（应用数学专业论文）多时滞微分方程周期解的存在性.pdf

摘要 在本文中我们主要研究了卜列时滞微分方程 ( n 是正常数) 的多周期解的存在性。主要思想是先把该时滞方程转化成哈密顿系统，然后 再利用变分法证明此方程存在多个周期解。我们还将【7 的结论推广到方程 进一步我们证明了更一般的方程 ( 蛾= 1 或一1 ) 存在多个周期解。本文的工作主要是受到了费贵华 7 】的启发。 关键字：时滞微分方程，哈密顿系统，周期解，变分法，临界点 a b s t r a c t i no u rp a p e rw pm a i n l 3 s t u d 3ih ef o l l o w i n gd i t t e r m 】ii a ld e l a ye q u a t i o n s ( na r ep o s i t i v ee o n t a n t s ) w et r a n s l a t et h i se q u a t i o ni n t oh a m i l t o n i a ns y s t e l n sb yc h a n g i n g v a r i a b l e sa n do b t a i nt h ee x i s t e n c eo fp e r i o ds o l u t i o n su s i n gv a r i a t i o n a lm e t h o d t h e nw ee x t e n d t h ec o n c l u s i o n sw h i c ha r eo b t a i n e db yf e ig u i h u a 【7 jt oa n o t h e re q u a t i o n i ( t ) = 一i ，( z ( tr 1 ) ) 十+ f ( x ( t r n 一1 ) a tl a s tw eo b t a i nt h ee x i s t e n c eo fp e r i o ds o l u t i o n so ft h ed i f f e r e n t i a ld e l a ye q u a t i o n s i ( t ) = 5 1 f ( x ( t r 1 ) ) + 一4 - 5 n1 ，( z ( t f n - - 1 ) ( 也= l o t 一1 ) w h i c hi sm o r eg e n e r a l k e y w o r d s ：d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ih a m i l t o ns y s t e m s ，p e r i o ds o l u t i o n s ，v a r i a t i o n a lm e t h o d c r i t i c a lp o i n t 一、学位论文独创性声明 东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了 谢意。 二、关于学位论文使用授权的说明 签名：魂盥塑日期：巡墨! 垃 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复 印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和 纸质论文的内容相一致。除在保密期刊登) 授权东南大学研究生院办理。 签名导师签名：魂醚日期：趣出圣垃 第一章引言 1 1 背景知识 早在1 9 7 4 年，k a p l a n 和y o r k e 就在文献 1 2 】中用研究常微分方程组周期解的方法，得 出了单时滞微分方程 童( ) = - f ( z c t 一1 ) ) 和双时滞微分方程 圣( t ) = - - f ( x ( t 1 ) ) + ，( z 0 2 ) ) 1 分别存在4 周期解和6 周期解，其中f c ( n ，r ) ，( 一) = 一，( z ) ，且当0 时， z ，( z ) 0 进一步k a p l a n 和y o r k e 猜想类似的结论对多时滞微分方程也成立，即在同样的 条件下，可用同样的方法得出方程 毒( ) = - t - f ( x ( t 1 ) ) + + f ( x ( t 一( n 一1 ) ) 1( 1 1 ) 存在轨个周期解，这就是著名的k a p l a n y o r k e 猜想可惜的是k a p l a n 和y o r k e 未能给出 证明 对此猜想很多数学家都进行了探讨1 9 7 8 年，r d n u s s b a u m 在【2 1 】中利用k n t s n o s e l k i i 关于b a n a c h 空间中全连续算子在完全锥中的不动点原理，得到了多时滞微分方程 仃tn 童( t ) = 一f ( z ( 一n ) ) + 扛( t 一口+ n ) ) j 一l q k ( z ( t 一氏) ) + 鲰扛。一2 9 + 以) ) 】 i=l知=1 ( 其中 和珊都是奇函数) 存在周期解的若干定理，并给出了方程( 1 1 ) 存在2 n 周期解的 充分条件但是他要求得到的解满足z ( t ) = z ( 一t ) ，即解是奇函数1 9 9 4 年葛谓高教授在 文【1o 】中从n u s s b a u m 2 1 】的结论出发，讨论了方程( 1 1 ) 中各时滞项f ( x ( t 一 ) ) 为不同正负 号时微分方程存在不同周期的各类周期解的条件 从1 9 9 8 年起，李继彬和何学忠教授先后在【1 4 ，1 5 ，1 6 ，1 7 ，18 】中利用存在对称群的条件， 建立了h a m i l t o n 系统与时滞微分系统周期解之间的联系，给出了三类时滞微分方程的多个 周期解的存在性，即方程 圣( ) = 士【，( z ( 一r 1 ) ) + + f ( x ( t r n 一1 ) ) 】， 予( ) = 土 6 l ，( r ( f r 1 ) ) + - + 矗一1 ，0 ( 一h 1 ) ) 1 予( ，) = 士【( 一1 ) 【砉l ，( 丁( ，一n ) ) + + ( 一1 ) 坦；掣j ，( ，( t 一“一1 ) ) 1 壅童奎竺堡圭耋堡垒塞墅：塞! ! 童 2 ( 其中l ，n 互素，n 是正常数，也= 1 或一1 ) 存在多个周期解。一个不足之处就是李和何的 结论有一个前提条件，即假设文献【2 0 】中定理7 2 给出的哈密顿系统周期解的周期为最小 周期，而这一点在定理7 2 中并不能体现出来，而且也是很难来验证的 2 0 0 4 年，费贵华在文献【7 】中用变分法证明了n 为偶数时方程( 1 1 ) 存在多个周期解，然 后又在文献【8 】中用c a l e i n 逼近的方法，证明了7 1 , 为奇数时方程( 1 1 ) 也存在多个周期解 与李不同的是，费的证明中没有最小周期的假设；与n u s s b a u m 不同的是，费得到的解不要 求是奇函数，并且他所用的方法沿袭了k a p l a n 和y o r k e 的方法，可以说找到了一个统一的 方法解决了方程( 1 1 ) 的2 n 周期解的存在性 受文献【7 ，1 0 ，1 4 ，1 5 ，1 6 ，1 7 ，1 8 】的启发，在本文中我们主要用变分法证明n 为偶数时方程 e ( t ) = f ( x ( t n ) ) + + f ( x ( t 一一1 ) ) + q ( t )( 1 2 ) 在条件( h i ) ，( h 2 ) 或( 宦曲下有多个周期解作为我们定理的推论可以得到方程 圣( t ) = f ( x ( t r 1 ) ) + t + f ( x ( t r h 一1 ) ) 存在多个周期解进一步结合推广【j 7 j 得到的结论，我们证得更一般的方程 n 一1 = 士$ i f ( x ( t r d ) ( 1 3 ) t = l 存在多个周期解本文的结论相对费的结论更具有一般性，适用的方程更广 当n 是奇数时，在把时滞方程化为哈密顿系统的过程中，解的对称结构发生了变化， 此时获得的变分结构不满足引理2 1 ，因此不能再用本文的方法证明在以后的工作中我们 将着重考虑n 为奇数的情况 本文的内容具体安排如下： 第一章：主要介绍哈密顿矩阵和群作用的定义，空间 二( 9 ，r ) 的一些性质以及我们 得到的一些基本引理 。 第二章：阐述并证明方程( 1 2 ) 的多周期解的存在性定理2 1 ，其中用的方法是变分法， 主要的工作是验证由文献 5 】得到的一个引理的条件；紧接着我们给出一个例子 第三章：推广文献【7 】中的结论，并结合本文第二章的结论给出方程( 1 3 ) 的周期解存 在的充分条件 奎童查堂塑圭堂堡丝塞 量三塞! ! 童 3 1 2 预备知识 定义1 1 若2 n 2 n 阶非奇异矩阵a 满足a r j + i a = 0 ，则称a 为哈密顿矩阵，其 中j = ( - o ：) 是标准辛矩阵，是单位矩阵，a r 表示矩阵a 的转置 易见若a 和b 都是哈密顿矩阵，则n a ( 0 r ) ，a4 - b 都是哈密顿矩阵 注：若z n z n 阶矩阵a 有以下分块( ：) ，则 a t j o r j a = ( 二二：n - d h 、i 由此可见a 为哈密顿矩阵当且仅当a t + d = 0 并且b 与c 是对称矩阵 定义1 2 设g 是拓扑群，x 是b a n a c h 空间，如果线性算子簇 t ( g ) 9 6 g 中的算子 t ( o ) ：x x 满足t t ( o ) = i d , t ( g l + 9 2 ) = t ( 9 1 ) t ( 9 2 ) ， ( g ，z ) t ( g ) x 是连续的， 则称算子簇 r ( g ) 。e g 是x 上的g 作用 x 的子集a 称为g 不变的，如果对一切g g ，g a = 4 成立 定义1 3 设g 是作用在b a n a e h 空间x 上的紧l i e 群，函数垂：x x 称为g 等变 的，倘若对一切g g 与z x ，垂( g z ) = 扣( z ) 成立定值函数日：x r 称为在g 作 用下是不变的，倘若对一切9 g 与z x ，h ( o x ) = h ( x ) 成立 有了上述准备工作，我们可以得到如下引理： 引理1 1 假设g 是由一个元素生成的有限群，即g = 玑9 2 ，矿，扩 ( 其中9 ”= i ) ， e 是b a n a c h 空间，l p ：e 一曰在g 作用下是不变的，令s e = z e ：9 z = z ) ，则纠s e 上的临界点也是妒在e 上的临界点 证明：设z ，s e ，并且z 为纠s e 在s e 上的临界点，则( ( z ) ，口) = 0 令z e ， 则 类似可得 因为 所以 因此 即 ( ( z ) ，。) - 牌止# p 盟 ；l i 。丛垡三塑l 丛生 ：l i 。! ! 三! ! 生二! ! 苎2 = ( ( z ) ，9 z ) ( ( z ) ，z ) = ( ( ) ，一z ) ，v 1 ，2 ，m 9 ( 。+ g z + + g m 一1 名) = 名+ g z + + g m 一1 名 z + g z + + 扩一1 z s e 0 = ( ( 功，2 + 口：+ + g m - 1 。) = m ( ( z ) ，z ) ， ( ( z ) ，2 ) = 0 引理证毕 令佗= 2 n ，n 1 是整数，s 1 = r ( 2 n 伽z ) ，则w 扣( s 1 ，r 2 n ) 为具有范数i - i l 和内积 的h i l b e r t 空间，并且 肼2 ( s 1 , r 2 n ) 砷2 ( ，r 2 n ) i 砸) 2n o + 三( a m c o s ( 赢删) + k s i n ( 赢删) ) 其中 i i z 1 2 = 4 n f 幻。如0 2 + 2 n p o m “1 2 + 1 1 2 ) 0 ，使得对一切2 e ，蚓ksn 。蚓l 成立 证明：参看文献【9 】 定理1 3 令h c 1 ( 月州曰) ，并且存在s 【1 ，o 。) ，使得对一切( r “，i h ( o is a l + a 2 1 q 5 成立则 ，4 n p o j ( z ) i7n ( z ( t ) ) d t c 1 ( e ，r ) ， j o 并且对一切w e ， f 4 n o j 7 ( 。) w = fh ：( 。( ) ) ”( ) 出 j 0 而且，( 。) 是紧的。 证明：参看文献f 2 i 下面我们着重讨论多时滞方程 圣( ) = ，( z ( 一r 1 ) ) + ，( z o t 2 ) ) + + f ( x ( t r t 。一1 ) ) 圣( t ) = 一【，( z ( 一r 1 ) ) + f ( x ( t r 2 ) ) + + f ( x ( t r 。一1 ) ) 】 的周期解与其对应的伴随系统 丝：一如可口(x)dt 、 警= v 郴) ( 1 4 ) ( 1 5 ) ( 1 6 ) ( 1 7 ) 的周期解之间的关系，其中r t 0 = 1 ，n 一1 ) 是正常数，x = ( z 1 ，x , n ) ，厶是具有 元素1 的n n 阶反对称矩阵，即： a n = 一l o 日( x ) = ，( z 1 ) + + f ( z 忭) 是哈密顿函数，f ( z ) = 譬f ( t ) d t ，z r ，v h 表示日) 的 梯度向量以下我们恒假设 ( h ) ，( z ) 是奇的连续函数，且a 。= 妈掣，n * = 舰掣； ( h 2 ) 存在不小于1 的整数m i 使得r i 满足以下等式， r 1r 2r t l l 2 n m l - - 玎“2 n m 2 - - 2 。一2nmn-1-(n-1)。10。 ( n 2 ) 存在正整数m l ，m 2 ，m 。l ( 不必相同) ，使得r l ，r n 一1 满足以下等式： r 1 r 2 r n l 订西而2 + 2 n ；q ， 2 2 i 了i 丽2 p 。 、i o ；o o 1 磊= 0 1-；1 因为 x 下( ) = 磊x 丁o 一，i o ) = 露x 丁( f n i t o ) = 一x 丁( 一，l ，l o ) ， 所以3 1 ( ，一n l z o ) = 一，1 ( ) ，即z 0 一n p o ) = - - x ( t ) 因为 死x 丁( z 一伽) = ( x 2 ( t 一肋) ，x n ( t 一) ，一z 1 ( 一脚) ) r = ( x l ( t ) ，x n ( ) ) r ， 所以 z n ( t ) = - - x z ( t f l o ) = x x ( t 一，0 ( 1 一n ) ) = z t ( t - 赢( 1 厕- n ) r n - 1 一意筠) ；。1 ( 一7 n 1 ) ， z 。一l ( t ) = z n ( t p o ) = z 1 0 一瑚( 2 一n ) ) = z l ( t - 互磊；( 磊2 二- _ n 二) _ i r n 两- 2 一瓦2 n t n 2 n - 一2 r ( 。n - 一22 ) ，, l = z 1 0 一r n 一2 ) ， x 3 ( t ) = x 4 ( t 一加) = z z ( t 一( - 2 p o ) ) = z 1 ( t - 丽( - 而2 ) j r 2 一j 2 n n m m 2 2 一r 2 2 ，) = z 1 0 一r 2 ) ， x 2 ( t ) = x s ( t p o ) = x l ( t 一( 一1 ，l o ) ) = 州t 一丽- - j r i 一舞等) = 口1 ( t 一7 1 ) 进而根据系统( 1 6 ) 的第一个方程知，( t ) = 即( t ) 是( 1 4 ) 的2 n # o 周期解。同理可证结论对 方程( 1 5 ) 及其伴随系统( 1 7 ) 也成立引理证毕 引理1 5 假设方程( 1 4 ) ( 或( 1 5 ) ) 满足条件( h 1 ) 和( 自2 ) ，则以下结论成立： 东南大学硕士学位论文第章引言 8 ( 1 ) 若，( ) 为( 1 4 ) ( 或( 1 5 ) ) 的2 n p 周期解，且满足，( 一n ，t ) = 一，( ) ，令 x ( t ) = ( ，( ) ，( r 一”1 ) ，z ( t r n 一1 ) ) 则x ( t ) 为系统( 1 6 ) ( 或( 1 7 ) ) 的2 n p 周期解，且x t ( ) = 晶x 丁( f p ) ，其中 冗= o 1 o0 10 ( 2 ) 若x ( t ) = ( z l ( ) ，z n ( ) ) 是系统( 1 6 ) ( 或( 1 7 ) ) 的2 n # 周期解，且满足x t ( t ) = x t ( t 一肛) ，令( t ) = z 1 ( ) ，则z ( t ) 为( 1 4 ) ( 或( 1 5 ) ) 的2 n # 周期解，且z o n p ) = 一。( ) 证明：( 1 ) 设z ( ) 为方程( 1 4 ) 的2 n # 周期解，且z ( f 一，l p ) = 一z ( t ) 令 x ( t ) 三( z 1 ( t ) ，一，。( t ) ) = ( z ( ) ，z ( 亡一r 1 ) ，z ( 一r n 一1 ) ) ， 根据条件( 台z ) 及( 1 4 ) 式易证 戈r ( t ) = 一a 。v h ( x ) 因为 z 2 ( t ) = x ( t n ) = z 0 一p ( 1 + 2 n m l ) ) ；z l ( t p ) ， x a ( t ) = z 0 一r 2 ) = z ( t p ( 2 + 2 n , n 2 ) ) x 2 ( tp ) ， 2 忭( t ) = z ( 一n i 一1 ) = z 0 一( 竹一1 ) p ) = 妨。一l ( t 一，) ， q ( t ) = z ( t ) = - x ( t n p ) = 一z 。0 一p ) ， 所以 x 7 ( ) = 磊x 丁( 一p ) ( 2 ) 假设x ( t ) = ( z 1 ( ) ，z 。( ) ) 是系统( 1 6 ) 的2 n p 周期解，且x t ( ) = 霸x ，( 一p ) 因为 x r ( t ) = t x 丁( t p ) = 丁署x r ( t 一竹_ f 工) = 一x r ( 一竹p ) ， 所以z 1 ( 一n p ) = 一z l ( ) ，即z ( z n p ) = 一z ( ) 壅童查堂堡圭兰堡篁塞篁：塞! ! 童 9 因为 x 丁( 一p ) = ( 一0 一p ) ，2 1 ( 一p ) ，一，一l ( z 一，1 ) ，) 丁 = ( ，1 ( ) ，z 。( t ) ) r ， 所以 z 2 ( t ) = z 1 ( 一p ) = 规( t 一番嘉) = z ，( t - 丽r l 一篇籍) = z o r 1 ) ， x 3 ( t ) = x 2 ( t p ) = x a ( t 一2 p ) ， = z l ( t - 万万2 r 2 而一万2 n 历r n 2 而r 2 ) = 写( t r 2 ) ， z 。( ) = z 。一1 ( t 一，) = x d t 一( n 一1 ) p ) = z 1 ( t - 石= ( = _ n i _ - 干1 j ) 五r n 石- 1 一i 2 一n m 十n - 。l 。r 慨n - 1 1 ) = z 0 一r n 一1 ) 进而根据系统( 1 6 ) 的第一个方程知z ( f ) = q ( t ) 是( 1 4 ) 的2 r i p 周期解同理可证结论对方 程( 1 5 ) 及其伴随系统( 1 7 ) 也成立。引理证毕 说明：由上述引理可知若要得到方程( 1 4 ) 和( 1 5 ) 的2 n p o 与2 n p 周期解，只需知道系 统( 1 6 ) 和( 1 7 ) 存在满足x 丁( t ) = 磊x 丁( t p o ) 和x 丁( t ) = x 丁( 一p ) 的2 n l a o 与2 n p 周 期解 一帆记如( ：尝) ，根据定姐，的注知a 魏是哈密顿矩阵 ，l = 2 k + 1 时，a 黯+ l 不再是哈密顿矩阵，但是该系统满足 圣l 一毒2 + 主3 一童4 + + 童驰一1 一k 2 k + 童驰+ l = 0 ， 即 z l 一3 ：2 + 如一“+ + x 2 k 一1 一z 2 七+ ，2 膏+ 1 = r 因此若令c = 0 ，则系统 可化为经典哈密顿系统 即 其中 d d t z l z 2 ： x 2 k - 1 $ 2 七 戈( t ) = 土a 2 k + l v h ( x ) = 士a 驰 f c x l ) 一，( ( z 蕊一x 2 i 一1 ) ) t = 1 知 ，( 眈) + ，( ( g 蕊一x 2 i 一1 ) ) f ( x 2 k 一1 ) 一，( ( z 瓤一x 2 i 一1 ) ) = 1 k f ( x 2 k ) + ，( ( z 矗一x 2 i 1 ) ) 警= 士a 2 舢懈x 却，矧 2 k奄 h + ( x ) = f ( 以) + f ( ( z 蕊一z 蕊一1 ) ) 1 = 1i = l 引理1 6 当n = 2 k + 1 时，若( z l ，x 2 k ) 是( 1 9 ) 的t 周期解，令 z 瓣1 ( ) = ( z 2 t ( ) 一一1 ( t ) ) = 1 ( 1 8 ) ( 1 9 ) 则( z 1 ，x 2 k ，z 她+ 1 ) 是( 1 8 ) 的t 周期解；若( z 1 ，x 2 k ，x 2 k + 1 ) 是( 1 8 ) 的t 周期解，而 且存在t o r 使得 k x 2 k + l ( t o ) = ：( z 复( o ) 一x 2 i l ( o ) ) ， f = 1 则( ，x 2 k ) 是方程( 1 9 ) 的t 周期解。 说明：由上述引理可知我们只需得到方程组( 1 9 ) 的周期解( z l ，z 铷) ，进而令x 2 k + - = ( z 新( z ) 一x 2 i 一1 ( ) ) 就可得到方程组( 1 8 ) 的周期解，再根据引理1 4 和1 5 就可得到n 为奇 数时方程( 1 4 ) 或( 1 5 ) 的周期解。 第二章主要结论及其证明 本章我们主要讨论n = 2 n ( n 1 是自然数) 时方程 童( ) = ，( z ( t r 1 ) ) + + ，( z ( 一r 。一1 ) ) + q ( t )( 2 1 ) 存在周期解的充分条件，其中q ( t ) l 2 ( 兄，r ) ，q ( t ) q ( tn 瑚) 以下我们恒假设 ( h 3 ) l ，( z ) 一o o o z l 有界，且当o o 时g 。( z ) _ + 一o o ； ( 豆3 ) i ，( z ) 一o 。z i 有界，且当+ o o 时g o o c x ) + o 。； ( h 4 ) 当 0 且充分小时，g o ( z ) 0 ； ( 幽) 当 0 且充分小时，g 0 ( z ) 0 ，使得 h + ( a + z b ) = 曰s e ( 七) ； = 1 3 k 0 日- ( a + z k ) =os e ( 七) ；( 2 7 ) k = l ， t k 0 ，使得七2 - i ( o 时 州躺倒耻躺m z 薹川t a n c 等删； d i m 日o ( 乓( a + 骨0 ) 最) = 2 口( n ，2 n ) ( 2 9 ) 证明：设s e ( k ) ，且 铋= n * c o s ( 赢( 2 女_ 1 ) ) + 6 k s i n ( 赢( 2 - 1 ) m 铋2 o “【i 而；( 2 。一+ 6 【西瓜1 2 0 一1 m ( 1 ) 考虑特征值问题 ( a + k ) 。= a z k 根据( 2 3 ) 和( 2 6 ) 直接计算得 赢2 n # a 茄k + 击2 k1 驴概，n z “”5 一w 一丽7r2-|1n+。-f一-bk=abk2 2 k1 如一一一 。 令q = t l + ，鲰，魄满足( 2 5 ) ，则a 2 n c k = i c o t ( p - 争) c k ，即 所以 墙“t = t n ( 譬) 又因为存在n s r 使得 进而可得 a 茄”t = 一t a n ( 譬) u t n 女2r u k s ”i ，b k 。门+ a u k 碌n t = t a n ( 譬) k ，a 嘉k = 一t a n ( 譬) a k ( 一赢t a n ( 譬) + 矗) 轳概 ( 一赢测譬) + 矗溉= 绯 所以当且仅当 弧= 一二2 n p o ( 2 k - i ) t a n ( 譬) + n 是正的，负的或零时，a + 风在s e ( k ) 上是正定的，负定的或核的，这意味着( 2 7 ) 式成 立 ( 2 ) 因为( a + 风) 张= ( 蠢与) 诋所以 取 = 毒与1 2 p - - - - m i n i # 与i ：k l ，似o o 则 若1 k 0 ， 若讯 0 ，使得k k 2 时 d i m h 一( 乓( a + 风) 乓) = 巧( n ，2 ) + 衰m + ( t ”( 鼍争”) ) 因为 所以取 t a n ( 等咖o ，v 川1 ，一，n i ， t a n ( 1 2 l 矿- 17 r ) o ，v z + 1 ，2 n j l = m a x j + 2 n m l + 2 n ( 仇) 0 ，+ 2 n ( f ，l + 1 ) 0 ，使得对一切2 e ， i v h ( z ) 一咖z l r l z + c ( r ) l z l 2 ， 因此对任意 e ， 进而( 2 1 0 ) 式成立 r 4 m i i v h ( z ) 一a o z l l v l d t j 0 so l n i z l l l l v l i + a 2 c ( r 1 ) l l z l l 2 i ， ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 壅至奎堂堡圭竺堡垒塞堑三冀圭矍篁堡垦苎堡塑 1 8 根据( h 1 ) 知对任意”2 0 ，存在c l 0 使得对一切2 e ， i v h ( z ) n 0 0 2 lsr 2 l z i + c 1 ， 因而类似可证( 2 1 1 ) 式成立 引理2 6 假设t t o o = 0 且( h 1 ) 成立，或者( h 3 ) 与( 也) 之一成立，则由( 2 4 ) 式定义的 _ p ( 。) 满足( p s ) 。条件，即若 钿) s e ，且妒( 钿) 一c ，( 钿) 一0 ，则 有一个收敛子 列 证明：设 钿 s e ，且妒) 一c ，) 一0 即 妒( 。n ) = 互i + ( ) 一( 钿) 一c ， ( ) = ( a + z k ) 锄+ 犁乞( ) 一( 钿) 一0 其中) 与无关，即l i ( ) l | 是常数。记( ) = ( t ) ，j | ) | i = d ( 1 ) 当o o o = 0 时，日o ( a + 玩。1 = o ) ，因此a + 玩。在s e 上可逆如果 无界， 取r 3 0 ，使得n n 时l | 妒乙) i | sr 3 0 z n n 进而 ( ) 2l i ( a + i k 。) 0 一掣乞( ) | 一0 ( ) 8 ( m r ) l l 钿l i 一最 这与( ) 一0 伽一o o ) 矛盾，因此 ) 有界又因为比( z ) 是紧的，所以妒( 钿) 存在 收敛子列，不妨仍记为妒名( ) ，设其收敛到”( ) 。则 ( j 4 + b 口) 磊。( t ) ， ( ) 一t ，( t ) ， 所以 2 。( ) ( a + 且。) 一1 偿0 ) 一”( f ) ) ( 2 ) 当0 时，设( h 3 ) 成立，令z n = y n + 蜥n ( a + 玩。) o n ( a + 玩。) ，则 妒( 。) = 五1 + ( + ) 一西( 铷+ 缸k ) 一 ( ) = ( a 十既) + 儿( + ) 一( + ) 一0 根据i y ( z ) 一d 。z 有界知以。( 蜘+ i f , i n ) 有界，又4 + 风。在r ( a + 。) 上可逆，进而 鲰 有界，所以札。( + ) 一( 鲰+ ) 有界又因为 d o o ( + t ，n ) 一妒( 弘；+ 。) 一妒。( ”。) + 咖( t u 。) s u pi l v ，乞( z ) l l d i i + s u pf i 庐) l l l l v , , i i 叁查查堂塑圭兰堡堡塞 叁三塞圭矍丝堡墨苎堡矍 1 9 所以妒。( ”k ) 一妒( ) 下有界根据( h 3 ) 可知i u 竹1 一时 “k ( ，。) 一( ) 一， 所以 w 。) 有界由妒的紧性知v ，量( 鼽+ ”。) 有收敛子列，所以( a + 玩) 蜘有收敛子列， 进而 鲰) 有收敛子列；又根据d i m n ( a + 玩) 0 ， 使得 ( a ) 在s e 上，c o d i m s e ( s e + + s e 一) 0 时，记 s j 旷= j ，+ ( a + 口。) ，s e 一= 日一( a + b 。) 1 0 验证l ( s e 一) s e 一，其中l = a + 鼠。 塞查奎冀塑主兰堡垒苎叁三塞圭矍竺丝垦苎堑堡 2 0 设z = 要( c o s ( 彘( 幻一1 ) ，) + b s n ( 赢( 乃一1 ) ) ) s f 一，其中( n j ，吩) 了满足( 2 5 ) 式令i = ( a + 玩。) 。，则 因为 所以 强蚤南c o s ( 赢( 纠m 蝴i n ( 赢- 1 ) ) ( a + ) 扣子j = l 上( j - - 咚) ( qc o s ( 赢( 巧一1 ) t ) + s i n ( 赢( 勿一1 ) t ) = 2 n ( 2 j j = l e pl ( s e 一) 8 e 一 2 0 验证c o d i m ( s e + + s e 一) o o 记 根据引理2 。4 的证明过程知 又因为 一1 ) ( 南) 3 ( 孝+ 螃) 0 使一 p + r ， 0 ，使得1 1 1 l 墨r f , 1 时 进而i m l 时 s u pi i 妒6 ( 。) 洲。l i r l l z l l 2 z e s e 怕( z ) 咖( o ) s u p0 ( * ) l l l l * l l lsr l l z l l 2 z e s e 所以对一切z s e 一，且ls “1 时 p ( z ) = ； + 怕。) 一币( z ) ( 一；加+ , 0 1 1 。1 1 2 + c i i 。u 因此存在正数r m 1 ，使得 0 时引理2 7 中的条件( d ) 成立 4 0 根据( 2 1 1 ) 知对任意正数n 1 0 使得 0 0 ，使得 0 妒量d ， vz s e ； ( 。) 一一，8 铀| | 一+ o 。 所以对一切。s e + ，令2 = z 一+ z o 日一似+ 既。) o 日。似+ 风。) 则 一妒( 。) = 一互1 - - 妒。( z ) + ( 。) = 一互1 一( 2 一+ 知) + 庐( 。一) + ( 知) 2 ；舳怯h 2 - - 1 1 怯卜( 知) 一c 恢l l - c 因此存在匈使得引理2 7 中的条件( c ) 成立 所以 k ( 2 1 ) = 1 ( d i m ( s e - ns e + ) 一c o d i m ( s e