等三个阶段，每个阶段都包含有多种分析方法。 传统的解析法是力学发展初期所采用的一种计算求解方法，它主要用于解决一些 简单的弹性、稳定问题，具有代表性的包括应力函数法、试凑法( 反逆法和半逆 法) 以及复变函数法等。近似求解方法是用数学上的近似解代替精确解，近似解 不一定严格满足基本方程和边界条件。与传统解析法相比，近似解法更注重于工 程问题的实用性，它的出现在一定程度上表明了力学数值方法研究的开始，主要 包括：比拟法、里兹法、加权残量法等。现代数值方法开创了数值计算的新局面， 它对求解模型采用“离散化”的思想，不需要在整个求解域上选取试函数，而仅需近 似函数( 试函数) 在局部满足微分方程。它主要包括有限元法、边界元法、无网 格法等。 计算机的出现与应用是力学计算方法发展的一个转折点。近半个世纪以来， 计算机的快速发展、工程问题的复杂化促进了力学求解方法的迅猛发展，特别是 数值方法。迄今为止在工程领域起到过重要作用的数值方法有有限差分法、有限 元法、边界元法、无网格法、扩展有限元法等。文献 1 】把这些数值方法分为两类： 一类是以有限差分法( 简称为f d m ) 为代表，其特点是直接求解基本方程在相应 定解条件下的近似解。另一类是以有限元法( 简称为f e m ) 为代表，不直接从问题 的微分方程和相应的定解条件出发，而是从与其等效的积分形式出发建立方程求 解。由于加权残量法是等效积分的一般形式，所以第二类方法中的大多数常用方 法均是以加权残量法为基础，基于变分原理与能量原理的思想而提出的，如有限 元法、边界元法( 简称为b e m ) 、无网格法、扩展有限元法( 简称为x f e m ) 等。由于 方法理论的复杂性，各种方法可以从不同的角度进行推导，如边界元法；所以这 种分类方法不能将所有方法都进行准确的定位与划分。 目前，有限元法是一种理论成熟，运用较多的数值方法，但是由于其“网格” 重庆大学硕士学位论文 的局限性，也存在其难以触及的领域。无网格法是一种新兴的数值方法，在研究 的初期，它就已经表现出强大的生命力，但同时它也存在一些局限性。局部边界 积分方程方法( 1 0 c a lb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o nm e t h o d ，l b i e ) ，又称为局部无网格 边界元法( 后面将一直采用这一名称) ，是一种特殊的无网格法。它基于微分方程 的局部弱形式，不需要任何“背景网格”，是一种“纯”无网格法。为了解决更多的工 程问题，有效地利用各种方法的优点而避免其缺点，这就出现了耦合与并行计算 的思想。本文将对线弹性平面问题有限元法与无网格局部边界元法的耦合进行研 究。 1 2 各种主要数值方法简介 1 2 1 有限差分法( f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ，f d m ) 有限差分法( f d m ) 是计算机数值模拟最早采用的方法，也是一种直接将微分闯 题变为代数问题的近似数值解法。它将求解域划分为差分网格，用有限的网格节 点代替连续的求解域，其数学概念直观，表达简单，目前发展已经比较成熟。有 限差分法对于求解空问坐标系的流体问题具有优势，因此至今仍在流体力学领域 占重要地位。但将其用于几何形状复杂的问题时，求解精度降低 2 - 3 1 ；只有在计 算中采用较多节点时，近似解的精度可以得到部分改善。 对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格 式。从差分的空问形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影 响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格 式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主 要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决 定。构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本 的差分表达式主要有四种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和 二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。 通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。 1 2 2 有限元法( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，f e m ) 继有限差分法后发展起来的数值方法有：配点法、最小二乘法、加权残量法、 伽辽金法、力矩法、里兹法等，它靠 均是基于等效积分方程的思想提出的，等效 是指与原问题基本方程及相应定解条件相等。这些方法在不同领域得到成功应用， 但是一般只用于简单问题求解。 1 9 4 3 年c o t a a n t 尝试用定义在三角形区域上的分片连续函数和最小势能原理 相结合来求解s t v e n a a t 扭转问题，这也就是有限元法思想的最初由来。随后众多 学者对有限单元这一思想进行研究，得到了定的研究成果，也促进了有限单元 2 l 绪论 法发展。1 9 5 6 年，泰勒、克拉夫等第一次用三角形单元求得了平面应力问题的正 确解答。1 9 6 0 年，克拉夫在处理平面弹性问题时，第一次提出了“有限单元法”( 简 称为f e m ) 这一名称。有限元法的出现是数值方法研究领域内的重大突破，给连续 体力学问题的求解开拓了宽广的途径。有限元法的物理实质是：把一个连续体近 似看作由有限的、节点相互连接的单元组成的组合体，且单元本身可以有不同的 形状。因此有限元法可以模型化几何形状复杂的求解域，从而把连续体的分析转 化为单元分析加上对这些单元组合的分析。 近半个世纪以来，计算机的广泛应用推动了数值方法的发展。有限元法和计 算机的结合，产生了巨大的威力，解决了众多工程难题。其应用范围迅速从弹性 力学平面问题扩展到空间问题、板壳问题，由静力平衡问题扩展到稳定问题、动 力问题和波动问题。分析的对象从弹性材料扩展到塑性、粘弹性、粘塑性和复合 材料等，研究领域从固体力学扩展到流体力学、传热学、电磁学等领域。 实践证明：有限元方法作为一个具有坚实理论基础和宽广应用范围的数值分 析工具，在科学技术的发展中起着极其重要的作用。它具有明显的优点：概念 清楚，容易掌握，具有明确的物理意义与严格的数学分析理论。适用性强，应 用范围广泛。对于非均质材料、各向异性材料、非线性应力应变关系、多相 问题以及复杂边界等难题，能够成功解决。随着其理论基础和方法的完善，其求 解范围逐步扩大。采用矩阵形式的表达式，易于在计算机上实现。有限元法的 这些优点使其在数值方法的发展史上占重要的地位，越来越多的学者用它进行科 学研究。随着有关理论的发展越来越成熟，出现了大量的有限元软件，如：a n s y s 、 s a p ，m a r c ，a b a q u s ，n a s t r a n ，a d i n a ，n e p s a p ，a s a s ，d e r s a f e ， p a f e c 、a s k a 等。这些商业软件有着强大的功能，如a n s y s 具有方便的前处理、 后处理及二次开发等功能。它一直以来在核工业、航天、交通、医药、钢铁、铁 路、包装和土木建筑等众多部门广泛使用，是一个多物理场耦合的分析程序包， 可以进行结构、热、流体流动、电磁等独立分析，也可以进行这四大物理场耦合 分析。尽管有限元所取得的成就与日俱增，但是它还是存在难以克服的不足： 有限元法需要全域离散，导致问题的自由度和原始信息量大；对无限域问题只 能人为地取成有限域，有限元法的离散技术本身也存在着缺陷，它把本来是连续 的介质用仅在节点处连接的有限单元来模拟，这样不仅带进了离散的误差，而且 在单元之间连续的要求较高时，有限单元的构造也很困难。对有限元法的精度 和可靠性也常常会提出疑问，因为对同一问题采用不同的程序计算时可能会得出 不同的结果。对于不连续及大变形问题在求解过程中，必须重新划分单元，大 大增加计算难度，其精度也较低。 重庆大学硕士学位论文 1 2 3 边界元法( b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ，b e m ) 边界元法也是一种常用的偏微分方程数值解法，它是在经典的边界积分方程 的基础上吸取有限元离散化思想而发展起来的。其基础在于边界归化- 将区域 内的微分方程边值问题转化为数学上等价的边界上的积分方程。它通过引入基本 解将求解域内微分方程变换成边界上的积分方程，然后在边界上离散化数值求解。 边界元法的离散手段与有限元法类似，能够采用的单元主要有常单元、线性单元、 二次单元、高阶单元及等参元等。边界归化的途径很多，先后发展起来的有直接 法、间接法、自然积分法等。这些方法的不同主要在于建立边界积分方程的过程 不同。直接法是直接用边界量作为求解变量来建立边界积分方程。间接法是用虚 设的源密度函数或虚设边界的虚载荷作为求解变量来建立积分方程。自然积分法 与上述两种方法不同，它是从g r e e n 函数和g r e e n 公式出发，将微分方程边值问题 归化为边界上的强积分奇异性方程。 边界元法的发展虽然不及有限元法迅速，但还是受到各国学者的广泛关注。 世界各国举行的国际边界元学术会议，大体上记录了边界元法基本理论方面的研 究成果和边界元技术在工程应用上的发展。我国在1 9 7 8 年开始了边界元的应用研 究，主要研究成果可参见历届边界元工程应用会议的学术论文集。目前国内外边 界元法应用研究已遍及弹性、塑性、粘弹塑性、动力、波动、断裂、接触、非均 质材料、各向异性、多相、耦合、大变形、热传导、热弹性、流体、岩土、电磁 场、优化等领域。而边界元法的应用软件也由原来解决单一问题的计算程序向具 有前后处理功能、可以解决多种问题的边界元法程序包发展，已经开发出的边界 元法程序包有：b e a s y ( 英国) 、b e t s y ( 德国) 、c a s t o r ( 法国) 、s u r f e s ( 日本) 、 e z b e a ( 美国) 、b e s m a p ( 中国1 等。其中b e a s y 是国际上第一个边界元法大型软 件，在边界元应用软件市场中独占鳌头。但是边界元法软件的发展与有限元法软 件的发展还有一定距离，其应用范围受到限制。要想使其广泛应用，就必须发展 各种高质量、运用简便的边界元法软件。 边界元法对于解决一般单一介质问题，尤其是无限区域问题、三维空间问题 具有明显的优越性。它能够有效地将所处理问题的维数降低一维，而且只需对边 界进行单元划分，单元数与未知量明显减少。此外，因只需在边界上进行单元的 离散，所以离散引起的误差仅限于边界，从而提高了计算精度。边界元具有众多 优点，但是也存在一些不足：其线性代数方程组的系数矩阵是满秩而不对称矩 阵，其矩阵元素的计算需大量积分，这样又增加了计算的工作量。当计算区域 包括多种介质时，需要将不同介质进行分区划分，这既增加了分区交界面上的未 知数，又增加了计算工作量。当求解域内作用有体力或进行弹塑性分析时，通 常需要在计算区域内进行数值积分计算，增加了计算工作量。对于非线性问题， 4 1 绪论 需要在域内离散，则边界元的降维作用不再明显。边界上存在积分奇异性问题， 需特殊处理。 1 2 4 无网格法( m e s h l e s sm e t h o d ) 无网格法又称为无单元法，其基本思想是用一系列的节点代替有限元法中的 单元，采用一种与权函数( 或核函数) 相关的近似，使整个区域上的节点可以影 响研究对象上任何一点的力学特性。它与有限元法的主要区别是：近似函数的构 造不借助于网格，它是基于函数逼近而非插值近似。目前已经提出十余种无网格 法，有：光滑粒子法( s m o o t h e dp a r t i c l eh y d r o d y n a m i c 。s p h ) 、h p 无网格云团法( h p m e * h l e * sc l o u d sm e t h o d ) 、无网格伽辽金法( t h ee l e m e n t - f r e eg a l e r k i nm e t h o d , e f g ) 、 漫射元法( d i f f u s ee l e m e n tm e t h o d ，d e m ) 、有限点法( t h ef i n i t ep o i n tm e t h o d , f p m ) 、 局部伽辽金无网格法( m e , m e s sl o c a lp e t r o v - g a l e r k i n , m l p g ) 、基于无流形覆盖思 想的无网格法、局部边界积分法( 1 0 c a l b o u n a a r y i n t e g r a le q u a t i o n m e t h o d ，l b i e ) 、 杂交边界点法等。这些方法的主要区别在于所使用的试探函数和微分方程等效形 式的不同。目前用来构造近似函数的方法主要有移动最j , - - 乘近似( m o v i n gl e a s t s q u a r e , m l s ) 、重构核函数近似( r e p r o d u c i n g k e r n e l p e r t i c l e m e t h o d , r k p m ) 、单位分 解法( p a r t i 6 0 no f u n i t y , p u m ) 、径向基函数( r a d i a lb a s i sf u n c t i o n s ，r b f ) 、点插值法 等。常用的等效积分弱形式有：g a l e r k i n 法、配点法、最小二乘法、p e t r o v - g a l e r k i n 法等。文献【4 】对这些无网格法及其特点进行了总结，见表1 1 。 近年来无网格法正呈现良好的发展势头，众多学者加入其研究行列，已经得 到大量研究成果。通过与有限差分法、有限元法和边界元法的比较，无网格法具 有以下优点： 无网格法的近似函数采用区域逼近，不依赖于网格；减少了因网格畸变而 引起的困难。 无网格法基函数的选择较自由，针对不同问题可以选择与其适应的基函数， 因此能够用于分析各类具有高梯度、奇异性等特殊性质的应用问题。 权函数采用紧支函数时，无网格法的系数矩阵也和有限元法一样具有带状 稀疏的特点。可以用于求解大型科学与工程问题。 无网格法的前处理只要节点位置信息，不用网格信息，容易分析复杂三维 结构。 5 重庆大学硕士学位论文 表1 1 主要无网格法 1 a b l e1 1m a i nm c s h l e s sm c t h o d 无网格法名称近似方案离散方案背景网格 无网格伽辽金法( e f g )移动最b - - 乘 g a l c r k i n 法有 有限点法( f p m )移动最b - - 乘 配点法无 重构核粒子法( r k p m )重构核近似g a l e r k i n 法有 无网格配点法( p c m )重构核近似配点法无 h p 云团法( h p c l o u d s ) h p 云团 o a k w k i n 法有 h p 无网格云团法 b p 云团 配点法无 ( h p - m e s h l c s s c l o u d s ) 单位分解法( p u m )单位分解法 g a l e r k i n 法有 局部伽辽金无网格法( m l p o ) 移动最小二p e n o v - g a l c r k i n 法无 局部边界积分法( l b m )移动最小二p e t r o v - g a l c r k i n 法无 光滑质点流体动力学法( s p h )核函数配点法 无 径向基函数无网格法 径向基函数配点法无 点插值法点插值法 g a l c r l d n 法 有 最b - 乘配点无网格法( l s c ) 移动最b -最小二乘配点法无 加权最小二乘无网格法 移动最小二加权最小二乘法无 1 3 耦合现状 由于各种数值方法都有其优缺点，比如有限元法概念简单，易于实现，但是 不能精确求解裂纹动态扩展、高速撞击、金属冲压成形、局部化、大变形等问题； 边界元法虽然可以有效地将求解问题的维数降低一维，方便地用于无限区域及半 无限区域问题的求解，但是边界条件需特殊处理、计算耗时，而且对于非线性问 题、区域内包含体积力的问题也显现不出其优越性。而无网格法自出现开始，就 表现出强大的生命力，在求解高速碰撞、动态裂纹扩展、加工成型等方面显现出 巨大的优越性。但是因为目前的大多数无网格法都是基于g a l e r k i n 法的，需要“背 景网格”进行积分，导致其计算量大，计算效率低。为了有效地利用各种方法的优 点而避免其缺点，这就出现了耦合与并行计算的思想。目前，藕合的思想正受到 各国学者的关注。已经取得大量的研究成果，有f e m b e m ，e f g f e m ，e f g b e m ， m l p g b e m f e m 的耦合等。 6 1 绪论 1 4 本文研究的意义及其主要内容 1 4 1 研究意义 目前耦合的思想正受到各国学者的关注，已经取得大量的研究成果。有限元 法作为一种理论成熟的计算方法已经广泛地用于各种工程问题的求解，它在工程 界占据着举足轻重的作用。无网格法作为一种新兴的数值方法也逐渐在解决断裂 力学、材料冲击破坏、岩石结构分析、材料相变、大塑性变形等问题中展现出较 强的生命力。无网格局部边界元法兼具有限元、边界元、与无网格法的优点。比 起一般的无网格伽辽金法，它可以直接引入边界条件，积分时不需要背景网格， 计算工作量减少。将无网格局部边界元法与有限元法相耦合可以充分发挥有限元、 边界元及无网格法三者的优点，将其用于非线性、不连续等问题的求解既可以有 效地提高求解的精度又可以提高效率。由于目前国内外关于无网格局部边界元法 在线弹性、非线性下的理论都不够成熟，而且关于这两种方法的耦合还未见报道。 本文在查阅大量文献的基础上，对线弹性平面问题的无网格局部边界元法进行了 推导，建立了离散方程。再借鉴其他无网格法的耦合经验，提出了适用于线弹性 平面问题无网格局部边界元法与有限元法的耦合技术，并且编制了相应的计算程 序，通过两个典型算例证实了算法的可行性。由于本课题以后还可以向研究非线 性弹塑性问题、三维的无网格局部边界元法与有限元法的耦合及其在工程中的应 用等方向转换，希望本文能够作为无网格局部边界元法与有限元法耦合后续研究 的基础。 1 4 2 本文主要内容 由于有限元法、边界元法的研究已经比较成熟，而应用广泛，而无网格法， 特别是无网格局部边界元法的研究还很少，关于无网格局部无网格法与其他方法 耦合的文献至今还没有出现，所以针对这种现状，本文制定了如下的研究内容： 第一章绪论，对数值方法的发展史及其几种方法重要的数值方法进行简要 介绍。 有限元法理论相当成熟，而无网格逐渐崛起，国内文献较少；所以第二章 对有限元法的理论只进行了简要介绍，在查阅大量外文资料的基础上，对众多无 网格法及其基本原理、近似函数的构造，权函数的选择、边界条件的处理等进行 了详细的归纳总结。 无网格局部边界元法作为一种特殊的无网格方法，它具有明显的优势。本 文第三章对弹性静力学问题中的无网格局部边界元法进行了推导，选用移动最小 二乘近似构造近似函数，引入基本解与伴随解之差作为试探函数，最后建立其离 散方程，同时也提出了积分奇异性的处理方案。 近年来，耦合的思想深受各国学者的关注，目前各国学者运用各种方法的 7 重庆大学硕士学位论文 耦合已经解决了众多单一数值方法难以解决的工程问题。本文第四章对目前出现 的关于有限元法与无网格法的耦合思想进行总结，概括出两种基本思路，并指出 这两种思想的优缺点及目前耦合的研究现状与研究前景。 考虑到无网格局部边界元法的特性，及基本解与伴随解的引入，本文第五 章提出了适用于有限元法与无网格局部边界元法的直接耦合技术。然后根据提出 的耦合理论编制了相应的计算程序，并对自由端作用集中力的悬臂梁及具有中心 圆孔的无限板两端受水平均匀拉应力的例子进行计算。通过对计算结果与精确解 的比较，给出了无网格局部边界元法区域权函数的选择及其参数选择的建议，并 得到了各截面位移与应力曲线、误差范数等分析结果。最后证实了本文所提算法 能够达到一定的求解精度，具有可行性，且能够减少计算工作量。 第六章对全文的研究工作进行总结，并对无网格局部边界元法与有限元法 耦合的下一步工作进行展望。 8 2 有限元法与无网格法 2 有限元法与无网格法 上一章主要对各种数值方法及本文的研究内容进行了简要介绍。有限元法是 以加权残量法为基础，基于变分原理、能量原理及离散近似的思想而提出的。无 网格法是一种基于离散思想的新兴数值方法，它只需要节点信息，而不需要划分 单元网格。无网格法已经成为计算力学领域中的一个研究热点，目前已经提出的 无网格法有十余种。它们之间的主要区别在于所使用的试探函数和微分方程的等 效形式。本章主要对有限元法的原理进行简要介绍，对无网格法的基本原理、近 似函数的构造，权函数的选择、边界条件的处理等进行详细归纳。在介绍有限元 法与无网格法之前先简要介绍其基础：加权残量法与伽辽金法。 2 1 加权残量法与伽辽金法 2 1 1 加权残量法 力学问题一般可以归结为给定边界条件与初始条件的微分方程，即问题的未 知函数须满足微分方程组( 2 1 ) 和边界条件( 2 2 ) ： i4 ( 工) 】 伽( 堋：制i ! ( 瑚 i： 4 i 【口( 工) 】 f 垦【即( 却】 研球( 功】：jb d u ( x ) l ： 【吃：【( 砂】 = 0 ( 在域q 内)( 2 1 ) = 0( 在边界r 上) ( 2 2 ) 域q 及其边界r 内的任意点都满足方程( 2 1 ) 、( 2 2 ) ，所以对于任意函数v 和矿 都有： v 7 a l u ( x ) l d q + - 7 b 【u ( i ) l 打= o ( 2 3 ) n r 函数v 和矿称为权函数，分别是啊阶和心阶的函数列阵；一般分别取一组基函 数的线性组合，即： 审= q 呒 ( 2 4 ) j = l v = 0 嘭 ( 2 5 ) ，= 1 其中，2 行；厅为未知函数的个数；系数6 。为任意常数。 9 重庆大学硕士学位论文 方程( 2 1 ) 与( 2 2 ) 有时不能精确满足，只能近似求解，这就会使方程中产生 残量。设方程( 2 1 ) 与( 2 2 ) 的试探函数为“6 ( x ) ，它由一组已知的函数m ( x ) 线性组 合，即有： “( x ) z 扩( x ) = n 。( x ) 吐l ( 2 6 ) 1 = 1 其中u = i u ：，吩t ，u ：1 ，n ( x ) = i n 。( x ) ，n ：【x ) ，n 。( i ) 】，u 为待定 函数。则近似解u ( x ) 使方程( 2 1 ) 和( 2 2 ) 分别得到残量r 和豆。为了使矿( x ) 成为 u ( x ) 的最佳近似值，就需要使胄和孟尽量趋近于0 ，所以式( 2 3 ) 等价于： f w 于r 0 ；x 。表示 在x 定义域中节点f 对应的坐标值；疗是i 定义域中权函数较大的节点的数目( 当x 定义域中节点较多时，舍弃子域边界附近的节点) ：矩阵p 和w 表达式如下： p = ( 2 3 9 ) lm ( i ) 0l 形= i i ( 2 4 0 ) l o ( i ) j 矿= 幺，如屯 ( 2 4 1 ) 值得注意的是：f i ，( i = l ，2 ，开) 是节点f 的拟合值，通常不等于近似函数矿( x ) 在 节点坎e 的值。图2 - 3 清楚地表示了惦与l | ( 功在节点f 处的值吩之间的关系。 以1 l i 崎 l i ix 2i 1 图2 3 玩和q 的区别 f i g2 3t h ed i s t i n c t i o nb e t w e e n u ta n d 嘶 1 8 堋1。，。上 ) ) ) 瓴魄一仅 t t p p p 2 有限元法与无网格法 由最j , - - 乘原理，要使误差最小则有： 彘= 2 喜m ：( x ) p t ( x i ) a ( x ) 一矗蚺( x i ) = 。= 1 ，2 ，研 通过化简，最终可以用矩阵表示为： a ( x ) a ( x ) = b ( x ) e 式中： a c 崎= p 7 w p = m ( x ) p ( x 。 p 7 ( x 。) b ( i ) = p t w = 【嵋( i ) p ( x 1 ) ，h l ( x ) p ( x 2 ) ，h _ ( x ) p ( x 。) 】 式( 2 4 3 ) 也可以写作： a ( x ) = a 4 ( x ) b ( x ) 矗 将( 2 4 6 ) 代入( 2 3 5 ) 得： “( x ) = n ( x ) d = 乏：川( x ) 囊， 6 ( 写) = q 啦；x q 。 其中： n 7 ( x ) = p t ( x ) a 1 ( x ) b ( x ) ( x ) = 喜乃( x ) a i ( x ) b ( x ) l 万 f 2 4 2 ) ( 2 4 3 ) ( 2 4 4 ) ( 2 4 5 ) ( 2 4 6 ) ( 2 4 7 ) ( 2 4 8 ) ( 2 4 9 ) 上述过程清楚地表示了移动最小二乘近似的建立过程。 核函数法 这是最早的一种无网格法近似方案，最初主要用于s p h 法，它由艿函数性质 演变而来。 对于任一函数u ( x 1 ，根据艿函数性质下式均成立： u ( x ) = j u ( y ) d ( x - y ) d q ； ( 2 5 0 ) 矗 如果将艿( x - y ) 用任一函数w ( x y ) 代替，则函数式( 2 5 0 ) 将不再严格成立， “( x ) 只能近似表示为： u ( x ) * 6 ( x ) = i u ( y ) w ( x y ) d q ，( 2 5 1 ) n 其中矿( x ) 表示近似位移函数；以x y ) 称为核函数或光滑函数；i 是所求的 节点，即场点；y 为源点。 采用离散的思想，对上式在求解域内进行离散，其离散方程为： 矿( x ) = 嵋( x ) 蜥( i ) 巧= ，( x ) “，( i ) ( 2 5 2 ) 1 = 1l f f i l 由此就建立了u ( 1 ) 的核函数近似。其中a v , 是节点x ，影响域的度量( 在一维 中代表距离，二维中代表面积) ；川( i ) 为核近似的形函数，( x ) = ( x ) 巧。 1 9 重庆大学硕士学位论文 重构核近似法 式( 2 5 1 ) 受核函数w ( x y ) 影响严重，为了更好地近似( x ) ，将w ( x y ) 前乘系 数c ( 与y ) 一起表示为核函数，则式( 2 5 1 ) 改为： u ( x ) * “6 ( x ) = f “( y ) c ( x ，y ) i x y ) d f 2 ， ( 2 5 3 ) 矗 这就是修改后的近似方程，武中c ( x , y ) 称为校正函数，c ( x , y ) w ( x y ) 称为重 构核函数。通理，将上式在求解域内用个节点进行离散，其离散形式为： 矿( x ) = c ( 马) 一( i x ，( i ，) 巧= 芝：州k ( x ) “( x ，) ( 2 5 4 ) f o l；i 其中；( x ) = c ( x , x ，) w a x x ，) 巧 单位分解法与h p 云团法 单位分解法是用一些以节点工，为中心，半径为h i 的子域q ，来覆盖整个求