（应用数学专业论文）三维lorentz空间中的共形曲面论.pdf

内容提要 、- 7 6 9 0 8 空间形式上的曲面论，尤其是对某一特殊由面的构造和分类是微分几何中的 一个重要而有趣的课题本文研究三维l o r e n t z 空间中的共形曲面。主要通过对三 维l o r e n t z 空间形式r 、s 、h 的紧致化空间q 3 中的曲面进行研究，采用活动 标架法，导出这些曲面的基本方程及结构方程，最后用曲面的基本方程和结构方程 对q 3 中的迷向曲面和a ；0 的特殊曲面进行分类从而得到两个重要的分类定 理全文的结构安排如下： 1 介绍三维l o r e n t z 空间形式赋、s 、h 3 的紧致化空间谚，并计算出l o r e n t z 空间形式的共形群； 2 研究心中的共形曲面，主要得到曲面的基本方程和结构方程； 3 对q a 中的迷向曲面进行分类。得到本文的第一个重要分类定理； 4 对q 3 中的特殊曲面即oi0 的曲面进行分类，得到本文的第二个重要分 、类定理 关键词：l o r e n t z 空间形式；l o r e a t z 度量 q 3 空间；共形群；迷向曲面； o 0 的曲面 a b s t r a c t t h es u r f a c et h e o r yi nt h es p a c ef o r m ，e s p e c i a l l y ，t h ec o n s t r u c t i o na n dt h ec l a s s i - f i c a t i o no fas p e d a ls u r f a c ei sa ni m p o r t a n ta n di n t e r e s t i n gp r o b l e m i nt h i sp a p e rt h e c o n f o r m a ls u r f a c ei nt h e3 - d i m e n s i o nl o r e n t zs p a c ew i l lb es t u d i e di nd e t a i l m a i n l y b ys t u d y i n gs u r f a c e si nq 3 ，t h es p a c eo fc o m p a c t i f i c a t i o no ft h el o r e n t zs p a c ef o r m r 3 、s 、嘲，i nam e t h o do fc o n s t r u c t i n gam o v i n gf r & r n e ，t h ef u n d a m e n t a le q u a t i o n s a n ds t r u c t u r a le q u a t i o n sc a nb eo b t a i n e d f i n a l l yw i t ht h ef u n d a m e n t a le q u a t i o n s a n ds t r u c t u r a le q u a t i o n st h ei s o t r o p i cs u r f a c ea n dt h es u r f a c eo fg 三0i nq 3 & r e c l a s s i f i e d t h u st h et w oi m p o r t a n tt h e o r e mo fc l a s s i f i c a t i o nc a nb eo b t a i n e d t h i s p a p e r i so r g a n i z e da sf o l l o w s ： i ns e c t i o n1 ，q 3t h es p a c eo fc o m p a c t i f i c a t i o no ft h e3 - d i m e n s i o nl o r e n t zs p a c e f o r mr 、s 2 、哪i si n t r o d u c e d t h ec o n f o r m a lg r o u po fl o r e n t zs p a c ef o r mi s o b t a i n e da f t e rc a l c u l a t i n g i ns e c t i o n2 ，t h ec o n f o r m a ls u r f a c ei nq 3i ss t u d i e d t h em a i nr e s u l ti st h e f u n d a m e n t a le q u a t i o n sa n ds t r u c t u r a le q u a t i o n s i ns e c t i o n3 ，t h ei s o t r o p i cs u r f a c ei nq 3i sc l a s s i f i e d a n dt h ef i r s tt h e o r e mo f c l a s s i f i c a t i o ni so b t a i n e d i ns e c t i o n4 t h es u r f a c eo fb 三0i sc l a s s i f i e d ，a n dt h es e c o n dc l a s s i f i c a t i o n t h e o r e mi so b t a l n e d k e yw o r d s ：l o r e n t zs p a c ef o r m ；l o r e n t zm e t r i c ；q 3s p a c e ；c o n f o r m a lg r o u p i s o t r o p i cs u r f a c e ；s u r f a c eo f 巴= 0 引言 通常所说的黎曼几何学就是在光滑流形上给定了一个黎曼结构( 即在光滑流形 上给定一个光滑的、对称的、正定的二阶协变张量场，称之为黎曼度量) 的几何学 比如欧氏空间r n 上的通常度量就是黎曼度量而在物理学上，经常遇到所谓广 义黎曼空间它的度量不是正定的例如在爱因斯坦的相对论中，引力现象解释为 几何空间的曲率性质，这个几何空间就是一种特殊的广义黎曼空间它是在光滑流 形上给定一个光精的、对称的、带有一个负指标的二阶协变张量( 称之为l o r e n t z 度量) 换句话说，流形m 上的l o r e n t z 度量就是在m 的每点的切空间上都有一个 二次型，而且这个二次型的特征值只有一个是负的。其余的都是正的配备了这样 度量的空间称为l o r e n t z 空间 与黎曼空间一样，l o r e n t z 空间也可以定义张量、外微分、l e v i c i v i t a 联络、 曲率等，但是l o r e n t z 空间与黎曼空间也有很多不同之处l o r e n t z 度量决定了切 向量、切子空间以及曲面的特征为了定义它们，我们用( ，) 表示l o r e n t z 度量， 对于切向量u 而言，称切向量u 是类空的，若( u ，u ) o ；称切向量u 是类时的， 若( u ，) 1 的球面旋转，双曲旋转，抛物旋转的类空曲面( 参见文【2 2 】) 此外m d a j c z e ra n dk n o m i z u 通过对啦，岛中的平坦曲面的研究，进一步地研究 了欧氏空间”和l o r e n t z 空间l n 到n + l 维空间形式l ”+ 1 的浸入( 参见文【2 3 】) 文1 2 4 】中b p a l m e r 主要构造了广义黎曼空间形式中的常平均曲率且完备的 曲面l j ，a l i a s 和b p a l m e r 对浸入在3 维m i n k o w s k i 空间的共形紧致化空间中的 类空曲面进行研究他们定义了一个共形的高斯映射它是定向球面共形不变的双 参数族，再用共形高斯映射的面积定义w i l l m o r e 泛函，由此得到，抛物w i l m o r e 曲面的b e r n s t e i n 型定理，最后，讨论了对w i l l m o r e 泛函而言，极大曲面的稳定性 2 ( 参见文【25 ) 受文【2 5 】的启发。本文将研究三维l o r e n t z 空间中的共形曲面，主要对l o r e n t z 空间形式的紧致化空间中的某些特殊曲面进行分类 全文的结构安排如下： 1 先引入三维l o r e n t z 空间形式础、s 、h i ( 参见文【2 4 1 ) ，然后构造l o r e n t z 空问形式的紧致化空间谚，它是一个配备了l o r e n t z 度量的三维流形通过直接计 算得到l o r e n t z 空问形式的共形群； 2 研究q 3 中的共形曲面。通过提升将q 3 中的曲面论问题转化为c ：、 o ) 中 的曲面论问题首先在q 3 中的曲面m 上定义了一个l o r e n t z 度量( 见( 21 ) ) 然 后构造鹏的一个活动标架由此得到曲面的基本方程和结构方程； 5 3 定义q 3 中的迷向曲面，并用2 中给出的基本方程对它进行分类，得到本 文的第一个重要分类定理，它表明可以用q 3 上的迷向曲面将r 3 、s 、2 中的极 小常曲率曲面统一起来； 4 通过结构方程的分析和基本方程的求解，对q 3 中的特殊曲面即g ；0 的 曲面进行分类从而得到本文的第二个重要分类定理。 文衄b 】中，c p w a n g 研究了在m o e b i u s 群的作用下p 上的子流形在 该文中，作者定义了一个m o e b i u s 不变的正定的度量g ，以及一个m o e b i u s 不变的 2 一形式b ，称之为m o e b i u s 第二基本形式，并建立了一个完整的m o b i u s 不变量系 统，并用m o e b i u s 不变量之间的关系对s 3 上所有m o e b i u s 形式为0 的益面进行分 类。证明了这样的曲面经球极映射在r 3 中的像m o e b i u s 等价于圆柱，旋转环面。 或者是圆锥 受文【2 6 】的启发，本文在5 2 中定义了一个在m 上整体有定义的2 一形式g ( 见 定理2 1 ) ，当m 上的拉回度量是( ，+ ) 型时，g 是m 上的( 一，十) 型的度量这样 就可以用代数的方法证明w e i g a r t e n 变换在耳m ( v p m ) 中的一组基 e - ，e 2 ) 的 作用下可能有三种情形( 见命题4 1 ) 实际上它对应的就是w e i g a r t e n 变换的特征 值可能有三种情形：两个实特征值，两个共轭的复特征值，或只有一个实特征值 这与文【2 6 j 中的m o e b i u s 度量是芷定的情形不一样，它的形状算子的特征值必有 3 两个实特征值在这三种情形下对q 3 中a 0 的曲面分别进行讨论。得到ai 0 的曲面的分类定理( 定理4 2 ) 其中对第( i ) 中情形的讨论与文 27 中对m o e b i u s 形式恒为0 的曲面进行分类的讨论方法是相似的，得到此时q 3 中的曲面在r 3 中 的像都是锥面，但是它们的准线互不相同；对第( i i ) 种情形的讨论较第一种情形复 杂得多因为这时基本方程中的k 。= 一t y + f 0 ，这样就不能用( i ) 中方法来 求解基本方程( 它是一个偏微分方程) 得出y ，而是引入c a u c h y r i e m a n n 算子，通 过复数方法来求解这个偏微分方程，从而得到e 这是一个十分复杂的过程也是难 点所在这样得到此时q 3 中的曲面在嚼中的像的一个表达式，但由于3 是嵌 入在啦中的。所以它具体表示一个什么样的曲面有待进一步地研究对第( 州) 种 情形的讨论是容易的 文【2 7 中，作者研究了s n 上的m 6 b i u s 迷向子流形，主要是对s n 上的m 6 b i u s 迷向子流形进行分类，它可以用m 6 b t u s 迷向子流形将”、s n 、噩n 中的具有 常曲率极小子流形三个不同的类统一起来 本文3 用与文 27 l 类似的方法对q 3 中的迷向曲面进行研究，得到q 3 中迷 向曲面的分类定理( 定理3 2 ) ，这个结论与文 2 7 j 中的分类定理相似，我们可以用 q 3 中的迷向曲面将嚼、s 、皿i 中的极小常曲率曲面统一起来 4 1 l o r e n t z 空间形式的紧致化及其共形群 l - 1 l o r e n t z 空间形式 在r n 上考虑对称的双线性形式 ( 训) = 一刚1 十鲫i 其中z = ( z 。，$ 。) ，y = ( ”1 ，帅) 舯记r r = ( r “，( ，) ) 现定义噼中的球 面醴如下： 蹬= 扣r 4 i ( 礼z ) = 1 ) 类似地，假设空间r 是在r “中定义了如下的内积 n 一1 刚) = 一螂l + 砌i z y ( 1 2 ) 其中z = ( z l ，z 。) ，= ( l ，。) e 舻现定义r 4 中的双曲空间嚼如下 3 = z l ；i ( 。，。) = - i ) 考虑钟、h 3 分别具有r i 、醚的诱导度量，则r i 、研、嘲的截面曲率分 别为0 、l 、- 1 ，而且是完备的，具有( 一，+ ，+ ) 型度量的3 维流形( 参见文【2 8 】) 鉴于常截面曲率分别为0 、1 、1 的完备的黎曼流形r 3 , 3 维球面s 3 ，及双曲 空间3 是r i e m a n 空间形式( 参见【2 9 】) 类似地，称r 3 、钟、3 为l o r e n t z 空 间形式( 参见【2 5 】) 1 2 l o r e n t z 空间形式的紧致化 由于嘲、s 、啦都是非紧致的空间，因此需要构造一个紧致的空间q 3 使得q 3 是r 3 、躜、3 的紧致化空间( 参见【2 5 】) 这样就把l o r e n t z 空间形式 嘲、田、i 中的曲面论问题转化为q 3 中的曲面论问题 5 s 1 2 1r i 的紧致化 为了定义q 3 ，先在鹎 0 ) 中定义关系“一”如下， 妇= ，。2 ，善3 ，z 4 ，z 5 ) ，可= ( 玑，y z ，可3 ，玑，驰) 哦 o ) ， z y 甘存在非掣实数a ，使得z = a v 即越= a 挑( 1 s i 5 ) 显然，“一”是等价关系对于z 鹎 o ) ，$ 的“一”等价类记作；m = ( z t ，z 2 ，z s ，t i f f 4 ，船) 】这样q 3 就可以定义为： q 3 ：= z r l o ) ，( z z ) = o ) ( 1 3 ) 啦中的光锥q 定义为： c 2 ：= 扛噶i a t , z ) = o ) ( 1 4 ) 不难看出，q 3 是r 2 o ) 的射影化空间的子空间进一步地，有下面的结论： 命冠1 1q 3 是一个紧致的3 维流形 证明设m q 3 ，z = ( g l ，。2 ，z 3 ，趴，z 5 ) 哟 o ) 为其代表元，则 。；+ z ；+ z i = z ：+ $ j 因为z 0 ，所以不妨设z + z + z i = z + z 2 = 1 由于是q 3 中的任意一点， 且m 的代表元只有两个z 和一z ，因此同胚于s 2 酽 士1 ) 从而q 3 是紧致 的3 维流形口 设”：c 薹 o ) - q 3 是自然投射，u 是q 3 中的一个开集，映射；：u _ + c 墨 o ) 是向量丛c ；上的一个局部截面，则z 可以看成是q 8 上的一个函数，出可以看 成是q 3 上的1 一形式，( 出，d z ) = 一出 + d z ；+ 蹦+ d 一d 露可以看成是q 3 上 的2 一形式设y 是q 3 中的另一个开集，：y 一+ q f o ) 是相应的局部截面， 则在u n v 上有一= 沁( 其中 r 0 ) ) 由于( 。，z ) = 0 ，c 。，d z ) = 0 ，所以 ( d = ，d z ) = 妒( d z ，d z ) 6 因此，q 3 在局部上有一个标准的共形度量 命题1 2在q 3 上必存在一个标准的共彤度量 证明 由于在每一个局部坐标邻域上都可以指定一个标准的共形度量，自然 的想法就是用单位分解定理。把这些局部定义的标准的共形度量拼装成为q 3 流形 上大范围定义的标准的共形度量 因为q 3 是紧致的微分流形，所以可以取q 3 的局部有限的坐标覆盖 ( u 。，畦) ；n ，) ，其中j 是自然数集；设 厶) 是从属的单位分解使得支集s u p p 厶c 以，对于 每一个a j 在如上取标准的共形度量 口( 。) = ：他，d z ( 。) ( 1 5 ) 再利用9 ( 。) 可以在q 3 上引入一个对称的二阶协变张量场g 。，定义为： 对v p q 3 ， ，。扫，= 毒9 。翥蓁；： 由厶9 o ) 在上的光滑性及 s u p p g q cs u p p 厶c 不难看出。舶是大范围定义在q 3 上的光滑张量场再令 9 = 啦( 1 6 ) 根据覆盖 ；o l ，) 的局部有限性，( 1 6 ) 式右端在每一点p q 3 的某个邻域内 只是有限多项和所以，g 是大范围地定义在q 3 上的一个光滑、对称的二阶协变 张量场 下面说明g 的共形性v peq 3 ，都有p 的一个邻域配它只与其中的有限个 ) 相交，不妨设为巩。，巩：，如，则 9 1 u = 厶，a ：，( 出( q ) ，出( q ) 7 设在q 3 上还有一个标准的共形度量引u = ( d z ，d z ) ，则存在p q 0 = 1 ，2 ，r ) ，使 得 ( d z t q ) ，d z ( 。j ) = p ：，( d z ，如) ， 所以 g l u = 厶，a ：，p ：，( 如，出) = 厶，a 毛p q 2 引u j = l j = l 令1 25 暑厶，1 以，则g l u 2 引” 由p 及u 的任意性知，g 在q 3 上具有共形性因此g 是q 3 上的标准的共 形度量口 命题1 3q 3 上的标准的共彤度量是( 一，+ ，+ ) 型的，即l o r e n t z 度量 证明设。是向基丛c 2 的一个局部截面，使得2 + 罐= 霹+ z ；+ 田= 1 ，则 有 ( d = ，d z ) = 一( d 彳 + d 砖) + ( d ：；+ d 砖十如i ) 因为q 3 是同胚于s 1 s 2 ：e 1 ) 的微分流形，所以若s 1 上的度鼍为9 t ，酽t - s 度 量为9 2 ，则q 3t - g 度量为9 = 一g l + 9 2 因此q 3 上的度量是( 一，+ ，+ ) 型的口 注：文f 2 5 】中已给出了有关l o r e n t z 空间形式r ；，蹬，嘲的紧致化空间q 3 的 上述结论，但都未给出证明，因此本文在命题1 1 ，1 2 ，1 3 中给出详细的证明 令c h = 【( 2 l ，2 7 2 ，z 3 ，x 4 ，如) 】q 3j 。4 = x s ，定义姐：r i q 3 c k 如下： 鲰( ”) = | ( u ，一；( 1 - ( ”，“) ) ，；( 1 + ( u ，“) ) ) 】，讥噼( 参见 2 5 】) 则靠是r 到q 3 、c h 的一个等距嵌入事实上，v i i i ，“2 r ，若0 ( 1 1 1 ) = a ( u 2 ) 刑有 【。t 、一j 1 ( 1 一沁t ，“t ) ) ，1 ( 1 + 扣l ，毗) ) 1 1 = 【( ，一；( 1 一( 撕，地) ) ，；( 1 + ( 坳，u 。) ) ) 】 8 即u l = a u 2 ，而且1 一( “l ，u 1 ) = ( 1 一( u 2 ，“2 ) ) ，l + ( u l ，札1 ) = a ( 1 + ( u 2 ，u 2 ) ) 因此经 过简单的计算- j - 以得到： = 1 ，从而u l = u 2 ，故口r 是单射v 【( z l ，z 2 ，z 3 ，x 4 ，x s ) q 3 镰，令 u = ( 。，z ：，z s ) ，一( 1 - ( u ，u ) ) = z a ，；( 1 + ( “，u ) ) = z s ， 则有a = 磊五1 因此 唧( u ) = 嘣； 石( 训) - ( 圭m ，瑚，击，老) = ( $ 1 ，x 2 ，z 3 ，, x 4 ，$ 5 ) 】 故a l t 是满射因此c r r 是一一映射，而且它的逆映射为 唷1 ( 船) 】) = ；忑1 ( z h x 2 1 x 3 ) 显然，a r ，唷1 都可微，所以f i l l 是嘲到q 3 c k 的微分同胚又因为d a a = 【( d u ，( u ，咖) ，( u ，砒) ) 】，所以( d a r ，d a r ) = ( d u ，咖) 显然d 强是单射，故o r 是嘴到q 3 c k 的等距嵌入从而醚窒q 3 c h 因此q 3 是嘲的紧致化空间又因为在q 3 而不在r i 中的点集扛c ； o ) i z 4 = 如 是一个光锥，故q 3 是r i 在无穷远处 添加一个光锥得到进一步的，可以验证上面定义的r 2 到世c h 的等距嵌入亦 是保共形映射 命题1 4 对嚼上的任意一个共形变换以必存在使得如下图表可交换： 畸马q 3 岱 曲1l 孙 r 3 马q 3 靠 而且是q 3 c h 到q 3 g h 的共形变换这样的孔是q 3 上的一个保持c h 不 动的变换，称之为毋的线性化 证明由于r 3 垒q 3 c k ，故必存在使得如下图表可交换： 9 换。所以对v v w 耳嘲，( v p 畸) 有 因为$ 是共形变 ( d 如( y ) ，d 如( w ) ) = a 2 ( h w ) ，( 其中 是r 上的正值e o 。函数) 因此对v x ，l ，l ( 舻岛) ，( 托eq 3 e r ) 有 即 ( d ( x ) ，d 耳( y ) ) = ( d 姐。却。打i 1 ( x ) ，d 靠。如。d 唷1 ( y ) ) = ( 却o d 唷1 ) ，嘶。咖i 1 ( ，) ) = 妒( d 唷1 ( x ) ，d 吒1 ( y ) ) = a 2 ( x ，y ) ( ) + ( ，) = r ( ，) ，( 其中 是r i 上的正值g ”函数) 从而是q 3 c h 到q 3 c k 的共形变换口 1 2 2 田，h 2 的紧致化 令魄= 【( 钆z 2 ，z 3 ，z 5 ) 】妒陬= o ) ，定义口s ：研_ + q 3 舔如下： a s ( z ) = 【( z ，1 ) 】，v $ 瞬( 参见 25 ) 类似地可以验证： a s 是蹬到q 3 、岛的一个等距嵌入，且是保共形映射这样 q 3 是跚的紧致化空闻，而且可以看成是在无穷远处添加个光锥风得到其逆 映射是v ( 1 ，$ 2 ，x 3 ，轧，) 】q 3 体， ( 鸭) “( 【( 钆z s ，乳，z s ) 】) 3 ( 詈，詈，詈，罢) 令国= ( 陋l ，。2 ，z 3 ，轧，2 5 ) j q 3 f $ 4 = o j ，定义a h ：h - + q 3 如下： f f h ( z l ，$ 2 ，z 3 ，z 4 ) = ( z l ，z 2 z 3 ，1 ，z ) 】，v ( z l ，z 3 ，z 4 ) e 嘲 ( 参见【2 5 】) 】0 如 鄙恤翌 舻舻螂 马 马州 噼札嚼 呱 1 | 知 表图 换 交由 容易验证：a h 是肺 到q 3 c h 的一个等距嵌入，且是保共形映射这样q 3 也 是嘲的紧致化空间，而且可以看成是在无穷远处添加一个光锥c h 得到其逆映 射是v 【( z 1 ，z 2 ，锄， 1 9 4 ，船) 】q 3 c h ， ( 佣) 。1 ( - ，z s ，z t ，z s ) j ) = ( 詈，。x 2 。2 ，。x _ 。a ，詈) 1 3l o r e n t z 空间形式的共形群 定理1 5 【跚q 3 上的共彤变换群就是l o r e n t z 群，从而是线性群即 ：q 3 _ + q 3 i 矿9 = 2 9 ，且是微分同胚) 竺o ( s ，2 ) 4 - 1 ) 皇 t 0 ( 5 ，2 ) 土1 ) i 2 】q 3 - 【z t 】q 3 ) 由于q 3 是l o r e n t z 空间形式r i 、蹬、3 的紧致化空间，而且它的共形群 就是l o r e n t z 群o ( 5 ，2 ) 仕1 ) ，因此可以给出r i 、8 i 、3 的共形群的具体表达 形式即下列的三个命题在这里只给出命题的证明思路，详细的计算过程可参见 g k = t t e 。c s ，。，t 士，i t = ( ：竺；：；援2 耋：；： 复：；) ， b 0 ( 3 ，1 ) ，a = e 9 b 口) 其中d ( 3 是任意实 的l o r e n t z 群，q 是列向量，口是行向量，口 必有下列性质 和l ，x 2 ，蜘，a ，a ) t = ( i 1 ，毛，i 3 ，b ， 且t 0 ( 5 ，2 ) 士1 ) ，其中a , b 为任意常数因此通过直接的计算可以得到结论 口 命题1 7 钳的共彤群是 g s = ( te o ( 5 , 2 ，t 土，i t = ( ：) ，a e 。c t ，t ， 其中o ( 4 ，1 ) 是保持r 4 的内积不变的l o r e n t z 群 证明蹬的共形群中的元索必有下列性质 ( z l ，z 2 ，z 3 ，粕，o ) t = 忙l ，而，两，函，0 ) 且t 0 ( 5 ，2 ) 士l ，因此通过直接的计算可以得到结论口 ( z l ，x 2 ，z 3 ，0 ，z s ) t = ( 孟l ，南，西，0 ，孟5 ) 且t o ( 5 ，2 ) 仕1 ) ，因此通过直接的计算可以得到结论 口 1 2 变、，t 不o o l 素触。：怃的，中州黼 持 = 共 错 耻 腆 ， ： r ：昌矩o ：窨 l t 0 o 0 1 0 n拈暑；o i c 础铆。础小讲讲0 泓 是 怛 郫 埘 删 仕 共 w 毗 啦 啦 烈 湛 口 l耵 旷 愿性 列 有 、，0 叶；| |h 比如如元芋垴姗种址奶奶奶腓共 泓娜州的 iji嚼 = 渊 中其 2q 3 中的共形曲面论 定义2 1q 3 中的两个曲面z ，：m - q 3 称为是共形等价的，如果存在一 个q 3 上的共形变换t ，使得i = z t 简单地说，。和i 是共形等价的，如果它们 在q 3 中的像仅差一个q 3 上的共形变换 设$ ：m - + q 3 是q 3 中的一个曲面，对向量丛c ：上的一个局部截面z ，存在 一个局部提升p ：= z o z ：m + c ： o ) ( 如图) 若口是。的另一个提升，则存在一 个正值连续函数a ：m - + r + ，使得f = 抽 ( o l 定义2 2 设。：m 一+ q 3 是q 3 中的一个曲面，”是$ 的一个提升，( 出，出) 是q 3 上的一个度量，令 鲫：= ( d 9 ，嘶) ；矿( d z ，d z ) 则称乳是m 上的拉回度量 因为q 3 上的度量是( 一，+ ，+ ) 型的，所以肘上的拉回度量有两种情形；( 1 ) m 上的拉回度量是正定的；( 2 ) m 上的拉回度量是( 一，+ ) 型的以下只考虑第( 2 ) 种 情形 设u 是m 中的开集，：u - 十c 墨 o ) cr ；是曲面$ ：m - - + q 3 的一个提 升，和是拉回度量( 由，由) 的l a p l a c e 算子和截面曲率，那么有t 1 3 定理2 12 一彤式 是整体定义在m 上的 g ：= i ( a y ) 一4 k i ( d y ，d y ) ( 2 1 ) 证明设y 是肘上的另一个开集，口：v _ + c i o ) 是z ：m _ q 3 的另一 个提升且u n v 0 设a ，窗分别是拉回度量( d 雪，呦) 的l a p l a c e 算子和截面曲 率，则存在一个c ”函数r ：u n v _ 腿，使得口= e t y ，因为( y ，y ) = 0 ，( y ，d y ) = 0 ， 所以 ( 蜥，d 雪) = e 2 1 ( 却，西) 设 u 1 u 2 ) 是u n v 上的一个局部坐标系。对任意的函数，：m _ + r ，记 = 蒜， 则有 22 ( d y ，由) = e ( y j ) d u 。d u j ：= g q d u d j ( 2 2 ) i j = li , j = l 设( 9 ) 是( 9 “) 的逆矩阵， r 0 ) ，f 妫) 分别表示拉回度量( d u ，咖) 和嘶，嘶) 的 l e v i c i 、，i t a 联络的联络系数，v 表示拉回度量( 曲，由) 的梯度，则通过直接的计 算有 2 f f = r 嚣+ n 衅+ q 砖一n 9 g q ； ( 2 3 ) 霞= e - 2 v ( k 一t ) 2 厶雪= e - r ( r + i i v r i l 2 ) 掣+ 封+ 2 n 口“弧) ，j ；l 因为m j = ( y l ，y j ) ，所以有 因此有 2 ( 协挑) ：= ( 如一r 各弧) = 1 = ( ”玎，t ) 一；( ( 9 t ，) t + ( 9 一，) ，+ ( g o ) t ) = o ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 知，讥) = ”“，觚) = 0 = l ，2 ( 2 6 ) ，= l 1 4 利用( 2 2 ) 式得到 22 2 ( 衄，价= ( y ，一r 各口) = 9 “妇删) ，j = 1 = 1 j = l 2 = 一( ) = 一2 ( 2 7 ) i ，j = l 利用( 2 , 5 ) 和( 2 6 ) 可以得到 ( 厶0 ，矗0 ) = e - 2 r ( ”，a y ) 一4 a ，- ( 2 8 ) 这样利用( 2 2 ) ( 2 4 ) 和( 2 8 ) 可以得到 ( 厶蟊厶口) 一4 露1 ( d 雪，d r ) = n a y ，y ) 一4 k l r ，使得2 = e 7 = 由于z ，i 是等价的，由定义2 1 及定理1 5 知： 存在t o ( 5 ，2 ) 使得i = x t 这样口= e 7 y t 注意到矿= i ( ，a y ) 一4 k l ，扩= i ( 口，口) 一4 露i 经过计算可以得到p = e t p ，因此r = 面= e r p e y t = p y t = y t 1 5 充分性：因为y p 分别是z ，i 的标准提升。所以存在a ，j r o ) ，使得y = a $ ，矿= 妯又因为存在t 0 ( 5 2 ) 使得p = y t ，所以珏= z t ，即i = z ( t ) 因为t 0 ( 5 ，2 ) ，a ， 0 ，所以u = t 0 ( 5 ，2 ) 故= x u ，u 0 ( 5 ，2 ) 由定义 2 1 及定理1 5 知：o ，是共形等价的口 设 e l ，e 2 ) 是耳m ( v pem ) 中的一组基则 e l ( y ) ，e 2 ( y ) ) 是k ( 耳m ) 中的 一组基对任意的函数f ：m - + r ，记只：= e d f ) 则由g = ( d y , d y ) ，得到 令 根据( 2 6 ) 和( 2 7 ) 有 经过简单的计算可得 似，y j ) = g i j ，ls ，j 2 ， ( 2 ，1 0 ) = 一；y i ( a y , a y ) y ( 2 1 1 ) ( y y ) = 0 ，( y ，k ) = 0 ，k = 1 ，2 ( y ，y ) = - 2 ，( a y , 圪) = 0 ，k = l ，2 ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( ，) = 0 ，( ，y ) = 1 ，( ，k ) = 0 ，k = 1 ，2 ( 2 1 4 ) 这样s p a n n ，y ) 上s p a , k y l ，蚝) 令 v = s p a n ( n ，y ) o 舭n m ，k ) ) 1 则v 是啦的正定子空间，使得 r 2 = s p a n g ，y ) os p a n y 1 ，托) o y 称y 是z ：m _ q 3 的法丛 设f 是m 的法丛上的单位向量，则 n ，k ，b ，钉是啦的一个活动标架 1 6 由( 2 1 4 ) 式知 ( e i ( ) ，y ) = n ，e i ( y ) ) = 0 ，及( q ( ) ，n ) = 0 所以 e t ( ) ，y ) 是线性无关的，这样e i ( n ) 就可以由e j ( y ) ( j = 1 ，2 ) ，f 线性表 示不妨设为 ( 2 1 5 ) 现设 2 e j ( 日( y ) ) = a y + 6 + r 0 “( y ) + 丑玎 ， ( 2 1 6 ) = l 则由( 2 1 4 ) 式及( 2 1 5 ) 式，并注意到f 是m 的法丛上的单位向量可以得到 o = ( e ( e t ( 1 ，) ) ，n ) = 一( e ( y ) ，8 j o v ) ) 由( 2 1 0 ) 式及( 2 1 2 ) 式知 ( 2 1 7 ) b = ( 8 j ( e ( y ) ) ，y ) = - ( e i ( y ) ，e j ( y ) ) = 一g i j ( 2 1 8 ) 下面的命题证明了r 嚣是g = ( d y , d y ) 的联络系数 命题2 3 ( 2 1 6 ) 中e i ( y ) 的系数i 、0 就是g = ( d y , d y ) 的联络系数 证明易知r 各关于指标 ，j 是对称的即r 嚣= r 夤，记 f i k j = 纳r b ，( 2 1 9 ) 将( 2 1 6 ) 式的两边同时与e l ( y ) 作内积可得( e i e i ( y ) ，日( y ) ) = f i t j 又因为 q ( 鲫k ) = e e j ( y ) ，钆( y ) ) + ( 8 j ( y ) ，e i “( y ) ) = r h + r ，拈，( 2 2 0 ) 轮换( 2 1 9 ) 的指标可得 e i ( g e i ) = f j 沾+ r “ 1 7 ( 2 2 1 ) fq + y 唧 a 。州 = e v a 一 = k 9 l a 。 一 一一 y 女 e a 。 y 忙 一 = e k ( g o ) = i 幻+ f k i j ( 2 2 2 ) 计算( 2 2 0 ) + ( 2 2 1 ) - ( 2 2 2 ) ，并利用( 2 1 9 ) 可得 r t j i = ；( e t ( 毋- ) + e j ( ) 一e c g , j ) ) ( 2 2 3 ) 所以 1 r = g k t r 嘶= 秒( e i ( 毋 ) + 勺( 蚋) 一e ( 趵) ) ( 2 2 4 ) 用自然坐标表示即为 r 嚣= 矿1k t , 面o g j l + 面o g u o 。g 铆i j ) ( 2 2 5 ) 所以r 就是g = dy ，d y ) 的联络系数口 因此由( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 及命题2 3 可以得到 2 勺( e i ( y ) ) = 一a i j y g t j n + 1 1 各e ( y ) + b 玎f ， ( 2 2 6 ) = l 其中r 嚣是9 。( 。y ，4 y ) 的联络系数，a 甜。军蛐a ； 注意到f 是m 的法丛上的单位向量的事实，并利用( 2 1 5 ) 式和( 2 2 6 ) 式有 ( e ( f ) ，y ) = 一( f ，毛( y ) ) = 0 ， ( e ( ) ，n ) = 一( ，e ( _ ) ) = 一( 已q f ) = 一a ( 日( f ) ，q ( y ) ) = 一( ，e ( 勺( y ) ) ) = 一b 玎 ( e ( f ) ，f ) = 0 因此 2 q ( f ) = 一a y 一b i e j ( y ) ( 2 2 7 ) j = z 其中口；2 莩g 鼠j 这样得到一组方程( 2 - 1 5 ) ，( 2 - 2 6 ) ，( 2 2 7 ) ，称之为曲面的基本方 程 1 8 对( 2 1 5 ) ，( 2 2 6 ) ，( 2 2 7 ) 再微分一次，可以得到曲面的基本方程中系数之间的关 系如下： a 一a 甜= b “伉一鼠t q 日州一b i i 、 = 蜘岱一鲫q ，t q b = ( 4 马一a i b j , ) j 或女= ( 口玎b i 一日让q ) + ( ，畦一a 嘭) + ( a ：一乳 a ；) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) 其中a i j m 鼠j m a ，1 分别是a i j ，置，c i 的协变微分，尉j k 是曲率张量r 的分量， 6 是c h r i s t o f f e l 记号称( 2 2 8 ) 一( 2 3 1 ) 为曲面的结构方程 根据( 2 2 6 ) 可得 m j = 一且玎y 一蜘r + f ，( 2 3 2 ) 所以 a y = g “k j = 一打( a ) y 一2 n + 2 t r ( 口) f ( 2 3 3 ) ， 比较( 2 1 1 ) 和( 2 3 3 ) 可得 打( b ) = o ，打( a ) = 1 ( a y , a y ) ( 2 3 4 ) 在( 2 1 ) 中取y ：= y 得到 由( 2 3 4 ) 及( 2 3 5 ) 知 ( y i a y ) = 4 k + 打( a ) = = ；( 4 k + ) 1 9 ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) 另一方面，根据( 2 2 3 ) 式可得 从而 ( y y ) = ( h 小k 。f ) 9 玎g “= 一( k ，k 出) 9 玎g “ i ，j ， ji , j ，i ，l 一( m ，y k + 硪j h ) 一9 “ i ，j ， 1 ( mj 圪，f ) g “一r _ 2 ：i j 蚍9 玎g “ l ，j k ，l ， k ，j ， ( m 山k 加“g “一2 k l ，j ， ，j 2 t r ( a ) + 9 玎9 “b a b j k 一2 k j k f 根据( 2 3 5 ) 和( 2 3 4 ) 式可得 其中b = i j = l 2 t r ( a ) + g q g “b a b j k = e + 2 k i , j ，i ，l ( b ，且) _ 9 i j g k ! 风= + 2 k - 2 t r ( a ) = 尹1 ( 2 3 7 ) ，j k f 。 b i j w o ， u 1 ，u 2 是 e l ，e 2 ) 的对偶基 3q 3 中的迷向曲面 在这一节中用第二节给出的曲面的基本方程对q 3 中迷向曲面进行分类 定义3 1设。：m _ q 3 是q 3 中的曲面，y 是2 的标准提升，若ai0 且存在m 上的一个连续函数 ，使得4 = 酲，则称曲面。是铲中的迷向曲面 命题3 1 设z ：m - 4 q 3 是q 3 中的速向曲面则定义，1 中的函数 是常 数 证明因为g i0 ，q = a 醒，所以( 2 1 6 ) 式可以写成e ( ) = a e ( y ) ，即 d = a d y ( 3 1 ) 外微分( 3 1 ) 式可得d a a d y = 0 ，从而d a a d y ( e l ，e 2 ) = e l ( ) e 2 ( y ) 一e 2 ( ) e 1 ( y ) = 0 ， 注意到t e l ( y ) ，e 2 ( y ) ) 线性无关。所以e 1 ( ) = e 2 ( ) = 0 ，即d a = 0 ，故a 为常数 口 由( 2 3 3 ) 式可得 打( a ) = 一( y ) = ；( a y , a y ) + ；( r y ) r y ) = i 1 忙+ 4 ) 因为a i = a 群，所以打( a ) = 2 a ，从而a = ；瞳+ 4 k )