（应用数学专业论文）几类具偏差变元的非线性微分方程的振动与非振动性.pdf

摘要 本学位论文主要研究几类具偏差变元的非线性微分方程的振动与非振动 性全文由三章组成 第一章绪论部分，一方面简单介绍了泛函微分方程的振动理论的历史背 景及国内外现状分析，另一方面还介绍了本文的主要研究工作及创新之处 第二章主要研究一类具偏差变元的非线性微分不等式 j 。( f ) + 口o ) 工o ) + p o ) ，( z ( f f 1 0 ) ) ，工( f f 2 ( f ) ) ，工o f 。( f ) ) ) 茎0 ， ( 1 ) 工o ) + 口( r ) 工o ) + p o ) ，( 工o f l o ) ) ，工( f f 2 0 ) ) ，x ( f f 。o ) ) ) 0 ， ( 2 ) 及相应的微分方程 工( f ) + 口o ) j ( f ) + p ( f ) ，( 工o f l ( f ) ) ，j ( f f 2 ( f ) ) ，x ( f r 。( f ) ) ) = o ， ( 3 ) 获得了微分不等式( 1 ) 无最终正解，( 2 ) 无最终负解，及微分方程( 3 ) 振动的充 分条件也给出了( 1 ) 一( 3 ) 存在非振动解的充分条件并且，所用方法也适用 于相应的时超微分不等式及方程 第三章主要研究比( 1 ) 一( 3 ) 更一般的一阶非线性具偏差变元的微分不等式 工( f ) + 口o ) 暑( 工( f ) ) + p ( f ) ( 工o ) ) ，( 工( f f l o ) ) ，工o f 2 ( f ) ) ，石( f f 。o ) ) ) 0 ， ( 4 ) j ( f ) + o ) g ( 石o ) ) + p o ) ( j ( f ) ) ，( 工o f l ( f ) ) ，j ( f r 2 0 ) ) ，工o r 。( f ) ) ) o ， ( 5 ) 及相应的微分方程 工o ) + 4 0 ) g ( 工( f ) ) + p o ) _ i l ( 工( f ) ) 厂( 工o f 1 ( f ) ) j o f 2 ( f ) ) ，j o r 。( f ) ) ) = 0 ， ( 6 ) 通过引入一个变换，并利用类似第二章的方法，获得了微分不等式( 4 ) 无最终 正解，( 5 ) 无最终负解，及微分方程( 6 ) 振动的充分条件并且，所用方法也适 用于相应的时超微分不等式及方程 本文获得的所有定理和推论均是新的，并且推广了文【2 4 】的相应结果 关键词：微分方程；偏差变元：非线性：振动性：非振动解的存在性 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w ed e s c f i b et h eo s c i l l a t i o na n dn o n o s c i l l a t i o no fs e v e r a l c l a s s e so fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hd e v i a t i n ga r g u m e n t s t h ec o n t e n t 0 ft h i sp a p e ri sc o m p o s e d0 ft h r e ec h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r w em a i n l yi n t r o d u c et h eb a c k g r o u n d ，t h es t a t u so fr e c e n t r e s e a r c h e sa n dt h et e n d e n c y0 fd e v e l o p m e n to fo s c i l l a t i o nt h e o r yo ff u n c t i o n a l d i f f 打e n t i a le q u a t i o n s o nt h eo t h e rh a n d ，t h em a i ns t u d ya n di n n o v a t i o n so ft h i s p a p e ra r ea l s oi n t r o d u c e d i nt h es e c o n dc h a p t e r w es t u d yac l a s so fn o n l i n e a rd i f f 色r e n t i a li n e q u a l i t i e s w i t hd e v i a t i n ga r g u m e n t s0 ft h ef o l l o w i n gf o r m z ( 1 ) + 4 ( f ) j ( f ) + p o ) ，( 工o r l o ) ) ，工( f f 2 0 ) ) ，工o f 。( f ) ) ) s o ， ( 1 ) xo ) + 口( f ) 工( f ) + p o ) ，( 工( f f 1 0 ) ) ，z ( f f 2 0 ) ) ，z o f 。( f ) ) ) 0 ， ( 2 ) a n dt h ec o r r e s p o n d i n gd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 工o ) + n o ) x o ) + p o ) ，( x o q o ) ) ，工o f 2 ( f ) ) ，x o f 。( t ) ) ) = o ( 3 ) w eo b t a i ns u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h en o n e x i s t e n c eo f e v e n t u a l l yp o s i t i v e s o l u t i o n so fd i f f b r e n t i a li n e q u a l i t i e s ( 1 ) ，t h en o n - e x i s t e n c eo fe v e n t u a l l yn e g a t i v e s o l u t i o n so fd i f f b r e n t i a l i n e q u a l i t i e s( 2 ) ， a n dt h eo s c i l l a t i o no fd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ( 3 ) s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o r t h ee x i s t e n c eo fn o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n so f ( 1 ) 一( 3 ) a r ea l s oo b t a i n c d m o r e o v c r 。t h em e t h o dc o u l da l s ob e u s e di nt h e c o r r e s p o n d i n ga d v a n c ed i f f e r e n t i a li n e q u a l i t i e sa n de q u a t i o n s i nt h et h i r dc h a p t e r ，w es t u d yt h ef i r s to r d e rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a li n e q u a l i t i e s w i t hd e v i a t i n ga r g u m e n t s 工( f ) + 口( f ) 譬( 工o ) ) + p ( f ) _ i l ( j ( f ) ) ，( 工( f q o ) ) ，工o f 2 0 ) ) ，x o f 。o ) ) ) o ， ( 4 ) 工( f ) + 口( f ) 譬( j ( r ) ) + p o ) _ i l ( 工( f ) ) 厂( 工o q o ) ) ，工( f f 2 0 ) ) ，x o f 。( f ) ) ) 0 ， ( 5 ) a n dt h ec o r r e s p o n d i n gd i f f b r e n t i a le q u a t i o n s j ( f ) + 口o ) g ( 工o ) ) + p ( f ) ，l ( 工( f ) ) ，( “f r 1 ( f ) ) ，算0 一f 2 ( f ) ) ，j ( f f 。( f ) ) ) = 0 ( 6 ) b yi n t r o d u c i n gan e wt r a n s f o r m a t i o na n dt h e nu s i n gas i m i l a rm e t h o di nt h e s e c o n dc h a p t e r s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf b rt h en o n - e x i s t e n c eo fe v e n t u a l l yp o s i t i v e s o l u t i o n so fd i f l e f e n t i a li n e q u a l i t i e s ( 4 ) ，t h en o n - e x i s t e n c eo fe v e n t u a l l yn e g a t i v e s o l u t i o n so fd i f f e r e n t i a l i n e q u a l i t i e s( 5 ) ， a n dt h eo s c i l l a t i o no fd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ( 6 ) a r eo b t a i n e d m o r e o v e r t h em e m o dc o u l da l s ob e u s e di nt h e c o r r e s p o n d i n ga d v a n c ed i f f e f e n t i a li n e q u a l i t i e sa n de q u a t i o n s t h et h e o r c m sa n dc o m l l 盯i e s0 b t a i n e di nt h i sp a p e ra r en e w a n d t h e ye x t e n d t l l ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t si n 【2 4 】 k e yw o r d s ：d i f f e r e n t i a ie q u a t i o n s ；d e v i a t i n ga r g u m e n t s ；n o n l i n e a r ；o s c i l l a t i o n ； e x i s t e n c eo fn o n - o s c i u a t o r ys o l u t i o n s 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含 任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本 声明的法律后果由本人承担。 作者签名：；丑至日期：p 7 年譬月弘日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅。本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手 段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密团。 ( 请在以上相应方框内打“”) 11 作者签名：寸，圭i 奎 日期：纠年岁月诈日 导师签名：效弘；幺日期：工。呵年箩月l 中日 第一章绪论 1 1 泛函微分方程的振动理论的历史背景及国内外现状分析 自1 7 7 1 年c o n d o r c e t 讨论e u l e f 提出的一个古典几何学问题导出历史上第 一个泛函微分方程至今已过去两个多世纪了但是系统的研究工作只是在2 0 世纪5 0 年代才开始的1 9 5 9 年以来，无论是一般的泛函微分方程还是较具体 的微分差分方程，其发展是非常迅速的，在解的基本理论、稳定性理论、周期 解理论、振动理论、解算子理论、分支理论等诸多方面都出现了重要的成果 l c jk 习在1 9 7 7 年出版的n 咖l f y o f f u 豳n a ld i 蜘吐a le q u a l i s 是对 当时研究成果的最新总结自1 9 7 7 年以来，无界滞量和无穷延滞的泛函微分 方程也跟着兴起，它们与有界滞量的泛函微分方程形成三大方向，系统的理论 逐步地建立起来了 泛函微分方程定性理论具有广泛的应用背景，如核物理学、电路信号系统、 生态系统、化工系统、遗传问题、流行病学、动物与植物的循环系统以及社会 科学方面如财富分布理论、资本主义周期性危机、工业生产管理等方面的研究 都会出现泛函微分方程 c o o k ckl 【7 1 提出一个生物科学中的极为重要的方程 ) ，。( f ) + 田，o 一| i l ( f ，y ) ) = f o ) ，f 岛 它与遗传现象密切相关工业方面，电磁开关系统方程嗍 y 。o ) + 2 l 。，。o ) + v 2 ) ，o ) + 巧0 一a ) = o 其中“，v ，r 为常数，滞量= o ，y o ) ) ，对f r 连续经济学中，价值法则的作 用也是由于生产与消费之问的时滞形成的，如果时滞过长，经济也会出现振荡 现象，这也为社会生活所证实 从s 岫( 1 8 3 6 ) 研究热传导方程时提出二阶线性常微分方程 y ( f ) + 口o ) y ( f ) = 0 的振动问题以来，常微分方程的振动理论便得到了不断的发展s w a 咖n 仰总 结了线性常微分方程的振动理论的经典结果，文献【1 0 】中介绍了某些非线性常 微分方程的振动性研究结果人们发现泛函微分方程的偏差变元的出现能引 起解的振动，例如，一阶线性微分方程 y 。( f ) + p o ) y = o ，p c ( r + ) 的一切非零解都是定号的，而一阶时滞微分方程 y o ) + y o 一要r ) = o 二 具有非零振动解y ；s i n f ，这个振动性完全是由滞量要引起的因此泛函微分 二 方程振动性研究成为泛函微分方程理论中非常重要的部分 泛函微分方程的振动理论在最近3 0 年中有了迅速的发展，从线性到超( 次) 线性、非线性，从一阶到高阶，从滞量的分散分布到连续分布，都有非常丰富 的成果在泛函微分方程振动理论上第一篇有影响的论文是f i t ewb 的【“， 研究具偏差变元的微分方程 ) ，”( f ) + p ( f ) y ( f o ) ) = 0 一o o h o ， 则 ( i ) 当n 奇数时，上式的每个解变号无穷多次 ( i i ) 当n 偶数时，上式的每个解变号或者奇数次，或者无穷多次 第一本系统地叙述泛函微分方程振动理论的专著是苏联学者s h c v e l o 的“l ， 他总结了直到1 9 7 7 年这一理论的发展而在这一领域具有影响性的一本专著是 1 9 8 7 年张炳根与l a d d e 和l a l 【s h n l i k a n t l l a m 合作出版的嘲，它系统地总结了这一 领域国际上直到1 9 8 4 年的成就，该书特别强调偏差变元对微分方程解的振动性 质的影响进入8 0 年代以来，泛函微分方程振动理论有了特别迅速的发展：1 9 9 1 年出版了两本专著，g y o r i 和l a d a s 3 1 以及b a i n o v 和m i s h e v m 总结了1 9 8 矿1 9 9 0 年中立型微分方程振动理论的成果；张炳根1 9 8 8 年在美国0 h i o 国际会议上的报 告1 1 4 l ，第一次提出了作为时滞微分方程的离散形式，时滞差分方程解的振动性 与非振动性的研究；t r 跏_ d v ，k r c i m 和l 丑d d l “，m i s b e v 和ba i 】v 1 1 7 1 分别开 2 始对具时滞的椭圆型、抛物型和双曲型偏微分方程解的振动性进行研究其他方 面的研究如文献【1 8 - 4 8 】张炳根在1 9 9 8 年发表的泛函微分方程振动理论的发 展”1 中提出了振动理论今后的研究方向和发展趋势近年来，泛函微分方程 振动性研究工作见文献【4 9 5 8 】 关于常微及泛函微分方程解的存在唯一性以及连续依赖性与可微性，可参 阅g y 晒及【丑d 髂，李森林及温立志，郑祖庥等人的专著文献【3 ，1 1 ，1 2 】 通常，一个解称为是振动的是指它有任意大的零点；称为是非振动的，是 指它最终为正或最终为负一个方程称为是振动的是指它的所有解都是振动 解 1 2 本文的研究内容与创新 本文主要研究了几类具偏差变元的非线性微分方程解的振动性、非振动解的 存在性 第二章研究一类具偏差变元的非线性微分不等式 工o ) + 口o ) 工( f ) + p ( f ) ，( 工( f f l ( f ) ) ，工o - f 2 ( f ) ) ，j o f 。( f ) ) ) o ， ( 1 1 ) j o ) + 口( f ) “f ) + p ( f ) ，( j ( f f l o ) ) ，工( f f 2 ( f ) ) ，工o f o ) ) ) 0 ， ( 1 2 ) 及相应的时滞微分方程 工o ) + n ( f ) 工( f ) + p ( f ) ，( 工( f 一1 ( f ) ) ，工( f f 2 ( r ) ) ，j ( f f 。o ) ) ) = 0 ， ( 1 3 ) 其中，口，p ，f c ( 彤，彤) ，骢( f f ) ) = 佃，j = 1 ，2 ，行，满足下列条件： ( i ) ，c 俾“，r ) ，且z ，( j = l ，2 ，n ) 同号时，( 一，工2 ，) 与它们同号，且， 关于每个工；是非减的； ( i i ) z 工j o ( _ ，= 1 ，2 ，n ) 时一，( 触l ，触2 ，触。) = 可( 而，工2 ，工。) ； ( i i i ) 口 仉工， o ( j = 1 ，2 ，n ) 时，( ，工；，j ：) = 【，( _ ，x 2 ，x ) 】。 籍助于本章所建立的几个引理，我们获得了微分不等式( 1 1 ) 无最终正解， ( 1 2 ) 无最终负解，及微分方程( 1 3 ) 振动的充分条件也给出( 1 1 ) 一( 1 3 ) 存在 非振动解的充分条件当口o ) 、p ( f ) 、f ) ( j = l ，2 ，n ) 都是常数时，这些条件 成为充要条件 3 同时，对于时超微分不等式 戈( f ) 一口( f ) j ( f ) 一p o ) ，( 工( f + r 1 0 ) ) ，工( f + r 2 0 ) ) ，工o + l o ) ) ) o ， ( 1 4 ) z ( f ) 一4 ( f ) j ( f ) 一p o ) ，( 膏o + q ( f ) ) ，工( f + f 2 ( f ) ) ，工( f + f 。( f ) ) ) o ， ( 1 5 ) 及相应的时超微分方程 x o ) 一n o ) 工o ) 一p ( f ) ，( 工o + r 1 ( f ) ) ，工o + f 2 ( f ) ) ，工( f + l ( r ) ) ) = o ， ( 1 6 ) 类似( 1 1 ) 一( 1 3 ) ，我们建立了( 1 4 ) 一( 1 6 ) 的相应结果 第三章研究比( 1 1 ) 一( 1 3 ) 更一般的一阶非线性具偏差变元的微分不等式 x o ) + d ( f ) g ( j ( f ) ) + p ( r ) _ i l ( 工o ) ) ，( j ( ，一f 1 0 ) ) ，“r f 2 ( f ) ) ，j ( f f 。o ) ) ) o ，( 1 7 ) j ( f ) + 口( f ) g ( 工o ) ) + p o ) ( 膏o ) ) ，( 工o r l ( f ) ) ，工( f f 2 ( f ) ) ，工( f f 。o ) ) ) o ，( 1 8 ) 及相应的时滞微分方程 工o ) + 口o ) g ( 工( f ) ) + p ( f ) ( j ( f ) ) ，( 工o r l ( f ) ) ，x o f 2 0 ) ) ，工o f 。( f ) ) ) = 0 ，( 1 9 ) 其中，总假定下列条件成立 ( i ) 4 ，p ，f ，c ( r + ，r + ) ，墨恶( r f ) ) = 佃，j = 1 ，2 ，n ： ( i i ) g c ( r ，两，当工。时裾( 功 。，且f 主；出= 佃，芸葛出= 一 ( i i i ) j l c ( r ，r ) ，工r 时， ( 工) o ( i v ) ，c ( r 4 ，r ) ，当x j ( j = 1 ，2 ，n ) 同号时，“，屯，x 。) 与它们同 号 通过引入一个变换，并利用类似第二章的方法，我们获得了一阶非线性具 多滞量的微分不等式( 1 7 ) 无最终正解，( 1 8 ) 无最终负解，及微分方程( 1 9 ) 振 动的充分条件 同时，对于时超微分不等式 j ( f ) 一4 ( f ) ，( j ( f ) ) 一p ( f ) g ( j ( f ) ) ( 工o + q ( f ) ) ，算o + f 2 ( f ) ) ，石o + f 。( f ) ) ) o ，( l1 0 ) 工( f ) 一口( f ) ，( 工( f ) ) 一p o ) g ( 工( f ) ) _ i l ( 工o + r 1 ( f ) ) ，工( f + r 2 ( f ) ) ，j o + f 。o ) ) ) o ，( 1 1 1 ) 及相应的时超微分方程 工( f ) 一口o ) ，( 工o ) ) 一p o ) g ( 工o ) ) ( 工o + f l ( f ) ) ，工o + f 2 0 ) ) ，工( f + f 。( f ) ) ) = o ，( 1 1 2 ) 4 类似( 1 7 ) 一( 1 9 ) ，我们建立了( 1 1 0 ) 一( 1 1 2 ) 的相应结果 本文所得结果均是新的，并且推广了文 2 4 的相应结果 5 第二章一阶具偏差变元的非线性微分方程的 振动与非振动性 2 1 引言 考虑非线性时滞微分不等式 工( f ) + ( f ) 工( f ) + p ( f ) ，( z o 一( f ) ) ，算( f f 2 ( f ) ) ，j o f ( f ) ) ) 0 ， 工o ) + 4 ( f ) 工o ) + p ( f ) ，( 工( f f l ( f ) ) ，j o f 2 ( f ) ) ，工o f 。o ) ”0 ， 及相应的时滞微分方程。 ， 一 ( 2 1 ) ( 2 2 ) x o ) + 4 ( f ) j o ) + p ( f ) ，( 工( f 一_ o ) ) ，j ( f f 2 ( f ) ) ，工( f f ( f ) ) ) = 0 ， ( 2 3 ) 其中，口，p ，o c ( 矿，矿) ，熙。一f ，( f ) ) = 佃，= 1 ，2 ，n ，满足下列条件 ( 日- ) 一( 也) ： ( 日1 ) ，c 俾”，砷，z j ( ，= 1 ，2 ，n ) 同号时，o 。，工2 ，) 与它们同号， 且，关于每个j j 是非减的5 ( 日2 ) a - j j o ( ，= 1 ，2 ，n ) 时，厂( 五 ，五x 2 ，五吒) = 矽( 毛，屯，) ； ( 日3 ) 口 o ，j 0 ( j = 1 ，2 ，n ) 时，( 工? ，x ；，) = 【，( 工l ，工2 ，j ) 】4 当，( 而，屯，) = 兀工j q ，口o 为分母是奇数的有理数，_ ，= 1 ，2 ，n ， ，一l 瑾j = l 时，上述条件( 日。) 一( 日，) 被满足，而( 2 1 ) 一( 2 3 ) 分别变成下列非线性 j 1 1 时滞微分不等式 并o ) + 4 0 ) 工o ) + p ( f ) r 1 【工。一f o ) ) 】唧o ， ( 2 4 ) j 。o ) + 口( f ) 工o ) + p ( f ) 兀【工。一f ，o ) ) 】q o ， ( 2 5 ) 及相应的时滞微分方程 6 x ( f ) + d o ) 工o ) + p ( f ) r 1 【工( f f ，( f ) ) 】q = o ( 2 6 ) 具偏差变元的非线性微分方程振动性的研究已有许多工作，如文 1 8 ，2 4 ， 2 6 ，4 9 5 3 特别地，文 2 4 研究了( 2 4 ) 一( 2 6 ) 的解的振动性质，极大地改进 了文 1 8 的相应结果本章主要研究较微分不等式( 2 4 ) 、( 2 5 ) 及方程( 2 6 ) 更 为一般的滞后型微分不等式( 2 1 ) 、( 2 2 ) 及方程( 2 3 ) 在2 2 节，籍助于我们 所建立的几个引理，获得了不等式( 2 1 ) 无最终正解，( 2 2 ) 无最终负解及微 分方程( 2 3 ) 振动的充分条件，也给出了( 2 1 ) 一( 2 3 ) 存在非振动解的充分条 件当4 ( r ) 、p ( f ) 、f ，( f ) ( j = l ，2 ，n ) 都是常数时，这些条件成为充要条件所 得结果推广了文【2 4 】的定理1 、推论l 和定理3 此外，在2 3 节我们还考虑非线性时超微分不等式 j ( f ) 一( f ) 工( t ) 一p o ) ，( 工o + f 1 ( f ) ) ，j o + r 2 0 ) ) ，工o + f 。o ) ) ) 0 ， ( 2 7 ) 善( t ) 一口( f ) x ( f ) 一p o ) ，( 工o + q o ) ) ，工o + f 2 0 ) ) ，工o + f 。( f ) ) ) 0 ， ( 2 8 ) 及相应的时超微分方程 茹o ) 一( f ) 工( f ) 一p ( f ) ，( x ( f + f l ( f ) ) ，工( f + f 2 ( f ) ) ，一，x o + f 。( f ) ) ) = o ， ( 2 9 ) 其中，4 ，p ，f j c ( 矿，r + ) ，= 1 ，2 ，行且( 日。) 一( 日3 ) 成立类似2 2 节，我 们建立了不等式( 2 7 ) 无最终正解，( 2 8 ) 无最终负解及微分方程( 2 9 ) 振动的充 分条件，也获得了( 2 7 ) 一( 2 9 ) 存在非振动解的充分条件所得结果推广了文 【2 4 】的定理2 、推论2 和定理4 设o ，丁= m i n f f ，( f ) ：f f o ，j = 1 ，2 ，n ，缈c ( f ，f o 】，固，称函数 工：【丁，佃) 寸r 是( 2 3 ) 的满足初值妒( f ) ( r f f o ) 的解，如果工( f ) 在【f 0 佃) 上 满足( 2 3 ) ，且工( f ) = 矿( f ) ，r f “由分步法可知，初值问题的解存在且唯 2 滞后型不等式及方程的结果 弓i 理2 2 1 设p ，f c ( r + ，r + ) ，f f o ) 非减，l i m 9 一f ( f ) ) = + ， f ” 4 c ( r + ，固，五ec ( 【r ，+ ) ，( 0 斗) ) ，置o ( o ，+ ) ，且 7 1 i 翟p f ( f ) ( p ( s ) e x p f 1 1 ) 口( “) 幽) 出 o ( 2 1 0 ) 及 川e x p ( 瓦l ( p ( s ) a ( j ) + 4 ( 5 ) ) 出) ，f t ( 2 1 1 ) 这里r r + ，使f f ( f ) 2 0 ，对f r + 则 h 哦正l ) p ( s ) 旯( s ) 出 q 丹= l ，2 ，一 “ 取f ：也一f ( f 。) ，f 。) ，使得 t “) ( p 唧l ，k 础) 棚出= ( ) e x p l ( i ) k n 。) 枷凼；，行= 翰( 2 1 2 ) 由( 2 1 1 ) 式，有 a ( f ) e x p ( 一目f 。p ( j ) 五( j ) 凼) 2 e x p ( l o 口( 5 ) 出) e x p ( 一瓦f 坤p ( s ) 名( s ) 出) ( 2 1 3 ) 将( 2 1 3 ) 从f 。一f ( k ) 到f ：积分，得 e x p ( 一毛1 p ( s ) a ( j ) 幽) 一e x p ( p ( s ) a ( s ) 出) 蜀c f o i ，p ( s ) e x p ( f ( ，4 ( “) 础) e x p ( _ 置。f j “”p ) a ( h ) 也) 西，l = l 2 注意到( 2 1 2 ) ，有 c x p ( 置。p ( s ) 五( s ) 凼) 置。乏e x p ( _ 置。f 。啦p ( s ) 旯( 5 ) 出) ，n = l ，2 ( 2 1 4 ) 类似地，从f ：到f 。积分( 2 1 3 ) ，可得 e x p ( - 民f p ( s ) 五( s ) 凼) & 导e x p ( _ 置。1 p ( s ) 五( s ) 出) ，n = l ，2 ( 2 1 5 ) 合并( 2 1 4 ) 、( 2 1 5 ) ，得 e x p ( _ f p ( s ) 旯( s ) 凼) 2 叠乒) 2e x p ( - 民工：1 以p ( s ) a ( s ) 出) ，n = l ，2 ， 即 8 k 删出击- n 嚎) 2 ，吼玑 因此，由n 一时，f 。寸a o ，f ：f 。一f ( f 。) _ ，得 1 1 罂笋l ) p ( s ) 五( s ) 出 佃 证毕 引理2 - 2 2 设( 日1 ) 成立， p ，乃c ( ，矿) ，舰。一f ，( f ) ) = 佃， j = l ，2 ，n ，a c ( 一) ，( o ，佃”及置r 满足 旯( f ) ，( c x p l ( s ) + k ) p ( j ) 凼，e x p l ( f ) ( a ( j ) + 置) p ( s ) 出) ，f ， 定义数列 l 如下 i 厶= o ， k ，= 辫，( c x p ( 纯+ 幻。( ，) p o ) 蝴，e x p ( 魄+ 的l ( f ) p ( d 哟) ，t = 0 ，坛眨1 6 则 o 五以“旯( f ) ，f 气“， 其中，f o 满足f 一7 j ( f ) o ，对f f o ，而f 一7 j ( f ) ，对f f m ，忌= 0 ，l ，2 ， j = 1 ，2 ，h 引理2 2 3 设( 日1 ) 成立，p ，f ，c ( 矿，) ，! 觋( f f ) ) = 佃， j = l ，2 ，n ，d c ( r + ，五) 如果积分不等式 五( f ) ，( e x p l ( ，) ( p ( s ) 五( s ) + 口( 呦出，c x p 【哪) ( p ( s ) 五( j ) + 4 ( 呦出) ( 2 1 7 ) 有连续正解五( f ) ：【f 。，+ ) 寸( o ，+ m ) ，则相应的积分方程 五( f ) = ，( c x p l ( i ) ( p ( s ) 五( s ) + d ( s ) ) 幽? e x p 哪) ( p ( s ) 互( s ) + 口( s ) ) 西) ( 2 1 8 ) 也有连续正解五( f ) ：【f o ，佃) _ ( o ，佃) 其中，b 满足f f j ( f ) o ，对f b ， j = l 2 ，行 9 y = y ( f ) c p ，+ ) ：0 ) ，( f ) l 对f f o ；y ( f ) = y ( b ) ，对r s f f o ， 其中，0 f = m i n p 一7 ( f ) ：f f o ，2 l ，2 ，n l f o 在l r 上定义映射r 为 ：去，( c x 也槲埘+ 删蛾- ，e x p l 埘+ 删胁r b ( 2 1 9 蛔) f p ，岛】 由( 2 1 7 ) 易见r 是y 到其自身的映射定义函数列 儿( f ) l 如下 芰嚣。装荔此， 亿z 【y ( f ) = ( 巧t ) ( f ) ，露= o ，l ，2 ， 贝q 易证0 ) ，i “( f ) y o ) l ， r f ， 七= 0 ，l ，2 ，设y ( f ) = n my i ( r ) 由 l e b e s q u e 控制收敛定理知，y ( f ) 是r 在y 上的一个不动点，巧( f ) = ) ，( f ) ，即有 ) ，( f ) = 去，( c x p l ( p o ) 坝咖( d + m ) l 趣，e x p l ( p ( s ) ) y o ) + 口o ) ) 哟，f | o 令五( f ) = a ( f ) y ( f ) ，则互( f ) 是( 2 1 5 ) 在，+ ) 上的一个正解证毕 以下总假定( 2 1 ) 一( 2 3 ) 中的4 ，p ，f ，c ( f ，) ，熙。一f ( f ) ) = 佃， j = 1 ，2 ，以且( 日1 ) 一( 也) 成立 记瓦= m i n i j 置：f f ) o ，对r s ，j = 1 ，2 ，n 显然，o 矗 瓦，使得 工删n ( s ) 出置l ) p o 胁，f 丁，j = l ，2 ，儿 ( 2 2 1 ) 又假设或者 熙，( 唧l o ) p ( s ) 出，e x p 郇) p ( s ) 幽，c x p 啪) p ( 5 ) 凼) = 佃，( 2 2 2 ) 或者 1 1 1 2 掣，( e x p 【枷) p ( j ) 出，e x p 。) p ( j ) 出，唧l p ( s ) 出) = 口 o 令 毛等+ 4 ( f ) = 一p ( f ) 五( f ) 或m ) = x ( u e x p ( 一f 。( p ( s ) a ( s ) + ( 呦出) ，f 2 r 取b 丁，使f 一7 ( f ) r ，对f b ，j = l ，2 ，n 将上式代入( 2 1 ) ，利用 ( 日z ) 整理得 五( f ) ，( 唧l ( f ) ( p ( s ) z ( 曲+ 4 ( j ) ) 出，e x p l m ( p ( s ) a ( s ) + 4 ( s ) ) 妁，f f 0 ( 2 2 5 ) 记 f ( f ) = j ? 努 f ，o ) ，f ( f ) = n 卿 f o ) l ， f 2 f 0 ， ( 2 2 6 ) k j “ j a 。 及 = m i n i ，( e ，1 ，1 ，1 ) ，( 1 ，e ，1 ，1 ) i ，( 1 ，1 ，1 ，e ) ，置o = l n 4 ( 2 2 7 ) 注意到( 丑1 ) 一( 日3 ) ，易见，l = ，( 1 ，1 ，1 ) 4 ，( e ，e ，e ) = e ，o 1 由 ( 2 2 5 ) 一( 2 2 7 ) 式，有 川口l ( i l ，掷m 帕 = 。x p ( k ，( f ) ( p ( s ) 五( s ) + ( s ) ) 出) e x p ( k 川( p ( s ) 旯( s ) + 口( s ) ) 凼) ，f f o 另一方面。 ，( e x p f i ( 1 ) p ( s ) 出，e x p 【础) p ( j ) 出，c x p 【f i o ) p ( s ) 出) ，( e 叩州p ( j ) 幽，e x pl ( i ) p ( s ) 出，e x p 坤) p ( s ) 出) 7 = e x p ( l ) | p ( s ) 出) ，f b ( 2 2 8 ) 下面分两种情形 情形( i ) 设( 2 2 2 ) 成立则由( 2 2 8 ) ，有 烘l ( | ) p ( s ) 凼= ? ， ( 2 2 9 ) 更有 姆f 0 ) ( p ( s ) e x pl 。瓦n ( “) 出) 出= 佃 于是，根据引理2 2 1 ，得 ， l 罂笋l ) p ( s ) 五( 5 ) 出 佃t + i 进一步，因2 ( f ) 1 ，f 气，所以， h 罂l p ( j ) 出 佃 i + 4 一f 这与( 2 2 9 ) 矛盾 情形( i i ) 设( 2 2 3 ) 及( 2 2 4 ) 成立取o ，使l f ，( f ) f o ，对f f i ，= 1 ，2 ，n ，且 ( 2 3 0 ) 磷，( c x p 【啪) p ( s ) 出，e x p 【枷) p ( 5 ) 西，c x p l f ) p ( j ) 出) 口一占 ( 2 3 1 ) 由( 2 2 3 ) 及( 2 2 8 ) ，有 上式结合引理2 2 1 ，得 1 1 掣l p ( s ) 西口 o 1 i m i n f 五( f ) 佃 i ( 2 3 2 ) 由( 2 2 1 ) 及( 2 2 5 ) 式，有 五( f ) ，( e x p 【i ) ( j ) + 置) p ( s ) 出，e x p 【小) ( 五( s ) + 置) p ( s ) 出) ，f 定义数列 五 如( 2 1 6 ) 所示则由引理2 2 2 及( 2 3 2 ) 知，阮 单调有界，存在 极限 且 o o ，有 z 酆【7 甲l 删盎，e x p l p 回囱f 砑l n 叭e x 也、p 出，e x p l 风。囱】l ( 口一占) p 刀l n ( 口一s ) 从而。 ( 口一占) j l n ( 口一占) 瓦，使得 k ) d ( s ) 出鬈k ) p ( j 协，f ，j = 1 ，2 ，n ( 2 3 3 ) 及 【g ( f ) 】1 n g o ) 三，f b ( 2 3 4 ) 其中， g ( f ) = ，( e x p l 巾) p ( s ) 出，e x pl ，o ) p ( s ) 出，e x pl ( ，) p ( s ) 出) ，f f o ( 2 3 5 ) 则( 2 1 ) 有最终正解，( 2 2 ) 有最终负解，( 2 3 ) 有非振动解 证明令伊( ) ，) ：) ，1 n y ，y 1 则o ：妒( 1 ) ! 伊( 佃) ：佃故必存在 唯一实数y o ( 1 ，+ ) ，使 矿( y 。) = y 。i 1 n y 。= 三 ( 2 3 6 ) 由( 2 3 4 ) 及妒( ) ，) 的单调性，知 苫( f ) s ) ，o ，t 岛 ( 2 3 7 ) 取丑( f ) = 五l _