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哈尔滨工业大学 研究生“数值分析”历年试题 - 1 - 2000 年研究生“数值分析”试题 一， 填空（20 分） 1，n1 个互异节点插值型数值求积公式的代数精度为_次，最高为 _次。 2，sor 方法收敛的必要条件：松弛因子满足条件_。 3，对于插值型求积公式 n k kk xfadxxf 0 1 1 )()(，其节点), 1 , 0(nkxk是高斯 点的充分必要条件是_。 4，设)( ij aa 为 n n 矩阵，则 1 a=_， a=_。 5，设解方程组bax 的迭代法为dbxx kk 1 ，则迭代收敛的充分必要条件是 _。 6，判断下面的函数是否为三次样条函数（填是或否） （1） 21 10 01 ) 1( 0 )( 23 3 x x x xx xxf （2） 10 01 122 12 )( 3 3 x x xx xx xf 二， （10 分） 在22x上给出 x exf )(等距节点函数运用二次插值求 x e的近似值， 要使误差不超过 6 10，问使用函数表的步长应取多大？ 三， （10 分） 给出函数表 i x 0 1 2 3 4 i f 1 1/2 1/5 1/10 1/17 求有理插值 四， （10 分） 设)(xf在 30,x x上有三阶连续导数，且 3210 xxxx， （1） 试作一个次数不高于四次的多项式)(xp，满足条件 )()( jj xfxp j0，1，2，3 )( )( 11 xfxp c o p y r ig h t c u n t ucw s 哈尔滨工业大学 研究生“数值分析”历年试题 - 2 - （2） 推导它的余项)()()(xpxfxe的表达式 五， （10 分） 试用 romberg（龙贝格）方法，计算积分 3 1 1 dx x ，并精确到小数点后 4 位。 六， （10 分） 利用数值积分的 simpson（辛甫生）公式，导出公式 )4( 3 1111 nnnnn yyy h yy 并指出次方法的阶 七， （10 分） 设0)(xf的单根，)(xfx 是0)(xf的等价方程，则：)(xf可表为 )()()(xfxmxxf 证明： 当 1 )( )( fm时，)(xf是一阶的。 当 1 )( )( fm时，)(xf至少是二阶的。 八， （10 分） 试对方程组 128 243220 301532 321 321 321 xxx xxx xxx ， 对收敛的 gaussseidel 迭代格式， 并取 t x)0 , 0 , 0( )0( ， 计算到 )2( x 九， （10 分） 试证明高斯求积公式 n k kk xfadxxf 1 1 1 )()(的求积系数 k a恒为正。 2001/2002 年研究生“数值分析”试题 一， 试解答下列问题 1，已知143)( 345 xxxxf，求： , 543210 eeeeeef和, 6543210 eeeeeeef 2，若 n n y2求 n y 4 和 n y 4 c o p y r ig h t c u n t ucw s 哈尔滨工业大学 研究生“数值分析”历年试题 - 3 - 3，判断下列函数是否是三次样条函数 i 21 10 01 ) 1( 0 )( 23 3 x x x xx xxf ii 10 01 122 12 )( 3 3 x x xx xx xf 4，已知 42 31 a求 p a，fp, 2 , 1 5，试用 euler（尤拉）公式求解初值问题（1 . 0h） 3 . 00 , 1)0( 2 x y y x yy 二， 设0a为实数，试建立求 a 1 的 newton（牛顿）迭代公式，要求在迭代 中不含除法运算，证明当初值 0 x满足 a x 2 0 0 时，此算法是收敛的，并用 此算法计算 99 1 的近似值（保留 4 位小数） 。 三， 应用 doolittle（杜利特尔）方法解线性方程组 23 3322 02 21 321 321 xx xxx xxx 四， 设给出xcos的函数表) 60 1 ( 1,900(hx x 0000.150 0167.15 0333.15 9005.15 xcos 96593. 01 0.96585 0.96578 096570. 0 研究用此表进行线性插值求xcos近似值时的最大截断误差界，并用二次 lagrange（拉格朗日）插值计算03.15的近似值。 五， 已知 legedre （勒让德） 多项式)( 1 xp的零点为 3 1 ， 试用 gausslegedre 求积公式计算 4 4 2 1 1 dx x 的近似值。 （保留 4 位小数） 六， 应用 romberg（龙贝格）积分法计算定积分 3 1 1 dx x 的近似值（精确到小 数点后 4 位，其真值为 1.098612289） 。 七， 试讨论求解常微分方程初值问题的 simpson（辛卜生）方法 )4( 3 1111 nnnnn yyy h yy c o p y r ig h t c u n t ucw s 哈尔滨工业大学 研究生“数值分析”历年试题 - 4 - 的稳定性 八， 分别用 jocobi（雅可比）和 gaussseidel（高斯塞德尔）迭代求解下 面的方程组（初值取 t x)0 , 0 , 0( 0 计算 1 x和 4 x） 24 64 24 ) ()1( )3()2()1( )3()2( xx xxx xx 九， 试回答，在 lagrange（拉格朗日）插值方法中，是否插值多项式的次数 越高，插值精度也越高？为什么？ 2003 年研究生“数值分析”试题 一， （8 分）设0a为实数，试建立求 a 1 的 newton 迭代公式，要求在迭代函数 中不含除法运算，并证明：当初值 0 x满足 a x 2 0 0 时，此格式时收敛的。 二， （6 分）用 doolittle 分解法解方程组 20 18 14 513 252 321 3 2 1 x x x 三， （8 分）设 50 10 010 a bb a a，0deta，用a，b表示方程组dax 的 jacobi 迭代法及 gaussseidel 迭代法收敛的充分必要条件。 四， （8 分）设方程组bax ，其中 120 122 101 a， 3/2 3/1 2/1 b。已知它有解 t x)0 , 3 1 , 2 1 (，如果右端有小扰动 6 10 2 1 b，试估计由此引起的解的相对 误差。 五， （10 分）求出一个次数不高于 4 次的 hermite 插值多项式)(xp，使它满足 0)0( )0( pp，1) 1 ( ) 1 ( pp，1)2(p，并写出余项表达式。 六， （6 分）用 romberg 方法计算积分 1 0 dxe x ，计算到 0 . 3 t。 七， （6 分）已知函数表 i x 0 1 2 3 4 c o p y r ig h t c u n t ucw s 哈尔滨工业大学 研究生“数值分析”历年试题 - 5 - )( i xf 1 2 1 5 1 10 1 17 1 求有理插值函数)(xr。 八， （6 分）设 （1） 21 10 12 )( 23 23 x x cxbxx xx xf 是以 0，1，2 为节点的三次样条函 数，求出cb,。 （2） 0 0 1 12 )( 3 x x bxx xae xf x 是以 0 节点的三次样条函数，求出ba,。 九，（10 分） 求出二点 gauss 求积公式)()()( 1100 1 1 xfhxfhdxxf 中系数 0 h， 1 h及节点 0 x， 1 x。并用此公式计算积分 2 0 cos xdxi（结果保留 5 位小数） 。 十， （6 分）用逆 broyden 秩 1 方法求方程组0 43 9 )( 3 22 2 1 3 21 2 1 xxx xxx xf的解，取 初值 tt xxx)6 . 1 , 2 . 1 (),( 21 0 ，来计算迭代二次的值。 十一， （6 分）使用乘幂法求矩阵 201 0135 0144 a的最大特征值和对应的特征向 量（只需计算前两次迭代的值） 十二，（20 分） 考虑线性多步方法)()3( 2 1 )( 1211 nnnnnn yyhyyyy （1） 证明存在的一个值使方法是 4 阶的； （2） 写出局部截断误差的首项； （3） 当使用用 4 阶方法时，需要几个初始启动值（表头） ，通常情况用什么方 法计算表头；举出一个实例并写出公式表达式； （4） 讨论收敛性，如方法是收敛的，其阶数应不超过多少？ （5） 讨论绝对稳定性。 （其中在局部截断误差中) 1()(1 ! 1 1 1 0 i p i q p i i q q bqai q c , 3 , 2q 三次方程0 23 cbtatt根 1 t， 2 t， 3 t满足关系 cttt btttttt attt 321 133221 321 ） 2004 年研究生“数值分析”试题 一， （10 分） 设是0)(xf的m重根) 1(m， 证明 newton 迭代仅为线性收敛； c o p y r ig h t c u n t ucw s 哈尔滨工业大学 研究生“数值分析”历年试题 - 6 - 并写出一个平方收敛的 newton 迭代公式。 二， （8 分）用 doolittle 分解法解方程组 2 3 0 031 322 121 3 2 1 x x x 三， （10 分）用迭代公式)( )()()1( baxxx kkk 求解bax ，若 21 23 a， 问（1）取何值的范围迭代收敛？（2）取何值时迭代收敛最快？ 四 ， （ 10 分 ） 设xxfs in)( ， 求 2 , 0 上 的 一 次 最 佳 平 方 逼 近 多 项 式 xaaxp * 1 * 0 * 1 )( 五， （6 分）用共轭梯度法方法（cg 方法）解方程组 1 3 51 12 2 1 x x 六， （10 分）求下面两个方程组的解，并利用矩阵的条件数估计 x x 。 4 3 240179 319240 2 1 x x ， bax 4 3 2405 .179 5 .319240 2 1 x x ， bxaa)( 七， （8 分）设,)( 2 bacxf n ，)(xy是以 n xxx, 10 为节点的 n 次插值多项式， 试推导：在一节点 k x处有 )( )!1( )( )( )( 1 )1( kn n kk xp n f xyxf ，),(ba 其中)()()( 01nn xxxxxp 八， （8 分）推导出复化梯形求积公式及误差公式。 九， （10 分）确定求积公式) 3 3 () 3 3 ()( 21 1 1 fafadxxf 中系数 21,a a使公式 有尽可能高的代数精度；代数精度是多少？并用此公式计算积分 2 0 cos xdxi （结果保留 5 位小数） 。 c o p y r ig h t c u n t ucw s 哈尔滨工业大学 研究生“数值分析”历年试题 - 7 - 十， （6 分）使用乘幂法求矩阵 723 213 3312 a的最大特征值和对应的特征 向量（只需计算前两次迭代的值）取初值 t v) 1 , 1 , 1 ( 0 十一， （14 分）对二步法)( 1111 nnnnn dycybyhayy （1） 确定dcba,，使方法是 4 阶的； （2） 讨论 4 阶方法的收敛性和稳定性； （3） 其中：在线性多步法的局部截断误差中 )()(1 ! 1 1 1 0 p i i q p i i q q biqai q c 2q 2008 年研究生“数值分析”试题 一 （一 （10 分）分）设给实数0a ，初值 0 0 x ： 试建立求 1 a 的 newton 迭代公式，要求在迭代函数中不含除法运算； 证明给定初值 0 x，迭代收敛的充分必要条件为 0 2 0 x a ； 该迭代的收敛速度是多少？ 取 0 0.1x ，计算 1 5 的近似值，要求计算迭代三次的值（结果保留 5 位小 数） 。 二 （二 （10 分）分） 试确定参数, ,a b c， 使得下面分段多项式函数( )s x是三次样条函数。 3 32 ,01 ( ) 1 (1)(1)(1), 13 2 xx s x xa xb xcx ( )s x是否是自然样条函数？ 三 （三 （10 分）分）利用 dollite 三角分解方法求解方程组 1 2 3 1210 2233 1302 x x x 四 （四 （10 分）分）给定 3 阶线性方程组 1 2 3 1225 1111 2213 x x x 讨论其 jacobi 迭代格式的收敛性 c o p y r ig h t c u n t ucw s 哈尔滨工业大学 研究生“数值分析”历年试题 - 8 - 五 （五 （10 分）分）推导出中矩形求积公式 ( )() () 2 b a ab f x dxba f ，并求出其截断误差。 六 （六 （10 分分）已知一组试验数据： 用最小二乘法确定拟合公式 bx yae中的参数, a b。 七 （七 （10 分）分）根据已知函数表： 建立不超过三次的 newton 插值项式。 八 （八 （10 分）分）试确定常数 01 ,aa,使求积公式 1 01 1 11 ( )()() 33 f x dxa fa f 有尽可能高的代数精度,并指出代数精度是多少,该公式是否是 gauss 型?并用 此 公式计算积分 3 1 1 idx x （结果保留 5 位小数） 。 九 （九 （10 分）分）利用经典四阶