（基础数学专业论文）具有对数型非线性抛物方程组的临界指标.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 本文主要研究如下的具有对数型非线性项的抛物方程组的临界值标： ( x ，t ) r + ( 0 ，丁) ， ( x ，t ) 1 1 1 + ( 0 ，t ) ， t ( 0 ，t ) ， t ( 0 ，t ) ， z 匙+ ， 其中p ，q ，o l ，p 0 我们得到的主要结果为：当2 q m a x ( 1 ，p ) 时方程组的解对大初值有限时刻爆破；当 2 q = m a x ( 1 ，q ) 或2 p = m a x ( 1 ，p ) 时解的整体存在与不存在性由系数入1 和入2 确定 绪论主要介绍具有对数型非线性项的抛物问题的实际背景及发展现状第二节介绍 与本文相关的基础知识第三节引入所要研究的问题，并且给出主要的结果在第四节 证明上一节给出的结果最后一节对所得的结果进行完整的分析、讨论 关键词：抛物方程组；对数型非线性项；临界值标；整体解；爆破 i 一班 d，1、，)、_、圳m詈=詈=岫坝卿卿垆 驰啦m m 删嘶勘卅卅蝴耵垆碣砘她啪删驴驴飞飞毗 t h ec r i t i c a le x p o n e n to fap a r a b o l i cs y s t e m w i t h l o g a r i t h m i cn o n l i n e a r i t i e s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h ec r i t i c a le x p o n e n t 。f ap a r a b o l i cs y s t e mw i t h1 。g 甜i t h m i c n o n l i n e a r i t i e so f ( z ，t ) r + ( 0 ，r ) ， ( x ，t ) 酞+ ( 0 ，卵， t ( 0 ，f ) ， t ( 0 ，丁) ， z r + ， w h e r ep ，q ，q ，p 0 w eo b t 越nt h a tt h es 。l u t i 。n 8a t eg l o b a li f2 q m a x ( 1 ，) i f 2 q = m a x ( 1 ，口) o r 却：m a x ( 1 ，) ，g l o b a l 喇s t e n c eo rn o n e x i s t e n c eo fs o l u t i o n si sd e t e r m i n e db yt h ec o e f f i c i e n t s a 1a n d 入2 i nt h ei n t r o d u c t i 。n ，w e g i v et h eb a e k g r o u n dt ot h ep a r a b o l i cs y s t e mw i t h1 0 9 a r i t h m i c n 。n l i n e a r i t i e s i ns e c t i 。n2 ，w eg i v es o r e eb a s i ck n o w l e d g et ob eu s e di nt h i sp a p e r i n s e c t i o n3 ，w ed e s c r i b et h em a i nr e s u l t so ft h ep a p e r ，a n dt h e np r o v et h e t h e o r e i 工l si n 8 e c t i o n4 i nt h el a s ts e c t i o n ，w ed i s c u s sa l lt h ec o n c l u s i o n so b t a i n e di nt h i s p a p e r k e y 厂0 r d s ：p a r a b 。l i cs y s t e m ；l o g a r i t h m i cn o n l i n e a x i t i e s ；c r i t i c 址e ) ，p o n e n t ；g 1 0 b 蔚 s o l u t i o n ；b l o wu p i i d_，1)川坝哳蝣坝卿非惦 、j i c 啪帆懈旧删邯撕卅峨 q叭一毡她她删 驴驴飞吨如 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论 文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工大 学或其他单位的学位或证书所使用过的材料与我一同工作的同志对本研究 所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任 学位论文题目； 作者签名： 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间论 文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有权保 留论文并向国家有关部门或机构送交论文的印件和电子版，可以将本学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印、或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 作者签名： 导师签名： 互圈亍荡 日期：兰! ! 乏年2月! 日 日期：影争年l 月l 日 2 5 大连理工大学硕士学位论文 1 前言 本节首先介绍文中所研究问题的实际背景和目前发展状况，然后简单介绍一下本文 所要研究的问题的主要结果 1 1引言 偏微分方程是随微积分学发展起来的，以建立数学模型进行理论分析和解释客观现 象并进而解决实际问题为内容的一门数学分支科学；偏微分方程的兴起已经有两百多年 的历史了，它作为一个多侧面，多应用的学科，描述许多物体的物理或机械的行为，如 弦的震动，热传导等现象因此在二十世纪以前，人们多是直接联系着具体的物理或几 何问题来讨论各种偏微分方程( 包括线性和非线性的) 偏微分方程在十九世纪得到了迅 速发展它的应用很广泛，很多重要的现实问题都可以用偏微分方程及相应的初边值问 题来描述 抛物型方程是偏微分方程领域中一个重要分支近几十年来，随着各个领域研究的需 要，非线性抛物型方程( 组) 得到广泛的研究和发展，不仅是因为其自身内容的多样性， 也因为这类方程( 组) 更能反应一些实际问题化学反应理论、量子力学以及流体力学领 域的实际问题的研究推动了爆破理论的发展；而空气动力学等领域的研究促进了边界层 方程的有限时刻奇性的理论研究对于非线性抛物方程( 组) 来说，非线性可以来自反应 项、对流项、吸收项、扩散项和边界项，以及由他们所形成的非线性耦合作用( 竞争、互 惠和交叉扩散等) ，使得产生( 或消除) 奇性的规律性极其复杂( 一般还和空间维数及区域 的几何性质有关) 自1 9 9 6 年f u j i t a 对半线性抛物方程u 。= a u + u p 的研究取得关于临界值标的开创 性成果以来，包括a f r i e d m a n ，h 1 e v i n e ，y g i g a ，v a g a l a k t i o n o v 在内的一批著名数学家 进入这一领域此后，人们开始研究各种非线性抛物方程和方程组的临界值标，上世纪 9 0 年代关于临界值标的研究工作见文献 1 ，2 】 1 具有对数型非线性抛物方程组的临界指标 1 2 目前发展状况 对于非线性抛物型方程解的爆破问题，现在仍然没有完整的一般化的理论，但是对 于诸多的特定模型都有了相应的研究结果从单个方程到方程组，这一研究方向得到了 不断的拓展与丰富，从最早讨论解在有限时刻爆破的条件延伸到后来涵盖了爆破条件、 爆破速率估计以及爆破集等问题的探讨近些年，又出现一些新的研究课题，比如非局 部问题解的爆破模式等下面介绍与本文相关的爆破问题的研究工作进展 一个经典的爆破模型是 1 f u j i t a 于1 9 6 6 年在文献【3 首次研究了这个模型，得到了临界指标p c ( n ) = 1 + 2 n ，即当1 2 q 州( p - f 1 ) ，m + 1 幽p + l ， ( 伊1 ，0 2 ) 。( 丽2 p ( q + 1 ) 一1 ，q ) ， 当m + 1 2 p p ( + q + 1 1 ) ，礼+ 1 幽q + l ， 【 ，g ) ， 当m + 1 2 p 矿( q + 1 ) ，佗+ l 垫q 幽+ 1 另外，r o s s i 等人在文献 2 1 】中对如下方程做了研究： fi t t = 乱z z 一入( 乱+ 1 ) l o g pi t + 1 ) ， ( z ，t ) 咒+ ( 0 ，t ) ， 一u z ( o ，t ) = ( 让+ 1 ) l o g 窑( u + 1 ) ( o ，芒) ，t ( 0 ，r ) ， ( 1 2 3 ) 【i t ( x ，0 ) = i t o ( x ) ，x r + ， 建立了解整体存在和有限时刻爆破的结果，得出了爆破速率和爆破集等结果 受文献 2 1 的启发我们讨论方程组( 1 3 1 ) 解的临界值标 1 3 本文内容介绍 本文研究如下的具有对数型非线性项的抛物方程组： 3 ( z ，t ) 跫+ ( 0 ，t ) ， ( z ，t ) 酞+ ( 0 ，t ) ， t ( 0 ，t ) ， ( 1 3 1 ) t ( 0 ，t ) ， z r + ，”眈h 1、，)、_、删m 帅岬 啡咖一一一 j ) k k， 帆概m m 删m 瑚卅卅蝴驴垆一毡她如删驴驴飞飞如 具有对数型非线性抛物方程组的临界指标 其中p ，q ，a ， 0 本文研究了上述方程组解的整体存在性、有限时刻爆破等问题通过对临界值标的 讨论我们得到了方程组解的整体存在性和有限时刻爆破的判别准则下面介绍一下本文 内容安排 在第二节中我们就所研究问题的相关知识以及理论基础( 最大值原理以及比较法则) 不加证明给予介绍，并且引入了几个在以后的章节中可以直接应用的比较定理的具体形 式从而保证了本文在某种意义下的自封性和完整性 在第三节中我们建立了解的整体存在和有限时刻爆破的判别准则 第四节关于前一节中所得的有关临界指标的结论进行了系统的证明 在第五节，对本文的主要结论进行讨论 4 大连理工大学硕士学位论文 2 预备知识 本节首先介绍了反应扩散方程组的相关知识以及本文所凭借的主要理论工具：上下 解方法、最大值原理和比较法则 2 1 相关基本概念 本文主要介绍了反应扩散方程组的爆破理论，在本节中我们给出了与本文研究相关 的一些基本概念首先引入具有如下初边值条件的抛物型方程的一般形式： 瓦o u + 厶= ，( z ，亡，让) ， b t = g ( x ，亡) ， u ( z ，0 ) = ( z ) ， 其中 ( z ，t ) g ， ( z ，亡) & ， ( 2 1 1 ) z q 伽= 一罂i , j = l ( 州砥0 2 u + 筠坼一差， b u ：o 豢+ 6 ( z ，芒) u ， 亿 r u = 象地乱， ( x ，t ) 禺， ( 2 1 2 ) q t = qx ( 0 ，t ) ，曲= a q ( 0 ，t ) ， 并且a o ( x ，亡) ，( z ，t ) c ( q r ) ，r 是q t 上的抛物算子 定义2 1 1 一致抛物如果存在常数p 0 ，使得对任意的( x ，t ) q r 和所有的实 向量( = ( 白，厶) r n ，都有 则称算子爰+ 厶在q r 上是一致抛物的 5 广b 伊 一 白 厶 z 一 o 住归 具有对数型非线性抛物方程组的临界指标 定义2 1 2爆破若存在常数t ( o 0 在以上假设下，我们有如下强极值原理； 定理2 1 设u ( x ，t ) c 2 , 1 ( q t ) ，且在q t 中满足钆t l o u o ( u t l o u o ) 如果 u ( z ，t ) 在q t 中某点( x o ，t o ) 使u ( x o ，t o ) 达到最小值m 绒最大值m ，那么在q t 中， 钍( z ，t ) = 仇障u ( x ，t ) = m ) ；即若u ( x ，t ) 在q t 内不为常数，则u ( x ，t ) 只能在r t 上取 得最大值和最小值，如果孤还满足内球条件且在f ? 上的某点( z o ，t o ) 达到最小值绒 最大值) ，那么当乱( z ，t ) 在q t 内不为常数时，在 o ，t o ) 处有若 o ) 定理2 2 设u ( x ，t ) c 2 , 1 ( q t ) n c ( q r ) ，对于任意( x ，t ) q 丁，c ( x ，t ) 0 且 l u o ( 0 ) 若在q t 内某点( z 1 ，t 1 ) 达到负的最小值m 伐正的最大值m ，则在q t 中，u ( x ，t ) = m 绒“( z ，t ) = m ，进一步，若勰满足内球条件且u ( x ，t ) 在q 丁内 不为常数，那么若在r t 上的某点( x 1 ，t 1 ) 达到负的最小值m 伐正的最大值m ，) ，则在 ( z 1 ，t 1 ) 处有釜 o ) 【朋0 有了强极值原理作为基础，我们就可以引用解决实际问题时常常用到的比较法则 首先对于单个方程的情况引入一个正性引理( 2 2 第5 4 页引理2 1 ) ： 引理2 2 1若乱c ( q t ) n c l , 2 ( q t ) 使得 一l o u + c ，t ) u 0 ，( z ，t ) q r ， 口( z ，亡) 丽o u + t ) 乱2o ，( z ，亡) f r ， u ( z ，0 ) 0 ，z q ， a ( x ，t ) 0 ，b ( x ，t ) 0 ，口( z ，t ) + 6 ( z ，t ) 0 ，而c ( x ，t ) 是一个定义于q r 的有界函数，则 u ( x ，t ) 0 于q r 而且若在q r 上乱( z ，0 ) 不恒等于零，则u ( x ，亡) 0 于q r 对于方程组的情况我们也引用一个正性引理( 2 2 】第4 8 0 页引理5 1 ) ： 引理2 2 2若函数b 1 2 ，b ：l ，q i 和以= l ，2 ，在它们的定义域中都是非负的，且 7 d 一 白 ， z 一 o 瞄 0 ， ( z ，t ，札1 ，珏m ) ，g d u l ，u m ) 关于，j i 递增，t ，j = 1 ，2 ，m 类似地我们也可 以定义上下解：将( 2 2 4 ) 一- ( 2 2 6 ) 中的搿= ”号都变为。”时，称为上解，而将 ( 2 2 4 ) 一( 2 2 6 ) 中的。= 号都变为“”时，称为下解通常我们记上解为( 面1 ，u m ) ， 下解为( 蛳，鳊) 根据比较法则，我们容易得到如下定理： 定理2 4 设砒( z ，亡) ，鲍( z ，t ) 分别是( 2 2 4 ) 一一( 2 2 6 ) 的上、下解，且五一= 1 ，2 ，m ， 关于d = 1 ，2 ，m ) 是c 1 的，则f i i ( x ，亡) u t ( z ，t ) 若u ：是( 2 2 4 ) - ( 2 2 6 ) 的解， 则砒( z ，t ) u ；鲍( z ，亡) ，i = 1 ，2 ，m 关于上下解的有序性的理论及证明，见文献 4 4 中第三章第四节以及第五章第二节 的有关内容 对于一致抛物的初边值问题，其局部解相对时间变量t 总是存在的，那么解的最大 存在时间是有限的还是无限的，即解是在有限时刻b l o w - u p 还是整体存在；在最大存在 时间t 0 先对上面的方程组做变量替换令z ( x ，t ) = l o g ( 1 + 牡) ，w ( x ，t ) = l o g ( 1 + v ) 则上面的方程组变为 f 忍= z x 2 + 一入1 严， ( z ，t ) r 十( 0 ，t ) ， l w t = 叫z z + 伽z 2 一a 2 w p ，( z ，t ) r 十( 0 ，t ) ， 2 一( o ，t ) = w q ( v + 1 ) ( o ，亡) ，t ( 0 ，t ) ，( 3 1 2 ) l w ( o ，t ) = w p ( u + 1 ) ( o ，亡) ，t ( 0 ，丁) ， iz ，0 ) = 询p ) ，似江，0 ) = 训。扛) ，x 瓞+ 3 2 主要结论 我们的主要结论如下： 定理3 1 当2 q m a x ( 1 ，) 时，方程组( 3 1 1 ) 的解对大初值在 有限时刻爆破 1 1 d也一： 1、，、j j 删帅帅 u ”+ + 脚蝴一一 帆椒m懈删 一一 耵垆一地媳以删驴驴飞飞如 具有对数型非线性抛物方程组的临界指标 定理3 3 ( 1 ) 设2 q = m a x ( 1 ，o l ) 且2 p 1 ，则方程组( 3 1 1 ) 存 在整体解若a 1 1 ，则方程组( 3 1 1 ) 的解对大初值在有限时刻爆破 ( 2 ) 设2 p = m a x ( 1 ，卢) 且2 q 1 ，则方程组( 3 1 1 ) 存在整体解 若a 2 1 ，则方程组( 3 1 1 ) 的解对大初值在有限时刻爆破 1 2 大连理工大学硕士学位论文 4 结论的证明 4 1 在本节中，我们将给出上一节所给出的主要结果定理3 1 3 4 的证明 2 9 1 时，令 f 互( z ，t ) = e t ( 1 + e - e ) ， = 2 e 。， l 面( z ，t ) = e 。( 1 + e 一叼) ，叩= x e 。弘 经简单计算知，当2 q q 且2 p 夕时，有 ra l e ( a - 1 ) 。2 e ( 2 c 1 + 1 弦， l 入2 e ( p 一1 ) 2 2 e ( 2 c 2 + 1 h ， l e ( c 1 “) 。2e c t 2 q ， 【e ( c 2 + d t e p t 2 p ， 从而有 fd ( 1 + e f ) 一c 1 e 。e e f e ( 2 c 1 + 1 ) 。e f + e 2 ( 。1 + 1 ) 。e 一鸳一a 1 e a ( 1 + e f ) 口， je t ( 1 + e - 叼) 一a 2 e e 一7 叩2e ( 2 c 2 + 1 ) e 一7 + e 2 ( c 2 + 1 ) 。e 一2 7 一入2 扩。( 1 + e 一叩) 卢， l e ( c l + 1 ) 。2 q e q t ， 【e ( c 2 + 1 弦2 p ， 由上可得5 ( x ，t ) 和面( 。，t ) 满足如下的不等式组 r 磊磊z + - 2 一入1 严， j 西t2 面期：+ - 2 一a 2 面卢， i 一面z ( o ，t ) 尹( o ，亡) ， 一瓦( o ，t ) 西9 ( o ，) ， l 互( z ，0 ) z o ( x ) ，西( z ，0 ) w o ( z ) ， 13 里型墼型斐垡堡垫塑查堡望丝! 堕墨塑堡 即当2 q 口且印 p 时乏( z ，芒) 和面( z ，亡) 是方程组( 3 1 2 ) 的上解 ( 2 ) 当q 1 时，类似于情形( 1 ) ，令 ，三( z ，t ) = e t ( 1 + e f ) ，= c l x e t 2 ， l 西( z ，亡) = e t ( 1 + e 一叼) ，? 7 ：。c 弘， 则当2 q 1 且印 1 ，夕 1 时，类似于情形( 1 ) ，令 f = x e c ， 叩2c 2 x e 一抛， 则当2 q 口且印 1 时乏( z ，芒) 和面( z ，亡) 是方程组( 3 1 2 ) 的上解 ( 4 ) 当q 1 ，p 1 时，类似于情形( 1 ) ，令 f = c 1 z e 一讹， 卵= c 2 x e 一加， 则当2 q 1 且印 1 时乏( z ，亡) 和西( z ，亡) 是方程组( 3 1 2 ) 的上解 综合情形( 1 ) - ( 4 ) ，由比较原理可得当2 q m a x ( 1 ，) 的情形 定理3 2 的证明： 只须考虑对方程组( 3 1 1 ) 的等价问题( 3 1 ，2 ) 分三种情形： ( 1 ) 当2 q m a x 0 ，a ) 且印 m a x 0 ，) 时，令 j 互( 2 ，亡) = ( ? 一亡) 一面备( a a q ) + ，= z ( 一亡) 一豸与+ 南， 【鲨( z ，t ) = ( t 一亡) 一石与( a a v r 7 ) 十，叼= z ( 霸一t ) 南+ 由 只需证明互( z ，t ) 和盟( 。，亡) 是方程组( 3 。1 。2 ) 的下解即可，也即要验证主( z ，亡) 和塑( z ，亡) 满足如下不等式组： f _ z t 色z + 叠一入1 ， j 墼鲨+ 鳞一久2 ， 1 一岛( o ，t ) _ w q ( 0 ，芒) ( 4 2 1 ) l 一鸱( o ，t ) 矽( o ，t ) ， l 兰( z ，0 ) 询( z ) ，丝( z ，0 ) w o ( z ) 】4 以 斗 邮邮 i | l | d 砂如毗 ，j l - ， 、加n ， 叭 吣 十 +即即 = | | 幻力如毗 ，、【 大连理工大学硕士学位论文 由互( z ，亡) 和w ( x ，t ) 的选取可知，( 4 2 1 ) 中的边界条件显然成立又简单的计算表明， ( 4 2 1 ) 中的前两式成立，只要 f ，行1 三需! 器二：瘾磊q 尚) a q 嘲( t o 矿器 i 再1 ( t ! _ 磊2 , 二群p 二二灞1 驾- p j _ ) a p n 识( t o ，t ) 诗 f 室鬟雾a z 鲥 o 时，只需取a a 。：入声拇( t o t ) 一器+ 岛) 南+ ( 由) 南( 蜀一t ) 一器+ 且1 - - 2 p 南，则( 4 2 2 ) 的第一式成立 当矗一且1 - - 2 p o 时，只需取a a 2 ：入上t o 一南+ 岛皓+ ( 南) 南矗一器+ 岛皓， 则( 4 2 2 ) 的第一式成立 当卫2 p - - 1 一互2 q - - 1 o 时，只需取a a 3 = 南南( 蜀一矿袅+ 南靖+ 入p 1 妒1 ( t o - t ) ( 一番+ 器) 南，则( 4 2 2 ) 的第二式成立 量卫2 p - 1 一卫2 q - 1 o 时，只需取a a 4 ：南南矗一螽+ 舞而1 + 久罗1 蜀( 一南+ 器) 南 则( 4 2 2 ) 的第二式成立 从而只需取a m a x ( a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 ) ，则( 4 2 2 ) 式成立 因此只需a 足够大，即a2m a x ( a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 ) ，并取z o ( z ) ，w o ( x ) 足够大使得 z ( x ，0 ) z o ( z ) ，丝( z ，0 ) 叫o ( z ) ，则( 4 2 1 ) 式成立即z ( x ，t ) 和w ( x ，z ) 是方程组( 3 1 2 ) 的下解从而方程组( 3 1 2 ) 的解在有限时刻爆破因此，方程组( 3 1 1 ) 的解在有限时刻 爆破 ( 2 ) 当2 q m a x ( 1 ，q ) 且2 p m a x ( 1 ，p ) 时，分两种情形： 当p 0 时，只需取a a 1 = 入产和( t o 一? ) 一器+ 岛) 去+ ( 嘉) 南( 一t ) 一器+ 尚) 南，则( 4 2 4 ) 的第一式成立 当丑2 q - 1 一卫l - - 2 p o 时，只需取a a 2 ：a 2 1 _ o 一。( 一南+ 丑1 - - 2 p 南+ ( 南) 南砖一矗+ 南南， 则( 4 2 4 ) 的第一式成立 当南+ 1 一务 0 时，只需取b b i = ( 孚) 南( 玛一f ) 鬻一q 2 - - 一1 i - - - = 1 筇+ ( 去) 南于端南( t o r ) 麓一磊) 南，则( 4 2 4 ) 的第二式成立 当南+ 1 一南o 时，只需取b b 2 = 字两1 ( 蜀一t ) 鬻一南) 南+ ( 击) 南砖南一南 则( 4 2 4 ) 的第二式成立 从而只需取a m a x ( a i ，a 2 ) ，b m i n ( b 1 ，b 2 ) ，则( 4 2 4 ) 式成立 因此只需a 足够大、 b 足够小，即a m a x ( a i ，a 2 ) ，b m i n ( b l ，b 2 ) ，并取 z o ( x ) ，w o ( x ) 足够大使得z ( x ，0 ) z o ( x ) ，型( z ，0 ) w o ( x ) ，则( 4 2 3 ) 式成立即兰( z ，t ) 和鲨( z ，t ) 是方程组( 3 1 2 ) 的下解从而方程组( 3 1 2 ) 的解在有限时刻爆破因此，方 程组( 3 1 1 ) 的解在有限时刻爆破 1 6 纽r 一2 一p 卜 “ 一 上q 静庐 一 死 孙 引 旧p q b a 一 一 沪 口 牝 暑 生匈 斧芦 z z 加 + + a b 毒两 大连理工大学硕士学位论文 当卢21 时，令 f 兰( z ，亡) = ( t 一亡) 一南( a 一以口) + ，：x ( t o 一亡) 一考匆+ 内42 q ! _ 1 。， i 鲨 ，亡) = ( t 一亡) 一南( j e 7 一b p 叩) + ，7 7 ：x ( t o t ) - 南+ 南， 则类似于p m a x ( 1 ，) 时，分两种情形： 当q o l 时，令 ，兰( z ，t ) = ( t 一) 一丽1 ( 4 4 q ) ，= z ( 死一亡) 丽1 + 丽1 一南， 【鲨( z ，芒) ：( t 一亡) 一若筇( b b p v ) ，7 7 ：x ( t o 一亡) 南一上2 n q - - o t ， 其中足够大使得( + o l ) 一2 n q 0 类似于情况2 q = o l l 完成证明 ( 2 ) 类似于情形( 1 ) 可以证明证毕 口 1 8 大连理工大学硕士学位论文 5 讨论 文主要研究了具有对数型非线性项的抛物方程组( 3 i 1 ) 解的整体存在和有限时刻爆 破的条件，具体如下： ( 1 ) 当2 q m a x ( 1 ，) 时，方程组的解对大初值在有限时刻爆破 ( 3 ) 当2 q = m a x ( 1 ，q ) 或2 p = m a x ( 1 ，p ) 时解的整体存在与不存在性由系数入1 和久2 确 定具体如下： ( a ) 设2 q = m a x ( 1 ，q ) 且2 p l ，则方程组存在整体解若入l 1 ， 则方程组的解对大初值在有限时刻爆破若入= 1 ，则解的存在与不存在性需要进一步 的讨论 ( b ) 设2 p = m a x ( 1 ，p ) 且2 q 1 ，则方程组存在整体解若 入2 1 ，则方程组的解对大初值在有限时刻爆破若入2 = l ，则解的存在与不存在性需要 进一步的讨论 1 9 具有对数型非线性抛物方程组的临界指标 参考文献 f 1 】k d e n g ，h a l e v i n e t h er o l eo fc r i t i c a le x p o n e n t si nb l o w - u pt h e o r e m s ：t h es e - q u e l j m a t h a p p l ，2 0 0 0 ，2 4 3 ：8 5 - 1 2 6 2 】h a l e v i n e t h er o l eo fc r i t i c a le x p o n e n t si nb l o w - u pt h e o r e m s s i a mr e v ，1 9 9 0 ，3 2 ：2 6 2 - 2 8 8 3 f u j i t ah o nt h eb l o w i n gu po fs o l u t i o n so ft h ec a u c h yp r o b l e mf o r 饥一u = u l + q j f a c s c i u n v i t o k y o ，s e c t ，i1 9 6 6 ，1 3 ：1 0 9 1 2 4 4 】w e i s s l e rfb e x i s t e n c ea n dn o n e x i s t e n c eo fg l o b a ls o l u t i o n sf o ras e m i l i n e a rh e a te q u a t i o n i s r a e lj m a t h ，1 9 8 1 ，3 8 ( 1 2 ) ：2 9 4 0 b r a n d l ec ，l e v i n eha o nt h ee x i s t e n c ea n dn o n e x i s t e n c eo fg l o b a ls o l u t i o n so fr e a c t i o n - d i f u s s i o ne q u a t i o ni ns e c t i o n a ld o m a i n s t r a n s a m e r m a t h s o c ，1 9 8 9 ，3 1 6 ( 2 ) ：5 9 5 - 6 2 2 6 w e i s s l e rf b a nl ”b l o w u pe s t i m a t e sf o ras e m i h n e a rh e a te q u a t i o n c o m m p u r ea p p l m a t h ，1 9 8 5 ，3 8 ( 3 ) ：2 9 1 2 9 5 【7 】g i g ay ，k o h nrv a s y m p t o t i cs e l f - s i m i l a rb l o w u po fs e m i l i n e a rh e a te q u a t i o n s c o m m p u r ea p p l m a t h ，1 9 8 5 ，3 8 ；2 9 7 - 3 1 9 【8 g i g ay ，k o h nrv c h a r a c t e r i z i n gb l o w u pf o ru s i n gs i m i l a r i t yv a r i a b l e s i n d i a n au n i v m a t h j ，1 9 8 7 ，3 6 ：4 2 5 4 4 7 【9 】g i g ay ，k o h nrv n o n d e g e n e r a c yo fb l o w u pf o rs e m i l i n e a rh e a te q u a t i o n c o m m p u r e a p p l m a t h ，1 9 8 9 ，4 2 ：8 4 5 - 8 8 4 1 0 e s c o b e d om ，h e r r e r oma b o u n d e d n e s sa n db l o wu pf o ras e m i l i n e a rr e a c t i o n - d i f f u s i o n s y s t e m j d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，1 9 8 1 ，8 9 ( 1 ) ：7 6 - 2 0 2 【1 1 】f i l am ，q u i t t n e rp t h eb l o w - u pr a t ef o ras e m i l i n e a rp a r a b o l i cs y s t e m j m a t h a p p l a n a l ，1 9 9 9 ，2 3 8 ：4 6 8 - 4 7 6 1 2 】e s c o b e d om ，l e v i n eh a c r i t i c a lb l o w - u pa n dg l o b a le x i s t e n c en u m b e r sf o ra w e a k l y c o u p l e ds y s t e m so fr e a c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n s a r c h r a t i o n m e c h a n a l ，1 9 9 5 ，1 2 9 ：4 7 - 1 0 0 1 3 】f r i e d m a na m c l e o djb b l o w - u po fp o s i t i v es o l u t i o no fs e m i l i n e a rh e a te q u a t i o n s i n d i a n a u n i v m a t h j ，1 9 8 5 ，3 4 ：4 2 5 4 4 7 1 4 】z h e n gsn g l o b a le x i s t e n c ea n dg l o b a ln o n e x i s t e n c eo fs o l u t i o n st oar e a c t i o n - d i f f u s i o n s y s t e m n o n l i n e a ra n a l ，2 0 0 0 ，3 9 ( 3 ) ：2 3 7 - 3 4 0 1 5 】z h e n gsn 。g l o b a l b o u n d e d n e s so fs o l u t i o n st oar e a c t i o n - d i f f u