（概率论与数理统计专业论文）几类年龄概念的随机比较和寿命分布类的研究.pdf

兰州大学研究生学化沦文 摘要 风险在很多领域扮演着重要角色，比如金融、保险、精算科学等，向随机序( 风 险序) 与寄命分布类是研究风险的最重要t 具之随机j 孚与寿命分布类“1 前已成 为概率论、数j 咀统计以及其它相关科学备受关注的研究课题，如可靠性坪论、牛存 分析、更换策略、风险分析以及现代精算风险坪论等诸多学科 反向上寸闭性概念是由l ia n d y a m ( 2 0 0 5 ) 提出米的在这篇文章- h 证明了些 负年龄概念和随机序关于半联与并联系统的反向j | 于闭性继而，a h m a d ，a h m e d ， e l b a t a la n dk a y i d ( 2 0 0 5 ) 埘此进行了进步的研究，获得了些富有意义的结果本 文将在此基础上继续研究随机序与寿命分布类的反向封闭性及其应川 本文共由四章组成，第章简要回顾了随机比较与寿命分布类理论的发展过程， 给出本论文的大致研究框架在第二章，+ 1 引入了文巾要川到的随机序以及由这些随 机序导出的寿命分布类的概念，援引了已有的与本文相关的若干重要结果 第三章是本文的重点部分，丰要探讨了唪调增 序i j 单调增凹序分别关于串联 弓并联系统的反向封闭性，右扩展序、单调增n 序与平均递增【1 1 1 序关于随机最小的 反向封闭性，r r r 序、单调增凹序与平均递增凹序关于随机最大的反向上寸闭性，平 均递增凹序关于随机最小的封闭性，以及非齐次p o i s s o n 过程事件发牛问隔的随机 比较和基于n ，lz 取：g 系统的剩余寿命的年龄性质的随机比较的有关结论 第四章则是第三章主要结论的应川，包括n w u ( 2 ) 、n w l r r 、n w u ( 2 ) a 分 布类关于随机最大的反向封闭性，n b u c ( n w u c ) 、d m r l ( i m r l ) 与n b u c a ( n w u c a ) 分布类关于随机最小的反向封闭性，以及n b u ( 2 ) a ( n w u ( 2 ) a ) 分布类关 于随机最小与串联系统的封闭性等结论最后节，证明了单调增n 序是比矩母函 数序更强的随机序，并给出了n b u m , 分布类关于卷秋运算的封闭性 关键词：甲调增1 j 1 1 ( 凹) 序；n b u ( 2 ) a ；随机最大( 最小) ；反向封闭性；t t t 序 兰州大学研宄，上学位论义 a b s t r a c t r i s k sp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nm a n yf i e l d s ，f o re x a m p l e ，f i n a n c e ，i n s u r a n c e ，a c t u a r i a ls c i e n c e e t c o n eo ft h em o s ti m p o r t a n ta p p r o a c h e st ot h es t u d yo fr i s k si sb a s e du p o nt h es t o c h a s t i c o r d e r s ( o r d e r i n go fr i s k ) a n dc l a s s e so fl i f ed i s t r i b u t i o n s ，w h i c ha r en o ww e l l - e s t a b l i s h e dt o p i c s i nm a t h e m a t i c a ls t a t i s t i c s p r o b a b i l i t yt h e o r ya n ds o m er e l a t e da r e a s ，s u c ha st h e o r yo fr e l i a b i l i t y ， s u r v i v a la n a l y s i s ，r e p l a c e m e n tp o l i c y , r i s ka n a l y s i sa n dm o d e ma c t u a r i a lr i s kt h e o r y ，a n ds oo n t h ec o n c e p t i o no f r e v e r s e dp r e s e r v a t i o np r o p e r t yw a sp r e s e n t e db yl ia n dy a m ( 2 0 0 5 ) f i r s t l y a n dp r o v e dt h er e v e r s e dp r e s e r v a t i o np r o p e r t i e so f s o m en e g a t i v ea g i n gc o n c e p t i o n sa n ds t o c h a s t i c o r d e r s s u b s e q u e n t l y , a h m a d , a h m e d , 尉妇耐a n dk a y i d ( 2 0 0 5 ) p a i dm u c ha t t e n t i o no ni ta n d o b t a i n e ds o m ei n t e r e s t i n gr e s u l t s i nt h i sp a p e r , w ew i l lc o n t i n u et om a k ead i s c u s s i o no bt h e r e v e r s e dp r e s e r v a t i o np r o p e r t yo f s o m es t o c h a s t i co r d e r sa n dt h er e l a t e da g i n gc o n c e p t i o n s t h i s t h e s i sc o n s i s t so f f o l i t c h a p t e r s i n c h a p t e r1 ，w er e c a l l t h eh i s t o r yo f s t o c h a s t i co r d e r s a n dc l a s s e so fl i f ed i s t r i b u t i o n sa n dg i v et h ef r a m e w o r ko ft h i sp a p e rt h e nw el i s ts o m er e l a t e d c r i t e r i ao f s t o c h a s t i cc o m p a r i s o n sa n dt h ec o n c e m e da g i n gc o n c e p t i o n s ，a n ds o m ei m p o r t a n tl i t e r - a t u r e sa r ec i t e di nc h a p t e r2 c h a p t e r3i st h em a i nb o d yo ft h i sp a p e r t h er e v e r s e dp r e s e r v a t i o np r o p e r t i e so ft h ei n ， c r e a s i n gc o n v e xo r d e ra n di n c r e a s i n gc o n c a v eo r d e ri ns e r i e sa n dp a r a l l e ls y s t e m ，r e s p e c t i v e l y , a r ei n v e s t i g a t e df i r s t l y s e c o n d l y , t h er e v e r s e dp r e s e r v a t i o np r o p e r t i e so ft h er i g h ts p r e a do r d e r , i n c r e a s i n g c o n v e x o r d e r a n d i n c r e a s i n g c o n v e xa v e r a g e o r d e r u n d e r t h e t a k i n g o f r a n d o m m i n i m a , t h et t tt r a n s f o r mo r d e r i n c r e a s i n gc o n c a v eo r d e ra n di n c r e a s i n gc o n c a v ea v e r a g eo r d e ru n d e rt h e t a k i n go f r a n d o mm a x i m aa n dt h ep r e s e r v a t i o np r o p e r t yo f i n c r e a s i n gc o n c a v ea v e r a g eo r d e ru n d e r t h et a k i n go fr a n d o mm i n i m aa r er e s e a r c h e d a n df i n a l l ys o m er e s u l t so ns t o c h a s t i cc o m p a r i s o n s o fe p o c hi n t e r v a l so fn o n - h o m o g e n e o u sp o i s s o np r o c e s s e sa n da g i n gp r o p e r t i e sb a s e du p o nt h e r e s i d u a ll i f eo f k o u t o f - ng ：s y s t e m sa r eg i v e n i nc h a p t e r 4 ，s o m ea p p l i c a t i o n so f t h em a i nc o n c l u s i o n si nc h a p t e r3a r ep r e s e n t e d ，i n c l u d - i n gt h er e v e r s e dp r e s e r v a t i o np r o p e r t i e so fn w u ( 2 ) n 、r ta n dn w u ( 2 ) aa g i n gc o n c e p t i o n s u n d e rt h et a k i n go f r a n d o mm a x i m a ，r e v e r s e dp r e s e r v a t i o np r o p e r t i e so f n b u c ( n w u c ) ，d m r l ( i m r l ) a n dn b u c a ( n w u c a ) a g i n gc o n c e p t i o n su n d e rt h et a k i n go fr a n d o mm i n i m a ，a n d p r e s e r v a t i o np r o p e r t i e so fn b u ( 2 ) a ( n w u ( 2 ) a ) a g i n gc o n c e p t i o n su n d e rt h et a k i n go fr a n d o m m i n i m aa n di ns e r i e ss y s t e m i nt h ef i n a ls e c t i o n ，w ep r o v et h a tt h ei n c r e a s i n gc o a v e xo r d e ri s s t r o n g e rt h a nt h em o m e n tg e n e r a t i n gf u n c t i o no r d e r , a n dt h ep r e s e r v a t i o np r o p e r t yo f n b u m gc l a s s u n d e rt h ec o n v o l u t i o no n e r a t i o nj se s t a b l i s h e d k e yw o r d s ：i n c r e a s i n gc o n v e x ( c o n c a v e ) o r d e r ；n b u ( 2 ) a ；r a n d o mm a x i m a ( m i n i m a ) ； r e v e r s e dp r e s e r v a t i o np r o p e r t y ；t o t a lt i m eo nt e s tt r a n s f o r mo r d e r 原创性声明 本人郑重声明：本人所呈交的学位论文，是在导师的指导下独立进行 研究所取得的成果。学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、 数据、观点等，均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究成 果做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：日期：乒型垒丝 牛 关于学位论文使用授权的声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属兰 州大学。本人完全了解兰州大学有关保存、使用学位论文的规定，同意学 校保存或向国家有关部门或机构送交论文的纸质版和电子版，允许论文被 查阅和借阅；本人授权兰州大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入 有关数据库进行检索，可以采用任何复制手段保存和汇编本学位论文。本 人离校后发表、使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时， 第署名单位仍然为兰州大学。 保密论文在解密后应遵守此规定。 论文作者签名：龃新签名：挫日期：趔：兰! 州天学研究生学位睦义 第一章绪论 风险在金融、保险和精算科学等多个领域”川r 扮演着重要角色，这就使得对这 些问题的研究最终可归结为对风险的研究，而随机序( 风险序1 与寿命分布类是研究 风险的最重要工具之 随机比较是士j 以比较。个随机变量比另个随机变量更随机大或更具有可变 性的套理论我们经常会遇到对两个随机变量进行比较的问题，最常见的是比较 二者的均值和方差但是在某些情况下，随机变量的均值和方差是不存在的，而且这 种仪建立在两个数字特征摹础上的大小比较带给我们的信息实在太少在实际应j l j h 我们常常拥有足够多的信息量而希望能对两个随机变量的大小程度和波动程度 进行更精细的比较，由此导致了1 系列随机序的产牛 这些随机序可以分为两大类，类是j j 以比较随机变量的大小程度，如般 随机序( u s u a ls t o c h a s t i co r d e r ) 、失效率序( h a z a r dr a t eo r d e r ) 和平均剩余寿命序( m e a n r e s i d u a ll i f eo r d e r ) 等，在经济的效川理论、保险、可靠性等领域都可以找到很好 的实际应用的解释，比如在可靠性中关于冗件和系统的寿命的比较，从而可以 了解系统的优劣( b a r l o wa n dp r o s c h a n 7 】) ；另1 类是川以比较两个随机变量的波 动程度，如凸序( c o n v e xo r d e r ) 、单调增 序( i n c r e a s i n gc o n v e xo r d e r ) 、单调增凹 序( i n c r e a s i n gc o n c a v eo r d e r ) 和分散序( d i s p e r s i v eo r d e r l 等，比如在保险r h 保险公司 除了关心索赔额的大小外，还会关心这些索赔的波动程度，冈为笔数额巨大的索 赔对保险公司的经营更具有威胁，这就使得预先估计索赔额的大小，保险公司的破 产概率的上、下界显得十分必要和重要( w i l l m o ta n dl i n t 4 0 ) 对于多维随机变量或 过程，也同样存在如上的随机比较问题有关随机序的基本理论及其应j l j ，具体参 见s h a k e da n ds h a n t h i k u m a r 4 4 弓m i i l l e ra n ds t o y a n p “ 寿命分布类的研究始于2 0 世纪6 0 年代，为了描述磨损和老化现象，以及比较各 利t 更换策略，有必要研究类寿命分布共有的性质 最初，b a r l o w , m a r s h a l la n dp r o s c h a n 5 】详细地研究了具有电调失效率的寿命 分布，证明了i f r 类在卷移 运算下封闭，d f r 类扫：混合下封闭稍后，b a r l o wa n d p r o s c h a n 6 】在讨论更换策略时进步研究了这些分布类 在同时期，e s a r ya n dp r o s c h a n t 2 0 】发现由i f r 寿命的i 件组成系统时，系统的寿 命不是i f r b o i f r 类在构成关联系统时不上寸闭由此引起了研究者如下感兴趣的问 题：找出+ 个最小的寿命分布类，使它在组成关联系统时是封闭的b i m b a u m ，e s a r y a n dm a r s h a l l 1 3j 引入了i f r a ( d f r a l 类，并证明_ r i f r a 类是对构成关联系统上寸闭的 州大学研究q - + 7 f t 论史 最小的寄命分布类 b r y s o na n ds i d d i q u e f ”】在研究兀件的老化现象时引入了d m r l ( i m r l l 、n b u c n w u ) 、n b u e ( n w u e ) 分布类在。篇比较更换策略的文章一hm a r s h a l la n d p r o s c h a n 3 0 进步研究了n b u 、n b u e 等类及其对偶类 近年来，对寿命分布类的研究仍卜分活跃皋于比较失效率，剩余寿命以及平均 剩余寿命，利川各种随机序的定义引入了些新的寿命分布类，如陋r ( 2 ) 、n b u ( 2 ) ( d e s h p a n d e ，k o c h a ra n ds i n g h 1 川) ，n b u c ( c a oa n dw a n g 1 7 】) ，n b u 哗( z h a n ga n dl i f 4 刁) ， 以及n b u c a ( a b r o a d ，a h m e d ，e l b a t a la n dk a y i d 2 1 ) 等类及其对偶类 不论是对随机序，还是对寿命分布类而肓，关于串联、并联系统的封闭性以 及随机最大与随机最小的研究，都已有不少可查文献如s h a k e d d 2 b a r l o wa n d p r o s c h a n 7 ，g r o s h 2 4 ，a b o u a m m o ha n de l - n e w e i h i ”，s h a k e da n ds h a n t h i k u m a r 删，c a i a n dw u ，s h a k e da n dw o n g 4 ”，f r a n c o ，r u i za n dr u i z t 2 ”，p e l l e r e ya n dp e t a k o s 4 j k o c h a r , l ia n ds h a k e d 2 ”，l ia n dz u o l 3 7 】等这些文献研究的都是通常的封闭性，关于 反向封闭性的研究则较少 反向封闭性的概念是l ia n d y a m t 3 s 提出来的，在其1 证明了。些负年龄概念 和随机序关于串联与并联系统的反向上寸闭性继而，a l m a a d , a h m e d 。e l b a t a la n d k a y i d t 2 】对反向封闭性进行了进。步的研究本文则是在此基础上，主要研究和挖掘 随机序与寿命分布类关于随机最大与随机最小的反向封闭性，并获得了些重要结 果及其应川 本文各章安排及丰要内容如下： 在第二章r i = i 引入了要川到的随机序概念以及由这些随机序导出的寿命分布类 的概念，援引了已有的与本文相关的重要结果 筇三章是本文的重点部分，丰要探讨了单调增 序与单调增凹序分别关于串联 与并联系统的反向封闭性，右扩展序、单调增n 序与平均递增h 序关于随机最小的 反向封闭性，t t t 序、单训增凹序与平均递增凹序关于随机最大的反向封闭性，平 均递增凹序关于随机最小的封闭性，以及_ l 齐次p o i s s o n 过程事件发牛问隔的随机 比较和基于n 取：g 系统的剩余寿命的年龄性质的随机比较的有关结论 菊四章则是第三章卡要结论的虑川，包括n w u ( 2 ) 、n w u t j y v c u ( e ) a 分 布类关于随机最大的反向上寸闭性，n b u c ( n w u c ) 、d m r l ( i m r l ) 与n b u c a ( n w u c a ) 分布类关于随机最小的反向上寸闭性，以及n b u ( 2 ) a ( n w u ( 2 ) a ) 分布类关 于随机最小与半联系统的封闭性等结论最后。节，证明了单调增f n l 序比矩母函数 序更强，并给出了n b u 。；分布类关十卷积运算的封闭性 一i 1 i 尺学 卅究生学 证沦迁 第二章定义与文献回顾 在本章l 1 ，我们给出些常见的随机j 孚的定义，然后给出由这些随机序所导出 的寿命分布类的定义，这些随机乒及寿命分布类在后面的章节f j f 要多次川至出最后， 回顾与本文相关的已有文献的结果 在本文中，如无特殊说明，递增均指单调非减，递减均指单调非增 2 1 随机序的定义 寿命分布类是基于对寿命进行随机比较的基础上引进的因此，在给出寿命分 布类的定义之前，我们先引进随机变量之问作比较的概念，即随机序 假设x 和y 是两个非负随机变量，分布函数为，) 和g ( z ) ，记可靠性函数分 另 j y j p ( z ) = 1 一f 扛) 和0 ( 茁) = 1 一g ( z ) ，记f 和g 的左连续逆分别为f 一1 与g ， 即f 一1 ( p ) 三i n f x ：f ( x ) p ) ，g 一1 ( p ) ii n f x ：g ( ) p ) ，p ( 0 ，1 ) 在随机序理论q 1 ，占有重要地位的是通常的随机序和分散序，所以我们首先引 进这两种序的概念 定义2 1 1 ( c f s h a k e da n ds h a n t h i k u m a r “ ，第一章1 称x 在一般的随机序意义下( u s u a ls t o c h a s t i co r d e r ) 小于y ，记作x “y ，如 果f ( z ) 0 ) ，。0 ，或者对任意递增的实函数曲，都有e 降江) 1s e 渺( y ) 】 2 ( c fs h a k e da n ds h a n t h i k u m a r ，s e c t 2 b ) 称x 在分散序意y , t ( d i s p e r s i v eo r d e r ) 小于y ，记作x 船。y ，如果 f 一1 ( p ) 一f 一1 ( o ) g 一1 ( 口) 一g 一1 ( n ) ，当0 o 卢 0 ， 有e e x f ) 为随机寿命x 在时刻t 0 时的剩余寿命许多寿命分布 类的引进是罐于x ，j x 的比较，e x t 与e x 的比较，以及e x 关于t 的中调性的假 设綦础l ：进行的下面给出根据随机序的定义导出的柑关奇命分布类的定义 1 川_ l 大学研宄生学化c a 支 定义2 9 ( h o l l a n d e ra n dp r o s c h a n 2 ”，d e s h p a n d e ，k o e h a ra n ds i n g h ，c a oa n d w a n g ”，s h a k e da n ds h a n t h i k u m a r _ 【4 q ) 1 称x 属f f - i f r ( d f r ) ( i n c r e a s i n g ( d e c r e a s i n g ) f a i l u r er a t e ) 类，若x f 关于f 0 随 机递减( 增) ，即x 茎。t ( 。t ) x 。， s 0 2 称x 属- i - i f r a ( d f r a ) ( i n c r e a s i n g ( d e c r e a s i n g ) f a i l u r er a t ei na v e r a g e ) 类， - 若a ( t ) t = 一i n p ( o t 对0 递增( 减) ，其中a ( t ) = 一i n p ( 1 ) 为累积失效 率函数 3 称x 属于n b u0 q w u ) ( n e wb e t t e r ( w o r s e ) t h a nu s e d ) 类，若五茎“( “) x ，f20 4 称x 属f f d m r l ( i m r l ) ( d e c r e a s i n g ( i n c r e a s i n g ) m e a nr e s i d u a ll i f e ) 类，若e 五 ( ) e x 。，t s o ；或等价地，五s 。( l 。) 墨，t s 0 5 称x 属于n b u e ( n w u e ) ( n e wb e t t e r ( w o r s e ) t h a nu s e di ne x p e c t a t i o n ) 类， 若e 甄( ) e x ，t2 0 6 称x 属f f - i f r ( 2 ) ( d f r ( 2 ) ) ( i n c r e a s i n g ( d e c r e a s i n g ) f a i l u r er a t ei ns e c o n do r d e r s t o c h a s t i cd o m i n a n c e ) 类，若五s m ( 。) 五， s 0 7 称x 属f f - n b u ( 2 ) ( n w u ( 2 ) ) ( n e w b e t t e r ( w o r s e ) t h a n u s e d i ns e c o n d o r d e r s t o c h a s t i cd o m i n a n c e ) 类，若x 。( 洒) x ，t 0 ；或等价地， t y 户o + x ) d xs ( ) 户o ) f ( x ) d z ，对所有的，0 ( 2 5 ) j 0j 0 8 称x 属f f - n b u c ( n w o c ) ( n e wb e t t e r ( w o r s e ) t h a nu s e di nc o n v e xo r d e r ) 类 若x ( 。) x ，t 20 ；或等价地， ，too p ( 1 + x ) d x ( ) 户( ) p ( z ) 出，对所有的t ，o ( 2 6 ) j gd 由定义2 6 与2 7 ，我们给出如下定义 定义2 1 0 1 称x d m r l a ( i m r l a ) ( m e a nr e s i d u a ll i f ed e c r e a s i n g ( i n c r e a s i n g ) i nt h ei n c r e a s i n gc o n v e xa v e r a g eo r d e r ) ，若x s ( ) x s ，0 曼s f 2 称x i f r ( 2 ) a ( d f r ( 2 ) a ) ( i n c r e a s i n g ( d e c r e a s i n g ) f a i l u r er a t ei nt h ei n c r e a s i n g c o n c a v ea v e r a g eo r d e r ) ，若x ( 。，。) 。k ，0 8 f 6 j 仆i 大学研究生，似论文 3 ( a h m a f l ，a h m e d ，e l b a t a la n dk a y i d l 2 1 ) 称x n b u c a ( n w u c a ) ( n e wb e t t e r ( w o r s e ) t h a nu s e di nt h ei n c r e a s i n gc o n v e x a v e r a g eo r d e r ) ，若x s ( ；。) x ，t o ；或等价地，x n b u c a ( n w u c a ) ， 当且仅当 zz 户( u + t ) d “如( ) p ) z 上p ) d d e n ( 2 7 ) roor 。r ， 4 称x n b u ( 2 ) a ( n w u ( 2 ) a ) ( n e wb e t t e r ( w o r s e ) t h a nu s e di nt h ei n c r e a s i n gc o n c a v ea v e r a g eo r d e r ) ，若五细。( 之。) x ，t o ；或等价地，x n b u ( 2 ) a ( n w u ( 2 ) a ) 当且仅当 z ”z 。p ( u + t ) d u d xs ( 2 ) 户( 幻z 。z 。f ( u ) d “如，c 芝。( 2 8 ) 至此、我们引入的寿命分布类之问有如下的包含关系 d m r l a = = 寺n b u c a t r 赍 i f r 习d m r l 葺n b u c 昔n b u e 。 i f r ( 2 ) 哥n b u ( 2 ) u扎 i f r ( 2 ) a = = n b u ( 2 ) a ( 参见l ia n dz u o 【3 “，a h m a d ，a h m e d ，e l b a t a la n dk a y i d 2 ) 注文献b e l z u n c e ，h ua n dk h a l e d i 的定理3 8 证明t i f r ( 2 ) ( d f r ( 2 ) ) 分布类在x 具有连续分布函数f 的条件下的等价性，即 x i f r ( 2 ) ( d f r ( 2 ) ) 骨x i f r ( d f r ) ( 2 9 ) 与i f r ( d f r ) 根据定义2 8 ，k l a ra n dm o i l e r 2 8 1 和z h a n ga n dl i 4 7 分别引入t a 4 一类( 丽一类) 和n b u 。g ( n e wb e t t e rt h a nu s e di nm o m e n tg e n e r a t i n gf u n c t i o no r d e r ) 分布类 定义21 1 均值为，的非负随机变量x 具有分布函数f 称f m 一类厕一类) ， 若f 。g ，( ，) e x p ( 1 v ) ，这里e x p ( 1 ，t ) 是均值为肛的指数分布 定义2 12 称x n b u w ( y w u m # ) ( n e wb e t t e r ( w o r s e ) t h a nu s e di nm o m e n tg e n e r a t i n g 7 州夫学讲宄! i ：学仳沦殳 f u n c t i o no r d e r ) ，若x s 。g ，( 2 ，) x ，r t 某个- t o ；或等价地， ，o o e s u 户( + u ) d u ( 2 ) 户 ) e “p ( u ) d u ，对某个t 0 d 0j 0 最近，a h m a da n dl i 3 】提出 n b u tf n w u t ) 寿命分布类的定义 定义2 1 3 称x 属于n b u t ( n w u t ) ( n e wb e t t e r ( w o r s e ) t h a nu s e di nt t tt r a n s f o r m o r d e r ) 类，若五( ) x ，t 0 2 3 文献回顾 2 3 1 有关随机序的文献回顾 文献k o c h a r , l ia n ds h a k e d 2 9 】l i i 的定 啦5 1 证明了独立同分布条件下右扩展序关 于并联封闭，r r r 序关于串联封闭，即 定理2 11 x n s y 爿m a x x 1 ，：x 。) s 础m a x ( h ，k ) ； 2 x y m i n x 1 ，五。) r a i n y 1 ，k ) “，l ia n dj i n g t 3 4 和l ia n dk o c h a r 3 m 证明了在更般的条件下单调增【兀l 序弓单 调增凹序分别关于串联与并联系统的封闭性 定理2 2 设五与m ，i = 1 ，2 ，n 分别为非负独立随机变量 1 x i ；。m ，i = 1 2 ， m a x x l ，) 一m a x y l ，碥 ； 2 x i 。k ，i = 1 ，2 ，等m i n x l ， - i 。m i n y 1 ，k ) 与定理2 1 对应，l ia n d y a m 3 5 】研究了独立同分布条件下右扩展序和t t t 序的反 向封闭性 定理2 31 r a i n x 1 ， - - r si i l i i l y l ，j 穹x - r sy ； 2 m a x x a ，x 。) m i n o | x y 1 ， 哥x y 那么较上述结论更弱的单调增n 序与币制增凹序关于串联与并联系统的反向 上寸闭性如何日尼? 定理31 对此作出了回答 s h a k e da n dw o n g 4 3 针对随机最人j 随机最小进行了研究，证明了通常的随机 序和分散序关十非负独立随机变量的随机最人和随机最小的上寸闭性，即 k ! 州大学 f ：究：l 学位论文 定理2 4 设x l ，恐与h ，蚝，为非负独立随机变量，是一个整值随机变量，且 独立于托和m ，滓l 2 那么 x ：m ( 挑，) k ，i = 1 ，2 ) “( 出，) 1 i l a ) ( k x n s “( s 女。) m i n y l ， h y ， 继而，b a r t o s z w i c z t s 】证明了在独立同分布的条件下成立： 定理2 5 设x l ，j 如，与m ，蚝j 分别为x 与y 的非负独立同分布随机变量序列， 是一个整值随机变量，且独立于x 和y 那么 x c ( ) y 茸删隅，k ( ”血) m 觚m 吼 i m i n x 1 ，x v ) 。( + ，s 。) m i n y j ，m v 最近，l ia n dz u 0 1 3 7 1 证明了较定理2 1 弓2 2 更强的结论，即将有限个随机变量的 最大值与最小值分别推广到随机最大与随机最小的情形 定理2 6 设x l ，玛，与m ，m ，分别为x 与y 的非负独立同分布随机变量序列， 是一个整值随机变量，且独立于x 和y 那么 1 ，x 船( s ，。) l ，= 辛m a x x l ，：。y ) - - r s ( i 。) m a x y i ，y _ ； 2 x m ( 墨：。) y = = = m i n x l ，x n s ( - i 。) m i n y l ，y _ ) 定理2 6 讨论的是通常的封闭性即订t 序和单调增凹序关于随机最小封闭，右 扩展序和单调增凸序关于随机最大封闭，个自然的问题就是：t t t 序、右扩展 序、单调增凹序和甲调增 序关于随机最大、随机最小的反向土寸闭性如何呢? 定 理3 2 和3 3 分别对此进行了讨论 更进步