初一数学第三讲绝对值家长辅导版.pdf

唯思达教育 初一数学精讲班 第三讲绝对值 教师版 第 1 页 共 10 页 第三讲 绝对值 绝对值是有理数中非常重要的组成部分， 它其中相关的基本思想及数学方法是初中数学学 习的基石，希望同学们通过学习、巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。 绝对值的定义及性质 绝对值 简单的绝对值方程 化简绝对值式，分类讨论（零点分段法） 绝对值几何意义的使用 绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。 绝对值的性质： （1） 绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|0，这是绝对值非常重要的性质； a （a0） （2） |a|= 0 （a=0） （代数意义） -a (a0) （3） 若|a|=a，则 a0；若|a|=-a，则 a0； （4） 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|a， 且|a|-a； （5） 若|a|=|b|，则 a=b 或 a=-b； （几何意义） （6） |ab|=|a|b|；| b a |= | | b a （b0） ； （7） |a| 2 =|a 2 |=a 2 ； （8） |a+b|a|+|b| |a-b|a|-|b| |a|+|b|a+b| |a|+|b|a-b| 内容概述 绝对值的定义及性质 唯思达教育 初一数学精讲班 第三讲绝对值 教师版 第 2 页 共 10 页 例 1 （1） 绝对值大于 2.1 而小于 4.2 的整数有多少个？ （2） 若 ab|b|，则下面哪个答案正确（ ） a.ab b.a=b c.ab d.无法确定 分析：选择 d。 巩固 若|x-3|=3-x，则 x 的取值范围是_ 分析：若|x-3|=3-x，则 x-30，即 x3。对知识点 3 的复习巩固 巩固 若 ab，且|a|b|，则下面判断正确的是（ ） a.a0 b.a0 c.b0 d.b0 分析：选择 c 巩固 设 a，b 是有理数，则-8-|a-b|是有最大值还是最小值？其值是多少？ 分析：|a-b|0，-8-|a-b|-8，所以有最大值-8 例 2 （1） （竞赛题）若 3|x-2|+|y+3|=0，则 x y 的值是多少？ （2）若|x+3|+(y-1) 2 =0，求 n xy ) 4 ( 的值 唯思达教育 初一数学精讲班 第三讲绝对值 教师版 第 3 页 共 10 页 分析： （1）|x-2|=0，|y+3|=0，x=2，y=-3， x y = 2 3 （2）由|x+3|+（y-1） 2 =0，可得 x=-3，y=1。 xy 4 = 31 4 + =-1 n 为偶数时，原式=1；n 为奇数时，原式=-1 小知识点汇总： （本源 |a|0 b 2 0） 若(x-a) 2 +(x-b) 2 =0,则 x-a=0 且 x-b=0； 若|x-a|+(x-b) 2 =0,则 x-a=0 且 x-b=0； 若|x-a|+|x-b|=0，则 x-a=0 且 x-b=0； 当然各项前面存在正系数时仍然成立，非负项增加到多项时，每一项均为 0，两个非 负数互为相反数时，两者均为 0 【例 3】 （1） 已知 x 是有理数，且|x|=|-4|，那么 x= （2） 已知 x 是有理数，且-|x|=-|2|，那么 x= （3） 已知 x 是有理数，且-|-x|=-|2|，那么 x= （4） 如果 x，y 表示有理数，且 x，y 满足条件|x|=5，|y|=2，|x-y|=y-x，那么 x+y 的值是多少？ 分析： （1）4，-4 （2）2，-2， （3）2，-2 （4）x=5，y=2，且|x-y|=y-x，x-y0； 当 x=5，y=2 时不满足题意；当 x=5，y=-2 时不满足题意； 当 x=-5，y=2 时满足题意；x+y=-3；当 x=-5，y=-2 时满足题意，x+y=-7。 【巩固】巩固|x|=4，|y|=6，求代数式|x+y|的值 分析：因为|x|=4，所以 x=4，因为|y|=6，所以 y=6 当 x=4，y=6 时，|x+y|=|10|=10； 当 x=4，y=-6 时，|x+y|=|-2|=2; 当 x=-4，y=6 时，|x+y|=|2|=2； 当 x=-4，y=-6 时，|x+y|=|10|=10 【例 4】 简单的绝对值方程 唯思达教育 初一数学精讲班 第三讲绝对值 教师版 第 4 页 共 10 页 解方程： （1）05|5| 2 3 = +x （2）|4x+8|=12 （3）|3x+2|=-1 （4）已知|x-1|=2，|y|=3，且 x 与 y 互为相反数，求yxyx4 3 1 2 的值 分析： （1）原方程可变形为：|x+5|= 3 10 ，所以有 x+5= 3 10 ，进而可得：x=- 3 5 ，- 3 25 ； （2）4x+8=12，x=1，x=-5 （3）此方程无解 （4）|x-1|=2，x-1=2，x=3，x=-1，|y|=3，y=3，且 x 与 y 互为相反数，所以 x=3， y=-3，244 3 1 2 = yxyx 【例 5】 若已知 a 与 b 互为相反数，且|a-b|=4，求 1 2 + + aba baba 的值 分析：a 与 b 互为相反数，那么 a+b=0。 1 2 + + aba baba =, 4 , 4 | , 10 0 1)( = = = + = + + babaab a ab baa abba 当 a-b=4 时，且 a+b=0，那么 a=2，b=-2，-ab=4； 当 a-b=-4 时，且 a+b=0，那么 a=-2，b=2，-ab=4； 综上可得 1 2 + + aba baba =4 【例 6】 （1） 已知 a=- 2 1 ，b=- 3 1 ，求 |32|34| 2 |2| 4 )2( |42| 2 + + + + abbaba ba 的值 （2） 若|a|=b，求|a+b|的值 （3） 化简：|a-b| 分析： （1）原式= 7 18 |31|3 3 4 | 2 | 3 2 2 1 | 4 ) 3 2 2 1 ( | 3 4 1| 2 = + （2）|a|=b，我们可以知道 b0，当 a0 时，a=-b，|a+b|=0；当 a0 时，a=b，|a+b|=2b （3）分类讨论。 化简绝对式 唯思达教育 初一数学精讲班 第三讲绝对值 教师版 第 5 页 共 10 页 当 a-b0 时，即 ab，|a-b|=a-b； 当 a-b=0 时，即 a=b，|a-b|=0； 当 a-b0 时，即 ab，|a-b|=b-a。 【巩固】 化简： （1）|3.14-| （2）|8-x|（x8） 分析： （1）3.14，3.14-0，|3.14-|=-3.14 （2）x8，8-x0，|8-x|=x-8。 【例 7】有理数 a，b，c 在数轴上对应点如图所示，化简|b+a|+|a+c|+|c-b| 分析：|b+a|+|a+c|+|c-b|=b+a-（a+c）-（c-b）=2b-2c 【巩固】已知 a，b，c 在数轴上的位置如图所示，化简|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a| 分析：|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|=-a+b-c-a+c+b-a=2b-3a 【巩固】数 a，b 在数轴上对应的点如图所示，是化简|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a| 分析：|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a|=-（a+b）+（b-a）+b-（-2a）=b 【例 8】 （1）若 a b a ，化简|a|-|b|+|a+b|+|ab| （2）若-2a0，化简|a+2|+|a-2| （3）已知 x|z|x|,求|x+z|+|y+z|-|x-y|的值 分析： （1）若 a b a ，a0,b0,a+b0 |a|-|b|+|a+b|+|ab|=-a+b-a-b+ab=ab-2a (2)因为-2a0，所以 a+20，a-20，|a+2|+|a-2|=(a+2)-(a-2)=4 (3)由 x00 可得：y|x|,可得：yxz;原式=x+z-y-z-x+y=0 【巩固】如果 0m10 并且 mx10，化简|x-m|+|x-10|+|x-m-10| 分析：|x-m|+|x-10|+|x-m-10|=x-m+10-x+m+10-x=20-x 【例 9】 （1）已知 x-3,化简|3+|2-|1+x| （2）若 a0，试化简 |3| |3|2 aa aa 分析： （1）当 x-3 时，|3+|2-|1+x|=|3+|2+1+x|=|3+|3+x|=|3-3-x|=|-x|=-x c b 0 a a 0 c b a 0 b 唯思达教育 初一数学精讲班 第三讲绝对值 教师版 第 6 页 共 10 页 （2） |3| |3|2 aa aa = |3| 32 aa aa + = a a 4 5 =- 4 5 【例 10】若 abc0，则 |c c b b a a +的所有可能值 分析：从整体考虑： （1）a，b，c 全正，则 |c c b b a a +=3； （2）a，b，c 两正一负，则 |c c b b a a +=1； （3）a，b，c 一正两负，则 |c c b b a a +=-1； （4）a，b，c 全负，则 |c c b b a a +=-3 【巩固】有理数 a，b，c，d，满足1 | = abcd abcd ，求 d d c c b b a a| +的值 分析：有1 | = abcd abcd 知 abcd0，所以 a，b，c，d 里含有 1 个负数或 3 个负数： （1） 若含有 1 个负数，则 d d c c b b a a| +=2； （2） 若含有 3 个负数，则 d d c c b b a a| +=-2 【例 11】化简|x+5|+|2x-3| 分析：先找零点。x+5=0，x=-5；2x-3=0，x= 2 3 ，零点可以将数轴分成几段。 当 x 2 3 ，x+50,2x-30，|x+5|+|2x-3|=3x+2； 当-5x 2 3 ，x+50,2x-30，|x+5|+|2x-3|=8-x； 当 x-5，x+50,2x-3，|x+5|+|2x-3|=-3x-2 【巩固】化简：|2x-1| 分析：先找零点。2x-1=0，x= 2 1 ，依次零点可以将数轴分成几段 （1） x0，|2x-1|=2x-1。也可将（2）与（1）合并写出结果 【例 12】求|m|+|m-1+|m-2|的值 分析：先找零点，m=0，m-1=0，m-2=0，解得 m=0,1,2 依这三个零点将数轴分为四段：m0,0m1,1m2，m2。 当 m0 时，原式=m（m-1）-（m-2）=-3m+3 当 0m1 时，原式=m-（m-1）-（m-2）=-m+3 当 1m2 时，原式=m+（m-1）-（m-2）=m+1 当 m2 时，原式 m+(m-1)+（m-2）=3m-3 |a|的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离 |a-b|的几何意义：在数轴上，表示数 a，b 对应数轴上两点间的距离 【例 13】求|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|的最小值 分析：由上题可知，本题中的式子值应为 x 所对应的点分别到 3,5,2，-1，-7 所对应的点距 离和。通过数轴可以看到，当 x=2 时，五段距离的和有最小值 16。这里我们可以把 小学奥数中的相关知识联系到一起讲解： 【小学奥数相关题目】如图，在接到上有 a、b、c、d、e 五栋居民楼，现在设立一个邮筒， 为使五栋楼的居民到邮筒的就努力之和最短，邮局应立于何处？ 分析：我们来分析以下 a、e 两个点，不论这个邮筒放在 ae 之间的哪一点，a 到邮筒的距 离加上 e 到邮筒的距离就是 ae 的长度。也就是说邮筒放在哪不会影响这两个点到 邮筒的距离之和。那么我们就使其他的 3 个点到邮筒的距离之和最短，再看为了使 b、d 两个到邮筒的距离之和也是不变的，等于 bd。最后，只需要考虑 c 点到邮筒 的距离最近就行了。那么当然也就是把邮筒放在 c 点了。这里就体现了一个“向中 心靠拢的思想” 题后小结论： 求|x-a1|+|x-a 2|+|x-an|的最小值： 当 n 为奇数时，把 a1、a2、an从小到大排列，x 等于最中间的数值时，该式子的值 最小。 绝对值几何意义的应用 a b c d e 唯思达教育 初一数学精讲班 第三讲绝对值 教师版 第 8 页 共 10 页 当 n 为偶数时，把 a1、a2、an从小到大排列，x 取最中间两个数值之间的数（包括 最中间的数）时，该式子的值最小。 【巩固】探究|a|与|a-b|的几何意义 分析：|a|即为表示 a 的点 a 与原点之间的距离，也即为线段 ao 的长度。 关于|a-b|，我们可以引入具体数值加以分析： 当 a=3，b=2 时，|a-b|=1； 当 a=3，b=-2 时，|a-b|=5； 当 a=3，b=0 时，|a-b|=3； 当 a=-3，b=-2 时，|a-b|=1； 从上述四种情况分别在数轴上标注出来，我们不能难发现：|a-b|对应的是点 a 与点 b 之间的距离，即线段 ab 的长度。 【巩固】 设 a1、 a2、 a3、 a4、 a5为五个有理数， 满足 a1 a2 a3 a4 a5,求|x- a1|+|x- a 2|+|x- a3|+|x- a4|+|x- a5|的最小值 分析：当 x= a3时有最小值，a4+ a5- a1- a2 【例 14】设 abc,那么 a+b-c= 分析：根据题意可得：a=1，b=-2，c=-3，那么 a+b-c=0 或 2 【例2】 已知(a+b) 2 +|b+5|=b+5,且|2a-b-1|=0，那么 ab= 分析：因为(a+b) 2 +|b+5|=b+5,我们可以知道 b+50，所以原式可以表示为： (a+b) 2 +b+5=b+5，(a+b) 2 =0，a=-b，又因为|2a-b-1|=0，进而 2a-b-1=0，进而 2a-b-1=0,3a=1，a= 3 1 ，b=- 3 1 ，ab=- 9 1 【例3】 对于|m-1|，下列结论正确的是（ ） a.|m-1|m| b.|m-1|m| c. |m-1|m|-1 d. |m-1|m|-1 分析：我们可以分类讨论，但那样对于做选择题都过于麻烦了。我们可以用特殊值 法代入检验，对于绝对值的题目我们一般需要带入正数、负数、0,3 种数帮助找到 准确答案。易得答案为 c。 【例4】 设 a，b，c 为实数，且|a|+a=0，|ab|=ab，|c|-c=0，化简|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c| 附加习题 唯思达教育 初一数学精讲班 第三讲绝对值 教师版 第 9 页 共 10 页 分析：|a|+a=0，|a|=-a，a0；|ab|=ab，ab0；|c|-c=0，|c|=c，c0。 所以可以得到 a0，b0，c0； |b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|=-b+（a+b）-（c-b）-（a-c）=b 【例5】 化简：|x-1|-2|+|x+1| 分析：先找零点。x-1=0，x=1，|x-1|-2=0，|x-1|=2，x-1=2 或 x-1=-2，可得 x=3 或 者 x=-1；x+1=0，x=-1；综上所得零点有 1.，-1,3，依次零点可以将数轴分成几段。 （1） x3，x-10，|x-1|-20，x+10, |x-1|-2|+|x+1|=2x-2； （2） 1x3，x-10，|x-1|-20，|x-1|-2|+|x+1|=4； （3） -1x1，x-10，|x-1|-20，x+10，|x-1|-2|+|x+1|=2x+2； （4） x-1,x-10,|x-1|-20,x+10, |x-1|-2|+|x+1|=-2x-2 【例6】 已知有理数 a，b，c 满足1 | =+ c c b b a a ，求 abc abc | 的值 分析：对于任意的整数 a，有1 | = a a ，若1 | =+ c c b b a a ，则 a，b，c 中必 是两正一负，则 abc0，则 x+y 的值为多少？ （2）解方程：|4x-5|=8 分析： （1）x=2，y=3， a c b (b) (a) a c b (b) (a) d 练习三 唯思达教育 初一数学精讲班 第三讲绝对值 教师版 第 10 页 共 10 页 当 x=2，y=3 时，不满足 x-y0； x=2，y=-3 时，满足 x-y0，那么 x+y=-1