（固体力学专业论文）非均匀有限弹性变形理论及其应用.pdf

摘要 摘要 本文是在偶应力理论和应距理论基础上，结合应变梯度理论而建立起来的 个考虑微旋转的非均匀有限弹性变性理论。 首先，简要介绍应变梯度理论和尺度效应问题的目前在国内外发展的状况 以及本课题的研究意义在微观尺度下，应变梯度理论的提出，使得塑性变形 的尺度效应的研究已经达到了一个很高的层次，而在弹性变形阶段依然存在很 强的尺度效应的问题，目前却还没有一个很完善的理论来解释这些问题，因此 使得弹性理论的研究又有了新的领域。 一 其次，指出应距理论的缺陷，应距理论解释了短粗梁的问题和为什么应力 理论( 即经典弹性理论) 仅适用于细长干但应距理论本身并没有作任何解释， 为什么扭转、弯曲的微单元体内有偶应力的作用，且仅有偶应力而没有应力的 作用? 在此基础上，我们首先分析微旋转效应产生的根本原因，再分析经典弹 性理论的平衡微分方程的不自恰性，从而提出了应力和偶应力共存于微单元体 内的理论观点，建立了一个考虑微旋转的有限弹性变形理论，并讨论新理论观 点下的平衡微分方程、边界条件以及本构关系。 最后，用新得到的理论观点来继续讨论扭转、弯曲的问题，继续讨论偶应 力在扭转、弯曲的引入，推导出新理论观点下的扭转、弯曲的公式，并通过分 析微观尺度下扭转、弯曲的尺度效应问题，经过分析可以得出，当材料常数和 物体的当量尺寸相当时，弹性阶段依然存在着很强的尺度效应的问题，此尺度 效应的产生也是因为偶应力引起的，但和应变梯度理论下的塑性变形阶段的尺 度效应比较，新理论观点下的弹性阶段的尺度效应要小的多。 。：7 关键词：应变梯度理论；微旋转；尺度效应；应距理论；偶应力 a b s 仃a e t a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , b a s e do nt h ec o u p l es t r e s st h e o r y a n dm p u a ( m o m e n tp e ru n i t a r e a ) t h e o r y , af i n i t e e l a s t i cd e f o r m a t i o nt h e o r yc o n s i d e r e dm i c r o - r o t a t i n gw a s e s t a b l i s h e da c c o r d i n gt ot h es t r a i ng r a d i e n tt h e o r y f i r s t l y , t h ep a p e rb r i e f l yi n t r o d u c e st h es t r a i ng r a d i e n tt h e o r ya n dt h es i z ee f f e c t s o ft h ed e v e l o p m e n to ft h ec u r r e n ts i t u a t i o na th o m ea n da b r o a da sw e l la st h e s i g n i f i c a n c eo ft h i si s s u e a tt h em i c r os c a l e ，s t r a i ng r a d i e n tt h e o r yr a i s e dm a k e st h e t h e o r e t i c a ls t u d yo fp l a s t i cd e f o r m a t i o ns t a g eo ft h es i z ee f f e c t sr e a c hav e r yh i g h l e v e l b u ti th a ss t i l lt h es i z ee f f e c t si nt h ee l a s t i cd e f o r m a t i o ns t a g e a tp r e s e n t , n o ta v e r yg o o dt h e o r yt oe x p l a i nm a k i n gt h es t u d yo f e l a s t i ct h e o r yh a v ean e wf i e l d s e c o n d l y ，p o i n t e do u tt h ef l a wo ft h em p u at h e o r y t h em p u at h e o r yh a sn o t o n l ys o l v e dt h ep r o b l e mo fs t u b b yb e a m s , b u ta l s oe x p l a i n e dw h y t h es t r e s st h e o r yi s o n l ya p p l i e ds l e n d e rs t e m b u tt h em p u at h e o r ym a k e sn oa n ye x p l a i nw h yt o r s i o n a n d b e n d i n gb e a m sh a v ec o u p l es t r e s s t h em p u at h e o r y i t s e l fs h o u l db e c o n t r a d i c t i o n sw h e ni td e t e r m i n e st h ep r o b l e mo fs t u b b yb e a m s o nt h i sb a s i s , w e a n a l y z e df u n d a m e n t a lr e a s o n so ft h ee f f e c to fm i c r o - r o t a t i n ga n ds e l f c o n t r a d i c t i o no f t h ee q u i l i b r i u me q u a t i o no ft h ec l a s s i c a l l ye l a s t i ct h e o r y s ot h i sp a p e ra d v a n c e sa t h e o r e t i c a lv i e w p o i n to ft h es t r e s sa n dc o u p l es t r e s sc o e x i s t i n gi nt h ei n f i n i t e s i m a l e l e m e n t ，af i n i t ee l a s t i cd e f o r m a t i o nt h e o r yc o n s i d e r e dm i c r o - r o t a t i n gw a se s t a b l i s h e d a c c o r d i n gt ot h es t r a i ng r a d i e n tt h e o r y , a n dd i s c u s s e st h eb a l a n c e dd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n , t h eb o u n d a r yc o n d i t i o na sw e l la st h i sc o n s t r u c t i o nr e l a t i o n su n d e rt h en e w t h e o r yv i e w p o i n t f i n a l l y ，t h et h e o r yw i t han e wp e r s p e c t i v et ob et oc o n t i n u et od i s c u s st h ep r o b l e m o ft o r s i o na n db e n d i n gb e a m s ，c o n t i n u et od i s c u s st h ec o u p l es t r e s si nt h et o r s i o n ，t h e b e n d i n gb e a m si n t r o d u c t i o n , d e d u c i n go u tt h en e wt h e o r yv i e w p o i n to ft o r s i o n ， b e n d i n gf o r m u l a , t h ec o u r s ea n a l y s et h es i z e e f f e c t sp r o b l e mi nm i c r o c o s m i c d i m e n s i o n , w h e nt h ep a w nm a t e r i ac o n s t a n ta n dd i m e n s i o n i n go fo b j e c ta r es u i t a b l e w e l l b a l a n c e d ，i te x i s t sv e r ys t r o n gs i z ee f f e c t sp r o b l e mi nt h ee l a s t i cd e f o r m a t i o n s t a g e , t h i ss i z ee f f e c t si sa l s oa r o u s e db yt h ec o u p l es t r e s s , b u tt h ts i z ee f f e c t si nt h e e l a s t i cd e f o r m a t i o ns t a g ei ss m a l l e rt h a ni nt h ep l a s t i cd e f o r m a t i o n s t a g e k e yw o r d s ：s t r a i ng r a d i e n tt h e o r y ；m i c r o r o t a t i n g ；s i z ee f f e c t s ；m p u at h e o r y ； c o u p l es t r e s s i v 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文屯特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得直昌态堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与 我同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位做作者签名( 手写) ：每崎答字日期：抄眸月侈日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解直昌太堂有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权直昌太堂可以将学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存、汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究 所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向 社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 阳 签字日期：彬年, 91 3e l 新躲扁雠( ，成夕 签字日期：衍年f 月f ( 日 第1 章绪论 1 1 课题的研究意义 第1 章绪论 弹性变形是固体力学理论研究的一个主要方向，它也是工程技术领域与自然 界中常见的变形现象。它和塑性变形的区别在于，塑性变形是指物体内产生的永 久变形，而弹性变形则是当外力( 不超过某一限度) 除去后可恢复的变形。弹性 变形理论广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。弹性变形规律的研究 成了与国民经济建设有重大关系的自然科学的基本问题之一， 。 从1 7 世纪开始就有人系统、定量地研究弹性理论，在宏微观尺度下都取得 了很大的成果，先是大变形理论，再引出应变梯度理论，应变梯度理论的提出， 使得弹性理论的研究有了一个质的飞跃。但是应变梯度理论主要着重于塑性变形 下尺度效应的研究，而尺度效应问题不仅仅只在塑性变形下才表现出来，对内禀 尺度与粱高度相当的薄梁、微尺度梁、局部弯曲情况，近年来实验发现存在很强 的弹性尺度效应，用经典理论无法预测，因此在弹性变形阶段中同样也会有尺度 效应。在弹性阶段的尺度效应是不是和应变梯度理论塑性阶段的尺度效应是一样 的? 弹性阶段尺度效应问题的研究还有待进一步的研究和探讨。 1 2 国内外发展背景与研究概况 1 2 1 大变形理论的发展 人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代弓箭就是利用物 体弹性的例子。当时人们还是不自觉的运用弹性原理，而有系统、定量地研究弹 性理论，是从1 7 世纪开始的。弹性理论的发展初期主要是通过实践，尤其是通 过实验来探索弹性力学的基本规律。英国的胡克和法国的马略特n 1 于1 6 8 0 年分 别独立地提出了弹性体的变形和所受外力成正比的定律，后被称为胡克定律。牛 顿于1 6 8 7 年确立了力学三大定律。同时，数学的发展，使得建立弹性的数学理 论的条件已大体具备，从而推动弹性理论进入第二个时期。在这个阶段除实验外， 人们还用最粗糙的、不完备的理论来处理一些简单构件的力学问题。这些理论在 后来都被指出有或多或少的缺点，有些甚至是完全错误的。在1 7 世纪末第二个 时期开始时，人们主要研究梁的理论。到1 9 世纪2 0 年代法国的纳维和柯西 才基本上建立了弹性力学的数学理论。柯西在1 8 2 2 - - 1 8 2 8 年间发表的一系列 第l 章绪论 论文中，明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量的概念，建立了弹性理 论的几何方程、+ 运动( 平衡) 方程、各向同性以及各向异性材料的广义胡克定律， 从而奠定了弹性力学的理论基础，打开了弹性理论向纵深发展的突破口第三个 时期是线性各向同性弹性理论大发展的时期。这_ _ 时期的主要标志是弹性力学广 泛应用于解决工程问题。同时在理论方面建立了许多重要的定理或原理，并提出 了许多有效的计算方法。1 8 5 5 1 8 5 8 年间法国的圣维南n 1 发表了关于柱体扭转和 弯曲的论文，可以说是第三个时期的开始。在他的论文中，理论结果和实验结果 密切吻合，为弹性理论的正确性提供了有力的证据 1 8 8 1 年德国的赫兹解出了 两弹性体局部接触时弹性体内的应力分布；1 8 9 8 年德国的基尔施口刀在计算圆孔 附近的应力分布时，发现了应力集中。这些成就解释了过去无法解释的实验现象， 在提高机械、结构等零件的设计水平方面起了重要作用，使弹性理论得到工程界 的重视。在这个时期，弹性理论的一般理论也有很大的发展。一方面建立了各种 关于能量的定理( 原理) 。另一方面发展了许多有效的近似计算、数值计算和其他 计算方法，如著名的瑞利里兹法，为直接求解泛函极值问题开辟了道路，推 动了力学。物理、工程中近似计算的蓬勃发展。从2 0 世纪2 0 年代起，弹性理论 在发展经典理论的同时，广泛地探讨了许多复杂的问题，出现了许多边缘分支： 各向异性和非均匀体的理论，非线性板壳理论和非线性弹性力学，考虑温度影响 的热弹性力学，研究固体同气体和液体相互作用的气动弹性力学和水弹性理论以 及粘弹性理论等。磁弹性和微结构弹性理论也开始建立起来。此外，还建立了弹 性理论广义变分原理，后来还发现宏观工程的尺度效应。这些新领域的发展，丰 富了弹性理论的内容，促进了弹性变形研究的发展。 最近，韩文坝教授等人又提出应矩理论睁姗，解释了弹性理论长期以来不能 解决的问题短粗梁问题，这使得弹性变形理论的研究又有了新的领域l 1 2 2 应变梯度理论 ，二- 。： 最初，连续介质力学广泛应用于许多工程领域，如宇航、车辆、土木、机械、 石油化工与核工程等，这些工程的一个共同特点是其部件或变形所涉及的代表性 长度比较大，近几年，连续介质力学开始在新的工程领域中获得应用，特别是在 微米水平下的设计与制造问题，例如薄膜，微传感器，微制动器及微电子机械系 统等，这些新的应用的共同特点是部件或变形所涉及的特征长度很小，典型为 ( o 1 一1 0 ) 朋，即细观尺度。为了把连续介质力学成功地应用于细观力学，许 多学者( 如：f l e c k 、s t o l k e n 、e v a n s 、l l o y d 、e l s s n e r 等) 作了大量实验测量 细管尺度下材料的性质，发现当材料的特征长度为微米量级时，金属材料呈现出 很强的尺寸效应。二十世纪初，c o s s e r a t 兄弟1 提出微极非线性弹性理论，该 第1 章绪论 理论中考虑每一个材料粒子作为一个完美的刚性颗粒，变形时不仅有位移产生， 还伴随着转动，每一个物质元有6 个自由度，导致了应交和应力张量的非对称性。 此理论为非线性理论，当时并非用来分析弹性理论框架下的些问题，而是考虑 了一些非理想的流体，并试图分析了一些电子动力学问题，但它没有引进本构关 系，所以一直没有引起人们的关注。到了2 0 世纪6 o 年代，由于研究连续介质理 论的基本原则，c o s s e r a t 的模型引起了一些学者( 如：t o u p i n 、m i n d l i n ) 的兴 趣。t o u p i n 讨论了在连续介质中引入高阶梯度的基本原理，假定应变能密度函 数不仅依赖于应变而且依赖于转动梯度，得到线弹性偶应力理论m 】。m i n d l i n 认 为连续介质中每一个物质点从微观角度可以看作一个胞元，这个胞元不仅跟随连 续介质作宏观运动和变形，而且自身还有微观位移和微观变形。因此，应变能密 度函数不仅依赖于应变张量，而且依赖于变形张量及微观变形梯度。1 9 6 8 年， g r e e n ，m c i n n i s 和n a g h d i 提出了一种塑性微极理论n 3 1 。另外n a g h d i 和s r i n i v a s e 发展了c o s s e r a t 理论并分析了含有位错演化的问题。所有这些理论都是基于简 化的偶应力理论基础上，也就是只有位移矢量为变量，物质转动矢量与位移矢量 相互联系。 为了引进尺度效应已提出了几种应变梯度理论。1 9 9 3 年f l e c k m l 和 h u t c h i n s o n u 5 3 从几何必需位错及统计储存位错角度出发，发展了一种只考虑转动 应变梯度影响的应变梯度理论。当分析裂纹尖端场或微米压痕时，f l e c k 和 h u t c h i n s o n 3 又提出了一种完整的应变梯度理论，既考虑了转动应变梯度，又考 虑了拉伸应变梯度。后来s h u 和f l e c k n 在f l e c k 和h u t c h i n s o n 【6 1 理论框架上提 出了一种适用于晶体的应变梯度公式，并用来分析了强度及变形都与尺寸有关的 晶体材料及金属基复合材料的微观应变场。n i x 和g a o “町发展了一种简单的位锚 模型，用来估计圆锥压头下的几何必需位错密度；1 9 9 9 年g a o ，h u a n g 等n 啪町在 n i x 和g a o u 叫的启示下，发展了一种基于位错机制的应变梯度塑性理论，简称m s g 理论。这种应变塑性理论通过一个多尺度、分层次的框架，实现了宏观塑性理论 与位错理论的联系。然而上述几种理论都引入了高阶应力，本构关系及边界条件 都相当复杂。比较而言，a i f a n t i s 等瞌l 2 2 3 在经典塑性理论的本构中引入了等效应 变的一次和二次拉普拉斯算子，在他们的理论中没有定义应变梯度的功共扼量。 a c h a r y a 和b a s s a n i 口胡讨论了一种率无关框架，在这个框架下应力增量和应变增 量通过塑性硬化模量相关，而这个塑性硬化模量不仅依赖于塑性应变，而且依赖 于塑性应变梯度。c h e n 和w a n g 乜们在以形变理论增量形式的基础上，给出了一种 具体的硬化关系，应变梯度仅作为内变量来影响材料的切向硬化模量。随后c h e n 和w a n g 阱3 在一般偶应力理论框架下提出了一种新的转动梯度理论，结合考虑拉 伸应变梯度的增量硬化关系，形成了一种完整的应变梯度理论。为了避免引进高 3 第1 章绪论 阶应力的复杂性，h u a n g 等汹1 在2 0 0 1 年提出了一种t n t 理论。黄克智院士、余 寿文教授等口l 嘲人对应变梯度也有了系统的研究。如在1 9 9 9 年黄克智院士等 人在“应变梯度理论的新进展( 一) 静介绍了两种应变梯度塑性本构关系：c s 应 变梯度塑性理论一偶应力理论is g 应变梯度塑性理论。对它们在断裂力学中 的应用进行了评述，并给出了一种考虑可压缩性的方法。同时他们在。应变梯度 理论的新进展( 二) 一介绍了一种新近提出的应变梯度塑性本构模型：基于细观 机制的应变梯度塑性理论( m s g ) ，并在断裂力学中的应用进行了评述。当今也有 很多在弹性变形在机械、建筑、航空、地质等应用的研究i 1 2 3 尺度效应 近年越来越多的实验发现和证实，微尺度下材料的行为和常规尺度下材料的 行为有显著的不同。当非均匀塑性变形的特征长度在微米或亚微米量级时，材料 呈现出很强的尺寸效应。例如，f l e c k 等啪3 在细铜丝的扭转实验中观察到，当细 铜丝的直径由1 7 0 微米减少到1 2 微米时，无量纲化的扭转硬化增长了几乎两倍， 如图1 1 a 所示；而在细铜丝的单向拉伸实验中，如图1 1 b 所示，则基本上看不 出尺寸效应。s o t l k e n 和e v n a s 口町在薄镍梁的微弯曲实验中观察到当梁的厚度从 1 0 0 微米减少到1 2 5 微米时，无量纲化的弯曲强度增长约2 倍。l l o y d m l 在碳化 硅粒子增强的铝镁基复合材料实验中发现，当保持增强相粒子体积比为1 5 嘎 的情况下，将增强相颗粒的直径从1 6 微米减小到7 5 微米时复合材料的宏观强 度有显著的提高。不同的金属材料的微压痕实验表明随着压痕深度从5 0 微米减 小到1 微米，测得的压痕硬度增长了一到两倍1 3 泓聃瑚1 。著名的h a l l p e t c h 效应也表明纯金属的屈服强度随晶粒尺寸的缩小而增大。所有这些实验都显示材 料在微米和亚微米量级时是“越小越硬一。 图1 1f l e c k 等的细铜丝扭转和拉伸实验 由于在经典的弹塑性理论中不包含任何以长度为量纲的材料参数，对于不同 4 第l 章绪论 尺度的材料所预测的性质都相同，因此无法解释以上实验中观察到的尺寸效应。 然而工程实践中迫切需要解决微米和亚微米量级的设计与制造问题，如厚度在i 微米或者更小的尺寸下的薄膜；整个系统尺寸不超过1 0 微米的传感器、执行器 和微电力系统( 娅m s ) ；零部件尺寸小于1 0 微米的微电子封装等。有些宏观设计 也需要考虑材料的微观性质，如金属机械加工中的剪切带厚度，是控制加工中切 屑成型的关键因素：颗粒纤维增强复合材料的强度与韧性：薄膜界面的力学性能 等。现有的设计方法，如有限元方法( f e m ) 和计算机辅助设计( c a d ) ，都是基于经 典的塑性理论，它们在微小尺度不再适用一另一方面i 现在按照量子力学和原子 模拟的方法在现实的时问和长度的尺度下处理在微米尺度下的设计依然很困难。 所以，建立连续介质框架下的考虑尺寸效应的新的本构模型就成为联结经典塑性 力学和原子模拟之间的必要的桥梁。 发展应变梯度理论的另一个意义是为韧性材料中的解理断裂现象提供一种 合理的解释。e l s s n e r 等口刀测量了单晶妮与蓝宝石界面之间的宏观断裂韧性和原 子分离功。所测得的宏观断裂功要比原子分离功大两到三个数量级，这是由于铌 中大量的塑性耗散造成的；但实验中铌和蓝宝石之间的界面裂纹保持为原子尺度 的尖裂纹，即裂尖没有钝化。h u t h c i n s n o n 口明用经典塑性理论预测的裂纹尖端附 近的最大应力水平为材料屈服应力的4 到5 倍，而典型的原子点阵和强界面分离 所需的应力水平为杨氏模量的0 0 3 倍，相当于屈服应力的l o 倍，远远超过经典 塑性理论预测的裂尖最大应力水平( 4 - 5 c r r ) 。很明显，经典塑性理论预测的裂尖 应力水平不足以使原子分离。考虑应变梯度效应以后，则有可能为这种现象提供 一种合理的解释。 1 3 本文的主要工作 固体尺度效应在宏微观尺度下都可能产生，在微观尺度下我们可以用应变梯 度理论来解释，应变梯度理论的提出，使得微观尺度下的尺度效应问题有了一个 很完善的解释，但应变梯度理论主要运用于塑性变形的尺度效应的分析，但尺度 效应在微观尺度下是不是只有塑性变形才能产生呢? 在弹性阶段有没有尺度效 应呢? 对内禀尺度与梁高度相当的薄梁、微尺度梁、局部弯曲情况，近年来实验 发现存在很强的弹性尺度效应，因此可以看出在弹性阶段依然存在很强的尺度效 应。本文在偶应力和应距理论的基础上，提出了一个考虑微旋转的非均匀优先弹 性变形理论，用来解释微观尺度下的弹性阶段的尺度效应的问题。本文的主要工 作包括以下几点： l 、在偶应力理论的基础上，分析应距理论的问题，说明微旋转效应产生的 5 第1 章绪论 原因，并分析经典弹性理论的平衡微分方程v 盯+ ，= 0 的不自洽性，从而提出 了偶应力和应力共存于微单元体内的理论观点； ” 2 、结合偶应力理论，推导出微单元体内应力和偶应力共存的动静力平衡微 分方程，并分析其边界条件、变形几何关系以及本构关系，讨论一个考虑微旋转 的非均匀有限弹性变形理论： 3 、把得到新理论和工程结合起来，讨论它在扭转、弯曲是如何引入的，推 导出新理论下扭转、弯曲公式，并分析新弹性变形理论在扭转、弯曲的弹性阶段 尺度效应的问题，并和塑性阶段的应变梯度理论下的尺度效应进行比较； 4 、对新理论观点做展望，分析其未来的研究方向。 6 第2 章偶应力理论 第2 章偶应力理论 2 1 偶应力理论简介呲1 偶应力理论是近来发展起来的应变梯度理论之一，很多学者致力手建立考虑 微结构影响的连续介质模型，并取得了丰硕的成果。偶应力理论与经典弹性力学 理论的区别在于：偶应力理论中，微元体内每一点上除了位移自由度外，还存在 独立的转动自由度，因而连续体内的转动由宏观转动和微观转动组成。 、 从本质上讲，在偶应力理论中，考虑每一个材料粒子作为一个完美的刚性颗 粒，在材料发生变形时，不仅发生简单的位移，还伴随着微粒自身的转动。这样， 每一个物质元有六个自由度，增加了微传动自由度和偶应力分量，导致了应变和 应力张量的非对称性，偶应力理论的平衡方程、应交位移关系。本构关系以及弹 性体的应变能和应变余能都需要在经典弹性力学的基础上做一些修正。另外，不 同于经典弹性力学理论的一点是，偶应力的应力分量在本构关系中并不都是确定 的，因此考虑平衡方程时还应当注意到不确定的剪应力分量。如图2 1 是偶应力 的力学模型。 2 1 1 偶应力的平衡方程 图2 1 偶应力的力学模型 7 第2 章偶应力理论 如图2 1 示，考虑偶应力后，平面微元体的应力分量在经典弹性理论的基础 上增加了偶应力以和以。 图2 2 为考虑应力分量沿长度方向微小变化时的应力图。 图2 2 直角坐标系中的正应力、切应力及偶应力 由力平衡罗e = 0 ，罗e = 0 及力矩平衡y m 。= 0 ( 口为微元体左下角点) ， _1_，_ 可得( 不计体力和体力偶) ： 丝+ 坠= o ( 2 1 1 a ) 孤t 秒 堕堕= o ( 2 1 1 b ) 孤 碍。 警+ 警+ 一= 。( 2 i i c ) 根据上式，考虑偶应力平面弹性理论平衡方程( 计体力和体力偶) 可写为： ，+ j + z = 0 ( 2 1 2 a ) p 。j + e 畸t + p k = 0 。 q 1 2 b ) 式中，“，一表示对坐标求偏导，鳓为偶应力，z 为体力，以为体力偶， 为置换张量。， j 分析( 2 1 1 ) 式可知，由于偶应力( 姿o ，兰磐o ) ，则剪应力不再相 8 第2 章偶应力理论 等( 即) ，即体现变形的不均匀性 2 1 2 结合偶应力的变形 经典弹性理论与含偶应力的弹性理论之间基本的区别在于对于表面单元的 两面所假设的材料相互作用的性质不同。在经典弹性理论中，假设在表面一面的 材料对表面另一面的材料的作用与一力是等价的。在偶应力理论中，假设相互作 用与一力和一力偶( 偶应力) 等价。进一步改进还允许假设体力偶的性质。偶应力 取为单位面积的力矩，而体力偶取为单位体积的力矩。 对于平面应变，应变一位移关系可以得到如下形式： 毛= 甜j ，5 = o ，岛= k - t - b ( 2 1 3 ) 有广义胡克定律可得应力一应变关系式： 瓦2 了卜一而仃，r j 勺2 t 卜一五q j ：掣x y 秒 f ( 2 1 4 ) 由于微转动自由度缈的出现，新定义了两个曲率应变分量： - k ，= 啦，k y = 够y ? ( 2 1 5 ) 在偶应力理论中，假定微转动9 和宏观转动国是相等的： 9 = 国= 去t ，一”。y j ( 一1 2 6 ) 9 2 国= i v ，一”。，j l b j 将此关系代入式( 2 2 6 ) 中，得到曲率应变分量： 一t = 国，= ( v - 曩- 嚣_ 缪，= 国，：h 黟十”t 寥： ( 2 1 7 ) 相对k y ) 平面的平面应变，位移分量0 ，力只是k 少) 的函数并且w = 0 。因 此，对各向同性弹性介质，正应变皓，占，) 由方程( 2 1 6 ) 的前两式与正应力 杌，q ) 联系，k ，勺) 由方程( 2 1 4 ) 的前两式与0 ，d 联系。此夕卜，岛剪应变， 由方程( 2 1 4 ) 的第三式与0 ， ，) 联系。然而，因为通常f 卸f 朔，方程的( 2 1 5 ) 第三式不再成立。那么和k 有什么关系呢? 我们习惯可以将jk ，分解 成为对称部分矗和非对称部分乙，其关系式如下； b = 丢k + k ) 乙= 丢k k ) ( 2 1 8 ) 9 第2 章偶应力理论 图2 3 是、毛和乙变形关系。 + 图2 3 剪应力对称和反对称分量合成示意图 从图2 3 中可以看出，对称部分产生的是剪应变，其关系如下式： ：去= 半k + k ) ( 2 1 9 ) 2 石2t + k j 【2 1 9 ) 式中g = ( 1 + 瑚为剪切模量。，一 非对称部分乙产生局部刚体旋转，其关系如下式： 1f ，加锄、 织2 j 临一别 此时，非对称部分。由偶应力矽、来平衡。 当不考虑偶应力时( 即局部刚体旋转= 蜘= = 0 ) ， 偶应力理论退化为经典弹性理论。 ( 2 1 1 0 ) 岛= = k ，此时， 综上可知，剪应力对称分量b 对微元体的作用与经典弹性理论中剪应力产 生的作用相当，都是使微元体产生相应的剪切变形，。；而剪应力反对称分量r 。， 在x 轴方向主应力面上为f 。，y 轴方向主用力面上为一f ，微元体在r 。的作用下 不再产生剪切变形，而是使自身发生了微转动0 。从这一点上来讲，正好回归到 偶应力理论的本质问题，即材料变形时考虑了微粒自身的转动o 。同时也可以认 为剪切变形只与剪应力对称分量毛有关，反对称分量f 。使微粒发生了微转动。 下面结合毛、f 继续讨论偶应力平衡方程，将式( 2 1 8 ) 代入式( 2 1 1 ) 得到： 1 0 第2 章偶应力理论 ( 2 1 1 1 ) 2 1 3 偶厘力的本构关系 平面应力问题对于各向同性弹性材料，应力、应变的关系是： 。巳= 圭也刊| 亿2 ) 勺= 吉b y 纠 。一 将式( 2 1 3 ) 代入( 2 1 1 2 ) 消掉位移得到应变量k ，勺，) 的相容方程： 堡+ 聋= 盗 ( 2 1 1 3 ) 勿2 。日2玉勿 。 南式泣1 5 ) 可得 坠：生 砂 苏 由式( 2 1 3 ) 和( 2 1 7 ) 得到： t 一广三k 一一) = 三 k y ：国y ：要( v - 矽一炒) ：勺，一 一 假设偶应力和曲率的有如下关系： t - 石1 以1 1 k y = 面弘y ( 2 1 1 4 ) ( 2 1 1 5 ) ( 2 1 1 6 ) 这里曰为一个新的弹性模量，可称为弯曲模量，系数取4 考虑后边推导方便。 注意到由于偶应力具有单位面积力矩的量纲或单位长度力的量纲而曲率为长度 的倒数，所以模量量具有力的量纲。 由式( 2 i 9 ) 、( 2 1 1 3 ) 和( 2 1 1 7 ) 得到的应力应变关系，代入上式 ( 2 1 1 4 ) 、( 2 1 1 5 ) 和( 2 1 1 6 ) 可得： 、10，叫 沁矿沁沥盟缈盟她盟柳警 + 一 ，眈一砂饥卜毽 亟知堕秒 、lrj y 缸 胁 一 1 2 等+ 等二品2 0 q ) = 慧。钞2 反2 ”y 。，一柳 以2 刀2 誓一万2 号h 一，b ，t ) 】l 劣 咖。一- i 一_ 以= 刀2 丢h y g ，+ q ) 1 一刀2 詈f 式中丫2 = 簧+ 等。” ，z = 堑坐：曼 f正 ，为材料的内禀长度，由式( 2 1 1 8 ) 可知jj = o 即为理想连续体时，偶应 力段和以都为o ，也就是理想连续体不存在偶应力。 平面偶应力理论的弹性本构方程为： o = d t( 2 1 2 1 ) 其中：仃= 吒 a y p l 摹l y s t s y 岛 露， 轰y 式中：d 为弹性本构。 。 2 1 4 儡应力的边界条件 偶应力的平面边界条件有位移边界条件和力边界条件， 觜q ( 缸移边界条毒， x l ( 应力边界条件) 它们分别为： 式中：霉。表示边界上作用的面力，材。表示边界上作用的面力偶，乃表示 应力以及应力偶对应的_ ，轴外法线矢量，露和万表示己知的位移边界向量， l + l = r 2 1 5 微观尺度下儡应力存在的条件 f l e c k 和h u t c h i n s o n m l 应用偶应力理论成功地预测了前面提到的细铜效扭 1 2 矿m = 1 1 1 鼢 第2 章偶应力理论 转薄梁弯曲和颗粒增强金属基复合材料的尺寸效应。在这个本构关系中为了平衡 应变和应变梯度的量纲，引入了材料常数，( 长度量纲) ，它被认为是材料的内禀 长度，依赖于材料的微结构n 仙，删。在文献 1 4 中对于铜，估计，= 4 x n ；而在文 献 4 3 中对于镍，估计，= 6 朋。当非均匀变形场的特征尺寸l 比材料内禀尺寸， 大得多时，应变梯度效应小到可以略去，即偶应力不考虑，因为应变梯度项比应 变项的贡献小得多，即肘l 形j “，故此时该理论退化为经典的j 2 塑 性理论：但是当变形场特征尺寸l 与材料内禀尺寸，属于一个数量级时( 例如在上 面提到的一些试验中) ，应变梯度效应就很重要，偶应力必须考虑进去。 而对于金属材料，内禀尺寸，一般都在微米或亚微米数量级，因此只有当非 均匀变形场的特征尺寸l 也在微米或亚微米的时候，偶应力才表现明显，如果特 征尺寸l 比内禀尺寸，大的多，甚至在宏观状态下，偶应力几乎不存在，这就是 在宏观状态下的经典弹性变形。 但是是不是在宏观状态下所有材料都不会有尺寸效应呢? 应变梯度效应表 现明显的条件是：变形场特征尺寸l 与材料内禀尺寸，属于一个数量级 2 2 应距理论及其问题 2 2 1 应距理论简介 一直以来，宏观尺度下的偶应力的弹性理论都没有一个很完善的研究，当今 韩文坝教授提出了一个应距理论睁加1 ，它解释了用弹性理论设计的短粗梁和大件 经常出现断裂等工程事故的原因，也定义了何谓细长干，何谓短粗粱，计算出了 一些特殊梁保证刚度和强度的临界尺寸，并分析了梁扭转和弯曲不平衡等问题。 应距理论是当今韩文坝教授等人提出了一种新概念弹性理论，其实质是偶应 力理论在工程问题中的一个应用。下面讨论其平衡微分方程，其实质是建立在偶 应力基础上建立起来的一个平衡微分方程 2 2 2 应距理论的平衡微分方程 1 3 第2 章偶应力理论 在物体内取一单元体如图2 4 所示，其应力应距的综合平衡微分方程，即力 平衡和力矩平衡分别为： 2 4 单元体应力应距分量及增量 警+ 等f + 等+ 六= ” 汜2 ，陪寺+ 刳= o v 陪号+ 刳二5 ) k 二t + ( 誓鲁壬刳= | 0 上式为互相垂直两平面上的剪应力( 且垂直于同一坐标轴的剪应力) ，与其 该坐标轴平行方向的应矩( 扭应矩、弯应矩) 间的关系。二共得6 个平衡微分方 1 4 0 0 ， = = 正 + + 堡出 监勿 堕钞笠砂 笠良 堕西 第2 章偶应力理论 程，比经典弹性理论多了3 个应矩应力平衡微分方程。 从上式苛知，剪应力互等条件为： 丝+ 生+ 丝：o o x o y 、出 监+ 生+ 丝= 0 西 砂 出 生+ 盟+ 生：o 魂 o y 出 才会有： = k 、= r 。、k = f 矽 由式( 2 2 1 ) 和( 2 2 2 ) 可得应力应矩综合平衡微分方程，消去勺、 和乙可得到由正应力、剪应力、扭矩和弯距共同作用的平衡微分方程： 等+ 誓+ 参卜+ 警+ 等+ 刳+ 正= 。 他2 渤， 等+ 誓+ 昙一+ 等+ 等+ 刳+ 乃= 。 汜2 m ) 誓+ 等+ 昙卜鲁+ 等+ 割+ 正：u 汜2 a ) 如果消去、和f 盘可得到由正应力、剪应力、扭矩和弯距共同作用的另 三个平衡微分方程： 警+ 誓+ 昙( 一誓一等一警卜= 。 他2 山) + 号+ 誓昙卜一警一等一刳+ l _ 0 他2 舶) 誓+ 誓+ 号卜警一等一警卜“ ( 2 2 ) ( 2 2 3 ) 式和( 2 2 4 ) 式是有拉、剪、弯、扭同时作用时的平衡微分方程。 由( 2 2 3 ) 式和( 2 2 4 ) 式可知，用偏微分方程把9 个应力分量和9 个应 矩分量联系在一起，完全不同于现行弹性力学，应距理论是把扭矩和弯矩转化成 不同量纲的应力。实际上应矩转化得到的“应力一其实质只是。相当应力一；是 用应力的形式表明弯应矩产生的变形相当子多大正应力：扭应矩产生的变形相当 l s 第2 章偶应力理论 多大剪应力。把“相当应力一当作真实应力，是弯曲和扭转不平衡的根本原因。 由此得出重要结论：力不是使物体变形和破坏的唯一原因，。“矩一同样是物体变 形和破坏的原因。“矩一是独立物理量，不能再转化为不同量纲的力，只是在数 量上等于力和力臂的乘积。 2 2 3 边界条件 如果把斜截面看成是外表面，其上的作用的应力和应矩也看成表面力和矩， 即为边界条件的应力应矩状态。设芦( j 、，、三) 为物体表面微面上所受的 外应力。石为微面的法线方向，、掰、刀为其方向余弦。设秀( 秀、秀、厩) 为物体表面上所受的应矩。可以得出边界条件： 2 2 4 本构关系 x = 0 3 + t 弘m 七f 毋 。y ：t 0 七。一t z = f 口l + f 弦m + oz n ( 2 2 5 a ) ( 2 2 5 b ) 示：= 掰+ 历弦m + m 。n ( 2 2 6 a ) 而= 瓦+ 册+ 刀 ( 2 2 8 b ) 绣= 而曩，+ 瓦掰+ 瓦刀 口= d e( 2 2 7 ) 其中：。= ： ，= z ，岛为囊应变，乃为剪应变，。为弹性本构。 2 2 5 应距理论的问题 应矩定理其实质是在偶应力的基础上建立起来的一个空间偶应力理论，它指 出把矩化成力是违背理论力学：。力向一点简化得到主矢和主矩一的基本原理。 把扭矩化成剪应力，把弯矩化成正应力，其实都不是真正的力，只是相当应力 这是扭转和弯曲出现不平衡的根本原因。还提出力不是物体变形和破坏的唯一因 素，矩和力是并列的使物体变形和破坏的因素。矩不能转换成力，要解决扭转出 现的矛盾，就不能把扭矩转化成剪应力，因为力和矩是不同量纲的物理量，其作 用效果也完全不同，力使物产生移动效果，矩使物体产生转动效果。扭矩化成的 1 6 第2 章偶应力理论 剪力其实不是真剪应力，只是表明扭应矩作用下产生的扭转变形，相当多大剪应 力，即剪应力为当量应力。应距理论提出纯扭转体内无剪应力，纯弯曲体内无正 应力，它们只有应距的作用即偶应力的作用。 但是应距理论对扭转、弯曲为什么会出现偶应力并无作解释，为什么纯扭转 体内无剪应力，纯弯曲体内无正应力，它们只有应距的作用? 在纯扭转体内、纯 弯曲体内是不是只有偶应力的存在，而没有应力呢? 这一系列的问题应距理论都 没有作任何解释。下面基于偶应力理论，继续讨论一个考虑微旋转的非均匀有限 弹性变形理论，分析偶应力出现的原因，继续分析新理论下的偶应力在扭转和弯 曲是如何引入的，在应变梯度塑性理论的基础上，讨论在弹性阶段的尺度效应问 题，并用来解释各种弹性阶段尺度效应的问题。 1 7 第3 章考虑微旋转的非均匀有限弹性变形理论 第3 章考虑微旋转的非均匀有限弹性变形理论 无论变形过程如何，如果变形体中局部介质在整体卸载下和在局部卸载下的 弹性变形处处相同，即局部卸载变形与整体卸载变形只相差一个变形容许旋转 时，就称变形体处于弹性变形状态。这也可以等价地表述为变形体的整体卸载构 形是初始无应力构形，初始构形通常假设为均匀的，并且与当前构形拓扑等价。 如果变形体还是理想无缺陷( 含位错和旋错) 的弹性体，则称变形体处于协调弹 性变形状态。研究弹性变形状态下变形体整体卸载构形的描述以及变形体如何在 外部载荷作用下从整体卸载构形变成当前构形就是所谓的弹性变形理论。 经典弹性变形的本质是物体微粒( 分子、原子) 之间的距离在外力的作用下 发生改变，距离改变的各向异性和不均匀性还会导致微粒( 或晶粒) 之间的相对 旋转