（信号与信息处理专业论文）基于开关电流技术的小波变换的实现.pdf

华北电力人学硕十学位论文摘要 摘要 论文介绍了小波变换的发展简史并分析了小波变换的基本原理，并以此为基础从时 域和频域两方面给出了小波变换的实现过程，并深入探讨了小波变换的几种实现方法， 通过对这几种方法的比较提出了以网络函数逼近方法为本文实现小波变换的方法。文中 系统分析了开关电流技术的基本原理，以此为基础给出了开关电流电路的各种基本模 块。文中介绍了直接设计法和间接设计法，并利用这两种设计法给出了开关电流滤波器 的设计实例，利用p s p i c e 对设计实例进行仿真验证了这两种方法的实用性。将小波变换 和开关电流技术结合起来，最终利用开关电流技术实现了小波变换，并给出了仿真结果。 关键词：小波变换，开关电流，p s p i c e a b s t r a c t t h i sp a p e ri n t r o d u c e db r i e fh i s t o r yo ft h ed e v e l o p m e n to ft h ew a v e l e tt n n s f 0 珊a n da n a l y z e dt h e b a s i cp r i n c i p l e so fw a v e l e tt r a n s f o r i l l i tg a v et h er e a l i z a t i o np r o c e s so ft h ew a v e l e tt r a n s f o 册f 如mt h et i m e d o m a i na n d 丘e q u e n c yd o m a i nb a s e do nt h eb a s i cp r i n c i p l e sa n dd i s c u s s e ds e v e r a lw a y so ft h er e a l i z a t i o n o ft h ew a v e l e tt r a n s f o 咖f 0 rc o m p a r i s o nt h r o u g ht h e 辩d i 虢r e n tk i i l d so fm e t h o d s ，m a d et h en e t 、) ，o r k f t l n c t i o na p p r o x i m a t i o nm e t h o da st h er e a l i z a t i o n0 fw a v e l e tt r a n s f o 肺i nt h i sp a p e r t h i sp a p e ra n a l y z e d t h eb a s i cp r i n c i p l e so fs w i t c h e dc u r r e n ts y s t e m a t i c a l l ya n dg a v et h eb a s i cm o d u l e so fc i r c u i to fs w i t c h e d c u r f e n t i ti n t r o d u c e dt h ed i r e c ta n di n d i r e c td e s i g np r o d e c u r ca n dg a v et h ed e s i g ne x a m p l eo fs w i t c h e d c u i t e n tf i l t e r i tg a v et h ed e s i g ne x a m p l ea n ds i m u l a t i o nu s i n gp s p i c ei no r d e ft ov a l i d a t et h ep r a c t i c a l i t yo f b o t ht h ep r a c t i c a lm e t h o d s f i n a l l y i tc o m b i n e dt h ew a v e l e tt r a n s f o 咖a n ds w i t c h e dc u e n tt e c h n o l o g y r e a l i z e dt h ew a v e l e t r a n s f o r mu s i n gs w i l c h e dc u r r c n e c h n o l o g ya n dg a v et h es i m u l a “o nr e s u l t s b a ij i e ( s i g n a la n di n f o 啪a t i o np r o c e s s i n 曲 d i r e c t e db yp r o f k a n gy i k e yw o r d s ：w a v e i e tn a n s f o r m ，s w i t c h e d 伽r r e n t ，p s p i c e 华北电力人学硕十学位论文摘要 摘要 论文介绍了小波变换的发展简史并分析了小波变换的基本原理，并以此为基础从时 域和频域两方面给出了小波变换的实现过程，并深入探讨了小波变换的几种实现方法， 通过对这几种方法的比较提出了以网络函数逼近方法为本文实现小波变换的方法。文中 系统分析了开关电流技术的基本原理，以此为基础给出了开关电流电路的各种基本模 块。文中介绍了直接设计法和间接设计法，并利用这两种设计法给出了开关电流滤波器 的设计实例，利用p s p i c e 对设计实例进行仿真验证了这两种方法的实用性。将小波变换 和开关电流技术结合起来，最终利用开关电流技术实现了小波变换，并给出了仿真结果。 关键词：小波变换，开关电流，p s p i c e a b s t r a c t t h i sp a p e ri n t r o d u c e db r i e fh i s t o r yo ft h ed e v e l o p m e n to ft h ew a v e l e tt n n s f 0 珊a n da n a l y z e dt h e b a s i cp r i n c i p l e so fw a v e l e tt r a n s f o r i l l i tg a v et h er e a l i z a t i o np r o c e s so ft h ew a v e l e tt r a n s f o 册f 如mt h et i m e d o m a i na n d 丘e q u e n c yd o m a i nb a s e do nt h eb a s i cp r i n c i p l e sa n dd i s c u s s e ds e v e r a lw a y so ft h er e a l i z a t i o n o ft h ew a v e l e tt r a n s f o 咖f 0 rc o m p a r i s o nt h r o u g ht h e 辩d i 虢r e n tk i i l d so fm e t h o d s ，m a d et h en e t 、) ，o r k f t l n c t i o na p p r o x i m a t i o nm e t h o da st h er e a l i z a t i o n0 fw a v e l e tt r a n s f o 肺i nt h i sp a p e r t h i sp a p e ra n a l y z e d t h eb a s i cp r i n c i p l e so fs w i t c h e dc u r r e n ts y s t e m a t i c a l l ya n dg a v et h eb a s i cm o d u l e so fc i r c u i to fs w i t c h e d c u r f e n t i ti n t r o d u c e dt h ed i r e c ta n di n d i r e c td e s i g np r o d e c u r ca n dg a v et h ed e s i g ne x a m p l eo fs w i t c h e d c u i t e n tf i l t e r i tg a v et h ed e s i g ne x a m p l ea n ds i m u l a t i o nu s i n gp s p i c ei no r d e ft ov a l i d a t et h ep r a c t i c a l i t yo f b o t ht h ep r a c t i c a lm e t h o d s f i n a l l y i tc o m b i n e dt h ew a v e l e tt r a n s f o 咖a n ds w i t c h e dc u e n tt e c h n o l o g y r e a l i z e dt h ew a v e l e t r a n s f o r mu s i n gs w i l c h e dc u r r c n e c h n o l o g ya n dg a v et h es i m u l a “o nr e s u l t s b a ij i e ( s i g n a la n di n f o 啪a t i o np r o c e s s i n 曲 d i r e c t e db yp r o f k a n gy i k e yw o r d s ：w a v e i e tn a n s f o r m ，s w i t c h e d 伽r r e n t ，p s p i c e 声明尸明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文基于开关电流技术的小波变换的实 现，是本人在华北电力大学攻读硕士学位期间，在导师指导下进行的研究工作和取得 的研究成果。据本人所知，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得华北电力大学或其他教育机构的学位或 证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：j 匀确日期：幽：三：呈 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解华北电力大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保管、 并向有关部门送交学位论文的原件与复印件；学校可以采用影印、缩印或其它复制手 段复制并保存学位论文：学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为 目的，复制赠送和交换学位论文；同意学校可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学 位论文的全部或部分内容。 ( 涉密的学位论文在解密后遵守此规定) 作者签名：臼三盏 日 期：嗖2 ：三：窒 翩虢御龟 日期： 华北电力人学硕士学位论文 1 1 课题的选题意义和背景 第一章引言 小波变换是目前国际上最新的时频分析工具，因其具有多分辨率和时频局域化 的特点，被誉为分析信号的数学显微镜，特别适合处理非平稳信号。随着小波变换 与工程应用研究的结合曰益紧密，它已被广泛应用于信号检测、图像处理、数据压 缩等方面。开关电流技术是基于电流模式的技术，它用离散时间的取样数据系统处 理连续时间的模拟信号。在模拟集成技术中，基于电流模式的开关电流技术是当今 的前沿课题，其主要原因是电流模式的开关电流电路作为集成电路中的单元适于超 大规模集成电路的实现，较之电压模式的电路能获得更好的性能，符合集成电路制 造工艺向深亚微米发展的趋势i 。 随着超大规模集成电路技术近年来突飞猛进的发展，低功耗设计已经成为所有 高性能电子设备所必须遵循的规范。低功耗设计的限制因素主要有电源电压、阈值 电压、比例调节以及互连线路等。现代集成电路制造追求的是低造价、低功耗以及 数模混合的单片集成，这就使得系统的模拟部分要能用标准数字集成工艺制造，而 已经发展得比较成熟的开关电容技术需要使用线性浮置电容，这种电容通常是用双 层多晶硅实现，而双层多晶硅在工艺尺寸缩小到深亚微米范围后可能变得不适用， 向深亚微米工艺发展的趋势还导致电源电压降低，直接减小适用于开关电容上的最 大电压摆幅，因而减小了它们最大可达动态范围。在这种背景下，近年来提出了基 于电流模式的开关电流技术，且其研究迅速发展，在模拟取样数据处理领域有取代 开关电容技术的趋势。 开关电流技术( s i ) 是一种电流模式的模拟取样数据信号处理技术，具有电流 模式电路的高速、频带宽、线性好和电压低的特点。它具有不需要浮置电容、工作 电压低、功耗低、动态范围大等优点。s i 电路用电流取样表示电路的信号，使得电 源电压可以降低到集成电路工艺中提出的低电压标准，而信号的动态范围不会直接 受到影响。其基本原理是利用m o s 晶体管的栅极存储能力，即通过存储在栅极氧 化层电容上的电荷维持其漏极电流的能力。因此s l 技术不需要像s c 技术那样接线 性浮置电容来实现精确的比值关系，而只要通过修改m o s 管的尺寸之比就可以得 到所需的比值关系l2 1 。 信号的小波变换常用离散小波变换实现，其运算量大，难以满足实时性的要求。 基于此，近年来人们开始致力于小波变换模拟硬件实现的研究。用模拟电路实现小 波变换相对于用数字电路实现小波变换而言具有明显的优势：模拟电路实现小波变 换不需d 和d a 转换，处理速度高，避免了两次a d 、d a 转换引起的信号失真； 华北电力人学硕十学位论文 采用模拟方法处理信号的频率范围宽，可以达到高频率段，而功耗却不因此而增加； 用模拟法实现的小波变换电路便于制成一体化集成芯片。 开关电流技术与数字c m o s 工艺技术完全兼容，具有低电压、低功耗及高速度 等优点。开关电流技术预示着模拟取样数据信号处理新纪元的到来，促进了标准数 字工艺技术的混合信号v l s l 的复兴。基于此，本文提出将开关电流电路理论与设 计技术用于小波变换的模拟硬件实现，这将会把小波变换的实现研究带入一个新的 领域，对推动将开关电流电路理论与设计技术应用于小波变换及其实现、建立和发 展新学科、推动小波理论的发展及其广泛应用有着重要的理论意义和实际价值。 1 2 小波变换理论概述 小波变换是8 0 年代后期发展起来的应用数学分支，最近几年应用于信号检测、 特征提取、故障诊断与定位、小波数据压缩等方面，是多学科关注的热点，是信号 处理的前沿课题。小波变换具有多分辨率即多尺度的特点，可以由粗及精地逐步观 察信号，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口大小固定不 变但其形状可以改变的时频局部化分析方法，因而被誉为分析信号的数学显微镜。 小波变换需要大量的计算，通常由计算机完成，难以实时处理。因此开展实时 小波变换硬件实现具有理论意义和学科意义。近年来人们开始致力于用硬件实现小 波变换的研究，但注意力主要集中在离散小波变换的数字电路实现方面。由于连续 小波变换是分析非平稳信号的有力工具，且其算法在数据压缩等方面的性能优于离 散小波变换，故它的应用倍受关注。 1 3 开关电流技术概述 随着大规模集成电路技术的发展，使得将整个系统集成到一块芯片上成为可 能，与此相应的是要开发单片的模拟和数字混合集成电路。从经济和系统设计的角 度看，混合集成电路是集成电路技术发展的必然结果，但同时混合集成电路对电路 设计和工艺技术提出了新的困难和挑战。 自二十世纪六十年代以来，开关电容技术已广泛应用于混合模拟集成电路的模 拟接口电路的设计中。但是，随着工艺尺寸缩小到深亚微米范围，丌关电容的缺点 也逐渐显示出来，第一，开关电容需要高质量的浮置线性电容，在电路实现上与数 字c m o s 工艺技术不完全兼容；第二，电源电压己从5 v 降到3 3 v ，并币在向更低 的方向发展，在低电压丌关电容滤波器中，要获得高速度和大动态范围就很困难， 因而开关电容技术的应用受到限制1 2 j 。 二十世纪九十年代以来，许多研究人员丌始研究丌关电流电路，开关电流电路 是电流模取样数据系统，是一门比较新的模拟取样数据信号处理技术。丌关电流技 2 华北电力人学硕十学位论文 术是采用标准v l s lc m o s 工艺来实现模拟取样数据电路。开关电流系统的应用与 开关电容系统的应用有很多相同之处，即滤波器、d 和d a 转换器、一般信号处 理等，但它与开关电容电路的根本不同在于：开关电流电路以电流取样，而开关电 容电路以电压取样；开关电流技术不需要线性浮置电容，与数字v l s i 工艺兼容； 开关电流积分器不用运算放大器，排除了运算放大器的非理想性给积分器带来的影 响。 开关电流技术是一门完全采用c m o s 数字工艺技术实现的模拟取样信号处理 技术。开关电流技术的基本单元是开关电流存储单元，高质量的电流存储单元是开 关电流电路的基础。由电流存储单元通过一定的方法可以构成积分器、微分器和延 迟线等开关电流标准模块，继而可综合成滤波器，d 转换器等应用电路。 集成滤波器设计是开关电流技术的主要应用领域。双二次滤波器则是滤波器电 路的标准部件，能很方便地综合成高阶滤波器。 1 4 论文主要工作 首先对小波变换和开关电流技术进行分析，同时找到用开关电流技术来实现小 波变换的有效方法，从而达到用模拟技术来实现小波变换的目的。 用模拟或模数混合电路实现连续小波变换，相对于用数字电路实现离散小波变 换具有如下优势：( 1 ) 用模拟电路实现连续小波不需要a d 和d a 变换，处理速 度高。( 2 ) 避免由于两次变换和数字电路开、关引起的波形畸变。( 3 ) 采用模拟 方法处理信号的频率范围宽，可以达到高频领域，而功耗却不因此而增加。 ( 4 ) 用模拟方法实现的连续小波变换电路便于制成一体化集成芯片。 本文在分析了小波变换理论和开关电流技术以后提出了两种实现小波变换的 方法，并给出了仿真结果。论文的具体内容如下： 第一章：概括介绍了小波变换理论和丌关电流技术，提出了课题的选题背景及 意义。 第二章：首先简单回顾了小波变换的发展简史，进而引出了小波变换的基本原 理，并给出了时域和频域实现小波变换的方法。 第三章：对连续小波变换的实现方法进行比较，确定了本文中小波变换的实现 方法是利用麦克劳林公式对小波函数进行逼近，从频域罩实现小波变换。 第四章：对开关电流技术与丌关电容技术进行比较，进而引出了开关电流技术 的基本工作原理，并给出了开关电流标准模块电路结构。 第五章：介绍了用丌关电流技术来实现滤波器的方法，详细介绍了直接设计法 和间接设计法两种利用开关电流技术实现滤波器的方法，并综合小波变换方法和开 3 华北电力人学硕士学位论文 关电流滤波器的实现方法，给出了具体的实现过程和仿真结果。 第六章；总结和展望。对本文的研究内容和所做工作做了总结，并在此基础上 进行了展望，为进一步的研究做了铺垫。 4 华北电力人学硕士学位论文 第二章小波变换理论 小波分析的基本理论是应用小波变换的基础。本章简要介绍小波变换及其逆变 换的定义、分类和相关定理，并从信号处理的角度来看待小波变换，为硬件实现小 波变换提供必要的预备知识。鉴于小波变换是傅里叶变换和短时傅里叶变换思想的 发展和延拓，本章也对它们进行了简要介绍。 2 1 小波发展简史 信号与图像总要导致技术或方法的聚集。从数学的观点来看，信号与图像处理 也可以统一的看做信号处理。如今信号处理已经成为当代科技发展的重要部分，已 广泛的应用于通信、医学成像、卫星图像分析等领域。信号是时间的函数，信号处 理的目标就是准确的分析，有效的编码，快速的传递以及精确的重构。为了给指定 的信号找到合适的分析方法，通常把信号分为稳定的与非稳定的。我们知道研究稳 定信号的理想工具是f o u r i e r 变换，换句话说，稳定信号可分解为正弦波的线性组合。 而对于非稳定信号的研究，由于瞬变事件不能事先知道，这就需要不同于f o u r i e r 分析的技术。由于小波变换具有良好的局部化特征及多尺度分析能力，适合于检测 突发信号，因此特别适用于非稳定信号的分析。 自从1 8 2 2 年傅里叶发表“热传导解析理论”以来，傅里叶变换一直是信号处理 领域中最完美、应用最广泛、效果最好的一种分析手段。但傅里叶变换只是一种纯 频域的分析方法，它在频域的定位性是完全准确的( 即频域分辨率最高) ，而在时 域无任何定位性( 或分辨能力) ，也即傅里叶变换反映的是整个信号全部时间下的 整体频率特征，而不能提供任何局部时问段上的频率信息。相反，当一个函数用6 函数展开时，它在时间域的定位是完全准确的，而在频域却无任何定位性( 或分辨 能力) ，也即6 函数分析所反映的只是信号在全部频率上的整体时域特征，而不能 提供任何频率段所对应的时间信息。实际中，对于一些常见的非平稳信号，如音乐 信号，在不同时间演奏不同音符；语音信号，在不同时间对应不同音节；探地信号， 在不同目标出现的位置对应一个回波信号等，它们的频域特性都随时问而变化，因 此也可称它们为时变信号。对这一类时变信号进行分析，通常需要提取某一时间段 ( 或瞬间) 的频域信息或某一频率段所对应的时间信息。因此，寻求一种介于傅晕 叶分析和6 分析之间的，并具有一定的时间和频率分辨率的基函数来分析时变信 号，一直是信号处理界及数学界人士长期以来努力的目标。 为了研究信号在局部时间范围的频率特征，1 9 4 6 年g a b o r 提出了著名的g a b o r 变换，之后又进一步发展为短时傅罩叶变换( s h o r tt i m ef o u r i e rt r a n s f o r m ，简 记为s t f t ，又称为加窗傅罩叶变换) 。虽然s t f t 已在许多领域获得了广泛的应用， s 华北电力人学硕士学位论文 但由于s t f t 的本身特点决定了其窗函数的大小和形状与时问和频率无关而保持固 定不变，这对于分析时变信号来说是不利的。高频信号一般持续时间很短，而低频 信号持续时间较长，因此，我们希望对于高频信号采用小时间窗，对于低频信号采 用大时间窗进行分析，这种变时窗的要求同s t f t 的固定时窗的特性是相矛盾的， 这表明s t f t 在处理这一类问题时已不再适用了。 小波分析( w a v e l e t sa n a l y s i s ) 是近年迅速发展起来的新兴学科，具有深刻的 理论意义和广泛的应用范围。小波分析是一种信号的时间一尺度( 时间一频率) 分 析方法，它具有多分辨率的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力， 是一种窗口大小固定不变但其形状可以改变的时频局部化分析方法。即在低频部分 具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和 较低的频率分辨率，很适合于探测正常信号中夹带的瞬变反常信号并分析其成分， 所以被誉为分析信号的显微镜。由于小波具有多分辨率分析的能力，可以对信号和 图像在不同尺度上进行分解，在小波域进行去噪、压缩处理后，作反变换得到去噪 和压缩后的信号和图像。小波分析用于非平稳信号和图像的处理优于传统的傅里叶 变换已被许多应用领域的事实所证实。因此，自小波分析诞生到现在不过l o 年的 时间，就在诸如地球物理勘探、信号信息处理、图像处理、语音分割与合成、故障 诊断、雷达信号分析等取得了很佳的应用效果。 小波变换的思想来源于伸缩与平移方法。小波分析方法的提出，最早应属1 9 1 0 年h a a r 提出的规范正交基，这是最早的小波基，但当时并没有出现“小波”这个 词。1 9 3 6 年l i t t l e w o o d 和p a l e y 对傅里叶级数建立了二进制频率分量分组理论， 对频率按二进制进行划分，其傅里叶变换的相位变化并不影响函数的大小，这是多 尺度分析思想的最早来源。1 9 4 6 年g a b o r 提出的加窗傅里叶变换( 或称短时傅里叶 变换) 对弥补傅里叶变换的不足起到了一定的作用。后来，c a l d e r o n 、z y g m u n d 、 s t e r n 等将l p 理论推广到高维，并建立了奇异积分算子理论；1 9 6 5 年c a l d e r o n 发现了再生核公式，它的离散形式己接近小波展开，只是还无法得到一个正交系的 结论。1 9 8 1 年，s t o r m b e r g 对h a a r 系进行了改进，证明了小波函数的存在性。1 9 8 2 年b a t t l e 在构造量子场论中采用了c a l d e r o n 再生核公式的展丌形式。 小波概念的真正出现应算于1 9 8 4 年。法国地球物理学家j m o r l e t 在分析地震 数据时提出将地震波按一个确定函数的伸缩、平移系展丌。随后，他与a g r o s s m a n 共同研究，发展了连续小波变换的几何体系。1 9 8 5 年，法国的大数学家m e y e r 首先 提出了光滑的小波正交基，对小波理论做出了贡献。19 8 6 年，m e y e r 及其学生l e m a r i e 提出了多尺度分析的思想。1 9 8 7 年m a ll a t 将计算机视觉领域内的多尺度分析思想 引入到小波分析中，提出了多分辨分析的概念，统一了在此之前的所有f 交小波基 的构造，并提出了相应的分解与重构快速算法。1 9 8 8 年，年轻的女数学家d a u b e c h i e s 6 华北电力人学硕十学位论文 i 提出了具有紧支集的光滑正交小波基一d a u b e c h i e s 基，为小波的应用研究增添了 催化剂，同年，d a u b e c h i e si 在美国主办的小波专题讨论会上进行了十次演讲， 引起了广大数学家、物理学家甚至某些企业家的重视，由此将小波的理论和实际应 用推向了一个高潮阳1 。 2 1 1f o u rie r 变换理论基础 信号处理的目标是准确的分析，有效的编码，快速的传递，最后是精确的重构。 在科学研究和工程技术应用研究中，f o u r i e r 变换是最有用的工具之一，它无论是 对数学家来说，还是对其他研究领域的专家以及工程师来说都是相当重要的。具体 地说，f o u r i e r 变换通常是指博里叶变换和博里叶级数两种分析技术。 利用复变函数的基本知识，我们可以有f o u r i e r 级数的表达式如式( 2 1 ) ： ，o ) 一c 。p 眦圳 ” ，l z( 2 1 ) 铲捣m 矿姒 f o u r i e r 级数是用离散频率，l 表示周期函数，f o u r i e r 变换是用连续频率表 示非周期函数。对f o u r i e r 级数而言，它不仅能表示l 一以，玖l 这个周期段的频谱分 -，一， 析，也能表示其它周期段的频谱分析；对于f o u r i e r 变换而言，它不仅能表示周期 函数的一个周期段的频谱分析，也能表示非周期函数的频谱分析。 我们可选择厂o ) ，f i - 么，么i 为函数段，选定，l 作为比较函数。一方面， o ，厶，厶 可认为此函数段是某个周期函数的一个周期段，将其作周期拓延后用复指数形式的 f o u r i e r 级数式表示，即可知关于离散频率，l 的谐波分量已嘲拟的振幅如下式： 咿捣弛卜砒删以 ( 2 2 ) 另一方面，可将此函数段以外部分用零值代替，将其看做定义在( 一，+ ) 上的 非周期函数，并使用f o u r i e r 变换式，即任意频率u 所对应谐波分量e 一扣的振幅为 f 1 ，特别是对离散频率疗御，其谐波分量的振幅为： f ) l 。砌。= e 厂o ) 。p 嘲胁出= ，篡，( f ) e 嘲胁出= 丁c 。 ( 2 3 ) 由此可见，就离散频率咒甜而言，这两种分析的结果仅相差一个不变的常数， 它们是等价的。 虽然f o u r i e r 变换能够将信号的时域和频域特征联系起来，能分别从时域和频 7 华北电力人学硕士学位论文 域观察信号，但却不能把两者有机地结合起来。这是因为：为了通过f o u r i e r 变换 研究一个信号的谱特性，必须获得该信号在时域中的全部信息，甚至包括将来的信 息。如果信号在某个时刻的一个小的邻域中变化了，其整个频谱都受到影响。实际 上，信号的时域波形中不包含任何频域信息。f o u r i e r 频谱是信号的统计特性，从 其表达式( 2 3 ) 中可以看出，它是整个时间域内的积分，没有局部化分析信号的 功能，完全不具备时域信息，也就是说，对于f o u r i e r 频谱中的某一频率，不知道 这个频率是什么时候产生的。在实际的信号处理过程中，尤其是在非平稳信号的处 理中，信号在任一时刻附近的频域特征都很重要，或者说信号的频谱是随时间而变 化的，对这种信号仅从时域或频域上来分析是不够的。因此，如何找到一种新的方 法，能将时域和频域结合起来描述所观察信号的时频联合特征而构成信号的时频谱 就成为解决问题的关键。这就是所谓的时频分析法，亦称为时频局部化方法。 2 1 2g a b o r 变换 对于一些常见的非平稳信号，例如，音乐信号、语音信号、探底信号等，它们 的频域特性都是随时间而变化的，我们称这样的信号为非平稳信号。对这一类信号 用傅里叶变换进行分析，不能提供完全的信息，也即通过傅里叶变换，虽然可以知 道信号所含有的频率信息，但不能知道这些频率信息究竟出现在哪些时间段上。可 见，若要提取局部时间段( 或瞬间) 的频域特征信息，傅里叶变换已经不再适用了。 从傅立叶变换选取的基p m 来看，它本身的傅里叶变换是一个冲激函数，因此，傅 里叶变换只具备频域局部化的能力。为了得到时频的局部化，最先想到的是在时域 开窗。d e 肌i sg a b o r n 阳于1 9 4 6 年引入了短时傅里叶变换( s h o r tt i m ef o u r i e r t r a n s f o r m ，简记为s t f t ) 。短时傅里叶变换的基本思想是把信号划分成许多小的时 间间隔，用傅里叶变换分析每一个时间间隔，以便确定该时间间隔存在的频率。 ( 1 ) g a b o r 变换基本理论 基本思想是，取时间函数g ( f ) = 万一似p 叫。2 作为窗口函数，用g ( f f ) 同待分析函数 厂( f ) 相乘，然后再进行傅里叶变换如式( 2 4 ) ： g 厂( ，r ) = f 厂( f ) g ( f f ) e 一问出= ( 2 4 ) 旯 其中g ：，( f ) = g ( f f ) p 一埘= g ( f r ) p 朋，称式( 2 4 ) 为窗口函数g ( f ) 的窗口f o u r i e r 变换或g a r b o r 变换。 由g a r b o r 变换得知，g ，( 彩，f ) 表示的是厂( f ) 以r 为中心、左右为f 局部时间内 的频谱特性。窗口宽度f 的大小决定了时间域的分辨率。由于式中g ，( ，f ) 实际上 是( f ) g ( f r ) ( 即加窗后的( f ) ) 的傅氏变换。设g ( ) 为窗口函数g ( f ) 的傅氏变换， 由g ，( 国，r ) = 击，( 缈) 幸g ( w ) e 一埘可知，在f = 时，g a b o r 变换g ，( 国，f ) 实际上描述的 华北电力人学硕士学位论文 是信号频谱，( 国) 经频域窗g 细) p 一归r o 卷积平滑后的结果，其平滑对原函数频谱，( 缈) 的影响由g ( 国) 的窗口2 缈决定，因此窗口函数g ( f ) 的频域窗口2 国的大小又决定了 g a b o r 变换的频域分辨率。总之，g a b o r 变换的时频域分辨率是由窗口函数的时频 域大小直接决定的，一旦窗口函数g ( f ) 选定，其时频分辨率就已确定，并且不随频 域彩和时间f 而变化，可以得到g a b o r 变换( g ，( 彩，f ) ) 的时频相平面。g a b o r 变换 确实能反映出一个信号在任意局部范围的频域特征，这是它比傅里叶变换优越之 处，而且g a b o r 变换就有反演公式如式( 2 5 ) 所示： 厂o ) = 去i 。d 彩l 。p g o f ) g 厂( 彩，f ) d f ( 2 5 ) 因此g ，( 缈，r ) 也确实包含了厂( f ) 的全部信息。 ( 2 ) s t f t 的局限性 就时一频局部化而言，s t f t 在f o u r i e r 分析的基础上取得了本质的进步。用 s t f t 分析信号可在时一频这个局部范围内观察，时一频窗面积反映了时一频局部化 的精细程度。是否可以选择某个窗函数，能使时一频窗面积充分小呢? h e i s s e n b e r g 测不准原理表明，任何窗函数所相应的时一频窗面积都有a 2 。也就是说，信号厂( f ) 在时间域和频率域里的性质是互相制约的，在时间域里持续时间很短，而频率域中 的频率范围也很窄。例如，对某一信号厂( f ) ，如只在很短的时间里测量了它的数值， 根据测得的数据计算得到它的频谱就一定分布在很宽的频率范围里，且结构很模 糊。这就是说，就时一频窗面积而言，g a u s s 窗函数就已经是很好的结果了。时一 频局部化的精细程度还反映在时一频窗的形状上。低频信号的特点是，大的时间范 围内幅值变化慢，其频率范围窄，于是分析低频信号的时一频窗特点应该是时窗宽 而频窗窄；高频信号的特点是，较短的时间范围内幅值变化快，其频率范围宽，于 是分析高频信号的时一频窗特点应该是时窗窄且频窗宽。 s t f t 分析信号的时一频窗形状有如下特点：以g a u s s 窗函数g d ( f 一6 ) 为例，选定 口，其时一频窗形状确定；若( f ) 以f 一6 i ) 和( f ) 以f 一如) 相同时，被局部化的信号 的频带和频率中心不变，则不变形状的时频窗从b ，处移到b ：；若时窗以f 一6 1 ) 不变， 信号发生变化，则厂( f ) w ( f 一6 i ) 和( f ) 以f 一6 2 ) 的中心频率从r l ，处移到r iz ，此时的 时频窗形状仍然不变；为了分析局部低频信号，可选择较大的参数口，使仃，增大，仃。 变窄；为了分析局部高频信号，可再选择较小的参数口，使仃，变窄，仃。，变宽。总之， 虽然s t f t 可以分析低频和高频信号，但是其表现显得呆滞；若用确定口的时一频窗 来分析同一个信号的不同时段，则有时适合，有时不适合；若通过调整口来分析同 一个信号的不同时段，则显得很麻烦“1 。 时一频局部化的精细程度还表现于分析高、低信号的自适应时一频窗方面。在 给定的实际模拟信号中，常常同时含有表示某种特定情况的低频信号段和表示另外 o 华北电力人学硕士学位论文 特定情况的高频信号段，此时需要一种自适应的时一频局部化方法。也就是说，选 择某个窗函数，希望其时一频窗形状是自适应变化的，对低频信号，其窗口形状自 动变得扁平，对于高频信号，其窗口形状自动变得瘦长。对于这方面的要求，s t f t 是无能为力的。在时一频局部分析中往往还要求将频域分成若干个细小的频带，进 一步分析信号在各个频带中的表现；往往还要求实时地、精细程度更高地、自适应 地分析信号。对于这些要求，s t f t 也是无能为力的。 2 2 小波变换 综上，由于g a b o r 变换仍然不能解决低频信号要求高的频率分辨率，而高频信 号要求高的时i 、日j 分辨率的变分辨率的问题。所以，理论上迫切需要研究一种新的手 段，解决信号的多分辨率分析问题。小波分析正是由于上述需求，在前人的努力下， 从理论到实践，再从实践到理论不断发展起来的。 由于连续小波变换是分析非平稳信号的有力工具，并且连续小波变换的算法在 数据压缩方面的性能优于离散小波变换，因此它的应用倍受关注。用模拟或模数混 合电路实现连续小波变换相对于用数字电路实现离散小波变换而言有明显的优势。 下面将从时域和频域两方面来描述连续小波变换的实现过程。 2 2 1 连续小波变换的时域实现 时域实现的基础是连续小波变换的时域表达式，它的基本定义如下： 设工o ) l 2 似) ，缈o ) 为一个基本小波或母小波函数。则 暇) 一知厂( f ) l f ，( 学炒 6 ) 称式( 2 6 ) 为厂o ) 的小波变换时域表达式。其中口是尺度因子；6 反映位移，其值 正负皆可；“串”表示取共轭。式中不但f 是连续变量，而且口和6 也是连续变量，因 此被称为连续小波变换( c o n t i n u o u sw a v e l e tt r a n s f o 硼，c w t ) 。 小波变换的时域表达式表征了时域法实现连续小波变换的原理。从式( 2 6 ) 可以看到在时域中实现连续小波变换的基本框架，即采用包含有小波函数发生器、 乘法器和积分器等单元在内的一个级联结构，实现框图如图2 1 所示。其中小波函 数发生器产生不同尺度与位移的小波族，它与输入信号相乘后经积分器积分完成小 波分解。由于上述结构对信号的处理都是在时域进行，因此称为时域法。 在时域法实现小波变换的结构中，小波函数发生器是整个系统的核心，也是设 计的难点，或者要求它能生成连续尺度和位移的小波族，或者在积分逼近理论的基 础上实现有限区间上的有限单元的逼近。实现输入信号与小波族相乘的乘法器也是 1 0 华北电力人学硕士学位论文 个不可或缺的部分，由于实现小波变换的信号的时段和频段的变化，要求其线性动 态范围宽，以减少非线性失真。目前已有的宽线性动态范围的乘法器都是建立在跨 导线性理论的基础之上，多以b g i l b e r t 发明的六管电流乘法器为核心。而对于积 分器，要求其具有高线性度、高动态范围、高工作稳定性，并且积分常数可调整。 现在积分器种类很多，如m o s f e t c 积分器、g m c 积分器、电流模积分器、对数域 积分器、开关电容积分器、开关电流积分器等，可根据实际问题进行选择。 _ 圈一 图2 1 小波变换时域实现框图 时域实现的优点在于其处理速度快，结构相对简单，便于一体化集成，适合要 求快速计算小波系数的场合。有一种典型的时域实现的方案就是幅度调制技术。时 域实现的难点在于小波函数发生器的设计，以及对系统中所采用的乘法器、积分器 等器件，要求它们的线性动态范围要宽、工作带宽要广阳1 。 2 2 2 连续小波变换的频域实现 频域法实现的基础是连续小波变换的频域表达式，其定义式为： 设x ( ) 是石o ) 的f o u r i e r 变换，v ( 缈) 是妒) 的f o u r i e r 变换，口以及f 的定义 同时域中的定义，则z o ) 在频域中的连续小波变换表达式如式( 2 7 ) ： r 陟t q ，r ) = 姜竺r x ( ) v g ) e 加7 d ( 2 7 ) 饥。 从连续小波变换的频域实现表达式可以看到，小波变换在频域中的作用相当于 用基本频率特性为l 王，( 彬) 且品质因数恒定的带通滤波器在不同的尺度口下对输入信 号做滤波处理，频域的基本实现框架如图2 2 所示。同时也要注意到带通滤波器的 设计是比较困难的，在带通滤波器的设计当中，既要考虑其频率特性要与实现的小 波的频率特性一致，又要求它的带宽和中心频率是可以实现精确控制、可调且品质 因数恒定，并且随着处理信号的频带增宽，滤波器的数目增加，对芯片面积和功耗 的控制也比较困难。因此在已有的一些频域实现方法中，设计人员总是通过各种个 样的方法来避免设计带通滤波器。 华北电力人学硕+ 学位论文 l l - r不同带 r 2 宽与中2 心频率 r n - l 和恒q n l 带通滤 r n波器组 n 信号输出 + 图2 2 小波变换频域实现框图 频域实现的优点在于它能实现的小波函数种类较多，实现的方案也比较灵活， 且对于系统实现当中的一些关键部件，例如滤波器的研究都相对比较成熟。实现的 难点在于它的实现结构相对复杂，大多数情况下都是一些模数混合的系统，且在高 频运用的领域，一些实现方法当中对滤波器组的实际要求高，高精度以及宽动态范 围的滤波器设计难度高。 虽然近年来在连续小波的时域以及频域实现的研究上已经取得了许多的成果， 但是仍然有许多问题有待解决：整个实现系统中每个模块的性能还有待提高；整体 设计时作为集成电路的系统，其电源电压与功耗还可以降低；应用于高频领域中时， 系统的抗噪性能还有待提高。 频域法实现连续小波变换相对于时域法实现而言，结构比较复杂。特别是在高 频应用时，连续时间滤波器成为唯一的选择，要求滤波器组具有高精度和宽动态范 围，此时芯片上自动调节电路也是必不可少，从而导致电路复杂度增加。但是也要 看到，频域实现法实现的方案较多，可实现的连续小波的种类也比较多，方法比较 灵活1 。 2 3 小波变换的应用 小波分析的应用十分广泛，它包括涉及数学领域的许多科学，例如已用于数值 分析、构造快速数值方法、曲线曲面的构造、微分方程求解、控制等；信号处理与 图象分析，例如信号的小波滤波、消噪、压缩、传递等，以及图象的压缩、分类、 识别与诊断、去污等；量子力学与理论物理；军事电子对抗与武器的智能化：计算 机对模式的分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成象与诊断，例如可减少b 超、c t 核磁共振成象的时间，提高分辨率等；地震勘探数据处理；大型机械的故障 诊断等。信号的压缩与传递是小波分析应用的另一个重要方面，它的特点是压缩比 高压缩速度快，压缩后能保持信号与图象的特征不变，且在传递过程中可以抗干扰。 基于小波分析的压缩技术有很多，比较成功的有小波包最好基方法、小波域纹理模 型方法、小波变换零树压缩、小波变换向量量化压缩等。小波应用于信号分析的另 一个重要方面是噪声分离与弱信号的提取。由于小波与小波包分解可以将一个信号 分解为不同频段的信号，因此就可以进行信噪分离。在信号分析中，许多情况下都 1 2 华北电力大学硕士学位论文 需要提取弱信号，例如机器中被运行振动信号和随机噪声淹没的弱故障信号。这样 可以在进行小波分解之后，根据诊断目的选取包含所需要零部件故障信息的频段序 列，进行深层次信息处理以查找机器的故障源。 随着交通系统的日益高速化与复杂化，对于利用电子地图实施卫星导航定位的 要求