（理论物理专业论文）多层结构中波传播的几个理论问题研究.pdf

ab s t r a c t abs tract w e s t u d y o n t h e t h e o r e t i c a l p r o b l e m s f o r t h e w a v e p r o p a g a t i o n in m u l t i l a y e r e d s t r u c t u res . t h e t h e s i s c o n c e n t r a t e s o n t h e t r a n s mi s s i o n o f e l e c t r o n i n o n e d i m e n s i o n a l f i n i t e q u a n t u m w e l l a n d t h e i n t e r a c t i o n b e t w e e n l i g h t a n d m a t e r i a l s i n t h e c a v i ty w h e n t h e l i g h t s p r e a d i n t h e c a v i ty o f p h o t o n i c c ry s t a l . t h e t h e o r e t i c a l re s e a r c h i s g i v e n i n t h e f o l l o w i n g . e v e ry q u a n t u m w e l l h a s i t s o n l y e i g e n - e n e r g y l e v e l , a n d e i g e n - e n e r g y h a s re l a t i o n w i t h t h e s i z e o f t h e q u a n t u m w e l l . i f t h e w i d t h o f q u a n t u m w e l l i s p e r i o d i c a l l y m o d u l a t e d , w h i c h i s e q u i v a l e n t t o c o u p l i n g q u a n t u m w e l l w i t h d i ff e r e n t e i g e n - e n e r g y , i t c a n l e a d t o n e w t r a n s f e r p h e n o m e n o n . t h e t r a n s m i tt a n c e o f t h e o n e d i m e n s i o n a l m u l t ip l e q u a n t u m w e l l s t r u c t u r e w i t h d u a l - p e r i o d i c a l l y m o d u l a t e d t h i c k n e s s w as c a l c u l a t e d b y m e a n s o f t r a n s f e r m a t r i x m e t h o d . a n d t h e e l e c t r i c a l f i e l d w a v e f u n c t i o n w h i c h w as m o d u l a t e d b y t h e w i d t h o f t h e w e l l i s g i v e n . w h e n t h e t h i c k n e s s o f t h e q u a n t u m w e l l w as m o d u l a t e d p e r i o d i c a l l y , t h e e d g e o f b a n d s w o u l d b e m o v e d . t h e u p p e r b a n d e d g e w o u ld m o v e t o h i g h e r e n e r g y , a n d t h e l o w e r b a n d e d g e w o u l d m o v e t o l o w e r e n e r g y . s o m e s t a t e s o f b a n d e d g e s a p p e a r i n t h e g a p o f t h e f o r m e r s i n g l e - p e r i o d i c p o t e n t i a l m u l t i p l e q u a n t u m w e l l s , a n d f o r m s o m e n a r r o w s u b - b a n d s . t h e wa v e f u n c t i o n s i n t h e n a rr o w b a n d s a r e l o c a l i z e d . b e c a u s e t h e t r a n s m i tt a n c e a n d e i g e n v a l u e o f e l e c t r o n d e p e n d o n t h e m a t r i x p r o d u c t o f t h e w e l l a n d p o t e n t i a l , w e n e e d o n l y t o c h a n g e t h e m a t r i x o f t h e w e l l a n d p o t e n t i a l i f t h e r e e x i s t d e f e c t i n t h e q u a n t u m w e l l , t h e n t h e t r a n s m it t a n c e a n d e i g e n v a l u e c a n b e a c q u i r e d . i f t h e d i s p e r s i v e d e f e c t e x i s t s i n t h e m i d d l e o f p h o t o n i c c ry s t a l s , t h i s d e f e c t c a n a p p e a r n e g a t i v e re fr a c t i o n i n d e x in s o m e f r e q u e n c y r a n g e . w e c a l c u l a t e d t h e t r a n s m i s s i o n s p e c t r u m a n d d e n s i t y o f s t a t e s o f o n e d i m e n s i o n a l p h o t o n i c c r y s t a l s w i t h d i s p e r s i v e c a v i ty . w e u s e a l o r e n t z m o d e as t h e d i s p e r s i v e m e d i u m , t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e r e a l a n d i m a g i n a ry p a r t o f r e f r a c t i o n i n d e x a n d t h e fr e q u e n c y o f t h e e l e c t r o m a g n e t i c w a v e i s a l s o c a l c u l a t e d , a n d f i n d o u t t h e f r e q u e n c y r a n g e w h e n t h e n e g a t i v e r e fr a c t i o n a p p e a r s . s e tt i n g t h e f r e q u e n c y o f c a v i ty a t t h e ab s tra c t m i d d l e o f t h e p h o t o n i c b a n d g a p , w h e n t h e a b s o r p t i o n i s n e g l i g i b l e , t h e d e n s i ty o f s ta t e s n e a r t h e c a v i t y m o d e i s v e ry h i g h , a n d t h e r e a r e a w i d e t r a n s m i tt e d b a n d a p p e a r e d i n t h e s p e c t r u m o f t r a n s m i s s i o n . wh e n t h e s p e c t r u m i s w i d e n e d , p le n ty o f t r a n s m i s s i o n p e a k c a n b e s e e n , i t i s t h e r e s u l t o f r e s o n a n c e . w e c a l c u l a t e d t h e p h o t o n i c b a n d g a p u s i n g t r a n s f e r m a t r i x m e t h o d a n d a n a l y t i c m e t h o 氏a n d a n a l y s t t h e d i ff e r e n c e b e t w e e n t h e s e t w o m e t h o d s . a n d t h e o r e t i c a l l y s t u d y t h e b a n d g a p s t r u c t u r e o f o n e - d i m e n s i o n a l p h o t o n i c c ry s t a l s c o n s t i t u t e d妙 a l t e rn a t e l a y e r s o f le ft - h a n d e d m a t e r i a l s ( l h m ) a n d r i g h t - h a n d e d m a t e r ia l s ( r e n d , a n d f i n d t h e b a n d g a p s t r u c t u r e i s d i ff e r e n t fr o m t h e u s u a l p h o t o n i c c ry s t a l s . wi t h a n a p p r o p r i a t e c h o i c e o f t h e p a r a m e t e r s , w e s h o w t h a t i t i s p o s s i b l e t o r e a l i z e a n a b s o l u t e b a n d g a p f o r e i t h e r t e o r t m p o l a r i z a t i o n o f t h e e l e c t r o m a g n e t i c w a v e s , w h i c h c a n n o t b e f o u n d i n n o r m a l p h o t o n i c c ry s t a l s . i n t h e e n d w e c a l c u l a t e d t h e t r a n s m i tt a n c e o f o n e - d i m e n s i o n a l p h o t o n i c c ry s ta l s c o n s t i t u t e d b y l e ft - h a n d e d m a t e r i a l s ( l h m ) a n d ri g h t - h a n d e d m a t e r i a l s ( r h m ) , t h e l h m i s s u b s t i t u t e d b y d i s p e r s i v e m e d i u m, w e g e t t h e z e r o e v e n g a p w h i c h i s d i ff e r e n t fr o m b r a g g g a p . w a n g t o n g b i a o ( d e p a r tm e n t o f p h y s i c s ) s u p e r v i s o r : p r o f e s s o r l i u n i a n h u a k e y wo r d s :c ry s t a l ; n e g a t i v ei n d e x ;b a n d g a p ; b a n d e d g e ; q u a n t u m we l l i v 学位论文独创性声明 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。 据我所知，除了 文中特别加以 标注和致谢的地方外， 论文中不包含 其 他 人己 经 发 表或 撰 写 过 的 研 究 成 果， 也 不 包 含 为 获 得 南昌大李 或 其他 教 育 机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的 任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学 位 论 “ 作 者 签 “ (手 写 )训病签 字 日 期 : 坷年 ( ,q l6 a 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者 完全了解南昌大学有关保留、使 用学 位论文的规定， 有权保留并向国 家有关部门 或机构送交论文的复印 件和磁盘， 允许论文被查阅 和借阅。 本人授权南昌大李可以 将学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、 汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名 签 字 日 期 : 知习 年 手 写 : 衣 仔 钧 月r d 日 导师 签字日期: 学位论文作者毕业后去向: 工作单位: 通讯地址 : 电话: 邮编: 第一章绪论 第一章 绪论 1 . 1引言 半导体科学和技术的发展对人类的进步起着举足轻重的作用，从第一台电 子管计算机诞生起，随后出现的晶体管，集成电路，大规模集成电路，到现在 的超大规模集成电路，半导体在人类历史舞台上扮演着越来越重要的角色。随 着微电子技术的飞速度发展，电子和微电子技术正在走向物理上和技术上的极 限( 如速度极限、密度极限) ，这些不可逾越的技术极限对信息技术的进一步发 展提出了重大挑战。 以光子代替电子作为信息的载体是长期以来人们的一个共识，因为光子具 有高传输速度、高密度及高容错性等优点。如果能有一种材料可以像半导体控 制电子的运动一样，可以方便的控制光子的运动，就可以用这种材料取代半导 体，用光子取代电子作为信息的载体，将会使计算机及半导体产业的发展产生 飞 跃。 1 9 8 7 年y a b n o l o v it c h在讨论如何 抑制自 发 辐射， s a j e e v j o n h 在讨论光子 的 局域 化问 题时 各自 独 立的 提出了 光子晶 体这一概念 0 ,2 1 。 光子晶 体的出 现， 为 信息技术新的飞跃提供了一次历史性的机遇， 正如2 0 世纪中叶半导体的发现对 此后半个世纪世界经济产生巨大影响一样，光子晶体的研究、开发和应用可能 为未来若干年世界经济的发展提供一个新的生长点t阔。 1 . 2光子晶体简介 众所周知，电 子在 周期势场中 传播时会受到周期势场的b r a g g 散射， 形成 能带结构，带与带之间可能存在带隙。电子的能量如果落在带隙中，传播是被 禁止的。其实，不管任何波，只要受到周期性调制，都有能带结构，也都有可 能出现带隙。 能量落在带隙中的波是不能传播的， 电磁波或者光波也不会例外。 如果将具有不同介电常数的介电材料构成周期性结构，由 于b r a g g散射，电 磁 波在其中传播时会受到调制而形成能带结构，这种能带结构叫做光子能带 ( p h o t o n i c b a n d ) 。 光 子能带之间 可能出 现带隙，即 光子带隙 ( p h o t o n ic b a n d g a p , 第一章绪论 简称p b g ) 。 具有光子带隙的周期性介电结构就是光子晶体 或叫做光子带隙材料 ( p h o t o n i c b a n d g a p m a t e r i a l s ) , c rys t a l s ) , 具有光子带隙是光子晶体的最基本的特征，频率落在光子带隙内的光的传 播是被禁止的。光子带隙的出现依赖于光子晶体的结构和介电常数的配比。一 般说来，光子晶体中两种介质的介电常数比越大，光被散射越强烈，就越有可 能出现光子带隙。同时，光子带隙的出现与光波的传播方向有关。光子带隙可 以分为两种:一种是不完全带隙，即光在某些特定的方向入射时，才会出现的 带隙; 另 一种是完全 带隙， 即光从各个方向 上入射时都会出 现的带隙u 。 在光 子带隙中没有任何态的存在，我们知道，自 发辐射的几率与光子所在频率的态 密度成正比，把一个处于激发态的原子放在光子晶体中，当它的自 发辐射跃迁 频率正好落在光子带隙中时，由于该频率光子的态密度为零，自发辐射的几率 也就为 零，因 此自 发 辐射被完全抑制o l 。 反过来， 光子晶体也可以 增强自 发 辐 射，如果在光子晶体中加入杂质，处于杂质态的光子的态密度就会增加，自 发 辐射就会加强。 在半导体中引入缺陷或无序，对电子来说将会出 现电子局域态或a n d e r s o n 局域化。 电子局域化是无序介质中经历多次散射的电子波之间发生干涉导致的， 干涉使电子只能在极其有限的空间范围内运动，也就是说电子的扩散系数趋于 零。对于电磁波在光子晶体中传播来说，光子的局域化也应该是存在的。 在光 子晶体中引入缺陷后， 会在光子带隙中引 入局域模式， 称为缺陷模 7 s 1 . 与局域 模频率共振的光有可能隧穿通过光子晶体。对一维系统中光局域化的理论和实 验研究表明，如果在周期性多层结构中引入无序，不论入射光的角度以 及它是 否处于带隙当中，任何频率范围的光都可以被局域。在一维光子晶体中引入无 序时，由 于b r a g g 反 射和引入无序而造成的 光局域， 可能使得离散的 狭窄的 禁 带扩展成连续的 禁带， 通过合理的调节结构的几何参数和无序度， 可以 在很宽 的波长范围内发生高反射，尽管在一维强无序系统中所有波长的光都被局域， 但对于某些特殊情况， 仍然可以 发现在某些态是扩展的，产生具有很窄透射峰 的高质量的共振隧穿。 固体物理中的许多概念都可用在光子晶体上，如倒格子、布里渊区、色散 关系、 b l o c h 函数、 v a n h o v e 奇点等。由 于周期性， 对光子也可以定义有效质 量。 不过需要指出的是光子晶体与常规的晶体有相同的地方， 也有本质的不同， 如光子服从的是m a x w e l l 方程，电子服从的是薛定愕方程;光子波是矢量波， 第一章绪论 而电子波是标量波;电子是自 旋为v 2的费米子，光子是自 旋为 i 的玻色子: 电子之间有很强的相互作用，而光子之间没有。光子晶体的基本特征是具有光 子带隙， 频率落在带隙中的电 磁波是禁止传播的， 因为带隙中 没有任何态存在。 光子带隙的存在带来许多新物理和新应用。 根据不同方向的周期结构特征，又分为一维光子晶体、二维光子晶体和三 维光子晶体。绝大多数光子晶体都是人工设计制造出来的，但是自 然界也存在 光子晶体的例子， 如蛋白 石、蝴蝶翅膀，吉丁虫的身体表面等。 光子晶体具有重要的应用背景。由于其特性，可以制作以前所不能制作的 高性能 光学 器件9 - 1 3 ， 例如， ( i ) 高性能反射镜。 m i t研究人员的理论和实 验 表明， 选择适当的介电 材料，即使是一维光子晶体也可以作为全方位反射镜， 引起了 极大的轰动 1 4 c ( 2 )光子晶 体波导。 利用光子晶体存在光子带隙的 特性， 通过引 入线 缺陷， 就可以 形 成无损耗光子晶 体波导 1 5 - 2 1 1 。 这种波导比 通过全反 射来限制光的普通波导，具有更强的约束光的能力，而且能够实现一般波导所 难实现很多功能， 光子晶体波导不仅对直线路径而且对转角都有很高的效率2 2 ( 3 ) 光子晶体微腔。 在光子晶体中引入缺陷可能在光子带隙中出 现缺陷态， 这 种缺陷态具有很大的态密度和品质因子.( 4 )光子晶体光纤。光子晶体光纤可 分为 两类: 一类是多 孔光纤， 它是基于全反 射效 应导光的 2 3 1 ，另一类是 真正的 光子晶 体光 纤， 它基于 禁带效 应导光【2 4 。己 有的 研究表明 光子晶体光纤 在色散 补偿、高功率传输、短波长光孤子传输以及传感器等方面有着极其广泛的应用 前景。( 5 ) 光子晶体滤波器。如果在光子带隙中引入缺陷，就会在其带隙中出 现透射峰，这种透射峰称为光子晶体的本征模。这种频率处于本征模附近的光 就可以 透过，从而实现滤波的功能。 光子晶体还有其它许多应用背景，如无闺值激光器、光开关、光放大、光 子晶体天线等新型器件。光子晶体带来许多新的物理现象，随着对这些新现象 了解的深入和光子晶体制作技术的改进，光子晶体更多的用途将会发现。 1 . 3负折射率材料的研究进展 负折射率材料指的是介质的介电常数和磁导率同时为负的材料， 这时， 得 到的介质的折射率为负值， 近年来，负折射率材料 ( l h m)由于其独特的光学 性质及潜在的应用前景越来越多的受到关注， 2 0 0 3年， 科学杂志将 “ 研制 第一章绪论 出左手材料”评为 “ 十大科学进展”之一。 1 9 6 8 年v g . v e s e l a g 。 对电 磁波在介电 常数s 和磁导 率k 同时为负数的 介 质中 的 传 播 特 点 作 过 纯 理 论 的 研究 2 s 1 。 但自 然 界中 没 有 发 现。 和1 2 同 时 为 负 数 的介质存在， 所以 他的研究结果在2 0 世纪一直没有得到实验验证， 人们对左手 材料的兴趣也基本消失了。1 9 9 6 - 1 9 9 9年， p e n d ry等人相继提出了用周期性排 列的金属条和开口 金属谐振环( s p li t - r i n g r e s o n a t o r ) 可以 在微波波段产生负等 效 介电 常数和负等效 磁导率2 6 ,2 1 1 0 2 0 0 0 年， s m i t h 等人将金属丝板和s r r板有 规律地排列在一起，制作了世界上第一块等效介电常数和等效磁导率同时为负 数 的 介 质 2 1 1 e 2 0 0 1 年， s h e lb y 等 人 首 次 在实 验 上 证 实了 当电 磁 波 斜 入 射到 左 手 材料与右手材料的分界面时，折射波的方向与入射波的方向在分界面法线的同 侧2 9 1 0 2 0 0 3 年， p a r a z z o l i 等人在实验和数值模拟上进一步验证了l h m中的s n e l l 定律 3 0 1 ， 为左手 物质是否 真实 存在的争 论暂时 划下了 一 个句点。 来自 德国奥格斯堡大学的a n d r e i p i m e n o v 、美国北伊利诺斯州大学科学研 究院的a n d r e i p i m e n o v 及其合作者们制成了一种新的负折射率材料， 这是由铁 电 氧化锰及超导氧化铜薄膜的多层膜组成(3 11 .当不施加外部磁场时， 试样是超 导体并且具有负介电常数。当施加了3 特斯拉大小的外部磁场时，导磁率逐渐 成为负数，并接近于所谓的谐振场。这样就满足了获得负折射率材料所需的两 个条件。研究人员通过测量试样透射率与场依赖性，直接确定了 材料的折射率 与所施加磁场的函数关系。而且，他们还发现当改变磁场强度时，折射率会在 正值与负值之间波动。 负折射率材料可以用于平板透镜，光束控制，祸合器等方面。 “ 完美透镜” ( p e r f e c t l e n s ) 的 概念与 应用传统透镜的分辨率限 制( d i ff r a c t i o n l i m i t ) 也是造成 d v d读写密度限制和光刻电路密度限制的主要原因。 左手材料制成的透镜， 在 合适的条件下， 可以 成为“ 完美透镜” ，实现亚波长分辨率。虽然负折射率材料 制成的 “ 完美透镜” 可以实现亚波长分辨率， 但是实现“ 完美透镜” 的条件是相当 苛刻的。目 前还只能在微波区段实现负折射率，而且频率范围很窄。它们都是 对电磁波有较大的损耗，而且很难将尺寸制作到足够小以至于在光学频率下使 用。 负 折射率材料能 够放大倏逝波2 1 1 ， 从而实现“ 超透镜效应” ， 极大的 提高了 透镜成像的分辨率，传统光学透镜的成像原理来源于经典的几何光学，但是当 物体的精细结构的变化尺度小于光波波长时，相应的光信息在成像系统中以倏 第一章绪论 逝波形式传播， 就有可能使倏逝波无法透过透镜就衰减掉了， 这部分光学f o u r i e r 分量所包含的关于物源的信息在中途被丢掉了，因此可能导致所成的像的信息 不够全面。如果用负折射率材料做透镜，由于它能放大倏逝波，可将物体精细 结构的变化尺度小于光波波长的信息捡回来，从而实现 “ 理想成像” 。 目 前，理论和实验报道的负折射效应都局限于周期性人工微结构材料，典 型的负 折射率材料是由金属导线和开口金属共振环组成的周期性阵列和由电介 质材料周期性排列的光子晶体，前者只能在微波波段才能实现，后者的工作波 段可以 延伸到可见光和经外波区域。总的说来，在这些周期性结构中，晶格点 阵的b r a g g 散射起着重要作用，负折射率效应可以 说是非均匀介质对电 磁波复 杂集体响应行为的等效表观现象。 1 . 4论文的主要工作 在第二章中，讨论了双周期厚度调制的多量子阱的透射性质，采用传输矩 阵方法，计算了一维双周期厚度调制的多量子阱的透射谱，并且给出了随阱宽 调制的波函数。 当量子阱的宽度被周期性地调制时， 透射谱的带边会发生移动， 上能带边向更高能量处移动，下能带边向更低能量处移动，使禁带增宽. 在原 来的单一周期势的一些带边态进入禁带形成一些子带。落在这些子带内的电子 具有较强的局域性。 在第三章中，讨论了含色散介质的一维光子晶体微腔的透射谱及态密度。 对色散介质采用l o r e n t z 振子模型， 腔模的频率设置在光子晶体带隙中 心。 发现 当吸收可以 忽略时， 色散效应将导致在腔模附近有很高的态密度， 与此相应地 在透射谱中出现一个较宽的透射带。当吸收存在时透射带中心的透射峰消失， 但带尾的透射峰依然存在. 在第四章中，采用传输矩阵法与解析法， 讨论了由普通正折射率材料组成 的一维光子晶体的能带，并且分析了两种方法的差别。采用传输矩阵法计算正 负折射率材料交替排列组成的一维光子晶体的能带，发现其能带不同于由普通 正折射率材料组成的光子晶体的能带。当选择合适的参数时，由正负折射率材 料组成的光子晶体的t e模或t m模会有完全光子带隙出现，这在普通光子晶 体中不会出 现。同时，也计算了 负折射率材料是由 色散介质组成的 一维光子晶 体的 透射谱， 在 透射谱中 得到了 与b r a g g 带隙 不同的零平均带隙。 第二章 双周期厚度调制的多量子阱的透射谱 第二章 双周期厚度调制的多量子阱的透射谱 2 . 1引 言 一维k r o n i g - p e n n e y 模型是一种计算周期性结构能带的 理想模型， 超晶 格的 制备成功使这一理想模型在实验中实现，它被广泛应用于半导体超晶格中子能 带 的 计 算 32 -341 研究电子在晶体周期场中的运动，必须计算出其本征值和相应的本征态， 分析各种 涉及电 子的 量子跃迁问 题需要了 解电 子的 本征值和本征波函数3 5 1 。利 用多量 子阱的势垒高 度的 无规 变化可以 研究无序对电 子传 播行为的 影响 3 6 ,3 7 1 3 7 1 文采用了 无序模型对超晶 格进行了 研究， 发现垒高 无序和阱宽 无序这两种 常见非完整一维有限超晶格的子带带隙间均存在强烈的电子运动定域化。众所 周知，固体中的晶格振动将破坏原有的绝热近似下的周期势，晶格上的原子偏 离其平衡位置将导致一个以声子波长调制的瞬时周期势，在这一种被调制了的 周期势中，将存在与原来的晶体场周期势不同的电子本征态，这些本征态能级 将对应透射谱中的透射率。我们用宽度周期性调制的量子阱来模拟这种电子受 到的瞬时势，通过计算透射谱来研究电子的本征态。我们发现在这种双周期调 制的势中会在原有的禁带中出现窄能带，落在这些窄带内的电子波函数具有较 强的局域性。 2 . 2 双周期厚度调制的多量子阱的理论模型 在 一 维k r o n i g - p e n n e y 模型 中 ， 以 a 代 表 势 垒， b 代 表 势 阱， d ， 为 垒 宽 ， d b 为 阱 宽 ， 其空间 周 期 为d , + d r , v 为 势 垒 高 度. 若b 的 厚 度 被 另 一 个 空间 周期 为兄 的 周 期函 数 所 调制， 并 有m d , = 兄 ( 这里m为 整数，d , 兄 ) ，a 可 理 解为 声 子的 波 长，则 我们得 到一 个双周期的 一维量子阱 3 8 - 3 9 1 ， 如图2 . 1 所示。 在这样 的调制下，b的厚度可表示为 第二章 双周期厚度调制的多量子阱的透射谱 d b ( m , i ) = d , ( 1 + a c o s ( 2 d / m ) ) ( 2 . 1 ) 式中 点， ，i = 0 , 士 1 ， 士 2 , . 二 ， 是b的顺序编号， 第 。号的a 层左端可为坐标z的原 m是一个调制参量，“描述调制的强弱。 图2 . 1双周期量子阱中势阱b的周期性变化 在任 意层中，电 子波函 数满足s c h r o d i n g e r 方 程: 一 fi 其t ( z ) + v y (z ) 二 *( z ) 2 m d z ( 2 . 2) 令 、 ，2 m ( e - v ) a ，s c h ro d in g e r 方 程 变 为 : n 一 d 2 _ _ . ， . _ . - -t( z ) +k y ( z ) =u dz 一_ ( 2 . 3 ) 上述方程的解为: t ( z ) = a e k + r e - rk 其导数为: y ( z ) = i k ( a e k 一 户- 7dc ) 跨越一个周期的波函数及导数满足以下矩阵关系: ( 2 . 4) ( 2 . 5 ) r 4,1 甲i i t i d = m ) 甲 ， 。 ( 2 . 6) 其中 m= ma ( d a ) ma ( d e ) ( 2 . 7 ) 第二章 双周期厚度调制的多量子阱的透射谱 m ( d ) c o s ( 气 心) 一 气s i n ( k d) 于 sin (k ,d , ) 几 夕 c o s ( k 心) ( 2 . 8 ) r.eseej -工 产=a , b m, ( d , ) 和mg 心) 分别代表 势垒和势阱的 传输矩阵，m是连接一个周期的 传 输矩阵。 2 . 3双周期厚度调制的多量子阱的透射谱与波函数 2 . 3 . 1双周期厚度调制的一维量子阱的透射谱 对于有限周期体系，我们可以计算透射谱，设势垒和势阱的排列方式为 a b a b . . .a b a b , a代 表 势 垒 ， b 代 表 势 阱 。 入 射 端 的 波 函 数 为叭， 反 射 波函 数 为咒 . 透射波函 数为傲， 则 它 们满足以 下矩阵关系: 嗽 +傲 ( y , + y , ) ( 2 . 9 ) 其中 x = m ,m , . . . m a m b ， 容 易 求出 透 射 系 数 : ， 二 一一 一 一 止 匕 一 一 一 一 x + x 2 2 + f ( x ,2 k 一 x 2 , / k ) ( 2 . 1 0 ) x ,1i 是 矩阵x的 矩 阵 元 。 则透射率为 r ” ，_ 一不 不 2 而 而 2x + x 22 + f(x ,2k- x 2, l k) ( 2 . 1 1 ) 我 们 取势 垒a 和势阱b 的 宽 度分 别为d , 二 0 .3 5 n m，d = 3 .5 0 n m， 势垒高 度v = 1 . 0 e v，取m= 1 5 ，即每个复式原胞中 含有 1 5 个由 相邻的势垒a 和势阱 第二章双周期厚度调制的多量子阱的透射谱 b构成的简单原胞。我们给出了量子阱取四个复式原胞，a取不同值时的透射 谱，当a= 0 时，此透射谱就是以a b 作为简单原胞的单周期量子阱的透射谱， 当a * 0 时， 单周期量子阱变成了 势阱宽度调制的双周期量子阱。 可以 看出， 随 调制深度a的增加，带边的能量发生了移动，上带边向高能方向移动，下带边 向低能方向移动， 原来的上、 下带边进入禁带形成透射峰。当a 二 0 .0 5 时， 上带 边移至0 .9 0 e v 附近，下带边移至0 . 6 1 e v 附 近，使得原来的带隙变宽，并且会出 现一些窄的子能带，子带的数目 会增加，其带隙会变宽，如图2 .2 所示。 一 甸 吻酗 :(6 ) 瓜 117v - 7. 01i 二认 蜘 脚 吻 ( 己 ) )一广井 幢 一 ， v .七 二i 二 讥 恤恻匕 ) (6) l 门l 口 哗 05 6420目uou64月内u内u的曰日42clnl口内亡41止翻门.目6月 0000月.00000).00000.00000.1000 亡0一招任su巴 0 . 4 0 0 . 4 5 0 . 5 0 0 . 5 5 0 . 8 0 0 . 0 5 0 . 7 0 0 . 7 5 0 . 8 0 0日 5 0 . 8 0 0 . 9 5 1 . 1 拍1 . 0 5 e ( e v ) 图2 .2 一维量子阱中 的电 子 透射谱， ( a ) a = 0 .0 ; ( b ) a = 0 .0 1 ; ( c ) a= 0 .0 2 ; ( d ) a= 0 .0 4 ; ( e ) a= 0 .0 5 事实上，能带形成的原因是电子的德布罗意波在不同界面上反射后相干迭 加的 干涉导致的。 在周期性情况中，带隙中干涉相消，当周期性被调制后，增 加了新的相移成分，导致了新的相干相消和相干相长的能量区域出现，相干相 长的区域会在原来的禁带中出 现新的透射峰，相千相消的区域中会有新的禁带 出现.由于量子阱的宽度变化会破坏原来的周期性场，引起势能的改变，等价 于电子受到一个附加势场的作用，这种作用将使能带发生移动或分裂。当势阱 的厚度被周期性调制时，由于带边的移动，与以a b为原胞的量子阱相比，会 出现许多子带，并且子带的数目与a b的层数有关。 第二章双周期厚度调制的多量子阱的透射谱 2 . 3 . 2双周期厚度调制的一维量子阱的波函数 设 入 射 端波函 数 为 y , ， 经 过 有 限 周 期 体 系 后的 波 函 数 为阵， 则 联 接 两处 波 函数的传输矩阵关系为: t , f - x p, t t 1,= x - yit , ( 2 . 1 2) ( 2 . 1 3) 由 竹= t t , ,畔= ik t f ， 代 入 上 式 ， 有 t ; = 一 x + 优 ￥ ” x 2 2 一 x12 傲 =/ l , ( 2 . 1 4) 可令傲= 1 ， 则叮二 刀 ，由 此 初始 条 件， 当电 子由 一能 量e 入 射到量子阱 中， 利用传输矩阵关系 ( 2 .6 )式，可以得到任意处的波函数，如图2 .3 所示。 在图2 . 3 中我们给出了与图2 .2 对应的量子阱取为四个复式原胞时， 波函数 随a的变化。电子的入射能量e 对应图2 .2中箭头所指的原来上带边的能量。 可以 看出 在没有调 制的时候， 如图 ( a ) 所示， 它的波函 数与普通光子晶体的 波函 数是一 样的。引 入 调制后， 波函数发生变化( 图 ( b ) , ( c ) , ( d ) , ( e ) ) ， 这种变化 与引入调制的强度是一致的。 波函数会逐渐出现局域化，随着调制的加深， 波 函数的局域化也会加强。 当调制参数a = 0 .0 5 时， 波函数已 经由原来的扩展型局 域在空间一定的区域里。 第二章双周期厚度调制的多量子阱的透射谱 一 铿 兰 耐 测四卿l 一 )一l ，l m b k w w - - “ ， .置漏恻 1卿i卿 一 ! 一 二1 嘛嘛一 翩 “ 卿 品认 理编翩 m ft w ( b ) a=0 . 0 1 , e=0 . 8 4 0 2 6 4 0 3 e v ;( c ) a=0 . 0 2 , e = 0 . 8 3 8 7 7 9 3 e v : ( d ) a = 0 . 0 4 , e=0 . 8 3 3 2 2 5 3 1 e v ;( e ) a=0 . 0 5 , e=0 . 8 2 9 3 7 6 0 1 e v 当a = 0 .0 ，即对量子阱没有调制时，电 子在量子阱中传播时不会受到声子 产生的瞬时周期势的影响，此波函数就是以a b 作为简单原胞时的波函数。当 a#0时，即对势阱的宽度进行周期性调制时，类似于固体中电子受到波数为 2 ; r / m的格波的 调制，能量本征值会发生变化， 波函数也会发生变化。由 于本 征能量进入原有周期势的禁带中，因此波函数呈现局域化的特征。由于这些能 带很窄，因此在这些窄带中的电子在通过双周期量子阱传播时群速度很小，具 有较强的局域性。 2 . 4本章小结 在本章中我们讨论了双周期厚度调制的多量子阱的透射性质， 采用传输矩 阵方法，计算了一维双周期厚度调制的多量子阱的透射谱，并且给出了随阱宽 第二章双周期厚度调制的多量子阱的透射谱 调制的波函数。 当量子阱的宽度被周期性地调制时， 透射谱的带边会发生移动， 上能带边向 更高能量处移动，下能带边向更低能量处移动，使禁带增宽。在原 来的单一周期势的一些带边态进入禁带形成一些子带。落在这些子带内的电子 具有较强的局域性。 第三章含色散的一维光子晶体微腔的透射谱 第三章 含色散介质的一维光子晶体微腔透射谱 3 . 1引 言 类似掺杂半导体中的缺陷态， 在一维光子晶 体中引入缺陷后， 光子带隙中 也 将出 现缺陷 模频 率【 7 ,4 0 。 一维光子晶 体中的 缺陷 实际上是一个微腔。 光与 一维 光子晶 体微腔中 的 媒质的 相互作用问 题一直受到 人们的 关注14 1 . 4 6 ) 。当 光子晶 体 的禁带中存在某种共振模式，则相应频率的光就可能产生共振透射;如缺陷层 的共振微腔，色散媒质的原子的共振跃迁等。光子晶体微腔中媒质是普通非色 散媒质时，存在共振腔模。当腔中含有色散媒质 ( 例如二能级体系，半导体量 子阱) 时，光与色散媒质的相互作用使得在色散原子共振频率附近形成许多共 振模，色散媒质的振子强度较强时会在色散介质共振频率附近形成一个较宽的 共振透射带。 3 . 2 含有色散介质的负折射率材料 介电 常数e 和 磁导率尸 是描述介质电 磁性质的两个基本物理量。当电 磁波 在介质中 传播时， 如果介 质的介电 常数: 和磁导 率产与电 磁波的 频率。 无关， 这种介质称为 各向同 性均匀介质。 如果介电 常数s 和磁导率产 受电 磁波频率口 的影响， 这样的介质称为色散介质。色散介质可以用下面的式子表示 ( 口 ) = e r w + i s , ( w ) 1 ( w ) = p r ( w ) + in l ( 0) ) 把上面两式写成指数形式 : ( 。 ) 二 e ( m ) 卜 i 1m 1 ， w e ( co ) 。 ( 0 ， 二 ) p ( w ) = w ( c ) le cd ) ， 0 ( w ) 。 ( 0 ， 二 ) ( 3 . 2 ) ( 3 . 3 ) ( 3 . 4 ) 第三章含色散的一维光子晶体微腔的透射谱 由 n ( m ) = 摘面扣( - ) ， 可 得 折 射 率 ” ( ， ) = v e ( ) f (u l ) l e t. cm , cm )v z( 3 . 5 ) 由 (， ， ， 和 ， ， ， 式 ， 当 和 产 都 是 负 值 时 ， o e (0) ) 。 晋 ， ， ， o p (w ) “ 吾 ， ， ， f o s ( w ) 十 汽 ( w ) / 2 n ， 得 到 折 射 率n * 也 为 负 值， 负 折 射 率 材 料 就 是 基于 此提出的。 对于色散介质， 其介电 常 数 和磁导率u 可以 用模型来表示 e=1 + c 0 7 ( 3 . 6 ) (u l 产=i +尸 丁一 一2一 一 一 wt