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太原理：l ：大学硕士研究生学位论文 线膨胀系数的量子徽扰计算及其能量本征值收敛的讨论 摘要 本文介绍了量子力学和经典力学的位力定理和超位力定理，以及超位力 定理的建立及其主要应用，还按照问题的需要选择了超位力算符，并且从超 位力算符中导出许多超位力关系式，这些关系式是一些递推关系式；如果能 量的本征值和本征函数是已知的，就可以由这些关系式很容易得出坐标( 或 矢径) k 次幂平均值的递推公式，由于这种公式有重要应用，人们很早就用 各种方法来推导它，但相比之下，利用超位力定理是最容易的；如果本征值 和本征函数是未知的，就可以用超位力定理和h e l l m a n n f e y n m a n ( i - i f ) 定理 相结合的方法来代替普通的微扰理论，简捷地求得本征能量的任意高阶近似 值。这种方法最大的优点就是不需要用零级波函数来计算微扰矩阵元，更不 需要像普通微扰论那样用无穷级数求和给出高阶修正的结果，这样一来，不 仅避免了许多繁复的积分运算，而且求得了普通微扰论很难得到或不可能得 到的高阶修正的结果。 本文做的主要工作是利用超位力定理和h e u m a n n f e y n m a n ( h f ) 定理相 结合的方法( 简称h v h f 微扰方法) 来代替普通的微扰理论，分别用量子的 和经典的方法计算了线膨胀系数的二级近似，并把量子的结果和经典的结果 进行了比较，得出了一个重要结论就是它们近似相等；另外，还分别用量子 太原理工大学硕士研究生学位论文 的和经典的方法计算了纯铁的线膨胀系数，并比较其计算结果，发现用h v h f 微扰方法计算的结果比较精确。这样就使我们对于量子力学的经典极限有了 更清楚的理解，也使我们对量子力学与经典力学的关系有了更进一步的认识； 最后，我们列举不同的势能函数讨论了能量本征值的收敛问题。 关键词：微扰论，超位力定理，线膨胀系数，能量本征值 l l 太原理工大学硕士研究生学位论文 t h eq u a n t u mp e r r u r b a n o nc a l c u l a n o n s w i t hl i n e a re x b 气n s i o nc o e f f i c i e n ta n dt h e d i s c u s s i o nw i t hc o n v e r g e n to f e n e r g ye i g e n 眦u e s a b s t r a c t t h et e x tr e c o m m e n d st h ev i r i a lt h e o r e ma n dh y p e r v i r i a lt h e o r e mi nq u a n t u m a n dc l a s s i c a lm e c h a n i c s ，t h ef o u n d a t i o no fh y p e r v i r i a lt h e o r e ma n dt h em o s t p r i m a r ya p p l i c a t i o n ，a n dc h o o s e st h eh y p e r v i r i a lo p e r a t o ri nt e r m so ft h en e e d i n g w i t hp r o b l e m st oi n d u c em a n yh y p e r v i r i a lf o r m u l a sf r o mi t t h e s ef o r m u l a sa r e s o m er e c u r s i o nf o r m u l a s i ft h ee n e r g ye i g e n v a l u e sa n de i g e n f u n c t i o n sa r ek n o w n i ti se a s yt oi n d u c et h ek - p o w e ra v e r a g er e c u r s i o nf o r m u l a so fc o o r d i n a t e ( o r r a d i u sv e c t o r ) p e o p l ei n d u c e dt h e mb ya l lk i n d so fm e a n se a r l y , b e c a u s et h ek i n d o ff o r m u l ai sv e r yi m p o r t a n ti na p p l y i n g b u t ，c o m p a r i n gw i t ho t h e rm e a n s ，t h e h y p e r v i r i a l t h e o r e mi st h ee a s i e s tm e a n i ft h e e n e r g ye i g e n v a l u e s a n d e i g e n f u n c t i o n s a r e u n k n o w n ，i t c a l l s i m p l y o b t a i nt h e a n yh i 曲r a n k a p p r o x i m a t i o no fe n e r g ye i g e n v a l u e sb yc o m b i n i n gt h eh y p e r v i r i a lt h e o r e mw i t h t h eh e l l m a n n f e y n m a n ( h f ) t h e o r e mt os u b s t i t u t et h e o r d i n a r yp e r t u r b a t i o n t h e o r y t h eb i g g e s ta d v a n t a g eo ft h i sm e a ni s t h a td o n tn e e dt oc o m p u t e rt h e p e r t u r b a t i o nm a t r i xe l e m e n tb yu s i n gz e r ol e v e lw a v ef u n c t i o n ，e v e nd o n tn e e dt o 1 1 1 太原理工大学硕十研究生学位论文 g i v eo u th i g hr a n ka m e n d a t o r yr e s u l tu s i n gi n f i n i t es e r i e st os u ml i k et h eo r d i n a r y p e r t u r b a t i o nt h e o r y t h u s ，i tn o to n l ya v o i d sm a n yc o m p l i c a t e di n t e g r a lo p e r a t i o n ， b u ta l s oo b t a i n sh i g hr a n ka m e n d a t o r yr e s u l tt h a ti ti sv e r yd i f f i c u l tt og e to rc a n t g e t i nt h i st e x t ，t h em a i nw o r ki st h a tc o m p u t et h et w ol e v e la p p r o x i m a t i o no ft h e l i n e a re x p a n s i o nc o e f f i c i e n tu s i n gt h em e t h o dc o m b i n i n gt h eh y p e r v i r i a lt h e o r e m w i t ht h eh e l l m a n n - f e y n m a n ( t h e o r e m ( c a l l e dh v h f p e r t u r b a t i o nm e t h o d ) t os u b s t i t u t et h eo r d i n a r yp e r t u r b a t i o nt h e o r y , a n dg e to u ta i li m p o r t a n tr e s u l tt h e y a r ea p p r o x i m a t e l ye q u a lb yc o m p a r i n gt h eq u a n t u mr e s u l tw i t ht h ec l a s s i c a lr e s u l t f u r t h e r m o r e ，u s i n gq u a n t u ma n dc l a s s i c a lm e a n sc o m p u t et h el i n e a re x p a n s i o n c o e f f i c i e n to fp u r ei r o n t h r o u g hc o m p a r i n gt h er e s u l t ，i ti sf o u n dt h a tt h er e s u l ti s m o r ea c c u r a t eb yu s i n gt h eh v h f p e r t u r b a t i o nm e t h o d i nt h ew a y , i ti sm o r e c l e a r l yu n d e r s t o o df o r t h ec l a s s i ce x t r e m el i m i to fq u a n t u mm e c h a n i c s ，a n d f u r t h e ru n d e r s t o o df o rt h er e l a t i o no ft h eq u a n t u ma n dc l a s s i c a lm e c h a n i c s t h e e n d ，i te n u m e r a t ed i f f e r e n tp o t e n t i a le n e r g yf u n c t i o nt od i s c u s st h ec o n v e r g e n t p r o b l e mo ft h ee i g e n e n e r g y k e yw o r d s ：p e r t u r b a t i o nt h e o r y ，h y p e r v i r i a l t h e o r e m ，l i n e a re x p a n s i o n c o e f f i c i e n t ，e n e r g ye i g e n v a l u e s 声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文。是本人在指导教师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本声明的 法律责任由本人承担。 论文作者签名：堑；垫豳 e t i 暂i ： 御j jl 关于学位论文使用权的说明 本人完全了解太原理工大学有关保管、使用学位论文的规定，其 中包括：学校有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印 件；学校可以采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存学位论文； 学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为目的。 复制赠送和交换学位论文；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容( 保密学位论文在解密后遵守此规定) 。 签名卜一盆逝 日期：鲨2 ：! 导师签名： 困卑量日期：! 卑：三：! ! 太原理工大学硕士研究生学位论文 1 1 研究背景和意义 第一章绪论 我们知道，描写原子、分子的基本方程为s c h r 6 d i n g e r 方程，固体物理的基本出发点 也是s c h r o d i n g c r 方程。实际上，描写光波在介质中传播的赫姆霍兹方程也可以表示为 s c h r 6 d i n g e r 方程的形式。因此，在原子分子物理、凝聚态( 固体、半导体) 物理、发光 学、导波光学( 光在光纤和光波导中的传播) 、光子晶体等物理学研究的热点和前沿领域， 需要求解s c h r o d i n g c r 方程，以获得能级、态函数、能带结构、发光机制、能量及其输运、 传播常数( 与能级对应) 、光场分布( 与态函数对应) 、光子带隙结构等信息。但是 s c h r o d i n g e r 方程仅在某些简单势场的情况下( 如类氢原子) 能够得到解析解，大多数理论 和实际问题的研究，需要采用近似方法“卅( 如变分法、有限元技术、数值模拟法、微扰 法、有限差分法、光线追击法以及w k b 法等) 。其中，微扰法是一种重要而又常用的方 法，微扰法不仅用于s c h r 6 d i n g e r 方程，物理学以及工程领域也会大量遇到微分方程的近似 计算，所以，微扰问题是计算物理学科的重要前沿学科。 2 0 世纪6 0 年代以来，量子力学的超位力定理迅速发展起来，它在解决量子力学的各 种问题中起到了积极的作用，在所有的这些应用中，都是选择适当的超位力算符从而导出 相应的超位力关系。当精确的能量本征值和本征矢己知时，利用这些超位力关系可以递推 求得坐标k 次幂的平均值，简捷的导出著名的k r a m m e r s 枷公式，并且这些超位力( h v ) 关系与h e l l m a n n f e y n m a n ( h f ) 定理相结合可以发展成为一种h v h f 微扰方法，用于递 推地计算微扰势产生的能级修币，这种方法既不需要用零级波函数计算矩阵元，也不用无 穷级数求和，就可以直接求得任意高阶的修正，避免了大量繁复的计算，给出普通微扰论 很难得到或不能得到的结果，使我们对微扰论的全面知识有了一个更深入的了解，因而更 1 太原理工大学硕士研究生学位论文 有实际意义。 1 2 国内外发展动态 近年来微扰法在前沿研究领域的应用包括：通讯领域。1 ( 例如光波导器件中光传输的 模式( 传播常数、折射率、介电常数等可与能级类比) 和光场分布) ，材料领域“1 ( 例如 光子晶体和光子带隙结构，有机材料分子) ，生物”1 ( 例如生物分子的能量结构、生物介 质复介电常数等) ，其中由超位力定理和h e l l m a n n f e y n m a n ( f m ) 定理相结合发展的h v h f 微扰方法也应用很广，例如：计算渐变折射率波导传播特性嘲等；最近，国外的文章也有 很多用这种方法计算对于不同势能函数的能量本征值问题。一。 1 3 论文主要内容及框架 第一章本章介绍了由超位力( h v ) 定理与h e l l m a n n f e y n m a n ( h f ) 定理相结合发 展的一种h v h f 微扰方法的研究意义、研究现状。最后简单介绍了论文的结构。 第二章 本章把近年来人们提出的各种微扰方法进行了简单的比较。 第三章 本章介绍了量子力学和经典力学的位力定理和超位力定理。 第四章本章介绍了h v h f 微扰法，并且用两个简单实例来说明。 第五章本章用h v h f 微扰法计算了线膨胀系数，并且对能量本征值的收敛进行了 简单的讨论。 第六章本章对全文总结并对今后工作提出几点建议。 2 太原理 ：大学硕七研究生学位论文 第二章各种微扰方法的简单比较 在应用薛定谔方程来求解体系的能量本征值与本征函数时，除了少数问题( 例如，氢 原子、类氢原子等) 外，对量子力学中的大多数问题来讲，所得的方程过于复杂，很难精 确解出。因此，在处理许多实际问题时除了采用适当的近似模型以简化问题之外，往往还 需要采用各种近似计算方法。例如，变分法，绝热近似法“”等，但是往往有这样的情形， 在所给问题的条件中，各量具有不同的数量级；当我们把其中较小的量略去以后，这个问 题有可能变得十分简单，以至于可以求出它的精确解。在这种情形下，求解这个物理问题 的第一步，是求出简化问题的精确解，第二步，是计算由于在简化问题中略去了较小项而 引起的误差。计算这种误差的一般方法，我们称之为微扰论。各种近似方法都有其优缺点 和适用范围，其中应用最为广泛的一种近似方法就是微扰论。 设体系的哈密顿量为h ( 不显含时间) ，能量本征方程为： i ： 。hseep 要严格求解这个方程是困难的。假设日可分为两部分及 h 一月o + 日一h o + a w 其中a 往往是刻画某种相互作用强度的参数，是一个小量，e p i c i c ( 1 。h 称为微扰，又 假设日。的本征值及本征函数较容易解出，或已有现成的解( 不管它是如何得到的) ，则可 以在这基础上，把微扰h 的影响逐级考虑进去，以得出能量本征方程的尽可能接近于精 确解的近似解。 微扰论的具体形式是多种多样的，但基本的精神相同，即逐级近似。如果满足用微扰 方法求解问题的条件，似乎问题已经解决了m 】。遗憾的是在很多情形中，计算出矛的全 体矩阵元并求和是相当困难的，因此采用微扰方法实际上只能解决那些仅在少数矩阵元不 3 太原理一【：大学硕士研究生学位论文 为零的情形，一旦求解问题的条件不能满足，微扰方法就失去作用。 众所周知，一般的量子力学教科书中介绍的微扰论“2 1 ”是r a y l e i g h s c h r 6 d i n g e r ( r s ) 微扰论，也是我们常用的微扰论，其优点是对具体的各阶微扰可给出一般的解析表达式， 如果不必计算高阶微扰，这个展开式是较适用的，但阶数越高，表达式越复杂，且无一般 的通项公式，需借助定态波函数计算能级近似值。另外还有一种b r i l l o u i n w i g n e r 展开，虽 然结构比较简单，但不大适用，收敛也较慢。5 0 年代发展起来一些为处理多体问题的新 的微扰展开，这些方法中大多采用二次量子化的形式以及各种图解法的技巧。近年来在 b f i l l o u i n - w i g n e r 微扰论的基础上发展了一种迭代微扰法“”，利用此法既可推出r - s 微扰 法，又优于r s 的结果，可以极方便地编程，在计算机上算出具体的结果，对有限维不变 子空间或截断近似的子空间进行计算时非常有效。还有就是s c h e r e r 提出的超收敛微扰法 1 5 1 它在经典力学中是建立k a m 定理的重要方法，在量子力学中对阐明是否存在l i e 变 换具有重要的理论意义，但实际计算比较繁琐，并且未能找出一个递推公式，因而很难编 程。而我们提出的h v h f 微扰方法根本不用波函数，无需直接计算各种矩阵元，更不需 要在每一级计算中都要对一个无穷级数求和，而是靠逐级递推，每一阶的精确结果都可以 直接得到，更重要的是递推算法在计算机上非常容易实现，因此相比之下这种方法有很大 的优越性。h v h f 微扰方法的介绍和应用详见第四章，前面三种微扰方法详细的比较见文 献 1 5 。 4 太原理工人学硕- f = 研究生学位论文 第三章量子力学和经典力学的位力定理和超位力定理 量子力学自1 9 2 5 年诞生以来，已走过了8 0 年辉煌的历程。量子力学理论的自然延伸 和纵深发展产生了量子场论和基本粒子理论。量子力学的发展与应用，使其在原子、分子 物理、原子核物理、凝聚态物理以及量子光学等方面均取得了丰硕的成果。在量子力学教 程中，我们了解到量子力学是从原子和分子开始的微观世界的理论。作为更精确和更普遍 的理论，它也应对宏观世界适用，而经典力学只是量子力学在涉及的作用量比壳大得多时 的极限情况。从1 9 2 5 年量子力学初创时开始，如何能演示一下以上的叙述一直是热烈的 讨论和争议的问题，更不用说去严格证明了。 枞量子力学诞生起，它和经典力学的关系一直是热门研究的课题，早期的理解是，经 典力孥适用于宏观客体，粒子运动遵循确定的轨道，量子力学适用于微观客体，其规律是 概率性的，但作为物理学的基本规律，量子力学也适用于宏观客体，在这中情况下它应给 出经典力学的规律作为它的极限情况。超流和超导的发现告诉人们某些宏观体系是服从量 子力学规律的，至于量子力学如何在极限情况下归结为经典力学，这里不做叙述，详见文 献 1 6 。 3 1 量子力学和经典力学的位力定理 位力( v i f i m ) 定理是量子力学中的一个重要定理，它的证明及其一些简单应用，在 一般的量子力学教科书中都有介绍啪，最普遍采用的证明方法是在哈密顿算符 日；当+ y ( r ) 2 “ 的本征态妒上求算符r p 期待值的时间导数。由于在定态，任何不显含时间的算符的期待 值都不随时间变化，因此我们有 太原理工夫学硕士研究生学位论文 鲁c 帅训归= c 州唧，h i t p ，= o ( 3 _ 1 ) 求出上式中的对易关系r p ，日】，即可得到： 2 妒i t i 妒 一 ( 3 2 ) 其中r 。= p z 是粒子的动能算符。上式即量子力学的位力定理。它的一个最直接的应用是 z “ 当位势矿0 ，y ，z ) 为坐标变量的r l 阶齐次函数时( 如幂次势y ( r ) = ；t r ”) ，r v 矿= n v ， 因而 2 妒i t l 妒 。阼 + 2 ( 1 + l x 一1 ) ，3 d r “7 ( 3 2 7 ) 一i 1 ( 一剃一2 ) c r 。3 二 它就是我们需要的最常用的三维径向量子力学的超位力关系，与一维的量子力学的超位力 关系( 3 1 7 ) 相比，我们发现除了变量由x 换成r 以外，只是增加了与角动量相关的一项。 我们这里强调了“常用”，意思是说在大量的有关工作中都采用了它们。实际上超位 力算符g 完全可以选取其它可能的形式( 如g r p 4 等) ，从而导出更多的超位力关系，并 且它们都有各自的用途。我们在3 2 4 中做了详细的介绍。 3 2 3 一维和三维情况下常用的经典超位力关系 量子力学的超位力定理也有其经典版本伽2 ”，即任何一个不显含时间的有界的物理量 g 与哈密顿量h 的泊松括号的时间平均值为零。它的具体形式为： g ，h ) = 0 ( 3 2 8 ) 该定理的证明完全类似于经典位力定理的证明，这罩不再赘述。对于g 的不同选择， 也可以导出各种超位力关系，由于不存在非对易算符，这些超位力关系要比相应的量子力 】0 筹擎 太原理j + 大学硕士研究生学位论文 学超位力关系简单。 一维情况下，经典哈密顿量为h ：等+ 矿o ) ，取g ，矿p 可以导出的超位力关系为： l i z 2 地万：放：丐+ ，e v( 3 2 9 ) 出 三维中心力场情况下，引入标度变换后的经典哈密顿量为 日= p ，2 每帅) 其中只是变换后的径向动量，- ，：为经典角动量的值，取g 一，砟，由 罢；一攀+ 譬，婺；2 b 和堕；b _ ，罢a i 一芦+ 石面观b 利i r 蜥谚虿吖。 并考虑到b 2 一日一y 一譬 利用经典的超位力定理( 3 - 2 8 ) 易证： 移 獬万：放巧+ r d v 。+ 2 ( t 一1 ) j 2 2 a r 这就是三维经典的超位力关系。 ( 3 - 3 0 ) ( 3 3 1 ) 把经典的超位力关系与相应的量子力学超位力关系相比较，不难看出除了以时间平均 值代替态的期待值及经典角动量的平方，：代替其量子化的值砸+ 1 ) 外，都只少了与动量 算符的非对易行为相关的一项。 3 2 4 超位力算符的其它可能选择 我们上面提到的g = ，( r ) n 只是超位力算符中最简单的一种选择。 1 9 6 1 年e p s t e i ne ta l 在h y p e r v i r i a lt h e o r e m sf o r v a r i a t i o n a lw a v ef u n c t i o n 一文中”1 取超位力算符为g = 三( + 彦) ，其中p 一( h l f ) 缸，是x 的任意函数，为了方便，超 太原理，r 。大学硕士研究生学位论文 位力算符还可以写成g = ( h i ) f i ( a l a ) ( f j ) ；1 9 6 2 年h i r s c h f e l d e re ta l 在h y p e r v i r i a l t h e o r e m s a p p l i e d t om o l e c u l a rq u a n t u mm e c h a n i c s 一文中对超位力算符做了详细的介绍 。”，分别取不同的超位力算符来研究不同的问题。 现在我们来研究另一种可能的方案，取g ；，( r ) b 2 ，把哈密顿量写成 日一p ，2 + ( ，) ，其中( ，) t 竽+ y ( r ) 则对易关系为： 彬m 学+ 圳掣所一等n 2 一五华b ， 对线性势下的s 态，我们有矿( ，) 一r 和f = o 取，( ，) 一，则可以导出新的一阶超位力关系：( 一卸- ，一c 一轨3 ) 类似的我们可以定义，。电，) 一c 一即，) 和机；埤 暑卢 + 1 ) ，- 2 + a ( 2 七训矿一 一篆雄一1 x 七一2 ) 矿- 3 3 - 3 3 ) 上式对于第撑个能级是成立的。 为了求得e 的近似解，首先把e 和c ，展开成a 的幂级数： 瓦；e + a e d l - 2 - 一( 2 + 2 荟a e n 3 3 4 和 = c ，。+ a c 1 + a z z + = a 7 谚 ( 3 3 5 ) 其中引入简化符号饼一c ，然后把这两个级数代入到递推关系中，比较等式两边的 系数，可以求得系数之间的一个关系式： g k + l = 志毫粥一觜矿一湍盱1 ( 3 - 3 6 ) 由展开式( 3 - 3 5 ) 可见，若y ；0 ，则e 式的最后一项为零。 1 5 太原理工大学硕士研究生学位论文 此时由h e l l m a n n f e y n m a n ( h f ) 定理知 因此 荟 卜1 e ”。荟钟 它可以给出系数之间的另一个关系式： e 虬 鲸。 j 这两个关系式构成了碰和饼两组系数满足的联立方程式。 下面我们以坍一4 为例，具体介绍如何求解这组联立的系数方程式。 和 当肌= 4 时，这两个关系式分别变成： ( 3 - 3 7 ) ( 3 - 3 8 ) 鳞“t 志嘉量粥一觜谚一而( 2 k + 4 ) - k + ，3 ( 3 - 3 9 ) 。= 了i 蚴4 一t 作为求解的出发点，我们利用矩的展开式( 3 - 3 5 ) 在七= 0 时给出的： c 一c ， 0 + a c t + a 2c 工，z + a 7 饼 j 及归一性条件 穹一( 2 k + 1 ) p 一) + a ( 放+ 聊+ 1 ) + z k t ( t + 1 ) 一三 2 1 ) 】c 一， 把无量纲的能量s 和阶矩t ) 展开成旯的级数代入上式，并考虑到h e l l m a n n f e y n m a n ( h f ) 定理建立起系数满足的联立方程，再用完全类似于我们解一维非简谐振子使用的逐 级递推方法，不难求得i n 取各种不同值时能量及各阶矩的任意高阶的近似解。 例如，m = 1 ( 实际上，粒子物理中有广泛应用的c o m e l l 势即属于这种类型) 时，我 们有： - 一番+ 2 h 2 u a ( 3 3 _ 1 2 - 1 肌啬 x ( 一7 n 6 + 3 n 2 1 4 + 6 n 2 1 3 + 3 n 2 1 2 5 n 4 ) 卢2 + 关于各阶矩( ，的表达式以及m 一2 ，m t - 3 相应的近似解，我们这里不再赘述，详 见文献 2 8 。 2 0 太原理j 【：大学硕士研究生学位论文 第五章线膨胀系数的量子微扰计算和能量本征值收敛的讨论 5 1 线膨胀系数的量子微扰计算 考虑非简谐效应对晶体热膨胀的影响，如果晶体中的振动是严格的简谐振动，即势 能曲线对原子的平衡位置对称，则当原子振动后，其平均位置将和振幅的大小无关，晶体 将不会因受热而膨胀；如果这种振动就是热振动，则两原子间的距离将和温度无关。实际 上两原子之间的相互作用势能是j o n e s 势，因此当原子振动后，随着振幅( 或总能量) 的 增加，平衡位置将向右边移动。物体的热膨胀就是由于势能曲线的这种不对称所导致的。 s w e n s o n 和d a n f o r t h 曾将超位力定理( h v t ) 和赫尔曼一费恩曼( h e l l m a n n - f e y n m a n ) 定理( 瑚盯) 引入到瑞利一薛定谔微扰计算中，该方法只需做代数运算而不必知道态函数 的具体表达式，简便易行。所见文献中都是利用此方法来计算势阱中粒子能级的各级近似 值洲，而本文我们将该方法引入线膨胀系数的计算。 5 1 ，理论知识 处于秀阱v 0 ) 甲质量为m 鼢粒于，具足态辟定莺万程力： 芸粤+ o ) 一e 渺：0 2 m 出。、7 为了便于计算，把上式改写成无量纲形式。为此，令 毒；巫工 52 t 工 则本征值方程可写为： h 巾= e 瑚 2 1 ( 5 - 1 ) ( 5 2 ) ( 5 3 ) 太原理 大学硕士研究生学位论文 其中是第坍个本征能量值，而哈密顿算符为 日一豢川彩 对任意的y ( 宇) ，展成亭的级数： y ( 亭) = x a i 亭一x a u 宇。+ n ，亭” j $ - i 玟h 一日。+ 日，其中 h o = 一砉+ 亭。 为算符的未微扰部分，h o o p 。e o q ) ，有精确解，。为第，1 个本征值。而 一q 亭7 ( 5 4 ) ( 5 - 5 ) ( 5 6 ) ( 5 - 7 ) 为微扰部分，可似为h 妒一渺。的本征值的零级近似值，而各级修正则可借助超位 力定理与赫尔曼一费恩曼定理求出。下面导出有关计算公式。 为简便起见，略去量子数忍，记。为及。为，并记( 爿，一c 妒。l a i 妒。) 。于是 h v t 和h f t 分别为： h v r ：设形为任意不显含时间的算符，i a n ，w 】- - h w w h ，而日妒一e 妒，妒为归 一化态函数，则 c 旧，w 卜；o h f t ：若h 是某个参量a 的函数，即h = n ( z ) ，则 o e ；( o h a aa a ( 5 - 9 ) 下面利用h v t 和h f t 求解可展开为亭的幂级数的任意势函数形式矿售) 的本征值方 程( 5 3 ) 式。 取 w = 9 8 = 0 , 1 ，2 ， 将式( 5 - 4 ) 和式( 5 - 1 0 ) 代入式( 5 - 8 ) ，得： ( 5 一1 0 ) 太原理：l ：大学硕十研究生学位论文 取 卢( 卢一1 ) c 亭4 - 2 = - - 2 卢c 面d ， 。亭4 要，卢；o ，l ，2 ，一 。a e 1 一。 将式( 5 4 ) 和式( 5 1 2 ) 代入式( 5 8 ) ，得： ( 5 1 1 ) ( 5 1 2 ) 参卅够- 1 ) 4 - 声t n ( 5 - 1 4 ) 把式( 5 5 ) 代入式( 5 - 1 4 ) 可得： 由于 f i e c 一喏+ p ) a 。c 4 ，+ a ( 丢+ 卢弦，t 亭胁1 。 。”。 ( 5 - 1 5 ) 一三卢( 卢一d ( 8 2 ) c 扩 h - h o + 埘 一日。+ a 口，亭7 参照r s 微扰论，设期望值可展开成a 的幂级数 e ：丫e z j ， 若令上式中h 一0 ，有 芋。2 ； l + ， 则得t 尹，。的正交归一化条件 利用式( 5 - 1 6 ) ，h f t 给出 字，i = 6j q书 l = 0 i 0 ( 5 - 1 6 ) ( 5 - 1 7 ) ( 5 - 1 8 ) ( 5 - 1 9 ) ( 5 2 0 ) 太原理工大学硕十研究生学位论文 芸：c 一c 蝣”，；卟 ( 5 - 2 1 ) 以以争一 争。 将( 5 - 1 7 ) ，( 5 - 1 8 ) 代入式( 5 - 2 1 ) ，( 5 1 5 ) 后令等式两边a 的同次幂相等，分别得到 h f t ： 皿，一卟宇” ，- 1 ( 5 2 2 ) 和h v t ： p ，。磊。，q 叫；噬坳”“ + ；睦仰v 掣”、。 ( 5 - 2 3 ) 一三卢( 声一靴一2 ) c 亭4 - 3 ，。 利用式( 5 - 2 2 ) ，( 5 - 2 3 ) 和式( 5 2 0 ) 给出的h f t ，h v t 和归一化条件，就能通过代数递推 得到f 的微扰展开，且展开式中只有e o 出现，同时还给出了各阶矩的表达式。同时，从 ( 5 2 2 ) 式和( 5 2 3 ) 式可以看出，c 亭”