（概率论与数理统计专业论文）随机控制和对策理论中的一些倒向问题.pdf

山东大学博士学位论文 随机控制和对策中的一些倒向问题 于志勇 ( 山东大学数学与系统科学学院，济南2 5 0 1 0 0 ) 摘要 倒向随机微分方程( b s d e ) 主要关一l - 在有随机干扰的环境中如何使一个系统达到 预期的目标其理论自创立以来，在随机控制和对策，数理金融，偏微分方程，非线性数 学期望等领域取得了广泛的应用这篇论文旨在发展和完善b s d e 理论，以更好的研究 随机控制和对策中出现的倒向问题 在随机控制和对策问题中，无论是用b s d e 来描述代价( 或者效用) 泛函，还是用 b s d e 来描述控制系统，这些问题的核心是b s d e 理论甚至b s d e 本身也是一类随 机控制问题因此，b s d e 理论的进步和完善无疑会促进一些控制和对策问题的进展 这篇论文的第二，三章致力于b s d e 理论本身的研究 在第二章中，我们得到了b s d e 理论的一个基础性的结果：解的唯一性和连续依 赖性是等价的在b s d e 的系数g 满足l i p s c h i t z 条件的前提下b s d e 的解对参数的 连续依赖性由下面的不等式所表达： e 。翌妒可；1 2 p 1 2 + o t 舭，y _ 9 2 似可；，露) 1 2d t 由此推演出丰富多彩的成果我们的结论在某种程度上可以看作上面不等式在非l i p - s c h i t z 条件下的对应物，它为非l i p s c h i t z 条件下的b s d e 的研究提供了一个有力的工 具 不同于( 正向的) 随机微分方程，b s d e 的解由两个部分( y z ) 组成虽然目前关 于b s d e 的结论大部分集中在解的第一部分y 上，但是了解么同样是非常重要的这 篇论文的第三章研究了相当于控制策略的解的第二部分z 的一些基本性质，例如有界 性，倒向生存性，比较性质等z 在金融衍生产品定价理论中代表投资组合，我们的结论 可以对投资组合中风险资产价值的正负，大小，区间有清晰的刻划作为z 的有界性质 的另一个应用，我们处理了一类由b e n s o u s s a n 和f r e h s cf 6 1 提出的随机对策问题 在随机控制理论中，有一类指标泛函是用b s d e 的解来描述的例如：在效用理论 中，经济学家使用b s d e 的解来描述递归效用为使效用最大化，产生了一类递归最优 山东大学博士学位论文 控制问题彭实戈在 5 9 ；7 4 】中系统而深入的研究了这类问题然而，在实际问题中，有 时人们会要求自己的效用高于某条“底线”，也就足说b s d e 的解要大下等了某个随饥 过程这需要我们用反射b s d e 的解来描述这种带障碍约束的递归效用相应的产牛一 类带障碍约束的递归最优控制问题在金融市场中当贷款利率高于存款利率时，美式 未定权益的定价问题是这类控制问题的一个具体的例子在这篇论文的第四章，我们针 对这类带障碍约束的递归最优控制问题进行了研究，得到了动态规划原理，并证明了值 函数是相应的h j b 方程唯一的粘性解这一部分工作深受彭实戈f 7 4 1 的工作的启发 由于b s d e 是一类具有良好结构的动态系统，自然的，我们去研究以b s d e 作为 控制系统的随机控制问题和对策问题，我们称之为倒向随机控制问题和倒向随机对策 问题这类问题有实际的意义在达到某个给定的随机目标的前提下，使自己的代价最 小( 或者效用最大) ，这可以看作倒向随机控制问题例如追击问题等多个人合作去达 到一个共同的随机目标，而每个人又希望自己付出的代价最小( 或者自己获得的效用最 大) ，这类合作博弈可以看作倒向随机对策问题目前，关于倒向随机控制问题的研究很 少，而在本文之前，关于倒向随机对策问题的研究更是空白在这篇论文的第五章，我们 研究了倒向随机控制和对策( 也研究推广的部分耦合的正倒向情形) 的一类重要情形： 线性二次问题得到了唯一的最优控制( 对于控制问题) 和唯一的n a s h 均衡点( 对于对 策问题) 的显式表达 本文共分为五章，以下是本文的结构和得到的主要结论 第一章：介绍从第二章到第五章我们讨论的问题，背景及想法 第二章：研究连续系数的b s d e 解的唯一性和连续依赖性之间的等价关系正如 常微分方程的理论，这个性质是b s d e 理论中的一个基本的结论这部分的主要结果 足下面的定理2 2 1 ( 简单情况) 和定理2 3 4 ( 一般情况) 定理2 2 1 如果g 满足假设( h 2 _ f ，一僻别，那么下面的两种陈述是等价的 例唯一性? 方程偿砂的解唯一 一砂关于的连续依赖性? 任给 矗) 黑1 ，l 2 ( q ，乃，p ；r ) ，当7 7 , 一。时，如果 厶一fi nl 2 ( q ，行，尸；r ) ，那么 熙e 豳毋矗和， 其中( 矿( ) ，( ) ) 是b s d e 偿j ) 的任意的一个解，( ! ，靠( ) ，z 矗( ) ) 是b s d e ( g ：t ，f ”) 的任意一个解 定理2 3 4 如果9 a 满足假设( h 2 j 一俾彳，那么下面的陈述是等价的? 一 山东大学博士学位论文 ( i i o 唯一性：当入= a o 时，b s d e 偿纠的解唯一，即，b s d e ( g h ，t ，抽) 的解是 唯一的 以砂关于g 和的连续依赖性：任给 ，抽l 2 ( q ，乃，p ；r ) ，当入- - 4 h 时，如果a 一 。i nl 2 ( q 疗，p ；r ) ，( y a ( ) ，2 a ( ) ) 是b s d e 俾纠的任意的一个解， ( 3 ， 。( ) ，z a o ( ) ) 是b s d e 俾，彤当a = a o 时的任意一个解，那么 l i m 。e f 【0 s u ，p 卅j y ：一州】= 。 第三章：使用m a l l i a v i n 分析的工具，我们研究b s d e 的解的第二部分z 的某些性 质，例如有界性，倒向随机生存性( b s v p ) ，比较性质 命题3 2 1 ( 有界性) 令假设阻7 j ，和似3 纠成立假设d p f 和d 口9 有界，那么我 们有 i d o kj c ， 其中c 是一个常数特别地，z o = d 口y o 有界 定理3 2 7 ( b s v p ) 假设g 满足( a s u ( a s 彰如果v o 0 t t ，比r m d d ， v y r ”m ，d 荛( ) 在y 点是二次可微的，并且 4 ( y - n k ( 秒) 舅( z ，k ，互) 耳( ) + 口o g z ( ，k ，互) z + 玩9 ( z ，k ，z 0 ( d 2 吹( y ) z ，z ) + c 略( y ) ， a 8 ， 琊么b s d e ( 3 1 ) 讷解z 拄k 寺生蒋 定理3 2 1 2 ( 比较性质) 假设9 1 和9 2 满足( a s | z ，一( a s 圳对于任意的0 0 7 丁，比1 ，2 ( d l ，2 ) nl 2 ( q ，乃，尸) ，我们有d o ( 1 d p f 2 ，( y ，z ) ( i = 1 2 ) ，是b s d e p 1 9 ) 在时间区间【o ，7 - 】上的唯一解任给t 【0 ，7 】，y ，y r m d ，z ，z 7 r m x d d ，如 果下面的不等式成立， 一4 2 蟛oi 一1 2 + c 川2 那么现刃，t 【0 ，7 - 】 然后，我们将这些理论结果应用到数理金融中由于z 可以代表复制衍生产品价格的资 产组合，利用我们得到的关于z 的性质，可以对风险资产价值的正负，大小，区间有清 晰的刻划 i i i 山东大学博士学位论文 在这一章的最后，我们处理了一类随机非零和微分对策问题这个对策问题来源于 b c n s o u s s a n 和f r c h s c 【6 】，但是他们利用偏微分方程的方法，只能够处理m a r k o v i a n 情 形我们利用m a l l i a v i n 变分技术和z 的有界性质，在n o n m a r k o v i a n 情形下得到了一 个n a s h 均衡点的显式表达，有很好的实际应用意义 定理3 5 2 令假设( h 3 纠( h 3 彰成立，矿= ( u ：，乱：，“知) ，其中u ：由p 5 y 式 定义，是随机非零和微分对策问题的一个n a s h 均衡点，正( z ，f 广) = k + ( 0 ) = 。厶( ：f 州。，瓦“) 其中缸t 是任意的容许控制t 的第i 个分量( i = l ，2 ，) ( k ( ) ：z ( ) ) 是b s d e s ( 3 5 6 ) 的一个解 第四章：我们研究了一类带有障碍约束的递归最优控制问题，即，控制系统的效用 泛函由一个反射b s d e ( 带一个下反射边界) 所描述具体来说，我们考虑下面的控制 系统： j 矗砖一；v = 砖一p ，v , ) d s + 盯( s ，霉净 0 s ) ( f 眦s 【 卅， l 墨声冲= z ， 相应的效用泛函为： j ( t ，。；u ( ) ) ：= 砰声， 其中( y t , x ：v ( ) ，z t , z ；v ( ) ，k 抽”( ) ) 是下面的反射b s d e 的解 ，丁 w 声= 垂( 辟双v ) + 夕( r 霹声捌，砰声，z ，z w v ，) d r ，- t + k 一蜒，墨； 一砟戤廿d 职， t ssz js 我们要使效用泛函达到最大值定义值函数为 u ( t ，z ) ：= c s s s u pj ( t ，z ； ( ) ) v ( ) e u 这类递归最优控制问题在金融市场中有应用在借贷款利率不同的时候，美式衍生证券 定价问题就可以转化为该类带有障碍约束的递归最优控制问题一个直观的问题是：对 于该类最优化问题，经典的动态规划原理是否成立? 我们证明了一些反射b s d e 的性 质，使用彭实戈【7 4 】的思想和框架，借助于这些性质和分析技巧，我们得到了值函数的 确定性和连续性，证明了推广的动态规划原理( d p p ) 对该类问题依然成立 命题4 2 6 ( 确定性) 令假设似2 砂一( h 4 2 彳，j 成立，由“f 砂定义的值函数u ( t ，z ) 是一个确定的过程 引理4 2 8 ( 关于z 的连续性) 任给t 0 ，t 】，z ，z 7 舻，我们有 i 札( ，z ) 一l 上( ，z 7 ) 1 2 cl z 一一1 2 + c ( 1 + l z i + l z i ) l z 一一i ； 1 v 山东大学博士学位论文 o i ) i u ( t ，工) l c ( 1 + i x l ) 定理4 2 1 1 ( d p p ) 在假设似2 j j 一似2 钏下，值函数u ( t ，z ) 服从下面的动态规 划原理：对任意的0 ， f r o mw h i c hf r u i t f u lr e s u l t sa r ed e r i v e d o u rr e s u l t ，w h i c hc a nb cr e g a r d e da st h ea n a l o g o ft h ea b o v ei n e q u a l i t yi n ：s o m es e n s e ，p r o v i d e sau s e f u lm e t h o dt os t u d yb s d e sw i t h n o n - l i p s c h i t zc o n d i t i o n u n l i k ea ( f o r w a r d ) s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，t h es o l u t i o no fab s d ei sap a i r o fa d a p t e dp r o c e s s e s ( y z ) u pt on o w ，m o s tr e s e a r c h e sw e r ef o c u s e do nt h ef i r s tp a r t o ft h es o l u t i o ny ，b u tt h ec o m p r e h e n s i o na b o u tzi sv e r yi m p o r t a n ta l s o i nc h a p t e r v i i i 山东大学博士学位论文 3i nt h i st h e s i s ，w es t u d y8 0 m eb a s i cp r o p e r t i e sa b o u tt h es e c o n dp a r to ft h es o l u t i o n z w h i c hm a yb ci n t e r p r e t e da sar i s k - a d j u s t m e n tf a c t o ro rac o n t r o ls t r a t e g y , s u c h a sb o u n d e dp r o p e r t y , b a c k w a r ds t o c h a s t i cv i a b i l i t yp r o p e r t y , c o m p a r i s o np r o p e r t y z r e p r e s e n t st h ep o r t f o l i o si nt h ep r i c i n gt h e o r yo fc o n t i n g e n tc l a i m s o u rr e s u l t sc a n b cu s e dt oc h a r a c t e r i z ec l e a r l yw h e t h e rt h ep o r t f o l i op r o c e s si s p o s i t i v eo rn e g a t i v e ， a n dg e ti t sb o u n d e de s t i m a t i o n w ca l s og e ts o m ec o m p a r i s o nr e s u l t so fp o r t f o l i o s a s a n o t h e ra p p l i c a t i o no ft h eb o u n d e dp r o p e r t yo fz ，w ed e a lw i t hak i n do fs t o c h a s t i c g a m ep r o b l e mr a i s e db yb e n s o u s s a na n df r c h s e 【6 】 i ns t o c h a s t i cc o n t r o lt h e o r y , t h e r ee x i s t sak i n do fc o s tf u n c t i o n a lw h i c hi sd e s c r i b e d b yt h es o l u t i o no fab s d e f o ri n s t a n c e ，i nt h eu t i l i t yt h e o r y ，e c o n o m i s t su s i n gt h e s o l u t i o n sb s d e st od e s c r i b er e c u r s i v eu t i l i t i e s i no r d e rt om a x i m i z et h eu t i l i t y , ak i n d o fr e c u r s i v co p t i m a lc o n t r o lp r o b l e mi s a p p e a r e d p c n g 【5 9 ；7 4 】s t u d i e dt h i sk i n do f r c c u r s i v co p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m i np r a c t i c e ，s o m e t i m e sa ni n v e s t o rr e q u i r eh i s h e r u t i l i t yi sb i g g e rt h a naf u n c t i o no ft h ew c a l t h t h i sr e q u i r e su st ou s et h es o l u t i o n o far e f l e c t e db s d et od e s c r i b et h i sk i n do fr e c u r s i v eu t i l i t yw i t ho b s t a c l ec o n s t r a i n t c o r r e s p o n d i n g ，ak i n do fr e c u r s i v eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m w i t ht h eo b s t a c l ec o n s t r a i n t f o rc o s tf u n c t i o n a li sa p p e a r e d i nf i n a n c i a lm a r k e t ，w h e nl o a ni n t e r e s ti sh i g h e rt h a n d e p o s i ti n t e r e s t ，t h ep r i c i n gp r o b l e mo fa m e r i c a nc o n t i n g e n tc l a i m si s a ne x a m p l eo f t h i sk i n do fc o n t r o lp r o b l e m i nc h a p t e r4o ft h i st h e s i s ，w ec o n s i d e rt h i s k i n ，do f r e c u r s i v eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e mw i t ht h eo b s t a c l ec o n s t r a i n tf o rc o s tf u n c t i o n a l w c g e tt h ec e l e b r a t e dd y n a m i cp r o g r a m m i n gp r i n c i p l e ，a n dp r o v et h a tt h ev a l u ef u n c t i o ni s t h eu n i q u ev i s c o s i t ys o l u t i o no ft h ec o r r e s p o n d i n gh j be q u a t i o n t h i sw o r ki ss p i r i t e d b yp e n g 【7 4 s i n c eab s d ei saw e l l d e f i n e dd y n a m i cs y s t e m ，i ti sv e r yn a t u r a la n da p p e a l - i n g ，f i r s ta tt h et h e o r e t i c a ll e v e l ，t oc o n s i d e rt h es t o c h a s t i cc o n t r o la n dg a m ep r o b l e m s i nw h i c hb s d e sa r cu s e dt od e s c r i b e dt h ec o n t r o ls y s t e m s w ec a l l e dt h eb a c k w a r d s t o c h a s t i cc o n t r o lp r o b l e m sa n db a c k w a r ds t o c h a s t i cg a m ep r o b l e m s a sf o ra p p l i c a t i o n s ，u n d e rt h ec o n d i t i o nt oa c h i e v ea na n t i c i p a t eo b j e c t i v e ，o n ep e r s o ne x p e c tt o m i n i m i z eh i s h e rc o s t ( o rm a x i m i z eh i s h e ru t i l i t y ) ，t h i sc a nb cv i e w e da sab a c k w a r d s t o c h a s t i cc o n t r o lp r o b l e m s e v e r a lp e r s o n sc o o p e r a t et oa c h i e v eac o m m o ng o a l ，b u t t h e yh a v et h e i ro w np e r s o n a lb e n e f i t sa tt h es a n l et i r u e ，t h i sk i n do fc o o p e r a t i o ng a m e s c a nb cv i e w e da sb a c k w a r ds t o c h a s t i cg a m ep r o b l e m s h o w e v e r ，t h es t u d yo nb a c k w a r d s t o c h a s t i cc o n t r o li sq u i t el a c k i n gi nl i t e r a t u r e a n dt h e r ei sab l a n ki nt h ef i e l do fb a c k - w a r ds t o c h a s t i cg a m eb e f o r et h i st h e s i s i nc h a p t e r5o ft h i st h e s i s ，w ec o n s i d e ro n e i m p o r t a n t c l a s so fb a c k w a r ds t o c h a s t i cc o n t r o la n dg a m ep r o b l e m s ( w ea l s oc o n s i d e rt h e i x c h a p t e r1 ：讹i n t r o d u c ep r o b l c 璐s t u d i 。df r o m c h a p t c r2t 。c h a p t c r5 h e 。r e m2 2 l 巧a 船让唧芘。仃s ( h e 俾剀如l df o r9 ，统e n 地e 五f f o 加i 叼加。 s t a t e m e n t so 佗e q u i v a l e n t 例u n i q u e 凡e s s ? t h ee q u 。t i 。挖偿砂h 口s 口“7 z z 弘es 。f 托。亿 ( 甑) 怒啮渺一费f 2 = 。， 己2 ( q ，厅，尸；酞) ， w h e r e ( 竹) ，( ) ) 拈n n s 。佗o fb s d e 俚j ，口n d ( 一( ) ，z 叶) ) 口他n 礼5 。 1 u t i o n so yt h eb s d e s ( g ，t ，n ) 。 t h e m2 3 4 f i g as n t i s ：e s ( h e j7 一( h 2 彳，沈e n 沈e o u 。伽i 叼s t a t e m e n t s 口r e e q u w a l e n t ： 2 。u 佗。口“e 竹e s i j 饶e 冀e 晚s 如nu n i q u es o l u t i 。no fb s d e 俾纠硼九e 礼a ：入。，纨口z t h es o l u t i o n 吖( 9 a o ? t ，f 入o ) i su n i g 扎e h l i m a 。e f t 耋品曷i 谚一谚。j 2 】= o x 龇勰幽 嘞砌脚詈删=阳弘m c 芒j 曙沁= | ；一她 出 c m 吼 a c m n 叭n 舱蕊篡 h d 订“州捌 h n 肾u t o d o恤湖陋 以吐|；蜃删址 魄皇 印川 吼 至；蓦 k q b 叭 池萝蜘哦 k m 弓m 沛k 嘲一 a t h ，n一晰甜埘娜瓯勰裟 h m m 遮 r 、， 工l d a k a t liiln妇 僦吐 n k翟叫竺 靴眠眦 吣涮蹦 帅心h 渤幻 m 吡z m 川岛 m n “ a m a k s ； ( s t 蝤 c| 量引话 涨h y n 叩 埘 咐 岫呲罴= 舞篡浅 帅|；斟|； 怒黑一 肼贼 塔 坝缸 t ( m 玎 舶一一 试谢 m m 憾一|嶝 叩胁扎衙脚衙脏一吣 岫一姗一 慨咄 哪呱一岫一 m 甜 盼= = c一一砒吣 一 毖 扩 帆乃 饥冼 幻 耐 叶 印n 他 胤啦 纵只锄厅 豫l蛔邢 膳饥 m 荨 溉 一 吩 r 台郫鼢氖鼢 气皤跆伽 0 玉 z“砒慨 n 哪“ m y 脆蝎烈砒 幻 吖 砌“卯 | 老 化 一竺詈 e ， 咿 哪黾一 出妇加饥 p 叶例_ 砌 山东大学博士学位论文 c h a p t e r3 ：u s i n gm a l l i a v i nc a l c u l u s ，w es t u d ys o m ep r o p e r t i e sa b o u tt h es e c o n d p a r ts o l u t i o np r o c e s sz o fb s d e s ，s u c ha sb o u n d e dp r o p e r t y , b a c k w a r ds t o c h a s t i c v i a b i l i t yp r o p e r t y ( b s v p ) ，c o m p a r i s o np r o p e r t y p r o p o s i t i o n3 2 1 ( b o u n d e dp r o p e r t y 、l e ta s s u m p t i o n s ( a s 1 ) a n d ( a 3 2 ) h o l d s u p p o s et h a td p fa n dd e ga r eb o u n d e d ，t h e nw eh a v e 上) d k i c ， w h e r eci sac o n s t a n t e s p e c i a l l y ，历= d o ki sb o u n d e d t h e o r e m3 2 7 ( b s v p ) s u p p o s et h a tgs a t i s f i e s 似3 砂一似3 砂t yr o 口t t ， v z r ”x d da n dv y 酞m d ，眩( - ) i st w i c ed i f f e r e n t i a la tya n d 4 ( y - n k ( y ) ，瓦o g ( t ，k ，磊) n k ( y ) + 否o g z ( t ，k ，磊) z + d o g ( t ，k ，乙) ) ( d 2 d 2 9 ( y ) z ，z ) + c d 女( y ) ，口s ， t h e n jt h es o l u t i o nzo fb s d e ( 3 1 ) e n j o y s 讯eb s v pi nk t h e o r e m3 2 1 2 ( c o m p a r i s o np r o p e r t y ) s u p p o s et h a t9 1a n d9 2s a t i s f y ( a 3 f ，一 ( a s 砂f o ra n y0 口丁t ，比1 ，2 ( d l ，2 ) m nl 2 ( q ，一，p ) w eh a v e 仇12d 口2 ， ( y ，z i ) ( i = 1 ，2 ) ，w h i c ha r et h eu n i q u es o l u t i o n so fb s d e sp 1 9 ) o v e rt i m ei n t e r v a l 【0 ，7 - 】f o ra n yt 【0 ，7 - 】，y ，y 7 酞”d ，z ，名7 乏m d d ，矿t h ef o l l o w i n gi n e q u a l i t y 一4 2 虾。恢一f 2 + c 川2 h o l d s ，t h e n 召彳，t 0 ，7 - 】 t h e nw ea p p l yt h e s et h e o r e t i c a lr e s u l t st om a t h e m a t i c sf i n a n c e zr e p r e s e n t st h ep o r t f o l i o si nt h e p r i c i n gt h e o r yo fc o n t i n g e n tc l a i m s o u rr e s u l t sc a nb eu s e dt oc h a r a c t e r i z e c l e a r l yw h e t h e rt h ep o r t f o l i op r o c e s si sp o s i t i v eo rn e g a t i v e ，a n dg e ti t sb o u n d e d c s t i m a t i o n w ea l s og e ts o m ec o m p a r i s o nr e s u l t so fp o r t f o l i o s a tt h ee n do ft h i sc h a p t e r ，w es t u d yak i n do fs t o c h a s t i cn o n z e r o - 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