（水工结构工程专业论文）连续非连续问题的数值流形方法及其应用研究.pdf

摘要 在水工结构稳定和强度的分析中经常遇到连续- t i e 连续问题，如坝体开裂、水力劈 裂、水库边坡的滑动等。有限元法( f e m ) 适用于连续问题的分析，而离散元( d e m ) 和非连续变形分析( d d a ) 则适用于非连续问题分析。数值流形方法( n m m ) 作为一 种新的数值方法，能够把有限元法与非连续变形分析方法有机地结合在一起，统一分析 连续一非连续问题。本文主要研究适用于连续一非连续问题的数值流形方法，完善其理 论和应用技术，并探讨其在解决水利工程实际问题中的应用技术。主要成果如下： ( 1 )从理论上探讨了基于规则三角形数学网格、考虑材料分界线和裂隙影响的数 学覆盖系统，完善了基于三角形数学网格的数值流形覆盖生成系统，开发了相应的计算 程序。完善后的数值流形覆盖系统，能更好地适应工程中复杂的分区情况。 ( 2 )采用变材料力学参数方法模拟介质中的孔洞，实现了地下洞室开挖过程的模 拟，并完善了计算程序。重力坝应力分析，地下洞室围岩应力分析和岩体边坡稳定分析 等算例表明，计算结果符合一般规律，程序是正确的。另外还分析了数值流形单元大小 对计算结果的影响。 ( 3 )运用所研制的数值流形方法程序，考虑防渗面板、浆砌石等材料分区以及廊 道等的影响，研究了东方红浆砌石重力坝的变形和应力。考虑降雨入渗的影响，分析了 粤赣( 上陵至埔前段) 高速公路某岩体边坡的稳定性，并确定了该岩体边坡发生滑动的 极限内摩擦角。研究成果表明，计算程序可以分析连续一非连续问题，可适用于小变形 和大变形情况。 关键词连续- - 二l i e 连续数值流形方法重力坝地下洞室岩体边坡 a b s t r a c t n o w a d a y s ，c o n t i n u o u s - d i s c o n t i n u o u si s s u ei sv e r yc a 3 1 t i n l o no nt h ea n a l y s i so fs t a b i l i t y a n di n t c n s i o no fh y d r a u l i cs t r u c t u r ee n g i n e e r i n g , s u c ha st h ed a mb o d yc r a c k i n g , h y d r a u l i c f r a c t u r e , s l o p es l i d i n go fr e s e r v o i ra n ds oo n g e n e r a l l ys p e a k i n g , t h ef e m ( f i n i t ee l e m e n t m e t h o d ) i so f t e nu s e d0 nc o n t i n u o u sp r o b l e ma n dt h ed e m ( d i s t i n c te l e m e n tm e t h o d ) a n d d d a ( d i s c o n t i n u o u sd e f o r m a t i o na n a l y s i s ) a r em a i n l yu s e do nd i s c o n t i n u o u sp r o b l e m h o w e v e r , t h en m mm u m e r i c a lm a n i f o l dm e t h o d ) w h i c hi san e wn u m e r i c a lw a yo ft w o c o v e rs y s t e m sc a nc o m b i n et h ef e ma n dd d at oa n a l y z et h ec o n t i n u o u s - d i s c o n t i n u o u si s s u e t o g e t h e r b a s i n go nt h et h e o r yo fc o n t i n u o u s - d i s c o n t i n u o u sn u m e r i c a lm a n i f o l dm e t h o d ，t h e p a p e rd i s c u s s e st h em a i na p p l i c a t i o nt e c h n i q u ei nh y d r a u l i cp r o j e c ta n di n t r o d u c e ss o m e a c h i e v e m e n ta sf o l l o w s ： 1 ) b a s e so nt h en u m e r i c a lm a n i f o l dt h e o r y , t h em a t h e m a t i c sc o v e rs y s t e r ni sd i s c u s s e d w h i c hr e f e r st ot h er e g u l a rt r i a n g u l a rm e s h , m a t e r i a ld i v i s i o na n dj o i n ti n f l u e n c e ；t h ec o v e r c r e a t i n gs y s t e mb a s e so nt h et r i a n g u l a rm a t h e m a t i c sm e s hi sc o n s u m m a t e d ；c o r r e s p o n d i n g c a l c u l a t i n gp r o g r a mi sd e v e l o p e d , w h i c hc a na c h i e v eab e t t e ra d a p t a t i o no ft h ec o m p l e x m a t e r i a ld i v i s i o ni np r o j e c t 2 1t h ee x c a v a t i o np r o c e s so fu n d e r g r o u n dc h a m b e rb yc h a n g i n gm a t e r i a lm e c h a n i c s p a r a m e t e ri ss i m u l a t e d 1 1 l es t r e s sc o n d i t i o no fg r a v i t yd a r na n du n d e r g r o u n dw o r ka n d s t a b i l i t yo nt h er o c ks l o p ea r ea n a l y z e d ，i no r d e rt op r o v et h ec o r r e c t n e s so fc o m p u t a t i o n p r o g r a mb yt h e s ec a l c u l a t i n ge x a m p l e s ，i na d d i t i o n , t h ei n f l u e n c eo nt h ec o m p u t a t i o nr e s u l to f t h em e s hs i z eo f n u m e r i c a lm a n i f o l di sa l s oa n a l y z e d 3 ) c o n s i d e r e dt h ei n f l u e n c eo f a n t i s e e p a g ep a n e l ，m a t e r i a lp a r t i t i o no f m a s o n r ya n dg a l l e r y , t h es t r e s sa n dd e f o r m a t i o no fd o n g f a n g h o n gm a s o n r yg r a v i t yd a mi sa n a l y z e db yt h e c o m p u t a t i o np r o g r a m0 1 1n u m e r i c a lm a n i f o l dt h e o r y , t h es t a b i l i t yo far o c ks l o p ei ny u e g a n e x p r e s s w a y ( 舶ms l m g l i nt op u q i a n ) i nw h i c hc o n s i d e r i n gt h ei n f l u e n c eo fr a i n f a l l i n f i l t r a t i o ni sa l s oa n a l y z e d , a n dt h el i m i ti n t e r n a lf r i c t i o na n g l eo ft h er o c ks l o p es t a b i l i t yi s f o u n d 皿er e s u l t si n d i c a t et h a tt h e c o m p u t a t i o np r o g r a mc 雒b eu s e d t o a n a l y z e c o n t i n u o u s - d i s c o n t i n u o u sp r o b l e m sa n di sa c c e p t a b l ef o rb o t hs m a l ld e f o r m a t i o na n dl a r g e d e f o r m a t i o no f s t r u c t u r e k e y w o r d s ： c o n t i n u o u s - - d i s c o n t i n u o u s ；n u m e r i c a lm a n i f o l dm e t h o d ；g r a v i t yd a m ；u n d e r g r o u n dw o r k ； r e d c ks l o p e 学位论文独创性声明： 本人所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中 不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同事对本研 究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。如不实， 本人负全部责任。 论文作者( 签名) ： d 7 年i - 月l j e l 学位论文使用授权说明 河海大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、中国学术期刊( 光 盘版) 电子杂志社有权保留本人所送交学位论文的复印件或电子文档，可 以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅。 论文全部或部分内容的公布( 包括刊登) 授权河海大学研究生院办理。 论文作者( 签名) ： 0 7 年f 月0 日 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 水利工程中存在着各式各样的连续一非连续问题。连续问题，如混凝土块坝体应力 应变问题，基岩的沉降问题等等。非连续问题，如建筑物基础与地基岩体的交界面上， 混凝土结构的分缝面上、岩体的节理面上裂缝面上等，存在的滑移或脱开等非连续变形 的问题，这些交界面上的不连续力学行为极大地影响着结构的受力和变形，往往成为问 题分析的关键【l 】。 研究此类连续一非连续问题的方法主要有实验研究、理论分析与数值模拟三大类。 而数值模拟技术是一种经济有效的辅助手段，对于实际工程中数值模拟方法的研究是必 须的和重要的。在2 0 世纪后期近3 0 多年的时间里，水利工程数值方法得到很快的发展。 有限元法、边界元法、有限差分法等是最先被应用于水利工程的数值方法，用于分析较 均匀的连续体的应力应变问题。随后为考虑材料的不连续性和非线性，在有限元法中加 入了节理单元，并增强了数值方法非线性的分析能力。离散元法、块体理论、非连续变 形分析方法、拉格朗日元法、块体弹簧元法等一系列新的数值方法的出现，则标志着水 利工程数值方法的研究进入了一个繁荣的时期。虽然数值分析方法越来越丰富，但是大 都局限于对连续问题或非连续问题的分析，处理连续一非连续问题时存在一定的局限 性。数值流形方法( n m m ：n u m e r i c a lm a n i f o l dm e t h o d ) 作为一种新的数值方法，统一 解决了有限元法、非连续变形分析方法和解析法的计算问题，实现了对连续一非连续问 题的统一求解，具有一般意义。它比传统数值方法有更多优点，对连续一非连续问题有 更好的适应性，成为目前国内外岩土工程及水利工程数值方法中最热门的研究方向之 一，在岩土工程及水工结构工程中有广泛的应用前景。 1 2 常用数值模拟方法简介 近几十年里，土木工程、水利工程、力学、计算机技术等众多领域和学科的学者在 数值分析的理论和实践方面做了大量的工作，取得了丰富的成果。水利工程中常用的数 值分析方法主要有：有限差分法、有限元法、边界元法、拉格朗日元法、刚体弹簧模型 或刚性有限元法、离散元法、非连续变形分析方法、无单元法、数值流形方法等。 1 2 1 有限元法、边界元法、拉格朗日元法 有限单元法( f e m ：f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ) 2 1 4 3 】产生于1 9 5 6 年，是随着电子计算 机的发展而建立的一种新颖而有效的数值计算方法。有限单元法的基本思想是将连续的 求解域离散为一组有限个、按一定方式相互联结在一起的单元的组合体，彼此问只在数 目有限的指定点处互相连接，使得具有无限个自由度的连续体被理想化为只有有限个自 由度的单元集合体，使问题简化为适合于数值解法的结构型问题。然后对每个单元根据 第一章绪论 分块近似的思想，选择一个简单的函数来近似地表示其位移分量分布规律，并按弹塑性 理论中的变分原理建立平衡方程，这样就得到了一组以节点位移为未知量的方程组，应 用适当的方法求解方程组即可得到节点处所求未知量的近似值。有限元法是水利工程中 应用最成功的数值分析手段。对水利工程问题的复杂几何边界及复杂材料构成有良好的 适应能力，能考虑水利工程中各种材料复杂的本构关系。 边界元法( b e m ：b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ) 【4 】是2 0 世纪7 0 年代兴起的一种数值 算法，属于半解析的数值方法【5 】【“，与有限元法不同的是边界元法只需在边界上进行离 散，因而弥补了有限元的一些缺点，具有降维作用，计算精度高，数据处理工作量小， 占内存少，对于无限域或半无限域问题尤其理想1 7 。 拉格郎日元法( f l a c ) 是针对材料非线性和几何非线性而提出的一种数值方法【8 】， 它可以应用于连续介质大变形问题的分析。f l a c 采用动态运动方程式，能有效克服系 统模型内的不安定因素。所以解静态系统模型时它将比有限元法花费更长的时间，f l a c 使用动态方程解非线性问题有更快的求解速度。f l a c 使用显示差分的求解格式，无需 建立刚度矩阵，需要的内存少。f l a c 的不足是其在计算线性问题时所花费的时间比有 限元法要长，且由于其计算时间取决于固有周期和最短固有周期之比，故在支护模拟计 算中支护材料的物性值和尺寸与模型的物性值和尺寸存在较大差异时所花费的计算时 问相对要长。 有限元法、边界元法、拉格朗曰元法都适宜于连续体变形问题的分析，其中有限元 法有、边界元法以解决连续体小应变问题为主，拉格朗日元则可应用于连续体大变形问 题的求解。 1 2 2 离散元法、刚体有限元法、非连续变形分析方法 离散元法( d e m ) 【9 】是2 0 世纪7 0 年代开始出现的一种崭新的突破连续介质力学计 算框架，基于n e w t o n 第二运动定律，以不连续面切割而成的离散快体为基本求解单元， 并通过适当的引入阻尼来使系统达到平衡和稳定的新的数值模拟方法【l0 1 。离散元法可 以反映岩块之间接触面的滑移、分离、翻转等大位移【l l 】，可以模拟块体在失去平衡时 的运动等。离散元法用显式差分法求解动力平衡方程，对非线性大位移问题有较快的求 解速度。离散元法的不足在于其动态松弛的能量耗散存在不易解决的问题，而静态松弛 在岩块失稳后方程会出现病态，局部块体失衡会破坏整个计算过程。 刚性有限元法则将离散后的块体视为刚性的，块体之间用界面上法向与切向弹簧相 联结，以块体形心处刚性位移为基本变量用分片的刚体位移模式逼近实际整体位移场， 以联结弹簧反映结构内部的弹性性能，并用界面应力代替结构内部的应力。块体界面服 从库伦摩擦定律，充分的静力学约束条可以使连续状态的应力分析得到较高的计算精 度，可以估算出临界状态的极限荷载【1 2 】，【1 3 】h 】。在刚性有限元法中由于不考虑块体自身 的变形和应力，所以其更注重界面的力学行为和结果，适用于发生原生界面破坏的情况， 不能反映块体破坏的发展和次生界面的开裂过程。 2 第一章绪论 非连续变形分析方法( d d a ：d i s c o n t i n u o u sd e f o r m a t i o na n a l y s i s ) 【1 5 】1 6 1 是石根华 与g o o d m a n 继提出岩体稳定性分析的关键块体理论( k b t ：k e yb l o c kt h e o r y ) t t l 之后， 2 0 世纪8 0 年代末发展起来的一种模拟散体系统大变形的数值分析方法。d d a 方法是 在块体运动学基础上，并部分吸收离散单元法关于接触形式的描述方法和刚块一弹簧模 型中位移函数的构造方法等方面优点发展起来的一种与有限元法并行的数值分析方法。 d d a 方法以被有限的不连续面切割的离散块体为基本单元，通过块体之间的接触和作 用在各块体上的位移约束条件，把若干个单独的块体连接起来并构成一个块体系统。利 用最小势能原理建立单个块体的单元刚度矩阵及块体系统的整体平衡方程来求解块体 系统的变形与应力。由于非连续变形分析方法采用统一的有限元格式求解刚体位移和块 体变形，所以不仅可以计算破坏前的小位移，也可以计算破坏后的大位移，不仅允许块 体自身有位移和变形，而且允许块体间有滑动、转动、张开等运动形式，对求解滑动、 崩塌、爆炸及贯入等问题十分有效。但是在d d a 中，计算的时步对结果的精度影响大， 计算要求较大的数据存贮量，计算时间也长，计算成本较高。 离散元法、刚性有限元法、非连续变形分析方法都适宜于非续体变形问题的分析， 相对于有限于等方法具有应用方便、计算快、模拟更为准确的优点，为水利工程数值模 拟分析提供了更好的工具。 1 3 数值流形方法的研究进展 数值流形方法在国内最早见于由清华大学裴觉民教授翻译的数值流形方法与非连 续变形分析 4 3 1 一书。流形方法以拓扑流形和微分流形为基础，它有分开的且独立的 两套网格：数学覆盖和物理网格。数学覆盖定义近似解的精度，由用户选择且独立于物 理网格划分，可以是任何规则或不规则的格子，物理网格则包括材料的边界、裂缝、块 体和不同材料区域的交接面，它不能人为选择。物理网格对数学覆盖再剖分就形成了覆 盖材料全域的流形方法求解的物理覆盖系统。对物理覆盖系统上的每一个物理覆盖可以 定义各自独立的覆盖位移函数，然后在几个覆盖的公共区域( 即流形单元) 内将其所有 覆盖上的独立覆盖位移函数加权求和就能形成适应于该域的总体位移函数。通过采用连 续和非连续覆盖函数的方法可以统一地处理连续和非连续的力学问题。被誉为是新世纪 的数值方法，具有极其深远的发展前景和应用价值。 c h e ng u a n g q i ( 1 9 9 7 年) 将物理覆盖的覆盖函数从常数提高到线性函数m 】1 9 9 8 年，又将覆盖函数提高n - - 阶级数【4 5 1 。s h y uk 和s a l a m im r ( 1 9 9 5 年) 借鉴有限元法 的研究经验，在数值流形方法中引入了四节点等参单元m 】，h i d e o m i o h t s u b o ( 1 9 9 7 年) 通过研究采用不同覆盖形状或节点数对控制数值流形方法的计算精度h7 】- 王水林( 1 9 9 9 年) 研究了四个物理覆盖形成的流形单元的计算方法【4 ”，这些研究均不同程度的丰富 和扩展了流形方法的求解能力。 曹文贵和速宝玉( 2 0 0 1 年) 【4 9 】、蔡永昌和张湘伟( 2 0 0 1 年) 【5 0 】等学者讨论了流形 第一章绪论 方法数学网格自动生成问题；s h e n g 、c h e l a 和c h u a n g ( 1 9 9 5 年) 讨论了流形方法的插 值理论 5 l 】：骆少明、张湘伟和蔡永昌( 2 0 0 0 年、2 0 0 1 年) 研究了流形方法的变分原理 1 5 2 ，f 5 ”。这些研究丰富了数值流形方法在前处理、交分原理和插值理论方面的研究。 在物理非线性方面，t a k e s h is a s a k i 等发展了用于节理岩体模型的弹塑性流形方法 5 4 】：王书法( 2 0 0 0 年) 利用参变量变分原理研究了岩体弹塑性分析的数值流形方法1 5 5 】， 该方法主要将弹塑性问题转化为在屈服条件约束下求解弹塑性势能泛函的极值问题，在 每个载荷增量步中不需要弹塑性迭代。 1 9 9 7 年，王芝银建立考虑岩石大变形，建立了岩石大变形分析的数值流形方法一 般计算格式，完成了非线性( 二次) 位移函数条件下的流形方法程序5 6 m 7 】5 8 1 ，并模拟 了边坡开挖问题。1 9 9 8 年，王芝银又对流形方法中的约束条件、边界释放荷载和积分 方法进行了改进，建立了适用于一般岩体力学问题的固定点矩阵、分部荷载矩阵及单纯 形积分的更简便形式。他们的计算表明，数值流形方法在岩石大变形分析中是有效的。 在考虑液固耦合作用方面，t e - c h i h ( 1 9 9 6 年) 研究了分析区域同时包含液体区域 和固体区域的数值流形方法p ；王水林( 1 9 9 8 年) 研究了有自由边渗流问题的数值流 形方法 6 0 l ，o t m i s h i ( 1 9 9 9 年) 研究了模拟饱和一非饱和土中不稳定地下水作用的数值 流形方法【6 l 】。 1 9 9 9 年朱以文等【6 2 】将增量流形方法推广到岩石大变形问题，并模拟了岩石中裂缝 的发展和大变形。2 0 0 0 年，栾茂田 6 3 】等应用流形方法思想，通过引入广义节点的概念， 对传统有限元法进行改进，提出了广义节点有限元法。 z h a n g ( 1 9 9 7 年) 用数值流形方法模拟热应力作用下的裂纹扩展问题m 】，该方法计 算得到的尖端应力是不够精确的。同年，c h i o u 和t s a y ( 1 9 9 7 ，1 9 9 9 年) 把数值流形方 法和断裂力学相结合来研究裂纹扩展及尖端应力场【6 5 】 【6 “，开始了数值流形方法与断裂 力学的结合。最近t s a y 等( 2 0 0 2 年) 利用虚位移扩展法【6 8 9 】和数值流形方法相结 合来研究混合裂纹扩展闷题，克服了张开位移法依赖经验的缺点。 工程应用方面，2 0 0 5 年，朱爱军建立了全长粘结杆件的数值流形方法模型；系统 提出了数值流形方法对开挖卸荷问题的模拟方法；推导了数值流形方法与d d a 的耦合 计算方程并编制了相关程序【加】。张湘伟等尝试了面向对象的程序设计方法，并在连续 体分析中给出了应用实例，还设计出矩形覆盖系统及其自动生成算法【7 1 】。沈振中等 ( 2 0 0 6 年) 利用数值流形方法分析了某一水库岩体边坡在库水位骤降时的变形规律，提 出了利用边坡位移确定岩体滑动面内摩擦角的方法【7 4 1 。 另外还有一些研究者探讨了数值流形方法本身的精度及应用前景，对裂隙扩展，多 裂隙结构体的破坏及跟踪，弹性问题的模拟、移动中悬梁的自重弯曲破坏以及将流形方 法与局部子域b e m 法相结合进行了裂隙扩展的模拟等方面均有研究文献报道。同时， 还有利用流形方法概念对传统有限元方法进行改进，建立可具有任意高阶多项式插值函 数的广义自由度有限元方法【7 ”。 这些研究成果的出现完善和发展了数值流形方法的内容。但是也可以看出，由于数 4 第一章绪论 值流形方法是一种新的数值方法，它的发展才刚刚起步，研究对象还比较狭窄，目前大 多数是针对岩土工程的块体或不连续的裂缝数值模拟，而且基本上都直接采用有限元网 格来作为流形方法的数学覆盖，还未能充分体现流形方法的优越性。数值流形方法还应 该有更大的发展空间和更多的工作要做。 1 4 论文的研究目的与内容 水利工程中存在大量复杂的连续一非连续问题。数值流形方法作为一种新型的数值 模拟方法，能够统一的解决连续、非连续问题，更具有一般意义。较之传统数值方法有 其自身的优点，如：有限覆盖技术的引入能够更好地适应复杂问题的需求；连续与非连 续问题建立了统一的求解格式显示了该方法的优越性：数值流形方法应用数学网格与物 理网格双重网格，极具创造性地解决了非连域的离散问题，从而可适用于复杂边界问题。 流形方法的种种优点使其对工程有更好的适应性，在水利工程中具有良好的应用前景。 但是，数值流形方法作为一种新的方法，目前对它的研究时间还不常，理论还不完善， 距成熟的工程应用还有较大距离，数值流形方法对水利工程中复杂问题的计算分析能力 未能充分体现，对数值流形方法还有许多研究工作有待完善。 本文针对以下方面开展了工作： ( i ) 广泛收集国内外资料，详细分析整理数值流形方法的基本理论和基本公式。 ( 2 ) 从理论上探讨基于规则三角形数学网格，考虑材料分界线和裂隙影响的数学 覆盖系统。并根据该理论，完善基于三角形数学网格的数值流形覆盖生成系统，编制相 应程序。 ( 3 ) 尝试解决地下洞室开挖的模拟计算，完善计算程序，并应用于地下洞室开挖 过程的模拟。分析数值流形单元大小对计算结果的影响。 ( 4 ) 将数值流形方法应用于实际工程。对东方红浆砌石重力坝进行应力和变形分 析，研究不同工况下坝体和坝基的应力和变形；在连续一非连续问题中，考虑降雨入渗 的影响，分析粤赣( 上陵至埔前段) 高速公路某岩体边坡的稳定性，模拟大位移和接触 面的破坏滑移，确定该岩体发生滑动的极限内摩擦角，评价其稳定安全性。 ( 5 ) 对所做工作进行总结，展望有待进一步研究的问题。 5 第二章数值流形方法的基本理论 第二章数值流形方法的基本理论h 3 l ， 7 0 i ，【7 5 l 数值流形方法以数学流形为基础，其网格是许多有限覆盖。按照材料的区域，有限 覆盖相互重叠并涵盖全部材料体。在各覆盖上，数值流形方法定义一个独立的覆盖位移 函数。各个覆盖上的覆盖位移函数连接在一起，在整个材料体上形成一个总体的位移函 数。对数值流形计算来说，数学覆盖和物理网格是独立的，因此，数学覆盖是不定界和 不变化的。它不要求完全符合物理网格的边界，只要求其完全覆盖物理网格，对数学覆 盖的形状与范围没有限制，这更方便处理物理网格的复杂形状。本章将对数值流形方法 的基本理论进行详细的阐述。 2 1 数值流形方法的覆盖系统 “流形”一词来源于拓扑学。拓扑学就是研究图形在拓扑变换下不变性质的学科【6 2 】， 流形是其重要研究对象。一个流形就是一个局部欧氏的拓扑空间。数值流形方法中的“流 形”与传统的流形不同。传统流形中的全局函数是高度可微的并且与覆盖无关，而数值 流形方法的全局函数是定义于覆盖上的、分片可微的，且在接触面上可以是非连续的。 一个工程问题的求解区域在数学上可视为一个流形，它的响应( 如位移) 就是流形 的一个变换。对于某一流形进行复杂变换，通常可以将其分解为一些简单的几何图形如 三角形或多边形，然后用一些易于分析的图形来覆盖这些简单的图形。这样，对一个复 杂问题的研究就可转变为对较小的和较简单的覆盖问题的研究。这种由若干个覆盖对材 料域进行剖分、对微分方程进行离散的技术称为有限覆盖技术，它是流形方法的核心。 数值流形方法包括数学网格与物理网格两套网格系统。数学网格可以任意地增加、 删除、移动，是人为选定的，可以是三角形、多边形，还可以是圆形的，而物理网格是 由材料的边界、节理、裂缝等非连续界面与材料域的边界构成的，是由材料本身决定的， 不能人为地选择。数学网格用于构造插值函数，其疏密程度决定了数值解的精度。物理 网格则是能量泛函的积分区域。数学网格的范围边界与物理网格的范围边界并不一定重 合。 物理覆盖是由数学网格和物理网格组合而成。如果一个数学网格被求解域边界、裂 缝或两种材料边界等具有物理意义的界线分成若干个区域，则这些区域定义为物理覆 盖。在连续区域，一个数学网格只形成一个物理覆盖，而在非连续区域，一个数学网格 会形成多个物理覆盖。数值流形方法就是通过数学网格的连续性巧妙地表达出了材料域 的连续与非连续特点。图2 1 示意了一个数学网格在求解域边界和一条裂缝的切割作用 下形成物理覆盖的过程。在图2 1 ( a ) 中数学网格不被任意非连续界面切割，因此只形 成一个物理覆盖。而在图2 1 ( b ) 中数学网格被裂缝或裂缝与材料边界切割形成两个 物理覆盖。 6 第二章数值流形方法的基本理论 图2 - 1 物理覆盖形成示意 有限仑相互重叠的覆盖便可构成流形方法的一个有限覆盖系统，不同的覆盖形状与 不同的覆盖重叠形式便形成了不同的覆盖系统。流形单元是物理覆盖的交集，物理覆盖 称为节点。当数学网格是圆形时，流形单元是由若干段弧与线段围绕而成。当数学网格 是多边形时，流形单元也是多边形。任意的数学网格形状与任意的覆盖重叠形式形成的 流形单元不仅形状不规则，而且每一个单元的节点( 物理覆盖) 数也是不相同的。这给 积分计算与插值构造带来困难。图2 - 2 中分别示意圆形数学网格与任意多边形数学网格 按照不同的重叠形式形成有限覆盖系统的过程。 。 图2 - 2 有限覆盖系统形成示意 2 2 有限覆盖上的覆盖函数、权函数及总体函数 数值流形方法中，覆盖函数独立地定义于各个有限覆盖上，各有限覆盖的覆盖函数 在它们的公共区域( 流形单元) 上加权平均得到的总体函数。 图2 3 为一维有限覆盖的例子，图中有三个一维覆盖分别为：u 、，它 们覆盖的区域为 q 2 4 4 ，2 马岛，2 c i g 第二章数值流形方法的基本理论 下 在三个覆盖上定义的覆盖函数分别为 q ( x ) = 4 4 ， 蚝( 工) = 马只， u l ( x ) = g c , ， 工u 工n x 以 矾玑 阢 图2 - 3 一维连续问题的总体函数 覆盖函数由权函数w i ( x ) 连接而成为整个材料区域上的总体函数。权函数的定义如 f w ( 工) 0 1 ( x ) ：o x u 工芒u ( 2 1 ) 在多个覆盖重叠的区域 w j ( x ) = 1 ( 2 2 ) x 幽z 权函数( x ) 的含义是加权平均，它对所有含x 的物理覆盖取每个覆盖函数u ( 功的百 分数。所以有 w 1 ( x ) ( 工) = 4 4 4工u w z ( x ) u 2 ( 力= 局岛b 6 岛工 w 3 ( x ) u s ( x ) = c 2 g qx u ( 2 3 ) ( 2 - 4 ) ( 2 5 ) 所以整个区域上的总体函数为 3 “( 工) = q ( 功坼( 工) = 以4 b 鼠c 5 c 4 ( 2 - 6 ) t = 1 第= 章数值流形方法的基本理论 2 3 以有限元网格为数学覆盖的流形方法覆盖系统 目前数值流形方法通常采用传统的有限元网格作为数学网格。采用传统有限元网格 作为数学网格的优点是：( 1 ) 这种数学网格形成的流形单元可以进行单纯形解析积分； ( 2 ) 单元上的节点个数恒定，便于插值函数的构造。 通常将应用有限元网格作为数学网格的流形方法称为有限单元覆盖的流形方法。较 之于任意覆盖情形的流形方法，有限单元覆盖的流形方法在原理上与有限元法非常相 似，是包含有限元法的更一般化的数值方法。在数值求解上，可借用现有有限元的许多 技巧。 在数值流形方法中，数学网格的边界并不要求一定要与物理边界相一致，数学网格 只要能涵盖物理区域即可。图2 _ 4 是一三角形有限元网格及其转化成的数学网格，图 2 5 是一个含有裂隙的边坡( 物理网格) 。图2 - 6 是由数学网格和物理网格共同作用下形 成的覆盖系统及流形单元。 图2 - 4 三角形有限元网格 数学覆盖 图2 - 5 含有裂隙的边坡 9 第二章数值流形方法的基本理论 图2 - 6 含有裂隙的边坡的覆盖系统 流形单元 对采用三角形有限元网格作为数学覆盖的数值流形方法来说，具有下列的性质 ( 1 ) 流形单元的形状可以是任意的； ( 2 ) 三个物理覆盖的公共区域形成了一个流形单元； ( 3 ) 每一个流形单元共有三个物理覆盖，三个物理覆盖可以看成是流形单元的三 个点： ( 4 ) 边界或裂缝将数学覆盖分割成具有不同点的单元。 2 4 基于有限元网格的数值流形方法 2 4 1 覆盖函数 虬( x ，) ) 、v 1 ( x , y ) ，y ) 坼 坼( x ，y ) 、m ( 工，y ) 的构造方式很多，它们可以是常量、线性、 般荆翁 黝牝蚓引 1 0 高阶多项式或局域级 ( 2 7 ) ( 2 - 8 ) 第二章数值流形方法的基本理论 ：要舅) = l o oxoyox 20 y 2 0 ：砂0 x。yjj2d，12 c 二9 ， 将式( 2 - 7 ) 、( 2 8 ) 、( 2 9 ) 统一表达为 m u i ( x , y y ) ) j l = 童j f f i l 0 力0 力一 g 封j - i c 2 一。， 上式对应用于0 、1 、2 阶覆盖函数，m 分别为1 、3 、6 。 可进一步将式( 2 1 0 ) 简单表达为 髅瓣吲 沼m 其中【剐为基本级数，f q ) 为级数系数。级数系数 口) 在数值流形方法中称为覆盖自由 度，是待求解的未知量。 2 4 2 覆盖函数的权函数 根据权函数的一般定义，数值流形方法的覆盖权函数应满足单位分解性质，郎 心o ( 功ox 。 ( 2 1 2 ) k o ( 功2 0工萑o ( 2 1 3 ) k o ( = l x e u t t ( 2 1 4 ) 覆盖权函数在其拓扑星处取最大值1 ，在其对应的数学网格的边界上或边界外取为 用三角形有限元网格转化为数学网格的数值流形方法，流形单元的节点总是三个， 其权函数可按照三角形有限单元的形函数进行构造。如图2 7 所示，记流形单元e 的三 个物理覆盖所对应的数学网格的拓扑星为r ( ，2 i , j ，七) ，拓扑星的坐标为 以，只) ( ，2 工n 。为了与节点相区别，下文称围成流形单元的点为“角点”。 困 i 0 k o 为流形单元 为流形单元节点 为流形单元角点 图2 - 7 三角形有限单元覆盖流形单元节点和角点 第二章数值流形方法的基本理论 在流形单元上，线性覆盖权函数k ，) p 2 f ，j , k ) 可用拓扑星的坐标表示为以下一般 形式 k ，) 2 a r + b , x - i - c , y ( 2 1 5 ) 按照三角形有限单元法构造形函数的方法可导出如下形式的覆盖权函数 k ，) 2 五1 ( a r 4 - b r x + c ， ( 2 1 6 ) 其中 1 1 葺乃l a = 1 1x j 乃i 1 1x k 儿i ( 2 1 7 ) 为三个拓扑星f 、，、k 围成的三角形玎_ i 的面积的2 倍需要注意的是，一般情况下， 这个面积并不等于流形单元玎t 的面积。 式( 2 1 6 ) 与三角形有限元的形函数在形式上完全一样。只是对于有限元而言，式 ( 2 1 6 ) 中的是有限单元面积的2 倍，而在流形单元中，它是由三个覆盖的拓扑星所 组成的三角形的面积的2 倍，而不是流形单元的面积的2 倍。由以上分析可知，对于有 限单元覆盖流形方法，覆盖权函数实质上就是有限元的形函数。那么，如果用四边形有 限元网格作为数学网格的流形方法，流形单元的节点总是四个，则权函数可以选取四边 形有限单元等参变换的插值函数。 2 4 3 流形单元的位移函数 对平面问题，如果单兀e 是物理覆盖己0 、吮2 的交集，则其位移函数可用 下式表示 般辨言咄仁黝 协 进一步将式( 2 8 ) 展开可得 髅辨搿味训碥0 。嘛螂0w ，慨- 1 ) = 妻艺h o ，y ) = - - il - - k i ( 工，叫 坟 ( 2 1 9 ) 上式中，【死( 工，y ) 】为与覆盖叱对应得位移矩阵 【乃( x ，y ) 】= 【巧。( x ，y ) 乃：( x ，y ) a7 二。( 五y ) 】( 2 - 2 0 ) 第二章数值流形方法的基本理论 其中 ( 毛力 = f 佤力厶“川屹三厶“力i 根据式( 2 - 2 0 ) 和式( 2 - 2 1 ) ，可以将阢阮) ，) 1 用下式表达 k ( 工，y ) 】= 瓦：a 乙】 i 乞l j 力t , i 。力 2 “ ，力t 1 却伍y ) i l t , 2 ，i ( x ，力乞。( 工，) ，) 如。+ i ( 五y ) 乞加o ，y ) j 2 5 数值流形方法的总体控制方程 ( 2 - 2 1 ) ( 2 2 2 ) 饭分研城冈伺一，r 叨埋覆壶，母q - 侃彤牛兀伺9 1 、叨埋：i 夏盂ln q 个况肜毕兀j ， 每个物理覆j 盖j f f 2 m 个未知系数( 广义自由度) ，则物理覆盖函数为 鼢辨驴i 。( x “0 训， 船) 协z s ， ，弘跏c 毛力恐黝 = 搿k 乞 1 ) = 喜 。 圾) ) = 眨】 见) ( 2 - 2 4 ) 其中 讣卜乒”坛，羔。o 。扣纠雕啦，d 协z s ， 吼。 = 九n l d 嘶1 2 厶啦- l 噍。 ，o = 1 ，2 ，g ) ( 2 - 2 6 ) k 似y ) 】= & 。) “力& ：) y ) 五蚰瓴力 ( 2 - 2 7 ) 见) = ( 2 。2 8 ) 、i、rj 砌跏；鼬 第二章数值流形方法的基本理论 瓦、见分别为流形单元p 的插值函数矩阵和未知系数向量。 在得到流形单元上的总体位移函数后，就可建立弹性力学边值问题中的能量泛函表 达式。系统的总势能为 n ：窆( n 。+ i - i a + ，+ 1 - 1 w + f + ，) k = l ：1 ( d 1 7d 2 r 见7 ) z 蜀。k ： 。如 瓦。e ： + ( d 1 7d 2 7 见7 ) 最 最 ： f t + c( 2 - 2 9 ) 其中。为单元应变能；n ，为初应力势能；。为点荷载势能；n 。为体荷载势能；，为 惯性力势能；兀，为约束形成的势能。因为每个物理覆盖有2 m 个未知系数，由式( 2 - 2 9 ) 给出的系数矩阵的子矩阵i l 是一个2 m 2 m 的矩阵。【口】和k 】是2 m l 的子矩阵，q 表示物理覆盖i 的2 m 个未知系数( 节点的自由度) 。 根据最小势能原理，所有几何可能位移中，真实位移使系统总势能取极小值，则有 罢：o ( r = 1 , 2 , - - - 2 m ) ( 2 3 。) 得到的联立平衡方程式( 总体控制方程) 如下 蜀，蜀： 足2 l 乞 k mk 。2 蜀。 f d l 。l | d 2 捌i ( 2 - 3 1 ) 其中 的，行s 列元素为 善里_( r ，州，2 ，2 坍) ( 2 - 3 2 ) a d * o d j 一 ?i： 巧的r 行元素是n 为零( 即所有变量d 1 ，见等于零) 时的导数，即 以= 0 ( r = i ，2 ，e r a ) ( 2 3 3 ) 数值流形方法总体控制方程的建立、总体刚度矩阵的组装过程与有限单元法完全相 同，它的基础仍然是最小势能原理。不同的是数值流形方法能量泛函的积分求解是在流 形单元上进行的，因此在数值流形方法中凡涉及面积分求解的均是指在流形单元上的面 1 4 瓦b ；k 剥 第二章数值流形方法的基本理论 积分。流形单元的形状允许很不规则，甚至是凹的。当流形单元为l a g r a n g e 型单纯形 单元时，单元刚度矩阵可运用单纯形积分解析求解。 在具体计算时，数值流形方法的计算是按时间步逐步计算的。对每一时间步，要进 行开合迭代以使当前系统在所有接触界上满足无嵌入与法向弹簧不受拉两个条件。数值 流形方法使用的总体方程迭代算法是超松驰迭代法。 2 6 有限单元覆盖的单元矩阵 2 6 1 单元刚度矩阵 单元刚度矩阵的建立与有限元类似，首先由弹性力学公式 盯) = 【e 】 占 = 【e 】【三】 玑 = 【e 】 三】 t 】 皿 = 【e 】 盈】 见 ( 2 3 4 ) 其中 【三】= e p q 弹性矩阵，对于平面应力问题 ：三 。 1 一l ，2 旦。 缸 。旦 砂 aa 砂缸 1 ， l ， l oo o 0 1 一y 2 ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) 流形单兀上产生的应变能n 。为 。= 盯瓴吒+ 勺q + 勺诲砂 = 昙 见) r l 盯 见) 7 【e 】 芝 出砂i 见 - k j = ：i 。d 。 2 【疋】 2 ) ( 2 3 7 ) 其中【丘】为单元刚度矩阵。 2 6 2 初应力矩阵 数值流形方法在每一时步开始计算时，初应力为上一时步末的应力状态，在最开始 的