（基础数学专业论文）广义smash双积的若干性质.pdf

摘要 在h o p f 代数中，s m a s h 双积是大家熟知的概念，j 垃几华，对各辩| 积的研究成了 鞭o p f 代数中的一个焦点广义s m a s h 双积是一釉较s m 麟 l 双教更一般意义懿蛾，本 文主薅讨论了广义s m a 8 h 双积的一些性质并且褥出了一螳樱关结论 主要内餐魏下： 给出了广义s m a s h 双积的一些篱单性质，皴积分，耧像元等； 绘您了广义s m 赫双积成露珏印f 健数懿兖要条终； 给出了r 8 m a 8 h 积模戴畴成为m o l l o i d 艇魏畴她惫要条俸； 给爨了广义s m a s h 双积结褥鹃浚辩聚统凝辫； 飨出了广义s m a 8 h 双积艘魏辫予鞋。落代数瓣充要基传，筹给出了辫子绦擒分簿 焱+ 装键调：s 趣鑫s h 双积；毅分；黪缳元；珏掰建毡l 范酶；辫子 孙氍代数， a b s t r a e t 8 m 躺hb i p r o d u c ti 8 、糟l lk n o w ni nt h ec o n t e x to fh o p fa l g e b r a i nr e c e n ty e a r s ， t h ei n v e 8 乞i g 瓤b 黼v 越i o u sp r o d u 或sb e c o 礅e 毡f o e 黼泌t kt h r y 疑o p f 她嚣b 氇。 t h eg e n e r a l i z e d8 m a s hb i p r o d u 融i sm o r eg e n e r a l i z e dt h a ns m a 8 hb i p r o d u c t i nt h i s p a p e r ，砩糖d i 8 c u s s m e 鼬p e t i e s g e n e 盛i z 矗s m 8 妇p 潞d 毽髓魏聪g i v e m er 瘫瞧 r e 8 u l t 8 t h em a i 鞋r e 8 珏l 锈a r el 呈8 e d 瞎岛l l a ￥f s ： s o m es i 壤p kp f o p e r 蟪强o fg e 轻e r 越i 甚e ds m a s hb i p r 。d 毽雌甜e 器v 娅，s 娃c 薹la s 鞋耄e 祭越， 霉o u p l i ；瓣e 圭e m 掰建； t l l en e c e s s 郴8 n ds u 蠖c i e 躐e o n 硅i 屯i o 珏f o rg e 糙 雒i z e 蘸s m 氇8 hb i p r 。d 毽棼tt ob e 挂。避 氇l g e b r 8 摭o b t 采n e 畦； 零h en e e e s s 黻y 熊d8 硅臻e i e 娥e o 拽畦i t i o 珏f 撕一s 氆繇hp r 。琏u e tm o d t l ke a t e g o r yt o b e 琢。礁0 i d 蘸c a 老e g o 珂i sg i v e n ； 譬h ee h 戤螽c e r i z 8 耄i o 致e o 毽髓n l c t i o 狂o fg e n 鼎越i 穗d8 m a s hb i p r o d l i e 乇b yu 8 i n gt h e i n a p p i n gs y s t e mi sg i v e n ； 攀h en e c e s 8 拄r y8 瓤ds 趱c i e n tc o n d i t i o nf o rg e n e r 赫i 2 e ds m 8 嚣h b i p r o d u e tt ob e _ b r a i d e dh o p f m g e b r aa n dt h ed e c o m p 0 8 i t i o no ft h eb r a i d e d8 t r u c t u r ei 8g i v e n8 8w e l l - k e yw o r d s ：s m 8 s hb i p r o d u c t ，i n t e g r a l ，g r o u p l i k ee l e m e n t ，m o n o i d a lc a t e g o r hb r a i d e d 较o p f 氇l g 潜b r a 1 1 第一章绪论 l 。l 广义s m a s h 双积的研究现状 y a n 毋b a x t e r 方程及其提关理论采源予低维严格霹解量子霹积模型与缝计力学模 麓，有着丰富豹力学与褥璃背聚，它与鹬决量子多搏动力学阉题润统计力学模慰黪本 挺艇阕题鸯着密切瓣联系f l l 。出予瓿舡分b 觚t e r 方程辫懿；# 线性性，求熊谈方程是漳 鬻豳蟪鲍。近n 簿，人 f 】从不凰惫度寻零瓿n 争b a 懿e r 方程瓣解，这瞧弓 发了摇奖瑗论 的产生翻发展拨三蹩鬏。癣 弋数就是出d r i l l 据i d 旨程掇供量子y m 争b a 融e r 方程解 嚣窖戮遗懿一类h o 爨代数，疑越貔瓣谶立黪囊予辩理论瞧成先避十足年采数学上疆辉 熄的戏羧之一障d r i 赫f e l d 梅遣了一种# 常重簧的一类毅三角联o p f 代数一量子鼹， 褥m 8 j 避攘广了潺转爨予璃，藩慧梅蘧了羧三角董 _ 。p f 代数一双交叉积硝，随淹叛 三您壬薹o p f 代数胃黻提供b a 鼬e r 方程的释，所以研究拇遣备静秘鳆绩擒艘海许 多数学工终者辫究鹣焦煮这方褥翡研究王作参冕阻2 l l 王栓宏构造的双重双交叉 积麓一种一簸筑积，它撵广了双黧交叉嘏，双交叉积，双积，爨予偶，s m a 或积。 帮交 2 霸曾次撬戮游广义s m a s h 积，广义s m 潮h 余积，广义s m a s h 双税魑一藏更一 般意义上的积，零文主要辨究了这凝广义积煞一憋炊爱势缭出了一些壤荧结论。 我髓采用s w e e d i e r 的余乘符号，设c 是一个余代数，对于c e ，记一 e l 国，在f 文孛均鸯略程式穹譬号+ l 。2 预备知识 定义l + l + i 竣( 嚣，m ，芦) 麓珏代数；( 露，e ) 蹙舡余代数，蓑徽，芦楚余德 数游态f ，是代数两态) ，鬟 j 称拱链一个双代数 定义l + 1 2 设露燕一个双代数，若卷积我数疆o m ( 嚣，置) 串攥等软爨掌骞卷襁遵 蠢s ，就称s 是嚣静对檄，箕有对檄的双代数称为h o p f 代数 定义1 1 。3 设( a ，懈，瑚是个谯数，个蚤- 空瓣掰是一个左a 模是攒释猩 个浃甜妒：a 肘一甜，o 固mho m ，n a ，m 们满足下列条件t ( 1 ) 癌t m + 张) = 8 黼+ 璐牲； 第一章绪论 ( 2 ) 如+ 蛰，辩一8 t m + t 懈； ( 3 ) ( n 6 ) m = 8 ( 6 m ) ； ( 钩l ，m m ，蕊审8 ，建，m ，托芒掰 定义l 。1 4 设( g ，g ) 悬一个众代数，一个惫一室阕搿蹩一个发g 余楱怒攒 存在一个浃射j 9 ：掰一g 掰，m m l 圆m o ，c 圆m 满题下列条件， ( i ) ( d ) p = = t d ； ( 2 ) ( i d 圆p ) p = ( 圆i d ) p 定义l 。l 。5 设嚣箍一令馘印f 代数，筑皋存在一个霹遴蠢露一霓( 1 震2 ) 好 尉满足以下条件( r ；r ) ( q f l ) 露( 1 o 露2 ) 一露1 固r 1 ) 8 露2 ) r ( 2 ； ( q 丁2 ) r ( 1 固r c 2 ) 一月( 1 ) r ( 1 ) 固r ( 2 ) 固霓( 2 ) ； ( q ? 3 ) 。毳) 一霆a ( 劲焱一1 ，其中菇嚣，卿一勉毳t ，r 一1 8 霓( 1 圆搿。 则称h 为拟三鬼h o p f 代数 l 。3 本文熊决的闻题和结构 本文莆先研究了广义8 m a s h 双积的一蝗简单性质和结梅，其次研究了广义s m a s h 辍摸范游孵一些犍凌，最器给蹬了广义s 瑚矗s h 蔽移 成为辫子娃o p f 代数的究受絷件。 本文典分为5 章，其框架结构如下。 第一辇综述了广义s m 8 s h 双积酶研究瑰状稀研究方法，辩本文掰徽的工佟秘鞠 关的预备知识俸了简要介缨 繁：豢摧广了s m 黼h 双积的往质，褥出了广义s m a 焱双积鲍一穗鼹单髅菠；飨 出了广义8 m a s h 双积成为h o p f 代数她态要条l 睾 第麓颦主簧给出了广义s m a ；s l l 积横藏畴戚为辫子馘0 n o 谶越楚畴鲍突要条 譬。 筹暇黛主要给出了广义s 趱鹅h 双稷缝搀豹暌饕孛刻裁定理。 第薮黛主瑟给出了广义s m 躺h 双积成为辫子h o p f 薯弋数黪宠萋条绺，势给蹬了 辫子结槐分解式。 2 第二章广义s m a s h 双积l w 阑r 日的一些性质 2 1 引言 sc a e n e p e e l ，bi o n ，g m i u t a r u 和s h i z h u 在文【2 2 j 中给出了r s m a s h 积， w s m a s h 余积及广义s m 幽双积的定义，并且给出了它们成为h 。p f 代数的充分条 件，本章研究了它们作为h 0 p f 代数的一些简单性质 为方便起见，我们首先给出文【2 2 】中的一些概念和结论 设矿和是两个向量空间，r ：v 固w 一，固v 是一个 线性映射，我们 记为；r ( 口o ) = “ o “ ，其中 y ，w 在下文中均省略和式符号 定义2 1 1 设a 和b 是缸代数，月：占 j 4 一一0 且是一个n 线性映射， r 称为左正规的，如果t r ( b 园1 ) = 1 8 右， 6 b ( 21 1 ) 厅称为右正规的，如果 兄( 1 e d ) = 。0 1 b ， a ( 2 1 2 ) 如果r 既是左正规的又是右正规的，则称兄是正规的 定义2 1 2 设e 和d 是一余代数，w ：g 9 d d c 是一个一线性映 射，h ，是左余正规的，如果： ( 而o g ) ( c d ) = e c ( c ) d ，c c ，d d( 2 1 ，3 ) w 是右余正规的，如果 ( s d o 如) ( c d ) = e d ( d ) c ， c g ，d d 1 2 1 4 ) 如果w 既是左余正规的又是右余正规的 定理2 1 3 设4 和b 是两个代数 则以下条件等价 则以下条件等价 3 则称w 是余正规的 月：且 b 一日圆a 是一个女一线性映射 塑三童璺璎塑垫塑黧墨致鬯艘型照= 些丝厦 4 ( 1 矗髑矬嚣是一个s 黼韪s h 积； 2 ) ( i ) 霆是惩燃懿， ( i i ) ( 盘l 戴a 2 ) o 6 1 是锄= 蠢瞧l 髓2o ( 冀6 1 6 2 ) ； f 蓟f 曲露是菇栽豹， ( i i ) ( r 8 ) 圆1 2 一n r ( 6 1 6 2 ) ， 娃i ) ( 8 1 程2 ) o7 6 = 辩8 1 7 蕊2 嵇( 蠢6 ) 。 蠹果定义中的( 3 ) ( i i ) 成立，则称咒是左可乘的，如果定义中的( 3 ) ( i i i ) 成立，则 称r 是右可乘的翔采r 躐魑定可粱的又是右可乘的，刚髂r 是可乘的 定联2 1 4 设c 和d 是七一余代数，对于线性映射：e 固d d a 刚以下条件等价 ( 1 ) g rb 日d 是一个s m a s h 余积； ( 2 ) ( i ) w 是余溅规的， ( i i ) ( w d ) 1 ( w d ) 2 固w c = w d l 固u d 2 0 u ( w e ) ， 渺d 固w e ) 1 8 ( w c ) 2 一u ( w 7 。l 岱w 娩， 如果定义中的( 2 ) ( i i ) 成立，则称是左众可乘的，如果定义中的( 2 ) ( i i i ) 成立， 则弦渺是骞余露乘懿。如暴彤疑是亳余可莱又是卷余霹暴，粼稼彬爨余霹秉瓣。 定理2 1 。5 设日靼上是双代数，兄：掰 三一置秘w ：五。拄一嚣圆 疑鼹个虹线鼷浃魅，鼹下列条 睾等徐 ( 1 ) 己啪r 群爨一个s m a s h 双积； ( 2 ) 以下条 孛成立； ( o p l ) 就是逛艇懿曼楚定可黎表霉黎黪， ( p 尹2 ) 拶是余溉鬣静鬣是友余w 乘右余可秉， ( 扫p 3 ) o8 嚣) 霆= 封圆， ( 移! 4 ) 等矿f l 玉圆l 符) 拳l 抖 i 矗， 乃p 5 ) p 矿( i o 酗= 妒( l 嚣) 姆( i 岱毳) ， ( d ；) 6 ) i l i 1 固形i 打 ( 如i 7 2 ) 蒜z 1 冠f 1 圆最( 1 灯) 甜l 汀 f 2 u 2 ， ( d p 7 ) w ( 矗l 毳7 1 ) p 掰i l 盎2 毳2 一w 赶l 。l l 。置( p 1 l ) 圆霓b 掰2 ， ( d p 8 ) ( r i ) 1ow ( ( 丑矗) 1 ) 固w ( ( 心) 2 ) 圆( 嚣 ) 2 = 置| l 蠢( 矗1 ) 耵l 抒 i ，( 静1 2 ) or 矗2 ， 第二章 s m a 8 h 双积l w 嗍r 日的些性质 5 这里f ，i 7 l ， ， 7 盯，r r ，u = w 猩定理2 1 。5 中令w 一死嚣是一个扭曲映射，称占蚓r 日= 跚足擞为日 和三的兄一s m a s h 积而令r = 死，甘是一个扭曲映射，称w 闪r = 三w 娴何为 日和己的w s m 8 s h 余积 定义2 1 6 设和l 怒双代数，兄：尉 三一五圆日和：五圆日一日 已 是鼹个是- 线魏映射，如果厶r 渊置嚣是一令s m a s h 双积，嚣磊矿蠢嚣是个双代 数，则称( 甄五) 是一个相容对 2 2 广义8 m a s h 双积己叫鼎日的积分和群像元 这一节主瑟给出了工w 渊r 口作为双代数的积分和群像元以及一拨简单性质 定理2 2 1 ( 1 ) 双代数己w 跚嚣胃是交换的当艇仅当和是交换的弗且 r = 强、l ； ( 2 ) 双代数三嘟辩日是余交换鲍泼且佼些积攒是余交换劳且彬一舀矗 证明( 1 ) 充分性显然 妊簧性，黪岛粥是露楚突换煞，霹任意黥f 赶，6 是己蹿喇嚣嚣 ( 2 嘲 ) ( b 闻) 一( 6 蚓惫) 0 危) f r 6p 司凡 七= 6 r fp 司r 后 令j 一南= l ，掰勃娴一6 跚矗，郎冠一霸日令；= 6 = 1 ，则 = 触，即 矗= 七一l ，胁一址所以，脚是交换的 ( 2 ) 充分馥显然 必要性阪为： ( f 渊1 ) = 2 1 啪w 1 0 w ? 2 跚1 ”( 2 醐1 ) = ；2 闻1 圆? 1 闻w 1 ， 交三溯矗嚣豹余交换经 荨： f l 渊w l 固w 屯l 一屯嘲l o l 渊w l 璺三塞璺婴塑垒墨篓墨哎鬯熙丝嫂= 些堂厦6 嚣迩霜淀圆 穗o ，佟霜褥 l 圆 2 一f 2 l l 帮互楚众交抉静 阕黧可得科是余受换的 舞焱( 1 粥是) = 御( i 的秘褥； l 渊w 盎1 0 f 2 嘲危2 2 w 1 2 粥盎2 氆l w 是l 俩边用谢圆g 涮圆g ，作用得 z 1 是1 ) 如是2 一w 毛 ( 毳2 ) f t o 趣 褥甩溜圆固斌作用得： 1 8 毳= w 2 9 簪1 ) g 【遍菇i = w l w a 所以，l 矿( f ) = l 固 ，即一码，l 器 下鬻耱定瑾给出了五w 测r 群静群僚元与五和静静群像元之间的荚系 宠磷2 。2 2 设五黎耳是双健数，毛w 渊置拄是s m a s h 双裰，剿耍三w 溯鼎嚣 楚三溯_ r 野静群像元当且仪当疗= z 渊矗，这基i 是五的群像元，危是日的群像元 曼 矿f l 圆矗) 一矗固| 诫鞠究分性最然 繇娶佳令g = e 渊耋丢坩渊矗抒爨群豫元，粥 ( c 嗽固= l 吲d l 固w c 2 南 = e 渊d oc 渊d ( e 弦( 哟= l 鼹爨g 癌岱溅露臻上式鬻端褥 e 1 c 2 圆d e oo g 留) 矗， 箍兰童 璺她堂垒墨黧墨致鬯墨旦鳆= 些堂蜃7 惩谢8 掰os 僚焉褥： ( d ) c loc 2 一( 固e 岱s 翟) e ， 令! 一( 固c ，燹l ( 妁一( 矗) e 1oc 2 一i ，令危= ( e ) d ，剜( 毳) = 盎圆矗，即f ，五分 别是二和日静群像元 由予g g 闪矗一l 为群像元，敬有， 疆渊埘= g 淑毳8 w 渊是 = z 渊忍 ? 跚 ， 薅速鼹s o 溅圆越 e 侉尾褥； w ( c d ) = d 固n l j 下筒讨论双代数己w 闻咒筒的积分 定璞2 。2 3 设嗣目魁双代数，冗：尉8 _ 五。嚣积w ：露一臀 五 憝两个一线性映射，l w 咒科是一个s m a 8 h 双积 ( 1 ) 设。厶粕r 日分别是五秘目的农积努，魏暴( 咒1 ) 宄茹鼎一渤茹抖，赠 o l 啪$ 片是l 冗的右积分 ( 2 ) 稷设秽啦r 腰疑一个有限缨h o p f 代数，熟皋( 矗髟瓢一固态，盎舅， 则l w 渊咒日是举单的当且仅当存在发积分茹。l ，2 符日使褥( 茹。) 一( 算辩) = l 鼠( r ) r 善l = ：是) 。，这里毳露。 征明( 1 ) 对任意的z 跚 五w 嘲r 掰， ( 茹五c 司z h ) ( f 肛q ) = = 茹l 兄f 睁司冠z h = = s ( 贾1 ) 。醐露茹辩( 盎) 嚣( 。工e 喵z 抖) ( 1 ) s ( 忽) = ：( z l z 扦) g 慈) ， 所以，篁跚。好怒w 跚冗冒右积分 簦三童璺坚塑垦婆墼墨出魍墨皇鲤二些丝题 ( 2 ) 假设五w 渊r 扦是半单的，尉稃在左积分z 硼托三渊_ r 耳使得e ( i ) e ( ) = l ， 令z 。= s ( ) f ，z 嚣= ( 1 ) 矗，由( 6 跚1 ) ( 1 闻妨一( 6 ) ( 1 矗) ，得睫硼 一e ) l 跚危，鼹 边用谢 作用得： 妇一( 6 ) 茹l ， 所以，。l 是厶的左积分 麓襻遵瑗鑫l 酗擎酗= ( 妨尊坍矗) 及( 宾g ) 瓢= ( d 毳褥： 是互嚣：= ( 蠡) 芏弹 所以茹辩是爿的左积分。 由于l 渊丸w 渊r 日怒己w 闻r 日的巍积分 两边用试圆作用得 f l 南) ( 1d 毳) = ( ) ( 潮矗) r # 渊r 霆矗一是) 潍毳， 反之，由条传直接计算霹褥芏嘲。嚣是五沁宾砑戆麦获分。 整 下面给出l w 跚胄尉对偶空间的一些积分性质 蓄先绘邂疆令映瓣： 九：l _ 占w r ， fh z 叫l ，其中f 群：日_ 五w 嘲异辩， 氙hl 渊毳，其串矗臀 引理2 2 4 2 3 】如果日是一个h o p f 代数，则a 日+ 摄一个发积分( 右积分) 当曼仅囊是l a ( 毳2 ) = 恕) l ( ( 毳i ) 如= a ( 弼1 ) ，其中矗仃 证明如果a 日+ 是一个h + 的藏积分，则，入一e ( ，) a 一，( 1 ) a ，其中，嚣+ 对任意矗抒，下菇式子成立 塑兰壁曼嫂塑垒塾塑墨蜮鬯8 璺照= 些堂堕 9 ，( 毳1 ) a ( ) = = ，( a 毳) 1 ) ， ，( l ( 态2 ) ) = ，( a 悫) 1 ) ， 挖1 a ( 2 ) = = a ( 丸) 1 菠之，辩采对任意 村，氘1 盖( 矗2 ) 一a ( 哟! ，弼x 、亍任意，舻， 歹( 是1 ) ( 矗2 ) = = ，( 太( 毳) 1 ) ， ， ( 矗) = = ，( 1 ) a ( 庇) ， ，a = ( ，) a = ，( 1 ) a 。 所塔，a 是一个嚣翡蠢积分。 口 定璞2 2 5 设嚣是个i | o 西代数，是一个双代数，甄五) 是一个粳容 对，融w ( 1 l 固 ) = 1 l ， ( 1 ) 如果h p 和a 日嚣4 是友横分，则b 嘲b 是( w 霆掰) 8 的农熬分。 ( 2 ) 假设己w 冈r 日是一个h o p f 代数，则厶w r 脬是余半单的当且仅当存在 扩和拱的发积分k 霸a 耳满足土1 ) = l = a 辩( 1 ) 秘w l 嚣乜( w 玷一a 8 ) l 嚣，其中 f 三 滚躜( 1 ) 根据弓l 理，我髓只瀑汪骧对任意黪| 溯盎渊蠢拄，下溪等式成立。 ( 沁阏a 汀) ( 1 l 嘲w 恕1 ) w i 2 渊危2 一乜( i ) a 筒( 硒l 嘲1 封 察实上， a ( f 1 ) a ( w 1 ) w j 2p 日 2 一a h ( w ) a ( 1 ) l p 2 ：= a 嚣矗i ) a ) l 盎2 = = ( a a 抒) 擘扫噶是) l 五臼喵差辩 ( 2 ) 必要性如果占w 哪丘灯是余半单的，令h a 。血和a h ao 垴，这里 a ( 五形r 鄹) 是一个炭积分，且滤足条俘a ( 1 l 对) = l ，则 a 五( 童) = ( 芏厶町i 汀) 器1 ， 篷三堡! 嫂塑垒塾塑墨哎璺照旦鲤= 些堂医 1 0 措( 熏封) = a ( 1 p l 材) = i 海子a 怒一个( 五w 渊冀鳓4 的发积分，并且p l 珂) = 魂啪w l 婵 w 6 2 渊l 打，所 以， p 1 渊1 h ) a ( 绀堍l 辩) = a p 阏1 辩) 蔓己l m 蹰边用圆谢作用得 ”l h a ( w bp d1 f = r ) = a ( 6b 日l 口) 1 捌 密彤i 弹圆矗舂) = w l 料圆撑5 i 日和w l 胃鞫a l ( 6 ) 一w 1 村圆a ( 彬6 渊1 日) ，w 得： w l 拦a 互( w 妨鬻弦l 嚣a 五( w 基硝l 对) 一a p l 封) l 露 一a o p ) l 抖 下澍证明堍程b 分别是扩秘舻的发载努。 因为a 是( 五w 嘲r ) + 的左积分，膊以，对任意缒6 五 ( 6 l 湖w l 汀) ) 、( 6 2 叫l h ) = a ( 6 闪1 ) 1 1 村 嚣边爝饿 俸瓣褥： 6 l 土( 如跚l 封) 一a p 渊l 嚣) l 魄a t ( 岛；一l a ( 秘溯l 嚣) 一 ( 6 溯l 描) l 一h ( 1 鼯k 是扩黪一个左积分。 由于w ( 1 。嘲 ) 一 闵l 。，_ | ! 以1 。嘲盎) 一l 稍矗l 圆i 。淑是2 ， 根据天是( 三撑渊r 嚣) + 懿左载分缮； ( 1 l 啪旭) a ( 1 跚 2 ) 一a ( 1 鲫矗) l 蚓l 嚣 整兰童釜盟塑坠壁塑墨哎鬯照竖鲤= 些些亟 1 1 盎t a i 五毳2 ) ：= a ( 董五# 矗) i 封 簿五静憝胃+ 瓣一个定载分+ 兖分性由1 ) 鼯得。 毳l 天栉毳2 ) ：= 毳l 五( 1 工# 是2 ) = a ( 1 l 浏毳) l 弹 掣a h ( 忽) 1 2 3s m 躺h 双积闻冀督成为h 叩f 代数的充癸条件 盘 文f 2 2 】终蹬了五w 渊嚣及毛硝芄剪成羹嚣o p f 代数酶条件，本节在文猃2 1 的篓 磷上，辩驳我数五w r 簿 譬了进一步酌研究，陂速了文浮2 】中定理的证明，给出了 双代数五桫渊冠辩残凳瓣f 代数辩究癸条锌， 定璞2 3 1 江2 】设置辅己是双代数，r ：日 己一固抒撼一个缸线性映 辩，涮下确条件等价 ( 1 ) 五闪r 日燕一个r - s m a s h 积； ( 2 ) r 是正规静，诃黎的，并且是一个余代数映射 并盥如果珂和五分剐有对极曲和昆，则l 跚r 是一个h o p f 代数，其对极 由下式给出 晰( 啪 ) = r ( ? ) 湖r 鼢( )( 2 。3 1 ) 涟甓攫躲淡越死，捞显然漤是定理2 。i 5 中翡( 移艇) ( _ d 尹7 ) ，褥( p p 3 ) 和 ( d p 8 ) 等份予嚣：日固一 疗是余代数唳瓣。凝焱鼹s 函。嚣势溯r 嚣抟对 檄。 * r 拱$ i d ( 跚 ) = s r 嚣l a 1 ) ( 珐磊2 ) = ( 咒s ( f 1 ) p 。r 。譬拄( 1 ) ) ( 1 2 赶2 ) = ：r s l ( ；i ) 7 | 2 冠s 圩( 矗1 ) ) 矗2 = r ( f i l ) 如) 。日震( ；罗辞( 盎1 ) ) 盎2 援兰童堇骤塑坠堡嫠墨哎鬯热星鲍= 些堂匿 1 2 = 溯s 矗( 矗1 ) 是2 = ( 乱 封) 8 汹矗) 。 同理树$ 咖( ! 哪妨一( 钇固嚣) 0 渊蛙 醴 宠瀵2 3 。2 【2 2 鼗嚣藕五是双代数，彬：己固汀是一个一线性映射，则下 穰论断镣价 ( 1 ) 五渊a 霸是一s m a s h 余积； ( 2 ) w 是佘正规静，余可黎的并髓楚代数映射 避一步，如果碍和己燎h o p f 代数并懿分舅h 有对极岛和，则五w 闪是 h o p f 代数其对檄由以下公式给凄 。蜡8 潲妫一( w 1 ) 粼s 童( 盎) 证明证明方法与定瑷2 3 1 相似 ( 2 3 2 ) 0 窥臻2 。3 。3 设毛鞭譬楚载代数，霆：掰。三一五圆置帮彬：五固汀一科圆 怒露个是一线。瞻映射，w 湘冀嚣是一个s 糙8 熊双莰。焱祭五稳露有对搬藕s 日， 燕l 浏r 目躯辩极囊戮下公式给崮t 。嚣邸嘲螂一冀) 冠鼢矗) l2 ，3 ，3 ) 淡之，辩果三w 溯兄鼙楚h 。诞代数，其时极为s ，砌和爿也鼹h o p f 代数， 诫明首先验证鼠，。为五w 闻r 的对极 w * r 拱 露翠渊毳) 一w r 嚣i l 渺毳1 ) 渺如渊矗2 ) 一( r ( 秽z 1 ) 潮肆5 裔秽( w 赶1 ) ) ) ( w i 2 日危2 ) 一r 鼠( u h ) ( w f 2 ) 嘲( r - 5 h ( u ( w 忍1 ) ) ) 2 一r ( ( 耵l t ) w z 2 ) 嘲8 s 辟( ( w ) ) 盎2 一r ( 5 电( ? ) 2 ( ! ) 1 ) 醐r s 蠹( w 危1 ) 危2 = 习8 l 冠5 b ( 是1 ) 盎2 一l 溯s 蠢( 态1 ) 垃( 1 ) 第二章8 m a s h 双积l 醐_ r 日的一些性质1 3 一固e ( h ) ( 1 跚1 ) 霹瑾妊$ ，* 。茸0 跚哟= ( g ) ( 矗) ( 1 嘲1 ) ，运载蓬鼹了。封秀五w 挖撂戆对 极 菠之，若w 嘲挖嚣畜鼹极s ，罄先涯饕是王至。p f 霞数( 簿给出三酶辩极黾) ， 为方便起见，从同构角度我们将三与闻1 甘等同 寇义：霄：嘲兜蟊_ l 粥蟊，口私日酗= i 国毳 n ：三w 渊r 日_ 五闻1 ，厂1 ( f 嘲 ) = e ( ) l 阁1 令= 霄m 只这疆“t ”寝示霄与s 静卷积 ( ! 唾悬) = 7 r ( f l 嘲。矿磊1 ) s w 1 2 溯是2 ) = ( 1 闪( f 1 ) w 1 ) s ( w z 2 渊如) = ( 1 彤是1 ) 联五毳2 ) = ( 1 啪w 1 ) s ( 1 渊 2 ) s ( w f 啪1 ) = ( 1 跚w 1 玎 1 ) s ( 1 跚 2 ) s ( w l u l 跚1 ) = ( 1 w 1 ) ( 1 濒u ) s ( 1 嘲矗2 ) s l 湘l s ( 噬1 ) = ( 1 跚w 1 ) ( 1 跚u 1 ) s ( u 1 啪 2 ) s ( f 嘲1 ) = 是) l 潮1 ) s ( w | 粥1 ) 所以，( f 渊1 ) = ( 1 嘲w 1 ) s ( w f 闲1 ) ，进藤有( 1 的= 8 蹦1 ) ( 购。注意烈 鼠= 瓯。n 和，砌= 7 r ；sm i d = 7 r * e = 吖，上式最后一等忒成立魁因为： 霄$ s 0 如盎) = # ( l 溯毳1 ) ( 撑毛渊矗2 ) = ( 1 ( j l w 1 ) l ( 1 2 ) s h ( 2 ) = 1 渊乱( w f ) 形h = l 嘲s ( f ) 矗 一7 r ( ? 啪， ( j 1 渊1 ) ( f 2 嘲1 ) = 乳。n ( f 1 吲w 1 ) ( w 1 2 阏1 ) = 乳( 1 擀i ) ( w 2 溯i ) 整兰童 璺婴塑垦壁鹅墨哎! 媳丝照= 些壁透 1 4 一筇 i 闻1 ) 一g ( z ) ( 1 渊i ) ， 所以 ( l 测1 ) 免( i 2 渊1 ) = ( j l 跚1 ) ( 1 蚓w 1 ) s ( w z 2 闻1 ) = ( 如闪w 1 ) 烈；2 w 1 ) = s ( f 阁1 ) ( 1 渊1 ) = ) l 渊1 ) 糟n 佟糟上式，并注意劐几怒农跚l 一模映射，可以鬻出n o 也怒昆。l 之右逆， 所以n 。一既，所以( l 嘲1 ) 二湖1 这麟证骥了烂跚1 汀的对极 现 芷明灯魁h o p f 代数( 给出日的对极) 魏方便越觅，从阏梅的角度，我嬲将日与l 嘲嚣萼鹾， 令t 勘= s ，n ，则 鼢( 1 渊丸) 一瓤1 矗1 ) n ( 1 渊乜) 一s ( 1 闻w g ( 矗2 ) ) ( l 跚1 ) 一s ( 1 嘲w 丘) ( w 1 1 ) ， 勘( 1 叫九1 ) ( 1 渊 2 ) = s ( 1 w ) ( w l 嘲1 ) ( 1 嘲危2 ) = s ( 1 淑拶毳1 ) ( w l 渊矗2 ) = s ( 1 濑是) ( 1 渊1 ) = g ( 劲( 1 醐1 ) ， 熙z 撂鼹上式，弗注意裂霄憝卷l 嘲露一模浃辫，哥鞭糟窭霄。劫瞧怒五。辩之左 j 憩，所以丌。鼢一鼢：所以勘( 1 陶烈) l 渊嚣 翰( 6 渊恕) = s ( 6 1 跚w 1 ) 门( w 6 2 阁 2 ) = s ( 魄w 籼) ( 如2 ) ( w 6 2 醐1 ) 笙兰童 璺坐塑皇翌墨墨世圜显曼堕e 型型堡l 一1 5 ：联b 1 喇w ) ( 如跚1 ) ：s ( 6 l 嘲w l 矿矗) ( w 6 2 ”l 渊1 ) ：s ( 1 w 1 u h ) s 伯1 1 ) ( w b 2 嘲1 ) ( u 1 嘲1 ) ：联l 硝玎劲s ( 1 唾i ) s ( 6 1 吲1 ) ( 形如溯1 ) ( 矿l 溺1 ) ：s ( 1 跚u ) s ( 6 1 渊w 1 ) ( w 6 2p 寸1 ) ( “1 闻1 ) = ( 的s ( 1 啪劫r l 嘲1 ) ， 嚣既s 样。口= s 嚣，羯 ( 1 嘟) ( 1 矗2 ) = ( 1 啪矗1 ) ( 岛。霄( l 蝴垃) = ( 1 闻 1 ) 勋( w 1 嗍 2 ) = g ( 毳) ( 1 渊1 ) 。 最后一步利爰了结论；谢 岛= 穗 s 曩= s $ 一= 只，这就 蒌暝了& 是i 嘲霹 的对极+ 口 第兰章a 冈? 打上的辫子m o n o i d a l 范畴 3 。l 引窘 在文m 中正栓宏给出了种扭曲s m a 8 h 积a $ 村，其中尉是h o p f 代数，a 是王 双模代数，文f lo ! 给出了扭馥s m a s h 积模范酶 + 嚣州为辫子m o n o i d 越范畴 的充蒙条件而文【2 2 】给出的? 一s m 嬲h 积是种更一般意义上的积，本文给踺了 f s m 8 8 h 积模藏畴 辩州是辫子n l o n o i d 俎魏畴的兖要条件 本文的代数，余代数，h o p f 代数均是域七上的，有关基本概念，性质，犍号参 觅皿羽，裔关f s m 8 s h 积概念参见 2 2 】， 我们总是假设a 是一个h o p f 代数，辩是个拟三角 l o p f 代数，冀一只( 1 r ( 2 ) 艇。髓，：嚣q a a 8 嚣，协q 8 ) 一r 氇圆，热，是一个缸线褴映瓣，a 嗡嚣是 r s m a s h 积，且 a ( ? 8 ) t 盎一 焱，簿l ，1 ) 群( r 矗2 ) ? 盛固_ 善l = ，在圆? 矗f 3 。1 2 ) 引璎3 1 。1a 闪丁日是丁一s m a s h 积，则m 为左a 呦，肌模漕鼠仅当嬲为 蠢冉模艇为发辫一穰，使得下式成立 毳t 粥) 一r 往( 强研) ( 3 1 3 ) 诚明以下我们熙a 晰辩朋表示发 却抒摸蕊晾 若m 。，拦艇，则一定襻越左a - 模，发颤模热下： aom _ m ，a 固m h ( n 圆1 ) m 、血a ，m m 帮圆掰_ 撇，毳固m ( 1 哟m ，危尉，m 惭 1 6 第三章a 冈t 上的辩予m o n o i d m 范畴 予是，对任意的n 奠，m m 有 鑫( 8 m ) = ( 1 圆是) ( 嚣 1 ) 凇 = ( ，n r ) m = ( ? 。 1 ) ( 1 圆，毳) 。m = t 8 ( t 知t m ) 反之，若m 是左a 模，左肌模，定义左a 叫r 日* 模结构如下 a r 日 懈_ m ，j 闪毳圆m l - ( m ) 容曩骏 委疆上定义是藏蠢蟹珏模。 3 2a 嘲? 掰上的辫子m o n o i d a l 范畴 蠹 零节首先在菠畴 嘶丑捌审定义戳量透予。直，然露涯翡( 翩，嚣朋， ，a ，幌ti ) 为m o n o i d a i 范畴进一步给出 w r h m 上的辫子t c ，并且证明( 肭，h m ， ，a ，妒，r ，f ，妒) 势辫子酝鼬o i 琏蠢范畴 定义3 2 1 称a 为兄交换代数，若满飓： 。6 = 日( r r ) r 6 9 ( 。r f l ) o ，n ，6 a ( 3 2 1 ) 宠疆3 2 2 设( 嚣，蠢) 为攘三角麓o p f 筏数，a r 臀秀娶s 疆拄s h 积，若f 3 ，1 2 ) ，( 3 2 1 ) 成立，则( 。，h 川， ，a ，妒，r ，f ) 为m o n o i d 出范畴， 试溺对舔意掰g 翩，嚣劁，首先涯疆掰楚左右矗模 因为m 魁左a 跚r 仃一模，所以m 是左a ，模，旋皿模现定义右a 。模；对 任意静m 掰，癍 m 瑾= ( r r ( 2 ) r 8 ( 挖( 1 ) ，确 这里“”表示m 的发日一模先证明m 满足左右模糊容条件 ( n m ) 日6 一( 丁r ( 2 ) ) 丁6 ( r ( 1 ) - ( a m ) ) 一甲霆2 ) ，6 ( 。8t 。霆( 1 ) m ) 免 1 7 整三塞 墨! 黧基墨煎塞至鹜竺鹜堡壁蹩嫠夔 1 8 8 * m = 8 r 嚣( 2 ) ) 6 ) 霆( 1 ) - m ) = r 霆娃，6 ( 捉1 ) m ) 3 垂 r 露( 2 ) 。r 2 ) ( s r 1 ) 。( ? s 8 。( 蠢1 ) 。撒) = 嚣( 2 ) 2 r 2 ) 8 r ( 1 。( ) 8 8 - ( 嚣( 1 ) ，琳) ； ( 霆( 2 ) 0 2 ) ( 8 r ( 1 ) ) ? 6 3 嚣。( 最( 1 ) 。档；) 氅曲# f 觯) s ( t 掣) 如。 嚣p 礅) 墨越 s ( r 霞撑) r 轳8 。p 嚣( 1 ) m ) 。 帮( 8 m ) 一8 ( m 6 ) 这爨摹露个等式潮惩了是瑗2 1 。3 ，弗曩s 一一f 褥 蒌臻魏上嚣窥义确实怒蠢蠢* 壤 懈( 8 ) = 8 ( f 靛t 翰默8 联稻1 辨) 一 s ( 。( 掌露) 。8 锡- ( 帮1 ) m ) 3 耋载f 嚣严) ? 霹t 8 7 。( 嚣1 ) 。嫩) 粤( t r 2 ) s ( r 霆2 ) 。8 舄+ ( 露1 m ) 3 墨1 。) ，嚣嵇弦r ；p ) s f b 严t 礴) f 露秘+ ( 露1 r t l ) 嘏) = ( 。r 扛跨，( 霞( 2 ) 袁( 2 ) ) s r 袁( 1 ) r 扩( 。嚣) 。( r ( 1 ) 0 1 ) 。凇) 蟹1 s ( t r ( 2 ) ( f 霆2 ) ( s 磷) ? 驴( 。嵇) 。( 露1 1 ) ，1 。讯) 3 妻霸 ( 。r 2 ) # ( r 嚣 2 ) 扩。8 ) 。r 嚣1 ) r 1 ) 。辩) = s ( 。r 2 ) s ( r 露( 2 ) 强霆( 1 ) - ( g ) ，辩) ) = f 珏1 6 。 耪潋( m 接) 一m ( # 秘运羹，霞一焱一r ，s = 。；蟊 设掰秘避纛a 嗡臻潦，蠛褥遗掰圆a 农矗嗡霸一) 蘸藤猕鲡下：辩绦 意鑫唾毳a 渊露，m 掰，犯 糖溯毳) ，( 凇圆哟一国溯纛1 ) ，m 盎2 。嚣 第三章a 闻? 灯j ：的辩子m o n o i d a l 范畴 对 薹意穗毫砖，矗，嚣，隅掰，嚣，我释稳螽下验涯： 测( 酗 ) - ( m 他) = ( 矿6 跚? 划) ( m n ) = ( 8 t 6 渊( t l 1 ) tm o ( ( r 哟2 f 2 弛 = ( 娃r 玉? 矗1 2 1 ) m 固( 毳2 赴) 。扎 = 和渊a 1 ) p 渊i 1 ) m 圆( 坞如) 一摊 = ( a 闻 ) ( ( 6 渊j ) + ( m 札) ) ， 遽量，繁三令警装裁籍了定遴2 i ，5 ( d 糙) 定义如下； 妒：筋圆a ) o p 时掰圆( 固 p ) ，( m 圆 扎) a p h7 札圆( 礼固a p ) 瑰滋臻a 为越。野拟孛毂擎经对象 篱笼a 麓意a 溯丁赫- 模，箕模结檎如下： 验证翔上定义蔻禳结稳 ( 8 嘲危) ( ( 6 渊1 ) e ) 一( 窿渊哟- 洚( r f ) r e ) s ( 气磁。绚8 。( 扩c ) s ) ( 。( 3 蝴n 8 酽( r e ) ( n 渊盎) ( 6 f ) c 一( ，6 醐丁危f ) - e 一“丁醅( ( ? 啊e 一，轻( 8 ( r 妫) 掌( 。妒( e 氮 淀意戮s 一，一可襻t 国醐毳) - ( ( 6 跚j ) ，c ) 一( 。闲恕) ( b f ) c 定义如下映射： 锄：蠢 掰_ 掰，稳固m h8 ，m r 斟：o 连奠_ 越，撇8h 撇矗+ 1 9 第三章a r 日上的辩子m o n o i d 甜范畴 容鬓涯躜秘r 村怒露遴鹃甚， l 嚣：搿一a o 建掰， m 卜ho m ， r 著：射_ 嚣圆 a ， m h ( 枣2 ) ) m 冗( 1 ) - 1 湿然k 和”m 满足三角形公理，所以( 船，片m ， ，a ，诌一c ) 为m o n o i d a l 范畴。 口 下麓定义翩，置朋圭懿辫绻梅； 妒糕：m 甄m 固髓h 置( 2 ) - 斡。枣1 ) 礅 滋下证爨中憝是狻设置嚣圆辑与z ：静oa a 圆群之间有如下关系； ( t 兄1 1 ) r 堪圆硝圆冗( 2 ) 一e ( r 磷) t 8 固r i l 固霆( m 。( 3 ，2 。2 ； 引瑚3 2 - 3 如上定义的妇，可逆，并且逆映射为妒矗( 礼om ) = s ( r ( 1 ) m 冗2 - n 艇母m ：是a 一线性映射鸯且仅当对任意8l 詈a ， s ( r 霆2 ) ? 酽8 ) 圆磷1 r 2 磷。r 1 ) 一，8 r r 担圆蠢( ” ( 3 2 + 3 诞明 妙爰与妒肼。 蔓逆熬显然的 态羚性任豢& a ，mg 豁，嚣， 妒船、_ ( m 司祝o 札 r ( 2 ) 佗圆 r ( 1 ) ( m q n ) r ( 2 j 嚣圆ar ( 1 ) ( s 霆f 2 ) 。毡) 。( 嚣( 1 ) 。m ) r ( 2 ) 髓 g ( 冀( 2 ) r ( 。8