（轮机工程专业论文）焊缝缺陷图像处理小波基选取研究.pdf

摘要 焊接工艺是船舶建造过程中的重要环节，是保证船舶质量的关键。焊接过 程中由于各种因素的影响，焊缝中常常会出现裂纹、央渣、气孔、未焊透和未 熔合等缺陷。如果焊件中存在着缺陷，可能造成结构断裂、渗漏，甚至引起船 舶沉没。因此有效的对焊缝的缺陷检测出，具有重要的现实意义和经济价值。x 射线成像法是常见且十分有效的检测手段。传统人工检测技术受评片人员的技 术素质和经验的影响，往往检测效率低、操作复杂、胶片资料不易保存等等不 利因素。计算机辅助评片不仅能提高工作效率，有效克服人工评定中由于评判 人员技术和经验差异以及外界因数的不同引起的误判和漏判，而且能使评片过 程客观化、科学化和规范化。 然而传统的图像处理方法，其本身算法的缺陷，以致处理效果不够理想。 迫使新的图像处理算法的出现，而小波分析理论其独特的时频局部化特征、尺 度变化特征和方向性特征被广泛地应用各个科学领域。小波变换也被喻为信号 和图像处理中最强有力的工具。随着小波分析理论不断的发展，小波基函数的 种类也越来越多，小波基函数的确定直接影响处理结果的好坏。本文主要的研 究小波分析理论在焊缝缺陷图像处理系统中的应用以及在该系统如何选取小波 基问题。 本文主要是针对焊缝缺陷图像特征在图像的去噪和边缘检测两个方面做出 研究工作。首先介绍了小波分析的基本理论，分析小波变换基本理论、多尺度 特性以及m a l l a t 算法思想。然后研究分析焊缝缺陷图像的数字化特征，观察 发现焊缝图像灰度集中、灰度值普遍偏小、对比度低、模糊、图像中缺陷目标 小等特点。分别从传统的图像去噪和边缘检测处理方法与基于小波分析方法加 以比较说明。重点研究了小波基函数的性质，分析小波的正交性、紧支性、对 称性、正则性以及小波消失矩以及几种性质之间的联系。总结针对焊缝图像选 取小波基的基本原则，选取最优小波基。从而能够在焊缝图像去噪和边缘检测 中得到更好的处理效果。最后在焊缝图像去噪和图像的边缘检测分别做了实验 分析，在系统软件中用常见的3 9 种小波基函数做出实验分析。最终确定了在焊 缝缺陷图像去噪和边缘检测处理最佳的小波基函数。使得小波分析方法更为有 效运用，检测出更好更准确的边缘信息，提高缺陷识别率。 关键词：焊缝缺陷；小波基：图像去噪；边缘检测：最优小波基； a b s t r a c t w e l d i n gp r o c e s si s 锄i m p o r t 删l i n ki nt h ep r o c e s so fs h i p b u i l d i n g ，w h i c hi st h e k e yt og u a r a n t e et h eq u a l i 哆o fs 王l i p s d u r i n gt h ew e l d i n gp r o c e s sa 侬c t e db yv 撕o u s f 犯t o r s ，u s u a l l yt h e r ea r em a l l yw e l d i n gc r a c k s ，s l a g ，p o r o s i t y ，p e n e t r a t i o n ，i n c o m p l e t e f h s i o na p p e a r e di nt h ew e l d i n g i ft h ew e l d i n gd e f e c t se x i s ti nw e l d ，m e yw o u l d c a u s e t h es t r u c t u r ef r a c t u r e ，l e a k a g e ，a i l de v e nc a u s es h i ps u n k s oi th a st h ei m p o 咖t p r a c ! i c a ls i g i l i f i c a n c e 趾de c o n o m i cv a l u et 0e 虢c t i v e l yd e t e c tw e l dd e f e c t s x r a y i m a g i n gm e t h o di sc o m m o na i l dv e r ) ，e 疵c t i v ed e t e c t i o nm e a n s t r a d i t i o n a la r t i 矗c i a l d e t e c t i o nt e c l l i l o l o g yw a sa 脏c t e db yt h et e c l l i l i c a lp e r s o n n e lq u a l i 母a i l de x p e r i e n c e ， w h i c hd d e c t e dl o we 伍c i e n c ya n do p e r a t i n gc o m p l e x l y 狮dw a sd i 盛c u l tt os a 、，ef i l m m a t e r i a le t c c o m p u t e r a s s i s t e da s s e s s m e n tc h i p sc 锄n o t0 1 1 l yi i i l p r o v e 、o r k e 匝c i e n c y ，e f r e c t i v e l yo v e r c o m ea n i f i c i a le r r o r s 舳dm i s s i n gp i e c e sd u et oj u d g i n g d e p e n d i n go nt e c h n i c a lp e r s o i m e le x p e r i e n c ea n dt _ h e ( i i 保：r e n te x 钯m a lf a c t o r ，b u ta l s 0 m a l 【et h ee v a l u a t i o np r o c e s so b j e c t i f i c a t i o n ，s c i e n t i f i c 锄ds t a i l d 砌i z a t i o n h o 、e v e r t h ed e f e c to ft r a d i t i o m lm e t h o do fi m a g ep r o c e s s i n gm g o r i t l l i l li t s e l f w o u l de x i s t ，a n d “d i dn o tp r o c e s si d e a le f r e c t s ot h en e wi m a g ep r o c e s s i n g a l g o 矗t l 瑚sw c i r ef o r c e dt 0a p p e 甄a 1 1 dw a v e l e ta 1 1 a l y s i so fi t su 1 1 i q u et i m e 一舶q u e n c y l o c a l i z a t i o nc h a r a c t e r i s t i c s ，c i l a r a c t e r i s t i c sa n dd i r e c t i o n a lc h a r a c t e r i s t i cs c a l e s 甜e w i d e l ya p p l i e dt 0v 蕊o u s 毹l d so fs c i e n c e w 打e i e tt r 觚s f o mw a sa l s 0 彻m e d t h e m o s tp o w e m i l t o o lo fs i g n a la n di m a g ep r o c e s s i n g w i t i lt h ed e v e l o p m e mo fm e t 1 1 e o r yo fw a v e l e ta i l a l y s i s ，t h ew a v e l e tb a s e 如n c t i o ns p e c i e si sa l s om o r ea n dm o r e ， t h ew a v e l e tb a s e 劬c t i o nd i r e c t l ya f f e c t st h ep r o c e s s i n gr e s u l t s n 近st h e s i ss t u d i e s t l l et h e o r y 印p l i c a t i o no f 、v a v e l e t 锄a l y s i si i lt l l ew e l dd e f e c ti m a g ep r o c e s s i n gs y s t e m a 1 1 dh o wt os e l e c tt h ew a v e l e tb a s e t k st l l e s i sm 妇l ys 眦i e dt w oa s p e c t sr e s e a r c h 、o r ko fm ei m a g ed e n o i s i n ga n d e d g ed e t e c t i o nf o rw e l dd e f e c ti m a g e 佬a t u r e s f i r s t l yi ti n _ t r o d u c e dm eb a s i ct h e o r ) ro f 啪v e l e ta i l a l y s i s ，锄a l y z e dt l l eb a s i ct h e o 巧o fw a v e l e t ，m u l t i s c a l ec h a r a c t e r i s t i ca n d m a l l a ta l g o r i t h m 1 1 l e nt 1 1 ea 1 1 m y s i so f 也ec h a m l ：t e r i s t i c so f 、e l dd e f e c ti 如【a g e d i g i t i z a t i o n ，o b s e r v e do nw e l di i l l a g eg r a y ；ag r e yv a l u e ，l o wc o n t r a s t ，b l u 仃i n ga n d d e f e c t si i lt h es m a l lt a 玛e t w i mt h et 硼i t i o n a li i i l a g ed e - n o i s i n g 锄de d g ed e t e c t i o i l i i w a v e l e tm e t l l o d 、抛sc o m p a r e d m a i n l ys t u d i e d 、例e l e t 如n c t i o n ，a n a l y z e d t 1 1 e p r o p e r t i e so fo r n l o g o n a lw a v e l e ta n dt i g h tt e a m s ，s y m m e t 阱r e g u l a ra n dw a v e l e t l t l s s u m m a r i z e dt h es c l e c t i o np r i n c i p l e o fw a v e l e tb a s ea n dt h es e l e c t l o no fo p t l m a i w a v e l e tb a s ef o rw e l di m a g e a n dt h e nt h e r ei sb e t t e rt r e a t 】【i l e n te f l e c ti nt h ew e l d i m a g ed e n o i s i n ga 1 1 de d g ed e t e c t i o n f i n a l l yi td i d s o m ee x p e r i m e m a la i l a l y s l sl nt h e w e l di m a g e ( 1 e n o i s i n ga n di m a g ee d g ed e t e c t i o n ，s o r w a r es y s t e mu s l n gc o m m o n j y s p e c i e so fw a v e l e t 如n c t i o nt 0d oe x p e r i m e n t a la j l a l y s i s i nt h ef i n a ld e t e m i n a t i o n o f 。 w e l dd e f e c ti m a g ed e n o i s i n ga r l de d g ed e t e c t i o n ，t l l eo p t i m a lw a v e l e tb a s e w a s s e l e c t e d w a v e l e ta n a l y s i sm e t h o di su s e d t od e t e c tm o r ee n e 9 t l v e l ya r mm o r e a c c u r a t e l ye d g ei n f o m a t i o nb e t t e r ，i m p r o v i n gt h ed e t - e c tr a t e k e yw o r d s ：w e l dd e f e c t s ；、a v e l e t ；i m a g e d e n o i s i n g ；e d g ed e t e “o n ；o p t i m a l w a v e l e tb a s i s ： i u 独创性声明 本人声明，所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为 获得武汉理工大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示了谢意。签名：毒啤日 学位论文使用授权书 期坠f 吖尘 本人完全了解武汉理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权武汉理工大学可以将本学位论文的 全部内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制 手段保存或汇编本学位论文。同时授权经武汉理工大学认可的国家有 关机构或论文数据库使用或收录本学位论文，并向社会公众提供信息 服务。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 研究生c 移彳靳c 捌：航引獬秒彳剥州鹤) ： 日期泖。雪，j 武汉理i ：人学硕十学位论文 第1 章绪论 1 1 课题研究的目的和意义 随着经济高速增长，船舶工业正在快速的发展，我国成为世界船舶制造大 国。据工信部装备工业司的统计：2 0 0 9 年，全国造船完工量4 2 4 3 力载重吨；新 承接船舶订单2 6 0 0 万载重吨；手持船舶订单1 8 8 1 7 万载重吨【。然而焊接是船 舶建造过程中十分重要工序之一。从2 0 世纪初开始，焊接应用技术就在船舶制 造业中研究。1 9 2 0 年，英国的一家船厂就第一次采用焊接技术建造远洋船，使 得焊接技术在船厂逐渐得到推广应用。也正是因为焊接技术在船舶工业中的广 泛应用，让造船模式发生了从“整体建造模式”变成为“分段制造模式的巨 大变革。在上世纪4 0 年代就有理弧焊、气保焊、重力焊等多种高效焊接方法相 继出现并得到应用；尤其是在5 0 年代后，焊接技术在船舶制造业取得了全面飞 速的发展，形成了以节能、高效为特征的造船焊接技术体系；7 0 年代后出现的 c 0 2 气体保护焊接技术、各种单面焊等高效焊接技术在广泛应用；8 0 年代开发 应用各种专用机械化焊接设备；9 0 年代的焊接机器人技术开始应用于船舶工业 中，且技术日臻完善，使焊接质量和造船速度大大提耐z 一。 焊接过程中由于各种原因，焊缝中常常不可避免地会出现裂纹、夹渣、气 孔、未焊透等缺陷。一旦这些缺陷不能被准确地检测出来，将会导致船舶漏水、 船体断裂等严重的后果。因此，为了保证焊接构件的产品质量，必须对焊接构 件中的焊缝进行有效而又准确的检测，特别是在船舶压力管道、分段大接缝、 外板及水密与强力接点等关键部位。所以，对船舶焊缝进行有效的检测和评价 就是十分必要的【j j 。 随着无损检测技术的日益发展，射线成像检测技术已经成功应用于焊缝的 无损检测中，也成为最有效的检测方法之一。但是，该方法是必须要有专业的 技术人员对射线成像的胶片进行观测才能得到结果。所以，这种人工评片方法 受人的生理条件和设备环境等外在因素的干扰影响比较大，也经常会导致检测 结果有较大的误差，而达不到判别要求1 4 】。上世纪8 0 年代以来，计算机技术己 进入图像处理领域，特别是数字化成像技术的普及，使得数字图像处理技术在 无损检测技术领域得以应用和发展。目前在一些发达国家，大量的焊缝无损检 武汉理l ：人学硕十学位论文 测已经使用计算机进行分析，从而避免人为因素的误判和漏检，提高了分辨能 力。利用计算机辅助评判系统进行检测与分析，不仅可以有效地克服人工评定 中因为眼睛疲劳、经验差异而引起的漏判与误判，而且还能让检测工作规范化、 客观化与科学化，使在线检测工作拥有自动化和智能化，自动的排除许多假象 的干扰，检测自然也更加准确，提高焊缝检测的科学管理水平1 2 】。由此可见，焊 缝的计算机图象处理和识别是一个很有实用价值的研究课题，它对造船等制造 应用领域具有特别重要的意义。 近几十年来小波分析理论的迅猛发展，因其独特的时频多尺度分析特性， 成为图像处理及信号处理等许多学科的数学工具。将小波分析理论应用到工程 技术中自然是研究热点。另外，小波的种类也在不断的增多，不同的小波基具 有不同的时频特征，用不同的小波基分析同一问题也会产生不同的结果。本文 研究的目的就是将小波理论用于焊缝缺陷图象处理中，分析在焊缝图像的特征， 并研究小波基函数的性质，从而能够得到在焊缝图像处理中最合适的小波基函 数，使得焊缝图像缺陷能够有效的、准确的、可靠的检测识别，得到更好的处 理效果。 1 2 焊缝缺陷检测国内外研究现状 近几十年来，计算机辅助评片技术在快速的发展和广泛的应用。该技术主要 是将射线底片进行数字化处理，用计算机完成对胶片信息的管理，然后通过对数 字后的胶片图像进行处理来实现图像的去噪、增强、缺陷检出、缺陷标记和缺陷 的类型识别等。目前焊缝缺陷图像处理与识别技术一直是近几十年来国内外在该 领域广泛关注的重要课题。 在国外，在七十年代末，日本的藤田勉等人就提出用最小二乘法拟合扫描信 号线作为参考信号，与原图像相减的方法来获取缺陷信息【5 】；井上胜敬提出由学 习系统和识别系统组成自动识别与分类系统1 6 】；舆水大和等提出用确定门限法、 可变门限法和基于图像灰度直方图的边界检测方法来提取缺陷信息【7 】；英国的g i 沁b i n s o n 等讨论了焊缝图像的增强处理以及x 射线检验的在线实施方案，并给出 一个数字图像处理系纠8 j ；到9 0 年初，r h a l i i l s h a w 和n a r i d y a r d 在b r i t i s h j o 唧a lo f n d t 上发表了关于数字射线照相方法的相关文章，评价分析了各种数 字射线照相方法，被认为数字射线照相是射线检测发展的方向。在2 0 0 6 年柏林 召开的第3 1 届国际无损检测技术会议中看到国外不少学者的一些研究成果，如： 德国汉堡的t j u s t 和w t h a l e 等人运用数字图像处理技术，实现了对焊缝x 2 武汉理j ：人学硕士学位论文 射线底片的自动分析和缺陷识别【9 j ；德国柏林b a m 公司c j a c o b s e n 等人利用 神经网络技术与图像处理技术结合，实现了x 射线底片中焊缝裂纹缺陷的自动 识别1 1 0 1 ；只本冈上科技大学v l a s h l ( i a 利用模糊推理的方法提出了焊缝x 射线 底片的计算机自动分析技术，并实现了焊缝缺陷的自动识别识别，其识别结果几 乎达到了专业水平i l 。 焊缝图像识别方面的研究国内相对起步较晚。八十年代中后期，哈尔滨工 业大学的陈定华、吴林等在焊缝图像缺陷的研究中运用z 8 0c p u 微机系统进行 自动识别。主要是采用“二值化处理”和“集团差分法”进行焊缝缺陷图像空 域处理，研制了一套基于决策判别理论自动判断焊缝缺陷系统【l 列；到了九十年 代，原上海科技大学的黄思军和上海第二工业大学的孙秋冬，分析焊缝图像的 灰度特性，提出了焊缝缺陷区域分割方法【l3 】；甘肃工业大学的李鹤歧、孙忠诚 等人，也是采用灰度分析法研究了实时x 射线探伤图像特征，提出了利用线灰 度梯度法来提高图像的清晰度和对比度、降低图像噪声的非线性图像交换方法， 成功地提取了焊缝中的缺吲1 4 j 。华中理工大学的王阳生、师汉民等人提出了一 种从表面到物体的识别来获取三维数据的变换方法提取焊缝的图像边界5 1 。华 南大学王秀媛、黄石生等人提出了在无须外加光源的条件下进行图像处理的焊 缝边缘识别和边缘特征提取过程的方法，采用小波滤波去噪后的焊缝图像进行 符合实时性要求的处理，对焊缝图像进行分区法图像分割并根据实际焊缝图像 特征加以分析，得出的基于c c d 扫描性质的焊缝边缘识别法，在实际焊缝跟踪 中能得到良好的效果i l6 1 。 上述的研究现状表明，目前焊缝图像处理的基本方法就是对焊缝图像首先 进行图像增强处理，然后通过去噪处理改善图像质量，再进行图像的二值化处 理，从二值化后的图像提取焊缝特征值，实现焊缝自动识别。因此，焊缝图像 预处理的好坏就直接影响缺陷识别的准确率。很多图像处理技术是对焊缝图像 进行传统算法的处理来提高图像视觉效果。要么完全在时域，要么完全在频域。 或多或少的总有些不足。小波理论是在时频局域化能力恰好能解决这个矛盾。 所以，小波技术在该领域的运用也成为必然的趋势，其意义的重大也是显而易 见的。 1 3 图像信号处理中小波基选取问题现状概述 近十几年来，小波理论在不断的飞速发展，人们从其多分辨率分析、构造 框架和滤波器组三个不同的方面进行大量的研究。其良好的时频局部化特征、 武汉理i ：人学硕： 学位论文 尺度变化特征和方向性特征使得小波理论的应用空间也是越来越广泛。比如： 量子力学、理论物理、信号分析和处理、图像处理、模式识别与人工智能、机 器视觉、数据压缩、非线性分析、自动控制、分形分析、计算数学、音乐与语 言的人工合成、医学成像与诊断、地质勘探数据处理、大型机械的故障诊断等 等许多方面【2 卜2 4 1 。小波分析也成为众多学科领域一种重要的分析理论和工具， 并在研究和应用的过程中取得丰硕的成果。 小波函数的种类也随其发展同益增多，不同的小波基所具有时频特征也是 不同的，用不同的小波基去处理问题也自然会产生不同的结果，因而对信号和 图像小波变换结果的好坏直接与小波基的选取密切相关。在目前的研究和应用 中，选择小波种类的较难总结出一般原则，基本上是针对具体一类问题提出具 体原则，即小波基的选择通常根据信号的特征来选择基本小波的种类，或者根 据经验以及使用不同小波基处理效果的对比来选择合适的小波基。 目前在小波基选取问题的不少学者进行了研究，比如国内的王丽宏，杨淑 英( 2 0 0 7 ) 对电力系统暂态信号进行了分析，针对这种信号特点，结合小波函数的 数学特征选择小波基【1 7 】石智和易亮在图像的纹理识别中对纹理图像的特征向 量进行分析，从小波的m a l l a t 算法出发，分析现有小波库中常用小波函数的特 点，从而对这类纹理图像进行小波基选取进行研究i l 引。在国外也有不少学者对 小波基选取问题进行了分析，i a j la t k i n s o n 和f a r z a dk 锄a l a b a d i l l w 在对稀疏源 信号处理的过程中研究分析了小波基的选取问题，其中分析了二值小波和过完 备小波的数学特性，来确定稀疏源信号处理时小波基选取的问题：i 沁n a l dr c o i f m 锄和m l a d e n c t o rw i c k e r h a u s e r l 2 0 】研究了以信息熵为代价函数来选取最 优小波：a l e k s a i l d mm o js i l o v i c 和d e j a i lr a c k o v l 2 l l 关于小波理论在图像编码的纹 理特征研究中如何去选取最佳小波基进行系列分析，针对纹理特征设计小波滤 波器组进行设计，选取最优小波基。m a n h e wg r e e n 和a b d e l h 出m z o u b i r 【2 2 j 在 研究时变v o l t e r r a l 模型时，选取最佳小波基，用小波包算法来处理这类时变 v o l t e 玎a 模型。l k a u r 和s g u p t a 例在关于医学超声图像压缩研究中，用可操作 的率失真性能代价函数对小波基进行比较，确定最佳小波基函数。 从以上研究状况可看出，目前对于小波基选取问题的研究中，广大学者意 识到小波基的选择及在小波基选择后滤波参数的确定是影响处理结果的关键因 素。但是，由于小波理论的本身就是从近代数学中发展起来的，各种数学参数 完全从数学的角度建立。目前主要是从实际处理中都是通过检验小波变换处理 后的效果来确定，还有通过几种特定小波基作实验比较，但是该方法来选取小 4 武汉理_ r l ：人学硕+ 学何论文 又过于片面。 鉴于小波变换的独特特性和目前焊缝图像处理中的现状问题，本文通过在 焊缝图像的去噪和边缘检测运用的小波方法来获取更好的预处理效果，并且重 点研究在该应用中小波基函数选取问题，确定焊缝图像去噪和边缘检测中最优 的小波基函数，为提高焊缝中缺陷的识别率准确率都有着重大的研究意义。 1 4 研究内容及结构安排 全文共分为六章，其主要内容和结构安排如下： 第一章，简单的介绍焊缝缺陷检测技术和图像信号处理中小波基选取的国 内外研究现状，阐述本文的研究意义和目的，最后给出本文的内容和结构安排。 第二章，研究小波分析的基本理论和算法，介绍了小波的基本概念，连续 小波变换，离散小波变换，多分辨率分析，以及m a l l a t 算法等基础理论。这 一章是后续章节的理论基础。 第三章，主要介绍了焊缝缺陷图像特征，详细介绍了焊缝缺陷图像在去噪 处理和边缘检测中的一般方法。在焊缝图像去噪中介绍了传统方法中的时域滤 波和频域滤波方法；在边缘检测中分别介绍了一些传统的算子，并用这些算子 分别进行试验分析。这一章是下一章前言，与下一章进行了分析比较。 第四章，介绍了基于小波的图像去噪和边缘检测方法，分析了小波图像去 噪原理以及阈值确定和选取，并且用仿真试验比较分析小波去噪的特点及有效 性：同时还分析小波边缘检测的原理和实验分析。本文重点比较分析些小波 基函数的性质，并分析总结在焊缝图像去噪和图像的边缘检测中最佳小波基函 数。本文还通过试验参数分析比较的并证明结论的有效性。 第五章，对各章节的实验部分软件平台的构建和功能模块进行了介绍。 第六章，对本论文进行总结，并指出目前还存在的问题以及进一步的研究 方向和工作的展望。 武汉理i ：人学硕士学位论文 第2 章小波分析基本理论 小波分析理论是上世纪8 0 年代后期在傅立叶分析的基础上发展起来的种 时间尺度分析方法，在时问、频率( 尺度) 都具有表现局部特征的能力，在低频 部分具有较低的时间分辨率和较高的尺度分辨率，而在高频部分则具有较高的 时间分辨率和较低的尺度分辨率。因此，它十分适合于探测正常信号中央带的 瞬间反常现象( 如：噪声和边缘) 并将其成分展示出来，这样他既不会“一叶障目， 不见泰山”，又可以做到“管中窥豹，略见一斑”。所以，小波变换被美誉为分 析信号的“数学显微镜。 2 1 小波的起源 在1 9 7 4 年，由法国研究石油信号处理的工程师j m o r l e t 首先提出的小波变 换的概念，他是通过信号实际要求的处理建立了反演公式，但是，那时并没有 得到数学家们的认可。工程师j m o r l e t 的遭遇就像1 8 0 7 年法国的热学工程师j b j f o u r i e r 一样，f o u r i e r 提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新 概念，概念提出后也未能得到著名数学家j l l a g 啪g e ，p s l a p l a c e 以及a m l e g e n d r e 的认可。然而小波概念的幸运是，a c a l d e r o n 表示定理的发现、h a r d y 空间的原子分解和无条件基的研究为小波变换的诞生做了理论上的准备1 2 4 j 。 w a v e l e t 即小波这一名词最早被研究信号分析的法国物理学家在2 0 世纪8 0 年代初提出，虽然当时并没有引起学术界重大的关注，但是1 9 8 2 年跏朋6 e 噶d 构造了历史上第一个小波基出来后，于是拉开了小波理论同臻成熟的序幕怛5 1 。 法国数学家m e y e r 在1 9 8 6 年创造性地构造出了具有一定衰减特性的光滑函 数，其函数的平移和伸缩系构成r ( 尺) 的规范正交基，从而能够实现信号在时频 域同时局部化的正交分解。m e y e r 的这一理论为小波理论的形成和完善做出了重 大贡献，也成为小波理论的奠基人之一。1 9 8 8 年，另一位小波理论的奠基者是 美国女数学家d 口曲p c 矗把s ，具有紧支撑正交的d b 系列小波基也正是由她构造的。 数学家加z | 6 p c 办胁的最大贡献还在于让小波理论在工程中的应用得到大力的推 广1 2 6 1 ，仅1 9 9 0 年一年内，她在美国作了1 0 次关于小波分析的讲座，即“小波 十讲 。小波“热 就由此开始了，并且迅速传播到世界各国。此后，小波理论 6 武汉理【：人学硕十学位论文 具有成就的进展是j k o v a c e v i c h e 和m v e t t e r l i 提出的“双币交小波”概念，这一 概念有助于明确多维重建滤波器组对信号分析与重构的作用。讹，胁s 与他w ，：】， 建立了构造小波基的通用原则，即小波多尺度分析1 2 刀。胁粥，：j ，还发表了一套权 威性、系统性关于小波方面的著作，著作中详细地研究小波基的构造特点、小 波基与函数空间的关系以及小波理论在复分析、算子论、偏微分方程与非线性 分析等方面的应用1 2 引，成为小波理论系统形成的一个时代标志。 2 2 小波变换 傅里叶变换是种单域的变换，只能是时域变换到频域，或者是从频域变换 到时域。因此，无法同时表达信号的时频局部性质。短时f o u r i e r 变换一定程度 上实现了时频局部化分析，假如窗口函数一旦选好，那么它在不同中心频率和 中心时刻所确定的时频窗口就有固定不变的时宽和频宽，即窗口的形状和大小 是固定的，这也是进行信号分析不利于的，小波变换却刚好可以弥补这样的缺 陷【2 9 1 。 2 2 1 连续小波变换 由傅里叶变换公式是夕( 功) = ，只( z 弦一，“出，假如把p “的伸缩函数p 脯用小 波基函数少( 石) 的平移和伸缩函数少( 等) 替代，那么这样所得的变换就是连续 小波变换公式【3 0 1 。 其定义如下：函数y ( x ) r ( 尺) ，若满足“容许性条件： 。= 解砌锄 亿， 那么连续小波变换定义为： 睨( 口 6 ) = i 口r 巾) 文等卜， 厂玖r ) ( 2 2 ) 其中口，6 月且口o 分别称为频率参数和时间参数。 沙( f ) r ( 尺) 下可表示为： i ( ，) 西= o 7 “容许性 条件在 ( 2 3 ) 武汉理1 ：人学硕十学位论文 从( 2 1 ) 式可以看出，沙( o ) = o ，那么痧( 国) i 。：。= e ( ，) p 1 甜加1 = o 。此时 式( 2 1 ) 与式( 2 3 ) 等价。而从式( 2 3 ) 可知道，y ( f ) 的图形是上下波动，其函数值 是j 下负相间。另外，若小波函数作为开窗函数时，需要非零值尽可能集中在一 个较小的区间内，即小波函数具备能量高度集中性。因此，小波函数表现形式 就是一段主要集中在某有限区问内的波动函数。 小波变换与傅罩叶变换一样都是可逆变换，小波逆变换就是将原信号的重 构的过程。 令沙( ，) 为基小波，则对所有，g 三2 ( r ) ，有 伽一2 睨( 口，6 ) 矿缈g ( 口，6 ) 姗= q ( 2 4 ) 若，对于厂r ( 尺) 以及厂的连续点x r 都有 ( x ) = 亭步厂( 口，6 ) 瓜) 如如( 2 5 ) o pr 2 、， 鼽嘣加赤攻字) ，矧2 5 御为信号的小波重构【3 1 1 。 2 2 2 离散小波变换 从连续的小波变换中司知，司以认为信号( x ) 是由儿，6 ) 的线性组合。参 数日，6 是连续变化的，因此，一般情况下j ( x ) 不是线性无关的。 令口= 口1 ，6 = 包，则 睨厂( q ，6 1 ) 2 上厂( ，) 少口i 6 ，( ，) 破 = 上专l f 黠既m ，6 ) 嘣岫如h 西 = j f o 辟m 啪) 怯肌( ，) 触舭 = j c o e 吉睨厂( 口，6 ) ( 口，口l ，6 6 1 ) 如出( 2 6 ) 其中，( 口，口l ，6 ，6 i ) = 手工帆6 ( ，) yd i ( f ) 积称之为再生核。通过上式( 2 6 ) 分析参数的变化与y 。( x ) 特性的关系。显然可知，当虬( f ) 与y 川，6 l ( r ) 正交时， 8 武汉理，l ：人学硕十学位论文 七( 口，q ，6 ，6 1 ) = o ，此时厂( 口，6 ) 对睨厂( 口，抚) 线性无关的。 那么，据上面分析得出，只要保持信息的不丢失就可以对参数日6 合适的离 散化，步骤如下： 第一步：将参数口离散化。 取口= 口；，= 0 ，l ，2 ，此时相应的小波函数是口i 加缈( 口孑o 一6 ) ) ，其中 = o ，l ，2 ，这时，称小波的尺度为，即有口= 口；。 第二步：将参数厅离散化。 当尺度，= 0 时，存在一个合适的位移量6 0 ，使得少p 一线) ，七= o ，1 ，2 ，可 以覆盖整个时间轴，并且信息不丢失。 当，0 时，令易= 口3 6 0 ，同样要求离散化后，并且不丢失信息。得到： l f j ( f ) = 口i “2 缈( 口i ，一肋o ) ( f ，七z ) ( 2 7 ) 另外，可以将肠。在数轴上归一化为整数七，即有： y f j ( f ) = 日i “2 5 c ，( 口i f 一七) ( f ，七z )( 2 8 ) 根据上面分析讨论，离散小波变换的定义如下： 设虬，6 ( f ) r ( r ) ， 0 是常数，缈，j ( f ) = 口i 门沙( 口i 7 f 一七) ，( ，后z ) 则称： ( ，后) 5 上厂( ，渺( ，) 衍 ( 2 9 ) 为厂( ，) 的离散小波变换。这就是离散小波变换的核心思想【2 9 1 1 。 特别注意的是，若a 。= 2 ，此时离散小波函数为- ( ，) = 2 1 门缈( 2 一心f 一后) ， 其中( f ，七z ) 。那么构造的离散小波变换称为二进小波变换。运用离散小波变换 的有效方法是使用滤波器系数的思想，即在上世纪9 0 年代由m a l l a t 提出的金字 塔算法，称为m a l l a t 快速算法。 2 3 多分辨分析和m a l l a t 算法 2 3 1 多分辨分析 多分辨分析( m u l t i r e s o l u t i o na j l a l y s i s ) 是上世纪9 0 年代由s m a l l a t 引入的， 他是从数学空间概念中来解释小波的多分辨特性。m a l l a t 算法被认为是所有小波 变换理论统一的结合，由此给出了小波的构造方法与小波变换的快速算法。多 分辨分析其中最大特点是对低频空间进行进步分解，使信号主要部分的分辨 率变得越来越高。下面介绍构造正交小波的多分辨分析的理论框架。 9 武汉理i ：人学硕士学位论文 假设是属于集合杪业( f ) ，七z j ，即有对于每个，在不同的尺度，不 同的位移后下的5 f ，。( f ) 所构成的集合。形是线性张成的在空间r ( r ) 上的闭包， r ( 尺) 中一列闭子空间眈j 触称为r ( 尺) 的一个多分辨分析，该序列闭予空间满 足下列性质： 平移不变性：( z ) 0 一后) ，v 七z 伸缩性：厂( x ) y ，厂( 2 x ) + l ，w z 单调性：s _ 一，_ s ，w z 逼近性：n 一= o ，u _ = r ( r ) j e zj e z 相加性：圪+ 。= 圪+ 哌 可以证明，存在函数缈( ，) 使其江巾矽( m 叫2 f 一后) k z 整数平移系构成 一的规范正交基，于是函数踢，。o ) = 心欢f 一助， 二七z 构成标准正交基。 假设( 吒，m z ) ；缈( ，) ) 是一个正交m r a ，若有： 缈( ，) = 2 吼缈( 2 卜后) ( 2 1 0 ) 七 那么，函数y ( ，) = 互( 一1 ) ；h 缈( 2 卜- 七) 的伸缩、平移构成r ( r ) 的正交基。 膏 对于任意r ( r ) ，厂可以表示为： 厂( x ) = c ( 2 1 1 ) = = 1 而其中的部分的和可以表示为： ( x ) = 靠，( 2 1 2 ) = “ 那么厶( x ) 构成信号厂在子空间哌上的投影，因此也可以看成是信号分 解到与频率尼相关的局部信息。综合式( 2 1 1 ) 、( 2 1 2 ) 得到信号的另一种等价表 示 ( x ) = 五( x )( 2 1 3 ) i = 1 式( 2 1 3 ) 可以看作是信号按频率段的一种分解方法。更进一步地说，若只希 望知道信号厂不超过频率，相关的所有信息，该信息表达式就可以表示为： 1 0 武汉理，i ：人学硕士学位论文 f ( z ) = 以( x ) = o 其中信号f ( x ) 杉= o 睨。 ( 2 1 4 ) 多分辨分析本质上是人类视觉系统对物体认识的数学描述。如果把y ，当作 某人在某种尺度，下所观察到的此物体信息，当尺度增加到，+ l 时，所观察到的 信息为“，此时被认为是进一步靠近该物体所观察到的信息。由此看出+ 。所 表示的信息应该是比y ，更为丰富具体，数学描述即为矿，_ + 。即尺度越大，距 离目标越近，观察到的信息越丰富。反之，尺度越小，距离越远，含有的信息 量越少【2 8 刁1 1 。 2 3 2m a l l a t 分解重构算法 m a l l a t 算法在小波理论中的地位就像f f t 在傅里叶分析中的地位【3 2 1 。其算 法的基本思想可以归纳如下： 假设够，厂为能量有限信号，且r ( 足) 在分辨率2 下的近似，那么迸一步 分解日厂可以得到在分辨率2 一下的近似日川厂，以及细节d 一厂之和。也就 是说伊与y 分别为尺度与小波函数，则信号厂在分辨率2 川下近似日和细节 d 一厂分别为： 日川厂( x ) = 以川，t 纺哪( x ) ， q 一。厂( x ) = j 缈一 ( x ) ( 2 1 5 ) 七= 七= 上式( 2 1 5 ) 中口川与嘭_ i ，t 表示分辨率2 。- 1 下近似系数和细节系数。因此，由上面 分析可知分辨率2 7 下近似日，厂就可以直接表示为： 日厂= 日川+ q l 厂 ( 2 1 6 ) 其中，日，( x ) = 口，j 仍，i ( x ) ，显然从( 2 1 5 ) 与( 2 1 6 ) 可以得到，h ，厂与日f _ l 厂以 七= 及q t 之间的关系可以转化为系数口，与乃w 以及以砌的关系。 由双尺度方程知道， ，一l， 仍山( x ) = 2 丁矿( 2 7 一x 一疗) = 2 j c ，伊( 2 7 x 一2 刀一f ) 武汉理，l ：人学硕士学位论文 = 气幽2 巾9 ( 2 x 七) = 以勘缈， ( x )( 2 1 7 ) 膏z七e z 用式( 2 1 7 ) 中函数妒，- 1 。( x ) 作内积，根据其标准正交特性推导出， 一c 册_ 2 一 ( 2 18 ) 另外，若g 。= ( 一1 ) c h ，根据式( 2 1 5 ) 又有： ，一l， y - l 。( ) c ) = 2 ty ( 2 。一1x 一疗) = 2 j g 。驴( 2 7 工一2 ，z f ) = g i 一2 。纺，t ( x ) ( 2 1 9 ) l z七e z 同理可以推导出： 2g 册咖( 2 2 0 ) 由式( 2 1 5 ) 和式( 2 1 6 ) 知，在式( 2 1 6 ) 中用函数缈，1 一o ) 作内积，从式( 2 1 8 ) 与 式( 2 1 5 ) 和正交性，可以得到： p 一 口川，2 龟c h 一巳( 2 2 1 ) 函数- l ，( z ) 对式( 2 1 5 ) 作内积可以得到： 以山= g h 。口硝( 2 2 2 ) 五乍z 由此，式( 2 1 9 ) 和式( 2 2 0 ) 称为信号的分解。 另外，若在式( 2 1 5 ) 中用函数伊跏( x ) 作内积，即可以得到： 1n 口