（运筹学与控制论专业论文）some+new+results+on+frames.pdf

摘要 设k 是正整数的集合，一个入重可分组设计是一个满足以下条件的三元组 ( z ，9 ，层) ：z 是一个有限点集；分中的元素( 称为组) 均是z 的子集，并且所有组 构成疋的一个划分；召是由z 的七元子集( 称为区组) 构成的集合，k k ；对于 任意两个属于不同组的点恰好在a 个区组中出现，而属于同一组的两个点不在任 何区组中出现如果它的区组集8 可以划分成一些平行类，其中每个平行类都是 点集z 的一个划分，则称这个设计为可分解的可分组设计 若一个可分组设计( z ，9 ，b ) 的区组集8 可以划分为一些带洞的平行类，其中 每个带洞的平行类是关于z g f 的一个划分，g f 9 ，则称它是一个f r a m e 区 组长度为三的f r a m e 也称为k i r k m a nf r a m e 如果f r a m e 的区组集召中没有重复 区组，则称它是单纯的 设z 是一个含t m n 个点的集合，它可以划分为m 个子集x , j ，0 i 铭一l ，0 歹考一l ，ix , jl m 设召是z 的子集族( 称为区组集) ，如果它 满足以下条件：对于层中的任意一个区组b ，有ibl = 七：对于任意的两个点 2 k 。负和五。力，若i i 如且j l 如，则它们恰在a 个区组中出现：若 i l = 如或j f l = 如，则它们不在任何区组中出现，则称( z ，8 ) 为一个型为( n ，m t ) 的区组长度为k 的a 重带洞的可分组设计型为( n ，l ) 的带洞的可分组设计称为 型为护的m o d i f i e d 可分组设计若一个m o d i f i e d 可分组设计的区组集可以划分 为一些带洞的平行类，其中每个带洞的平行类是关于某个组的一个划分，则称它 是一个m o d i f i e df r a m e 对一个型为m ，耐) 的区组长度为七的入重带洞的可分组设计( z ，召) ，其中 z = 五，：0 t n l ，0 j t 1 ) ，如果区组集召可以划分为一些带洞平 行类，其中带洞平行类是关于u 叠截一，的一个划分，0 主佗一1 ，0 歹 t l ，则称它为一个型为( ，衍) 的区组长度为k 的入重d o u b l ef r a m e 在组合设计中。一些具有特殊性质的f r a m e 在其它设计的构造中有很重要的 作用本文主要研究两类f r a m e ，即单纯的f r a m e 和d o u b l ef r a m e 我们彻底地解 决了四重单纯的k i r k m a n f r a m e 的存在性问题，并且给出区组长度为四的带洞可 分组设计和区组长度为三的d o u b l ef r a m e 存在性的完整结论：同时，我们将给出 区组长度为四的m o d i f i e df r a m e 和可分解的m o d i f i e d 可分组设计的一些新结果 关键词：可分组设计：单纯的；可分解的；带洞的；f r a m e a b s t r a c t l e tkb eas e to fp o s i t i v ei n t e g e r s ag r o u pd i v i s z l d ed e s i g n ( ka ) - g d di sa t r i p l e ( 疋，9 ，b ) w h i c h 疋i sa f i n i t es e to fp o i n t s ，夕i sa p a r t i t i o no fz i n t os u b s e t s c a l l e dg r o u p s , bi sac o l l e c t i o no fs u b s e t so fz ( c a l l e db l o c k s ) 丽ms i z e sf r o m 形 s u c ht h a te v e r yp a i ro fp o i n t sf r o md i s t i n c tg r o u p so c c u r si ne x a c t l yab l o c k s , a n d n op a i ro fp o i n t sb e l o n g i n gt oa g r o u po c c u r si na n y b l o c k a ( ka ) - f r a m ei sa ( ka ) - g d d ( 彤，9 ，b ) w h i c h 召c a n b ep a r t i t i o n e di n t o h o l e yp a r a l l e lc l a s s e s , e a c hh o l e yp a r a l l e lc l a s sb e i n gap a r t i t i o no fz g jf o r s o m eg ，g a ( 3 ，a ) - f r a m ei sa l s oc a l l e dak i r k m a nf r a m ew i t hi n d e x 入a f r a m ei sc a l l e ds i m p l ei fa l li t sb l o c k sa r ed i s t i n c t l e t 爿b eas e to ft m np o i n t s ，w h i c hi sp a r t i t i o n e di n t om - s u b s e t s 墨，0st n 一1 ，o j f t 1 a _ z o l e yg r o u pd i v i s i b l ed e s i g n ，d e n o t e db y ( 七，入) - h g d do ft y p e ( 仃，m ) ，i sa no r d e r e dp a i r ( 疋，b ) w h i c hb b eac o l l e c t i o no fs u b s e t so f 疋( c a l l e d b l o c k s ) ，s u c ht h a tlbl = 七f o re v e r yb l o c kb 目e v e r yp a i ro fp o i n t sz k l a a n dy 五咖i sc o n t a i n e di ne x a c t l yab l o c k s , w h e r ei l i 2a n d 五歹2 ，a n dt h e p a i r o f p o i n t s z a n d 暑，i s n o t c o n t a i n e d i n a n y b l o c k f f f i = i 2o r 寓灰w h e n m = 1 ，a ( 知，a ) 一h g d di sc a n e dam o d 萨e dg r o u pd i v i s i b l e 如s i g n0 v i g d d ) am o d i f i e d ( 七，) ! ) - f r a m eo ft y p e 扩i sa ( 七，) ! ) - m g d dw h o s e b l o c k sc a nb ep a r t i t i o n e di n t o h o l e yp a r a l l e lc l a s s e s , e a c ho fw h i c h i sr e s p e c tt os o m eg r o u p a d o u b l e f r a m e ，入) 一d fo ft y p e ( n ，m ) i sa ，a ) - h g d d o ft y p e ( n ，m ) ( 疋，功 w _ i mz x 矗：0 i n 一1 ，0 j t 一1 ) a n dbc a nb ep a r t i t i o n e di n t oh o l e y p a r a l l e lc l a s s e se a c ho fw h i c hp a r t i t i o n su p ，口向x 南f o rs o m e ia n dj ，0 n 一1 ， 0 歹t 一1 f r a m e s 眦p o w e r f u l f o rt h ec o n s t r u c t i o no fo t h e rt y p e so fc o m b i n a t o r i a ld e - s i g n si nd e s i g nt h e o r y i nt h i st h e s i s ，w em a i n l yi n v e s t i g a t es i m p l ef r a m e sa n d d o u b l ef r a m e s w es h a np r o v et h a tt h en e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o rs i m p l ek i r k m a n f r a m e sw i t hi n d e x4a l ea l s os u f f i c i e n ta n dg i v eac o m p l e t es o l u t i o nf o rt h ee x i s - t e n c eo f ( 4 ，a ) - h g d d sa n d ( 3 ，) , ) - d o u b l ef r a m e s f u r t h e r , w es h a l lo b t a i ns o m e n 朗rr e s u l t so n ( 4 ，1 ) - m o d i f i e df r a m e sa n dr e s o l v a b l em o d i f i e dg r o u pd i v i s i b l e d e s i g n s k e yw o r d s ：g r o u pd i v i s i b l ed e s i g n ；s i m p l e ；r e s o l v a b l e ；h o l e y ；f r a m e 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以“求实，创新一的科学精神从事研究工作 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰 写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意 作者签名一墨西 同j i l l ： 壹! 主：2 仑 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留 学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版；有权将学 位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅；有权将学 位论文的内容编入有关数据库进行检索：有权将学位论文的标题和摘要汇编出 版保密的学位论文在解密后适用本规定 作者签名：主亘 同期： q 21 圭：姿 c h a p t e r 1i n t r o d u c t i o n f r a m e sa r e p o w e r f u li nt h ec o n s t r u c t i o no fo t h e rt y p e so fd e s i g n s ，e s p e c i a l l y i nt h ec o n s t r u c t i o no fr e s o l v a b l ed e s i g n s m a n yr e s e a r c h e r sh a v e b e e ni n v o l v e d i ni n v e s t i g a t i n gt h ee x i s t e n c eo ff r a m e sa n dr e l a t e dd e s i g n s i nt h i st h e s i s , w ea r e i n t e r e s t e di ns i m p l ef l a m e sa n dd o u b l ef l a m e s i nt h i sc h a p t e r , w es h a l lg i v ea b r i e fi n t r o d u c t i o nf o rs o m eb a s ed e f i n i t i o n sa n dk n o w nr e s u l t s 1 1 b a s ed e f i n i t i o n s w e b e g i nw i t ht h ed e f i n i t i o no fag r o u pd i v i s i b l ed e s i g n d e f i n i t i o n1 1l e tkb eas e to fp o s i t i v ei n t e g e r s a g r o u pd i v i s i b l ed e s i g n ( k ，a ) 一 g d di sa t r i p l e ( 七，玩屡) w h i c hs a t i s f i e st h ef o l l o w i n gp r o p e r t i e s ： 1 xi s a f i n i t e s e t o f p o i n t s , 2 gi sa p a r t i t i o no fz i n t os u b s e t sc a u e dg r o u p s ， 3 召i sac o l l e c t i o no fs u b s e t so fz ( c a l l e db l o c k s ) w i t hs i z e sf r o mk ，s u c ht h a t e v e r yp a i ro fp o i n t sf r o md i s t i n c tg r o u p so c c u r si ne x a c t l yab l o c k s , 4 n o p a i ro fp o i n t sb e l o n g i n gt oag r o u po c c u r si na n yb l o c k w h e nk = ( 七一w e w r i t e ( k ，a ) - g d da s ( k ，a ) 一g d d f u r t h e r , w ed e n o t e ( k1 ) - g d da sk - g d da n d ( 七，1 ) - g d da sk - g d d d e f i n i t i o n1 2t h et y p eo ft h eg d d ( 疋，9 ，召) i st h em u l t i s e to fs i z e si g io ft h e g 夕a n dw e u s u a l l yu s et h e “e x p o n e n t i a l n o t a t i o nf o ri t sd e s c r i p t i o n ：t y p e 1 2 j 3 k d e n o t e sio c c u i t e n c 鹤o fg r o u p so fs i z el ，j o c c u r r e n c e so fg r o u p so f s i z e2 ，a n ds oo n d e f i n i t i o n1 3a ( k ，a ) - g d d 。g ，b ) i sr e s o l v a b l e ( d e n o t e db yr g d d ) i ft h e m o c k so f8c a nb ep a r t i t i o n e di n t op a r a l l e lc l a s s e s ，e a c hp a r a l l e lc l a s sb e i n ga p a r t i t i o no ft h ep o i n ts e t 疋 c h li n t r o d u c t i o n 2 a p a i r a , 娩b a l a n c e dd e s 堙7 l ( 可，噩a ) - p b di sa ( k ，a ) 一g d do f 孵1 ，i n d e e d ab a l a n c e di n c o m p l e t eb l o c kd e s i g n 扣，七，入) 一b i b di sa ( 七，x ) d oo ft y p e1 ，w e s h a l lu s e ( t ，七，a ) - r b i b dt od e n o t ea r e s o l v a b l e ( u , k ，入) 一b 1 b d at r a n s v e r s a ld e s i g n r d ( 七，n ，a ) i sa ( 忌，a ) - g d do ft y p e 佗七i ti sw e l lk n o w nt h a tat d ( 七，n ，1 ) i se q u i v - a l e n tt o 七一2m u t u a l l yo r t h o g o n a ll a t i ns q u a r e so fo r d e rn d e f i n i t i o n1 4a ( k ，入) 加批i sag d d ( 疋，9 ，召) i nw h i c ht h ec o l l e c t i o no fs u b s e t s bc a r tb ep a r t i t i o n e di n t oh o l e yp a r a l l e lc l a s s e s , e a c hh o l e yp a r a l l e lc l a s sb e i n ga p a r t i t i o no fz g j f o rs o m eg j 9 t h eg r o u p si na ( k ，入) 。f r a m ea 豫o f t e n r e f e r r e dt oa sh o l e s au n i f o 力张f r a m ei saf r a m ei nw h i c ha l lg r o u p sa r eo ft h es a m e s i z e a h o l e yg d d , d e n o t e db yh g d d ，i s ag d dw i t hs e v e r a le q u a l - s i z e dh o l e s w h i c h p a r t i t i o nt h ep o i n ts e to ft h e g d d af o r m a ld e f i n i t i o no fa nh g d di sa s f o l l o w s d e f i n i t i o n1 5l e txb eas e to ft m np o i n t s 。w h i c hi sp a r t i t i o n e di n t om - s u b s e t s 义舀，0 主n 一1 ，0 j t 一1 l e t8 b eac o l l e c t i o no fs u b s e t so fz ( c a l l e d b l o c k s ) ，w h i c hs a t i s f i e st h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n s ： 1 ibl = k f o re v e r yb l o c kb 玩 2 e v e r yp a i ro fp o i n t sz j ，la n d 暑，】毛z 如i sc o n t a i n e di ne x a c t l y 入b l o c k s , w h e r ei l 如a n d 歹l 如， 3 t h ep a i ro fp o i n t sza n d i sn o tc o n t a i n e di na n yb l o c kf f i , = i 2o r j l = 如 t h e n w e c a l l ( 疋，1 3 ) a h o l e y g r o u p d i v i s i b l e d e s i g n a n d d e n o t e i t b y ( 七，a ) - h g d d o ft y p e ( n ，耐) t h es u b s e t su ；：t - = 0 1x 玎( 05i n 一1 ) a l ec a l l e dg r o u p sa n dt h e s u b s e t su 寄义矗( 0 j 5t 一1 ) a r ec a l l e dh o e s ar e s o l v a b l e ( 七，a ) - h g d do ft y p e ，m t ) i sd e n o t e db y ( 七，入) - r h g d do f t y p e ( 竹，耐) m = 1 ，a ( 七，入) 一h g d dm c a l l e dam o d i f i e dg r o u pd i v i s i b l ed e s i g n ( m g d d ) s o , a nr h g d do ft y p e ，1 ) i se q u i v a l e n tt oa nr m g d d o ft y p e 严 d e f i n i t i o n l 6a ( 七，a ) - h g d do ft y p e 扣，m 。) ( z ，b ) w i t h 疋= ：0 i 馆一l ，0 歹st 1 ) i sc a l l e dad o u b l e f r a m e ( 七，a ) - d fo ft y p e ( n ，仇。) i f 召c a n b ep a r t i t i o n e di n t oh o l e yp a r a l l e lc l a s s e se a c ho fw h i c hp a r t i t i o n s 峪。耐f o r s o m eia n d 办0 isn 一1 ，0 j t 一1 c h li n t r o d u c t i o n 3 d e f i n i t i o n1 7a m o d i f i e d ( k ，a ) - f r a m eo ft y p ea 瞿i sa ( k ，入) 一m g d dw h o s e b l o c k s c a nb ep a r t i t i o n e di n t oh o l e y p a r a l l e ld a s s e s ，e a c ho fw h i c hi sr e s p e c tt os o m e g r o u p w e c a nd e n o t ei tb y ( k ，a ) - m fo ft y p e g u 1 2s o m ek n o w n r e s u l t s i nt h i ss e c t i o n , w ew i l li n t r o d u c es o m ek n o w nr e s u l t sa b o u tt h ea b o v ed e - s i g n s t h ee x i s t e n c eo f4 - g d d s h a ss o l v e df o ra l o n gt i m e ( s e e 【6 】) h o w e v e r , t h e e x i s t e n c eo f4 - r g d d sh a sr e m a i n e do p e n d e s p i t eo ft h ee f f o r t so fm a n ya u t h o r s ( s e e 【1 5 , 1 6 ，1 l1 8 , 1 9 , 2 2 , 2 3 ，2 5 ，2 6 , 2 7 , 2 9 ，3 0 ) a n dw eh a v et h ef o l l o w i n gk n o w n r e s u l t s t h e o r e m1 1t h en e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fa4 - r g d do ft y p e 矿。 n a m e l y , u 4 ，弘兰0 ( m o d4 ) a n d9 ( u 一1 ) 兰0 ( m o d3 ) ，a 陀a l s os u f f i c i e n te x c e p t f o r ( 9 ，乱) ( 2 ，4 ) ，( 2 ，x 0 ) ，( 3 ，4 ) ，( 6 ，4 ) a n de x c e p tp o s s i b l yw h e r e 1 g = 2a n dt 3 4 ，4 6 ，5 2 ，7 0 ，8 2 ，9 4 ，1 0 0 ，1 1 8 ，1 3 0 ，1 4 2 ，1 7 8 ，1 8 4 ，2 0 2 ，2 1 4 ，2 3 8 ， 2 5 0 ，3 3 4 ，3 4 6 ；g = 1 0a n dt 4 ，3 4 ，5 2 ，9 4 ；g f 1 4 ，4 5 4 1 u 4 7 8 ，5 0 2 ，5 1 4 ，5 2 6 ， 6 1 4 ，6 2 6 ，6 8 0 a n d u i 0 ，7 0 ，8 2 2 9 = 6 a n d t 6 ，5 4 ，6 8 ) ；g = 1 8 a n d u 1 8 ，3 8 ，6 2 3 g = 9a n d t = 4 4 4 g = 1 2a n du = 2 乃g = 3 6a n d 牡 1 1 ，1 4 ，1 5 ，1 8 ，2 3 ) f r a m e sh a v e b e e ni n s t r u m e n t a li nt h ec o n s t r u c t i o n so fd e s i g n sw i mr e s o l v - a b m t y a ( 3 ，a ) - f r a m ei sa l s oc a l l e da k i r k m a nf r a m ew i t hi n d e x 入i n a ( 3 ，入) f r a m e li ti sn o td i f f i c u l tt op r o v et h a tt oe a c hg r o u p 岛t h e r ea r ee x a c t l ya i 岛i 2 h o l e yp a r a l l e ld a s s e s t h a tp a r t i t i o nx g 。t h ek n o w nr e s u l t so nt h ee x i s t e n c eo f f l a m e sw i t hb l o c ks i z et h r e ea n df o u rc a nb es u m m a r i z e da sf o l l o w s t h e o r e m 1 2 ( 【1 1 】) t h e r ee x i s t sa ( 3 ，a ) 一f r a m eo ft y p e 扩i fa n do n l yi fu 4 ， a g 三0 ( m o d2 ) a n d 夕( t 一1 ) 兰0 ( r o o d3 ) t h e o r e m1 3 ( 1 9 1 ) t h e r ee x i s t sa ( 4 ，1 ) 一f r a m eo ft y p eg “i fa n do n l yi fu 5 ，g 兰0 ( m o d3 ) a n dg ( - 一1 ) 三0 ( m o d4 ) ，e x c e p tp o s s i b l yw h e r e 1 g = 3 6a n d t = 1 2 c h li n t r o d u c t i o n，4 2 9 三6 ( r o o d1 2 ) a n d ( 口) g = 6 a n d t 7 ，2 3 ，2 7 ，3 5 ，3 9 ，4 7 扣 ( 6 ) g 皇3 0 o r9 f l ：6 6 住2 1 9 0 a n d 缸( 7 ，2 3 ，2 7 ，3 9 ，4 7 ； ( c ) g 4 2 ，5 4 u ，l ：2 2 0 2 n 1 1 2 3 8 a n d u 2 3 ，2 7 k ( d ) g = 1 8 a n d u 1 5 ，2 3 ，2 7 d e f i n i t i o n1 8a d e s i g n i sc a l l e ds i m p l ei fa l li t sb l o c k sa r ed i s t i n c t s i m p l ef r a m e sh a v eb e e ni n s t r u m e n t a li nt h ec o n s t r u c t i o no fo t h e rt y p e so f d e s i g n s f o re x a m p l e , a p p l i c a t i o n so fs i m p l ek i r k m a nf r a m e st ot h ec o n s t r u c t i o n o fs i m p l ek i r k m a n p a c k i n gd e s i g n s ( s e e 【8 】) f a n ge ta 1 【1 2 ，1 3 】h a v es h o w n t h a ts i m p l ek i r k m a n p a c k i n gd e s i g n sc a nb eu s e d i nt h ec o n s t r u c t i o no fu n i f o r m d e s i g n s i ns t a t i s t i c s i ti se a s yt os e et h a tt h ef o u o w i n gc o n d i t i o n sa r e n e c e s s a r y f o rt h ee x i s t e n c e o fa s i m p l e ( 3 ，a ) - f r a m eo f 帅e9 u ：( 1 ) t 4 ，( 2 ) 9 ( u 一1 ) 三0 ( r o o d3 ) ，( 3 ) a g 耋0 ( r o o d2 ) a n d ( 4 ) 9 ( t 一2 ) 入 i ti so b v i o u st h a tas i m p l e ( 3 ，1 ) 一f r a m ei se q u i v a l e n tt oa ( 3 ，1 ) - f r a m e t h e e x i s t e n c eo fa s i m p l e ( 3 ，a ) - f r a m ef o ra 军1 ，2 ，3h a sb e e ns o l v e db ys t i n s o n , s h e n e t a l t h e o r e m1 4 【7 ，迥3 1 】t h en e c e s s a r yc o n d i t i o nf o ra s i m p l e ( 3 ，a ) 一f r a m eo ft y p e 扩i sa l s os u f f i c i e n tf o ra 一1 ，2 i3 t h e n e c e s s a r y c o n d i t i o n sf o ra ( 3 ，a ) - m fo ft y p e 扩a r ea l s os u f f i c i e n tw i t ha n i n f i n i t ec l a s so fp o s s i b l ee x c e p t i o n si n 【9 】 t h e o r e m1 5t h e r ee x i s t sa ( 3 ，a ) - m fo ft y p e 旷i fa n do n l yi fx ( g 一1 ) f - 0 ( m o d2 ) ，夕( u 一1 ) 暑0 ( m o d3 ) ，9 芝3 ，a n d 牡4 ，e x c e p tf o r ( a ，g ，t ) = ( 1 ，3 ，6 ) a n de x c e p tp o s s i b l yf o r ( a ，g ，t ) = ( 2 m + 1 ，6 礼+ 3 ，6 ) ，仇0a n dn 1 i th a sb e e np r o v e di n 2 1 】t h a tt h en e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o ra ( 4 ，a ) - h g d do f t y p e ( n ，仇t ) a r ea l s os u f f i c i e n tw i t ho n ee x c e p t i o na n d f o u rp o s s i b l ye x c e p t i o n s t h e o r e m1 6t h e r ee x i s t sa ( 4 ，入) - h g d do f 帅eh 仇t ) i fa n do n l yi ft ，n 4 a n da m ( t 1 ) ( n 一1 ) 毫0 ( r o o d3 ) e x c e p tf o r ( 仇，n ，t ，a ) = ( 1 ，4 ，6 ，1 ) a n de x c e p t p o s s i b l yf o rm = 3 ，a 皇1a n d ( n ，t ) ( 6 ，1 4 ) ，( 6 ，1 5 ) ，( 6 ，1 8 ) ，( 6 ，2 3 ) ) c h li n t r o d u c t i o n5 t h ee x i s t e n c eo fm g d d so fb l o c ks i z e4i sp r o v e di n 【2 ，3 ，5 ，2 0 12 4 t h e r ea r e a l s os o m ek n o w nr e s u l t sf o r5 - m g d di n 【1 】b yt h ei m p r o v e m e n to ft h ek n o w n r e s u l t so nu n i f o r m5 - g d da n d0 ， 5 ，7 ，9 ，1 ) - p b d , w e c & ni m p r o v et h ek n o w n r e s u l t so n5 - m g d db ya p p l y i n gt h ec o r r e s p o n d i n gc o n s t r u c t i o n si n 【1 】s o , w e o b t a i nt h ef o l l o w i n gr e s u l t s t h e o r e m1 7s u p p o s e 夕，缸a r ei n t e g e r s 5 i fa ( 5 ，1 ) m g d do ft y p e 旷e x i s t s , t h e no n eo ft h ef o l l o w i n g4c o n d i t i o n si sn e c e s s a r y ( e i t h e ri m m e d i a t e l y , o ra f t e r t h ev a l u e s 甄缸h a v eb e e nr e v e r s e d ) ：( 1 ) g 兰1o r5 ( r o o d2 0 ) ，( 2 ) g 兰9 ，1 3o r1 7 ( m o d2 0 ) ，u 兰0o r1 ( r o o d5 ) a n dt lo r5 ( r o o d2 0 ) ，( 3 ) g 兰1 1 ( m o d2 0 ) a n d 牡暑3 ( r o o d4 ) a n d ( 4 ) g 兰1 5 ( r o o d2 0 ) a n dt 兰3 ，7 ，1 5o r1 9 ( r o o d2 0 ) t h e s e c o n d i t i o n sa r es u f f i c i e n tf o re x i s t e n c eo fa5 - m g d do ft y p e 寸le x c e p tp o s s i b l yi n t h ef o l l o w i n gc a s e s 1 9 6f o r g ) 1 p r o o f ：t h e r ee x i s t sa 争r g d d o ft y p e 夕3f r o m 【4 】f o ra n y g 1 ，2 ，6 s u p p o s e ，夕，召) i sa ( 3 ，1 ) - r g d do ft y p e 夕3w i t ht h ep o i n ts e t 疋= 毛毛a n dt h e g r o u ps e t9 = i 磊：i z j f o re a c hb l o c kb = ( o ，z ) ，( 1 ，可) ，( 2 ，名) ) 玩l e t b = ( o 。z ) ，( 1 ，可) ，( 2 ，z + 1m o d9 ) ) l e t = u 口b b t h e nw eo b t a i na n o t h e r ( 3 ，1 ) - r g d d ( 疋，9 ，) i t i se a s yt oc h e c k t h a t ( 疋，9 ，召u ) i st h er e q u i r e ds i m p l e ( 3 ，2 ) - r g d do f t y p e 矿f o ra n y 夕1 ，2 ，6 f o r 夕= 2 ，6 ，as i m p l e ( 3 ，2 ) - r g d do f t y p e 矿c o m e s f r o ml e m m a s2 1a n d2 2 s e c o n d , t h ef o l l o w i n gr e s u l t so np b d sa r em o r eu s e f u lf o ru s t h e o r e m2 1 ( 【1 1 】) t h e r ee x i s t sa ( u ， 4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9 ，1 ) 一p b df o re v e r yt ，4a n d t ，g 1 0 ，1 1 ，1 2 ，1 4 ，1 5 ，1 8 ，1 9 ，2 3 ) w ea l s on e e dt h ef o l l o w i n gd i r e c tc o n s t r u c t i o n sf o rs m a l lv a l u e s f o rt h e s e d e s i g n s , i n s t e a do fl i s t i n ga l lt h eb l o c k sa n dt h eh o l e yp a r a l l e lc l a s s e so ft h ed e - s i r e ds i m p l ef r a m e s , w eo n l yl i s tt h eb l o c k so ft h ei n i t i a lh o l e yp a r a l l e ld a s s e s , t h eo t h e rh o l e yp a r a l l e lc l a s s e sc a nb eg e n e r a t e df r o mt h e mu n d e rs o m ea d d i t i v e g r o u p l e m m a2 4t h e r ee x i s t sas i m p l e ( 3 ，4 ) 一f r a m eo ft y p e 铲f o re a c hu 5 ，6 ，8 ，1 2 ， 1 4 ，1 5 ，1 8 ) p r o o f ：l e tt h ep o i n ts e t 疋= 瓦a n d t h eg r o u p sb eg i = o + t ，u + 蕾，2 u + 主) ， i = 0 ，1 ，讧一1 t h er e q u i r e