（概率论与数理统计专业论文）几类微分系统的极限环分支及不稳定性.pdf

中南大学硕士学位论文摘要 摘要 本论文主要研究了几类平面多项式微分的中心焦点判定与极限 环分支及稳定性问题，全文由三章组成。 在第一章，我们对平面多项式微分系统的中心焦点判定、极限环 分支及稳定性问题的历史背景及研究现状进行了概述。 在第二章，我们研究了一类拟五次系统的中心条件与极限环分支 问题。通过将拟解析系统转化为复系统研究，给出了计算原点奇点量 的递推公式，并在计算机上用m a t h e m a t i c a 推导出该系统原点的前 3 6 个奇点量，进一步推导出原点成为中心的条件和3 6 阶细焦点的条 件，得到了这类拟五次系统的原点可以扰动出4 个小振幅的极限环的 一个实例。 在第三章，我们在非线性缓变系统的渐近稳定性及四阶变系数线 性不稳定性基础上，讨论了一类四阶非线性微分方程的不稳定性问 题。 关键词：拟五次系统，中心焦点，极限环，运动稳定性理论，非 线性微分方程 中南大学硕士学位论文 摘要 a bs t r a c t t h i st h e s i si sd e v o t e dt ot h ep r o b l e m so ft h ec e n t e rc o n d i t i o n s ， b i f u r c a t i o no fl i m i tc y c l e sa n di n s t a b i l i t yf o rs o m ep l a n a rp o l y n o m i a l d i f f e r e n t i a ls y s t e m s i ti sc o m p o s e do ft h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，t h eh i s t o r i c a lb a c k g r o u n da n dt h ep r e s e n tp r o g r e s so f p r o b l e ma b o u tc e n t e rc o n d i t i o n s ，b i f u r c a t i o n o fl i m i tc y c l e sa n dt h e s t a b i l i t yo fp l a n a rp o l y n o m i a ld i f f e r e n t i a ls y s t e mw e r ei n t r o d u c e da n d s u m m a r i z e d i nc h a p t e r2 ，c e n t e rc o n d i t i o na n db i f u r c a t i o no fl i m i tc y c l e so fq u a s i l u i n t i cs 3 w e r ei n v e s t i g a t e d b yc o n v e r t i n gqanalquintic s y s t e mw e r ei n v e s t l g a t e db yc o n v e r t m gq u a s ia n a l y s i ss y s t e m i n t oc o m p l e xs y s t e m ，t h er e c u r s i o nf o r m u l af o rc o m p u t a t i o no fs i n g u l a r p o i n tq u a n t i t i e s w e r eg i v e n ，a n d ，w i t hc o m p u t e r a l g e b r as y s t e m m a t h e m a t i c a ，t h ef i r s t3 6s i n g u l a rp o i n tq u a n t i t i e sw e r ed e d u c e d a tt h e s a m et i m e ，t h ec o n d i t i o nf o rt h eo r i g i nt ob eac e n t e ra n d3 6d e g r e ef i n e f o c u sw e r ed e r i v e dr e s p e c t i v e l y aq u a s iq u i n t i cs y s t e mt h a tb i f u r c a t e d4 l i m i tc y c l e sa tt h eo r i g i nw a so b t a i n e d i nc h a p t e r3 ，b a s eo nt h e o r yo ft h ea s y m p t o t i cs t a b i l i t yo fn o n l i n e a r s l o w l yc h a n g i n gs y s t e ma n dt h et h e o r yo fi n s t a b i l i t yo fs o l u t i o nf o rt h e f o u r t ho r d e rl i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hv a r i e dc o e f f i c i e n t ，w eh a v e d i s c u s s e di n s t a b i l i t yo fs o l u t i o nf o rac l a s so ft h ef o u r t ho r d e rn o n l i n e a r d i f f e r e n t i a le q u a t i o n 1 1 k e yw o r d s ：q u a s iq u i n t i cs y s t e m ，c e n t e r - f o c u s ，b i f u r c a t i o no fl i m i t c y c l e ，m o t i v es t a b i l i t yt h e o r y , n o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n l l i 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料与我共同 工作的同志对本研究所作的贡献均已在在论文中作了明确的说明 作者签名：盗查望至日期：二塑堕年月二日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论 文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文； 学校可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文 日期：年卫月互e t 中南大学硕士学位论文 第一章前言 求解微分方程一直是数学分析最重要的内容之一。力学、物理学和几何学的 需要促使微分方程的研究突飞猛进，随着研究的扩展和深入，人们遗憾地发现可 以解析求解的常微分方程类型甚少。法国数学家庞加莱( j h p o i n c a r 6 ，1 8 5 4 1 9 1 2 ) 顺应科学发展趋势在微分方程的求解过程中引入定性思想，破了原有的微 分方程求解的思维束缚，是微分方程研究历史上的一次重大飞跃。在定性理论研 究基础上，俄国数学家李雅普诺夫( a m l i a p u n o v ，1 8 5 4 1 9 1 8 ) 开创了常微分方 程稳定性理论亦称运动稳定性理论，在具体问题的研究中进一步完善和发展 了定性理论。 1 1 多项式微分自治系统的极限环 极限环问题的研究，在常微分方程定性理论中扮演了一个重要的角色。著名 数学家h i l b e r t 于1 9 0 0 年在国际数学家大会上提出了二十三个影响数学发展的 数学难题，其中著名的h i l b e r t 第十六个问题( 见文 卜2 ) 是迄今为止仅有的 少数几个尚未解决的问题之一。h i l b e r t 第十六个问题的后一半就是：给定微分 方程 - - d r ：只似y ) ， d td 出y = q k 力 其中只，q 是x , y 的次数不高于以的实系数多项式。这类方程最多有多少个极限 环，当达到最大数目时它们的相对位置如何? 这个问题一直吸引着众多数学工作 者的关注，其困难程度也一直困扰着人们。为了解决这一难题，已出现了大量的 研究论文，也产生了大量的研究方法与优秀的成果，在很大程度上促进了定性理 论的发展( 见 3 ) 。我国数学工作者在这一问题上的成果是最具代表性的，如对 刀至2 的情形，有文 4 6 对于n 耋3 的情形，上世纪八十年代以前的结果很 少，较好的结果属于法国数学家d u l a c 7 在1 9 2 3 年得到的极限环有限性定理， 但其证明有错，后经1 1 y a s h e n k o 和e c a l l e 修订。八十年代后，这方面的工 作取得了很大的进展若用以曲表示刀次多项式系统能达到的极限环的最大个 中南大学硕士学位论文 数，则史松龄得到日( 2 ) 4 ；李继彬、黄其明( 见文 8 ) 得到日( 3 ) l l ；郁培、 韩茂安( 文 9 ) 得至l j h ( 3 ) 1 2 ，在此基础上，刘一戎、黄文韬( 文 1 0 ) 由两 个细焦点扰动也得到日( 3 ) 1 2 。这是到目前为止关于三次系统最好的结果对高 于三次的系统，杜超雄( 见文 1 1 ) 得到了以4 ) 至 1 5 。p e iy u ( 见文 1 2 ) 在2 0 0 5 年的浙江举行的微分方程分支理论和动力系统国际数学大会上又阐述了 对于日o ) 的研究近况： 日( 2 ) 4 ，h ( 3 ) - 1 2 ，h ( 4 ) 1 5 = 4 2 - 1 ： h ( 5 ) - 2 4 = 5 2 - 1 ( l i ，c h a n & c h u n g ，2 0 0 2 ) ： h ( 6 ) - 6 2 - 1 ( w a n g & y u ，2 0 0 5 ) ： h ( 7 ) - 4 9 = 7 2 ( l i & z h a n g ，2 0 0 4 ) ： h ( 9 ) = 9 2 - 1 ( w a n g ，y u & l i ，2 0 0 6 ) ： h ( 1 1 ) - 1 2 1 = 1 1 2 ( w a n g & y u ，s u b m i t t e df o rp u b l i c a t i o n ) ： 上述结果除了h ( 2 ) - 4 ，h ( 3 ) - 1 2 ，h ( 5 ) - 2 4 已正式刊出外，其他结论可能还在 研究中。著名的数学家s s m a l e ( 则： 1 3 ) 认为对于日( 刀) 的研究可能是h i l b e r t 。问题中最难解决的一个。虽然多项式系统到底有多少个极限环的研究十分复杂， 但近些年来好的结果层出不穷。本文试图研究一类拟解析系统的单个焦点分支出 的极限环问题。 1 2 拟解析系统的研究背景和近况 平面多项式系统的h o p f 分支问题，文 4 7 及文 3 里均有详细的介绍。研究 这个问题的方法很多，大体上有p o i n c a r 6 后继函数法、l i y a p u n o v 常数法、正 规型法等。无论用哪种方法，都涉及到焦点量或l i y a p u n o v 常数的计算。而传统 的算法费力不讨好，牵涉到大量的计算和解方程组，所以有不少数学工作者在不 断探求新的算法。国内对这个问题的研究成果很多，较典型的有：刘尊全、秦朝 斌( 见文 1 4 ，1 5 ) 和秦元勋、刘尊全( 见文 1 6 ) 用计算机推导了焦点量的公 2 中南大学硕士学位论文 式；杜乃林，曾宪武( 见文 1 7 ) 、c h a v a r r i g a ( 见文1 ：1 8 ) 等也相继地研究了 上述问题；刘一戎、陈海波( 见文 1 9 ) 利用代数等价的形式得出了一套计算公 式，只需以系统的系数为符号进行有限次的加减乘除四则运算，避免了经典方法 中复杂的积分与解方程运算，它是目前计算奇点量较好的运算公式之一。计算机 性能的提高和计算机公式的不断简化，为极限环分支问题的研究提供了物质基 础，随着不断深入的研究，分支理论将会更加完善。刘一戎( 见文 2 0 ) 研究了 拟二次系统的广义焦点量与极限环分支，得到了由原点扰动出四个小振幅极限环 的实例，同时给出了它们的具体位置，并给出了由原点扰动出五个小振幅极限环 的充分条件。由于该类系统的复杂性，这方面的成果较少。本文在此基础上得到 启发，研究了一类拟五次系统的极限环分支，给出了该系统在原点分支出4 个小 振幅的极限环的实例。 1 3 稳定性理论：定性理论的延伸和发展 为了解决太阳系的稳定性的问题，人们已付出了2 0 0 年的努力，但一直缺乏 严格的定义和完整的理论体系。1 8 8 5 年，庞加莱在第三篇论文中首次讨论了微分 方程解的稳定性。他创立了定性理论一个重要动机就是处理了太阳系的稳定性的 问题，同时他还研究了其他类型的稳定性，得到了许多重要的结果。1 9 世纪末， 李雅普诺夫首次建立了关于稳定性完整的一般数学理论，使稳定性理论真正确立 起来，并获得了系统的发展。 稳定性是微分方程研究中的一个基本概念，早在古代就已经产生。到1 9 世纪 末，一些学者用不同的方法从一般概念出发，研究了稳定性理论的基本问题，但 在分析扰动运动时没有注意到高阶项的影响。李雅普诺夫的稳定性理论是处于纯 定性与纯解析问题的中间地位，问题的提法是纯定性的，而解往往化为解析问题 来求解。起初，关于力学系统的稳定性理论同庞加莱更一般的思想相比并没有太 多引人瞩目之处，只被认为是庞加莱工作的重要补充。事实上，李雅普诺夫在定 性理论的基础上重新引入了定量分析，不但进一步完善了定性理论，同时也令稳 定性理论取得许多可贵的研究成果。 1 8 9 2 年，李雅普诺夫发表了博士论文运动稳定性的一般问题，将庞加莱 关于奇点附近积分曲线随时间变化的定性研究发展到高维一般情形，开创了常微 3 中南大学硕士学位论文 分方程稳定性理论这一新分支，李雅普诺夫的论文包含了众多的新思想、新结果， 整个稳定性理论的历史也是由此划分为前李雅普诺夫时期和后李雅普诺夫时期。 在实际问题中，干扰性因素总是不可避免的，因此稳定性理论的研究有很重 要的理论意义和实用价值，这也是稳定性理论蓬勃发展的原因。， 李雅普诺夫首先给出了常微分方程解的稳定性的严格定义( 称为“李雅普诺 夫意义的稳定性) ： 如果对任何正数，无论它多么小，可以选取另一个正数r ( c ) ，使得对于所 有受干扰的运动，当其在初始时刻t 。时满足： i ( 气) i r l o = 1 , 2 ，以) ， 而在所有t t 。时满足不等式： i ( f ) is s o = 1 , 2 ，靠) ， 则鱼d t = 五( f ，五，屯9 * b 9 毛) 的未被扰动运动( 即毛= o ，s = l ，2 ，z ) 是稳定的；反 之，则称未被扰动运动是不稳定的。 这个定义简单有力，既反映了深刻的物理本质，又是严格的数学含义，极大 地推广了不动点或平衡解的稳定性定义，成为更严格、更自然的定义。 接着，他又给出了两种解题方法：( 1 ) 幂级数展开法，适用于已知扰动运 动方程一个明确解( 通常为无穷级数的形式) 的情形。( 2 ) 李雅普诺夫直接方 法，即李雅普诺夫第二方法，至今它仍是解决稳定性问题的主要工具。这种方法 不用寻求运动方程的特解与通解，只要结合实际的物理背景，构造一类具有特殊 性质的李雅普诺夫函数r ( x ，x ：，) ，利用它控制积分曲线的运动，从而解决未 被扰动运动的稳定性问题( 见文 2 1 ) 。 本文利用李雅普诺夫第二方法，给出了一个至少有一个特征根具有正实部的 四阶非线性微分方程解的不稳定性的充分条件。 1 4 本文的主要工作 本文研究了一类拟五次系统的极限环分支，得到了该系统存在4 个极限环的 4 中南大学硕士学位论文 前言 结论，其焦点量的表示相当复杂，但极限环的存在性的证明过程里避免了近似计 算。并给出了扰动的实际例子。本文还在非线性缓变系统的渐近稳定性理论( 见 文 2 2 ) 和四阶变系数线性微分方程的不稳定性的理论( 见文 2 3 ) 基础上，讨 论了二类四阶非线性微分方程解的不稳定性。1 5 中南大学硕士学位论文 第二章 第二章一类拟五次系统的广义焦点量与极限环分支 2 1 引言 平面多项式系统中心焦点的判定是常微分方程定性分析中的核心问题之一， 在多项式微分系统的实平面定性与分支理论中，无论中, b - 焦点的判定还是分支 问题的处理，或有鞍点分界线环扰动出极限环的问题，都涉及到焦点量或鞍点量 的计算。刘一戎在文( 2 4 ，2 5 ) 中将焦点量或鞍点量的计算在复系统中统一成为 奇点量的计算，并在此基础上得到一系列的代数递推公式。由单个奇点扰动出极 限环的问题，目前已经有了相当丰富的成果( 见文 3 ，5 ，2 6 ，2 7 3 ) 。2 0 0 2 年，刘一 戎 见文 2 0 研究了拟二次系统，得到了由原点扰动出四个小振幅的极限环的实 例，同时给出了它们的具体位置，并给出了由原点扰动出五个小振幅的极限环的 充分条件。 本章将用文 2 4 中的基本理论和思想方法研究下面一类拟解析系统： 这里，孝，7 ，丁为复变量，诸锄，为复系数，万与名为实数，且五o 。首先通过 适当的变换将拟解析系统的原点( 或无穷远点) 转化为等价的解析系统的原点，并 计算了原点的前3 6 个奇点量，从而导出了原点成为中心与最高阶细焦点的条件， 给出了该系统在原点分支出4 个小振幅的极限环的实例。 2 2 预备知识 如果系统( 2 1 1 ) 右端系统满足共轭条件，即 其中a s o , a 3 2 ，a 2 3 ，a 0 5 ，b 5 0 ，b 3 2 ，b 2 3 ，b 0 5 均为实数，则系统( 2 1 1 ) 可经变换 6 鼬 伽 “ 3 叶， p 卿 驼 纠 胁 怕 擎。蚺 鲥 玩 、i ， 7於勃渤噌 “ 卜 舶沏 以洒 -叫 h 七 蟛万塑刀 d 幺亿 跚跚 + 一 如缸 = l i 邸跏跚鳓 + 一 如如 = = 劬助魄 + 一 如如 = | l 和助 瓯 + 一 如如 = = 鲫铷 ，、 中南大学硕士学位论文 第二章 孝= 工+ i y ，r l = x - i y ，t = i t ，i = 一1 化为一类实平面微分自治系统 l 害= ( 7 + + ( x 2 + y 2 ) 2 厶q 墨似j ，) ， 喙d y = ( h 咖) + ( x 2 + y 2 ) 2 ( 纠呶五 茸中 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 墨( 工，y ) = ( 曰+ 马2 + b 0 5 ) x + ( 5 彳如一4 2 5 彳0 5 ) 工4 y + ( 一1 0 曰+ 2 8 3 2 + 1 0 8 0 5 ) x 3 y 2 + ( 1 0 a 一2 彳3 2 + 1 0 么0 5 ) z 2 y 3 + ( 一5 如+ 如+ 5 如) 砂4 + ( 一a s o a 3 2 + 如5 ) y 5 ， r 99d 、 e ( x ，y ) = ( 么5 0 + 彳3 2 + 4 0 5 ) x 5 + ( 一5 曰5 0 + 马2 + 5 风5 ) x 4 y + 、 一。 ( 1 0 彳5 0 一2 4 2 一l o 彳) x y 2 + ( 一1 0 b 如+ 2 8 3 2 + 1 0 8 0 5 ) z 2 y 3 + ( 5 罗一b 3 2 5 曰0 5 ) x y 4 + ( b 5 0 + 马2 一b 0 5 ) y 5 系统( 2 1 1 ) 经变换 化为 容易验证 考= r l 。l e i o , r 2r i z e 一暑 办 = a t d o 8 + r 2 h ( e 阳，p 一旧) l + r 2 9 ( ( e w , e 叫一) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 心：，e - i ，0 口) = c o s o x s ( c o s 0 商即s m 睨( c o s o , s i n o ) , ( 2 2 7 ) 【g ( e 坩，g 枷) = c o s ( c o s o ，s i n 0 ) - s i n o x 5 ( c o s 0 ，s i n o ) _ 一 显然，方程( 2 2 6 ) 亦可由系统( 2 2 3 ) 经变换 x = ，1 馆c o s o ，y = ，1 ms i n o ( 2 2 8 ) 得到。值得注意的是，在系统( 2 2 3 ) 中，当旯= 1 时，系统可化为系统： 五“y ) ，匕( x ，y ) 是关于x ，y 的齐k 次多项式，但一般而言，当兄不是奇数时，系 统( 2 2 3 ) 右端函数是非解析的。 7 乙 q y 胁 5 r 五 如 l e 、， + 鳓 卅 “ 旁 7 n = = 出一班咖一出 中南大学硕士学位论文 第二章 化为 系统( 2 2 9 ) 变换 三三 x - - r 2c o s 0 ，y 2 r 1s i n o ( 2 2 1 0 ) 历dr=厂瓦万+巧r2h丽(eio,e-i口)，(22111 )一= r 、 d 9 。 + ，2 9 ( ( e 徊，e 一徊) 7 其中 + h ( e l 一，e - 拼口) = c o s a x ，5 ( c o s 0 s i n 印+ s i n o 要j ( c o s o , s i n 0 1 ， ( 2 2 1 2 ) 【g ( p 谚，口。口) = c o s 瓯( c o s 0 ，s i n o ) 一s i n 0 2 5 ( c o s o ，s i n o ) 诤一。 方程( 2 2 3 ) 与系统( 2 2 9 ) 在极坐标x = ，c o s 秒，y = r s i l l 0 下所对应的方程其 右端函数只差“见 倍，对( 2 2 3 ) 的研究可以参照系统( 2 2 9 ) 的结果进行。 2 3 系统的广义焦点量 对充分小的局，当同4 万时方程( 2 2 1 1 ) 满足初值条件， 如。= 的解可表为 收敛的幂级数 ，= ，( 秒，) = v 。( 护) 求， ( 2 3 1 ) k = l 其中 h ( d = e , i 。5 0 ，咋( o ) = 0 ，k = 2 ，3 ， 引理2 3 1 ( 见文 2 4 ) 对任一正整数历，圪。( 2 万) 有 味2 力= 盥盟型鬻茅地， ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) 其中掣，靠，旁1 是关于 ，。协) ，v 2 ( 万) ，v 2 m ( 万) 以及h ( 2 万) ，v 2 ( 2 z ) ， y 2 m ( 2 万) 这4 m 个元素的有理系数多项式。 系统( 2 1 1 ) 经变换 丝一2 - 2 丝2 2 z = 善4r 4 ，w = r 4f 4 化为一类九次多项式微分自治系统 ( 2 3 4 ) 中南大学硕士学位论文 第二章 嘉= o 等一争5 z s 哮呜+ 幽鳢4 垫耵 一等耵等训= z ( z 等_ o + 等肼等业等船一型学呜 。等彬一等彬= 阮叼 由变换( 2 2 5 ) 与变换( 2 3 4 ) 得 z = r l 2 e i ow 2r l 2 e 一咿， ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) 障：堕堕霉生生坐垫趔：一y + ! 五蠡+ j | l 砒 盏：! 堡遗墨垫坚二翌! ：二k 咖 ( 2 3 8 ) a 3 2 , b 3 2 ，a ，a 0 5 k ，口5 0 3 口2 ，蝙3 2 ( 2 3 1 0 ) 使得 m ( z ，w ) = 1 + 锄z 口矿 ( 2 3 1 1 ) a + f l = 2 9 中南大学硕士学位论文 第二章 t a ( m z ) 一挈= 薹( 川) 以( 驯) 4 ( 2 3 1 2 ) 其中心是系统( 2 3 5 ) 原点的第m 个奇点量，且4 。+ 。= 。+ 2 = 。辨+ 3 = o ， m = 0 ，1 ，2 ， 由 文2 5 中的讨论，如果系统( 2 1 1 ) 的右端系统满足共轭条件，则对任一 正整数m ，系统( 2 3 8 ) 跚用p o i n c a r 6 形式级数法求得的原点的第m 个焦点量 砭辨+ i 与以有关系吒肿“一班。此外，如果z , w , t 为实变量，名，艿，a s o , k ，a 3 ：， 6 3 ：，a 2 3 , 6 2 3 ，a o ，b o $ 为互相独立的实数，则。即为系统( 2 3 5 ) 艿：。原点的第m 个鞍点 量。仿 文2 4 中的定理3 1 可证 定理2 3 1 当万= 0 时，系统( 2 1 1 ) 的广义焦点量与( 2 3 5 ) 原点的奇点 量有下列关系屹删( 2 万) 一2 i 死f f 4 。，即v 3 ( 2 n ) = 2 i 死f 1 4 ，且对任一大于l 正整数m ， 存在关于兄，a 3 ：，岛2 ，a 2 3 ，红3 ，a 0 5 ，b 0 5 的多项式爵，嚣，露叫，使得 屹。+ i ( 2 万) = 掣以+ 藓以+ + 舅一p 4 。- 4 + 2 i 死f 1 4 ， ( 2 3 1 3 ) 根据引理2 3 3 及奇点量结构定理，推导与化简奇点量公式，得 定理2 3 2 当万= 0 时，系统( 2 3 5 ) 原点的前3 6 个奇点量为 一= 鸬= 鸬= o ，, u 4 = 詈( 一魄2 ) ， , u s = 心= 鸬= 0 ，飓= 0 ， 玛= , t h o = 一i = 0 ，, t h 2 = 0 ， 以3 = h 4 = 以j = o , f i 6 = o ， h 7 = 肛82 1 1 9 = 0 ， 如2 壶五( 名一4 ) ( 名+ 1 ) ( 2 2 3 ) ( 吒2 5 ( 1 3 一2 5 3 ) ， 鹧i = 如= 彪= o ， 如2 赢2 ( - 2 0 2 2 + 5 2 + 7 8 ) ( a 3 2 + 6 3 2 ) ( 稚3 一珑2 幽3 ) ， 如= 魄= 砌= 0 ， 拽：5 2 1 , 1 8 2 1 0 8 0 8 a o s b o s 2 3 遄2 ， 。“ 6 6 0 8 3 3 8 0 0 7 0 4 挣= 户蛐= 飓l = 0 ，鸽2 = 0 ， 鸬3 = 段= 鸬5 = 0 ， l o 中南大学硕士学位论文第二章 其中 心= 一芴孤石药磊秀丽毛口如2 2l23_蛞23z ；z j ” 心2 一芴孤石药磊再五历瓣如口如l _ ”。 = ( 一1 4 8 8 + 1 2 6 5 2 + 9 4 0 2 2 ) ， ，2 = ( 3 0 2 3 3 7 6 6 - 1 4 1 1 0 4 4 0 2 + 3 1 4 5 5 2 2 ) ， 毛= ( 3 6 7 9 9 5 0 1 1 2 0 6 2 9 5 4 8 2 7 6 5 2 - 4 1 5 3 1 5 4 4 2 4 5 4 7 1 9 9 2 5 5 9 0 1 a + 2 0 8 0 4 6 9 1 5 0 7 9 7 3 0 1 3 3 2 7 9 2 2 ) 在上述段的表达式中已置雎= a = = 段一l = o ，k = 2 ，j _ ，3 一，3 6 2 4 系统的可积性条件 定理2 4 1 当万= 0 ，名= 0 时，系统( 2 3 5 ) 有通积分驯= c o n s t 。 定理2 4 2 当万= 0 ，五0 时，系统( 2 3 5 ) 原点的前3 6 个奇点量全部为 零的充要条件是下列条件之一成立 条件i a 弛= b 3 2 , 口0 5 2 口鼬3 = 6 磊6 未； 条件i i 条件 条件 条件i 条件 条件+ a = 一l ，a 3 2 = 6 3 2 = o ，a s o = a 0 5 = o ； 五= 一1 ，a 3 2 - - b 3 2 = o ，= = 0 ； 名= 4 ，a 3 2 = 岛2 = 0 ，a s o = = o ； z = 4 ，a 3 2 = = o ，6 5 0 = k = 0 ； 名= 主，口3 2 = 岛：= o ，= = o ； a = 三，口3 2 = = o ，= 6 0 5 = o ； 定理2 4 3 当万= 0 时，如果定理2 4 2 中的条件i 成立，则系统( 2 3 5 ) 的右端函数满足广义对称原理的条件，从而原点的奇点量全部为零。 定理2 4 4 当万= 0 时，如果定理2 4 2 中的条件i i 或i i 成立，则系统( 2 3 5 ) 有积分因子 ( 刎_ 1 le x p 三k ，矿一言矿】； 定理2 4 5 当万= o 时，如果定理2 4 2 中的条件或+ 成立，则系统( 2 3 5 ) 有积分因子 中南大学硕士学位论文第二章 ( 刎一竽e x p 7 一沁7 w 】 ( 刎3 一扣删7 一言6 0 5 z 7 w 】 定理2 4 6 当万= 0 时，如果定理2 4 2 中的条件i 或条件m + 成立，则系统 ( 2 3 5 ) 可积。 证明当万= 0 时，不妨假设定理2 4 2 中的条件i 成立，则系统( 2 3 5 ) 化为 化为 化为 系统( 2 4 1 ) 经变换 孝= z 7 w , r l = z 2 w 6 等讽乒5 饷 名= - 4 r l l o b 0 5 勿一l o b , 。7 7 2 d r “。” 系统( 2 4 3 ) 经变换 x = 1 1 ，y = 孝，t = - 4 丁， 鲁删 k z + 产5 b 力 面d y 叫沁+ 扣) 引理4 1 ( 见文 2 8 ) 对系统： 害叫1 + 锻瑚 老叫m “+ 砂) ( 2 4 2 ) ( 2 4 3 ) ( 2 4 4 ) ( 2 4 5 ) 若兄q 并且! + 兄：ken ，2sj | 名+ 1 则该系统是可积的。由此可知，系统 口 ( 2 3 5 ) 可积；同理证定理2 4 2 中的条件i i i + 成立时，系统( 2 3 5 ) 可积。 由定理2 4 2 至定理2 4 6 得： 1 2 沁 。 铲 3 2 魄 一 1 2 j i 、k 叭 8 甄 z 色 力 k 3 2 ，1 2 卜 一： w 弘 一 中南大学硕士学位论文第二章 定理2 4 7 当万= 0 ，旯0 时，系统( 2 3 5 ) 原点所有的奇点量全部为零， 当且仅当原点的前3 6 个奇点量全部为零，即定理2 4 2 中的7 组条件至少有一 组成立。 推论2 4 1 如果系统( 2 3 5 ) 的右端函数的系数满足共轭条件( 2 2 1 ) ，当 万= 0 ，允0 时，系统( 2 3 5 ) 原点所有的奇点量全部为零，当且仅当定理2 4 2 中的条件i 成立。 2 5 高阶细奇点的条件 由定理2 3 1 得： 定理2 5 1 当万= 0 时，系统( 2 3 5 ) 原点为3 6 阶细临界型奇点( 即 肛= 鸬= = 3 5 = 0 ，3 6 o ) 的充分必要条件是 名= 4 ，a 3 2 = 2 j 3 2 = 0 ， 2 0 6 8 a 0 5 k = 2 9 1 9 a 5 0 b s o ， a s o b ，。g 志口未一2 ，口如3 ) o ( 2 5 1 ) 定理2 5 2 当万= 0 时，系统( 2 3 5 ) 原点为2 8 阶细临界型奇点的充分必要 条件是 五= 4 , a s 2 = ，b 3 2 = o , ( 2 0 6 8 at , o - 2 9 1 9 a 6 5 。如。2 ，口如3 一酝磅) 0 ( 2 5 2 ) ，5 0 6 5 。如。，口5 0 一酝磅) 一一7 2 6 极限环分支 一在研究系统的分支之前，不妨先介绍所采用的研究方法。 引理2 6 1 系统( 2 3 8 ) 在极坐标石= r c o s o ，j ，= r s i n o 下适合初值条件 r o _ - o = j l 的解与p o i n c a r 6 后继函数分别为 ( 怖) 2 奎( 口，占) n( 2 6 1 ) a ( h ，占) = ，( 2 万，h ，s ) 一五 对充分小的五，占，如果h = h ( 6 ) 是a ( h ，占) 的一个零点，则| l = 一，( 石，矗( g ) ，g ) 也是 a ( h ，占) 的个零点，从而在实数域内a ( h ，占) 的正负零点成对出现。 基本条件2 6 i 存在自然数，m 和一串与占无关的九，a ，丸，使得 中南大学硕士学位论文第二章 h ( 2 邓) 一l = 九一州+ d ( 一州) ； ( 2 叩) = 五一州+ d ( 砂州) ，k = i ，2 州3 ”，m ， 其中乇，l ，乙_ 是正整数，= o ，以o ，且屹。啪+ 。( 2 万，s ) = d ( ) = l ，2 ) 定义2 6 1 称l ( ，占) 为系统( 2 3 8 ) 的弱分支函数，其中 工( ，s ) = 五h 雏 ( 2 6 2 ) k = o 引理2 6 2 如果基本条件2 6 1 成立，且存在一个正数d ，使得在( 2 6 2 ) 式中有= ( m - k ) d ( k = l ，2 ，m ) ，而五叩2 又有m 个相异的正零点 r = r l ，仉，则当o g “1 时，l ( h ，占) 恰有m 个正零点魂( 占) = 仉7 2 + d ( 一胆) a 相应地，系统( 2 3 8 ) 在原点充分小的领域内恰有m 个极限环，其位置分别在圆 x 2 + y 2 = 诉2 ( k = l ，2 ，m ) 附近。、 。 定理2 6 i 假定共轭条件( 2 2 i ) 成立，且 万= 一鱼4 s 1 8 ； 五= 4 + 12 4 0 s k l 0 8 5 一1 2 5 ( 8 5 1 + 2 、1 9 4 9 0 9 0j ，。一、 口3 2 = 等；铲二竖4 ； 2 - + z1 46 2 0 4 k 8 4 ； 2 6 3 纠十郦6 2 0 4 k 厕i 4 8 4 ) j ； 口0 5 _ 1 + f 总；6 0 s = 1 - i 陋1 0 3 4 其中占是小参数，哎，l q 。，k 是适当选取的常数。如果 砒、：乇+ 毛矗兰竺! ! ! 竺竺坚! ：三! ! ! 兰! ! ! 竺! 妒(26k 4 ) g ( j 1 1 ) 2 毛+ 2 h 2 + q 。 1 0 + 与| 1 1 1 4 + j i i j 未舌i 石；芝_ j l l l 8 2 4 有4 个相异的正零点 ，鬼，则当占= 0 时，系统( 2 3 8 ) 的原点为3 6 阶细 焦点，而当0 l d i 时系统( 2 3 8 ) 在原点充分小的邻域内恰有4 个小振幅的极 1 4 中南大学硕士学位论文第二章 限环，其位置分别在圆x 2 + y 2 = h 噍附近，k = l ，2 ，4 证明由定理2 3 1 和定理2 3 2 ，当( 2 6 3 ) 式成立时 由v i ( 2 ，r ) = e 2 枷得 m ( 2 万) 一1 = _ 2 砜一8 + 。( 占1 8 ) 由吃。+ l ( 2 万) 2 f 戳。得 v 3 ( 2 1 t ) = - 2 k 2 1 苫1 6 + 。( ) ， 吩( 2 石) = 。( 占h ) ，吻( 2 万) = 。( 9 1 2 ) ，岣( 2 刀) = 。( s l o ) ， m 。( 2 t ) = - 2 1 q 。腮8 + 。( 占8 ) ，m ，( 2 1 ) - - 。( ) ， v 1 5 ( 2 万) = - 2 毛昭4 + 。( 一) ，m ，( 2 力r ) - - 。( 占2 ) ， “9 1 11 9 3 1 0 9 9 l8 5 l + 2 4 1 9 4 9 0 9 0l h ，( 2 万) = 勘i 赢杀丙r _ + 。( 1 ) ， ( 2 6 5 ) 一 ( 2 6 6 ) 由引理2 3 1 ，( 2 6 5 ) 及( 2 6 6 ) 式，当= 砌时，方程( 2 2 6 ) 的后继函 数为 r ( 2 7 r ，| j l s ) 一h s = 2 a h s l 9 9 ( | | i ) + d ( g 9 ) ( 2 6 7 ) 由( 2 6 7 ) 式，当0 h “l 时后继函数，( 2 万，) 一r o 恰有4 个充分小的正零点 r o = ( 占( 吃+ d ( ，k = l ，2 ，4 再由变换( 2 3 9 ) 即得所欲证。 中南大学硕士学位论文。第三章 第三章一类四阶非线性微分方程解的不稳定性 3 1 引言 考虑方程： ；+ 口( f ) ；+ 6 ( f ) ；+ c ( f ) 二+ d ( t ) x = ( f ；工，二，；，；) ( 3 1 1 ) 其中口( f ) ，6 ( f ) ，c ( f ) ，d ( f ) 是t 的连续函数，f ( t ；x ，x ，石，曲是f ，x ，x ，x , x 的关于 x , x ，x , x 的非线性实连续函数。 其等价系统为： x 2 五，鲁2 而，鲁2 毛，鲁2 孙- ( 3 1 2 ) a 出x , = - d ( t ) x a c ( f ) 而一6 ( f ) 弓一口( f ) 墨+ 饨；z i 王) 假设其对应的线性微分方程组： t ，鲁，鲁弘，鲁，( 3 1 3 ) 鲁一加) j l 吖( ，) j z 。( ，) j ，_ 口( f ) 雌1 “一卜 一a ( t ) = 五( f ) + 名2 0 ) + 以o ) + 2 4 0 ) b ( t ) = 3 a ( t ) a 2 ( t ) + _ a ( t ) a 3 ( t ) + a t ( t ) 2 4 ( f ) + 如( t ) a 3 ( t ) + 如( f ) 以o ) + ( 0 2 4 ( f ) 1 6 中南大学硕士学位论文第三章 - c ( t ) = ( f ) 如( f ) 如( f ) + 五( f ) 五( f ) 以( f ) + 如( t ) a 3 ( t ) 2 4 ( f ) + a ( f ) ( f ) 以( f ) d ( f ) = ( f ) 五0 ) 五( f ) 以( f ) 记：一一 a ( t ) = 口( f ) 跃f ) c ( ) d ( f ) 一c 2 ) d ( f ) 一a 2 ( f ) d 2 ( f ) ( 3 1 6 ) 将( 3 1 5 ) 式代入( 3 1 6 ) 式，整理得： ( t ) = k ( t ) k ( t ) k ( t ) k ( t ) 【九。( t ) + 九：( t ) 【九，( t ) + k ( t ) 队，( t ) + k ( t ) 【九。( t ) 峨。( t ) 【九：( t ) 十k ( t ) 队( t ) 饥( t ) ( 3 1 7 ) 根据巴尔巴欣公式( 见文 2 2 ) 取： v ( t ：x i ，x 2 ，x 3 ，】【4 ) = v l i ( t ) x x z + v 1 2 ( t ) x i x 2 + v t 3 ( t ) x ix 3 + v 1 4 ( t ) x lx 4 + v 毖( t ) x 2 z + v 2 3 ( t ) x 2 x 3 + v 2 4 ( t ) x 2