（计算机软件与理论专业论文）lukasiewicz区间值逻辑的广义重言式及其真度理论.pdf

摘要 本文的研究来源于河南省自然科学基金项目( n o 0 6 1 1 0 5 3 9 0 0 ) “区间逻辑的柔性化 理论研究”和河南省重点科技攻关项目( n o 0 9 2 1 0 2 2 1 0 1 4 9 ) “基于区间结构的柔性化控 制模型及其系统研究 。 王国俊教授f 3 0 】最早就是在l u k a s i e w i c z 系统里面建立了积分语义学，有了相似度、 伪距离、发散度和近似推理等一系列的概念。以后又将这种方法推广到了系统和r ， 建立起了计量逻辑学，因此l u k a s i e w i c z 系统一直是逻辑研究的重点。重言式理论是各 逻辑系统的一个重要组成部分。在区间值逻辑系统中，如果简单沿用经典二值逻辑系统 中重言式的定义，即仅把对任意赋值1 ，而言恒有v ( 么) = t 的公式称为重言式，那么这种 重言式就可能很少。因此在区间值逻辑系统中，引入并研究赋值大于或等于某一区间真 值万的这类公式，并称之为万一重言式。与重言式理论关系密切的是真度理论，真度是 衡量一个公式的真实程度的新指标，它所考虑到的问题是所有v 共同作用于彳时的整体 效果。由此可见，区间值逻辑系统中的重言式理论比经典二值逻辑系统中的重言式理论 有更加丰富的内容值得研究。 本文将广义重言式和真度理论引入到l u k a s i e w i c z 区间值命题逻辑中，研究了 l u k a s i e w i c z 区间值命题逻辑的广义重言式和真度理论。主要创新点如下： ( 1 ) 从l u k a s i e w i c z 区间值模糊命题逻辑出发，给出一个新区间值的定义，在此基础 上进一步给出了l u k a s i e w i c z 区间值逻辑代数及其广义重言式的定义。同时由一类特殊 的公式序列a k ，k = - i 2 一证明了可达万一重言式类类不空和类类互异定理在 l u k a s i e w i c z 区间值命题逻辑中也成立。 ( 2 ) 把概率测度和概率空间的概念拓展到区间值上，在此基础定义了有限值区间逻 辑测度，给出基于区间值概率空间的无穷乘积概念。在l u k a s i e w i c z 区间值命题逻辑中， 引入命题的万一真度概念，证明了区间值真度m p 规则和区间值真度h s 规则，并讨论 了其性质。 ( 3 ) 在万一真度的基础上，引入了万一相似度概念，导出公式集f ( s ) 上的一种伪距 离，这使得在l u k a s i e w i c z 区间值命题逻辑系统中展开近似推理成为可能。 关键词：区间值命题逻辑，l u k a s i e w i c z 区间值命题逻辑，区间值概率测度，广义重言 式，真度 a bs t r a c t t m sd i s s e r t a t i o nc o m e sf r o m “t h en a t u r es c i e n c ef o u n d m i o no fh e n a np r o v i n c e “r e s e a r c ho n t h e o r i e so ff l e x i b i l i t yo fi n t e r v a ll o g i c ”( n o 0 6110 5 3 9 0 0 ) a n d t h ek e ys c i e n t i f i ca n dt e c h n o l o g i c a l p r o j e c to fh e n a np r o v i n c e r e s e a r c ho nf l e x i b l ec o n t r o lm o d e la n di t ss y s t e mb a s e do ni n t e r v a l s t r u c t u r e f n o 0 9 210 2 21014 9 ) a te a r l i e s tt h ei n t e g r a ls e m a n t i c si nl u k a s i e w i c zl o g i cw a sb u i l tb yp r o fw a n gg u o j u n 3 0 1 ，t h e nas e r i e s o fc o n c e p t ss u c ha ss i m i l a r i t yd e g r e e ，p s e u d o - d i s t a n c e ，d i v e r g e n td e g r e ea n da p p r o x i m a t er e a s o n i n gw e r e i n t r o d u c e d t h i sm e t h o dw a sg e n e r a l i z e dt ola n d s y s t e m 。t h e nt h em e t r o l o g yo fl o g i cw a sb u i l t s o l u k a s i e w i c zl o g i cs y s t e mw a sa l w a y st h ep d o d t yt h a tt h el o g i cs t u d i e s t a u t o l o g yw a sa l li m p o r t a n tp a r to f v a r i o u sl o g i cs y s t e m s i ft h ed e f i n i t i o no ft h et a u t o l o g yo fc l a s s i c a lt w o - v a l u e dl o g i cw h i c hw a sd e f m e db y t h ef o r m a t i o no fe q u a t i o nv ) = tf o re v e r yv a l u a t i o n1 ，w a su s e di nt h ei n t e r v a l - v a l u e dl o g i cs y s t e m , t h e nt h i st a u t o l o g ym a yb ev e r yl a c ki nt h ei n t e r v a l - v a l u e dl o g i cs y s t e m s oi nt h ei n t e r v a l - v a l u e dl o g i c s y s t e m ，t h ef o r m u l at h a ti t sv a l u a t i o nw a sg r e a t e rt h a no re q u a lt oac e r t a i ni n t e r v a lt r u ev a l u e 万w a s i n t r o d u c e da n di n v e s t i g a t e d t h i sf o r m u l aw a sc a l l e d 万一t a u t o l o g y t h e o r yo ft r u t hd e g r e e sw a sc l o s e l y r e l a t e dt ot h e o r yo ft a u t o l o g y , a n dt r u t hd e g r e e sw e r et h en e wi n d e xt h a tm e a s u r e dt h et r u t ho faf o r m u l a t h ec o m b i n e de f f e c to fa l lt h ev a l u a t i o nva c t e do nt h eaw a sc o n s i d e r e db yt r u t hd e g r e e s t h u s ，t h e t h e o r yo f t a u t o l o g yi nt h ei n t e r v a l - v a l u e dl o g i cs y s t e mh a dm o r ec o n t e n t st h a nt h et h e o r yo f t a u t o l o g yi nt h e c l a s s i c a lt w o v a l u e dl o g i cs y s t e ma n dw a sw o r t h w h i l et os t u d y i nt h i sd i s s e r t a t i o n , t h et h e o r yo fg e n e r a l i z e dt a u t o l o g ya n dt r u t hd e g r e e si si n t r o d u c e di n t ot h e l u k a s i e w i c zi n t e r v a l - v a l u e dl o g i c ，t h e nt h et h e o r yo fg e n e r a l i z e dt a u t o l o g ya n dt r u t h d e g r e e so f l u k a s i e w i c zi n t e r v a l v a l u e dl o g i ca r es t u d i e d t h ei n n o v a t i o na n dm a i nr e s u l t sa r es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： ( 1 ) f r o mt h et h e o r yo fl u k a s i e w i c zi n t e r v a l - v a l u e dl o g i c ，an e wi n t e r v a l v a l u e di sd e f i n e d ，t h e nt h e d e f i n i t i o no ft h ea l g e b r ao fl u k a s i e w i c zi n t e r v a l v a l u e dl o g i ca n di t sg e n e r a l i z e dt a u t o l o g ya r ei n t r o d u c e d f u r t h e r m o r e ，b yac l a s so fs p e c i a ls e q u e n c eo ff o r m u l a sa k ，k = - i ，2 ，t h et h e o r e ma b o u tw h i c he v e r y c l a s so fa c h i e v e d 万一t a u t o l o g yi sn o te m p t ya n dd i f f e r e n ta r ep r o v e di nt h el u k a s i e w i c zi n t e r v a l - v a l u e d ( 2 ) f i r s t l y ，t h ep r o b a b i l i t ym e a s u r ea n dt h ep r o b a b i l i t ys p a c ea r ee x p a n d e dt ot h ei n t e r v a l v a l u e d ，t h e n i i i t h ef i n i t ei n t e r v a l - v a l u e dm e a s u r ei sd e f i n e da n dt h ec o n c e p to ft h ei n f i n i t ep r o d u c ti sg i v e no nt h e i n t e r v a l v a l u e dp r o b a b i l i t ys p a c e s e c o n d l y t h ec o n c e p to ft h e 万一t r u t hd e g r e e si si n t r o d u c e di nt h e l u k a s i e w i c zi n t e r v a l v a l u e dp r o p o s i t i o n a ll o g i cs y s t e m f i n a l l y ，t h ei n t e r v a l v a l u e dt r u t hd e g r e er e a s o n i n g r u l e sf i l ed i s c u s s e d ，a n di t sp r o p e r t i e sa r ep r o v e d ( 3 ) b a s e do nt h et h e o r yo f 万一t r u t hd e g r e e s ，t h ec o n c e p to ft h e 石- s i m i l a r i t yd e g r e ei si n t r o d u c e d m o r e o v e r , ap s e u d o - d i s t a n c eo nt h es e to ff o r m u l a si sd e f i n e d t h i sm a k e si tp o s s i b l et od e v e l o p a p p r o x i m a t er e a s o n i n gi nt h el u k a s i e w i c zi n t e r v a l - v a l u e dp r o p o s i t i o n a ll o g i c k e yw o r d s ：i n t e r v a l v a l u e dp r o p o s i t i o n a ll o g i c ，l u k a s i e w i c zi n t e r v a l - v a l u e dp r o p o s i t i o n a ll o g i c ， i n t e r v a l - v a l u e dm e a s i l r e ，g e n e r a l i z e dt a u t o l o g y , t r u t hd e g r e e s i v 独创性声明 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河南师范大学或其他教育机构的学位或证书 所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示了谢意。 关于论文使用授权的说明 本人完全了解河南师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权河南师 范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 签名：一= 啤导师签名：艇日期： 6 1 第一章绪论 1 1 模糊逻辑的研究现状 第一章绪论 z a d e h 于1 9 7 3 年发表的文章【5 0 】中首次提出了基于模糊集思想的近似推理理论，正 如d u b o i s 等人在他们的长篇评论文章【5 2 中所指出的，z a d e h 的方法不同予人工智能领 域所倡导的方法：人工智能学科强调符号操作，它扎根于逻辑之中，以语构的形式展开 自动推理而根本不看重数值计算。但基于模糊集的方法自然是离不开数值计算，z a d e h 的方法在于将二者相结合。z a d e h 的文章【5 0 及其基本思想的影响是深远的，近年来发 表的有关近似推理的文章都程度不等地注意了两方面的结合，但大多数文章似乎都以基 于模糊集的数值计算为主。2 0 世纪7 0 年代末，p a v e l k a 的系列文章【8 7 】开创了将模糊集 思想融于严格的逻辑演算之先河，只是他并未继续展开对诸如f u z z ym o d u sp o n e n s 等模 糊推理的研究。p a v e l k a 的研究受到了广泛的关注，文 8 8 9 2 可看做是文【8 7 】的继续与发 展。专著【9 3 】和专著【9 4 】还专门论述了p a v e l k a 的工作。如上所述，主要基于模糊集的数 值计算并兼顾逻辑演算的文章很多。其实，近似推理并不一定要与模糊集理论相联系。 比如，文 9 5 在二值逻辑的框架下提出了一种基于相似度的近似推理理论。王国俊教授 在文【2 6 】和【9 6 】中提出的近似推理的主体部分也不依赖于模糊集理论。最近，王国俊教 授基于均匀概率的思想在二值命题逻辑中提出了命题的真度理论【9 7 1 ，并提出了一种近似 推理的框架。当然，我国其他学者吴望名教授、陈图云教授对区间值模糊逻辑进行了深 入研究，李凡长教授对动态模糊逻辑进行了深入研究，都取得了可喜成果瞄, 4 5 - 4 5 , 7 4 , 8 6 。 王国俊教授的工作则是从对多值逻辑的研究展开的。在多值逻辑系统中，运算 1 ，v ，八一般均相同，但蕴涵算子“专 的定义却是多种多样的，取不同的蕴涵算子构成 不同的逻辑系统，并且，重言式理论是各多值逻辑系统的一个重要组成部分。王国俊教 授在文【3 0 】中将k l e e n e 算子进行修正，提出了一种新的具有更多良好性质的蕴涵算子r o 蕴涵，从而建立了一维多值逻辑系统职并系统地研究了这种逻辑的代数、子代数及其 广义重言式理论。吴望名、张文修、杨晓斌、吴洪博等分别对参数k l e e n e 系统、l u k a s i e w i c z 多值逻辑系统和g o d e l 逻辑系统中的广义重言式理论进行了研究【5 黼0 1 。他们为模糊推理 l u k a s i e w i c z 区间值逻辑的广义重言式及其真度理论 寻找理论基础，力求将模糊推理纳入逻辑的框架。 1 9 2 0 年，l u k a s i e w i c z 首先考虑到介于0 ，l 之间的真值而不是经典的二值真值集 o ，1 ) ，他提出了一个三值逻辑系统【9 8 1 ，将第三个值解释为“未确定的”或“可能的 ， 表示未来可能发生的状态。他的思想和方法后来被广泛应用于有限值逻辑的研究中， p o s t 于1 9 2 1 年独立地提出了附加真值的基本思想，建立了有穷多值逻辑系统，并将此 思想应用于函数的可表示问题【蚓。2 0 世纪6 0 年代，s c a r p e l l i n i 指出无限值l u k a s i e w i c z 一阶逻辑系统是不可( 递归) 公理化的【1 0 0 l 。h a y ，b e l l u c e 和c h a n g 证明了：加入一条无 限推理规则使得此系统可公理化。除了多值逻辑的这些理论研究成果外，z a d e h 开创了 一种面向应用的模糊集合论方法【4 9 1 ，他利用广义集合论方法对模糊概念进行了形式化。 由于多值逻辑的重要特征主要体现在真值域的基数上，故常将多值逻辑系统划分为 有限值系统和无限值系引1 1 4 1 。 三值逻辑系统是为真值提供直观解释的特别简单的例子。l u k a s i e w i c z 在其三值逻 辑系统中通过对未来可能事件的分析而引入了第三值。l u k a s i e w i c z 在提出他的三值逻 辑系统后，又将其推广到有限值及无穷值的情况。系统厶和l 分别以有限集 既= 击l0 k 。以上 的真值表实际上是建立了三上的四种运算1 ，v ，a ，。以第一个真值表为例，它说当 1 ，( p ) = t 时1 ，( 邓) = f ，当1 ，( p ) = ，时v ( 叩) = 1 ，当1 ，( p ) = f 时1 ，( 叩) = t 。因为 v ( 叩) = 1 v ( p ) ，所以此表实际上是分别情况v ( p ) = t ，i ，f 而令1 v ( p ) = f ，1 ，t ，所以它 定义了上的一元运算1 ：三一l ，其他的几个表则定义了三中的二元运算，如 tv1 = t ，ia i = ，i 专f = i 等。这就说明多值逻辑系统实际上是研究赋值格及其上运 算的理论。以下用厶表示l u k a s i e w i c z 三值系统。 命题2 3 1 在厶中 ( 1 ) 口vb = ( 口- - y6 ) - - - yb ， 9 l u k a s i e w i c z 区间值逻辑的广义重言式及其真度理论 c 2 ，口争6 = - - h a v 6 篆：；三 ；：二； 证明：从真值表中直接得证。 定义2 3 1 设s 是非空集，f ( s ) 是由s 生成的( 1 ，v ，一) 型自由代数，即f ( s ) 是全 部公式( 命题) 之集，l = t ，f ) 是l u k a s i e w i c z 三值系统。 ( 1 ) 映射v ：f ( s ) 专l 叫赋值，若一) = 一v ( 彳) ，v ( avb ) = v ( a ) vv ( b ) ，吠爿一曰) = v ( 彳) _ v ( b ) 成立。用g 表示全体赋值之集。 ( 2 ) 设a f ( s ) ，如果对每一个1 ，g 均有v ( 彳) = r ，则称a 为重言式。 为叙述简便起见，对任一公式a f ( s ) ，以下把公式( 一专彳) 简称为2 a 。容易验证 v v 哦“2 俨2 v ( 舢t = 譬器 ( 2 - 1 ) 定义2 3 2 【1 叫设( 咒，4 | ，以) 是概率测度空间，这里以是以上的l e b e s g u e 测度，4 ， 是全体心可测集之族，心( k ) = l 。令x = 兀疋，则n 4 在x 上可生成一个o - 代数彳， 这时x 上存在唯一的测度满足条件： ( i ) 彳是x 中的可测集之族； ( i i ) 对于兀五中的任一可测集e ，e x 兀瓦可测，且 n = 1月= + l 【l ( ex 兀艺) = ( 鸬心) ( e ) ，m = 1 ，二，2 一 n = m + l ( 2 - 2 ) 称为x 上的关于m ，鸬，的无穷乘积测度，概率测度空间( x ，a ，) 也简记为x 。 定义2 3 3 1 0 4 1 设鼍= o ， ，1 ，以是瓦上的均匀概率测度，即以( o ) = o ，心( 瓦) = 1 ， 且以( o ) = 以( 劳) = 以( 1 ) ) = 伽= l ，2 ，) 。令x = 兀k ，设称是x 上的关于 n = l 肛，鸬，的无穷乘积测度，称为三值逻辑测度。 1 0 第二章l u k a s i e w i c z 多值逻辑的语义理论 定义2 3 4 1 0 4 1 设v q 3 ，( s ) 是由s 生成的自由代数。设v ( 仇) = v k ( k = l ，2 ，) ， 则无穷维向量l ，= ( v l , 吃，) x ，这里x 由定义2 3 3 确定。反正，设y = ( v l ，v 2 ，) x ， 则由y 唯一确定q ，中的一个赋值1 l ，这里v ( 仇) = 吒( | j = l ，2 ，) 。令伊( v ) = y ，则 伊：q 3 。x 是从q 3 到x 的一一满射，称缈为q 3 的测度化映射。 定义2 3 5 【9 7 】设爿f ( s ) ，令 【a 】= y x i v q 3 ，v ( 彳) = 1 ) ，f ( 彳) = ( 【彳】) ( 2 3 ) 称f ( 彳) 为彳的真度。 显然，对t r f ( s ) 中任一公式彳，都有0 r ( a ) 1 。即逻辑等价的公式有相等的真度。 由定义容易证明下面的两个命题。 命题2 3 i t l 0 4 设彳是重言式，贝u r ( ajb ) = f ( b ) ，r ( b 彳) = 1 。 命题2 3 2 【1 0 4 设4 f ( s ) ，则么是重言式当且仅当r ( 么) = 1 ；若a 是矛盾式，则 f ( 么) = 0 。 ， 命题2 3 3 t 1 0 4 v a f ( s ) ， f ( 2 ( 一) ) = 1 - r ( a )( 2 - 4 ) 证明： e h ( 2 - 1 ) 式，得 f ( 2 ( 4 ) ) = ( 2 ( 卅) 】) = ( y x l v ( 2 ( 卅) ) = 1 ) ) = ( 妒xi2 v ( - - , a ) l = 1 ) = ( y x 1 2 v ( 1 4 ) 1 ) ) = 4 v x i v ( a ) 吉) ) v ( a ) o ，吉，1 ) ， 故，f ( 2 ( 1 彳) ) = ( y 彳iv ( a ) 1 ) = 1 一( y xjv ( a ) = 1 ) ) = 1 一r ( a ) 。 l u k a s i e w i c z 区间值逻辑的广义重言式及其真度理论 命题2 3 4 【1 叫( 真度m p 规则) 设彳，b f ( s ) ，若r ( 么) 口，r ( a b ) ，则 r ( b ) 位+ f l - 1 ) 。 证明：令】厂= y xl1 ，q 3 ，1 ，( 么) = 1 ) ，z = 妒xiv q 3 ，v ( a b ) = 1 ，则由已知 条件知：p ( y ) 口，( z ) ，设p ( y nz ) = x ，则 , u ( y u z ) = ( y ) + ( z ) 一( 】，n z ) 口+ f l x ( 2 - 5 ) 显然( y u z ) l ，从而由( 2 5 ) 得l 口+ 一x ，即x a + f l - 1 。又任取y y n z ，则 v ( a ) = v ( a _ b ) = l ，从而可得v ( b ) = 1 ，所以 r ( b ) = ( b 】) ( 】，n z ) = x a + f l - 1 命题2 3 5 【1 0 4 ( 真度t t s 规则) 设a ，b ，c f ( s ) ，若r ( a b ) 口，r ( b c ) ，则 r ( a 专c ) + f l - 1 ) 。 证明：类似于命题2 3 4 的证明，略。 引理2 3 1v a ，b ，c 【o ，1 】，a b c = ( 口号b ) a ( ajc ) 。 证明：根据命题2 3 1 得证，略。 命题2 3 6 f 1 叫( 真度交推理规则) 设么，b ，c f ( s ) ，若r ( a 专b ) o r ，r ( b c ) ，则 r ( a 专b 八c ) ( 口+ f l 一1 ) 。 证明：根据定义2 3 5 和引理2 3 1 得证，略。 2 4l u k a s i e w i c zn 值系统厶 设真值集三上已有 r ，f ) 扩充为含有以个元素的线性序集 上= 0 ，口l ，口n - 21 ) 其中0 表示假，l 表示真，而( 1 i n - - 2 ) 则表示中间值。可以这样理解：口，的足标f 越大它就代表越真的值。换句话说，按真假程度排序时有 口o = 0 口l 口2 口月一2 l = 一l 1 2 第二章l u k a s i e w i c z 多值逻辑的语义理论 这里分别把0 与1 记作与一，有时会方便一些。 为适应表达否命题的真假程度的需要，在三上应当引入非运算，：l 专l ，或者为 简便计把1 记为 则对每个o f l ，应当o f l ，且 ) = 口 o f 当且仅当口 即：lj 三是三上的逆序对合对应。一般均假定一：是 o ，l 】的n l 等分点，如 厶= o ，号，号，1 ) ，厶= o ， ，号，詈，1 ) 等等，这时口= 1 一口。 至于运算v 与 ，因为三上已有了序，它们分别表示在此序之下的上、下确界运算。 现在只剩下在三上定义蕴涵运算专了：对上中人二元口与，规定 口专= m i n 1 ，口+ ) ，这里口= 1 - t r 。 定义2 4 1 【1 0 6 1 设刀为自然数，且以2 ，令 厶= f = o ，击，衙2 ，鲁，l = q 规定a , p 厶时，1 a = l - a ：，a v , a = m a ) 【 ) ，口一= ( 1 口+ ) 八1 ，则厶成为( 1 ，v ，_ ) 型代数，称为l u k a s i e w i c z 多值逻辑系统，记为厶。 定义2 4 2 t 1 0 6 】设f ( s ) 是由s 生成的公式代数，则称映射y ：f ( s ) 专厶为，( s ) 在厶 上一个赋值，如果满足条件： ( 1 ) ，( 卅) = - - , v ( a ) ， ( 2 ) v ( a v b ) = v ( 彳) v v ( b ) ， ( 3 ) v ( a j b ) = v ( 彳) 呻v ( b ) 。 称1 ，为乙赋值，用g 表示全体厶赋值之集。 2 4 1l u k a s i e w i c zn 值逻辑广义重言式 定义2 4 3 1 0 6 1 设彳f ( s ) ，0 c t 1 ，若对每个厶赋值1 ，恒有v 似) 口，则称a 为口一 l u k a s i e w i c z 区间值逻辑的广义重言式及其真度理论 重言式，其全体记为a - r ( l ) 。 定义2 4 4 t 1 0 6 1 设a f ( s ) ，0 a 1 ，如果a a - t ( l ) ，并且存在厶赋值v 使得 v ( 彳) = 口，则称彳为可达o f 一重言式，其全体记为【a - 及厶) 。 以上各种重言式统称为广义重言式。为了证明以下l u k a s i e w i c zn 值模糊逻辑的广 义重言式的有关定理，我们引入下面的定义，即构造一类特殊的公式序列4 ，k = 1 ，2 ，并 讨论了其一些有用的性质。 定义2 4 5 f 1 0 6 设a f ( s ) 定义算子序列f k ( a ) 如下： ( 1 ) z ( 彳) = a ； ( 2 ) 以+ l ( 么) = 哌( 彳) - a ，k = l ，2 ， 显然有4 全五( 么) f ( s ) ，k = 1 ，2 ， 特别地，对某一命题变元p s ，岛= p ，仍= - - , p _ p ，p s = ，( 叩_ p ) _ p ， 对于这个定义，我们得出以下几个性质： 性质2 4 1 t 1 0 6 设彳f ( s ) ，对于v y q 。，七n ，有( 4 ) = k o v ( a ) a 1 。其中n 表 示自然数，4 全五( 4 ) 。 证明：用数学归纳法证明。 ( 1 ) 对k = 1 ，显然有v ( 4 ) = 1 v ( a ) a 1 。 ( 2 ) 假设k = n 时成立，即y ( 4 ) = 刀y ( 彳) 人l ，那么当k = n + l 时， ，( 4 + ，) = 1 ，( + 。( 彳) ) = v ( 吒( 么) 哼彳) = ( z ( 么) ) + v ( a ) ) a 1 = ( v ( 4 ，) + v ( 彳) ) 1 = ( ，z v ( 么) l + y ( 彳) ) l 以下分情况进行证明： 1 4 第二章l u k a s i e w i c z 多值逻辑的语义理论 当y ( 么) 【古，六】时，因为玎v ( 4 ) 人l + y ( 么) l ，并且( n + 1 ) v ( 彳) 1 ，所以 1 ，( 4 + 1 ) = 1 = ( n + 1 ) v ( a ) a 1 ； 当y ( 彳) 【丽1 ，击】时，因为伽v ( a ) a 1 + v ( a ) 焉； ( 2 ) 当y ( 么) 击时，因为y ( 以) = m v ( a ) m 焉，所以y ( 咆v 厶) y ( 厶) 焉： ( 3 ) 当y ( 彳) = 击时，因为l ，( 以v 厶) = 【( 1 一焉) vo 】v ( 焉八1 ) = 焉 总之，y ( - 4 , v4 ，| ) 焉，并且当( 彳) = 六时等号成立。 下面给出l u k a s i e w i e z 多值逻辑系统中广义重言式的类类不空和类类互异定理。 定理2 4 1 【1 0 6 对v 倪= 丽i 厶，f - 0 ，l ，则有 叫一孔厶) 囝。 证明：显然，【i - t ( l n ) 1 2 j 且【o 】一h 厶) o ，事实上，对于任意命题变元 p s ，p p 1 - t ( l 。) ，- - , ( p 争p ) 【o 卜丁( 厶) 。 以下只考虑1 f n - 2 的情况，设口= 啬厶，任取命题变元p s ，根据定义2 4 5 ， 仇= a 以( p ) ，k n ，令彳= 啊- l _ f vp f ，根据性质2 4 2 得：v v q 。有 l u k a s i e w i c z 区间值逻辑的广义重言式及其真度理论 y ( 么) = v ( 嘞一1 一，v 只) 击= 口 又因为p 是命题变元，故可取y o q 。，使得y o ( p ) = 由，这时再由性质2 4 2 得， 1 o ( 彳) = 古= o r ，所以v 口厶，有么陋卜丁( 厶) ，即陋】一丁( 厶) g 。 定理2 4 2 【1 嗍( 广义重言式类类互异定理) 设口，厶，口，则 口一丁( 厶) 一丁心) 。 证明：不妨设口 ，吃( 彳) = ( 彳】口) 称吃( 彳) 为a 的口一真度。且当口= i 时，把公式么的1 一真度简称为a 的真度。简记为 r ( a ) ，并把【彳】。简记为【a 】。 对于f ) 中任一公式彳，都有0 ( 彳) 1 。逻辑等价的公式有相等的a 一真度。 显然，a 的真度值f ( 彳) 反映了公式彳为重言式的程度，而a 的口一真度( 彳) 则反映了a 1 7 l u k a s i e w i c z 区间值逻辑的广义重言式及其真度理论 为o r 一重言式的程度。 定理2 4 4 1 1 0 9 1 设彳，b f ( s ) ，o f , 厶。若么与b 逻辑等价，则毛( 彳) = 乇( b ) 。 证明：根据定义2 4 8 容易得证，略。 弓i 理2 4 1 1 0 9 设口，b 厶，贝u ( 1 ) l _ b = b ；( 2 ) aj b b 。 证明：根据定义2 1 1 得证，略。 定理2 4 5 1 叫设a ，b f ( s ) ，口厶 o ) ，a 是重言式，则r ( a 专b ) = r ( b ) ， r ( b 专彳) = l 。 证明：由彳是重言式知v 1 ，q 。，v ( 4 ) = 1 。从而由定义2 4 7 和引理2 4 1 知 ( 彳- - b ) = ( 【4j b 】。) = ( 1 ，x i v ( a 专b ) 口) ) = ( 1 ，r 1 1 ，( 么) - - v ( b ) 口) ) = ( v xi1 专v ( b ) 口 ) = ( v x 1 1 ，( b ) 口) ) = r o ( b ) 另一结论类似可证r ( b 专a ) = 1 。 定理2 4 6 f 1 0 9 1 ( 一般真度脚规则) 设彳，b f ( s ) ，岱，厶，若吃( 彳) j ， r p ( a 斗b ) f ，贝f j0 ( b ) ( s + r 一1 ) v0 ，其中7 ( 口+ 一1 ) v 0 。 证明：令g l = 1 ，xiv q 。，v ( 彳) 口) ，g 2 = v xlv q 。，v ( ajb ) f l ，则由假 设可知：( g 1 ) = ( 彳) j ，( g 2 ) = r p ( a b ) f 令g = g lng 2 ，则 ( x g ) = ( x g lng 2 ) = ( ( x g 1 ) u ( x g 2 ) ) ( x g 1 ) + ( r g 2 ) l r 第二章l u k a s i e w i c z 多值逻辑的语义理论 = ( 1 一( g 1 ) ) + ( 1 一( g 2 ) ) 2 一s 一，。 所以，( g ) s + t 一1 ，又( g ) 0 ，故p ( g ) s + t - l v 0 。 下面来看，值的估计。 设，g ，则v g l 且，g 2 。首先，由1 ，g 2 知， v ( a - - - b ) = v ( a ) - - - - hv ( b ) = ( 1 - v ( a ) + 1 ，( b ) ) 1 。 从而1 一，( 彳) + v ( 曰) ，又由1 ，g l 知1 ，( 彳) 口，故s l 一1 ，( 4 ) + v ( b ) ( a + f l - 1 ) vo ，由上面的讨论知gc h 。 所以，( 奶( g ) ( s + t - 1 ) v 0 。 若令r = ( a + p - 1 ) vo ，可得0 ( b ) = ( 日) o + 卜1 ) v0 ，即y 至少可以等于 ( a + f l - 1 ) v 0 ，从而y + f l - 1 ) v o 。 定理2 4 7 【1 0 9 】( 一般真度h s 规则) 设彳，b ，c f ( s ) ，口，厶，若吃似专b ) s ， 知( b c ) r ，则0 ( 彳c ) ( s + f 一1 ) v 0 ，其中厂( 口+ 一1 ) v 0 。 证明：根据定理2 4 6 的证明容易得证，略。 由上面两个定理可以得出以下推论，如当s = ，= 1 时就有： 推论2 4 3 【1 0 刀设么，b ，ce f ( s ) ，口，厶， ( 1 ) 若吃( 彳) = 1 ，r p ( a 专召) = 1 ，贝l jr r ( b ) = 1 ； ( 2 ) 若吃( 彳jb ) = 1 ，( b _ c ) = 1 ，则f ，( 彳一c ) = 1 。 其中y ( 口+ 一1 ) v 0 。 证明：略。 又，当口= = 1 时便可得到文献【1 0 8 】中所给的真度推理规则。 推论2 4 4 设a ，b ，c f ( s ) ， 1 q l u k a s i e w i c z 区间值逻辑的广义重言式及其真度理论 ( 1 )若f ( 彳) s ，r ( a - - b ) t ，则r ( b ) s + t - 1 ； ( 2 )若r ( a - - - ) b ) s ，v ( b 专c ) t ，贝l jr ( a 专c ) s + t - 1 ； ( 3 ) 若r ( a 寸动s ，r ( a c ) t ，则r ( a 哼b c ) s + t - 1 。 证明：( 1 ) 和(