（运筹学与控制论专业论文）欧式期权和美式期权定价的数值方法进一步研究.pdf

摘要 本文以无套利定价原则和风险中性定价原理为基础，对欧式期权和美式期 权问题进行进一步研究本文的主要工作包括： ( 1 ) 进一步讨论了欧式期权定价的相关理论和方法； ( 2 ) 分析研究了美式期权定价的数值方法，通过参数的改进，提高了模 型的计算精度； ( 3 ) 基于g 一融资策略通过套期保值方法进一步探讨了欧式期权公平价 格和美式期权最佳交易时刻的问题 对于欧式期权，本文采用b 1 a c k s c h 0 1 e s 模型得出期权定价公式，并且讨 论对比了非完备市场衍生资产定价的几种数值方法而对于美式期权，主要探 讨分析了两种数值方法：二叉树方法和有限差分法由于普遍使用的二叉树参 数模型带有缺陷，比如，在某种情况下将产生负的概率等，于是本文借助于随 机误差校正思想，重新构造了二叉树参数模型，新模型永远不会产生负的概率 且具有很高的计算精度，因而可实际应用于各种美式看跌期权的定价，而且这 个新模型可推广到三叉树等更高阶的树图方法中去在有限差分法中，为了保 证计算结果更加精确，本文采用了控制变量技术 最后，本文基于g 一融资策略探讨了欧式期权和美式期权定价，并从理论 上得出离散型美式期权的最佳套期交易时刻实际上是一个最优停时 关键词期权，二叉树，套期保值，随机误差校正 a bs t r a c t o nt h eb a s eo ft h en o n - a r b i t r a g ep r i n c i p l ea n dt h er i s kn e u t r a lv a l u a t i o n ，w e d i s c u s se u r o p e a no p t i o na n da m e r i c a no p t i o np r i c i n g t h em a i nw o ki n c l u d e st h e f o l l o w i n gc o n t e n t s ( 1 ) a n a l y z er e l e v a n tt h e o r i e sa n dm e t h o d so fe u r o p e a no p t i o np r i c i n g ； ( 2 ) i n v e s t i g a t en u m e r i c a lm e t h o d so fa m e r i c a no p t i o np r i c i n g ，a n di m p r o v e p r e c i s ev a l u a t i o nv i an e wp a r a m e t e r s ； ( 3 ) s t u d yt h ef a i rp r i c eo fe u r o p e a no p t i o na n do p t i m a lt i m eo fa m e r i c a n o p t i o nt h r o u g ht h eh e d g i n gm e t h o db a s e do ng - h e d g i n g f i r s t ，w eg e te u r o p e a no p t i o np r i c i n gf o r m u l ab yb la c k - s c h o l e sm o d e l ，a n d s e v e r a ln u m e r i c a lm e t h o d so fd e r i v a t i v ev a l u a t i o ni n i n c o m p l e t em a r k e t sa r e d i s c u s s e da n dc o m p a r e d t h e n ，w em a i n l yd e a lw i t ht h eb i n o m i a lt r e em e t h o da n d t h ef i n i t ed i f f e r e n c em e t h o df o ra m e r i c a no p t i o np r i c i n g t h eb i n o m i a lt r e e p a r a m e t e rm o d e lh a st h ef l a w , f o ri n s t a n c e ，i tw i l lh a v et h en e g a t i v ep r o b a b i l i t yi n s o m ek i n do fs i t u a t i o n s ow ec o n s t r u c tn e wb i n o m i a lt r e ep a r a m e t e rm o d e l ，w h i c h w i l ln e v e rh a v et h en e g a t i v ep r o b a b i l i t ya n dh a v et h ev e r yh i g hc o m p u t a t i o n p r e c i s i o nw i t ht h ea i do ft h et h o u g h to ft h er a n d o me r r o r t h u si tm i g h tb ea p p l i e d t ok i n d so fa m e r i c a np u to p t i o np r i c i n g ；m o r e o v e rt h en e wm o d e lm i g h tb e e x t e n d e dt ot h et r i n o m i a lt r e ea n dt h eh i g h e ro r d e rt r e e s i nt h ef i n i t ed i f f e r e n c e m e t h o d ，w ea d o p tc o n t r o lv a r i a b l et e c h n i q u et oo b t a i np r e c i s ev a l u a t i o n a tl a s t ，w ed i s c u s se u r o p e a no p t i o na n da m e r i c a no p t i o np r i c i n gb a s e do n g h e d g i n g ，a n dp r o v eo p t i m a l h e d g i n g t i m e o fa m e r i c a n o p t i o n i sa s t o p p i n g - t i m e k e yw o r d s o p t i o n ，b i n o m i a lt r e e ，h e d g i n g ，r a n d o me r r o r n 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中南大学或其他单 位的学位或证书而使用过的材料与我共同工作的同志对本研究所作的贡献均 已在在论文中作了明确的说明 作者签名：旅遗叠 日期：趁q 墨年止月盈e t 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留学 位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文；学校可根据国家或湖南省 有关部门规定送交学位论文 作者签名：鎏邀星导师签名幽丞日期：2 1 堑年卫甩五日 硕士学位论文第一章绪论 1 1 期权定价理论的产生与发展 1 1 1 传统期权定价方法 第一章绪论 期权是最重要的衍生工具之一，它是一种赋予持有者在将来某一确定时间以某一确定 价格购买或出售标的资产的权利它能使买方有能力避免坏的结果，而从好的结果中获益， 同时，它也能使卖方产生巨大的损失当然，期权不是免费的，这就产生了期权定价问题期 权理论与实践并非始于1 9 7 3 年b l a c k - s c h o l e s 关于期权定价理论论文的发表早在公元前 1 2 0 0 年的古希腊和古腓尼基国的贸易中就已经出现了期权交易的雏形，只不过当时条件下 不可能对其有深刻认识期权的思想萌芽也可以追溯到公元前1 8 0 0 年的汉穆拉比法 典公认的l o u i sb a c h e l o r 【l 】( 巴舍利耶) 的博士论文“投机理论 ( t h e o r i e sd el a s p e c u l a t i o n ) ，第一次给予了b r o w n 运动以严格的数学描述他假设股票价格过程是一个 没有漂移和每单位时间具有方差仃2 的纯标准布朗运动他得出到期日看涨期权的预期价格 是 w m ( 等( 等加廊( 等) ( 1 1 ) 其中p ( x ，丁) 表示丁时刻股票价格为彳时期权的价值，x 表示股票价格，k 表示期权的执 行价格，( ) 表示标准正态分布函数，缈( ) 表示标准正态分布密度函数巴舍利耶的 工作标志着连续时间为随机过程的数学和连续时间为衍生证券的经济学的同时诞生 现在来看，巴舍利耶期权定价模型的主要缺陷是绝对布朗运动允许股票价格为负和平 均预期价格变化为零的假设脱离实际，而且没有考虑资金的时间价值 而期权的快速发展则是到2 0 世纪5 0 年代以后才开始，真正标准化的场内期权交易还 只有不到半个世纪的历史在这期间，期权定价理论的进展主要是在应用计量经济模型方 面其中经典的成果是k a s s o u f f 2 】( 卡苏夫) 的工作，他利用下面式子估计看涨期权价格 p = k ( x k ) 7 + l 】7 一1 )l 厂 0 其中p ( x ，t ) 表示t 时刻标的资产价格为工时看涨期权的价值，丁表示期权的有效期限，表 示无风险利率，仃2 表示标的资产收益率变化速度的方差，描述的是标的资产价格的易变 性k 表示期权的执行价格该方程的一个重要特性就是消去了预期收益率，从而不包 含任何反映投资者风险偏好的变量由于风险偏好对期权定价不产生影响，因此，所有投 资者都是风险中性的假定是没有必要的通过求解偏微分方程( 1 4 ) 可得欧式看涨期权的定 价公式 只( 石，f ) = x ( d j ( f ) ) 一脚( d 2 ( t ) ) e x p - r ( t - t ) 】 ( 1 5 ) 其中( ) 是标准累积正态分布函数 dl(f)：一ln(xk)+(r+tr22)(t-t) ( 1 6 ) t r 4 t t d 2 ( f ) = d l ( f ) 一仃z f ( 1 7 ) 同理，可以得到欧式看跌期权的定价公式为 e ( 石，t ) = 一石( 一d l ( f ) ) + 舯( 一d 2 ( t ) ) e x p - r ( t - t ) 】 ( 1 8 ) 自从b l a c k 和s c h o l e s 的论文发表以后，m e r t o n 、c o x 、r o b i n s t e i n 等一些学者相继 对这一理论进行了重要的推广并得到了广泛的应用 1 1 3 其它期权定价方法 ( 1 ) 确定性套利方法 确定性套利1 5 1 的期权定价方法是在金融市场是广义完备的假设下提出来的广义完备 的金融市场是指在金融市场中对于任意衍生资产y ，总存在y 的强复制策略记期权y 的强 复制策略构成的集合为 3 硕士学位论文第一章绪论 日( 力= 妒：d7 矽订 ( 1 9 ) 则期权y 的价格p ( d 定义为 p ( ，) 2 卿g r 矽 ( 1 1 0 ) 其中y 为期权，p + ( 力为期权价格，q = 【g l ，一，q 。】r r 疗为标的资产最初价格向量，d 表示 风险资产在不确定状态下的价格矩阵，0 = 【鼠，以】7 r ”表示风险资产组合向量一般来 说，期权的卖方要构造一个强复制策略来对他的潜在负债进行套期保值因此期权的卖方 要求期权价格不低于它的套期保值成本 ( 2 ) g 一套利定价方法 在非完备市场不存在完备复制策略的情况下，传统期权定价方法和b l a c k s c h o l e s 期 权定价方法就不适用了，一套利定价方法鳓的基本思想是：对于任意期权l ，如果对于 给定g ，能够构造一个资产组合秒满足0 d r 0 一占，则称口是_ 个s 一不完备复制策略， 那么g 一不完备复制策略0 与标的资产最初价格 h - j 置- q 的内积就是期权的价格记期权y 的 g 一复制策略构成的集合为 以( d = 秒：j l d r 9 一占) ( 1 1 1 ) 则期权的定价公式就是 p ( y ) = g r p ：0 珊j 妙目一仆 ( 1 1 2 ) 其中y 为期权，p ( v ) 为期权价格，q = k l ，g 。】r r ”为标的资产最初价格向量，d 表示 风险资产在不确定状态下的价格矩阵，0 = 【q ，幺】f 尺疗表示风险资产组合向量 ( 3 ) 区间定价方法 区间定价方法 2 1 - 2 2 】与确定性套利定价方法和s 一套利定价方法一样既适用于完备的金 融市场，又适用于非完备的金融市场它的基本思想是仍然采用无套利定价原理但由于 在非完备的金融市场不存在完备的复制策略，因此期权价格不是一个确定的值，而是一个 区间，只不过用了买方无套利和卖方无套利确定区间的两个端点记衍生资产y 的买方强 复制策略构成的集合为 h ( ，) = 0 ：，一d 70 0 ) ( 1 1 3 ) 记衍生资产的卖方强复制策略构成的集合为 g ( 1 ，) = 徊：d 。o - v 0 )( 1 1 4 ) 4 硕士学位论文 第一章绪论 b = m i nq r o( 1 1 5 ) 占e g ( v ) 则衍生资产的卖方通过构造的强复制策略来对他的潜在负债进行套期保值所确定的衍生资 产的价格就是衍生资产的买方的无套利价格，衍生资产的买方通过构造的强复制策略对他 的潜在负债进行套期保值所确定的衍生资产的价格就是衍生资产的卖方的无套利价格非 完备市场衍生资产价格区间为 【口，6 】_ m u 怒0 q m 0 脚m i n ) q 7 卯( 1 1 6 ) 1 1 4 期权定价理论的近期发展 b l a c k - s c h o l e s 模型中假设市场是完备且无摩擦的【3 一l ，并且股票价格遵循几何布朗运 动，其收益率和波动率都是常数这些假设都与实际的金融市场有较大的区别，因此，后 来的学者试图在放松这些假设条件的情况下，寻求更贴近实际市场的期权定价模型近几 十年来取得了许多优秀成果，极大地丰富和发展了期权定价理论 2 0 世纪7 0 - 8 0 年代的重要研究成果 1 3 - 1 4 j 有：t h o r p e ( 索普，1 9 7 3 年) 检验了卖空限制条 件；默顿( 1 9 7 3 年) 推广了考虑股利和随机利率的模型；考克斯、罗斯( 1 9 7 6 年) 采用了交 错随机过程( a l t e r n a t i r es t o c h a s t i cp r o c e s s ) ；布莱克和斯科尔斯( 1 9 7 3 年) 研究了欧式 看跌期权；考克斯和罗斯( 1 9 7 6 年) 以及莫顿( 1 9 7 8 年) 考虑了股票价格公式展开中不具有连 续样本路径的期权问题；i n g e r s o l l ( 英格索尔，1 9 7 6 年) 和斯科尔斯( 1 9 7 6 年) 考虑了资本 收益和股利的不同税率效果；鲁宾斯坦( 1 9 7 6 年) 和b r e n n a n ( 布伦南，1 9 7 9 年) 引入了有代 表性的投资者效用函数，得到了关于离散时间交易的布莱克一斯科尔斯方程解布莱克( 1 9 7 6 年) 研究了商品期权；考克斯、英格索尔及罗斯( 1 9 8 5 年) 考察了利率期权；l e l a n d ( 利兰， 1 9 8 5 年) 考虑了交易成本 2 0 世纪9 0 年代以来，特别是近几年，很多经济学家对不完备市场、基础资产的价格 存在异常变动跳跃或者基础资产报酬率的方差不为常数等情况下的期权定价问题进行了广 泛研究，取得了许多重要研究成果 不完备市场主要是指对贷款及卖空股票进行限制，或者存在交易成本，或者市场本身 不完备等不完备市场假设显然要比完善市场假设更接近真实的金融市场，但这时的期权 定价问题就复杂多了在不完备市场情况下，通常难以得到b l a c k s c h o l e s 模型那种期权 的公平价格，已有的定价方法也将失去其作用关于不完备市场的期权定价问题，目前经 济学家采用的主要方法有方差最优套期保值( v a r i a n c e o p t i m a lh e d g i n g ) 、均值方差套期 保值( m e a n v a r i a n c eh e d g i n g ) 、超套期保值( s u p e r h e d g i n g ) 、有限风险套期保值 ( 1 i m i t e d - r i s kh e d g i n g ) 等方法在这方面做出过重要贡献的经济学家主要有b a r r o n j e n s e n ( 1 9 9 0 ) 、f 6 1l m e r s c h w e i z e r ( 1 9 8 9 ，1 9 9 1 ，1 9 9 3 ) 、s c h w e i z e r ( 1 9 9 0 ，1 9 9 1 ，1 9 9 2 ) 、 5 伊 蹴 = 口 义定 硕士学位论文 第一章绪论 h o f m a n n ( 1 9 9 2 ) 、d a v i s ( 1 9 9 3 ) 、k a r a t z a s k o u ( 1 9 9 4 ) 、e ik a r o u i q u e n e z ( 1 9 9 5 ) 较早对基础资产价格变动1 7 1 存在跳跃情况的期权定价问题进行研究的要数 m e r t o n ( 1 9 7 6 ) 、j a r r o w r o s e n f e l d ( 1 9 8 4 ) 和b a ll t o r o u s ( 1 9 8 5 ) 等人，后来a h n ( 1 9 9 2 ) 、 a m i n ( 1 9 9 3 ) 、b a t e s ( 1 9 9 6 ) 、d a s f o r e s i ( 1 9 9 6 ) ，陈超和邹捷中( 1 9 9 9 ) 等进一步推进了这 方面的研究工作 对基础资产报酬率的方差【1 2 j 不是常数情况下的期权定价问题进行研究的主要学者有： h u l l w h i t e ( 1 9 8 7 ) 、m e l i n o t u r n b u l l ( 1 9 9 0 ) 、a m i n n g ( 1 9 9 3 ) 、h e s t o n ( 1 9 9 3 ) 、 n a n d i ( 1 9 9 8 ) 、k a l1i a n p u r x i o n g ( 1 9 9 9 ) 期权定价方法具有广泛的应用价值，已被应用于包括股票、公司债券、期货、可变利 率抵押、保险、投资在内的金融证券和合同的广阔领域期权定价理论已成为我们理解金 融合同的重要因素和普及应用的使用工具 1 2 本文主要结构 本文有五章，分为三部分： 第一章为第一部分，是本文的引论主要介绍了期权定价理论的产生和发展，期权定 价理论是现代金融理论最为重要的成果之一，它集中体现了金融理论的许多核心问题，其 理论之深，方法之多，应用之广，令人惊叹 第二章为第二部分，主要介绍了期权定价的一些基本概念和性质以及与之相关的内容， 为后面三章提供了理论基础 其余三章是本文的重点，主要介绍了欧式期权和美式期权定价的解析方法和数值方法， 以及通过套期保值策略来求解期权定价问题 6 硕士学位论文 第二章预备知识 2 1基本概念 第二章预备知识 弟一早 耿亩刘以 期权是一种重要的合约协议，它赋予持有者有权在将来的某个给定时刻或该时刻前的 任意时刻，以预先约定的价格买入或卖出一定数量的标的资产的权利，但不负有必须履行 的义务期权合约中标的资产的价格称为执行价格或敲定价格，执行价格一经确定，期权 买方就必然根据执行价格和标的资产实际市场价格的相对高低来决定是否行使期权合约 中的同期称为到期日、执行日或期满日，期权买方只能在合约所规定的时间内行使其权利， 一旦超过期限仍未执行即意味着自愿放弃了这一权利合约中，购买标的资产的一方称为 多头，出售标的资产的一方称为空头期权的标的资产包括股票、股票指数、外汇、债务 工具、商品和期货合约等期权赋予其持有者做某件事的权利，但持有者不一定行使该权 利，这一特点不同于远期和期货看涨期权是指其持有者有权利在将来的某个给定时刻以 现在确定的价格到期权的出售者处购买一定数量的标的资产看跌期权是指其持有者有权 利在将来的某个给定时刻以现在确定的价格到期权的出售者处出售一定数量的标的资 产只能在到期日执行的期权称为欧式期权，在到期日前均可执行的期权称为美式期权 从理论上讲，远期合约( 或期货合约) 由于双方均有履行的义务，所以收益和损失均得 到了限定( 不超过初始的期权费) ，但收益可能无限制( 例如买入看涨期权，则相应的股票价 格理论上没有上界) 值得注意的另外一个方面是，如同期货那样，期权也是可以卖空的 所谓内在价值，有时也称为“货币性 ，是指期权买方行使期权时可以获得的收益价 值具体而言，对于看涨期权买方来说，内在价值就是市场价格高于执行价格带来的收益； 而对于看跌期权买方来说，内在价值就是执行价格高于市场价格带来的收益如果用s 来 表示标的资产当前的市场价格，x 表示执行价格，则内在价值就是由s 和x 之间的关系决 定的表2 - 1 给出了欧式期权和美式期权的内在价值 表2 - 1 期权的内在价值 欧式看涨期权 m a x s 一娩- r ( t - t ) , 0 ) 欧式看跌期权 m a x x e 一7 h 一s , o ) 美式看涨期权 m a x s x e - r ( t - t ) , 0 ) 美式看跌期权 m a x x s ，0 ) 显然，在期权可以执行时，期权有无内在价值，将是期权买方行使还是放弃权利的决 定因素实值、虚值和平价期权是与内在价值紧密相关的三个概念所谓实值期权，是指 7 硕士学位论文第二章预备知识 内在价值为正的期权，如果内在价值正值很大，称为深度实值；虚值期权，是指内在价值 为负的期权，如果内在价值负值很大，称为深度虚值；平价期权，是指内在价值为零的期 权因此，在不考虑欧式期权到期才能执行而需要进行贴现的情况下，对于看涨期权而言， 市场价格高于执行价格为实值，市场价格低于执行价格为虚值；对于看跌期权而言，市场 价格低于执行价格为实值，市场价格高于执行价格为虚值 2 2 期权价格的性质 假如在一个市场中，人们可以身无分文上市通过资产的买卖( 允许卖空和借贷) ，使得 能够最终保证不欠债，且有正概率的机会获得赢利，此时称该市场存在套利机会假如市 场中不存在套利机会，则称市场无套利 由于期权赋予持有者以权利，而并没有附加义务，但公平的世间又不会有“免费的午 餐”，因此，期权的价格应该是正的。另一方面，由于美式期权的持有者比欧式期权持有者 有更多的权益，自然，相应的价格就高一些下面我们就开始严格的叙述期权价格的上下 限 2 2 1 期权价格的上下限 在介绍期权价格的上下限前，首先定义如下符号表示方法： s ：股票现价 丁：期权的到期时问 c ：购买一股股票的美式看涨期权的价值 尸：出售一股股票的美式看跌期权的价值 x ：期权执行价格 s ，：在r 时刻股票的价格 t ：现在的时间 厂：在丁时刻到期的投资的无风险利率 c ：购买一股股票的欧式看涨期权的价值 p ：出售一股股票的欧式看跌期权的价值 口：股票价格的波动率 注意：，是名义利率，不是实际利率我们可以假设， 0 ，否则，无风险投资与持有 现金相比，将不具有任何优点( 事实上，如果厂 x ，在 z 时刻应执行看涨期权，则组合a 的价值为品如果s r s( 2 6 ) 即c s x e 一7 ( r 一。) 由于对于一个看涨期权来说，可能发生的最坏情况是期权到期价值为零， 权的价值必须为正值，即c 0 ，因此 9 ( 2 7 ) 这意味着期 硕士学位论文第二章预备知识 c m a x 爷一x e - r t - t ) , o ( 2 8 ) 同时，只要将不等式( 2 8 ) 中的s 用& 刊卜代入，就可以得到一个支付红利收益率为g 的股票的欧式看涨期权价格c 的下限 c m a x s e g 一x e - r ( t - t ) , 0 ) ( 2 9 ) ( b ) 不付红利的欧式看跌期权的下限 对于一个不付红利股票的欧式看跌期权来说，其价格的下限 2 6 1 为： x e 一7 ( ) 一s ( 2 1 0 ) 现在通过下面两个组合来证明此式成立： 组合c ：一个欧式看跌期权加上一股股票 组合d ：金额为船1 ( 的现金 如果s r x ， 在丁时刻看跌期权到期价值为零，该组合的价值为品，因此，组合c 在r 时刻的价值为： m a x ( s r ，工) 假定现金按无风险利率进行投资，则在丁时刻组合d 的价值为x 因此，在丁时刻组 合c 的价值通常不低于组合d 的价值，并且有时组合c 的价值会高于组合d 的价值在不 存在套利机会时，组合c 的现在价值一定高于组合d 的现在价值，因此 。p + s x e 一7 r 。 ( 2 1 1 ) 即pxe一7h一s ( 2 1 2 ) 由于对于一个看跌期权来说，可能发生的最坏情况是期权到期价值为零，所以期权的 价值必须为正值，即p 0 ，这意味着： p m a x x e 一7 卜s ，0 ) ( 2 1 3 ) 为了得到欧式看跌期权的下限，我们简单地将方程式( 2 1 3 ) 的s 用s e 吲卜代入，得到 p m a x x e l h 一s e - q r - o , o ( 2 1 4 ) ( c ) 不付红利的美式看涨期权的下限是： s x e 一7 卜 ( 2 1 5 ) 为了给出一个较为正式的公式，考虑以下两个组合： 1 0 硕士学位论文第二章预备知识 组合e ：一个美式看涨期权加上金额为x e l ( r 。的现金 组合f ：一股股票 在期权到期时，组合e 中的现金的价值为x ，在此之前的时刻t ，其价值为拖一“) ， 如果看涨期权 1 5 - 1 6 1 在t 时刻执行，组合e 的价值为： s 一y + x e r r 叫 ( 2 1 6 ) 当t 0 ，组合e 的价值总是小于s 因此，如果看涨期权在到期日前 执行，则组合e 的价值总是低于组合f 的价值如果持有看涨期权到期，则在j r t 时刻组合e 的价值为： m a x ( s r ，工) - 组合f 的价值为品，由于总是有可能存在品 s x e 一7 ( 2 1 8 ) 由于对于一个看涨期权来说，可能发生的最坏情况是期权到期价值为零，这意味着期 权的价值必须为正值，即c 0 ，因此 c m a x 爷一x e - r ( r - i ) , 0 ( 2 1 9 ) ( d ) 不付红利的美式看跌期权的下限是： x s 考虑下面两个组合： 组合g ：一个美式看跌期权加上一股股票 组合h ：金额为x e l ( 卜的现金 如果在t x e 一7 一s ( 2 2 0 ) 对价格为p 的美式看跌期权来说，由于有可能提前执行，因此更严格的条件是： p x s( 2 2 1 ) 2 2 - 2 看跌与看涨期权之间的平价关系 ( 1 ) 欧式看涨期权和看跌期权之间的关系 由前一节可知，对于不付红利的股票来说 c = c p p 当， 0 时 现在要推导p 和c 之间的重要关系沸。4 9 1 ，考虑下面两个组合： 组合i ：一个欧式看涨期权加上金额为x e l t r 的现金 组合j ：一个欧式看跌期权加上一股股票 在期权到期时，两个组合的价值均为： m a x ( s r ，x ) 由于是欧式期权，所以在到期日前不能提前执行，因此现在该组合也必须具有相等的 价值这就是说， c + 屁一7 ( ) = p + s ( 2 2 2 ) 这就是所谓的欧式看涨和看跌期权之间的平价关系 5 2 - s 6 ，它表明具有某一确定执行价 格和到期同的欧式看涨期权的价值可根据具有相同执行价格和到期日的欧式看跌期权的价 值推导出来，反之亦然 假设用字母d 表示在期权有效期内红利的现值，则欧式看跌与看涨期权之间的平价关 系【3 8 】变为： 1 2 硕士学位论文第二章预备知识 c + d + 忍一7 r 一= p + s ( 2 2 3 ) 将方程式( 2 2 2 ) 的s 用& 吲r _ 代入，则得到支付红利收益率为g 的股票的看跌与看涨 期权之间的平价关系 c + x e 一7 7 一= p + 一g r ( 2 2 4 ) ( 2 ) 美式看涨期权和看跌期权之间的关系 看涨与看跌期权之间平价关系仅适用于欧式期权但也可推导出不付红利股票的美式 期权价格之间的某种关系由于p p ，因此( 2 2 0 ) 式可知 p c + x e 一一s ( 2 2 5 ) 同时，由于c = c ，则 p c + x e 一7 一s ( 2 2 6 ) 故 c - p 尸+ s ( 2 2 8 ) 由于c = c ，所以 c + x 尸+ s ( 2 2 9 ) 故 c p s x 由此得到 ( 2 3 0 ) 硕士学位论文 第二章预备知识 s x c p s x e 一7 ( r - ) 红利将使( 2 2 7 ) 修正为 s d x c p s x 色一r 婚一。 其中d 表示在期权有效期内红利的现值 2 3 肠定理 ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) 定理2 3 1 m 1 假设置是肠过程：d x , = u ( x ，t ) d t + v ( x ，t ) d z ，其中d z 是一个维纳过程， g ( x ，t ) c 2 ( 【o ，) r ) ( 即g ( x ，t ) 在【0 ，) xr 上是二阶连续可微的) ，则r = g ( f ，x ，) 也是肠 过程，且 d z = 孥o t ( f 渺+ 孥o x 瓴z ) 批，+ 圭鲁( f ，置) ( 批f ) 2 ( 2 3 3 ) zg 一 2 4 随机微分方程和f e y n m a n k a c 公式 i 受b i ( t ，x ) ，1 7 f ( f ，z ) ；1 i d ，1 ，是从【0 ，o o ) xr d 到尺的b o r e l 可测函数，定义 ( d 1 ) 漂移向量6 ( f ，x ) = 6 i ( ，x ) ) 。s ，纠和( d x r ) 的扩散矩阵仃( f ，d = ( f ，x ) ) 捶葛我们的目 标是赋予如下随机微分方程适当的意义： 捌，= b ( t ，x ，) a t + 盯( f ，x ，) d 彬 ( 2 3 4 ) 这里w = 形：0 t ) 是一个，维布朗运动，x = x ，：0 t o o ) 是方程“某种意义上的 解9 9 y x = 置：o t 。o ) 在r d 中取值，且具有连续样本轨道漂移项b ( t ，力和扩散矩阵 仃( f ，x ) 是这个方程的系数 定义2 4 1t 3 7 1 在给定的概率空间( q ，f ，尸) 上存在一个d 一维连续过程 ( x ( f ) ，f ) ) ，卸，其 中x ( 0 ) = x ，x r d 为固定的，并且对所有的f 0 ，i 1 ，d ) 满足 x ，( f ) ：t + t n ( j ，x ( s ) ) 凼+ 量h ( s ，x ( 5 ) ) d o ) a s 1 4 硕士学位论文 第二章预备知识 0 n ) | + 兰i = i 仉删卜 o ( 其中l i i l 表示欧几 里得范数) ，有 i i b ( t ，z ) 一b ( t ，y ) l l - , - l l o - ( t ，x ) - a ( t ，y ) l l - 0 为定值，t 【o ，r 】，常数c = c ( t ，k ，m ，d ) 定义2 4 2 m 1 设x ( f ) 是在条件( 2 3 6 ) 和( 2 3 7 ) 下随机微分方程( 2 3 5 ) 的唯一 解对于函数：r 4 寸r ，f c 2 ( 尺d ) ，定义算子4 删譬圭兰i = i 赫k = l ，器u , , g i u x k + 枷i = i ，和o x 厶 f 其中口聃( f ，x ) ：= ( f ，z ) o r 移( f ，x ) ，则称4 为x ( f ) 的特征算子 设丁 0 为定值，现在考虑算子4 的柯西问题， v ( t ，力：= 【o ，刀x 足d _ r 足连续的 1 5 硕士学位论文 第二章预备知识 c 2 ( 0 , t l xr d ) 类函数，满足如下的柯西问题 一q + k v = a ，v + g ，在 o ，r 】r d 上 ( 2 3 8 ) v ( r ，x ) = 厂( z ) ，工r 4 其中 ( 工) ：r d _ r ，g ( t ，力：【0 ，刀r d 专r ，k ( t ，工) ：【o ，刀r d 专【0 ，) 为了保证柯西问题( 2 3 8 ) 解的唯一性，还需要u 遵循一个多项式增长条件： m 。匀a s x r l u ( f ，x ) l 0 ，l ( 2 3 9 ) 对任意固定的t 0 和常数工 0 ，五1 ，假定上述函数厂( x ) ，g ( t ，x ) ，k ( t ，z ) 是连续的， 且满足 i 厂( x ) l - - 0 ( 2 4 0 ) f g ( t ，x ) l - l o + u x l l 2 2 ) 或g ( 厶曲o ( 2 4 1 ) 定理2 4 2 ( f e y n m a n k a e 公式) 在假设( 2 4 0 ) i l l l ( 2 4 1 ) 下，u ( f ，力：【0 ，t x r d 专r 是柯西问题( 2 3 8 ) 的一个连续解，u c 1 2 ( o ，r ) r d ) 4 是随机微分方程( 2 3 5 ) 的唯 一解x ( t ) 的特征算子，且连续系数b ，仃满足( 2 3 6 ) ，以及 b t ( t ，力，仃牙( ，力：【o ，】尺d 专r ，i = l ，d ，歹= l ，d 如果d ( f ，曲满足多项式增长条件( 2 3 9 ) ，那么有 v 。，j ，= e j ( 厂c x c r ，唧 一c 口，x c p ，d 口 + c s ，x c s ，e x 一c 矽，x c 秒，d p 出 尤其是，v ( t ，x ) 是满足式( 2 3 9 ) 的柯西问题( 2 3 8 ) 的唯一解 2 5 风险中性定价原理 在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的在所有投资者都是风险中性的条 件下，所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率厂，这是因为风险中性的投资者并不 需要额外的收益来吸引他们承担风险同样，在风险中性条件下，所有现金流量都可以通 过无风险利率进行贴现求得现值这就是风险中性定价原理 1 6 硕士学位论文 第二章预备知识 2 6 鞅 若矧以i o o ，且对于所有的刀z + ，e ( x 。i f 一。) = x 州( 口j ) ，则随机序列( x 。) 艟z + 叫做 一个鞅 一个可积随机序列( x 。) 肫厶称为一个下鞅( 上鞅) ，若 e ( x 。i f 一。) 以一。( e ( 以i c 一，) e x t ，酆：= 酣：、l 定理2 6 3 m ( 鞅表示定理) 设 ( m ，f ) ) 郴j 1 是满足删? ，t o ，r 】的平方可积 布朗鞅，那么存在循序可测r 麻一实值过程u p ( t ) ，t o ，刀，满足 e ( 办甲( f ) 1 1 2 a t ) 和 m ，= m 。+ f 甲( s ) a w ( s ) 0 ，则称p 是一个确定性套利 定义3 1 3 对于给定占，如果资产组合口满足g7 0 o 且d7 秒+ s o l 0 ，则称秒是一个 g 一套利 确定性套利者在任意状态都得到正的套利收入，而传统套利和s 一套利只为套利者提供 了获得无风险收益的可能，并不能保证他一定得到正的套利收入，它是一个有风险套利 为了研究非完备的金融市场中期权的定价方法，下面进一步给出金融市场的结构性概 念 5 0 , 5 1 】 定义3 1 4 对于任意期权y ，如果资产组合0 满足d7 0 = v ，则称口是期权l ，的完备复 制策略 定义3 1 5 对于任意期权y ，如果资产组合口满足d r 0 l ，则称9 是期权y 的强复制 策略 定义3 1 6 对于任意期权y ，如果对于给定g ，资产组合口满足p7 o - q 0 的状态价格 向量，使得p ( i ，) = y r x 由状态价格向量的定义知，可以通过求解方程组d x = q 得到x ，然后利用上述结果确 定出衍生资产的价格当金融市场完备时，该方程组有唯一的解，能够利用经典套利的概 念确定出衍生资产的价格但是，当金融市场不完备时，该方程组的未知变量数目大于有 效的方程数目，因此方程组的解x 不唯一确定，衍生资产的价格也不唯一确定 定理3 1 2 对于衍生资产y ，如果存在完备复制策略秒，则当且仅当金融市场没有经 典套利机会时，有p + ( d = q r o 同样，当金融市场完备时，通过求解方程组d ，0 = y ，一定能得到完备复制策略p 当 金融市场不完备时，则上述方程组不一定有解因此当金融市场不完备时，用这种方法不 一定能够确定出衍生资产的价格 ( 3 ) 区间定价方法 硕士学位论文 第三章欧式期权定价 这一部分的基本思想仍然采用无套利定价原理，虽然在非完备市场不能确定衍生资产 的价格，但却可以确定衍生资产的价格区间，用a 表示衍生资产买人者可接受的价格，用 b 表示衍生资产卖出者可接受的价格那么合理的衍生资产价格一定在区间 a ，b 上如 何确定a 和b 呢? 运用无套利原理，衍生资产的买方希望衍生资产价格的确定不给衍生资 产的卖方带来套利机会，否则他宁愿自己利用这一套利机会，而不会把它让给衍生资产的 卖方，这样运用衍生资产卖方无套利原则确定的衍生资产价格就是a ，同理，运用衍生资 产买方无套利原则确定的衍生资产价格就是b ，下面给出确定a 和b 的公式 卖方无套利原则：对于衍生资产的买人者来说，就是要确定资产组合向量秒，对买人 的衍生资产可能带来的损失进行套期保值，使在保证期末有非负盈利的情况下，把最大的 初始成本作为衍生资产的价格，其数学模型为 f m a x 口r 0 8 ( 3 1 0 ) 【s 1 v - d r 0 o 若记衍生资产l ，的买方强复制策略构成的集合日( 1 ，) = 0 ：，一d r 0 0 ) ，则有 定义3 1 1 4 对于衍生资产y ，其价格的下限定义为 a = m a x 口7 0 ( 3 11 ) a e h ( v ) 按照这个价格，衍生资产的卖方无法构造套利组合 买方无套利原则：对于衍生资产的卖出者来说，就是要确定资产组合向量p ，对卖出 的衍生资产可能带来的损失进行套期保值，使在保证期末有非负盈利情况下的最小初始成 本作为衍生资产的价格，其数学模型为 f m i n 口r 口 0 。( 3 1 2 ) k d r o - v 0 若记衍生资产y 的卖方强复制策略构成的集合g ( v ) = 0 ：d r o - v 0 ，则有 定义3 1 1 5 对于衍生资产矿，其价格的上限定义为 b = m i nq r o( 3 1 3 ) 口e 6 i y ) 一 按照这个价格，衍生资产的买方无法构造套利组合 衍生资产的卖方，通过他所构造的强复制