（计算数学专业论文）某些三角剖分上样条函数空间的奇异性及插值适定性.pdf

摘要 样条函数作为函数逼近论的一个重要分支，已得到了迅速的发展和广泛的 应用。样条函数，就是具有一定光滑度的分段或分片定义的函数。一元样条函 数已经建立了非常完善的理论体系。八十年代起，样条函数的研究开始转向多 元情形。虽然多元样条函数在思想上是一元样条函数的推广，但它比一元样条 函数困难得多、复杂得多，这不仅仅是因为区域的多维性及多元函数区域上的 复杂性，而且多元多项式样条空间的结构除依赖剖分的拓扑性质外，还紧密地 依赖于剖分的几何性质。 本文从多元样条函数的协调方程出发，运用罗钟铉教授提出的多项式环上 素模中的生成基理论和方法，在m a t h e m a t i c a 软件环境下做了一些研究工作，主 要结果如下： 1 详细讨论了多元样条函数空间研( a h s ) 的奇异性问题，得到了该空间奇 异的代数型充分必要条件，并在此基础上给出了该空间的维数。 2 对2 一型三角剖分上多元样条函数空间s ：( 留) 的插值适定性问题进行了 研究，给出了该空间插值适定结点组的选取方法，并在此基础上进一 步提出了一种构造插值适定结点组的方法，给出了相应的例子。该方 法应用于m o r g a n s c o t t 型三角剖分和卜型三角剖分上时得到了相应 的结论。 关键词：多元样条函数光滑余因子 数学机械化g r o b r i e r 基 生成基插值适定性 m a t h e m a t i c a 软件 a b s t r a c t b e c a u s et h es t r u c t u r eo fm u l t i v a r i a t es p l i n es p a c en o to n l yd e p e n d so nt h e t o p o l o g yc h a r a c t e ro fp a r t i t i o n ，b u to n l y t h eg e o m e t r yc h a r a c t e ro f p a r t i t i o n ，s o m e m u l t i v a r i a t es p l i n es p a c e sa r es i n g u l a r i t y t h i sp a p e rp r o c e e df r o mc o n f o r m a l i t y e q u a t i o n ，a p p l yg e n e r a t o r b a s i s a l g o r i t h m o fm o d u l ei n r i n g o fp o l y n o m i a l ， c a l c u l a t eo u t s m o o t h i n g c o f a c t o ro fs i m i l a r m o r g a n s c o t tp a r t i t i o ns p a c e i n m a t h e m a t i c as o f t w a r ee n v i r o n m e n t t h em a i nw o r ko ft h i st h e s i sc a u b e s u m m a r i z e da sf o l l o w s ： 1 w eo b t a i nt h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o ni na l g e b r a i c a lf o r m w h e nt h em u l t i v a r i a t es p l i n es p a c e 四( m ) i ss i n g u l a r ，a n dg i v et h e c o r r e p o n d i n gd i m e n s i o n 2 ac o n s t r u c t i v em e t h o di sp r e s e n t e df o rl a g r a n g e i n t e r p o l a t i o ns e ti n 。s 2 1 ( 一a ( 2 2 2 ) ) a n ds o m ec o r r e s p o n d i n ge x a m p l e s a r eg i v e n k e y w o r d s ：m u l t i v a r i a t es p l i n e s ，s m o o t h i n gc o f a c t o r ，g r o b n e r b a s i s ， g e n e r a t o rb a s i s ，i n t e r p o l a t i o np r o p e r l yp o s e d p r o b l e m m o r g a n s c o t t ，p a r t i t i o nm a t h e m a t i c a lm e c h a n i z a t i o n 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究 工作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得 大连理工大学或其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢 意。 作者签名：日期： 某些三角剖分上多元样条函数空间的奇异性及插值适定性 第一章综述 本章为后续各章做准备，着重介绍多元样条函数理论1 3 卜t 、g r o b n e r 基理 论【8 】【9 】和数学机械化( 1 0 思想，并简要介绍了本论文的主要工作。 多元样条函数理论主要介绍光滑余因子方法。 g r o b n e r 基方法【8 】【9 】首先是由b u c h b e r g e r 在1 9 6 5 年提出，从1 9 7 6 年起， g r o b n e r 基方法被迸一步完善、推广，应用于各种实际计算问题。被广泛应用 于多元多项式方程组求解，几何定理机械化证明，多元多项式齐次方程组合冲 生成集求解等。为代数方程求解提供了有力的算法工具。 数学机械化i lo 】是由当代著名数学家吴文俊先生创立的，运用机器来证明定 理，使得许多数学问题大大简化。 在文【1 的基础上，将生成基的方法机械化实现是本文的主要工作。 1 1 多元样条函数理论 1 1 1 多元样条函数概述3 样条函数，就是具有一定光滑度的分段或分片定义的函数。如果在每段或 每片上定义的函数都是多项式，则称为多项式样条函数。一元样条函数已经建 立了非常完善的理论体系，已经有许多文章和专著阐述了这方面的结果。本文 不再论述这方面的内容。 多元样条函数的研究有着深刻的实际背景和重要的理论意义，随着计算机 和计算机技术的发展，样条函数成为许多实际问题的工具，广泛的应用于计算 机辅助几何设计( c a g d ) ，曲线、然面几何造型，计算机辅助几何设计与制造 ( c a d c a m ) 等诸多领域。此外，在散乱数据插值以及曲面拟合中，多元样条 也有着广泛的应用。 由于高维区域上剖分的复杂性，多元多项式样条空间的结构除依赖剖分的 拓扑性质外，还紧密地依赖于剖分的几何性质。其中最著名的例子是m o r g a n 和s c o t t l 9 7 5 年发现的例子，如图1 1 ( 0 ，b ) 图1 1 ( a ，6 ) 某些三角剖分上多元样条函数空间的奇异性及插值适定性 在图1 1 所示的剖分下，碰( ) 的维数 a i m 驰，= 髻蓑； 也就是说某些样条函数空间存在着奇异性，使得样条函数的研究变得十分 复杂，而且维数越高，困难越大。 目前多元样条函数的研究大体上有三种方法。一种是经典的代数几何方 法，亦称光滑余因子方法【3 1 ，这一方法是王仁宏在1 9 7 5 年引进的，之后王仁 宏、s h u m a r k e r 、c h u i 等学者用这种方法进行了大量的研究工作，得到了丰富 的结果此方法深刻的刻划了多元样条函数光滑连接的内在本质，并建立了光 滑连接所应满足的协调方程，进而使求样条空间的维数和基底等问题归结为求 解协调方程的问题。此方法对样条空间的结构研究有重大意义。其二是利用单 纯形上多元多项式的b e z i e r 网表示，简称b 网方法。其三是投影算子法，亦 称b o x 样条法，由c u r r y 和s c h e o n b e r g 建立的，本质是研究高维多面体在低维 多面体空间上的投影测度函数。 本文着重讲述光滑余因子方法。 1 1 2 光滑余因子方法 光滑余因子方法【3 1 亦称代数几何方法。为叙述方便，首先引入一些常用记 号。用大写字母石，r ，z ，表示欧氏空间r 5 中的向景，用小写字母，只等 表示它们的分量，即z = ( 一，x 2 ，工，) r 5 ，y = ( y l ，y 2 ，以) r5 ，x ，y r 。的 内积为 x 】，= ( 石，r ) = 而m 若集合a 匕r 。，则 ， 爿】，勋t 阻】分别表示彳的线性生成，闭凸包，s 维勒贝格测度函数。 对分量是非负整数的向量卢，r ”，则记 k | = 口i + 口2 + + 口。，x 。- - x 1 血x 2 口2 砖， c t 1 2 口l ! 口21 口。1 2 某些三角剖分上多元样条函数空问的奇异性及插值适定性 集合只= y 巴肖。i q r 表示次数不超过| j 的多项式空间。 藤 。 设d 是平面上一个单连通区域，有限条不可约代数曲线将区域d 分割成有 限个子区域，每一个这样的子区域称为一个胞腔。形成胞腔边界的曲线段称为 网线，网线之间的交点称为网点，所有胞腔，网线和网点的集合称为区域d 的 一个剖分，记为，包含一个网点，的所有胞腔的并集称为网点p 的关联区域。 定义1 1 1 位于区域d 内部的网点称为内网点，否则称为边界网点：如果一条 网线的内部属于区域d 的内部，则称此网线为内网线，否则称为边界网线。 设为区域d 的一个剖分，d ，( 1 i t ) 是的所有胞腔，则空间 s ：( ) = p c 。( d ) ，s l d ；b ，1 i 7 ) 称为k 次阶样条函数空间，研( ) 中的元素称为关于的k 次阶样条函数。 为阐述光滑余因子方法，介绍下面的b e z o u t 定理： b e z o u t 定理( 弱形式) 【1 2 】： 若阶数为m ， 的两条直线多于m 个交点，则它们必定有非平凡的公因式。 应用上面的定理，王仁宏在文3 1 中指出了样条函数光滑连接的内部结构， 表现为下面的定理。 定理1 1 2 设j 雕( a ) ，d f 与q 是剖分a 中的两相邻胞腔，不可约代数曲线r ： ，( x ，力= o 是d j 与q 的一条公共网线，p ，= s d j ，p = j d j ，则有 p 。一p ，= 【f ( z ，y ) 】”1q ( x ，y )( 1 1 ) 其中q _ y ) 最一“) ，称q ( x ，力为网线r 上的光滑余因子。 设p 为a 的一个内网点，p 的关联区域，( p ) 有n v 个胞腔，记为d 1 ，d 2 ， ，b 与d f “的公共网线记为r ：o ，y ) = o ，f = 1 , 2 ，n ，d 虬。2 d 1 由( 1 1 ) 式不难得到 n d 岛o ，y ) p 。y ) r = 0 ( 1 2 ) 1 = 1 其中q i ( x ，y ) 最十+ 1 ) ，( 1 2 ) 式称为样条函数j 雕( ) 在内网点p 处的协调条件。 定理1 1 3 对给定剖分，存在样条函数j 仨雕( ) 的充要条件是在每个内网线 某些三角剖分上多元样条函数空间的奇异性及插值适定性 上存在非零光滑余因子，且在每个内网点处满足协调条件( 1 2 ) 式。 所有内网点处的协调条件合称为整体协调条件。 对于一些特殊剖分，通过解协调方程容易得到样条函数空间鄙( ) 的维数和 基底。对于贯穿剖分，c h u i 和王仁宏d 3 给出了硝( ) 的维数公式。 定理1 1 4a 是贯穿剖分，则 v d i m ( ) 2 t l ( k ) + e ，l ( k - u - 1 ) + d ( 一) l = 1 其中 f r m + 2 、 瑁( m ) = l 2 j 【o ， 脚0 m “+ 掣时 d i m 赕( ( 翌) = 蹿( i ) + ( 2 撇一0 e ( k 一“一1 ) + ( ，聍一0 ( n 1 ) i i ) 当七 “+ 掣时 j ( “+ 1 ) ( _ j 一甜) + 3 9 ( 3 ，“) + n 4 8 ( 4 ，“) d i m 雠( 量：) = 叩( 七) + ( 3 r a n 1 ) 刁( 七一”一1 ) + ( 月，一1 ) ( 咒一1 ) 6 + 1 ) ( 七一u ) + m n r l ( k 一2 u 一2 ) + n f 6 ( i ，”) 1 1 4 不难得到 i ) 当七“+ 孚时 d i i n 罐( 咄) = 摊) + 厶袱一“_ 1 ) i i ) 当k “+ 孚时d h n - 叭u ( 2 ) ) = 舭) + l 2 r ( j j 一) 其中厶为剖分如( f = 1 , 2 ) 中贯穿网线个数。 5 某些三角剖分上多元祥条函数空间的奇异性及插值适定性 1 1 3 多元样条函数的表现定理 1 1 2 节指出了多元样条函数的逐片开拓性质，这种性质使得十分便于给 出多元样条函数的表现形式。 定理1 1 7 5 1 醚( d ，) 中的任一样条函数s y ) 均可唯一的表示为 s ( 工，y ) 2 p ( x ，力+ c 【f l ( 石，力 ，吼( x ，y ) ，j ，) d( 1 3 ) 其中p ( x ，) ，) 巨只为s ( x ，y ) 的源胞腔上的表达式，。表示对所有一切内网线求 和，而且当c 越过r j 时恰好从d j 跨入d i ，吼( x ，力为r f ：l j ( x ，y ) = o k 的光滑余 因子。 结合定理1 1 7 和( 1 2 ) 式，可建立如下定理： 定理1 1 8 对于给定的剖分和确定的流线c ，多元函数z = s 沁y ) 是雕( d ，) 中的样条函数，必须且只须( 1 3 ) 式和整体协调条件( 1 2 ) 式同时被满足： s ( x ，y ) = p ，y ) + 。瞳( x ，y ) 】，g 肛，y ) ( x ，y ) d 丸i t 。( 石，y ) r q 。( x ，y ) = - o 其中彳。取遍所有内网点。 由多元样条函数的一般表达式，我们可以进一步考虑任意剖分下多元样条 函数插值、最佳逼近、高维数值积分以及其它一些有关的理论和应用问题。 1 2 g r o b n e r 基理论 g r o b n e r 基方法【1 6 】 【18 1 首先是由b u c h b c r g e r 在1 9 6 5 年提出，现应用于各种 实际计算问题【1 8 h 22 1 。下面具体介绍。 1 2 1 定义和符号嘲 在本节中我们始终用七表示一般的域，用r 表示含有单位元的交换环， a = 七i 一，x 。】或a = r k ，x 。 表示域k 上或环r 上的肝个变元的多项式环。 令n 是非负整数集合， 是给定的正整数，置，x 2 ，x n 表示环r 上的n 个 变元。令集合 6 某些三角剖分上多元样条函数空问的奇异性及插值适定性 丁”= 工；2 - - x l 口，i = 1 , 2 ，n ) ， 即r “是聆个变元_ ，而，的幂积的集合记- ；：x = x 4 ，其中 x = 瓴，吒) ，口= ( ，9 2 ，口。) ”。对于歹“中任两个元素彳“= 群1 x ；一石和 x = 诤x 2 h x t 定义它们的乘法为x 8 x 。= x 。x j = 中晶x 挈喁x ：川a 或着 由环r z 。，z ：，x 。 中的乘法得到上式。 定义1 2 1 所谓盯是集合t ”上的一个全序，是指对任意给定的r 一中的两个元 素x 8 和，下面的三个关系之一必须成立，而且只有一个成立： x 1 ，x ，x 。= x ，x ( ，x 。 如果无须特别标注仃，上式可简计为 x 。 x p ，x 8 = x p ，x ， 爿a 定义1 2 2 集合r 上的全序盯称为良序，如果丁”的每个非空子集合都有最小 元，即对r ”的任何非空子集a ，必存在元素x 。一，使得对所有爿4 a ， x 8 。1 ( 2 ) 对任何x 。，z 9 ，x 7 t ”，如果x 8 x 珥。记 p ( f ) = z 。，即驴( 厂) 表示f 的首项幂积； l c ( f ) = 口。，即埘，) 表示厂的首项系数： i t ( f ) = a l x “，即i t ( f ) 表示f 的首项。 定义1 2 6r 上相对而 x 2 x 。的字典序( 1 e x i c o g r a p h i c a lo r d e r ) ，简记为 l e x ，定义如下： 对于a = 1 ，一，口。) ，= ( 届，孱) n ”，则 x 4 k x 4 存在l k n - 1 ，使得口= 岛，= 0 , 1 ，k ，和o t k + t 展+ 1 ( 约定= 风) 若”= 2 ，则 1 z 2 x ； x ； x l x l x 2 x l x ； x 。的次数字典序( d e g r e el e x i c o g r a p h i c a lo r d e r ) ，简记 为d e g l e x ，定义如下。 对于口= ( ，口。) ，声= ( 届，尾) n ”，则 x 。 d e g h x # 口， 属 i = lj | 1 吼= 层， i = li 1 1 x 4 k 肖， 或 和按字典序有 若n = 2 ，则 1 x 2 x i x ； x 2 砰 x ； 为茹； 工? x 2 x ? 下面，始终设a = k x 1 一，x 。】为域k 上”变元多项式环，盯为任意给定的环4 s 某些三角剖分上多元祥条函数空间的奇异性及插值适定性 上的一个项序，并记 盯简记为 。涉及到大小顺序都是由 决定。 定义1 2 7 对于给定的环a 中的三个多项式厂，g ，h ，其中g 0 ，定义f y a g 一步约化为h ，用，山 表示，当且仅当l p ( g ) 是f 中某一非零单项式x 的因 子，并且 舾，一志g 这个约化过程，就是将f 中的一个项用严格比它小的一些项的和来代替。 定义1 2 8 令，h ，z ，z 是环a 中的多项式，且对f = 1 ，2 ，j ，0 。 令集合f = ( z ，工) ，定义f 模f 约化为h ，用，山+ 表示，当且仅当下式 成立： 厂山噍五号 ：寸与啊= h 其中对 ，= l ，2 ，r ， f ，h 。4 。 定义1 2 9 设多项式r a ，f = z ，) 小 0 ) 为环a 中的非零多项式的有 限集。如果r = o 或者，模f 不能约化，即磨( ，) ，i = 1 , 2 ，j 中的任何一个都不是 在，中出现的幂积的因子，则称多项式，相对f 是既约的。进而，如果，与+ ， 和，相对f 是既约的，则称，为，相对f 的剩余或余多项式。 算法1 2 1 0 域上多变元多项式除法算法 输入： f a ，f = m ，工) e a o ) ，项序 输出：r ，“i i - ，“。a ，使得 ，= 巩，+ ， i 1 r 相对f 是既约的， 驴( ，) = m a x l p ( u - ) f p ( z ) ，l p ( u ，) 勿( 工) ，勿( ，) 初始化：蚝；0 ，2 _ - 0 ，甜，：= 0 ，r ：= 0 ，矗# f 9 某些三角剖分上多元样条函数空间的奇异性及插值适定性 当h 0 ，作 如果存在i 1 ，j ) 使得咖( z ) i 咖( ，则选择具此性质的最小的i ，令 钏，+ 器 杠而一怒z 否则 ，_ = ，+ l t ( h 、 h ：= h - i t ( h ) 定义1 2 1 1 ( g r o b n e r 基) 设，是环a 中任意给定的一个非零理想，g = 晶，g ，) 是中非零多项式的有限集合，称g 是理想，的g r o b n e ，基( g r o b n p rb a s i s ) ， 当且仅当对，中的每个非零多项式f ，存在i ，1 i t ，使得t p ( g 川l p ( f ) 。 推论1 2 1 2 设，为环a 中的理想，g = 晶，g f 是j 中非零元集合如果g 是， 的g r o b n e r 基，那么对任何f ，如果，与+ r 和r 相对g 是既约的，则必有 r = 0 。 定理1 2 1 3 令，为环4 = j ，x 。】中的非零理想，g = g l ，一，g ，) 八 o ) ，则 下面的叙述是等价的： ( 1 ) g 是j 的g r o b n e r 基； ( 2 ) 厂i 当且仅当厂山+ 0 ； ( 3 ) 厂，当且仅当存在，啊a ，使得 t f _ - z h , g ，l p ( f ) = m a x l p ( h , ) l p ( g 。) j f = l ，2 ，f ) ； i w l ( 4 ) l t ( g ) = l t ( 1 ) 。 推论1 2 1 4 设，是环a 中的理想，g = 蜀，蜀) 八 o ) 。如果g 是1 的g ，占6 玎e r 基，则，= = ，即，的g r o b n e r 基必定是，的生成元集合。 定义1 2 1 5 我们说环a 中的非零多项式的有限集g 是g ，；6 刀p r 基，是指定是g 1 0 某些三角剖分上多元样条函数空间的奇异性及插值适定性 生成的理想 的g r o b n e r 基。 推论1 2 16 设g 是环a 中的g r o b n e r 基，则对任何f a ，与+ r ，其中，相 对g 是既约的，则r 由，和g 唯一确定。 定理1 2 1 7 域k 上的多项式环a = k x l ，一，x 。】中每个非零理想都有g r o b n e r 基。 定理1 2 1 8 令a = 】 扛l ，一，x 。】是域七上船变元多项式环，集合g = 蜀，g ，) 呈 4 o ，则g 是g r o b n e r 基当且仅当对任何多项式f a ，模g 的余项是唯一 的。 通常，我们称，模g 的余项为f 的正规形，用 ( ，) 表示，或者g u ) ， 或者n f ( ) 表示。 定义1 2 19 设g 是环爿 0 中的有限集，我们称约化关系“与+ ”是合流的， 如果多项式厂，g ，h a 和，与+ g 与，与+ h ，则存在多项式r a ，使得 与+ r 和g 与+ r 。 定理1 2 2 0 令g 是环a o ) 中的有限集，则g 是g r o b n e r 基当且仅当约化关系 “与+ ”是合流的。 1 2 2 g r o b n e r 基的计算8 1 g r o b n e r 基理论在许多问题上是很有用的。常常在求解关于一个任意集f 的 问题时，首先将关于f 的问题转变成关于其g r o b n e r 基g 的问题，然后再求解。 这需要计算其g r o b n e r 。而g r o b n e r 基理论的关键是提出了计算( r o b 胛e ，基的 可行算法，即提出了由理想的任何一组生成元出发，计算出该理想的白占6 聆盯基 的算法，根据目前计算机的计算能力，该算法是可以实现的。该算法是由 b u e h b e r g e r 提出并以他的名字命名的，此算法的核心引入了s 一多项式的概念。 某些三角剖分上多元样条函数空间的奇异性及插值适定性 趸义1 2 - 2 1 ( s 一多i 贞式) 设f ，g a 0 1 ，三= k 所( 勿( 门，p ( g ) ) ，其中肠m 表示 最小公倍。令 盯渤2 志，一志g 称多项式义厂，西为，和g 的s 一多项式幅i p 0 1 y n o m i a l s ) 。易见，在多项式瓦裔， 和轰豸g 中首项是相同的 引理1 2 2 2 设多项式，一_ o ) ，且对每个i ，1 i ss ，( z ) = x ，即z 的 首项幂积完全相同。令2 萋。z ，其中c ，i 如果t p ( f ) x ，则厂是s ( z ，乃) ， 其中i _ ，和1 f ，j s ，在域上的线性组合。 定理1 2 2 3 ( b u c h b c r g e r ) 令g 2 ( g 。，g ：，g ，) a o ，则g 是理想，= ( g ) 的 g r o b n e r 基当且仅当对所有i _ ，1 - i ，- ， - t ，有 s ( g ，g j ) 与+ 0 算法1 2 2 4b u c h b e r g c r 计算g r o b n e r 基的算法 输入：f = m ，) a 0 ) ，项序 输出：g 2 ( g ，g ：，g 。) ，g 是理想，工) 的g r o b n e r 基 初始化：g 2 f ，d f ：2 “，乃) l ，乃g ) 当d f 中作 选择 f ，g ) d f d f ：2 d f “，西) s ( f ，g ) 山+ h ，厅相对g 是既约的， 如果h 0 ，则 d f ：。d f u “”，h ) v u g ) g ：2 g u 埘。 某些三角剖分上多元样条函数空间的奇异性及插值适定性 定理1 2 2 5 上述b u c h b e r g e r 算法产生的g 恰为理想 的g r o b n e r 基。 我们给出了计算g r o b n e r 基的算法，但即使在序给定的情形下，g r o b n e r 基 也并不是唯一的，这由计算本身不难看出。首先，算法依赖于输入多项式的次 序，输入的次序不同可导致求出的g r o b n e r 基不同。进而，在计算s 一多项式时， 是随机地从胛中选取多项式对，这又能导致其结果的不同。我们希望能找到 与g r o b n e r 基相关的不变量。为此，引入极小函；6 片p r 基、既约g r o b 卯盯基的概 念及其性质。 定义1 2 2 6 ( 极小g r o b n e r 基) 环a 中的g r o b n e r 基g = 9 1 ，9 2 ，g ，) a 、 o 称为 极小的( m i n i m a l ) ，如果对每个i ，1 茎i f ，l c ( g f ) = 1 ，而且对任何i j ，1 - i ，j f ， 都有t p ( g ，) 不整除t p ( g ，) 。 引理1 2 - 2 7 设g 2 舅，9 2 ，g ，】是环a 中理想1 的g r o b n e r 。如果l p ( g ，) l f p ( g ) ， 1 f ，j t ，贝0 g i ，。一，g 一l ，g j + 1 ，g ， 仍是，的g r o b n e r 基。 用此引理，从任何一组g r o b n e r 基出发，不难得到极小西；6 ，z e ，基 极小g r o b n e r 基也不唯一，但它蕴含某些不变量可由下面的命题看出。 命题1 2 2 8 如果g = g 。，g ：，g ，) ，f = f l ，正 是环ae e 理想i 的相对同一 项序的两组极小g r o b n e r 基，则j = f ，而且对1 i f ，7 p ( ，) = t p ( g 。) ( 如需要， 可将毋和，适当的重新排列) 。 由命题1 2 2 8 知，极小性是相对g ，；6 ，2 盯基中元素个数而言。 定义1 2 2 9 ( 既约g r o b n e r 基) 环a 中的g r 占砌e r 基g = g 。，g ：，g ，) 称为既约 g r o b n e r 基，用r g b 表示，如果对所有i ，1 i t ，拓( ) = 1 ，而且g 。相对g 璺) 是既约的，即对任何j ，g ，中没有非零项可被任何t p ( g ，) ，j f 除。 某些三角割分上多元样条函数空间的奇异性及插值遁定性 易见，既约g r o b n e r 基当然是极小的，但反之不对。然而，我们可由一组 极小g r o b n e r 基出发求出既约g r o b n e r 基。设g = g l ，9 2 ，毋) 是环a 中的一组极 小g r o b r i e r 基，考虑下边的约化过程： g 。乜些址：生斗+ 啊，啊相对且是既约的， g ：盥缸挑山+ h 2 ，相对也是既约的， 岛也虹& 翌屿+ 岛，魄相对h 3 是既约的， ： g ，鱼_ _ ：生斗+ 啊，啊相对h t 是既约的。 于是得到： 推论1 2 3 0 设g = g 。，g ：，g ，) 是环彳中理想，的g r o b n e r 基，则上述过程得到 的h = h i ，扛 是理想，的既约g r ；6 刀p r 基。 定理1 2 3 1 ( b u c h b e r g e r ) 在环彳上固定项序 多) ，如果 o r d e r p _ d e g g1 1 1g ( 0 ) 0 ，那么 存在唯一的两个多项式p ( x ) ，( x ) 足 x 】和正整数七，使得 ，( 功= p ( x ) g ( 盖) + j 。，( x ) ，( 0 ) 0 式中或者，( x ) i o 或者d e g r d e g g 并且d e g p d e g f d e g g 。 对于模中的元素，建立如下的约化定理： 定理2 2 7 ( 约化定理) 设m 是素模，d i m m =