（计算数学专业论文）用jacobi球面调和谱方法求解fisher型方程.pdf

原创性声明 i i i ii ii ii i ii i i ir l lii ij y 17 4 1 4 7 8 本人声明。所呈交的论文是本人在导师的指导下进行的研究工作除了文中特别 加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果，参与同 工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢 意 签名t 日期； 刹智绷 卜年毛rl h 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定。l i p = 学校有权保留论文 及送交论文复印件；允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容 保密的论文在解密后应遵守此规定 签名：到智翱导师签名 日期：渺冬年名月 用j a c o b i 球面调和谱方法 求解f i s h e r 型方程 硕士生：刘智翔 导师：黄伟 专业：计算数学 上海大学理学院 2 0 1 0 年5 月 | ad i s s e r t a t i o ns u b m i t t e dt os h a n g h a iu n i v e r s i t yf o rt h e d e g r e eo fl kl a s t e ri ns c i e n c e j a co b i s p h e r i c a lh a r m o n i c s p e c t r a lm e t h o df o rf i s h e r - l i k ee u q a t i o n m d c a n d i d a t e ：l i uz h i x i a n g s u l ：h u a n g s u p e r v i s o r ：u a n gw dw e l m a j o r ：c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s t h ec o l l e g eo fs c i e n c es h a n g h a iu n i v e r s i t y m a y 2 0 1 0 摘要 a b s t r a c t 第一章 1 1 1 2 1 3 第二章 2 1 2 2 2 3 目录 引论 问题背景 研究的内容和特点 论文的结构 j a c o b i - 球面调和正交逼近 j a c o b i 正交逼近 球面调和正交逼近。 混合j a c o b i 一球面调和正交逼近 第三章用半离散j a c o b i - 球面调和谱方法 求解f i s h e r 型方程 1 5 3 1 三维f i s h e r 型方程的弱形式 1 5 3 2 求解f i s h e r 型方程的半离散谱格式 ， 及其广义稳定性和收敛性 1 5 3 2 1 半离散谱格式 1 5 3 2 2 半离散谱格式的广义稳定性 1 6 3 2 3 半离散谱格式的收敛性 1 7 3 3 半离散谱格式在时间方向离散下的数值结果 1 8 3 4 半离散谱格式的广义稳定性和收敛性的证明 2 2 3 4 1 半离散谱格式的广义稳定性的证明 2 3 3 4 2 半离散谱格式的收敛性的证明 2 4 第四章用时间方向一阶精度的全离散 j a c o b i 一球面调和谱方法求解f i s h e r 型方程 2 6 i l 1 2 3 4 4 8 加 2 0 1 0 年上海大学硕士学位论文 4 1 求解f i s h e r 型方程的一阶全离散谱格式及其广义稳定性和收敛性 4 1 1 时间方向一阶精度的全离散谱格式 4 1 2 、时间方向一阶精度的全离散谱格式的广义稳定性 4 1 3 时间方向一阶精度的全离散谱格式的收敛性 4 2 时间方向一阶精度的全离散谱格式的数值结果 4 3 时间方向一阶精度的全离散谱格式 的广义稳定性和收敛性的证明 4 3 1 时间方向一阶精度的全离散谱格式的广义稳定性的证明 4 3 2 时间方向一阶精度的全离散谱格式的收敛性的证明 第五章用时间方向二阶精度的全离散 2 6 2 6 2 7 2 8 2 9 3 2 3 3 3 5 j a c o b i - 球面调和谱方法求解f i s h e r 型方程 3 8 5 1 求解f i s h e r 型方程的二阶精度的全离散谱格式及其广义稳定性和收敛性3 8 5 1 1 时间方向二阶精度的全离散谱格式 3 8 5 1 2 时间方向二阶精度的全离散谱格式的广义稳定性 3 9 5 1 3 时间方向二阶精度的全离散谱格式的收敛性 4 0 5 2 时间方向二阶精度的全离散谱格式的数值结果 4 1 5 3 时间方向二阶精度的全离散谱格式 的广义稳定性和收敛性的证明 4 4 5 3 1 时间方向二阶精度的全离散谱格式的广义稳定性的证明 4 4 5 3 2 时间方向二阶精度的全离散谱格式的收敛性的证明 4 6 结论 参考文献 作者攻读硕士学位期间公开发表的论文 致谢 4 9 5 0 5 3 5 4 2 0 1 0 年上海大学硕士学位论文 摘要 在研究某些实际问题的时候，我们往往需要考虑球形区域内偏微分方程模型的数 值求解例如对气象科学，海洋科学，地球物理和天体物理等领域中某些问题的研究，就 经常需要数值模拟流体在球形区域内的运动传统的处理方法是采用有限差分法或有 限元法这两种方法分别具有格式构造灵活方便和对区域形状的广泛适应性的特点 但它们也有两个明显的不足：其一是数值精度受到格式本身的限制，即计算的精度不 能随着解的光滑性的增强而提高；其二是往往需要近似处理边界条件，这会增加计算 误差，并可能导致数值边界层 近几十年来，随着计算机技术的飞速发展，作为求解偏微分方程的三大数值方法 之一的谱方法正越来越受到人们的重视谱方法的主要优点是具有高精度因此研究 和应用适合于数值求解球形区域内偏微分方程问题的谱方法很有必要 上世纪九十年代，郭本瑜教授等发展了以球面调和函数为基函数的球面正交逼 近，并将球面调和谱方法成功应用于球面上的涡度方程和流体低马赫数流动此后， 郭本瑜等建立了一套比较完整的j a c o b i 正交逼近理论，并提出了适合于一类奇异问题 的j a c o b i 谱方法，为用谱方法解决球内问题提供了可能 最近，郭本瑜和黄伟发表了有关混合j a c o b i - 球面调和正交逼近的基本结果，为 球内混合谱方法的展开提供了数学基础 本文进一步完善相关结果，并将这种混合j a c o b n 球面调和谱方法应用于数值求 解单位球内的f i s h e r 型方程 论文由以下几部分组成：作为引论我们在第一章中简要回颐有关研究工作的历 史，并叙述本文的研究动机和全文的结构第二章介绍了文中用到的混合j a c o b i 一球 面调和正交逼近的一些基本结果在第三章中，我们研究单位球内的f i s h e r 型方程的 半离散j a c o b i - 球面调和谱方法在第四、第五章中我们分别研究单位球内的f h h e r 型方程的一阶和二阶全离散j a c o b i - 球面调和谱方法 我们所设计的求解f i s h e r 型方程的混合谱格式具有如下的优点。首先，用球面坐 标表示空间自变量，避免了使用d e s c a r t e s 坐标时对球内边界条件的近似处理其次， 我们在球面上采用球面调和正交逼近，而在半径方向采用j a c o b i 正交逼近，从而克服 2 0 1 0 年上海大学硕士学位论文 了奇异性进一步，由于球面调和函数以及j a c o b i 多项式的正交性，我们可以导出未 知函数对应的展开式系数所满足的形式较简单的方程组，这很适合并行计算 我们证明了这些格式具有广义稳定性和空间方向的谱精度数值结果表明，即使 在很少基函数的情况下我们的格式也能给出高精度的数值解，并与理论分析相吻合 本文得到的一些理论结果和采用的技巧同样适用于球形区域上的其它问题 关键词：j a c o b i - 球面调和正交逼近；半离散混合谱方法；全离散混合谱方法；时间 方向一阶精度；时间方向二阶精度；f i s h e r 型方程；球内；球面坐标；广义稳定性； 收敛性；高精度 2 0 1 0 年上海大学硕士学位论文 i i i a b s t r a c t i ti si m p o r t a n ta n di n t e r e s t i n gt os i n m l a t en u m e r i c a l l ) t h em o v e m e n to ff l u i df l o w w i t hs p h e r i c a lg e o m e t r y , w h e nw es t u d ys o m ep r o b l e m ss u c ha sm e t e o r o l o g i c a ls c i e n c e ， a n ds o m ee q u a t i o n si no c e a n i cs c i e n c e ，g e o p h y s i c sa n da s t r o p h y s i c sp h y s i c s s i n c e f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o di se a s i e rf o rc o n s t r u c t i n gs c h e m e sa n df i n i t ee l e m e n tm e t h o d i ss u i t a b l ef o rc o m p l e xs h a p e so fd o m a i n s ，w eu s u a l l yu s e dt h e s et w om e t h o d sf o r n u m e r i c a ls i m u l a t i o n so ff l u i df l o w s b u tb o t ho ft h e ma l s oh a v es o m es h o r t c o m i n g s f i r s t l y ，t h en u m e r i c a la c c u r a c yi sl i m i t e db yt h es c h e m ei t s e l f i tm e a n st h a t t h e n u l t l e r i c a le r r o rd o e sn o td e c a y , e v e ni ft h ee x a c ts o l u t i o nb e c o m e ss m o o t h e r s e c o n d l y , w en e e da p p r o x i m a t eb o u n d a r yc o n d i t i o n so f t e n t i m e s t h i si n d u c e sa d d i t i o n a le r r o r s s p e c t r a lm e t h o di so n eo ft h r e eb a s i cn u m e r i c a lm e t h o d s f o rs o l v i n gp a r t i a ld i f f e r - e n t i a le q u a t i o n s i nr e c e n td e c a d e s ，m o r ea n dm o r ea t t e n t i o nh a sb e e np a i dt os p e c t r a l m e t h o sa l o n gw i t ht h er a p i dd e v e l o p m e n to fm o d e r nc o m p u t e r s t h em a i na d v a n t a g e o fs p e c t r a lm e t h o di si t sh i g ha c c u r a c y t h e r e f o r e ，s p e c t r a lm e t h o dc o u l db eu s e dt o s o l v et h ep r o b l e m si nas p h e r i c a lr e g i o n d u r i n g1 9 9 0 s ，p r o f e s s o rg u ob e n - y ue t c d e v e l o p e do r t h o g o n a la p p r o x i m a t i o n o nas p h e r i c a ls u r f a c eb yt a k i n gs p h e r i c a lh a r m o n i cf u n c t i o n sa sb a s ef u n c t i o n s ，a n d a p p l i e dt h es p h e r i c a lh a r m o n i cs p e c t r a lm e t h o dt ot h ev o r t i c i t ye q u a t i o na n d t h ef l u i d f l o ww i t hl o wm a c hn u m b e ro nt h es p h e r i c a ls u r f a c es u c c e s s f u l l y l a t e r ，g u ob e n - y u e t c e s t a b l i s h e das e r i e so fr e s u l t so nt h ej a c o b io r t h o g o n a la p p r o x i m a t i o n ，a n dp r o - p o s e dt h ej a c o b is p e c t r a lm e t h o df o rs i n g u l a rp r o b l e m s ，w h i c hp r o d u c e st h ep o s s i b i l i t y o fu s i n gs p e c t r a lm e t h o df o rp r o b l e m si nab a l l r e c e n t l y , g u ob e n - y ua n dh u a n gw e ip u b l i s h e ds o m eb a s i cr e s u l t s o nm i x e d j a c o b i s p h e r i c a lh a r m o n i co r t h o g o n a la p p r o x i m a t i o n ，w h i c hc a l ls e r v ea st h em a t h e - m a t i c a lf o u n d a t i o no fm i x e ds p e c t r a lm e t h o di nab a l l i nt h i sp a p e r ，w eo f f e raf e wn e wr e s u l t s ，a n du s em i x e dj a c o b i - s p h e r i c a lh a r m o n i c s p e c t r a lm e t h o df o rt h ef i s h e r 1 i k ee q u a t i o ni nau n i t , b a l l t h ep a p e rc o n s i s t so ft h ef o l l o w i n gp a r t s ：i nc h a p t e r1 ，w er e c a l lb r i e f l yt h e 2 0 1 0 年上海大学硕士学位论文 i v h i s t o r yo fr e l a t e dw o r k ，p r e s e n tt h em o t i v a t i o no ft h i sr e s e a r c ha n d d e s c r i b et h eo u t l i n e o ft h i st h e s i s i nc h a p t e r2 w ei n t r o d u c es o l l l er e s u l t so nt h em i x e dj a c o b i s p h e r i c a l h a r m o n i co r t h o g o n a la p p r o x i m a t i o nw h i c ha r eu s e dl a t e r i nc h a p t e r3 ，w ef o c u so n s e m id i s c r e t ej a c o b i s p h e r i c a lh a r m o n i cs p e c t r a lm e t h o df o rt h ef i s h e r - - l i k ee q u a t i o n i nau n i tb a l l c h a p t e r4a n dc h a p t e r5a r ed e v o t e dt of u l l yd i s c r e t ej a c o b i - s p h e r i c a l h a r m o n i cs p e c t r a lm e t h o dw i t hf i r s t - o r d e ra c c u r a c ya n ds e c o n d - o r d e ra c c u r a c yi nt h e t e m p o r a ld i r e c t i o nf o rt h es 锄ep r o b l e mr e s p e c t i v e l y t h ep r o p o s e dm i x e ds p e c t r a lm e t h o df o rt h ef i s h e r - l i k ee q u a t i o n sh a ss e v e r a l a d v a n t a g e s f i r s t l y , w eu s es p h e r i c a lc o o r d i n a t e sf o ri n d e p e n d e n tv a r i a b l e si ns p a c e ， a n ds oa v o i dt h ea p p r o x i m a t i o no fb o u n d a r yc o n d i t i o no nt h es u r f a c e ，w h i c hi sr e q u i r e d ， i fw eu s et h ed e s c a r t e sc o o r d i n a t e s n e x t ，w eu s es p h e r i c a lh a r m o n i ca p p r o x i m a t i o n i nt h es p h e r i c a ld i r e c t i o n ，a n da d o p tt h ej a c o b ia p p r o x i m a t i o ni nt h er a d i a ld i r e c t i o n a n dt h u so v e r c o m et h ed i f f i c u l t yo fd e a l i n gw i t ht h es i n g u l a r i t yo fe q u a t i o na tt h e c e n t e ro fb a l l ，w h i c hi sc a u s e db yt h es p h e r i c a lc o o r d i n a t e s f u t h e r m o r e ，d u et ot h e o r t h o g o n a l i t yo fs p h e r i c a lh a r m o n i cf u n c t i o n sa n dj a c o b ip o l y n o m i a l s ，w ed e r i v et h e c o r r e s p o n d i n gd i s c r e t es y s t e m sf o rt h ec o e f f i c i e n t so fe x p a n s i o n so fu n k n o w nf u n c t i o n ， w h i c ha r ev e r ys u i t a b l ef o rp a r a l l e lc o m p u t a t i o n t h ep r o p o s e ds c h e m e sp o s s e s sg e n e r a l i z e ds t a b i l i t ya n ds p e c t r a la c c u r a c yi ns p a c e n u m e r i c a lr e s u l t sd e m o n s t r a t et h a to u rs c h e m e sp r o v i d ea c c u r a t en u m e r i c a ls o l u t i o n s e v e nf o rs m a l lm o d e s t h er e s u l t so nt h er e l a t e dm i x e da p p r o x i m a t i o n sa n dt e c h n i q u e sd e v e l o p e di nt h i s w o r ka r ea l s oa p p l i c a b l et om a n yo t h e rp r o b l e m sw i t hs p h e r i c a lg e o m e t r y k e y w o r d s ： j a c o b i - s p h e r i c a lh a r m o n i co r t h o g o n a la p p r o x i m a t i o n ；s e m id i s - c r e t em i x e ds p e c t r a lm e t h o d ；f u h yd i s c r e t em i x e ds p e c t r a lm e t h o d ；f i r s 泓o r d e ra c c u r a c y i nt h et e m p o r a ld i r e c t i o n ；s e c o n d - o r d e ra c c u r a c yi nt h et e m p o r a ld i r e c t i o n ；f i s h e r - l i k e e q u a t i o n s ；i nab a l l ；s p h e r i c a lc o o r d i n a t e s ：g e n e r a l i z e ds t a b i l i t y ；c o n v e r g e n c e ；h i g h a c c u r a c y 第一章引论 1 1 问题背景 在研究某些实际问题的时候，我们往往需要考虑球形区域内偏微分方程模型的数 值求解例如对气象科学，海洋科学，地球物理和天体物理等领域中某些问题的研究， 就经常需要数值模拟流体在球形区域内的运动【1 ，2 】传统的处理方法是采用有限差 分法【3 ，4 】或有限元法【5 ，6 1 这两种方法分别具有格式构造灵活方便和对区域形状 的广泛适应性的特点但它们也有两个明显的不足：其一是数值精度受到格式本身的 限制，即计算的精度不能随着解的光滑性的增强而提高；其二是往往需要近似处理边 界条件，这会增加计算误差，并可能导致数值边界层二十多年来，随着计算机技术 的飞速发展，作为解偏微分方程的三大数值方法之一的谱方法正越来越受到人们的重 视谱方法的突出优点是它的高精度【7 ，8 ，9 ，1 0 】因此可考虑采用谱方法数值求解球 形区域内的偏微分方程问题 在上世纪9 0 年代，郭本瑜教授等【1 1 ，1 2 ，1 3 】发展了一套以球面调和函数为基函 数的正交逼近方法，并成功应用于球面上的涡度方程和低马赫数流动方程等郭本瑜 教授等的工作奠定了球面上谱方法的数学基础，并为我们进一步研究球内问题提供了 思路和手段众所周知，在谱方法的理论和应用方面，混合逼近法是经常被考虑的 例如，混合f o u r i e r - l e g e n d r e 逼近f 1 4 】和混合c h e b y s h e v - l e g e n d r e 逼近 1 5 】等在现 有的结果基础上，为了能使谱方法应用于球内问题，我们将考虑用球面坐标表示空间 自变量这时，我们可以在球面上以球面调和函数为基函数而在半径方向以其它适当 的正交函数系为基函数，从而构成一种混合谱方法当然，球面坐标的引入也必然会 给我们带来新的困难，例如方程形式的复杂化，向量方程组中的各分量有更大的差异 性等都将增加算法设计和数值分析的难度，特别是偏微分方程在球的中心处会出现形 式上的奇异性因此，有限区间上常用的l e g e n d r e 和c h e b y s h e v 谱方法就不再适用 于半径方向的逼近 1 2 0 1 0 年上海大学硕士学位论文 2 不久前，郭本瑜教授等f 1 6 1 7 1 8 】建立了一套较完整的j a c o b i 正交逼近理论，并 提出了适合于一类奇异问题的j a c o b i 谱方法这套理论和方法为处理偏微分方程在球 中心处的奇异性提供了有效的工具，也为球内的混合谱方法提供了可能性前不久， 郭本瑜教授和黄伟副教授【1 9 ，2 0 l 利用混合法的思想建立了j a c o b i - 球面调和正交逼 近理论，并解决了在单位球内用混合谱方法数值求解n a v i e r - s t o k e s 方程的问题为球 内的混合谱方法的进一步完善奠定了坚实的基础 1 2 研究的内容和特点 我们用r ，a 和0 分别表示半径，经度和纬度，并令q = i s ，其中i = rio 一1 以及x ( q ，卢( r ) = ( 1 一r ) 。一首先对整数s 0 ，我们定义带权 s o b o l e v 空间域( 神) ( ，) 为 蝶( 郇) ( ，) = 【u i u 在i 上可测并且忆x ( 郇) ，j 0 ，可按照【2 3 的方式定义插值空间娥( 即) ( j ) 为简化记号，我们以后用a p u 表示筹 我们将要用到如下嵌入不等式，见【2 0 的引理2 4 定理2 1 1 若 q 0 ，7 0 ，p 6 + 2 ， ( 2 1 1 ) 则对任何u o ，强。翩( ，) ，成立 特另，当q = 1 = 6 = 0 且p = 2 时，c = 2 4 2 0 1 0 年上海大学硕士学位论文 5 为了半径方向逼近的需要，我们引入j a c o b i 多项式区间【0 ，1 】上的m 次j a c o b i 多项式由 ( i - r ) “r ，船，们( r ) = 可( - 1 ) m 带( ( 1 一r ) 棚r 跏) 定义麝口( r ) 的集合构成了空间l 2 x ( 郴) ( ，) 上的完备正交系，即 ( 以郇，堙，口) x ( 吧j = 馏卢盈，m 其中 ，mr ( m + 口+ 1 ) r ( m + p + 1 ) 1 ( 口，j ) ： 一一! 一：二二二上二二2 _ m ( 2 m + q + p + 1 ) r ( m + 1 ) r ( m + o l + + 1 ) 。 因而，对任何口l x 2 朋( ，) ， o o 口( r ) = 皤棚船( r ) ， m = o 嘶脚= 嘉z 1 巾) 船棚b ) 打 现在，令m 为任何非负整数，：p m ( i ) 代表所有次数不超过m 的代数多项式在 ，上的限制所组成的集合此外，o p m ( i ) = 咖i 咖p u ( i ) 且( 1 ) = o 下面给出p m ( i ) 中的个逆不等式为了简化描述，约定以后c 代表不依赖于任 何函数和 ，的一般的正常数 定理2 1 2 ( 见廖刃的定理2 1 及其证明) 对任何咖( ，) ，成立 恻i ，j c m d ( 。”，) 1 1 咖1 1 x ( 郇) ，j 特别，对于0 m i ，有 0 晰，卢j c m 毋( 口，口) 一钿堙，p 蜘邮 其中 秽( q ，) = i n a x ( q ，p ) + 1 若其 它m a 情x 形( o g p ) 一 2 0 1 0 年上海大学硕士学位论文 6 定理2 1 3 ( 见胆纠的定理2 2 ) 对任何咖 p m ( i ) 以及s 0 ，成立 训“( 枷) ，jsc m 知1 1 1 1 x ( a ，口) ，j 接下来，我们引入正交投影p m a p ，j ：l ：( a 卢) ( ，) _ ( j ) ，它由下式定义t ( 砌，。，反一u ，妒) x ( 。，卢) ，= 0 ， v 尹m ( j ) 为了描述相应的逼近结果，我们弓i 入空间域( 。棚，a ( ，) 对整数s 0 ， 娥( 郇) ，a ( ，) = 口l 在i 上可测并且k ( 郇) ，a ，j 0 ，可按照【2 3 】的方式定义插值空间娥( 郇) ，a ( j ) 定理2 1 4 倔肛可的定理2 砂对任何u 娥( 州) ，a ( ，) 以及整数s 0 ，成立 i l 嘞豳口，f u u l l x ( “t 1 ) ，c m 。3 蹦( 印) ，a ， 在下面的讨论中，我们还将用到其它的正交投影为此，令o z ，p ，7 ，6 - 1 ，并 定义空间佛属7 ，6 ( ，) 如下：对于s = 0 ，础，p ，7 ，6 ( ，) = l ：( ) ( j r ) ；对于s = 1 ， 其中 破，反7 ，6 ( ，) = u l u 在i 上可测并且1 1 幽肌， o o ) 训1 觚悄，- ( 一鳓，j 十2 ) ， 2 0 1 0 年上海大学硕士学位论文 对于0 s 1 ，同样可按 2 3 的方式定义插值空间娥卢 6 ( ，) 另外，我们定义 其次，令 。磁觚6 ( j ) = 驯u 哦，鼠，y ，6 ( j ) 勘( 1 ) 专o ) 口口，卢，r ，6 ，( 扎，口) = ( 屏札，戽 ) x ( a 卢) ，j + ( t 正， ) x ( 1 ，j ) ，j ， 正交投影踹，口 口 最，：蛾以1 ，6 ( ，) _ k ( j ) 由 口a ，肌最，( 踹 n 觚最j 移一t ，) = 0 ， t ，秒哦觚6 ( n v 咖( j ) 7 定义我们可以类似地定义正交投影o ，。a t ，五j 根据 2 2 】的定理3 1 和3 2 ，与这 两个正交投影相对应的逼近结果可分别用如下两个定理来表示： 定理2 1 5 若口雕，p m 6 ( ，) ，辞口- ( 郇i ) ，a ( ，) ，整数s 1 且 满足。则 口1 + 2 ，p 6 + 2 ， “反r ，瓦j 口一v i i , ，。，肌瓦，c m l 1 屏u i $ - i , x 郇) ，a ，f 此外，若进一步满足 更1 j 对0 p 1 ，成立 q 一y + 1 ，p 墨6 + 1 尸j ，口，p 。1 ，最， 一训肿，肌6 ，c m p 1 0 t v l ，x ( a ，a ， ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 定理2 1 6 若u o 哦，p 6 ( ，) ，缉u - ( 郇1 ) ，a ( ，) ，整数s 1 且( 2 1 1 ) 满足，则 o 印，1 口一v i i , “肌，c m 卜8i o ，v l ，x ( 郇) ，叫 此外，若进一步满足( 2 1 3 ) 则对0s 肛1 ，成立 o 豳聊，6 ， 一t t 忆即舶，c m p l l 绋 i “，( ) ，a ， 2 0 1 0 年上海大学硕士学位论文 8 2 2 球面调和正交逼近 我们现在计冗球囱调和正趸逼近我1 门用d ( s ) 表不所有于s 上无秀日】微，在入 方向上具有2 7 r 周期并且在0 = 士詈处正则的函数所组成的集合，根据 2 6 】，对任何 口d ( s ) ，当伊_ 士考时，t ，趋向一个与变量a 无关的有限极限因而在0 = 士舌处 久u = 0 按通常的习惯，用d 7 ( s ) 表示d ( s ) 的对偶空间对任何钉d 7 ( s ) ，我们 按通常方式定义它的广义导数，见【i i 】此外记 1 t 11 v s 秽= 磊南以u ，岛u ) ， s u2 磊南砖t ，+ 孟岛( c 。sp 岛t ，) 下面用矛表示u 的共轭，定义空间日。( s ) = l 2 ( s ) = v i d ( j s ) 且l l s 0 ，可按【2 3 】的方式定义插值空间h q ( s ) 此外，记i i v l l ，s = i i v l l l ：。( s ) 2 0 1 0 年上海大学硕士学位论文 9 现在，我们用k ( z ) 表示礼次l e g e n d r e 多项式，规范化的关联l e g e n d r e 函数由 下式定义 l l , n ( z ) = vi霈2n+1)(n-of-1一z2)5a!ln(z)， l ，nz ) = l l ，n ( z ) ， 球面调和函数为 l 0 ，n2 ， f 1 玑 不难检验 - a s y z 。( a ，p ) = n ( 几+ 1 ) m ，。( a ，口) ( 2 2 4 ) m ，。( 入，口) 的集合构成了空间l 2 ( s ) 上的完备规范正交系，即 z 2 ”啪眦“枷) c o 删眺嘞“ 因而，对任何t ，l 2 ( s ) ， m 棚= 薹塞砌一= z 新胁c 入n = uf = 一n z y 3 j i ，由【1 2 】的引理2 我们知道，对任何t ，h q ( s ) 以及整数g 0 ，成立 o on s = ( ( 舻+ n ) a 川2 ) ( 2 2 5 ) n = 0 l = 一n 这也蕴涵了对实数q20 ，i q ，s 等价于 n ( ( ( n 2 + n ) 9 + 1 ) m 2 ) ； ( 2 2 6 ) n = 0 f = 一n 为了描述球面上结果的需要，我们令t “( s ) = 印。佗 m ，。i 住) 并用 w n ( s ) 表示矿( s ) 中所有实值函数所组成的集合而正交投影p n , s ：l 2 ( s ) 一w n ( s ) 由下式定义 ( p ，s u u ，) s = 0 ，v 砂w n ( s ) 2 0 1 0 年上海大学硕士学位论文 1 0 2 3 混合j a c o b i 球面调和正交逼近 我们现在引入混合j a c o b i - 球面调和正交逼近我们知道在球面坐标下，对于q 上的函数v 有 v v = ( 缉u ， r c o s 口以口，昙岛”) r ，秒= 丢( 屏( r 2 辞t ，) + 磊b 磷v + 未b 岛( c 。s p 岛t ，) ) 我们令空间l i ( 郇j ( q ) = l 2 x ( 郇) ( j ；l 2 ( i s ) ) ，其内积和范数分别为t 口) x ( a , ，) , l l - - - - 肌霄时a 啪c o s 0 x ( a 口) 删胁， x ( 吧n = ( 口，u ) 氧 0 其次，空间h x l ( 印) ( q ) = u iu l ：( 。棚( q ) ，v t ，陋：( 鲫) ( q ) 】3 ) ，其具有下列的半范 数和范数， i v l 。，x c 。棚，n = ( o 辞u o ：c 。棚，n + l i 再鬲1 ，0 i i ：。棚，n + i i ；岛口i 唼。棚，n ) 考， 1 1 x ( 郇) ，n = ( k 朋，n + 晰，x ( 。棚，n ) 5 对任何整数k 0 ，我们递归地定义空间哦( 郇) ( q ) ，即 硬棚( q ) = v l v 或，( q ) = 删t ， 具有下列的半范数和范数： 葛) ( q ) ，知仃l x