（理论物理专业论文）一维非周期系统的量子相变.pdf

摘要 摘要 本文对一维非周期的赫伯德模型和非周期的横场中量子伊辛链的量子相变和量子 纠缠以及保真度进行了系统的研究。 首先，对于半填充的一维菲周期的赫 鑫德模型，我饲通过两种宣恰平均场盼方 法，研究了零温时具有f i b o n a c c i ，h a r p e r 和f r e n k e l - k o n t o r o v a 等非周期性的赫伯德模 型的基态性质。为了描述电荷在非周期系统中的分布，我们定义了新的电荷密度序参 量来描述这三种模型的基态电荷密度波。同时还震冯。诺伊曼熵帮两种不圊的基态保真 度度量研究了这三个非周期系统的基态相变。通过研究发现，非周期赫伯德模型的相 变和周期赫伯德模型一样，也存在电荷密度波( c d w ) 自旋密度波( s d w ) 转变，但在 非周期赫伯德模型中电荷呈j # 周期分布，两在周期赫彳壹德模型巾电荷呈周期分布。同 时，非周期赫伯德模型与均匀赫伯德模型也不同，在均匀赫伯德模型中只有囱旋密度 波，不存在电荷密度波。并且我们还发现冯诺伊曼熵和保真度也可以用来研究非周期 系统的c d w s d w 转变。 ， j 接饕，我们通过量子纠缠彝保真度研究了零温时横场中非均匀( f i b o n a c c i ，广 义f i b o n c i 以及无序) 量子伊辛链的临界性质。我们发现对于不同非均匀链的不同相 变，协作参量的导数在相变点有不同的行为。f i b o n a c c i 量子伊辛链和均匀量子伊辛链 一样，协作参量熬导数在福变点的峰值蓬系统增大作对数发散；而无序量子伊辛链 的协作参量的导数在相变点的峰值不随系统的增大而增大。对于广义f i b o n a c c i 量子伊 辛链，当w a n d e r i n g 指数小于零时，协作参量导数的行为类似于f i b o n a c c i 量子伊辛链； 当w a n d e r i n g 指数大于零时，协作参燕导数的行为类似于无序量子伊辛链，但由于系统 子结构的存在，协作参量的导数会在相变点两侧存在大小各两个峰。而且发现在这三 种情况中，临界点处的部分熵，鼬n y i 熵和n o n a d d i t i v e 熵随着子链中的自旋数的增长呈 对数增长。保真度对数的导数在临界点h 。处发散，在非临界点处不发散。 然后，我销发现横场孛各离异性菲均匀x y 宣旋链的b e r r y 相本质上就是z 方 向自旋的平均值( 毵) 。然后我们通过b e r r y 相和b e r r y 相的导数研究t f i b o n a c c i 广义f i b o n a c c i ，t h u e - m o r s e ，p e r i o d d o u b l i n g 和无序x y 链的量子楣变。发 现w a n d e r i n g 指数大予零时的广义f i b o n a c c i 量子伊辛链和无序x y 链的量子辘交不同予 攘要 均匀x y 链的量子相变，而是种类似于k t 相交的相变；而f i b o n a c c i ，w a n d e r i n g 指 数小于零酌广义f i b o n a c c i ，t h u e - m o r s e 和p e r i o d 。d o u b l i n gx y 链戆量子相交寨均 匀x y 链熬量子提变一样，都属于暴萨格( o n s a g e r ) 普适类。我们还通过b e r r y 趣率熊 释了这魃非周期模烈中的量子相变，发现此时的量子相变对应予是在参数空间产生了 一个类磁单极子。 最后，我们给出了在有蔽温度下，横场中溺期为二鬻无序的量子伊辛链的量子曩 漓。研究了此时的璧子苴熵随予链长度、温度以及最近邻摆嚣作用褥变化的规律。我 餐观察到量子互熵隧着温度的增加里指数衰减，且在临界点附近，衰减速度最快。 关键谲：菲溺鹚，赫德德模型，横场伊辛模型，x y 模型，量子鲻缠，保真 度，b e r r y 相 英文摘要 a b s t r a c t t h eh a l f - f i l l e dh u b b a r dc h a i n sw i t hf i b o n a c c i ，h a r p e ra n df r e n k e l - k o n t o r o v am o d u l a t i n gs i t ep o t e n t i a l sa r es t u d i e db yu s i n gt w os e l f - c o n s i s t e n tm e a n - f i e l da p p r o x i m a t i o n s an e wo r d e rp a r a m e t e ri si n t r o d u c e dt od e s c r i b ec h a r g ed e n s i t yo r d e r 。w ea l s oc a l c u l a t e d v o nn e u m a n ne n t r o p ya n df d e l i t yo ft h eg r o u n ds t a t e s w ef i n dt h a tt h eb e h a v i o r so f c h a r g ed e n s i t yw a v ep a r a m e t e ra n ds p i nd e n s i t yw a v ep a r a m e t e ro fn o n p e r i o d i ch u b b a r d m o d e la r es i m i l a rw i t hb e h a v i o r si np e r i o d i ch u b a r dm o d e l ，a n dt h ed i s t r i b u t i o no fc h a r g e a r en o n p e r i o d i c b u tn o n p e r i o d i ch u b b a r dm o d e la r ed i f f e r e n tf r o ma nu n i f o r mm o d e l ， t h e r ei sn oc h a r g ed e n s i t yw a v es t a t ei nu n i f o r mm o d e l a n dt h er e s u l t ss h o wt h a ty o n n e u m a n ne n t r o p ya n df i d e l i t yc a ni d e n t i f yac h a r g ed e n s i t yw a v e ( c d w ) s p i nd e n s i t y w a v e ( s d w ) t r a n s i t i o nf o rn o n p e r i o d i cm o d e l s 。 t h e nb yu s i n gt h ec o n c e p to fc o n c u r r e n c e ，b l o c ke n t r o p y , r e n y ie n t r o p y ，n o n a d d i t i v e e n t r o p ya n df i d e l i t y ，n o n u n i f o r m ( f i b o n a c c i ，g e n e r a lf i b o n a c c ia n dr a n d o m ) q u a n t u m i s i n gc h a i n si na t r a n s v e r s ef i e l da r es t u d i e d i ti sf o u n dt h a tt h eb e h a v i o r so fc o n c u r r e n c e f o rd i f f e r e n tn o n u n i f o r mc h a i n sa tt h ec r i t i c a lp o i n ta r ed i f f e r e n t a ss i m i l a ra su n i f o r m q u a n t u mi s i n gc h a i n ，c o n c u r r e n c eo ff i b o n a c c iq u a n t u mi s i n gc h a i ne x h i b i tal o g a r i t h m i c d i v e r g e n c e & 乇c r i t i c a lp o i n t 。 b u ti nr a n d o ma n ds o m eg e n e r a lf i b o n a c c iq u a n t u mi s i n g c h a i n ，c o n c u r r e n c ed o e sn o td i v e r g el o g a r i t h m i c a l l yw i t hs y s t e ms i z e f u r t h e rm o r e ， w ef o u n dt h a tt h e r ea r eal a r g ep e a ka n das m a l lb u m po ne a c hs i d eo ft h ec r i t i c a l p o i n ti ng e n e r a lf i b o n a c c ic h a i nb e c a u s eo fs u b s y s t e mc o n s t r u c t i o n a n db l o c ke n t r o p y , n o n a d d i t i v ee n t r o p ya l s og r o ww i t hs y s t e ms i z e ，d e r i v a t i v eo fl o g a r i t h m o ff i d e l i t yd i v e r g ea tc r i t i c a lp o i n t n e x t ，w eu s eb e r r yp h a s et os t u d yq u a n t u mp h a s et r a n s i t i o no fag e n e r a lo n ed i - m e n s i o n a lx ym o d e l b e r r yp h a s ei nx ym o d e li sa s s o c i a t e dw i t ht h ee x p e c t e dv a l u e o ft h ec o r r e s p o n d i n gg e n e r a lm o m e n t u m t h i si d e ai sa p p l i e dt oa p e r i o d i cx ym o d e l s a n dq u a n t u mp h a s et r a n s i t i o n si nt h em o d e l sc a nb er e t r i e v e df r o mt h es t u d i e so fb e r r y p h a s ea n di t sd e r i v a t i v e s d i f f e r e n tf r o mas e c o n do r d e rp h a s et r a n s r i o ni nu n i f o r m e dx y - - n l _ 英文摘蘩 c h a i n ，ak tl i k ep h a s et r a n s i t i o ni so b t a i n e di nr a n d o mx ym o d e la n dg e n e r a lf i b o n a c c i m o d e l t h ee m p l o y e db e r r yc u r v a t u r e sh e l pu sc o n c l u d et h a tq u a n t u mp h a s et r a n s i t i o n i nx yc h a i ni sa s c r i b e dt ot h ea p p e a r a n c eo f m a g n e t i cm o n o p o l e i np a r a m e t e rs p a c e 。 f i n a l l y ，w es t u d yt h em u t u a le n t r o p yo fi s i n gc h a i n si nat r a n s v e r s ef i e l d t h er e s u l t s i nt w op e r i o d i ca n dr a n d o mc o n d i t i o na r eg i v e n 。w ef i n dt h a ta ss a m ea si nu n i f o r m q u a n t u mi s i n gc h a i n ，t h em u t u a le n t r o p yi ss y m m e t r i c a lw i t hi n c r e a s i n gn u m b e ro fs p i n s o fs u b c h a i n m u t u a le n t r o p yd e c a y se x p o n e n t i a lw i t hi n c r e a s i n gt e m p e r a t u r e a n di t d e c a y sq u i k e r 氆tt h ev i c i n i t yo fc r i t i c a l i t y k e yw o r d s ：n o n p e r i o d i c i t y , h u b b a r dm o d e l ，x ym o d e l ，i s i n gm o d e li nt r a n s v e r s e 。 f i e l d ，e n t a n g l e m e n t ，f i d e l i t y , b e r r yp h a s e l v 果。 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以盯求实、创新的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除弓l 文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已 经发表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了 谢意。 作者签名盎磊匕 网 期：2 1 竺盈磊0 旦 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子 版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文 进入学校图书馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行 检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解 密后适用本规定。 作者签名：丛碰函。 日 期：12 竺! 哩圈 第一章基本概念和背景 第一章基本概念和背景 1 1 相变理论和量子相变 相变是自然界广泛存在的一类突变现象，是有序和无序两种倾向矛盾的表现。相 互作用是有序的起因，热运动是无序的来源。在缓慢降温的过程中，每当温度降低到 一种程度，以至热运动不再能破坏某种特定作用造成的秩序时，就可能出现一个新 相。多种多样的相互作用，导致形形色色的相变现象。越是走向低温，更为精细的相 互作用就得以表现出来。而新相的出现又总是伴随着某些物理性质的急剧变化。根据 热力学理论可以把相变分成不同的类。如果在相变点，热力学势本身连续，而其一阶 导数不连续，称为一级相变。如果化学势和它的一级导数都连续，而二级倒数不连 续，称为二级相变。实际上，自然界中只看到了第一，二类相变。习惯上把二类以上 的高级相变，通称为连续相变或临界现象。二级相变得相变点称为临界点。临界点附 近表现出的一系列特殊性质，如某些热力学量趋于无穷，有很强的涨落和关联等，这 种现象称为临界现象。一级相变在相变时伴随着体积的变化和热量的吸收和放出( 潜 熟) ，在相变点会出现亚稳态以及两相共存。二级相变相变时没有潜热和体积的变化， 体系的宏观状态是连续变化的，没有两相共存，某些热力学量( 如比热，磁化率等) 在 相变点趋于无穷。由于在相变点每侧只有一个相能够存在，因此不容许过冷过热等亚 稳态和两相共存。1 9 3 7 年朗道对所有二级相变理论提供统一描述，提出了朗道二级相 变理论。平均场理论中有两个普遍而重要的概念：对称破缺和序参量。一种相变通常伴 随着某种对称性的破缺。对称性是指在一些操作下某些物理量的不变性。按照对称破 缺的精神，相变的特征是当系统的宏观量发生变化时，丧失或获得某些对称因素。当 一个系统从高对称相转变为低对称相时，系统的某一个物理量卵，叫做序参量，将从 高对称相中的零值转变为非对称相中的非零值。使用序参量表示系统的对称性，可以 把高对称相称为无序相，低对称相称为有序相。应该指出，序参量本身并不是二类相 变的特征，一类相变也可以引入序参量来描写，但一类相变序参量有不连续的跃变。 对二类相变，从有序相趋于临界点时，序参量连续得变到零，在临界点序参量没有跃 一】 1 2 非周期系统 变嘲 经典模型孛的榴交是壹热力学涨落引起的，在t = 0 时，系统往往会凝聚茭无涨落 的基态。与经典系统相反，由于h e i s e n b e r g 的测不准关系，爨予系统即使在基态也有涨 落。丽芷是这种涨落，使得系统在t = 0 对也会发生楣变。 樱交是壶多粒子系统麓内部裰互俸蓬雩 起翡，可馘说穗变是真正的多倦邂逶。因 此，遇常把槌变称为食作现象。量子榍变的物理性质是楣当复杂的。为了理解量子相 变的本质，必须采用比简单的热力学理论更有力的理论工具，把原子间相瓦作用的细 节包括进去。这裁使入稍考虑采用所谲携统计模型。羹子伊辛模型就是一个最筒蕈的 理论模型。 王2 非周期系统 翻从准晶和准周期超格子= j ：1 9 8 4 年在实验室被发现以后【2 4 】，这类物质的电子性质 雩| 起了凝聚态物理学工作者的极大兴趣。这类系统尽管不其莓平移不交性，但谴 j 也 有蜜愁一定的空闻组织规律，因此这类系统霹以认为是介予周期和无序系统之间的一 类系统。这些物质的电子态即使是在最篱单的一维费米子系统串都表现出了不同寻常 靛性震，铡舞，电子能谱是分形的，波函数即不是局域也不是扩展的等。因此，对于 准周期系统物瑗性质的研究在过去的二十多年里已经逐步成为凝聚态物理中一个重要 的研究分支。 在本文孛，我 j 将圭要研究常冕彀维菲震期结构。誉冕麴维菲周期 结构育f i b o n a c c i 链，广义f i b o n a c c i 链，t h u e - m o r s e 链，p e r i o d - d o u b l i n g 链，h a r p e r 链 和f r e n k e l - k o n t o r o v a 链等。 1 f i b o n a c c i 链【5 】：f i b o n a c c i 链是遵循一定的规则从单个元素产生的。根据迭代规 律： a _ a b ， 暑一啼a ，1 一1 ) 黠应的矩阵可数驾必如下形式 ，f 第一行迭代规律中生成a 的个数记为竹第行迭代规律中生成b 的个数记为m 第二行迭代规律中生成a 的个数记为z 第二行迭代规律中生成b 的个数记为凳 l 2 ) 第一章基本概念和背景 那么，对应于f i b o n a u c c i 链的m 矩阵( 1 2 ) 则可以具体写为 m 删， 若从字母b 开始，我们得到如下顺序 经过若干次迭代以后，我们就可以得到一组f i b o n a c c i 序列。 a b a a b a b a a b a a b a b a a b a b a a b a a b a b 各代a ，b 的总数构成f i b o n a c c i n 数，形成如下数列 一 1 ，l ，2 ，3 ，5 ，8 ，1 3 ，2 1 ，3 4 ， f i b o n a c c i 数之间存在递推关系 n 4 - 1 = j n 七1 n 一1 于是 等= 毕叫- b 去 一= 一= l ：一 |n|n丢 = 1 + 可毛1 其极限值为黄金比值的倒数 - 仁h 理f n ，- - i j n + l ：幽：1 6 1 8 2 。丁= h m 。= 二半= 1 n 。，n ( 1 - 3 ) ( 1 - 4 ) ( i - 5 ) ( 1 - 6 ) ( 1 7 ) ( 1 一磅， 2 广义f i b o n a c c i 链：广义f i b o n a c c i 链是由下列规则从单个元素( 如a ) 产生的 a a b m b _ a 当m = 1 时就是f i b o n a c c i 链，本文中讨论最多的是m = 4 的情形。 义f i b o n a c c i 链的m 矩阵( 1 2 ) 则可以具体写为 m = ， 这样产生的序列为 设厶为广义f i b o n a c c i 序列的总数，那么它存在递推关系 a + 1 = ，n + m 厂n 一1 ( 1 - 9 ) 那么，对应于广 ( 1 1 0 ) ( 1 1 1 ) ( 1 - 1 2 ) l 。2 暑# 周期系统 那么 r = 恕百f n + l = 垃乒。 ( 王静主3 ) 3 。t h u e m o r s e ( t m ) 链：t h u e - m o r s e 链由下列规则从单个元素( 如a ) 产生的 a a b 。 b _ b a 那么，对应于t h u e - m o r s e 链的m 矩阵( 1 2 ) 则可以具体写为 这样产生的序列为 艇：( ：) ， 、， a 苗骞a 尽a a 嚣 ( 王一王4 ) 羔一董5 ) ( 王一王6 ) 显然，任意级的t m 序列中含元素的总数为 一2 t ，而且，每一级序列中a 和8 的数目总是 相等的。 4 。p e r i o d - d o u b l i n g ( p d ) 链：p e r i o d - d o u b l i n g 链由下列规粼麸单个嚣素( 如a 产 生靛 a a b 。 b _ 峥a 众， ( 王一羔7 ) 那么，对1 盘： ：p e r i o d - d o u b l i n g 链的m 矩阵( 1 - 2 ) 则可以具体写为 材= ， 阻均 这样产生的序列为 a b a a a b a b ， ( 1 1 9 ) 第i 级p d 序刭孛含嚣素的总数茭纛一爹，虽帮麟侉捌一样警徽2 ，哭是寒剜率a 器b 黧数 目并不相等，它们的数目与总数之比分别为3 4 和l 4 。 5 h a r p e r 链：h a r p e r 链是按如下规则产生的：假设y ) 是一个连续变化的周期函 数，定义j 孽v ( z ) 一a 溉( 2 嚣。) 。扶y ( ) 的表达式哥黻着出，矿( 舅) 是瘸期为王的属期透 数，也就是说y + 1 ) = 矿p ) ，藩令v ( j w ) 然矿( z ) ，其孛钾是无瑾数，那么 y ( j ) = ac o s ( 2 嚣w j ) 。( 1 2 0 ) 藏是个连续交纯的霉# 溺鹚性序到，虽其毒 瘸麓性与无理数w 抟取堕有关。 第一章基本概念和背景 6 f r e n k e l - k o n t o r o v a ( f k ) 链：f r e n k e l - k o n t o r o v a 链是按如下规则产生的； 磁= 天c o s ( z ? ) ，( 王一2 1 ) 是一个连续变化的非周期性序列，由参数a 和髫? 决定，而 z 2 ) 使u = e n ( 彤+ 1 - - x n 一 8 ) 2 + 搿【l c o s ( x 嚣最小，其中筠r e n k e l - k 。嫩r o v 鑫( f k ) 模燮冷甥中的结含常数，8 为 近邻原子闻的平均距离， z ? ) 由结合参数k 决定。所以可以通过调整参数a 和k 来改 变的性质。 ， 以上讨论的菲周期结构中，第一到第四种只能取两种可能的僮，是离散的：两第 五和第六则可以取无限多的值，是准连续的。 l 。3l u c k 分类 l u c k 6 认为，在准周期量子伊辛模型中，至少存在两种类型的量子相变。一种称 药暴萨格( o n s a g e r ) 普适类，在这类裰交中，临界点存在一个慰数发教的峰。在另外一 类相变中，临界点的峰并不会随着系统的增大而增大，而是个有限大小的峰，这一 类相变我们称之为k t 相变。 对于准瘸期量予盘旋链的相交，我们逶过一个称为w a n d e r i n g 指数的数露来定义。 当声 o 时，属于k t 相变；p ) 2 ( 1 2 5 ) l 圣一) = ( i o o ) 一1 1 1 ) ) 、2 ( 1 2 6 ) l 皿+ ) = ( 1 0 1 ) + l l o ) 2 ( 1 2 7 ) l 皿一) = ( 1 0 1 ) 一l l o ) 2( 1 - 2 8 ) 是纠缠态，它们的密度矩阵不能写成式( 1 2 4 ) 那样的直积形式。 量子纠缠的定量描述是指如何用一个具体的量来度量纠缠程度的大4 2 0 1 。量子 纠缠的重要性使得对它的定量研究显得尤为重要，并成为量子信息理论研究的热点之 一。所谓纠缠度，就是指所研究的纠缠态携带纠缠量的多少。纠缠度的提出，为不同 纠缠度之间提供了可比关系。纠缠态所研究的粒子数量越多，对经典物理的偏离越明 显，获得有用量子效应的机会就越大。所以，在量子信息理论中，纠缠通常被看作非 局域的“信息源 。到目前为止，除了对两体系统的纠缠度取得了一些肯定的结论以 外，对于如何度量多体系统的纠缠度尚处于起步阶段，还没有一个普遍接受的标准， 仍处于讨论之中【2 1 2 4 】。 作为对纠缠程度度量的纠缠度必须满足以下几个条件【2 5 】： ( 1 ) 可分离态的纠缠度为零，即 e ( p ) = 0( 1 2 9 ) ( 2 ) 局部幺正操作不改变纠缠度： s ( p ) = e ( u aou b p v jo )( 1 3 0 ) ( 3 ) 在局部量子操作和经典通讯下平均纠缠度不应增加。因为局部量子操作和经典 通讯不会引起量子关联。也就是说，如果我们有一个系统处于态p 上，经过局部量子操 作和经典通讯后，处于量子态p 。上的子系统的几率为只，则： e ( p ) p i e ( p , ) ( 1 - 3 1 ) ( 4 ) p - - 丁加性。设各态 a 1 8 1 ) i a 2 8 2 ) l a n b n ) 可能是纠缠态，l a b ) = a x b l ) o 7 1 4 爨予纠缠 | a 2 岛) t a 托b j ，则 a 嚣的纠缠度e ( j a b ) ) ：恕e ( 1 a b ) ) 端e ( t a l b l ) ) + e ( i a 2 8 2 ) ) 十 e ( i a 露最) ) 。 现在常见的纠缠度量或判据有这几个：1 ，部分熵纠缠度( t h ep a r t i a le n t r o y o fe n t a n g l e m e n t ) ；2 ，结构纠缝度( e n t a n g l e m e n to ff o r m a t i o n ) ；3 ，相对熵纠缠度 ( t h er e l a t i v ee n t r o yo fe n t a n g l e m e n t ) ；4 ，可提纯纠缠度( e n t a n g l e m e n to fd i s t i t l a - t i o n ) ；5 ，p e r e s - h o r o d e c k i 判据，以及依照它引入的负度( n e g a t i v i t y ) 【2 6 】。下面只 介绍和本文相关的部分熵纠缠度和结构纠缠度。 1 部分熵纠缠度( t h ep a r t i a le n t r o p yo fe n t a n g l e m e n t ) ： 部分熵纠缠度即v o nn e u m a n n 约化熵，它仅能描述两体纯态之间的纠缠，不能描述 两体混合态的纠缠。 警诱俸量子态处在缝态| 霉蔗嚣时，子系统a 鄹8 熬部分熵纠缠度定义茺： s ( p a ) 然- - t r ( p a l o g p a ) ( 王一3 2 ) s ( p b ) 拳- - t r ( p b l o g p b ) ( 1 3 3 ) 其中瓤一t r b p a b ，p b = t r a p a b ，p a b 整个系统的约纯密度矩阵。因为a 帮b 总体处 在纯态，有s ( p a ) 一s ( 舶) 。 部分熵纠缠度表征了系统羼域的混乱程度。它说明，壁子态魄纠缠越厉害，从局 部主看靠局部态嚣的娃不确定程度就越大。由于纯态的燕予熵失零，掰以鲻壤态夔 局部定沈整体更翱混乱。 用密度矩薄代替概率，嚣体系统鹣量子熵定义为1 2 锯： s ( a ：b ) = 一! ( 加：s l 0 9 2 p a ：b ) = s ( a ) 十s ( b ) 一s ( a b ) ( 1 3 4 ) ，、， 对于零温系统，基予系统麓基态只有一个，酝毅s ( a b = 0 ，此时豹量子要熵就等徐子 部分熵。 同时，部分熵又是r e n y i 熵和n o n a d d i t i v e 熵的极限情况。r e n y i 熵本质上是密度矩阵 翡穰次方翁迹，一曼舞道了密度矩阵觞任意次方的迹翡值，虢可默知遵混合量子系统熬 态。我们把r e n y i ：t 鼹定义为： 1 s o ( p p ) 。击i n t r ( 弗) ，1 a n da 0(1-35) 从部分熵器萋涎磐i 熵的表达式摄臻最霹驭看惑，当氇_ 羔对王酶靛辨蕊裁是部分壤。 8 第一章基本概念和背景 而n o n a d d i t i v e 熵是定义为： s ( p e , a ) = 百1 - t r p 暑( 1 - 3 6 ) 对比n o n a d d i t i v e 熵和r e n y i 熵的表达式也可以看出当口_ 1 时n o n a d d i t i v e 熵成为部分 熵。 2 结构纠缠度( e n t a n g l e m e n to ff o r m a t i o n ) ： 怎样度量混合态的纠缠是一个非常棘手的问题。对于两体混合态的纠缠度量到目 前为止已经提出了多种定义。其中包括结构纠缠度。 设a 和b 两部分共处在混合态p a b ，态p a b 存在无限多不同的纯态分解，记其中的 一个分解为， 如= 只( 皿i ( 1 - 3 7 ) 只是纯态i 皿) 在分解中出现的概率。定义态p a b 的结构纠缠是对所有分解中，纯态纠 缠的统计平均的最小值： e f ( p a b ) = m i n 只s ( 以) ( 1 3 8 ) 其中以= t r b 以b ，s ( 以) 是态以y o nn e u m a n n j l | j 。可使平均纠缠达到最小值的分解 被称为最小分解。 计算结构纠缠需要找出待求混合态的最小分解，这不是一件容易的事。对于两体 两维系统，结构纠缠可以直接计算出来。设| d a b 是两体两位系统中的一个混合态，定义 另一个态历 万= q 。唧op + 0 y 圆o y ( 1 - 3 9 ) 这里= 序排列，民 ，算子p 瑚本征值记为增( 因为此算子为半正定矩阵) ，且按递减顺 a 3 入4 0 。定义p a 日的c o n c u r r e n c e 为 c ( p a b ) = m a x ( 0 ，入1 一入2 一a 3 一入4 ) ，( 1 4 0 ) 那么肌b 的结构纠缠为【2 8 】： e i f ( 1 | d a b ) ：h ( 1 + v 1 - c 2 ( p a ) ) ，( 1 - 4 1 ) 其d p h ( x ) = 一。l 0 9 2 z 一( 1 一z ) l 0 9 2 ( 1 一z ) 。这里所是c ( p a 日) 的单调函数，即对于两 体两维复合系统，结构纠缠可以用c ( 纵b ) 来代替。由于毋是c ( p a b ) 的单调函数，所以 当c ( d a b ) 从。变到1 时，e f 也从0 变化到1 ，所以协作参量c ( p 舶) 成为度量纠缠的很好的方 法 9 - 、乜 一 0 o 2 ：c 王5 僳真度 1 5 保真度 在量子光学中，为了描述量予体系的信息关联与纠缠程度，人们相继引入了熵、 纯度和密度算符闻距等概念 2 争3 黛，并置箨了一些研究。研究表饔：对于一个量子系 统，程相互作用演化过程中的一煞量子信息，并不完全由熵、纯度等反映如来。例如 对于初态为无关联的纯态系统，人们无法了解该系统与其予系统以及子系统之间的信 患差异，蔼壶k n o l l ，o r l o w s k i 提漤豹量子态密度算符阕踅概念在量子理论中笼演和纯 度更加优越，它畿反映出系统与予系统以及予系统之间的僚息差异。丽且密度算符阉 距和保真度两者在描述量子体系的信息关联和纠缠程度上是等价的。为了表示两个量 子态之闯豹相似程度人们弓 入了距离丞数和傈真度豹概念，随着量子信息学、量子逶 遗、爨子计算等科学戆发震，它们越来越多地用予表征量予态在转移、转输、演纯过 程中与初始状态的相似特征，因此距离函数和保真问题成为量子信息学、餐子通讯、 量子计算等科学研究中关注的焦点。 傈真度是量予光学帮信息科学领域孛的一个重要的概念，是表示信息在传输过程 中保持原来状态的程度，它是通讯质量的一个艇要参数，而且任何形式的信息编码也 要考虑保真度的问题【3 4 】。r j o z s a 依据“跃迁几率”【3 5 首先提出了保真度的概念，定 义了簧子滢会态的傺真度，蜃来人们称之意描b u r ef i d e l i t y 抒，其定义式为1 3 锐： f ( p l m ) = t r ( 而p 2 佰) 1 2( 1 - 4 2 ) 其中夕l 张纯为源信息釉强标信息的密度矩阵。通常，这个数值也被称为“u h l m a n n t r a n s i t i o np r o b a b i l i t y 。f ( p l ，艘) 取擅范霞在0 1 2 _ 闻，警妒( 夕l ，p 2 j = 0 时，表示信 息( 餐子态) 在传输过程中完全失真，即表明初态和末态相互正交，而肖f ( j d l ，p 2 ) = 1 时，表示理想信息传输过程，即初态和末态相同。一般情况下，0 f ( p 1 ，p 2 ) 0 ) 是同一格点自旋相反的两个电子间的相置作用，岛是 位置i 上的在位势。 赫德德模型有嚣种极限情况。第一种情况是当u = o 时( 又被称为能带极限) ，电子之 闻只有动能，没有相互作用。这描述纯粹的能带情况。第二种情况是当馕o 时f 又被称 为原予极限) ，电子不能运动，完全被局域化。因此，赫伯德模型描述的是能包含着两 种极限情况的系统。丽通常情况下，t u 。在高温超导材料中，u i t l o 。 2 2 2f i b o n a c c i 赫伯德模型 对于f i b o n a c c i 赫伯德模型，h a m i l t o n 量中的在位势鼠可以根据第一章中介绍 的f i b o n a c c i 序列的性质得到。若我们放置开始迭代，那么经过若干次迭代以后，我 们就可以得到一组f i b o n a c c i 序歹| j 。 a b a a b a b a a b a a b a b a a b a b a a b a a b a b ( 2 一n l 所以，对于无穷长的f 南。珏8 e e i 链，a n 个数心与总数n 之比为( 锯一1 ) 2 ，为黄金 分割值。当u = 0 ，哈密顿量( 2 2 3 ) 变为描述单电子f i b o n a c c i 模型。f i b o n a c c i 模型是单 电子模型，对于任意的a 和e b 的取值，此时的电子态都是临界的，且具有分形的性 质1 9 1 1 。 2 2 3h a r p e r 赫伯德模型 对于h a r p e r 赫伯德模型，我们把h a m i l t o n ：爨中的在位势艮取为 囊= ac o s ( 2 ，r a i ) ， ( 2 - 1 2 ) 其中盯拦( 锯一1 ) 2 ，为黄金分割比例值。当u 拦0 时，哈密顿量( 2 2 3 ) 描述的就是一 般的h a r p e r 模型。 h a r p e r 模型是单电子模型，在爻= 2 0 出发生金属绝缘体楣变。当天 2 0 时，所有的电子态是局域 】7 - 2 。3 研究方法 酶( 具有紧密的熹状谱) ，是绝缘裰；姿a = 2 0 靖，新有游态是稳赛翡( 具有奇点麴连续 谱) 9 2 - 9 5 1 。 2 。2 4f r e n k e t - k o n t o r o v a 赫 f l 德镬型 对手f r e n k e l - k o n t o r o v a 赫谊德模型，在使势取菇 魏慧天c o s ( x 7 )( 2 * 1 3 ) 它由参数爻j 鏊决定。 蒜2 俸t f r e n k e l - k o n t o r o v a 模型非对称基态的结构性质，也就 是说 鬈? ) 使u = 缸( 茹律十1 一名礼一8 ) 2 十g 1 一c o s 竹) 】最小，其中k 为结合常数，a 为近 邻原予间的平均距离， 2 ) 由结合参数决定。因此f r e n k e l - k o n t o r o v a 赫伯德模型中电 子斡性质枣a 和与移决定。当u 描o 鼙寸成为一般静革电子f r e n k e l - k o n t o r o v a 模型。 对予单电子f r e n k e l - k o n t o r o v a 模型，我搦霹强通过调整参数爻黧菇来改变在应 势黾的大小，从丽改变系统的电予性质。对于每一个无理数都存在个临界值量如，由这 个临界值来划分系统基态的两种结构。当k g c ，电予性质类戗子f i b o n a c c i 模型鲶电子性 质。【9 哟对癍于黄金分割傻( 锈一圭) 2 麴晦界僵k 为致= 0 9 7 1 6 3 5 4 。在本文中我们的 数值计算就采用这个特殊的致值。 2 。3 研究方法 2 。3 王强美联电子体系的一般研究方法 早期对强关联电子体系的研究很困难，即使对于最简单的赫伯德模型和k o n d o 格点 模型，也仪在一维的情况下才有一些有效的理论工舆来系统地研究它们。因为即使对 于最蔺荸的模鍪也春一些物理规潮熬竞争，鲷絮禺域纯帮燕格相干性，量子和空闻涨 落，以及各种相互竞争的长程序间的作用。而且这些系统中的问题并非微扰问题。正 是由于以上困难，这个领域的研究进展被阻碍了。 有诲多近镁方法己经爝来避免这些匿难。在些霹瑷控制翡檬隈下，通过采尾菜 种近 爨健模型的一些檄闯题得到篱化，而且可以在珂以控制的范围内求解润题。同 时，计算能力的迅猛发展也使人们可以利用数值方法求解这些模型。下面介绍几种常 罴的数值计算方法有： ( 1 ) h a r t r e e _ c k ( h f ) 近似：h a r t r e 省c k 方法是糟于处理多体爨予系统的基态波函数 - 1 8 第二章一维非周期赫伯德模型的量子相变和 冯诺伊曼熵及保真度 和基态能量的一糟近似方法。它将精确的多露系统波函数近似假设力系统多电子轨道 的斯莱特行列式，然后通过变分法我们就可以推导出对应于这个多体系统的一组方程 组，这组方程组的解即为系统的h a r t r e e f o c k 波函数和能量。但此时得到的波函数和 能量是这个系统的近似解。随着计算视技术的迅猛发展，h a r t r e e - f o c k 方法在电子结构 理论、量子化学甚至核物理中都得到了极其广泛的应用。瞽前，又出现了种改进的 平均场方法，在这种方法中，我们不仅考虑了空间的密度涨落，还考虑了空间的磁涨 落，因此这种改进豹平均场方法比般的平均场方法更能揭示出由 周期或无序导致 的电予密度空间分布的不均匀性和磁性。 ( 2 ) 动力学平均场( d m f t ) 方法：动力学平均场理论是一种近十年来发展起来的处 理强关联问题平均场方法。与一般的平均场理论不同的是，它可以完全计入禺域的量 子涨落，因而可以播述电子一电子之闻的强关联效应，作为一种近似动力学平均场理 论是研究强关联电子材料的一个很好的工具。但是，动力学平均场理论是在空间维数 趋于无穷时精确的理论。它忽略了电子的空间涨落，所以不适用于低维体系和窆间关 联起决定性作焉的场合。 ( 3 ) 密度泛函理论( d f t ) ：这个方法通过将多体问题当作单体问题来解。在理论上， 只有当关联势的精确泛函形式可知时这种方法才是精确的。这种方法的缺点就在于我 们无法事先知道精确的形式面只宥近议酶泛醺形式存在。这种近似泛函只在某些材料 上能较好的加以应用，在很多具体材料的应用中是失效的。而且在解释过渡金属化合 物即强关联系统