（应用数学专业论文）非线性方程xax2aq的hermite正定解.pdf

山东大学硕士学位论文 非线性方程x + a x 。2 a = 9 的h e r m it e 正定解 姜立新 ( 山东大学数学与系统科学学院，济南2 5 0 1 0 0 ) 摘要 x + a x 屯a = q ( 1 ) 么= c 形，z ，其中矩阵 芝主 是列酉正交的，此时方程c ，有解x = 形 定理2 矩阵方程( 1 ) 有解的充要条件是存在酉矩阵u 。，k 和对角矩阵 a = ( q 21 1 2 q2 ) u 。巧q 2 其中f 2 + 2 = ，此时x = q 2 f 2 q z 是方程( 1 ) 的解 ( a ) 厕 ( 卜考) 2 ( c ) 1 1 鲋1 1 1 0 一1 以( 1 - 4 2 - 4 7 ) 考 那么矩阵方程( 1 ) 和( 3 4 ) 分别存在最大解五和戈，且满足 l i 足一x l i i i 1 【l i p 0 + ( 0 彳l 2 0 + l i 殳l 。2 么0 ) 8 鲋i i 】 定理1 0 设x s 和只分别是( 1 ) 及其扰动方程( 3 4 ) 的最小解，则 m 0 ，使得 | k + ，一x ：，i i 0w i t hf 2 + 2 = ，s u c ht h a t ! 。! 彳= ( q 2 f 2 a 2 ) u 。巧q 2 l! i nt h i sc a s ex = a 2 f 2 0 2 i sas o l u t i o no f e q ( 1 ) i v t h e o r e m3i f ai si n v e r t i b l e ，e q ( 1 ) h a sas o l u t i o nx ，t h e n | l q | | 妙0 彳+ o 一2 a 山东大学硕士学位论文 刚) 去i | q | i ； t h e o r e m4i f ai si n v e r t i b l e ，e q ( 1 ) h a sas o l u t i o nx ，t h e n k ( q - i a q 一；) 寺趾d x 幻 w h e r e 茁i sas o l u t i o no ft h en o n l i n e a rs c a l a re q u a t i o n a2 ( 1 - a ) = 允m i i i ( q 1 彳q2 ) a n d 岔( o ，詈】 一三 ， t h e o r e m5i fai si n v e r t i b l - e ，e q ( 1 ) h a sas o l u t i o nx ，t h e n l k ( t 2 一4 t 22 ) q 矿 一4 a n d x & q 2 7 w h e r e & i sas o l u t i o no ft h en o n l i n e a rs c a l a re q u a t i o n 1 一! a2 ( 1 一a ) = 圳矿 a , m m ( q 。1 a q2 ) a n d & t h e 。r e m6s u p p 。s et h a t 0 彳俐摩一18 3 万4 a n dxi sas 。l u t i 。n 。f e q ( 1 ) ，t h e n a 2 允，l 血( x ) a l o r 卢i 旯。咖( x ) 卢2 a 2 a 。积( x ) a l o r 卢l a m x ( x ) p 2 s e c o n d ，t h i sp a p e ro f f e r st w od i f f e r e n ti t e r a t i v em e t h o d st oa p p r o x i m a t et h e s o l u t i o n so ft h ee q ( 1 ) a n dt h ec o n v e r g e n c eb e h a v i o r so ft h eb a s i cf i x e dp o i n ti t e r a t i o n s o l u t i o n sa n dp e r t u r b a t i o nb o u n da r ei n v e s t i g a t e db yt h ef o l l o w i n gt h e o r e m s t h e 。r e m7s u p p 。s et h a t 怕吲i o 一1 0 3 万4 ，t 1 1 e ne q ( 1 ) l 粥a 砸q u e s 。l u t i 。n s a t i s f y i n g 卢li x l 卢2 ia n dt h e r ei sn os o l u t i o nb i g g e rt h e n xl x lc a nb eo b t a i n e db yt h ef o l l o w i n gm a t r i xs e q u e n c e ： 以+ l = o a x i 2 ak = 0 , 1 2 f o r a n yx o 阪，卢2 巾 t h e 。r e m8s u p p o s e 帆2 矿| | 3 万4 ，t h e ne q ( 1 ) h a st h em i i l i m a ls o l u t i 。n ja i l d t l l e m a ) 【i m a ls o l u t i o n 岩i n陋2 1 ，a 1 1 】x = l i m x n ， 一 x = l i mx n ，a n dt h e r e t - - q o v 山东大学硕士学位论文 i sn os o l u t i o nb i g g e rt h e n 又 j 。= 矿，k ，卢。，】，兄+ 。：- ( q 一贾。) 一- 彳+ ，七：o ，1 ，2 ， 膏。：矿， 0 ，a ：，】，j 。+ 。：b ( q 一兄) 一t 彳+ p ，七：o ，l ，2 ， 贾o 膏l 贾。j 兄又l 0 t h e o r e m9 s u p p o s e t h a taa n da = a + a aa r ei n v e r t i b l em a t r i c sa n d o a n dq = q + a q c “”a r eh e r m i t i a np o s i t i v ed e f i n i t em a t f i c s i f 彳a n do s a t i s f yt h a t t h e ne q ( 1 ) h a st h em a x i m a ls o l u t i o n 互a n de q ( 3 4 ) h a st h em a x i m a ls o l u t i o nx l t h ee s t i m a t ei s 阮一邑0圳1 廿| | + ( | 陋, - 2 1 1 + k 2 引脚 t h e o r e m1 0s u p p o s ee q ( 1 ) h a st h em i n i m a ls o l u t i o nx sa n de q ( 3 4 ) h a st h e m i n i m a ls o l u t i o nx s t h e nt h ee s t i m a t e 蚓 0 ，0 ，f 2 + 2 = 1 ，此时方程的 解为x = 尸r f 2 p ，并由此给出了该方程有解的必要条件徐树芳在 7 中证明了矩 阵方程x + 彳r x a = i 的最大正定解是良态的，给出了求解最大正定解的迭代方 法，并且讨论了该迭代方法的收敛性随后徐树芳，孙继广在 8 ，9 中和陈小山， 黎稳在 1 0 中详细讨论了矩阵方程x + a 。x a = p 的最大正定解的扰动界，误差 分析及条件数 2 山东人学硕士学位论文 在方程( 1 1 ) 研究的基础上，i v a n o vig ，h a s a n o vvi 和m i n c h e vbv 将此 类问题进行了扩展，在 1 1 中讨论了矩阵方程x a + x 。2 a = ，的情况此文在第二 节提供了一种迭代方法 x o = 7 i ，x i + l = 彳( ，一x i ) 。1 a ，j j = o ，l ，2 ， ( 1 4 ) 并证明了方程 x + a + x - 2 a = i( 1 5 ) 正定解存在的充分条件，即若存在两个数a 和卢满足0 a 卢 1 ，使得 a2 ( 1 一a ) i a a 0 表示x 为h e r m i t e 正定矩阵对于方阵 m ，m 表示m 的共轭转置，p ( m ) 表示m 的谱半径，九( m ) 表示m 的第i 个特 征值，l p 0 表示m 的谱范数，l l m 忆表示m 的f 一范数当日为h e r m i t e 矩阵时， k ( h ) 和a 劬( 日) 分别表示h 的最大和最小特征值，仃一( h ) 和仃嘶。( h ) 分别表 示h 的最大和最小奇异值，对刀阶矩阵a = ( a i 口2 ，口。) 和口，aob = b ) 表示 彳，召的k r o n e c k e r 积，v e c a = ( 口i ，口2 t ，口：) 为a 的列拉长向量 在此特别说明，文中的解均指h e r m i t e 正定解 4 山东大学硕士学位论文 第二章矩阵方程x + a x a = q 的可解性及解的性质 州哪矩阵晖卜一一圳形 w w + 彳。形一2 形_ 2 a = q 即w + w + ( w - 2 彳) w - 2 a = q( 2 1 ) 由于q 是h e r m i t e 正定矩阵，所以( 2 1 ) 等价于 ( w q j ) ( w q i ) + ( ( 形) 一2a q i ) ) ( 缈) 一2a q 2 = j 即 。等乏一； 。署之一l = ， c 2 2 ， 令z 邓y4 删州n 2 z ，的2 ，式得，是f ，阳z q - 一i ) 酉正交的 假定彳= c 形，2 z ， 芝主 是列酉正交，即+ + z z = q z + 彳x - 2 a = w w + ( ( 形) 2 z ) ( w + ) - 2 ( w ) 2z = w w + z z = q 定理2 2 矩阵方程( 1 ) 有解的充要条件是存在酉矩阵u 。，k 和对角矩阵 ! 。 ! a = ( q 2f 2 02 ) u l v l d p q 2 上三 其中r 2 + 2 = i 此时x = q zf 2 q 2 是方程( 1 ) 的解 证明必要性 若方程( 1 ) 有解，由定理2 1 存在非奇异矩阵，z ，使得彳= ( w ) z ，其中 矩阵 髦主 是列酉正交的，将 芝耋 扩展成一个酉矩阵 芝主； ，由c s 分 解定理( 见 2 8 ，p 3 7 ) 得，存在酉矩阵u ，u 2 ，k ，和对角矩阵k o ， 0 ，使 芝j i ； = ( 繁墨) ( 兰j ) ( 最) l 其中k 2 + 2 = i ，则w q2 = u l k v , ， li w = u l k v i q 2 ，z = u l k q 2 ，所以有 a = ( w w ) z = ( 0 2k k u ；u l k v t q 2 ) u l k q 2 = ( 0 2f 2 l q2)u1 11 1 l k q 2 1 ， 1 r 2 = k k 2 巧，= k k 都是对角矩阵且满足r 2 + 2 = ， 酉矩阵u l ，k 和对角矩阵r 0 ， 0 ，f 2 + 2 = ，使得 l! 彳= ( q 2 f 2 q2 ) u l v l d p q 2 三 令x = q 2f 2 q 2 ， x + a i x - z a 可得 1 。 i l 。三。 一1 土。 一i ! 。 一i 三 = q j r 2 q i + q i k u q 2r 2 q 2 ( q 2r 2 q z ) 一2 ( q 2r 2 q 2 ) u 。k q 2 l 三 = q 2 ( 1 1 2 + 2 ) q 2 l! 即x = q 2f 2 q 2 6 = o 是方程( 1 ) 的解 证毕 其中 引理2 1 ( 见 3 2 定理2 1 ) 设m 1 ，a m l ， 0 ，m 2 ，b m 2 ， 0 ，且b a ， 是于 k u = l 一2 刃 性在分存充若 山东大学硕士学位论文 则对任意f 1 ，有 儿时1 邶如吲曰 特别地，当彳，b 是正定矩阵时，a - i 玟, m ：= 蚓i ，聊：= 忙一1 i i - l 定理2 3 若方程( 1 ) 有解为x ，彳为非奇异矩阵，则 4 一a q a “蚀一南矿2 彳 ( b ) p ( 郇南l j q | l i 一 3 证明( a ) 由于方程( 1 ) 有解为x ，么为非奇异矩阵，所以 x t 丽 又叭歇q 瑚引舢b 舭2 荇n 即 于是有 从而 p 嘲1 q ， 小q - a * x - 2 a o ，o 0 ，f 2 + 2 = ，使得a = ( q 2f 2 q 2 ) u l k q 2 ，于是 l!三 a ( 彳) = a ( ( q 2 f 2 q 2 ) u ，k q 2 ) 故 p c 么，= m t a x 1 , 1i i ，l l i c q r 2 q ；，u 。k q ；0 7 山东大学硕士学位论文 i | g ；r 2 q ；q ；0 i | q i j ；0 1 1 2 m o 令r = d i a g ( 仃f ) ，= d i a g ( 7 f ) ，0 仃j a ，q ，那么 于是，x a ，o ， s = 0 ，1 ，2 ， 显然，数列缸，) 是单调递增的，于是有 = a 川q llll a ，i q2 x o2 q2 0 02 1 因此a ， 1 根据单调有界原理，数列缸，) 是收敛的 令 f f = ，l i m a ，则 8 山东大学硕士学位论文 倥2 即i 是数量方程( 2 3 ) 的解但数量方程( 2 3 ) 有解的充分条件是 a 血( 彳q 一；垮m 硎a x ，以l 叫= 寺 函数驴( x ) = x 2 ( 1 - x ) 在x = 詈 1 取得最大值，方程( 2 3 ) 在 o ，1 】上有两个解，但我们 可以证明，岔( o ，a 事实上，a 。：0 詈，假设a 。 昙，于是 事实上，a 。= 詈，假设a 。 丢，于是 333 a s + 12 ，五：三 ；，则 一三 一t 一丢半 一寺审= ； 所以岔= l i m 口。“詈，1 】 证毕 毒 下面进一步讨论解的取值区间 考虑下面的两个一元三次数量方程 x 3 一旯i n i n ( q ) x 2 + 旯。舡( 彳彳) = 0 ( 2 5 ) x 3 一允。( q ) x 2 + a 。面( 彳彳) = o ( 2 6 ) 对( 2 5 ) 式，令g ( x ) = a 嘶( q 沁2 一x 3 ，g o ) = a m i n ( q ) 2 x - 3 x 2 ，令g ( z ) = 0 ， 得 t 7 = 詈九曲( q ) 2 ；l i q l l - 1 1 0 山东大学硕十学位论文 易知，当叩= ；k ( q ) = ；i i q 。1 l | 1 时，此函数取最大值寺九二( q ) 因此，当允一( 彳彳) 鲁( q ) ， 即 i i a 卜4 z l , ( q ) 或2 矿卜万4 ( 2 7 ) 时，方程( 2 5 ) 有两个正实根a ，卢。( a 。 p 。 a 曲( q ) ) 又由式( 2 6 ) 可得 a 。l i i i ( 彳彳) 石4 l 3 一( q ) ， 从而方程( 2 6 ) 也有两个正实根仅：，卢：( 口： 卢： k ( q ) ) 容易证明 0 仅2 a l 7 7 p l 卢2 a 。( q ) ( 2 8 ) 定理2 6 若a 和q 满足条件( 2 7 ) ，x 是矩阵方程( 1 ) 的解，则 a 2 九。l h l ( ) a l 或 卢l a 曲( x ) 卢2 a 2 a 呦。( x ) 口l 或 卢i a m 戤( x ) 卢2 证明：若x 是矩阵方程( 1 ) 的解，即x + a x _ 2 a = q ，则 k ( x ) ，x 允。( x ) ， 即 彳磕( x ) 彳a j _ 2 a a a 孟( x ) 彳， o a 孟( x ) 彳a q a x - 2 a q 一允：( x ) 么a ， q 九：孟( x ) 爿a x q 一丸乙( x ) 彳a ( 2 9 ) 所以 a m i n ( q 一磕( x ) 彳彳) 允曲( x ) ， 由w y l e 不等式 3 3 ，p 2 2 7 定理7 1 0 知 a n l i n ( q ) 一磕( x ) 允一( 彳彳) a 。i 。( x ) ，化简得， 筏】i ( x ) 一允乙( x ) 允。i i l ( q ) + a 一( 彳彳) 0 ， 由方程( 2 5 ) 的解的情况知， a 曲( x ) 卢l 或九曲( x ) a l ( 2 1 0 ) 同理由( 2 9 ) 式又得，k ( x ) k ( q ) 一磕( x ) a 曲( 么彳) ， 即a ( x ) 一九乙( x ) x m x ( q ) + a n l i 。( 么彳) 0 ， 由方程( 2 6 ) 的解的情况知， 山东大学硕士学位论文 a 2 旯。a x 【爿) a i o ，b a i 0 ，则对任 意的酉不变范数，都有 l l 厂( 彳) 一( b ) 0 0 ，都有 p 彳2 0 刳2 x 一】，0 证明：对任意h e r m i t e 矩阵x y b i 0 ，由引理3 卜3 3 有 i x - 2 _ y - 2 1 1 = r 蟥巧1s 豳0 = 峪j ：e - ( i - t ) s ys ( y m 制衍s 凼0 i j ：of ，2 e + 衍s 2 ( y x ) 凼0 rj ：p 咖d ts 2 旷x d s = = j ：o e - b s s 2 y - xd s 寺l 阻一y 证毕 山东大学硕士学位论文 定理3 1 若a 和q 满足条件( 2 7 ) ，则矩阵方程( 1 ) 在l 8 。i ，卢：，j 上存在唯一解 x ，且不可能有比x 更大的解x l 可由以下迭代得到 以+ l = q a + 巧2 a ，k = 0 , 1 2 ( 3 1 ) 其中x 。l 8 。j ，卢：，】 证明：令f ( x ) = q a x a ，q = l 8 。，卢：，】，则q 为有界闭凸集， 易知：厂( q ) q 由b r o u w e r 不动点定理，厂在q 上有不动点，即方程( 1 ) 在q 上 有解对任意x ，y q ，由引理3 5 i v ( x ) 一似) i i - a * y - 2 a - a * p 彳h 彳1 1 2i y2 - - x - 2 i i 刳彳j | 2 | i y - x l | 令口= 云1 2 ，由( 2 7 ) 式怕1 1 2 万4 3 晌( q ) ，得 口= 知一2 h 4 a 3 ( q ) ， 又7 7 卢。，即詈a 曲( 9 ) 卢，从而口 1 故( x ) 在谱范数意义下是压缩算子，由b a n a c h 压缩映象原理得厂( x ) 在q 上有唯 - - 不动ax 三，使得厂( x l ) = x l ，且有 i x - 彳上o 篙o x 。一x 。l i ，i x - x o r a 石。以一以一| i 当恻1 2 刍如( q ) 时，任取x b z ，a 一，】是方程( 1 ) 的解，由a ，7 卢，可知， x 0 ，且 a 曲c c x ，= 志c 4 c q x ，。彳】 页：杀蚕争竺 i = 页三：毛言 竺 i = 口： 同理，a 。栅( ( x ) ) = a l ，即x = h ( x ) ， 因此，由参考文献 3 4 中定理2 1 ，可知 x = 办( x ) 在陟，矿，】上有一个最大不动点名( 尹) 和一个最小不动点宕( 歹) ， j ( 矿) = l i m h ”( 矿) 和膏( 歹) = l i m h ”( 歹，) 分别由迭代( 3 2 ) ，( 3 3 ) 得到 由注2 1 得： 岩( 尹) 和霄( 歹) k ：，a 。，】 由于j ( a 。) 和贾 ：) 在k ：，a 。，】中分别是最大和最小的，则 膏( 歹) 2 ( a ：) 2 ( a 。) 岩( 矿) 故 戈( 歹) = 贾 ：) 和j 。) = j ( 矿) 令x o = 0 ，以= 办( 以一1 ) ，z = 0 , 1 ，2 ，对于方程( 1 ) 的任意解x 0 ，由于办( x ) 是 【o ，q ) 上的增算子，且x = 办( x ) ，则x 咒，疗= 0 , 1 ，2 ， 因此 x l i m x 。= x 证毕 _ ， 注3 2 我们称定理3 2 中的牙为方程( 1 ) 的最小解 1 5 二、解的扰动分析 设矩阵方程( 1 ) 的扰动方程是 岩+ 彳+ 岩- 2 彳= ( 3 4 ) 其中 j = z + 似，彳= 彳+ 幽，孬：q + a q 定理3 3 设x 和足分别是( 1 ) 及其扰动方程( 3 4 ) 的解，若 c l = l 一舌2 o ， 则 m 圳碧一2 彳悼削i | + i | 训， 或错翱删l + | 阳嘴槲+ 管蚓 其中厶= m i n ( x m ( x ) ，a m j n ( j ) ) 证明考虑方程( 1 ) 减方程( 3 4 ) ，有 q = x + 彳x 彳一a x - 2 彳 整理得，a q = 从+ 彳岩一2 m a a x - 2 a a ( x 一戈1 2 ) 彳 所以，赵= a q 一7 1 岩- 2 削一鲋+ j - 2 a + a ( x 一戈2 ) 彳 于是，l j 麟8 = j j q 一彳j 之& 4 - z k 4 岩屯彳+ 彳( x 之一膏一z ) a i j - o ，舅厶， 0 则仿引理3 5 的证明，有 - 2 _ 舅。2 0 吾忙一舅j l - 吾哗。 于是，i i 从h 蚓| + | p 牙一2 | l | | 酬+ 1 1 j - 2 a i ii i m u + 幸2 黻| ， 若令 1 6 ( 3 5 ) ( 3 6 ) o4 2 一e 一 | | c 有m 纵 山东人学硕士学位论文 i l a x l m 引p 么i i ) i 鲋1 + i i q | | ) 上式两边同除以l i 赵| l ，可得 w i i a x i i 吉( c i i p 引降。2 彳i i ，臀龋+ 智蹄 证毕 定理3 4 若a 和q 满足条件( 2 7 ) ，则矩阵方程( 1 ) 的最大解丘满足 ( a ) 0 x i l l i 割q 。18 ( b ) 詈0 q 0 i i x l0 0 q 0 证明( a ) 由定理3 1 矩阵方程( 1 ) 在防。，p ：，】上存在唯一解x ，且x l 是矩 阵方程( 1 ) 的极大解又有( 2 8 ) 式知， 7 7 1 卢l ， x p 2 ， q ， 即 弦1 卜 置，正1 弦1 从而 雌0 剖q 。1 | 1 又设x 为方程( 1 ) 的h e r m i t e 正定解，x x l ，由( 2 8 ) 式及定理2 6 易知 a 曲( x ) 口。 剖q 一0 ( b ) 由矿 卢l i 置 卢2 ， q ，易得 刳剑 师 ( c ) 矿陋3 1 一等) 孝 那么矩阵方程( 1 ) 和( 3 4 ) 分别存在最大解x 和j ，且满足 l 阮一t 忙昙 f | q f | + ( 扩丘以阻句么| f ) i | 鲋i i 】 ( 3 7 ) 证明：由已知a 和q 满足条件( a ) ，即a2 忪一11 3 万4 ，则矩阵方程 x + 彳x 以彳= q 存在极大解五 另一方面，由亘= q 一q 一1 q 互，及( b ) 式可得， 0 互一1 i i = 一1 - q 一1 ( 7 亘一18 - i i q 。1u + i i q 。1 | | l i q | | l | 纠 圳矿i i 端器 从而可褊厨罂，删c 腻可得 雁。1 卜( 1 4 + ) 雁。1 l | 3 i i a x l 一 2 = ( 1 一y 、一 j = l 翔彳殳i | i | 赵x 3 彳i ”剐m 刊1 ) 1 1 赵1 1 峪r 妙圳 扣一1 i l ， 再由条件1 2o 一10 3 4 及1 1 彳旷鼢南 可得， 喜舅f 训i 防f 3 彳i i 善2 2 | j 岩三1 o x 三1 1 3 2 令c = l 一 从而有 j = l 2 i = li 彳1 1 2 ( 三0 q 一10 ) ( 兰i l 亘一1 1 1 ) 3 一f o 1 9 山东大学硕士学位论文 l 硝忙到9 一彳冠之鲋+ 州丘。2 么 l c a e + ( 即l 一2 卜x i - 2 a ) a , 4 证毕 定理3 6 设x s 和贾s 分别是( 1 ) 及其扰动方程( 3 4 ) 的最小解，则 a ( q 一贾s ) 一1 彳 1 一p 1 0 山东大学硕士学位论文 取l 2 = m i n ( 九一( a q _ a ) ，九。( 彳q 叫4 ) ) ， 则有， 地爿s ) - l a * 南b 。，a 一( q 。咯 南b 。 而 墨一以：目( 亘一墨) 一，彳谭一1 4 ( q x s ) 一彳谭 由引理3 4 ，可得 i 陋一以| i _ 肛( 亘一殳s ) _ l 彳谭一b ( q 一托) - i 彳划 三( 南) 一诹互一墨) _ l 卜地一墨) 1 彳0 0 ，使得 所以 0 x 一x 。1 1 - c i i x 。一x 0 2 证明由( 4 2 ) 式有 x 女一a x ：。x x 0 。a a + x 王。x z ：。a = q 一3 a x ：l a x 川一x 三一a x 于( x 一x ) 彳f 1 a 一彳x f l ( x 川- x ) x f 2 a = a ( x 产一3 x ；2 + 何2 x x i l + x f l x l f ) 彳 而x 。x 上，i 防三1 吾忪一1 卜i i a2 忪一10 3 万4 ，所以 i i x m x 。0 _ oc 5 8 - 5 4 a 1 1 q - 1 1 3 山东大学硕士学位论文 从而 i i x m x 工i i _ cx 。一x l i l 2 证毕 山东大学硕士学位论文 第五章数值例子 f0 0 1 0 0 20 0 3 0 。0 4 1i r l 。0 l 00 0 、 彳：l ? 0 1 o 2 2 5o 1 2o 0 2i ， ：l ol 0 2oo i 肚卜0 2 o 0 9 o 0 7o 0 3i q 2 i oo1 0 3o i 10 1 2 0 0 10 0 20 1 9j 10 001 0 4j a 2 怜- 11 1 3 = o 0 8 3 7 o 1 4 8 1 = 鲁从而由定理3 1 ，定理3 2 知，矩阵方程 f ，0 9 9 4 6 一o 0 0 7 5 一o 0 0 6 6 0 0 2 4 9 1 量= i _ - 0 0 0 7 5 _ 0 0 9 0 3 9 5 1 2 9 - 1 0 0 0 0 3 5 9 9 9 _ o - 0 0 1 1 0 1 3 4 8l ，i