（基础数学专业论文）局部对称空间中子流形的pinching问题(1).pdf

摘要 本文主要研究局部对称黎曼流形中子流形的内蕴刚性，推广了常截面曲率 流形中相应子流形的相应结论 第一部分简要介绍了子流形的基本理论和公式，包括子流形的概念，基本 方程及活动标架法下的计算公式 第二部分在介绍局部对称黎曼流形以后，分别给出了其中具有平行平均曲 率向量的子流形，伪脐子流形，具有平行平均曲率向量的伪脐子流形及极小子 流形的有关计算公式 第三部分首先研究了局部对称共形平坦黎曼流形中具有平行平均曲率向量 的伪脐子流形，得到了这类子流形第二基本形式模长平方关于外围空间r i c c i 曲率的一个p i n c h i n g 定理，推广了纪永强的有关常曲率黎曼流形中具有平行 平均曲率向量的伪脐子流形的类似结论；接着研究了局部对称共形平坦黎曼 流形中的伪脐予流形，得到了一积分不等式，从而得到了子流形全脐的一个充 分条件 第四部分则考虑的是局部对称黎曼流形中的极小子流形与具有平行平均曲 率向量的伪脐子流形的刚性问题对于极小子流形，得到了有关截面曲率的一 个很好的p i n c h i n g 条件，不仅推广而且改进了丘成桐的球面中极小子流形的 相应p i n c h i n g 定理；对于具有平行平均曲率向量的伪脐子流形，得到了子流形 全脐的一个条件，也是对纪永强的有关常曲率黎曼流形中具有平行平均曲率 向量的伪脐子流形相应结论的推广 关键词 局部对称，共形平坦，平行平均曲率向量，伪脐 a b s t r a c t t h et h e s i si sm a i n l yt os t u d yt h ei n t r i n s i cr i g i d i t yf o rc o m p a c ts u b m a n i f o l d si n l o c a l l ys y m m e t r i cr i e m a r mm a n i f o l d s ，a n dg e n e r a l i z et h er e s u l t so fs u b m a n i f o l d si n c o n s t a n ts e c t i o n a lc u r v a t u r er i e m a n nm a n i f o l d s i nt h ef i r s t s e c t i o n ，w ed i s c u s s e ds o m ef u n d a m e n t mt h e o r i e sa n df o r m u l a so f s u b m a n i f o l d s i nt h es e c o n ds e c t i o n a f t e rg i v i n g 如ed e f i n i t i o no ft h el o c a l l ys y m m e t r i cr i e - m a 丑nm a n i f o l d ，t h e nw e 百v et h ei b r m u l a sc o n c e r n e df o rs e v e r a ls u b m a n i f o l d si ni t ， i nt h et h i r ds e c t i o n ，w ef i r s ts t u d i e dt h ep s e u d o u m b f l i c a ls u b m a n i f o l dw i t hp a x a u e lm e a j ac u r v a t u r ev e c t o ri nal o c a l l ys y m m e t r i cc o n f o r m a l l yf l a tr i e m nm a n - i f o l d ，a n dg e tap i n c h i n gt h e o r e mo nt h es q u a r eo ft h en o r mo ft h es e c o n df u n d a - m e n t a lf o r m ，w h i c hg e n e r a l i z e dat h e o r e mf o rp s e u d o u m b i h c a ls u b m a n i f o l d sw i t h p a r a l l e lm e a nc u r v a t t 拔ev e c t o ri nc o n s t a n ts e c t i o n a lc u r v a t u r er i e m a n nm a n i f o l d s b yj iy o n g - q i a n g s e c o n d l y , w ec o n s i d e r e dt h ep s e u d o u m b i l i c a ls u b m a n i f o l di nal o - c a l l ys y m m e t r i cc o n f o r m a l l yf i a tr i e m a n nm a n i f o l d ，a n do b t a i n e dai n t e g r a li n e q u a l - i t y , t h e ng e tas u f f i c i e n tc o n d i t i o no ft o t a l l yu m b i l i c a ls u b m a n i f o l d s i nt h ef o u r t hs e c t i o n ，w es t u d i e dt h ei n t r i n s i cr i g i d i t yf o rm i n i m a ls u b m a n i f o l d s a n dp s e u d o u m b i i l c a ls u b m a n i f o l d sw i t hp a r a l l e lm e nc u r v a t u r ev e c t o ri nal o c a l l y s y m m e t r i cr i e m a n nm a n i f o l d a st om i n i m a ls u b m a n i f o l d s ，w eg e tag o o dp i n c h - i n gc o n d i t i o no ns e c t i o n a lc u r v a t u r e ，a n di tg e n e r a l i z e da n di m p r o v e dat h e o r e mf o r m i n i m a ls u b m a n i f o l d si nas p h e r eb yy a ust a st op s e u d o u m b i l i c a ls u b m a n f f o l d s w i t hp a r a l l e lm e a nc u r v a t u r ev e c t o r ，w eg e tas u f f i c i e n tc o n d i t i o no ft o t a l l yu m b i l i c a l s u b m a n i f o l d s ，w h i c hg e n e r a l i z e dat h e o r e mf o rp s e u d o u m b i l i c a ls u b m a n i f o l d sw i t h p a r a l l e lm e m ：lc u r v a t u r ev e c t o ri nc o n s t a n ts e c t i o n a lc u r v a t u r er i e m a n nm a n i f o l d s b yj iy o n g - q i a n g 。 k e yw o r d s l o c a l l ys y m m e t r i c ，c o n f o r m a l l yf l a t ，p a r a l l e lm e a nc u r v a t u r ev e c t o r ，p s e u d o u m b i l i c a l 。 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究 工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律后果由本人承担。 论文作者签名：喻两寅时间：抛6 年岁月“日 学位论文使用授权说明 本人完全了解湖北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本； 学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务 学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文： 在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。 ( 保密论文在解密后遵守此规定) 论文作者签名：喻诵韵 签名日期：洲，年3 - 月二占日 。；。勇钾 导师签名：1 _ 签名日期：z 耐年i - 月，口日 子流形基本理论和公式 1 1 子流形的概念及基本方程 设( ，口) 是n + p 维黎曼流形，m 是n 维微分流形，：m 斗是浸入 浸入，自然的诱导出m 上一个度量g = 1 9 ，这样m 也成为黎曼流形，且 ，：m - + 是黎曼流形m 到n 的等距浸入此时m 称为n 的黎曼子流形( 简 称为子流形) p 称为子流形m 在n 中的余维数特别，当p - 1 时，称m 为 n 的超曲面。 ，：m 是浸入，因而在局部上是嵌入由于我们的计算是在局部上进 行的，因而可假设m 已嵌入在n 中将n 上的黎曼联络记为亏对m ， 用略m 表示b m 在b 中的正交补集于是 死= 死m o 玲m 对v x b n ，则有 x = x r + x 上，x t 死m ，x 上丁 m b 的p 维子空间蛩m 称为m 在点x 的法空间令 t 1 m = u 黠m ， z e m 它称为m 的法丛于是 t = t m o t 上m 设x ，y 蛇( m ) ( m 上全体g o 。向量场的集合) ，根据【1 中命题1 1 3 知守。y 有意义( 或理解为将x ，y 延拓为n 上的向量场再作运算) ，其正交分解记为 v 。y v 。y + b ( x ，y ) ，( 1 1 1 ) 其中v 。y 和b ( x ，y ) 分别表示m 的切向和法向分量 命题1 1 1v 是m 作为黎曼流形( m g ) 的黎曼联络 证对v x ，y z 孵( m ) ，b c o 。( m ) ，由( 1 1 1 ) ，有 亏t x ( y + z 1 = ( t x y + v x z = v x y + v x g + b ( x ，y ) + b ( x ，z )( 1 1 2 ) 1 另一方面 v x ( y + z ) = v 。( y + z ) + b ( x ，y + z ) ( 1 1 3 ) 比较上面两式右端的切向部分，即得 同样，易知 而 另外 v 。( y + z ) = v x y + v x z v x + y z = v x z v y z v n x ( b y ) = o b v x y + ( x b ) y = a ( x b ) y + a b ( v x y + b ( x ，y ) ) 钆x ( b y ) = v 。x ( b y ) + b ( a x ，b y ) 比较( 1 1 4 ) 与( 1 1 5 ) 右端的切向部分，则有 v a x ( b y ) = o ( x 6 ) y + a b v x y 可见v 为m 上的仿射联络又因为 因而有 最后由于 0 = 专t x ( y ) 一亏7 v ( x ) _ 【x ，y ( 1 1 4 ) ( 1 1 5 ) = v x y v y x + b ( x ，y ) 一b ( x ) 一【x ，y 】，( 1 1 6 ) v x y v y x i x ，y = 0 x ( y z ) = ( 审x ( y ) ，z ) + ( y ，v x ( z ) ) = v x y + b ( x ，y ) ，z ) + y v x z + b ( x ，z ) ) = ( v x y , z ) + ( y v x z ) 因此v 为( m ，g ) 的黎曼联络 如果分别比较( 1 1 2 ) 与( 1 1 3 ) 、( 1 - 1 4 ) 与( 1 1 5 ) 的法向部分，则有 s ( x ，y + z ) = b ( x ，y ) + b ( x ，z )( 1 1 7 ) b ( a x ，b y ) = o b b ( x ，y ) ( 1 1 8 ) 由( 1 1 6 ) 还得 b ( x ，y ) = b ( ex ) ( 1 1 9 ) 令耻m 表示m 上光滑法向量场的集合，于是有下列命题 命题1 1 2映射b ：跣( m ) x 虢( m ) - + 舭( m ) 是对称的和c 。( m ) 双线性 的，它在每点。m ，诱导了一个对称双线性映射岛：t x ( m ) 乃( m ) 斗硭m b 称为子流形m ( 或等距浸入，) 的第二基本形式膏= 去t r b 称为子流 形的平均曲率向量平均曲率向量的长度称为平均曲率，记为h 若x 蛇( m ) ，虢上( m ) ，令 v x = 一a x + v 女毛( 1 1 1 0 ) 其中一a i x 和v 女分别表示m 的切向和法向分量 命题1 1 3 映射a ：睨( m ) 对( m ) - 孵( m ) ，( x ，) _ 生x 是c 。( m ) 双 线性的因而对任一点。尬( a x ) 。仅依赖于和岛，它诱导了一个映射 a 。：t x ( m ) 瑶m _ + t x m 证a 关于加法线性是明显的设a ，b c o 。( m ) ，于是有 守。x ( 蜒) = o ( x 6 ) f b a f ( x ) + 6 v 女 另一方面 审。x ( 蟮) = 一a b f ( a x ) + v & ( 6 ) 比较上面二式的切向和法向部分，得 a b f ( a x ) = a b a e x ， ( 1 1 1 1 ) v & ( 蜷) = 口( x 6 k + 。6 v 支f ( 1 1 1 2 ) 由( 1 1 1 1 ) 即知命题得证 命题1 1 4v 上是t 上m 上关于诱导度量的度量联络 证由( 1 1 1 2 ) 及v 上具有的明显的加法线性，可知v 上为法丛上的联络 另外，对f ，目瓣上( m ) ，有 v x f = 一a e x + v 女， v t x v = 一a x + v 土q ， 3 因而 v 蔓毒，霉) 4 - 喜，v 壹饕) 茹 审x 毒，野+ 毽，9 x v ) = + x 筵，露) i i 。王3 ) 此即说明v 上保持诱导度量，即v 上煜关于诱导度量的度量联络 黻詹篱称v 土为予流形约法联络 命题1 1 _ 5 对任意的x ，y 虢( m ) 和牡( m ) ，有 ( a e x ，y ) 一( b ( x ，y ) ，) ( 1 1 1 4 ) 试白予 ( 一) = 0 ， “ 敌 0 = x ( h ) = ( v x y , 十( e 守x ) = b ( x ，y ) ，) 一( y a f x ) 鼓鑫鞭褥谨 在点z m 对任一法向鬣f 嗡，则a ：b m 砷t m ，x _ x 是m 的 凌空阕致m 串匏线瞧交换。鑫鑫题i 1 。5 还熊它关予瘫强是砖嚣懿，秘骞 ( m x ，y ) = ( x ，血y ( 1 t 1 5 ) 线性波换山称为子流形m 关于法向照f 的w e i n g a r t e n 变换 公式1 1 1 ) 程( 1 1 1 0 ) 分别裁魄子溅澎戆g a u s s 公式箨w e i n g a r t e n 公 式 瑷设袭零n 懿魏率张豢，r 表零m 黪熬率张量。黠v x ，誓z 瓣( 购， 则有 k ( x ，v ) z 一9 x g y g 一( t y v x z 一审泌，明z 由g a u s s 公式( 1 1 1 ) ，得 k ( x ，y ) z = 9 x ( v v z + b ( e 嚣) ) 一审y ( v x z + 露( x ，z ) ) - ( v t x ，r l z + b ( x ，y 】，z ) ) = v x v y z + b ( x ，v y z ) + 9 x b ( e z ) 一v v v x z b ( rv x z ) 一v y b ( x ，髫) 一v 畔，y l z 一曰( ，y l ，嚣) 一r ( x , y ) z + b ( x ，v y z ) 一b ( e v x z ) 一_ b ( p f ，y z ) + 零弘8 f e z ) 一v y b ( x ，彩 4 再利用w e i n g a z t e n 公式，得 k ( x ，y ) z = r ( x ，v ) z a b ( y , z ) x + a b ( xz ) y + b ( x ，v v z ) 一 b ( f v x z ) 一b ( ，1 ， ，z ) + v 支b ( y i z ) 一v p b ( x ，z ) 因此对v w 跪( m ) ，有 暇( x ，y ) z ，) = ( r ( x ，y ) z ，) 一( a 曰( k z ) x ，w ) + ( a b ( x ，z ) r ) 利用( 1 1 1 4 ) ，得 k ( x ，y ) z ，w ) = ( r ( x ，y ) z ，w ) + ( b ( x ，z ) ，b ( y ) ) 一( b ( rz ) ，b ( x ，w ) ) 即有 命题1 1 6 ( g a u s s 方程) r ( x ，f 互w ) = k ( x ，y i z ，w ) + b ( x ，z ) ，b ( y ，) ) 一( b ( y ，z ) ，b ( x ，) ) 在( 1 - 1 1 6 ) 中，再考虑k ( x ，y ) z 的法向部分( k ( x ，y ) z ) 上则有 ( k ( x ，y ) z ) j = b ( x ，v y z ) 一日( y ，v x z ) 一b ( 【x ，y ，z ) + v 支b ( y z ) 一v 士b ( x ，z ) 对第二基本形式b ，定义其共变微分寺x b 如下 并注意 ( 亏x b ) ( y ，z ) = v 士b ( rz ) 一b ( v x y , z ) 一b ( y ，v x z ) 则有 命题1 1 7 ( c o d a z z i 方程) 【x ，y 】= v x y v y x ( k ( x ，y ) z ) 上= ( 亏x b ) ( z ) 一( 亏。b ) 扛，z ) 法丛t 上( m ) 关于联络v 上的曲率张量r 上定义如下：对v x ，y 乳( m ) ，f 舭( m ) ，令 r 上( x ，y ) = v 圭v 专一v 士v 支f v 占，卅f ( 1 - 1 2 0 ) 0 - 对口虢上( m ) ，完全类似于上面的计算，可得 ( k ( x ，y ) ，q ) = ( r 上( x ，y ) f + b ( y ia x ) 一b ( x ，a f y ) ，”) 命题1 1 _ 8 ( r i c c i 方程) ( k ( x ，】，) f ) 上= r j ( x ，y ) f + b ( y a f x ) 一b ( x ，a f ) v ( 1 1 _ 2 1 ) 【a f ，a q 】= a a 叶la 叮a ， 则r i c c i 方程也可写为 ( k ( x ，y ) f ，q ) 一( 【 ，a 柚x ，】，) ( 1 1 2 2 ) 1 2 活动标架法下的计算 设m 是n + p 维黎曼流形n 的n 维黎曼子流形在n 上选取局部幺正标 架场e l e n ，e l ，8 n + p ，使得限制在m 上时e l e n 与m 相切，e n + i ，e 。+ p 与m 正交另外，为了方便起见，约定指标的取值范围如下： 令u 。是e a 的对偶标架，当限制在m 上时，有 n 的第1 结构方程是 c 。 。doa)ab=+三waa：b。au日 c - 。s ， 外微分( 1 2 2 ) ，并利用第1 结构方程( 1 2 3 ) ，得 0 = = i 撕 由c a f t a n 引理，有 = 一嗨吩，h a 。= 吩 ( 1 2 4 ) 同样，由第1 结构方程( 1 2 3 ) ( 限制在m 上) ，有 = 屿， w i j + w j i = 0 ( 1 2 5 ) j 即是m 的联络形式 因此，限制在m 上，n 的联络形式( 矩阵) 为 ( c d a b ) =哟咄。 k ， 其中 岫n = 吩出 j 而由( 1 1 1 0 ) ，易知u 叩即为法丛的联络v 上的联络形式，即有 则 v 上e 。= u 卵o e 口 占 设b 是子流形m 的第二基本形式，对v x ，y 驼( m ) ，令 所以 ( 1 2 6 ) b ( x ，y ) = h 。( x ，y ) e 。， ( 1 2 7 ) q b ( e l ，勺) = h 。( e ，) e 。= ( 审。勺) 上= q 。( e t ) e 。 a = 咏( q ) = 啪。= 嚣e 。 n kdq h a ( e i e j ) = 嚣 令 x = 置岛，y = m e ， ii 利用( 1 2 8 ) ，可得 b ( x ，y ) = h 。( x ，y ) e 。 a = h 。( 墨e ，y j e j ) e 。= 五玛蝎 ( 1 2 8 ) 7 向 ( w i 。o 岫o e 。) ( x ，y ) t - a = ( 驰。叼oe n ) ( x ，y ) a ，t j = 嚣u ：( x ) ( y ) a j j = 吩啦( x k ) ( m e z ) e 。 n ，i , j k = 恐巧 嚣e 。， n 耳j 即有 b ( x ，y ) = ( 0 3 i 。0 咄o e 。) ( x ，y ) i o 因此，我们得到第二基本形式在活动标架下的表达式 b = o 岫0e 。= 蜂u t o w j 0 e 。( 1 舢) i ，n n i , j 上式通常简写为 b = h 嚣w i w j e 。 n ，i , j 因而m 的平均曲翠向量是 膏= b ( e t ) = ( 蛲) e 。n _n 一 m 的平均曲率为 f r 一 嚣= ：、( 蝇) 2 - val n 的第1 i 结构方程为 ( j j ) ( 1 2 1 0 ) ( 1 2 1 1 ) d w a b = w a ca w c b + 晓觚 ( 1 2 1 2 ) c 其中q a 直为n 的曲率形式，故有 而 峨= 岫女 + 挑。 + 七n d w i j 一咄k 哟= n 嵇 k 其中q 订为m 的曲率形式，因此 嚣有 q 露一蛾。 嘲+ 莰西， 口 一；蔷艘渊帆 劬2 一；丢翰删* 钠十三礁) ( 一螺蚍) 将上式右边最詹一项系数反称化，得 一；k , l 翰甜 劬。一j 1 蔷翰t 腓 纰一；磊( i k h j l h j ) w k 神 随嚣右 射= 确斟+ ( 碾蟛一媚幌) 矗 此即g a u s s 方獠 冠榉囊筹i i 结梅方程( 1 2 。1 2 ，褥 一a 岫+ u 妒a w # 。+ j骞 利用( 1 2 4 ) 对上式进行整理，褥 令 ( 1 2 1 3 ) ( 如嚣十嘞蚍 + 磙嘲+ 嘭恤) ”= 磊洒( l 2 1 4 ) ， k 0 嚣 魄= 矾嚣+ 惫+ 媳哟 女 七 k 其中哟称为h t j 的共变导数，因而有 郎 因此 + 3 蝴。，( 1 - 2 1 5 ) 8 嚣 峨 畸= 磊缸一；k 嘶 a w k j ， j k i ( 一 勃) 蛐a w k = i 蟮t 蚴 峨 。j 毒 磊 磅一是耘一毪舒。 此即子流形m 的c o d a z z i 方程。 1 2 1 6 ) 9 再由( 1 2 1 2 ) ，得 山叩= u 。7 叶p + 7 a 咄p + n a p 而 n 南= d w 。口一u 。7 a 叶口 7 其中q 玉为关于法丛联络v 上的曲率形式，因此有 由此知 n 茹= u 。a w i # + 晓。p i 五如玎= 硒d + ( 醒屹一 夺哟 l 它正是m 的p , i c c i 方程 如( 1 2 1 5 ) ， 嚣的二阶协变导数 嚣捌如下； 嗡t m = 砒瓢+ 蝎吨 lz + 3 女啪 ( 1 2 1 7 ) + 孰t 3 w l k + 0 e ， ( 1 _ 2 1 8 ) l占 对式( 1 2 1 5 ) 外微分，利用式( 1 2 1 8 ) 及子流形m 的结构方程得 即 d 虮+ h 嚣l 。d w k k = 砒岛a w k i + 岛 + d 坛a w k j ktk + 毳幽幻+ d ，喝a 啪。+ 0 如佃。， k 88 吩脚 一h 弓a w k 一危3 触j 魄 k , l 七z k , l ， 一l k u t 一 ：女 u k + a w t 七，l 卢，七，l = 跏m a w k i 一 舀蛐女a w k i 一强u 玎a w k i k , lk , lk , t 一 毛u 触 + h 岛a w t i 一； 岛蕊加砷 卢，知，f一知，l ，m + 磊z 劬a w k j 一h t k ta w k j 一h 3 u l ka w 幻 k ，fk ，i k ，z 一 囊u 肚a w k j + 毳a w t j i h 3 k r k f l m w i 口，如k ，f k z ，m + 0 k w k 一 乞 邯a 一 磊u 坷a w z n 口，k卢。七卢，k 一 嚣帅a w z 。+ 8 呐 帅一； 0 磕 z a w i 口，7口，1 p ，f ，k 相消后，左面剩一项，右面剩三项，再约去一1 ，从而得： 所以得 ( h 孰一 孙) u k 叫 k 旦兰 一2 口一l ( 4 1 1 ) 则m “必为以下两种情形之一： ( 1 ) s = 0 ，m “是全测地的 ( 2 ) s = i 兰，m ”或者是s n + 1 ( 1 ) 中的c f i f f o r d 极小超曲面或者是( 1 ) 中 的v e r o n e s s 曲面 本文将外围空间扩展到截面瞌率k n 满足0 d k n sl 的局部对称黎曼 流形中去，得到如下定理： 定理4 设n 蚪p 是n + p 维截面曲率k n 满足0 dsk n 1 的局部对称 黎曼流形，m “是n 叶p 的1 2 维紧致极小子流形，k 是m n 在每一点截面曲 率的下确界且满足t k兰坚3n_=p=_11；群sgn。 一2 p 1j + 幽3 + 三2 ( 4 1 ，2 ) 一 + 一1 ) 】 十 s 9 n ( p 一1 ) 1 、7 则m “必为下列两种情形之一： ( 1 )s = o ，m ”是全测地的且也是局部对称的 ( 2 ) s 2 两事蠡两，m 8 或者是s n + l ( 1 ) 中的c l i f f o r d 极小超曲面或者是 s 4 ( 1 ) 中的v e r o n e s s 曲面 注在定理4 中若令d = 1 则叶p 为常曲率空间扩+ 9 ( 1 ) ，条件( 4 1 ，2 ) 变 为k ；一面耳甄1 厕，由于一研鬲西1 而貉，所以此时改进了定理 c 中的条件( 4 1 1 ) 因此定理4 不仅推广而且改进了丘成桐的结论定理c 4 1 2 定理4 的证明 2 4 定理的证明要用到如f 引理； 引理l 8 】设”p 是截面曲率k 满足0 d k 1 的黎曼流形，则 i k a b c d l 昙( 1 一j ) u 其中a ，b ，c ，d 互不相同。 证明： 在式( 2 5 3 ) 中取a = l 得 h i i a h i i = 2 嚣( r 。m + 瓢d k ) + 阿呱毋) 】2 4 嚣 & 所一t r ( 凰脚) 虬坼 ( 41 ，3 ) 对固定的n ，设好是矩阵( 吩) 的特征值，则 嚣( r m k i k + a 玎女) = ；( 碍一碟) 2 忍鼬 由引理1 得 墨2 ( 碍一磺) 2 = n k ( 碍) 2 ( 4 1 4 ) i , ki 嚣 曩口讣= ? 曼触旧嗽| | 玩触 卢，t ， 佃q ，t 知) s ；( 1 一d )删 曼i ；( 1 一d )( ( 碍) 2 + ( 磊) 2 ) 芦，t ，七( 卢a ，i k ) 。 口，t ，七( 口n ，? ) ；( 1 - d ) ( p 一1 ) ( n 一1 ) ( 碍) 2 + ( 铆 ( 4 _ l - 5 ) l 卢，i ，七 由( 4 1 4 ) ，( 4 1 5 ) 式对。求和得 0 ( 象；r 。刈+ 景 r 。d k ) n k s ( 4 1 6 ) 2 5 由式( 3 1 6 ) 得 由文献 2 有 嚣 戋尉b ；n ( p _ 1 ) ( 1 卅s ( 4 1 7 ) t r ( 凰唧) 玩啡= t r ( g b g o k 。n s ( 4 1 8 ) ( 打瑶) 2 ；( 打磁) 2 = 了s 2 由( 4 1 6 ) 一( 4 1 9 ) 式，( 4 1 3 ) 式化为 ( 4 1 9 ) 惕；研s + 嘶- - p n - - ；咖_ 1 ) ( 1 叫 ( 4 1 1 0 ) 又据定理4 中条件( 4 1 2 ) 有( 4 1 1 0 ) 式为 炉啦1s + 枷e 篙慧等等一雨 + 堑等幽+ 尹1 - p n - ；叩_ 1 ) ( 1 卅) p 1 + s g n ( p 一1 ) 】 故有 2 6 剐( 2 d 1 ) n s ( 1 一( p 一1 ) m 一1 ) 一 1 + ；哪。一1 ) 懈 ( 4 1 i i ) ；s = ( ) 2 + 嚼屿( 昌。) 2 a ，i ， ka ， ， k 一石瓦- = f 南s ( 2 6 一1 ) n i 8 ( 1 6 ) ( p 将上式两边积分得 【1 + i 1s 9 n ( p 1 ) 姗 ( 4 1 1 2 ) 厶s ( 2 6 - 1 ) n 一百8 ( 1 叫( p 1 ) ( n _ 1 ) ；_ 【1 + ；踟( p - 1 ) 懈d 。( 4 1 1 3 ) 而由文献 9 知 厶s ( 2 6 - 1 ) n j 8 ( 1 叫( p _ 1 ) ( n _ 1 ) - 1 + 扣n ( p _ 1 ) 搠d 哳。( 4 “4 ) 从而由( 4 1 1 3 ) 式与( 4 1 1 4 ) 式得 厶s ( 2 6 1 ) n 百8 ( 1 6 ) 扫一1 ) m 一1 ) 一【l + ；s g n ( p 一1 ) s ) d v m = 。( 4 a a 5 ) 又由( 4 1 1 2 ) 式与( 4 1 1 5 ) 式知 ( 弓) 2 d v m = o j m a ，i j ，k 即九嚣k = 0 ，故s 为常数，这样有 所以 或 s ( ( 2 d 一1 ) n 一；( 1 6 ) ( p 一1 ) ( n - 1 ) s = 0 i 5 9 n ( p 1 ) 蝌= 0 s 2 r j 彘【( 2 6 一1 ) n 百8 ( 1 6 ) ( p 一1 ) ( n 1 ) 】 2 7 据文献 9 中定理b 知结论成立 4 2 局部对称黎曼流形中具有平行平均曲率向量的伪脐子流形 4 , 2 1 引言及主要定理 在文 3 1 中已有如下定理： 定理d 设m “是n “+ ，( c ) 中具有平行平均曲率向量的紧致伪脐子流形， 若m n 的r i c c i 曲率满足： 等( c + h 2 ) ( 4 叫 n 十4 则m “是n 叶( c ) 的全脐子流形。 本文将外围空间扩展到截面曲率k n 满足0 d k n 1 的局部对称黎曼 流形中去，得到如下定理： 定理5 设n + p 是n + p 维截面曲率k n 满足0 j s k n 1 的局部对称 黎曼流形，m “是叶，中具有平行平均曲率向量的紧致伪脐子流形，若m n 的r i c c i 曲率满足 ( 4 + n ) 魂j r ；下 【：( 1 一占) n ( p 一2 ) + ( 1 + 日2 ) ( n 2 + 2 n 一4 ) n + 2 n ( 1 6 ) 】+ ；( 1 一d ) 一1 ) 女n l h i( 4 2 2 ) 其中r = 打哦和中曲率h 都是常数，常数j 满足0 d 茎1 ，那么m “ v e # n - l - p 是 p 押的全脐子流形 注当d = 1 即a 严押= s 9 ( 1 ) 时，条件( 4 2 2 ) 就是条件( 4 2 1 ) 中c 取1 的结果，因此定理5 是对定理d 的一个推广。 4 2 2 定理5 的证明 首先给出定理的证明要用到的一个重要引理及该引理的证明： 引理2 设叶p 是n + p 维截面曲率k n 满足0 6 k n 1 的局部对称 黎曼流形，m “是“却中具有平行平均曲率向量的紧致伪脐子流形，q 为 m “上每点l l i c c i 曲率的下确界，则 ( 1 ) r n ( n 一1 ) ( 1 + h 2 ) 一n q( 4 2 3 ) ( 2 )眇( 砩璐) 一打( 凰绵) 2 】2 【一1 ) ( 1 + h 2 ) 一引r( 4 2 4 ) o 9 # n + p 2 8 证明，因为n 叶p 是伪脐子流形，所以式( 2 3 1 ) 成立，即 矿9 = h s i j 由( 2 2 3 ) 式得o n + p 时， 嗡= 一镌 j 【j 手” 又据式( 1 2 1 3 ) 有 q 凰= 嘞巧= 硒订+ e h i i h j j 一( 0 ) 2 】 j ( j i )j ( j # i ) 口，j l m 一1 ) 1 + 妒妒一( 矿) 2 + 噶唱一( 0 ) 2 j tj lz n + pj ij i = ( n 一1 ) + ( n 一1 ) h 2 0 + e 一( ) 2 一e ( 0 ) 2 】 卢n 十pj t = ( n 一1 ) ( 1 + 日2 ) 一( 0 ) 2 口n 十p ， 所以 e ( 九0 ) 2 兰( n 一1 ) ( 1 + 日2 ) 一o ( 4 2 5 ) 8 n + p 。i 对上式两边关于i 求和得r n m 一1 ) ( 1 + h 2 ) 一- q ( 1 ) 得证，下证( 2 ) ： 对于a n + p ，因吼= ( 嚣) 是n 阶对称方阵，所以可令 嚣= 坷如，因为 ( a ? 一弩) 2 2 ( a ? ) 2 + ( 笞) 2 】 从而 打( 醒琊) 一打呱嘞) 2 = ( 碍) 2 ( 0 ) 2 一碍哼( 0 ) 2 甜 = ；( 砰一a ) 2 ( e ) 2 幻( 1 j ) e ( 碍) 2 ( 0 ) 2 + e ( 畸) 2 ( 幅) 2 铂tj = 2 e ( 0 ) 2 】( 碍) 2 i j 两边关于卢( 卢n + p ) 求和，并由式( 4 2 5 ) 得 眇( 醒郦) 一打( 吼绵) 2 】茎2 【e ( 0 ) 2 】( 砰) 2 b # n + p i 卢n + p ，j 2 【m 一1 ) ( 1 + h 2 ) 一日】( ? ) 2 = 2 ( n 1 ) ( 1 + h 2 ) 一q i t , h ： 2 9 两边关于n 求和并得式( 4 2 4 ) 成立。 下证定理5 证明： 在式( 2 4 3 ) 中取a = 1 有 嚣崂= 一n h h i 嚣k a i j 帅+ 4 咏峨口玎一 o “却 a n + po t 口n + p n ，目n + p 押( 凰鳓) 慨一防( 凰毋) 2 2 州蛾2 n 口2 ) 一打( 巩绵) 2 a n w p ，口 q z n + p + n i l 2 r + 2 弓( 螺 ，m 巧自+ 景i 耳赢女神)( 4 2 6 ) a n + p 对于固定的。n + p ，令嗡= 婶，由引理1 得 h i 嚣k a i j n 押；( 1 一d ) 旧 o n 十p n n + p ，妤 s ；( 1 卅妇_ 1 ) 乱( 坩f ) 2 一 a n + p2 4 喂壤肋= 4 触九& 廖n + 芦t 玎 卢n + p ，qi k 2 一卜们，磊，。善雠龛j 一；( 1 6 ) ( n 一1 ) 一 ( 碟) z + ( n 一1 ) ( 铆 卢n + 尹，o t 一i 4 ( 1 一d ) ( n 一1 ) 一2 ) 打碟2 一百4 ( 1 一d ) m 一1 ) 又口邑，。伢琊2p 磊打碍一打蛾2 r 一打磁，由此得 打琊 卢n + p 芦 4 啄缘k 知u 一：( 1 6 ) ( n 一1 ) 5 ( p 一2 ) r + o 一1 ) r r n ，卢n + p ” ( 4 2 7 ) = 一( 1 - - 6 ) ( n 一1 ) ( p 一2 ) r 一百8 ( 1 一d ) n ；b 一2 ) 7 - ( 4 2 8 ) 由式( 3 1 6 ) 得 打呱饰) 鼢=打( 巩嘞) 跳+ e 胁打或 o ，卢n + 尹 d ，卢n + 州卢)a # n 押 = 鼬打成n r n n 却 ( 4 2 9 ) 由式3 ，i 6 ) ，( 3 1 9 ) 前 叭凰嘞) 】2 一眇( 甄鳓) 】2 醇b 如，多 槛，筘* p * 眇( 醒) 】2s t 2 ( 4 2 - l o ) a # n + p 叉 2 嚣 泓+ 款叫一( 碍一磺) 2 甄腓2 n s v ( 4 2 川， a # n + p 檀8 + 参 所以由( 4 2 3 ) ( 4 2 z i ) ，( 4 2 6 ) 化为 h o a h l j 一；嘏( 1 5 ；一1 ) i i n 1 f 一再8 ( 1 5 ) 嚣一2 弦一n f o n 十芦 一f b c n 一1 ) ( 1 十铲) 一礼国】一4 f ( 一1 ) ( 1 + 日窘) 一日】r + n t t 2 t + 2 n 5 r 。r ； ( 4 + 粘) q f 一r f ；( 1 一砷竹( p 一2 ) 十( 1 + 日2 ) ( ”2 + 2 n - 4 ) + 2 n ( 1 d ) l 一鲁( 1 一一1 ) 女| 努l ( 4 2 1 2 ) 所以在条件式( 4 2 2 ) 下有 喝女) 2 + 嗡磺0 ( 4 t 2 - 1 3 ) i j ，奄簿乒拈+ 聋 a # n + 芦 由m n 的紧致性及h o p f , 嬲r 为常数，再由式( 4 2 1 2 ) 和式( 4 2 1 3 ) 得r = 0 帮 嚣一o ( v i ，囊d n + p ) ， ( 4 - 2 i 4 ) 戏 ( 4 + n ) 册一t 静一6 ) n ；( p 一2 ) + ( 1 十日2 ) ( 舻十2 n 一4 ) n“ + 2 n ( 1 5 麓一；( 1 一一1 ) ：n l q h l = 0 ( 4 2 t i 5 ) 当式( 4 2 i 5 ) 成立时，以上所用到的不簿式均为等式，由式( 4 2 8 ) 取等号得 6 = 1