（计算数学专业论文）修正kdv方程与sinegordon方程的新解.pdf

摘要 本文主要考虑了以下问题： 1 从修正k d v 方程修正后的双线性导数形式的b i c k l u n d 变换，利用h i r o t a 方法， 得到它的一些新解 2 通过对修正b & c k l u n d 变换中的参数k 的n 次不同赋值，求得修正k d v 方程新形 式的多孤子解，并证明这种形式的孤子解与经典孤子解是等价的 3 对所得新形式的孤子解求极限，得到新类孤子解 4 运用与修正k d v 方程相同的方法对s i n e g o r d o n 方程进行求解，导出s i n e g o r d o n 方程的某些类似的新解 关键词：修正k d v 方程；s i n e - g o r d o n 方程；修正b t i c k l u n d 变换；h i r o t a 方法； 类孤子解； a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e r e dt h ef o l l o w i n gq u e s t i o n s ： 1 s o m en o v e ls o l u t i o n so ft h em k d v e q u a t i o na r eo b t a i n e df r o mt h em o d i f i e db i l i n e a r d e r i v a t i v eb 缸k l u n dt r a n s f o r m a t i o n 2 an e w r e p r e s e n t a t i o no fn s o l i t o ns o l u t i o n so f t h em k d v e q u a t i o n i so b t a i n e db yu s i n g b g e k l u n dt r a n s f o r m a t i o nm e t h o di t ss h o w nt h a tt h en e wr e p r e s e n t a t i o no fn s o l i t o n s o l u t i o n sj sc o n s i s t e n tw i t hh i r o t a se x p r e s s i o n 3 a n o t h e rn o v e ln s o l i t o n - l i k es o l u t i o n so ft h em k d v e q u a t i o ni sd e r i v e db yp e r f o r m i n g a na p p r o p r i a t el i m i t i n gp r o c e d u r e0 1 2t h ea b o v es o f i t o ns o l u t i o n s 4 b yu s i n gt h es a m em e t h o da sw h a t su s e di nm k d ve q u a t i o n s o m en e ws o l u t i o n so f t h es i n e g o r d o ne q u a t i o n & r eg i v e n k e y w o r d s ：m k d v e q u a t i o n ；s i n e g o r d o ne q u a t i o n ；m o d i f i e db i i c k l u n dt r a n s f o r m a - t i o n ；h i r o t am e t h o d ；s o l i t o n l i k es o l u t i o n s i i 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表 或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：里全坠日期 本论文使用授权说明 w jtl 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有i 又保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可 以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：导师签名：垄照日期：兰些：! ：! 第一章引言 1 1 历史背景 孤立子理论是应用数学和数学物理的一个重要组成部分，在最近二十余年中， 它得到了迅速的发展。孤立子往往也称为孤立波，它是指一大类非线性偏微分方程 的许多具有特殊性质的解。以及与之相应的物理现象。用物理的语言来说，这些性 质是：( 1 ) 能量比较集中于一个较狭小的区域；( 2 ) 两个孤立子相互作用时出现弹 性散射现象( 即波形和速度能一恢复到原状) 由于孤立子的这些特殊性质使它在很多 领域里有着重要的应用，如流体力学，等离子体物理，非线性光学，经典场论和量 子场论等。 早在1 8 3 4 年，英国著名科学家s c o t tr u s s e l l 1 】偶然观察到一种奇妙的水波， 1 8 4 4 年，他在英国科学促进协会第1 4 届会议报告文集上发表“论波动”一文， 对此现象作了生动的描述：“我正在观察一条船的运动，这条船被两匹马拉着，沿 着狭窄的河道迅速前进着突然船停了下来，河道内被船体带动的水团并不停止， 他们积聚在船头周围激烈的扰动着，然后水浪呈现出一个滚圆而平滑、轮廓分明的 巨大孤立波峰，它以巨大的速度向前滚动着，急速的离开了船头，在行进中它的形 状和速度并没有明显的改变。我骑在马上紧跟着观察，它以每小时约八九英里的速 度滚滚向前，并保持长约三十英尺、高约一至一英尺半的原始形状。渐渐的，它的 高度下降了，当我跟踪一至二英里之后，它终于消失在逶迤的河道之中。”这就是 r u s s e l l 观察的奇特现象。进而他认为，这种孤立渡是流体运动的一个稳定解，并称 它为孤立波。由于当时他未能从理论上给出具体的证明，所以在物理学家中引起了 广泛的争论直到6 0 年后两位荷兰科学家k o r t e w e g 和他的学生d e v r i e s 建立了单 向运动浅水波的数学模型即著名的k d v 方程，并得到了与r u s s e l l 观察一致的形 状不交的孤立波解。然而这样的孤立波是否稳定? 两个这样的孤立波相互作用后是 否变形? 这一直是科学家们感兴趣却又无法证实的问题因此，在没有新的发现之 前，孤立波仍然长期处于被埋没之中另外一个问题是这种孤立波是否在流体力学 以外的其他物理领域中出现呢? 这也是使人们捉摸不定的问题。上世纪5 0 年代，著 名物理学家f e r m i ，p a s t a 和u l a m 将6 4 个质点用非线性弹簧连接成一条非线性振动 弦，发现弦振动时，能量并未均分而是又回到原始的分布状态，这就是著名的f p u 问题。后来t 0 d a 研究了这种模式的非线性振动并得到孤立波解，问题才获得正确 的解释，从而激起了人们对孤立波的研究兴趣。1 9 6 2 年p e r r i n g 和s k y r m e 研究基 本粒子模型时，对s i n e - g o r d o n 方程作了数值解，他们的结果表明：这个方程产生的 孤立波也不散开，即使碰撞后两个孤立波也仍保持着原有的形状和速度 1 9 6 5 年，美国著名物理学家k r u s k m 和z a b u s k y 3 用数值模拟法详细地考察了 等离子体中孤立波相互间的非线性碰撞过程，证实了孤立渡相互作用后不变波形和 传播速度的论断这一结果使人们感到极大的惊喜，同时激发了科学家们对它研究 的热情两午后美国的另外一个研究小组g g k m1 4 l 在解k d v 方程时首次利用著名 的解析方法一逆散射变换( i n v e r s es c a t t e r i n gt r a n s f o r m a t i o n ，简记为i s t ) ，并得出了 k d v 方程n 个孤立波相互作用的精确解这一方法后经l a x 5 】、a k n s ( 6 1 等人把它 推广到一大批非线性演化方程中去，完善为一种较为普遍的解析方法，至此，孤立 子“事业”才蓬勃发展起来，并逐渐在世界范围内掀起研究的热潮目前，较为完 整的数学和物理的孤立子理论已初步形成。 1 2 孤子方程精确解的研究状况 寻求孤子方程的精确解一直是孤子理论发展中的主流自从发现反散射理论 求解k d v 方程的初值问题以来，这种求解非线性偏微分方程的方法发展很快，现 已成功用于求解许多在应用中十分重要的非线性方程。二十世纪七十年代，反散射 变换法主要应用于1 + 1 维的非线性发展方程，后来这一方法又被应用推广至1 + 2 维的非线性发展方程、微分一积分方程与p a i n l e v e 方程a b l o w i t z 和c l a r k s o n 在其 专著“孤立子，非线性发展方程与反散射”1 7 j 中提出了非线性发展方程和反散射方 法需要研究和末解决的几个问题，其中有：爹维方程的求解问题，有限区问或半有 限区间上的初边值问题等。 在求解孤立子方程中，还存在其它一些方法，如b a c k l u n d 变换、h i r o t a 方法、 w r o n s k i a n 技巧等b i c k h m d 变换【8 q 最初是几何学家b i c k l u n d ( 1 8 8 3 年) 在研 究负常曲率曲面时得到的这一方法的思想是将求解高阶的微分方程转化为求解包 含解之问关系的较低阶的微分方程组但该方法在求多孤子解时会遇到困难直到 1 9 7 4 年，h i r o t a 。o 】给出了一种b i c k l u n d 变换的双线性导数形式，才使得这种方法 变得简单起来h i r o t a 方法是孤子方程求解当中另一重要而直接的方法，它的一般 步骤为：引入位势u 的变换，使原方程改写成双线性导数形式；将扰动展开式代入 双线性导数方程中，在一定的条件下该展开式可以被截断；由此构造出n 一孤子解 这种方法已发展成为一种求解一大批非线性发展方程孤立子解的相当普遍的方法 w j o n s k l a n 技巧也是一种求孤子解的直接方法，它是由f r e e m a n 和n i m m o “】提出并 建立起呆的该方法以h i r o t a 方法为基础，首先要适当选择函数由构造成w r o n s k i 行列式( 1 也，) ，然后将此行列式直接代入双线性方程或双线性b a c k l u n d 变 2 换进行验证f r e e m a n 等人应用该方法获得了一系列方程的w r o n s k i a n 形式的解， 这些例子包括：k d v 方程l d 、k p 方程 t t , 1 2 、b o u s s i n e s q 方程 1 3 】、非线性 s c h r s d i n g e r 方程 t 4 , 1 5 、修正k d v 方程 1 6 】、s i n e g o r d o n 方程【1 6 】，t o d a 链 1 7 】、 m k d v s i n e g o r d o n 方程f 1 8 】等等 本文主要应用h i r o t a 方法和b g c k l u n d 变换，并在前人的基础上得到某些方程 的一些新解 3 第二章预备知识 本章分别介绍以下章节用到的有关概念、符号及性质 2 1 双线性导数的概念及性质 设，( t ，z ) 与g ( t ，z ) 是变数t 与z 的可微函数，引进微分算子d t 与d 。，使对任 意的非负整数m 和n 成立 d p d ：，g = ( 魂一色，) “( 如一也一) “，( t ，$ ) 9 ( t ，一m ：t ，。，：。： ( 2 1 ，1 ) 式( 2 1 1 ) 称为函数f 与g 对t 施行m 次d ，对z 施行n 次d 。的双线性导数这 种导数具有以下性质： 1 。函数，( t ，z ) 与自身的奇数次双线性导数为零就是m + n 为奇数时 d d ：，f = 0 ( 2 1 2 ) 2 。交换函数f ( t ，。) 与g ( t ，。) 的双线性导数的顺序，当导数是偶次时其值不变， 而导数是奇次时要改变符号 d p d u g = ( 一1 ) m + n d r d ：9 - ， ( 2 1 3 ) 3 。函数，( t ，z ) 与数1 的双线性导数是通常的导数就是 q m u 。n ，1 = 卵露， ( 2 1 4 ) 若指数函数的指数是t 与。的线性函数，则称它为线性指数函数于是有 4 。两个线性指数函数的双线性导数等于指数相加的线性指数函数的适当倍 数就是设 白= 叫t + j z + g o o = 1 ，2 ) ， ( 215 ) 则有 d d ：e “e 和= ( u 1 一u 2 ) m 强1 一如) “e 1 + 如 ( 2 1 6 ) 由此推得相同的线性指数函数的双线性导数为零 d p d ：e f l e 1 = 0 ( 2 1 7 ) 5 。设 仙= n z t + 卢f z + 1 “( f = 1 ，2 ，”z ) ( 2 - 18 ) 4 其中锄，岛和m 是任意实常数，那么容易验证下面公式成立 d t d t ( r 1 啦r i b e f l - q + l 吼+ 2 - e 2 ) h m = e f l + 2 ( 唧+ 唧吼。+ 岛丸。) ( + o 口巩。+ 卢q 比：) ( 七l 一七2 ) 7 ( u 1 一此) 5 ， ( 2 1 9 ) p = lq = h 4 - 1 其中= 鸯= 南 6 。设f = “+ k z + f ( 们，叩= o - t + h x + 即( m ，则有 d d ? e ，- e ”g = 乒+ ”( d r + 叫一盯) “( d 。+ k 一 ) m f 9 ( 2 1 1 0 ) 证明 考虑 瑶e ，e 勺：( 如一，) n e 5 f ( t ，z ) e ”g ( t ，z ) 【。，：； 利用上式有 = ( 一1 ) 一铝( 醒毋，) ( 叮e ”g ) l 。，：。 j = o njn - j ， = ( 一1 ) ”暖q ( 肛e ) ( 醒1 ，) 碟一j ( h 4 一) ( 叮”g ) t 。- ：。 j = o i = 01 = 0 n = e 5 + ”暖( + 如) ( 一h 一吃，) “一，g i 。，：。 = e f + 1 d 。+ ( k 一 ) “，g d d ；e ，e 目9 ：( a 一吼，) m 。f + q 妻d ；( k 一 ) n 一暖，9 j c ，： ，。0 证毕 m一1 l ( 一1 ) “1 讲节1 e m d ：( k i = 0i = o ( 2 ，1 1 1 ) = ( 一1 ) ”一2 暖珥( k h ) ”( 薛e ，) ( 甲1 9 ) | t ，= t i = 0i = o mn = e + ”( 一1 ) 嚷珥( 一 ) ”+ a ) 扣+ 吼，) 一4 ，咖= t i = 0j = o m n = e t ”c k ( u + 仇) 2 ( - o 一吼，) ”1 四( 巩一吃r ) ( k 一 ) ”f a l ，：淞。：z l = oj 2 0 = e + 1 d + ( w 一盯) m d 。+ ( 七一h ) l “，g ( 2 11 2 ) 5 2 2b i c k l u n d 变换的有关概念 设给定一非线性发展方程 ( 2 2 1 ) 其中f ( t ，。，“) 是自变数t ，。未知函数“与u 关于t ，z 直到n 阶导数的函数，若存在 关系式 g ( t ，i t ， ) = 0 ， ( 2 2 2 ) 式中g ( t ，z ，i t ，口) 是t ，z ，“，及u ， 关于t ，z 直到m 阶( m n ) 导数的函数或函数 组，使得当“是方程( 2 ，2 1 ) 的解时，从( 2 2 2 ) 所确定的”也是( 2 ，2 1 ) 的解，则称 ( 2 2 2 ) 是方程( 2 2 1 ) 的b a c k l u n d 变换 研究b c k l u n d 变换的基本问题是：对于给定的非线性发展方程，如何设法导 出它的b a c k l u n d 变换( 2 2 2 ) ，以及用简单的形式通过此变换由已知解给出新解 的 显式， 修正k d v 方程为 v t + 。+ 6 v 2 = 0 ( 2 2 3 ) 下面要推导出它的b a c k l u n d 变换 定理1 1 给定修正k d v 方程族所对应的具有位势u 的s c h r s d i n g e r 谱问题及 时问发展式 z z + 2 u 扎= a ，( 2 2 4 a ) 庐= a ( u a ) + b ( ， ) r ， ( 2 2 4 b ) 其中a ( u ，a ) 与b ( u ，a ) 是a 的n 次多项式则存在规范变换 母= n 札+ 也口= 千瓦0 ， ( 2 2 5 ) 将( 2 24 ) 化为有完全相同形式但位势为q 的谱问题及时间发展式 母z z + 2 q k = a t f i ，( 2 , 2 6 a ) 中= a ( q ， ) 讪+ b ( q ， ) 讪z ( 2 26 b ) 且位势“及口满足关系式 q = “+ f j n 鳓。一( i n 氏) 。，( 2 2 7 6 式中日是谱参数为q ( ) 的线性问题( 2 2 4 ) 的解，即日满足 如。+ 2 q o 。= 加 ( 2 2 8 a ) ( 2 2 8 b ) = a ( u ，q ) 口+ b ( u ，目) 如( 2 2 8 c ) 称规范变换( 2 2 8 ) 为修正k d v 方程d a r b o u x 形式的b 抽k l u n d 变换 若作变换 ( 1 n 铷( 1 n 弘 ( 2 2 9 a ，b ) 其中，+ ，g + 分别表示，g 的共轭代入( 2 2 7 ) 并由( 2 2 8 a ，b ) 和时间发展式 巩= ( 4 q 卵2 + 2 q = 7 1 + q $ 一2 q 3 ) 一2 ( 一4 r 3 + 2 q 2 叼) 口一( 4 q 叶2 2 叼+ 啦z 一2 q 3 ) 口2 ，( 2 2 1 0 ) 得 d z | g = 一q j g 、 ( d + 3 q 2 d 十d 。3 ) ，g = 0 ， 即为修正k d v 方程双线性导数形式的b a c k l u n d 交换 s i n e g o r d o n 方程 “h2 s i n u 的b & c k l u n d 变换为 “= - q 一4 a r c t a n 日( m ， 其中目( q ) 满足r i c a t t i 方程 钆( q ) = 2 稠( q ) 一警( 1 + 目2 ( q ) ) ， ) = 面1c o s q 0 ( 卅刍s i n g ( 1 - 0 2 ( 枷 b a c k l u n d 变换有时可写为双线性导数形式为此令 一“n 萼，诎芋， 从交换( 2 2 1 3 ) 可解得 舞筹 7 ( 2 2 1 1 a ) ( 2 2 1 l b ) ( 2 2 1 2 ) ( 2 2 1 3 ) ( 2 2 1 4 a ) ( 2 2 1 4 b ) ( 2 2 1 5 ) ( 2 2 1 6 ) 将其代入( 2 2 1 4 ) 给出 由此可见 ( d 。g f ) 9 + ，4 一g f d 。g + ( d 9 ，+ ) 9 ，一g f + d t g ，= 砷( 9 2 ，2 9 2 ，+ 2 ) ，= 熹( 9 2 广可2 n d 。9 ，= 一i h 矿， d 旷，4 = 一去g ， ( 2 2 1 7 a ) ( 2 2 1 7 b ) ( 2 2 1 8 a ) ( 2 2 1 8 b ) 其中q = 2 为实数这就是s i n e - g o r d o n 方程的b a c k l u n d 变换的双线性导数形式 8 第三章修正k d v 方程与r z 孤子解 3 1 经典多孤子解 在发现k d v 方程的n 孤子解后，人们开始转向其它非线性波动方程其中之 一是广义k d v 方程 u t + “z + 6 “o u t = 0 ，( 3 1 1 ) 这里。为正整数当n = 2 时，以”代“后方程化为 毗+ 。+ 6 v 2 = 0 ，( 3 1 2 ) 并称为修正k d v 方程现在用双线性导数法求出它的孤子解 设方程( 3 1 2 ) 有分式解”= ，则，与g 满足 m ，一9 + 目。f 一3 9 = 。厶+ 3 乳厶。一g 丘。一兰( 乳f 一9 厶) ( 厶。f 一舞- 9 2 ) = o ( 3 ，1 3 ) 利用双线性导数可以将它写成 ( d c + d ：) g f j 3 。、d 。g ，) ( d ：，f 一2 9 2 ) = o ( 3 1 4 ) j 因此自然令 ( d t + d ：) g f = 0 ，( 3 1 5 a ) d ：，= 2 9 2 ， ( 3 1 5 b ) 这是确定函数f 与g 的一对双线性导数方程设，可按e 的倡次幂，g 可按e 的 奇次幂展成级数 ，= 1 + ，( 2 ) e 2 + ，( 4 ) 一十，+ f ( 2 j ) e 2 j + - - ( 3 1 6 a ) g = 9 ( 1 ) e + g ( 3 ) 一+ + 9 ( 2 k + 1 ) e 2 。+ 1 + ( 3 1 6 b ) 将( 3 1 6 ) 代入( 3 15 a ) 并比较e 的同次幂系数得 + g 勉= 0 ， ( 3 17 a ) 毹3 ) + 9 然= 一( d + d ! ) 目( 1 ) ，( 引， ( 3 1 7 b ) 日 5 + 鼹= 一( dc + d ：) ( g ( 1 ) f t 4 + 日3 ，2 ) ， ( 3 1 7 c ) 将( 3 1 6 ) 代入( 3 1 5 b ) 并比较e 的同次幂系数又得 删= 2 ， 9 ( 3 18 a ) 从( 3 1 7 n ) 可取 2 鹰) - 一d ：产) 产+ 4 g ( 3 砖笋= 一d ：，( 2 ) ，( 4 + 2 9 ( 1 g ( 5 ) + 9 ( 3 ) 2 ( 3 ，1 ，8 b ) ( 3 1 8 c ) g ( 1 ) = e n ，l = u l t + 惫l z + l ，u l = 一七 ( 3 1 9 ) 这时从( 3 1 8 a ) 解得 ，( 2 ) = 珥1 拇 ( 3 圳) 将所得的g ( 1 ) 与，( 2 ) 代入( 3 17 b ) 的右端可知其值为零，故有 g 3 ) + 9 勉= 0 这又回到方程( 3 1 7 a ) ，于是不难说明9 ( ”，( “，9 ( 5 ) 截断令= 1 即得 ( 3 1 1 1 ) 皆可取为零，级数( 3 1 6 ) 被 ，l ( ，) = 1 + 瑶1 担北z ) = e 5 1 从而修正k d v 方程有单孤子解 如果取 ( 3 1 1 2 ) u = 1 s e c h ( k l 。一 t + “一d 1 ) ，d l = l n 2 k 1 ( 3 1 1 3 ) 9 ( 1 】= e ，+ e 如，白= 畸t + b z + 苗0 1 ，q = 一砖( 彳= 1 ，2 ) ， ( 3 1 1 4 ) 显然它也满足方程( 3 1 7 a ) 这时( 3 1 8 0 , ) 化成 删= e 1 + 2 e f l + 如+ e 2 ，( 2 ) = 研1 拶1 + 面斋毋怕+ 蕊1 掣j 将其代入( 3 1 7 b ) 给出 ， 3 】+ ，勉= ；( k t - k 2 ) 2 ( 1 均+ 瓦1 扣慨2 ) 这是非齐次线性方程，容易算得解为 护，= i 1 ( 糕) 2c 护怕+ 妒俄q ( 3 1 1 5 ) ( 3 1 1 6 ) ( 3 1 1 7 ) ( 3 1 1 8 ) 再将算得的g ( ”，( 2 ) 与g ( 3 ) 代入( 3 1 8 b ) 有 2 删= 去络鬟f 1 + 2 。，( 3 1 1 9 k lk 2 ) ) “一2 弼( + 2 。 ，( 4 ) = 砥1 ( k h + t - 酬k 2 4 掣1 + 2 如 从而不难推知9 ( ”，( 6 1 ，9 ( ”，均可定为零，而( 3 1 6 ) 被截断成有限形式 其为 掷= 1 + 瑶1 乒1 + 玎斋e 缸+ 蕊1 毋2 + 去1 6 k k ( 糕) 4 彦l + 2 如，；舟l + 七2 。 矾牡毋“2 + 1 ( k 。1 _ - 柏k q 2 ( 去声1 + 如+ 护+ 2 如) 这样一来，修正k d v 方程的双孤子解即可表示成9 2 ( t ，$ ) 与a ( t ，。) 的商 表达式，我们令 q = 1 一丽1 ( 蕊k l - k , 2 、2 毋， 一壶一叶壶一2 ， 则有 一( t z 1 = 目2 + 一， 从而双孤子解可写为 9 2 ( t ，z ) = 2 ( q r 。一r ) ( 3 1 2 0 ) 令= 1 ， ( 3 1 2 1 a ) ( 3 1 2 1 b ) 为化简此 ( 3 1 2 2 a ) ( 3 1 2 2 b ) ( 3 1 2 3 a ) ( 3 ，1 2 3 b ) 州( a r c t a n 沦。( 蒜等) 。 t ， 从双线性导数方程( 3 1 5 ) 确定相应于n 孤子解的一对函数 ( t ，。) 与口n ( t ，。) 是困难的，因此我们必须另寻它法， 用虚数i 乘( 3 1 2 4 ) 容易得 ”( t ，。) = 2 i q r q , z 。+ - - ，q x 。r = ( 1 n 。q + 一。i ，r 1 ，。， ( 3 l 2 5 ) 或令w = q + 打有 “) 刮( i n 等k ( 3 1 2 6 ) 其中 + 是u 的共轭函数将修正k d v 方程积分一次，并取积分常数为零，再代入 变换( 3l2 6 ) 得 叫 t w w ；+ w + t 上j z z 。一“j 1 ：# 一石3 。，_ 1 w * w z ( w * w x z - - 2 w ：t ) 一” ：( ；x - - 2 w x t 畦) 】= o ( 3 1 2 7 ) 或写为 ( d t + d ：) 山删一面( d z 叫 + ) ( d ：埘。伽) = o ( 3 1 - 2 8 ) 于是可令 ( d t + d z 。) w 加+ = 0 ，d ：叫w = 0 ( 3 1 2 9 ) 由这对方程即可确定复函数w 事实上，在( 3 1 2 9 ) 中将w 按展成级数 ( z ，。) = 1 + ( 1 ) + 叫( 2 ) + - + 叫( j ) 一十- 一，( 3 1 3 0 ) 并比较e 的同次幂系数给出 ， ( w ( 1 ) 一叫( ”+ ) t + ( 叫( 1 ) 一叫( 1 ) ) $ z 。= 0 ，( 3 1 3 1 a ) ( w 1 2 ) 一叫( 2 ) + ) e + ( 叫( 2 ) 一 ( 2 ) ) 础= 一( d c + d ：) t l j ( 1 ) 加( 1 卜，( 3 1 3 1 b ) ( w 1 3 ) 一w ( 3 ) + ) c + ( ( 3 ) 一叫( 3 ) + ) 砌= ( d + d ：) ( 叫( 1 ) 叫( 2 ) + + 州( 2 ) ( 1 ) ) ，( 3 1 3 1 c ) 弄口 ( ( 1 ) + ( 1 ) + ) ：= 0 ， ( wc 2 + 叫( 2 ) ) 。= 一d ；刨( ) 叫( 1 卜， ( w c 3 + 叫( 3 ) 4 ) 。= 一d ：( 叫( 1 ) ( 2 ) + + ( 2 ) 叫( 1 ) + ) 从( 3 1 3 1 a ) 与( 3 - 1 3 2 a ) 可见 ( 3 1 3 2 a ) ( 31 3 2 b ) ( 3 1 3 2 c ) ( 1 ) = e n + t 三，f 1 = u l t + 七l z + ；0 1 ，u 1 = 一惫 ( 3 1 3 3 ) 将它代入( 31 3 1 b ) 与( 3 - l3 2 b ) 的右端得 f ( 2 ) + 埘【2 ) ) 。z = 0 1 2 ( 3 1 3 4 a ) ( 3 1 3 4 b ) 这又回到原来出发时的齐次方程，因此w ( 2 ) = ”( 2 ) = o 如此继续，即得f 3 1 3 0 ) 的截断式 u j l ( t ，z ) = 1 + i e 舢，( 3 1 3 5 ) 其对应的修正k d v 方程之单孤子解是 ( n 黑) 。呐一螈，( 3 i 3 6 ， 它与公式( 3 1 1 3 ) 是一致的 如果取 加( 1 ) = e 1 + 2 暑+ e 如扣暑，岛= 岣t + k j 。+ 西：哟= 一砖u = 1 ，2 ) ， ( 3 13 7 ) 则( 3 1 3 1 b ) 与( 3 ，1 3 2 b ) 分别化成 ( w ( 2 ) 一w ( 2 ) + ) + ( ( 2 ) 一 ( 2 ) + ) 。= 0 ，( 3 1 3 8 a ) ( ( 2 ) 4 - ( 2 ) + ) ? = 一2 ( k 1 一k 2 ) 2 e 1 + 如( 3 1 3 8 b ) 由此解得 水k 毋崦“m 2 ：c a t 2 = ( 等毫) _ ( 3 。) 将求得的”( 1 ) 与w ( 2 ) 的表达式代入( 31 3 1 c ) 与( 3 1 3 2 c ) 的右端，其值为零，因此 ”( 3 j = ( 3 ) = o 继续这种推理有 4 ) = w ( 4 ) + 一一0 从而无穷级数( 3 1 3 0 ) 取有 限形式( s = 1 ) ”2 ( t ，z ) = 1 + e ( 1 + i j + e 轧+ 碍十e f l + f 2 + 2 ”+ a 1 2 ( 3 14 0 ) 它对应的双孤子解为 一( ，n 等等等善篇) c s “- ，一。1 1 n 再面码了孑丐五而丽， 【1 4 1 ) 其与公式( 31 2 4 ) 一致 一般地，如果取 岛= 吻t + 吩。+ 叭，哆= 一霹o = l ，2 ，扎) ， ( 3 1 4 2 ) 则通过上述方法可得级数( 3 1 ，3 0 ) 当e = 1 时的截断式 叫7 ( t ，z )( 3 1 4 3 a ) 。舛 + 丌一2 r 白 。州 e 乩 其中对p 的和式表示当蜥( j = 1 ，2 ，n ) 取0 或1 时所有可能的项之和，且 p j ( 白一z 百7 r ) + 弘j p f 州 f 一= 1 “ 1 9 f j o i n 兰坚1 百一 z j ( g + i 等) + 脚m a f 、一2 1 。 1 5 j j o = 0 ，1 ( 3 1 4 3 b ) ( 3 1 4 4 ) 3 2 新的多孤子解 如果在( 3 1 3 1 a ) 和( 3 1 3 2 a ) 中设 ( ) 有如下形式 ( 1 ) = 叩j 毋+ ”， ( 3 2 1 ) ，= 1 其中线性函数白和w 表示为( 2 1 8 ) ，则可算得修正k d v 方程( 3 1 2 ) 的类n 孤子 解。 事实上，当n = 1 ，取 u ( 1 ) = 目l e f l + ；，( 3 2 2 ) 解方程( 3 1 3 1 ) 和( 3 1 3 2 ) ，可得 水】_ 一暴e 豫一，“。= 一鲥，n - = 一3 耻 ， ( 3 2 3 a ) w ( “) = 0m 3 ) ( 3 2 3 b ) 因此级数( 3 1 3 0 ) 被截断并且得到修正k d v 方程的类单孤子解 吲( n 筹籍菇) 。， z 脚 当n = 2 ，取 ( 1 ) = q 1e t + i j + z l , 2 e f z + ”，= 一碍，q = 一3 岛碍， ( 3 2 ，5 ) 用相同的方法可以得到 = 集水- + 集掣。飞( k 。1 + - 瓦k 2 h 一。卢。豁替”- 枷t 镂赢笋时a 觚笋妒州2 ，( 3 2 6 a ， 1 4 猎 e 寿解予孤的程方正修是于 ”= i 襞( 糕) 4 ”。瞒黯器卜+ i 磊( 筏) 4 时。鹏格器卜墙， 慨。肺， ，= 器( 糍) 8 e 婚埘。 及 ( “) = 0 ( n 5 ) 因此可以得到修正k d v 方程的类二孤子解为 n 1 + ( 1 ) t + ( 2 】 1 + ( 1 ) + w o ) + ( 3 ) + + 伽( 4 】 + w ( 3 ) + 【4 ) 这个过程继续下去就得到新类n 孤子t 4 - ，它表示为( 3 1 2 6 ) ，其中 w j 壹锯) 4 , a c 岛, j - i ) 坩阻如睁船争嘉删划， 其中 一r = k j - k 12 ，畸= 一m 刍 ( 3 2 6 c ) ( 3 2 6 d ) ( 3 2 7 ) ( 3 2 8 a ) ( 3 2 8 b ) 对p 的和式表示脚取0 1 ，2 ( j = l ，2 ，n ) 时所有可能项之和若我们取qz0 ，= l ( j = 1 ，2 ，n ) ：则新类多孤子解就变成经典多孤子解( 3 1 4 4 ) 3 3 从修正的b g c k l u n d 变换得多孤子解 首先对b k c k l u n d 变换( 2 2 1 1 ) 进行修正 以e ，代，e s g 代g ，应用公式( 2 1 1 0 ) 并以k 代h 一，代u 口，则方程 ( 2 2 1 1 ) 变为 ( d z 一置) ，9 + = 一 ，+ g ， f 3 3 1 1 ( d t + u + d ：一3 七d ：+ 3 k 2 d 。+ 3 a 2 d 。一七。一3 k a 2 ) ，g = 0 令： ，= = 1 + ，( 1 ) e + ，( 2 ) e 2 + ，( 3 ) e 3 + ，( 4 j e 4 + ， ( 3 3 2 ) g = 1 + 9 ( 1 ) z 十9 ( 2 】2 + 9 ( 3 ) e 3 + 目( 4 ) 4 + - 代入到方程( 3 3 1 ) 并且比较不含e 的系数，可得 = ，u = 4 k 3 ，从而( 3 3 1 ) 化为 ( d z 一) ，g + + k ，+ 9 2o ， 3 1 ( d + d ：一3 七d ；+ 6 胪d 。) ，g = 0 此，与g 的关系式称为( 2 21 1 ) 的修正b ；c k l u n d 变换，进而在( 33 3 ) 中令e 的各次 幂系数相等得 ( d 。一k ) ( ，( 1 ) 1 + 1 9 ( 1 ) + ) + ( ，( 1 ) + + g ( 1 ) ) = o ，( 3 3 4 a ) ( d 。一k ) ( f c 2 ) 1 十，( 1 ) g ( 1 ) + + 1 g ( 2 ) + ) + 后( ，( 2 ) + + ，( 1 ) 目( 1 ) + 9 ( 2 ) ) = 0 ， ( 3 3 4 b ) ( d 。一七) ( ，( 3 】1 + ，( 2 ) g ( 。) + + ，( 1 ) g ( 2 ) + + 1 - g ( 3 ) + ) 十七( ，( 3 ) + ，( 2 ) + 9 ( 1 ) + ，( 1 卜9 ( 2 ) + 9 ( 3 ) ) = 0 ： ( 3 3 4 c ) 和 ( d t + d ：一3 七d ：+ 6 k 2 d 。) ( ，( 1 ) - 1 + 1 g ( 1 ) = 0 ( d t + d ：一3 k d ：+ 6 k 2 d 。) ( ，( 2 ) 1 + ，( 1 ) - 9 ( 1 + l g ( 2 ) = 0 ， ( d t + d ：一3 k d ：+ 6 k 2 d 。) ( ，( 3 ) 1 + ，( 2 9 ( 1 + ，( 1 9 ( 2 + 1 9 ( 3 ) = o ( 3 3 5 a ) ( 3 3 5 b ) ( 3 3 5 c ) 现在从( 3 3 4 ) ( 3 35 ) 求修正k d v 方程的解 取口( 。) = 0 ，( i 1 ) ，2 k = ，解方程( 3 3 4 ) 和( 33 5 ) ，可得 产) = e f + 弘，户) = 0 ，0 2 )( 3 3 6 a ) f ：1 + e 1 + 2 其中f 1 = u l t + k l 。+ f 叭，u l = 一南 令2 k = 1 ， g ( 1 ) = e “+ 争，护) = o ，( j 2 ) 代入到( 3 3 4 ) 和( 3 3 ，5 ) ，可得 ，( 1 ) q l e f l + 。，( 2 ) = 一e 2 ( l + j ”，( j ) = 0 ，0 3 ) 弄口 ，= l 十即1 e f i + 号4 一e 2 ( f 1 7 三 ( 3 3 6 b ) ( 3 37 ) ( 3 38 a ) ( 33 8 b ) 其中即1 = 血l t + 卢1 z + 1 l ，历= 一2 南l ，“l = 6 碹因此可得类二孤子解 ：2 ( a r c t a n 丁n + t e e ( 2 1 铲 ( 3 舢) 1 6 如果取2 k = k 1 与 类似的计算求得 g ( 1 ) = q 1e n + 争，9 ( 2 ) = 一e 啪+ 砂9 ( j ) = 0 ，0 3 ) ( 3 3 i o ) ，= l + ( 互1 q - v l + c 1 ) e - + 一( ；q + q 1 - c 1 + 2 ) e 2 “+ t 一e 3 幢1 + “，( 3 3 1 1 ) 其中c 1 是t 的函数，c l ( t ) = 一2 a l t + c 1 0 1 ，c ；o 是任意常数因此根据( 2 2 9 ) 得类三 孤子解。 如果继续取2 k = k l 与 g ( 1 ) = ( ；” - ”1 + c 1 ) e f l + ：，g ( 2 ) = 一( ；q + 目l c t + 2 ) e 2 1 + ”， g ( 3 ) = 一e 3 ( f l + ) 9 ( j ) = 0 ，0 4 ) ( 3 3 1 2 ) 我们有 ，= 1 + 和一q + ( c i + 1 ) ”c 2 妒峥+ - 圭q 一q ；+ ( c 2 + 2 c ，一2 ) q i - - 鼋+ 2 c i - - 3 】 e 2 1 + 专1 一 ；叼 + 叼 一( c l 一3 ) 叩l + c 2 】e 3 如+ 詈+ e 4 n + 詈“， ( 3 3 1 3 ) 其中c 2 = 3 2 研t + c ，毋是任意常数由此类四孤子解表示为( 2 29 ) 以下将导出一些解与a 和f 2 都有关。 在( 3 3 4 ) 与( 3 3 5 ) 中，若设g ( ，) 为( 3 3 7 ) 与2 k = 2 我们发现 f ：i - - a l e n + 割竹轧峙l 1 去e f l 埘m ， ( 3 3 1 4 ) 其中，y 是任意常数，f 2 = w 2 t + k 2 z + 毋，u 2 = 一砖，a l = 鲁堵令7 = a l ，2 _ k l ，并 对( 3 3 1 4 ) 式取极限给出 ，= 1 + 2 k l ( 3 t z ) e f l + 2 一e 2 1 + 州 ( 3 3 1 5 ) 这与所得结果( 3 3 8 b ) 一致。用n 代l 一 a i 2 + 。，如代如一 a i 2 ，其中e “1 2 = ( 猎) 2 ，e 讪一( 蹴) 2 ，那么( 3 3 1 4 ) 变为 令 9 ( 1 ) = 一o l 毋+ ，= i + e n + 舌。+ e 2 + 2 + 矿1 + 如+ ”件a 1 2 ( 3 3 1 6 ) ：一，y ie f + 和+ m ，g u ) ：0 ，( j 3 )( 3 3i 7 ) n 1 与2 k