（基础数学专业论文）混合型广义复结构.pdf

摘要 广义复结构是近年引入并开始研究的一种新的几何结构。它自 然地统一了原来的复结构和辛结构。 本文首先回顾广义复结构的一般内容。特别地，介绍了在广义 复结构中具有重要作用的纯旋量，并仔细分析了其各种性质。然后 讨论混合型广义复结构的问题。在4 维加上正则条件的情况下，得 到了2 一类型广义复结构子流形的一些局部性质。 关键词：广义复结构，纯旋量，广义复类型，正则条件 a b s t r a c t g e n e r a l i z e dc o m p l e xs t r u c t u r ei sar e c e n t l yi n t r o d u c e da n ds t u d i e dg e o m e t r i cs t r u c t u r e ，w h i c hu n i f i e st h ef o r m e rc o m p l e x s t r u c t u r ea n ds y m p l e e t i c s t r u c t u r ei nan a t u r a lw a y t h i sp a p e rf i r s tg i v e sar e v i e wo ft h eg e n e r a lc o n t e n to fg e n e r a l i z e dc o m d l e xs t r u c t u r ep a r t i c u l a r l y ，i ti n t r o d u c e sp u r es p i n o ra n da n a - l y z e si t sp r o p e r t i e s ，w h i c hp l a y sa ni m p o r t a n tr o l e i nt h ec o n t e x to fg e n e r a l i z e dc o m p l e x s t r u c t u r e t h e ni td i s c u s s e st h ep r o b l e mo fm i x e dt y p eg e n e r a l i z e de o m d 1 e xs t r u c t u r ea n di nt h ec e b s eo fd i m e n s i o n4 ，w i t ha s s u m i n gt h ep r o p e r c o n d i t i o n i ta n a l y z e st h el o c a lp r o p e r t i e so ft h et y p e2s u b m a u i f o l d k e y w o r d s ：g e n e r a l i z e dc o m p l e xs t r u c t u r e ，p u r es p m o r ，t y p e ，p r o p 。c o n d l - t , i o n 致谢 在导师胡森教授的指导下，我从2 0 0 3 年开始了数学物理方面的 学习和研究。在这三年的学习、工作中，胡老师广博的知识，敏锐 的洞察力，丰富的想象力和平易近人的作风都给我留下了非常深刻 的印象。本文正是在他悉心指导下完成的，从论文的选题，到得出 初步结果，以至最后成文都凝聚了他大量的心血。作者谨向他致以 崇高的敬意和衷心的感谢! 在此，我还要感谢陈卿教授、陈祖墀教授、刘太顺教授和其他 授课老师们，他们的专业知识使我受益匪浅；感谢师兄弟杜宇、俞 华山、李思、张永超、马文烨、阳艳红等，与他们的讨论使我的论文 能够顺利完成。另外，交叉中心和上海研究生院数理中心的所有成 员也给予了我很多的帮助。同时，数学系的系领导和老师在日常生 活中也给我提供了很多方便，在此一并表示感谢。 最后，我要向我的父母和家人表示深深的感谢，感谢他们三年 来对我的支持和鼓励，使我能够安心学习并顺利完成学业。 第一章综述 1 1 研究背景与动机 广义复结构是m h i t c h i n 1 最先引入的，并由他的学生mc u a l t i e r i 2 1 系统 地加以研究。这种几何结构自然地统一了原来的复结构和辛结构，所以很有 希望以此更好地理解镜像对称的问题f 3 1 。除了数学方面，它也越来越引起物 理学家的兴趣，而且已经得到了不少的应用。 复结构可以看成是l m l m 的线性映射，而辛结构则可以看成是l m b m + 的线性映射，因此它们都可以诱导出l mo 咒m + 上的线性映射。 广义复结构，就是定义在l mol m + 这上面的一线性映射，且在前面两种 情况下跟原来是相容的。因为t mot m + 上具有c o u r h n tb r a c k e t 的运算， m 上一近广义复结构在c o u r a n tb r a c k e t 下封闭，在复结构和辛结构诱导的 广义复结构情况下，正好等价于原来全纯切丛在l i eb r a c k e t 下封闭和有闭的 辛形式。所以广义复结构是一种比较自然的统一方法。 广义复结构作为统一，把原来的复结构和辛结构看成两种极端形的广义 复结构，而一般的广义复结构则必然是部分复结构和部分辛结构的混合型。 最简单的混合型广义复结构出现在4 维的情况，它把整个流形分为了类复和 类辛两部分。研究这两部分的几何性质便成为一个有趣的问题。 1 2 结构安排和主要结果 在第2 章里，主要介绍线性空间yoy + ，和相应的c l i f f o r d 代数与其表 示a v + 。证明了纯旋量和极大迷向空间的对应，进而给出纯旋量的一般形 式。引入yo 旷上的线性广义复结构，证明了线性广义复结构的存在对空 问矿维数的限制。并详细描叙其用纯旋量描述的等价定义，证明了纯旋量在 一般形式下的约束条件。再定义广义复结构类型，最后把广义复结构推广定 义到流形m 上。通过c o u r a n tb r a c k e t 引入可积性条件，并给出一可积性的 局部判据。 在第3 章里，将详细研究具有正则条件的4 维混合型广义复结构其2 一型子 流形的局部性质。先分析了混合型广义复结构在这种情况下，由局部定义 2 0 0 6 芷 第一章综述 中国科学技术大学硕士学位论文第2 页 1 2 结构安排和主要结果 的纯旋量给出的条件。进而通过这些条件得到： 定理3 1 2n 是m 中余维数是2 的子流形。 定理3 1 3 其第一c h e r n 类c 】( n ) = 0 。 定n 32 1 设u f ( t ( 一z ) 4o r c ) ，如果他，妒p q 由( 31 3 ) 定义，可以光 滑延拓到且圭i 妒2f 2 1 仍1 2 0 在z 中成立，那么庐o = z ，和( 3 1 1 ) 定 义的如满足命题3 14 中除( 3 5 1 的所有条件。 在第4 章里，我们简单介绍广义复结构的其它相关内容。回顾了广义复 结构与原来复结构和辛结构的关系。最后再介绍一下广义的k a m e r 结构。 第二章v0y + 上的线性代数和广义复结构 2 1 纯旋量 设v 是d 维的实线性空间，那么( vov + ) o rc 具有一个自然的对称双线 性形( ，) ： ( x + ，y + q ) 兰一；( 奴q + i r ) ( 21 ) 其中x ，y v r c 且，q v + o r c ； 还有其关于( ，) 的c l i 舶r d 代数g l ( ( y o y + ) o r c ) 的一个表示 v + o r c ( x + ) u 圭i x a 2 + a “，( 22 ) ：兵中x vo rc ，v + rc 且u a 。v + o rc 。 证因为v x ，y v o r c 和比，”v + r c 有 x + ，y 十町) u = ( x + ) ( ( y 十叩) u ) + ( y + 叩) ( ( x + ) u ) = i x ，i t a 2 + i x ，a w + i y ， ) u + 叩 ， = ( i x n ) w + “y ) “ = 一2 x + ，y + ”) u 所以( 2 2 ) 诱导了其c l i f f o r d 代数g l ( ( y o v + ) r c ) 的一个表示。 口 定义2 1 1 毋0 。v + o rc 称为一个纯旋量，如果工( 咖) 圭 ( x + ) ( v ov 4 ) rcf ( x + ) = 0 ) 是( y ov + ) 圆rc 中的一个极大迷向空间。 下面的定理给出了纯旋量的一般形式： 定理2 1 2 庐0 a v o rc 是一个纯旋量，当且仅当 = c e z p ( u ) 目1 口2巩0( 23 ) 其中c 是一个常数，u 2 y + 0 r c 且日，v + r c 。 3 2 0 0 6 年中国科学技术大学硕士学位论文 第_ 二章v0v ，上的线性代数和广义复结构 第4 页 2 1 纯旋量 首先我们给出极大迷向空间的另一种刻画。 t i n2 1 3 设wcv r c ，且u a s w ，别l ( 呱u ) = x 十( y o v + ) rcx w 1 w = i x u ) 是一极大迷向空间，且任意极大迷向空间都 由这种形式给出。 证v x + f ，y + 1 l ( 彤u ) ，有 ( x + ，y4 - q ) ；( 口( x ) + ( y ) ) ；( z x i y u + i z i x w ) = 0 定义”：三( 彤) 一y r c ，x + 一x 。易知e r ( ) = v + r c 1 w = o ) 笺( vo rc w ) + ，所以d 打n c e r ( 丌) = d i m c v rc d i m c w ； 而i m ( t c ) = w ，所以d i m c ，m ( ) = d i m e w 。于是d i k 三( 彬u ) = d i m c v o r c ，即l ( wu ) 是2 极大迷向空间。 设lc ( v0 v 4 ) r c 是一极大迷向空问，令7 r ：l v 固r c ，x + 一 x 。记w = ( l ) ，由极大性易知a n n ( ) cl 。定义u ：w w + ，x e 1 w ，其中x + l ；因为任意其他选取的x + ，必然有l a n n ( w ) ， 所以71 w = 1 w ，即该定义是良定的。 再由 u ( j f ) ( y ) + u ( y ) ( x )( ( y ) + 叩( x ) ) 一2 ( x + ，y4 - q ) = o 其中x 十，y + q l 。所以u a 2 w + ，且易知l ( 彬u ) = l 。 口 f 面证明定理2 12 证，由引n 2 13 ，我们设极大迷向空间m l ( 姒“) 给出，其中wcv r c ， 且u a 2 w + 。假设存在庐o v + r c ，有l ( 咖) = l ( 彬u ) 。 则首先a n n ( w ) c el ( 眠u ) ，设 目”，目k ) 是a 礼n ( w ) 的一组基，那么 有目，= 0 ，所以曲= 0 1a ao kac 0 0 ，其中u o 。( y + rc a m ( w ) ) 竺 a w + 一 2 0 0 6 年-中国科学技术大学硕士学位论文 第5 页 第二章vov 上的线性代数和广义复结构 22 线性广义复结构 v x + l ( 彬u ) ，有1 w = i x u ，所以有 0 = ( x + ) ( 0 1a ao k a o j 0 ) = ( i x + 弘) ( 目1a a 吼a u o ) = 0 1a ao k a ( i x w o + i x w a u 。) 即有2 x u 0 1 一i x w a u o = 0 。令u j 表示其在 1 ( 犷 r c a n n ( w ) ) 的分量 因此c 圭u 8 0 ，则有 i x e x p ( w ) a u o = s x p ( w ) ( i x u a u o + i x w o ) = 0 即u o = c e z p ( 一u 1 。 口 注2 1 4 由上面的证明还知：极大迷向空间土三纯旋量偿一个常数意义 下，。 2 2 线性广义复结构 对复结构和辛结构的推广，我们有： 定义2 2 1 了e n d ( vov 4 ) 称为一个线性广义复结构，如果了2 = 一1 豇j = 一3 具有线性广义复结构将给空间维数一定的限制： 定理2 2 2v o v 4 存在线性广义复结构，当且仅当d ：d i m v 是偶数。 注2 2 3 通过一个特别的纯旋量，我们可以给线性广义复结构一个等价的定 义。如果西是一个纯旋量且 l ( 曲) n l ( ) = 0( 24 ) 那么我们定义l ( 咖) 为= r 一特征空间来得到其上一个线性广义复结构。相反 任意的线性广义复结构都可以通过这种方式得到。 下面证明定理2 22 ， 2 0 0 6 年 中国科学技术大学硕士学位论文 第6 页 堑三兰兰里兰：圭竺彗些垡丝童兰墨兰竺! ! 兰垒兰萎兰墨兰竺 证 由以上注和引理2 1 3 ，我们设l ( 曲) = l ( 彬u ) ，其中wcvo rc 且u a 2 w 。则丽= l ( w ，其中奴u = 萄，v x 雨。 因为l ( ) n 丽= l ( 彤u ) nl ( w ，u 7 ) = o ，所以w + 雨：v rc 即： d i r e r v d i m e ( v r c ) d i r n c w4 - d i m c w d i m c ( wnw 、 2 d i m c w d i m c ( wn 雨)f 2 5 ) 记r e ( w n 而) = x y n 而；ix = x ) ，n w n w = r e ( w n w ) o r c 。 又因为l ( 咖) nz i 两= l ( 彬u ) nl ( w ，u ) ：o ，所以： 其中列v x 对称二次形。 是偶数。 i x w 7 = 丽 = 面 i x w ( 2 6 ) r e ( w n w ) 成立_ 。g p i m ( wi 皿( n 雨) ) 是r e ( w n 可矿) 上非退化的反 n 此d i m c ( w n w ) = d i 砸r e ( w n 雨) 是偶数。再由( 2 5 ) 女o d i m r v 口 由( 2 3 ) ，那么( 2 4 ) 得到： 命题2 2 4 如；采d i m v = 2 n 且是一个纯旋量，那么l ( 西) n 琊i = o 当且仅 当 一面) ( n - k ) ( e l 以) ( 万酝) o( 2 7 ) 证n 为a n n ( w ) + 4 凡n ( 可矿) = a n n ( w n w ) ，由( 26 ) 中r e ( w ，n i 矿) 上非退化 的反对称_ 次形，m ) r e ( w n w ) 等价于一面) n - k f r 。( 。雨1 0 ，因此( 27 ) 成 立。易知反过来也同样成立。n 定义2 2 5 如果驴定义了一个线性广义复结构，那么俾圳中一形式的个数( 也 就是) 称为该线性广义复结构的类型。 2 0 0 6 年 中国科学技术大学硕士学位论文第7 页 第二章vov 上的线性代数和广义复结构 5 2 3c o u r a n tb r a c k e t 2 3 c o u r a n tb r a c k e t 在这里将介绍一t c o u r a n tb r a c k e t ，通过它我们将推广复几何与辛几何 的可积性条件。 定义2 3 1 设m 是2 n 维的实流形，那么( t m 3 t m + ) 圆r c 的c o u r a n t b r a c k e t 由如下给出： 1 x + ，y + 叩 兰【x ，y + c x 叼一y 一；d ( i 工叼一2 y f )( 28 ) 其中x ，y f ( t m r c ) ，q p ( t m + o r c ) 且等号右边的【，】是丁m 通常 的l i eb r a c k e t 。 那么我们有： 定义2 3 2 设m 是2 n 维的实流形，那么了f ( e n d ( t m o r m + 1 1 称为m 的 一个广义复结构，如果 j j 函是耳m o 耳m 4 上的缌 生广义复结构，v p m i 一。果满足条件， 我们称了为一近广义复结构。) 剀了的v 仁t 一特征空间所构成( 丁m o 丁m + ) o r c 的子丛在c o u r a n t b r a c k e t 下是封闭的。 v p m ，我们在p 的一个充分小邻域中总能找到一个局部纯旋量f j j f ( a v + 1 ) 局部给出相应的广义复结构( 也就是对于任意的点位于，l ( 击) 给 出了的玎一特征空间) 。当我们用局部纯旋量来局部给出相应的广义复结构， 对于条件2 ) 我们有一个比较易用的判断标准： 定理2 3 3 条件别在u p 中成立，当且仅当 ( d 咖) ( q ) = i x d ) ( q ) + a 咖( q )( 2 9 ) 存在这样的x 五mo rc 和f 兀m + rc ，v 口，使得上式成立。 我们先证明如下引理： 引理2 3 4 x + ，y + q 曲= ( x + ) ( y + q ) ( d e )( 2 1 0 ) 其中v x + ，y + r ( l ( 曲) ) 2 0 0 6 年中国科学技术大学硕士学位论文第8 页 第二章vov + 上的线性代数和广义复结构 5 2 3c o u r a n tb r a c k e t 证首先注意n ( i x + ) 曲= ( i f + 叩 ) 毋= 0 。因此 = ； c x ，i y + ( c x 叼一；d ( i x 叩) ) 咖 = 言( c x ( i y 咖) 一i y ( c x ) ) + ( x q 一；d ( i x q ) ) a 咖 = ；( c x ( 一7a ) 一i y ( c x p ) ) + ( 目一；d ( i x _ ) ) a = ；( ( qa + i y ) ( z ：x e ) 一( 。x ( d 叩) ) ae ) = ( ( qa + i y ) ( z ：x e ) - i x ( d v ae ) + d q a0 x t ) i ) ) = ( ( q a4 - i y ) ( i x d e4 - d ( 奴西) ) 一z x ( d ( q a 咖) ) 一i x ( 7 ad e ) 一d q a ae ) = ( ( q a + i y ) ( i x d 咖+ ad e ) + ( qa + i y ) ( 一ad e + d ( i x 妒) ) 一i x ( d ( q a 咖) ) 一i x ( 7ad e ) 一d q a a e ) = ( ( 叩a + i y ) ( i x d e + ad e ) 一q a a d e i y ( ad e ) 一 ad ( f ae ) 4 - i y d ( i x e ) + i x ( d ( i y 西) ) 一i x ( 7 ad e ) 一d q a ae ) = ；+ ) ( y + 叩) d e + 妄( ( d q a a + d a q ae ) 一( i y d x e ) + i x d ( i y ) ) + ( i y ( ad e ) + i x ( 7 a 螂) ) ) 枷枷 螈 螈 1212 一 一 铆 m 卅 一 阢 咿 哇卜铲 f f 2 0 0 6 年中国科学技术大学硕士学位论文 第9 页 第= 章vov 上的线性代数和广义复结构 5 2 3c o u r a n tb r a c k e t 所以 x 托y + 叫毋= ( i x ，y + c x q c y 一；d ( 咖一z y ) ) 西 = ( ；【x ，y + x q 一；d “x q ) ) 一( ； y 1x 】+ v 一；d ( i v ) ) 毋 = ( x + ) ( y + q ) d e u 下面证明定理23 3 ， 证由目l 理23 4 女口，v 。l ( ( q ) ) ，有： 卢( q d ( q ) ) = 卢，a 1 。咖( g ) =0 x , l v 2 l ( 曲( q ) ) 成立，其中声，a 是把卢，a 延拓成l ( ) 中的局部截面。 由纯旋量和极大迷向空间的对应( 注214 ) ，所以有n d d ) ( q ) = c ( a ) 咖( q ) ， 其中c ：( ( j ) ( q ) ) 一c 是一线性映射。 如果c = 0 ，则e 。踯( q ) = o 对v i 成立。 又因为却( q ) 与毋( g ) 的次数奇偶不一样，所以螂( g ) = 0 t 因此定理显然成 立。 如果c 0 ，则选取l ( 毋( g ) ) 的一组基 e 0 ，满足c ( e 1 ) = 瓯1 ，即： e ；螂( q ) = 6 。1 咖( q ) 在豇石丽中选取 e t ) 的对偶基 e 。) ，即( ，勺) = 6 扩那么 e l - ( d ( q ) + 去e 1 ( q ) )文l 咖( q ) + i 1 龟e 1 ，妒( q ) 一；e l e ，曲( q ) = o 对v z 成立。 同理又因为螂( q ) 与咖( q ) 的次数奇偶不一样，所以有( q ) + i l c l 曲( q ) = 0 ，即j j e l ( b m0 m 4 ) o r c ，使得( 2 9 ) 成立。 口 3 1 的性质 第三章主要定理 定义3 1 1 设m 是维的实流形，一个广义复结构称为满足正则奈件，如果 存在睁= o + 咖24 - 4 ( 其中也r ( a 。t m + o rc ) ) 定义了相应的广义复结 构，且= k e r ( 如) 和d ol 处处非零。 在假设了正则条件下，那么我们将证明： 定理3 1 2n 是m 中余维数是2 的子流形。 定理3 1 3 其第一c h e r n 类c 、f n ) = 0 。 首先因为d oi 处处非零，所以由隐函数定理知局部在一个余维数1 的 子流形中，因而m 一是m 中的稠密的。 如果咖= 如+ 咖2 + 咖4 定义了一个广义复结构，那么它必须满足条件( 2 3 ) 因为在m 一上是类型0 ，所以西是( 23 ) 中= 0 的形式。那么曲= o e z p ( 声2 曲o ) ，也就是2 2 = 2 咖。咖4 在m 一中成立，由连续性也将在m 成 立。另外在上是类型2 ，那么咖n ，3 0 1 ，目2 瓦m + o rc ，使得曲2 ( p ) = 0 1 0 2 。 条件( 2 7 ) 要求( 曲2 一石) 2 o 在m n 成立且曲2 石o 在n 成立。 条件( 29 ) 要求v p m ，| x m r c 且耳m + rc ，使得 a 西o o ) = i x z ( p ) + a 西o ( p ) d 曲2 ( p ) = z x 曲4 ( p ) 十a 曲2 ( p ) ( 3 1 ) 当p m n 时，我们发现 d 咖o ( p ) a 咖2 ( p ) = 咖o ( p ) d 曲2 ( p ) ( 3 2 ) 1 0 2 0 0 6 年。 中国科学技术大- 9 - 硕- 2 学位论文 第1 l 页 兰三兰兰! ：! ! 兰一 塑：! 垒重蕉垂2 2 2 2 2 2 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ! ：二一j k 相反，如果( 3 2 ) 成立，让x o r = d e 。( p ) 胁o ( p ) ，那么( 31 ) 成立。也就 是( 2 9 ) 和( 32 ) 在这种情况下是等价的。 当p _ 时，( 3 - 1 ) 中第一个方程变为d ( p ) = i x 曲2 。注意到咖2 ( p ) ： 0 1 0 2 j 了d 咖o ( p ) 0 ，那么我们总能选择日2 = d e o ( p ) 。 总结下刚才的分析，我们得到： 命题3 1 4 如果= + 2 + c j ) 4 定义了- - 4 y - 义复结构，那么 曲2 2 = 2 咖。咖4 ( 3 3 ) d 咖oa 曲2 = o d 咖2 ( 34 ) 且坳m n ( 。p ) 2 ( p ) ) 2 0 ，r 3 5 1 v p n ，j xe 耳m r c ，0 ，e l m + r c 西。( p ) a 石i 丽0 曲2 ( p ) = 0 ad 曲o ( p ) d 如p ) = i x 西d p ) d 咖2 ( p ) = z x a ( p ) + f a 也白) ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) 下面将证明本节的主要定理： 证定理3 l 2 由( 3 6 ) 年1 j ( 3 7 ) 直接得出。因为它们要求d 咖 万瓦0 ，也就 是d ( r e 妒o ) ad ( ，m 机) 0 ，因此通过隐函数定理是m 中余维数为2 的子流 形。 要证明定理31 ，3 ，记i ：一埘是自然嵌入映射，坳，我们在p e m 的一个小邻域中把咖2 写成： 睁2 20ad c a + ， 其| 。i = 。目f ( t m 4 rci ) ，q r ( a 2 丁m rc 1 ) 且qj n ：0 。 那么任意其它同形式的目与目的差在n 中为，d 九，其中，g o 。f 乩n ) ) 。因此通过z 拉回，我们得到i + 0 = 矿自7 f ( t n + o r cj ) ，也就是锄茬 二定义了一个整体的1 一形式i + 0 。由( 3 6 ) ，我们知道l + 口) ai 丽砑0 ，因 此的复化的余切丛是平凡的，因而有c 】( n ) ：0 。几 2 0 0 6 年中国科学技术大学硕士学位论文 第1 2 页 第三章主要定理 32 局部条件 3 2 局部条件 在这章里，我们简化命题3 1 4 的局部条件。 妇n ，因为d 咖0 ) a i 石寂两0 ，我们总能在p 在m 中的个充分小邻 域找到一个复坐标系，使得= ( 。1 ，) c 2 z 1l ，lz 2l e ) ，z 1 = 西o ， z = nn = ( 0 ，z 2 ) c 2 z 2l 0 成立。 条件( 3 4 ) 要求d ( 2 咖) = d ( 2 z 1 ) = o 在一z 中成立。因为日2 ( 么) = 0 ，所以j u r ( t ( 一z ) + rc ) 使得锄= z 1 扎。记 u = u l d z l + u i d z l + u 2 d z 2 + u d z 2 ，( 3 1 0 ) 其中出i 兰d 尹，出2 圭d ，那么 西2 = z 1 山 ：；。- ( a i 屿一a 咄) 拟人出， 2 、。1 叫 嘞= ；( 岛u 。一a g 呻) 蹦 d z p a 必 其中i ，j 1 ，2 ，i ，) 且p ，q 2 ，i ，j 。 定义 其中i ，p ，q ( 2 ，i ，) 。 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 呲圭；z ，( 0 1 u i - - a u 。) 圭；( 舢。一0 q u p ) ( 3 1 3 ) 因为咖2 在u 中光滑，慨和。必然可以从u p z 光滑地延拓到。相反 我们断言： 定理3 2 1 设u 1 1 ( t ( 一z ) + r c ) ，如果硇。币p 口由p 圳定义，可以光滑 延拓到u p 且圭i 咖21 2 1 惦1 2 o 在z 中戍立，那么砂o = z 1 和舟j 定义 的咖z j 蔫足命题3 14 中除p 卅的所有条件。 证( 34 ) 由( 31 1 ) 定义西2 知其成立。重写( 3 1 1 ) 如下 咖2 = 2 妒，d z lad z l + z i 币p q d z 9a d z q ( 31 4 ) 2 0 0 6 年 中国科学技术大学硕士学位论文第1 3 页 第三章主要定理 32 局部条件 其中i ，p ，q 2 ，i ，j 。限制到z 上，我们有咖2 = o ad z l ，其中8 圭一2 0 ! d z 那么 西2a 石= 一出1a 如1 a0a i = 一4 a d z lad z lad z 2ad z 2 ( 3 1 5 ) 这就证明了( 3 6 ) 成立。 所以 因此 在 出1 ，d z l ，口，百) 这组基下表示d 和出2 。因为 ( ；) = ( ：裟糍矬 ( ：蓦( 象 奶、，舻、 西八舻 ( 剐= 去( 至毫2 ) ( ：l ：籍) 那么方面 ( 3 1 6 ) d e 2 = 2 ( 吵1 2 d z lad z l ad z 2 + 砂i i d z lad z ia d z 2 + 母髓如1ad z 2a d z 2 ) i 2 ( 妒t 2 d z l d z l ( 殛1 蜘+ 矧。1 d z l ( 巫- 1 蛹 讹疵1 五1 ( 一珊i 舻+ 互1 蝴) 五1 ( 蜊- - i 一扭百) ) ( r o o d0 ad z l ) ；妄( 币i 砂2 j 一砂2 妒i i + t f j 砂i 2 ) d z lad z la 日 ( r o o d0ad z l )( 3 1 7 1 2 0 0 6 年 中国科学技术大学硕士学位论文第1 4 页 第三章主要定理 s 32 局部务件 另一方面，在一z 上由( 3 3 ) 我们有 南2 驴4 2 丽 一( 2 9 ! d z l ad z 。+ z 1 d z 9ad z 。) 2 2 2 1 = 4 ( 妒i 母2 j 一咖2 妒i i + 妒j 廿1 2 ) d z la d z lad z 2ad z 2 = 去( 如也i 也妒i i + 咖蚓d z l d z l 目 百 ( 3 - 1 8 ) 因而( 3 1 8 ) 的4 可以延拓到z 上。 ( 3 - 8 ) 这时为 x ( 口出1 ) = d z l 。这样的x 总是存在的，且必然有i x 8 = 1 。x d 0 1 = 0 。因此 枷a = 去( 蜊。一例i i + 刚i ：) d z i a 百 ( r o o d 日a d z l )( 31 9 ) 因此由( 31 7 ) 和( 3 1 9 ) 可知在z 上有 d 庐2 ；i x 妒4 ( r o o d 口ad z l ) 所以( 39 ) 成立，凶而我们完成了定理321 的证明。 ( 32 0 ) 口 注3 2 2 再回顾一下p 圳，最简单的要求是蚍= 0 ，其中j 2 ，i ，j ) ，妒i = 仍= 0 且咖2 = 一i 1 。我们可以找到一个解u 1 = z 2 z 1 ，u = z 2 d z lz 1 ，因 此西2 = z 1 如= d z 2 a 如1 。这个解也正是? 降出的那个例子。 第四章相关内容 4 1复结构和广义复结构 定义4 1 1 设y 是一实线性空间，y 上的一个复结构是一线性映射j ：v y ，使得j 2 = 一i d 。 命题4 1 2 设胰v 上一复结构，那么了：v o v + 一y o y + x + 一j ( x ) 一，( ) 其中似+ f v 毋v + ；给出了y o v + 上一线性广义复结构。 证因为 了2 ( x + ) = j ( j ( x ) 一l ，+ ( ) ) = l ，2 限) + ，2 ( f ) = 一( x + ) 对v x + v o v 4 成立，所以j 2 = - i d 。 又 ( j + ( x + ) ，y + ”) = ( x + ，j ( y + ) ) = ( x + ，j ( y ) 一j + ( q ) ) = 一；( ( l ，( y ) ) 一( ，( q ) ) ( x ) ) = 一；( ( “钏( y ) 一州( 剐) = ( - j ( x + ) ，y + q ) 对v x + ，y + qev o v + 成立，所以丁 性广义复结构。 = 一j 。即j 给出了y o y 上一线 口 把复结构看成线性广义复结构之后，以下命题给出其对应的纯旋量： 命题4 1 3 设y 是2 n 维实线性空间，j 是y 上一复结构，则其诱导的广义复结 构j 对应的纯旋量为： 曲= c 日la a 日。( 4 1 ) 1 5 2 0 0 6 年中国科学技术大学硕士学位论文 第1 6 页 第四章相关内容弭2 辛结构和广义复结构 其中c 是非零常数， 0 。) cv + r c 是 v + o r cl ，( ) = 一j ) 的一 组基。即相当于一个( o ，n ) 形式。 证设x4 - ( v o v + ) r c 在了的 j 一特征空间里，即： j ( x + ) = j ( x ) 一i ，+ ( ) = j ( x4 - ) 那么l ，( x ) = , - j x ，( ) = 一, c 7 。了的v j 特征空间l 为： x v 哑ci ，( x ) = v 二了x ) o f v o rc ，4 ( ) = 一v 厂二玷 ( 42 ) 因此，记毋= 0 j 八a 如其中 仇) cv + rc 是( v + rcj + ( ) = 一二延) 的一组基，则易知l = l ( ) 。 口 下面，我们回顾一下流形m 上的复结构： 定义4 1 4 设m 是2 n 维的实流形，那么j r ( e n d ( t m ) ) 称为m 的一个复结 构，如果 i jj p 是b m 上的复结构，v p m j 降果只满足条件，我们称j 为一 近复结构。j 剀j 的 厂= i 一特征空间所构成t m rc 的子丛在l i eb r a c k e t 下是封闭 的。 那么比较这两种结构的可积性条件，我们有： 命题4 1 5 设m 是2 n 维实流形，是一近复结构，那么j 是复结构，当且仅当 其诱导的近广义复结构j 是广义复结构。 证如果【，是复结构，那么( 4 1 ) 可以局部选取0 沩反全纯坐标诱导的l 一形式， 那么有踯= 0 ，所以由f 2 9 ) 知了是广义复结构。 相反，若j 是广义复结构，那么c o u r a n tb r a c k e 唰在( 4 2 ) 中的第一部 分上将给出其是在l i eb r a c k e t 下封闭。所以t ，是一复结构。 口 4 2 辛结构和广义复结构 定义4 2 1 设y 是一实线性空间，v 上一辛结构是一非退化的u a 2 v + 。 2 0 0 6 年 中国科学技术大学硕士学位论文第1 7 页 第日章相关内容 42 辛结构和广义复结构 命题4 2 2 设u 是v 上一辛结构，记j ：v y + ，x 一奴u 。则了：矿o v + 一 y o y + ， x + 一j , - 1 ( ) + j ( x ) 其中v x + v o v + ；给出了v o v + 上一线性广义复结构。 证因为 了2 ( x + ) j ( j * - 1 ( ) + l ，( x ) ) j , - 1 ( j ) ) + j ( j 一1 ( ) ) 注意到，( x ) ( y ) = t ，( y ) ( x ) = u ( y x ) = 一u ( x ，y ) 对v x ，y y 成立。所以有，= 一j ，那么( 4 3 ) 有 了2 ( x + f ) = ( 一j ) 一1 ( j ( x ) ) + j ( ( 一j ) 一1 ( f ) ) = 一( x + ) 对v x + v o v + 成立。即j 2 = i d 。 又 ( 43 ) j ( x ) ( y ) ， ( j + ( x + ) ，y + q ) = ( x + ，j ( y + q ) ) = ( x + ，j $ 1 1 ( 目) + j ( y ) ) = 一；( j ( y ) ( x ) + 印一1 ( 枷) ( 4 4 ) 由u 的非退化，设= i ，) ，q = j ( b ) ，口l l j j ”1 ( 目) = 一b ，那么( 44 ) 变成 ( 了+ ( x + ) ，y + q ) = 一；( x ) 一u ( a ，b ) ) = ；( j ( 酬y ) + 柑一1 ( ) ) ) = ( 一j ( x + ) ，y + q ) 对v x + ，y + 研v o v + 成立，所以= 一j 。即了给出了y o y + 上线 性广义复结构。口 把辛结构看成线性广义复结构之后，以下命题给出其对应的纯旋量 2 0 0 6 年中国科学技术大学硕士学位论文第1 8 页 第四章相关内容 43k a h i e r i , j | 己形与广义k a h i e r 流形 命题4 2 3 设矿是2 n 维实线性空间，u 是v 上一辛结构，则其诱导的广义复结 构了对应的纯旋量为： 咖= c e z p ( f f a z w ) ( 45 ) 其中c 是非零常数。 证设x + f ( v o v + ) o r c 在了的v ，= t 一特征空间里，即： 了( x + f ) =j 一1 ( ) + j ( x ) 、一1 ( x + ) 即= 一f f a z j ( x ) ，所以了的丁特征空间l 为： 仁一v 了研ux v 固rc ) 记毋= e 印( 皿) ，易知有l = 工( 毋) 。 ( 46 ) 口 下面，我们回顾一下流形m 上的辛结构： 定义4 2 4 设m 是2 n 维的实流形，那么u r ( 2 t m ) ，对坳m ，是非 退化的，则称u 是一辛形式；如果还满足d u = o 则称u 是一辛结构。 那么比较这两种结构的可积性条件，我们有： 命题4 2 5 设m 是2 n 维实流形，u 是一辛形式，那么u 是一辛结构，当且仅当 其诱导的近广义复结构j 是广义复结构。 证如果d w = 0 ，则南( 4 5 ) 知螂= 0 ，即j 是广义复结构。 相反，如果了是广义复结构，由( 45 ) 选妒= e z p ( = k ) ，n d = j d u e z p ( j ) ，比较( 2 9 ) 两边一次项有0 = = i 奴u + ，进而右边是0 ，所 以d 击= 0 ，即d w = 0 ，因此w 是一辛结构。 口 4 3k a h l e r 流形与广义k a h l e r 流形 首先回顾下k a h l e r 流形的内容： 定义4 3 1 如果m 是一个复流形一己其复结构为川，如果它具有一个h e r m z t z 。n 度 量9r 即g ( x ，y ) = 9 ( ，( x ) ，( 1 ，) ) ，相应的辛形式u p p u ( x ，y ) 圭9 ( ，( x ) ，y 闭形式，那么m 称为一个k a h l e r 流形。 2 0 0 6 年 中国科学技术大学硕士学位论文第1 9 页 第四辛相关内容 43k a h l e r 流形与广义k a h l e r 流形 由命题4 12 和命题4 2 2 ，我们知道k a h l e r 流形的复结构和辛结构诱导了 两个广义复结构历，函。记u 诱导的t m t m + 映射为l ，。 设= i a g ，q = i u 9 ，则j “( l ，( a ) ) = 一j ( j ( a ) ) = i a g = ，因为一方而： ( 另岛( x + ) ，y + q ) = ( j l ( j “一1 ( f ) 4 - l ，7 ( x ) ) ，y + q ) = ( j ( j 一1 ( ) ) 一l ，+ ( ，( x ) ) ，y 十q ) = 一( 一，+ ( l 7 ( x ) ) ( y ) 4 - 1 ( j ( t ，i , - 1 嬉) ) ) ) 1 = 一言( 一9 ( j ( x ) ，j ( y ) + g ( b ，j ( l ，( a ) ) ) ) 1 = 言( 9 ( x ，y ) + 9 ( b ，4 ) ) 而另一方面，又因为j “( a ) = 一9 ( l ，( a ) ，) = g ( a ，( ) ) = ，+ ( f ) ： ( & j f f x + ) ，y + q ) = ( 函( j ( x ) 一j + 嬉) ) ，y + q ) = ( j “一1 ( j + ( f ) ) + l ，7 ( l ，( x ) ) ，y 十q ) = 一；( “，( 剐( y ) + 咿“。( 一州) ) = 一：( 如( ，( 剐，y ) + 9 ( b ，一删 = ；( 9 ( x ，y ) + 9 ( b ，4 ) ) 所以有q 圭历岛= 历另，且( q ( ) ，) 给出t m o t m + 的一个正定内积