（应用数学专业论文）基于可能性均值和方差的金融风险报酬研究.pdf

广州大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指 导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引 用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰 写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律 后果由本人承担。 学位论文作者签名：两夔桶日期：砷年月8 日 广州大学学位论文版权使用授权书 本人授权广州大学有权保留并向国家有关部门或机构送 交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权 广州大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇 编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 日日 g 月月 、。，b 年年 ，1 m 才 期期日日 摘要 摘要 最早由m a r k o w i t z 提出的基于均值方差选择投资组合的建模方法中结合 了概率论和最优化方法。关于均值方差方法下的投资组合问题的前期研究包括 m e r t o n ，p a n g 和p e r o l d 等学者的大量工作。均值方差模型的关键是使用投资 组合的期望收益作为投资收益和使用投资组合的期望收益的方差作为投资的风 险。而使用m a r k o w i t z 均值方差模型的基本假设是未来资本市场的信息可以由 过去的数据准确地反映出来，也就是说，未来资产的均值和协方差是与过去相类 似的。但实际上，在不断变化的资本市场中，此假设很难成立。 对理性预期和有效市场假设的质疑而导致的行为金融学是近年来金融学发 展倍受关注的一个方向模糊集理论是处理非随机不确定性的有力工具，它在描 述人的知识和行为的不确定性方面具有优势，是行为金融学研究潜在的有效手 段。基于模糊集理论的投资组合选择也是最近几年才开始的一个新的研究方向。 本文通过介绍模糊数学的基本理论以及投资组合理论，分析投资组合可能性 分布表达，根据可能性均值以及方差，运用传统的方法针对模糊数提出一个新的 加权可能性方差，此方差有别于由r o b e r tf u l l e r 和p e t e rm a j l e n d e r 提出的以 算术平均值与其水平集端点的偏差的平方期望值定义的可能性方差。m a r k o w i t z 的均值方差投资组合方法中虽结合了概率进行投资建模，但在随机性与模糊性 混杂的不确定环境中仅用概率方法来处理问题略显不足。因此，我们将加权可能 性均值和方差应用于二次效用函数的投资组合选择和可能性效用投资组合中。最 后通过实例分析，说明在有些情况下不需要把所有的资金都投资到风险资产上也 能得到期望收益，并且在期望相同的收益率的条件下，新的加权可能性均值一方 差相应的投入比例少于一般可能性方差对应的投入比例。 关键词：投资组合；模糊数；可能性均值和方差；二次效用函数 1 a b s t r a c t t h em e a n v a r i a n c em e t h o d o l o g yf o rp o r t f o li os e l e c t i o np r o b l e m , p r o p o s e d o r i g i n a l l yb ym a r k o w i t z ，c o m b i n e sp r o b a b i l i t ya n do p t i m i z a t i o n t e c h n i q u e s i nt h em e a n v a r i a n c ep o r t f o l i os e l e c t i o np r o b l e m , p r e v i o u s r e s e a r c hi n c l u d e st h ec o n t r i b u t i o n sf r o mm e r t o n ，p a n ga n dp e r o l d e t c ， t h ek e yp r i n c i p l eo ft h em e a n - v a r i a n c em o d e li st ou s et h ee x p e c t e dr e t u r n o fap o r t f o l i oa st h ei n v e s t m e n tr e t u r na n dt ou s et h ev a r i a n c eo ft h e e x p e c t e dr e t u r n so ft h ep o r t f o l i oa st h ei n v e s t m e n tr i s k t h eb a s i c a s s u m p t i o nf o ru s i n gm a r k o w i t z sm e a n v a r i a n c em o d e li st h a tt h e s i t u a t i o no fa s s e tm a r k e t si nf u t u r ec a nb ec o r r e c t l yr e f l e c t e db yt h e p a s ta s s e td a t a , t h a ti st h em e 龇a n dc o v a r i a n c eo fa s s e t si nf u t u r ei s s i m i l a rt ot h ep a s to n e i nf a c t ，i ti sd i f f i c u l tt oe n s u r et h i sk i n do f a s s u m p t i o ni nt h er e a le v e r - c 自i a n g i n ga s s e tm a r k e t s r e c e n t l y ，b e h a v i o r a lf i n a n c ec a u s e db yt h es u s p i c i o no fr a t i o n a l e x p e c t a t i o n sa n de f f i c i e n tm a r k e th y p o t h e s i sa t t r a c t sm o r ea t t e n t i o ni n t h ef i n a n c ed e v e l o p m e n t f u z z yt h e o r y ，a ne f f i c i e n tt o o lt od e a lw i t ht h e n o n r a n d o mu n c e r t a i n t y ，i ss u p e r i o rt od e s c r i b et h eu n c e r t a i n t yo ft h e p e o p l e sk n o w l e d g ea n db e h a v i o ra n di sa ne f f e c t i v ea n dp o t e n t i a lm e t h o d i nb e h a v i o r a lf i n a n c es t u d y a n db a s i n go nf u z z yt h e o r yt os e l e c t p o r t f o l i oi san e wr e s e a r c ha r e al a t e l y a f t e ri n t r o d u c i n gt h eb a s i cc o n c e p t sa n dt h e o r e m so ff u z z yt h e o r ya n d m o d e r np o r t f o l i ot h e o r y ，t h i st h e s i sp r e s e n t st h ep o s s i b i l i s t i c d i s t r i b u t i o ni np o r t f o l i o b a s e do nt h ep o s s i b i l i s t i cm e a na n dv a r i a n c e ， i tp r o p o s e san o v e lw e i g h t e dp o s s i b i l i s t i cv a r i a n c eo ff u z z yn u m b e r sb y u s i n gc o n v e n t i o n a la p p r o a c h ，w h i c h r o b e r tf u l l e ra n dp e t e rm a j l e n d e r ， i sd i f f e r e n tf r o mt h a tp r o p o s e db y t h ee x p e c t e dv a l u eo ft h es q u a r e d d e v i a t i o n sb e t w e e nt h ea r i t h m e t i cm e a na n dt h ee n d p o i n to fi t sl e v e ls e t s 2 a l t h o u g hm a r k o w i t zp r o p o s e dt h em e a n - v a r i a n c em e t h o d o l o g yf o rp o r t f o l i o s e l e c t i o nb yp r o b a b i l i t ym e t h o da n de s t a b l i s h e dt h ei n v e s t m e n tm o d e l ，i t f a l l ss h o r to fd e a l i n gp r o b i e m so n l yv i ap r o b a b i l i t ya p p r o a c hu n d e rt h i s u n c e r t a i n t ye n v i r o n m e n ti n t e r m i x e db yr a n d o m n e s sa n df u z z i n e s s t h e r e f o r e ，w ea p p l yt h ew e i g h t e dp o s s i b i l i s t i cm e a na n dv a r i a n c et o p o r t f o l i os e l e c t i o nw i t ht h eq u a d r a t i cu t i l i t yf u n c t i o na n dp o s s i b i l i s t i c e f f i c i e n tp o r t f o l i om o d e l a tl a s t 。s o m ee x a m p l e sa r ep r e s e n t e df o r e x p l a i n i n gt h a tt h ei n v e s t o rw h od o e sn o tn e e dt od e v o t ea l lh i sc a p i t a l t or i s k ya s s e t si sa l s oa b l et og e tt h ee x p e c t e dr e t u r nb ye m p i r i c a l a n a l y s i s ，a n dt h ei n v e s t m e n tp r o p o r t i o ni sl e s st h a nt h a tw i t hr e s p e c t t og e n e r a lp o s s i b i l i s t i cm e a na n dv a r i a n c eu n d e rt h ec o n d i t i o no ft h es a m e e x p e c t e dr e t u r n k e y w o r d s p o r t f o l i o ，f u z z yn u m b e r ，p o s s i b i l i s t i cm e a na n dv a r i a n c e ，q u a d r a t i c u t i l i t yf u n c t i o n 3 第一章绪论 第一章绪论 1 1 研究背景及研究意义 模糊集合论是由美国控制论专家扎德( l a z a d e h ) 在1 9 6 5 年创立的，它 是用量化方法研究和处理模糊概念、模糊知觉等大量具有模糊非确定性事物的一 门边缘学科，它与数学科学相结合现已成为模糊数学这一个重要数学分支。模糊 数学方法在实际中的成功应用几乎涉及到国民经济的各个领域及部f t - 农业、林 业、气象、环境、地质勘探、医学、军事、经济管理等多方面，特别在经济、金 融领域中广泛存在的模糊不确定性使得模糊数学在其中具有广泛潜在的应用前 景。 所谓模糊现象，是指客观事物之间难以用分明的界限加以区分的状态，它产 生于人们对客观事物的识别和分类之对，并反映在概念之中。外延分明的概念， 称为分明概念，它反映分明现象。外延不分明的概念，称为模糊概念，它反映模 糊现象。模糊现象是普遍存在的。在人类一般语言以及科学技术语言中，都大量 地存在着模糊概念。例如，高与短、美与丑、清洁与污染等等这样一些对立的概 念之间，都没有绝对分明的界限。一般说来，分明概念是扬弃了概念的模糊性而 抽象出来的，是把思维绝对化而达到的概念的精确和严格。然而模糊集合不是简 单地扬弃概念的模糊性，而是尽量如实地反映人们使用模糊概念时的本来含意。 在模糊集合中，给定范围内元素对它的隶属关系不一定只有”是”或”否”两种情 况，而是用介于0 和1 之间的实数来表示隶属程度，还存在中间过渡状态。这是 模糊数学与普通数学在方法论上的根本区别。 经济学作为- - n 社会科学，其中有许多含混性、随机性、不精确性等因素并 存的不确定的局面，影响因素繁多，现有的模型都不精确，概念还存在边界不清 楚，缺少纯粹的概念等问题。这些特征可以大致归结为经济中的模糊性。经济理 论的模糊性值得探讨的原因还在于相对其他软科学理论经济理论对国家的经济 政策起着更重要的指导作用，且中国几十年来都是以经济建设为中心，经济基础 是社会的基础。 而最早由m a r k o w i t z 提出的用均值一方差方法来选择投资组合结合了概率 和最优方法在不确定环境下为行为投资建模。在均值一方差方法下的投资组合问 8 第一章绪论 题中，其前期成果包括m e r t o n “1 指出能够确切得到有效组合前沿并检验其特征的 方法，p a n g 嘲提出用参数主转轴方法来解决类单一投资组合问题，和p e r o l d 提出大规模均值方差资产组合优化算法等研究工作。均值一方差模型的关键是使 用投资组合的期望收益作为投资收益和使用投资组合的期望收益的方差作为投 资的风险。而使用r a r k o w i t z 均值一方差模型的基本假设是未来资本市场的信息 可以由过去的数据准确地反映出来，也就是说，未来资产的均值和协方差是与过 去相类似的但实际上，在不断变化的资本市场中，此假设很难成立。 同时由m a r k o w i t z 提出的均值一方差模型也存在许多局限性叫，第一，刻画 这一模型本身藏必须估计收益率的概率分布事实上，在许多情形下，更容易去 估计证券收益率的可能性分布而不是其相应的概率分布。第二，m a r k o w i t z 模型 的基本假设是未来证券市场的发展能够用该市场过去的数据反映，也就是说未来 证券上很难保证这一假设总是成立的。第三，在一般约束条件下，如相关资产的 非负约束，很难获得有效证券组合的精确解。第四，在数据分析中，专家或投资 者的信息是非常重要的，应该通过权函数来反映专家或投资者的信息。无论如何， 模糊数对于这些不确定性信息的刻画是一个强有力的工具。 对理性预期和有效市场假设的质疑而导致的行为金融学是近年来金融学发 展倍受关注的一个方向模糊集理论是处理非随机不确定性的有力工具，它在描 述入的知识和行为的不确定性方面具有优势，是行为金融学研究潜在的有效手 段。基于模糊集理论的投资组合选择也是最近几年才开始的一个新的研究方向。 本文通过介绍模糊数学的基本理论和投资组合理论及其可能性分布表达，利 用上下限可能性均值概念来定义与扩张原理和概率论中的期望和方差一致的几 个概念，包括区间值可能性均值，可能性均值和方差。同时，介绍了对其进一步 推广的加权可能性均值和方差。根据传统的方法针对模糊数提出一个新的加权可 能性方差，即以可能性期望取代算术平均值来计算加权可能性方差。由于受到物 理性限制和经济组织自身的影响，容易引起回报率呈现可能性分布，但可能性投 资组合模型是以获得每一回报率的可能性大小为出发点的。因此我们可以将加权 可能性均值和方差应用到二次效用函数投资组合和可能性效用投资组合中，这不 仅是推广可能性均值和方差，而且是选择投资组合的个新方法。 第一章绪论 1 2 论文结构 本文由五章组成。 第一章绪论介绍本课题的背景和研究意义。 第二章预备知识是对模糊数学基础知识的简要介绍。 第三章介绍现代投资学中的投资组合理论及其在可能性中的表达，在分析模 糊数均值和方差的构成的基础上，建立了新的加权可能性方差。 第四章将新的加权可能性方差应用在二次效用函数和可能性效用中选择投 资组合 第五章对文章的内容特点作总结 第二章预备知识 第二章预备知识 2 1 模糊集 2 1 1 隶属函数( m e m b e r s h i pf u n c t i o n ) 设存在一个讨论的范围，称之为论域【，它是一个点( 对象) 的空间，用x 表示u 的一个普通元素，则u - x a 是u 的一个子集，是一个描述从c ，到 o ，i ) 的特征函数，即： ( 砷j 1 当x 4 l o 当x 嚆爿 可见，以上的特征函数仅表示x 是否属于a 的绝对化的二值逻辑，如果a 可以通 过一个隶属( 特征) 函数( 力来刻画，o ) 使得u 内的每一个点与区间 o ，1 】 内的唯一确定的一个实数相对应，我们就称爿是矽上的一个模糊子集。用o 哆在 点x 的值来表示x 属于4 的隶属( 程) 度。模糊集a 可以表示为映射a ：z 一【0 l 】 显然，u a ( x ) 的值越是接近于1 ，x 属= y - a 的程度就越大；而当爿是通常意义下的 集合时，它的隶属函数仅仅能取。和1 两个值。 所以，模糊子集a 可以由对的集合来表示： a u ，o ) ) ，x e u 当u 是一个有限集“，) 时，在u 上的模糊集爿可以表示为： 彳。叱“) 伪+ + 瓴) 7 。善“) ，而 这里“+ ”不代表普通的加号，分数线也不代表普通的除号，只是把元和它 的隶属度隔开而已。 当u 是无限时，在u 上的模糊集a 可以表示为： a - j = r ( x ) x 当模糊集a 和8 相等，当且仅当0 ) - o ) ，v x e u ，表示为a = 口 1 i 第二章预备知识 2 1 2 支集( s u p p o r t ) 一个模糊集4 的支集是u 的普通子集，定义为： s u p pa2 缸e u ，“_ ( 力 0 可见，s u p pa 是一个明确集au 中的元素( 力= t 2 是a 的交点。a 的高度 谚- s u p 。u a ( 力，s u p 表示最小上界显然，当且仅当玉( 厂，o ) = 1 这个定义表示了姆= 1 空集妒被定义为溉u ，( 力= 0 2 1 3y 一截集( r - c u t s ) 在模糊集中，它的元素是和隶属度 ) 联系在一起的。当在隶属度o ) = l 时，认为x 是集合a 的元素，即x e a 例如，按照某种需要，降低标准，认为隶 属度为0 8 以上的就算是“属于”。 对于给定的，( o r 1 ) ，定义嘲 a 7 一缸e u ，( 力2 疗 为a 的r 一截集。则当，( 力1 时，称x 显然，当x x 寸a 的隶属度达到 或超过r 时，就是的元素；，值越小，a r 包含的元素越多，y 值越大，a 7 包 含的元素越少。 2 1 4 实数集及上的凸模糊集 定义1 设r 为实数集，r 上的全体模糊集构成的类记为，a e f ( r ) 叫做凸 模糊集，如果对任意实数x t y z ，都有 ( ) ，) m i n 0 o ) 以0 ) ) 性质凸模糊集的截集必是区间；截集均为区间的模糊集必为凸模糊集。( 注意这 里所说的区间可以是无限的，如( 一。，胡，b ，+ * ) ，( 一m ，+ * ) 等。) 而梯形分布： 第二章预备知识 0 ) - 0 ， 当工5 a ， _ x 一- a ，当4 工b ， d 一口 1 ， 当b 工c ， _ d - 一x 。当c x ) ， 设 ，- “，) 是- v , x 以上的一个变量，表示为r ( v ) 的模糊约束，是一 个模糊关系r ，其作用就像加在，元素上的一个弹性约束，这一约束能赋予变量 ， 由于这个原因，变量应看成三元组似u ，r ( 1 ，) ) ； ，是这变量的名字。 2 6 测度 2 6 1 概率测度 p 是概率测度，当且仅当： 第二章预备知识 ( 2 ) 若v f ，4 p 且一，4 n a , - 0 ，则 他4 ) 。善舷) 其中，矽是样本空闯上的全体事件组成的集合，a ，4 ，( i e n ) 均是同一 样本空间上的事件 2 6 2 可能性测度 可能性测度兀是从舻) 到1 0 , 1 的函数，满足 ( 1 ) i i ( o ) 一0 ，兀) - i ； ( 2 ) 对u 的任意子集族 4 ，有 n 似4 ) - s u p , n “) ， 其中矽缈) 表示u 的幂集。 可能性测度可以从可能性分布，即从c 厂到【o 1 】满足s 叩妇石0 ) - 1 ( 正规化 条件) 的函数石出发来建立，更准确地说，我们有 v ，t 矽) ，兀) 一s u p # ( x ) d 根据已知的兀寻找相应的可能性分布，可以通过指定石0 ) - n ( 似) 而得 到，至少对于可数论域【，是可行的。 附注r i i ( 由- 1 一岛，( 当且仅当4 一d 时，n 。( a ) - i ) 称为极大可能性测度。 分明可能性测度定义如下： j k u ，c i - i ( a ) j 1 _ n k 一。， 1 0 ，其他 注意c n ) - 1 一c ( _ ) ，其中c 是确定性测度。 第二章预备知识 2 7 可能性与概率 这一节专门研究可能性与概率之间的比较。对每一种测度都能计算出类似的 量。对于可能性，存在一种贝叶斯推断的模拟。可能性分布与概率分布通过相容 性原理松散地联系着川。 2 7 1 可能性与模糊集 设a 是u 的非模糊集，y 是【，上的变量。我们说v 在4 中取其值是指a 中的 任一元素可能是y 的一个值，而不在a 中的任一元素不可能是v 的值。可以把语 句“y 在a 中取其值”视为引出【，上的一个与每一元素x 有关的可能性分布万， 而z 是 ，的一个值的可能性为 r i i ( v - x ) 石p 炬4 io ，其他 其次，假设a 是一个模糊集，其作用就像加在v 的可能值上的一个模糊约束。 我们上面解释的一个推广是彳引出一个在v 的值上等于心的可能性分布： r i ( p - 工) - 玎( 】o 心o ) 由于可以把可能性分布的表达式看作为一个模糊集，故可能性分布可用模颧 集的组合法则来处理，更明确地说，可用模糊约束的组合法则来处理。 附注注意，尽管模糊集和可能性分布有共同的数学表达式，但根本的概念是不 同的。模糊集a 可以看作为我们赋予某一变量的模糊值，而视为可能性约束的4 是可能赋予v 的非模糊值的模糊集。 2 7 2 非模糊事件的可能性 设石是由u 中的模糊集f 导出的可能性分布，又设a 是矿中的非模糊集；工属 于彳的可能性是n ) ，其中兀是由石导出的可能性测度。而且营野嘲在1 9 7 7 年 指出，n ( 彳) 般是- - 个c h o q u e t ( n f1 9 5 3 ) 强先验容度( s t r o n g p r e c a p a c i t y ) 。 1 8 第二章预备知识 类似地。若p 是u 上的概率分布，则x 属于a 的概率是 叫茹淼赢 注意在n ( 砷- s u p 脚- s u p z r ( x ) 中，躏着勒贝格积分嘲的作用。事实上，它 是营野意义o “下的模糊积分： i i ( a ) 。正比i - 0 而且，勘，口p 够) ，i i ( a u 功一m 瓠皿似) ，n p ”，正如扎德指出的，“直 观上，可能性同我们对可实行性的程度或技能的熟练程度的感觉有关；而概率是 与似然性，信念、频率或比例有关”。 第三章投资组合中的可能性以及模糊数的均值和方差 第三章投资组合中的可能性均值和方差 现代资产组合理论，也有人将其称为现代证券投资组合理论、证券组合理论 或投资分散理论。现代资产组合理论的提出主要是针对化解投资风险的可能性。 该理论认为，有些风险与其他证券无关，分散投资对象可以减少个别风险，由此 个别企业的信息就显得不太重要。个别风险属于市场风险，而市场风险一般有两 种：个别风险和系统风险，前者是指围绕着个别企业的风险，是对单个企业投资 回报的不确定性；后者指整个经济所生的风险无法由分散投资来减轻。虽然分散 投资可以降低个别风险，但是，首先，有些风险是与其他或所有证券的风险具有 相关性，在风险以相似方式影响市场上的所有证券时，所有证券都会做出类似的 反应，因此投资证券组合并不能规避整个系统的风险。其次，即使分散投资也未 必是投资在数家不同企业的同一类资产上，而可能分散投资在股票、债券、房地 产等多方面。再次，未必每位投资者都会采取分散投资的方式。因此，在实践中 风险分散并非总是完全有效。 由马柯维茨( m a r k o w i t z ) 在1 9 5 2 年提出的投资组合理论通常被认为是现代 金融学的开端。马柯维茨假设投资者均为风险厌恶者，即理性投资者的目标在于： 在风险给定的条件下，追求预期收益的最大化；而在收益给定的条件下，追求风 险的最小化。若用口代表投资组合的预期收益率，盯代表预期收益率的标准差( 即 投资组合的风险) ，马柯维茨断言，投资者的目标是追求( _ e ，) 空间中效用的最 大化。给出了如何在众多的证券中建立起一个具有较高收益和较低风险的最佳证 券组合。 3 1 投资组合的收益与风险 所谓证券投资组合( 证券组合或投资组合) 是指将全部投入资金按某种比例 分散投资于两种或两种以上证券而构成的一个组合。假设证券组合x 是由某n 种不 同证券构成，其中第i 种证券上投资的资金比例为，f - 1 , ，刀，简称第f 种证 券的投资权重。则证券组合可记为如下的形式“： 第三章投资组合中的可能性以及模糊数的均值和方差 工。哳一，) i 善而q 在证券组合z 中，权重五 0 时表示买入证券f ：而o 时表示卖出证券f ，将其 所得资金投资予组合内其他证券：当五，l 时，表示投资在证券f 上的资金有卖空 其他证券收入的资金 设证券f 的收益率为，其概率分布为 p j - p 驰- r j 【，- 1 , 2 , ，i 一1 z ，露) 则证券f 的预新收益率( 期望收益率) 为m 7 e g ) 。荔吩乃，( f _ 1 ，玑厅) 证券珀g 收益率的方差为 砰- 哳瓴) 地一后也) r 。荟吒砘妒乃 标准差为q ，而证券f 和证券七( 收益率) 的协方差为 。e 酩一占“) ) 以一e 瓴) ) 】薹【( 一f “一e 以”k ， 对于证券组合x ，其收益率为h “善五 z 的预期收益率为e “) 。荟堆“) 工的方差“为以皇盯2 以) - e “e 瓴) 】2 _ 研善而一荟而e g ) 1 2 i 研善砒一e 以) ) 】2 - e 【荟荟墨黾瓴一e g ) 地一“) ) j 。荟# 砰+ 善。羔；而以吼皇置7 昭 2 i 第三章投资组合中的可能性以及模糊数的均值和方差 其中， x 。旺 ，y 。奴k ，吼。刃，气2 注意到与的相关系数定义为几焉妄 所以又有 。善# 砰+ 善。毛聃氏q q 我们来看一下等比组合的情况，此时薯- 二， e 以) 。去荟e g ) 一塞扣+ 砉。羔詈 - 昙砰+ 譬- 丢研一，+ 其中，司，分别表示n 个证券方差和它们的协方差的平均值显然 以一吒o 一时 如果，仍用方差表示风险，则上式表明，如果按等比例做证券组合的风险主 要取决于证券之间的协方差，即证券收益率之问的关系。 对于非等比例组合，上述结论仍然成立。 在不允许卖空时，注意到风- 1 ，有 - z 极- 善n 蓍n 碱- 砉薹坼甩q 吼塞薹碱q 吼 - ( x p l + + 毛吒) 2 m 舔砰， 即证券组合的风险，总是小于等于单一证券的最大风险，这是一个非常重要的结 论，是现代证券投资理论的基础。 同时，还可以通过改变毛, - - - , x 的比例，使以取最小值，这同样是十分重要 的结论，是现代证券投资理论的核心。 第三章投资组合中的可能性以及模糊敦的均值和方差 3 2 投资组合中可能性分布的表达 证券回报率由于受到一系列不确定性因素的强烈影响，人们往往不能精确预 测其收益，致使资产市场始终充满风险和机会。因此，无论是个人还是投资机构 在进行投资时，总是以投资资金的流动性和安全性为前提，设法将资金分散投资 于若干收益和风险不尽相同的资产上，以“投资组合”的方式降低风险，提高收 益 m a r k o w i t z n 3 】蝴首先从规范经济的角度揭示了如何通过建立投资组合有效前 沿选择最优组合，通过分散投资来降低风险。于是，从那时起现代证券投资组合 理论就一直是世界各国经济学家倾力关注的一个重要的理论研究前沿，其中涉及 的很多模型是基于概率论的随机性投资组合模型。但这些模型均存在一些缺陷， 影响了其在解决投资组合问题上的应用。问题主要在于：随机模型需要大量的样 本拟合整个概率分布，而大量的样本又会引起其方差计算的困难；仅用已有的回 报率表现，不考虑其他相关因素的影响，不足以全面预测将来的证券趋势。 z a d e h “5 1 提出了模糊集合，目前其理论与方法的研究已取得了丰硕的成果。可能 性规划是模糊优化中含有模糊系数的一种数学规划，其目标函数、约束矩阵或右 端向量中含有服从可能性分布的模糊系数。t a n a k a 等町基于 a r k o w i t z 的投资组 合思想，结合专家知识，提出了可能性投资组合模型，即给定组合回报率的中心 值，使代表风险的回报率幅宽最小化，得到分散投资的结果，提高了可能性模型 在投资组合上的应用。l e i b o w i t z 等n 7 1 提出了不足约束下的投资组合最优化思想， 这是一种管理下界风险限制置信度的方法。i n u i g u c h i 等“”从不同角度揭示了这 一思想，基于可能性理论提出了最小幅宽模型、分位数模型和模态法模型等投资 组合模型。虽然这三种模型将可能性规划的思想和投资组合很好地结合起来，但 均没有得到分散投资的结果。其原因是模型同样没有将相关因素考虑进去，而且 忽视了回报率之间的关系，所建模型均为线性规划，结果只能在一、两种证券 上进行投资，没有达到分散风险的目的，影响了其在解决投资组合问题中的应用。 客观上，物理性的限制和主观上知识性的限制都有可能引起可能性分布。可 能性投资组合模型以获得每一回报率的可能性大小为出发点，认为由于受到物理 性限制，如宏观方面的经济增长、经济周期、物价变动、利率与汇率及货币政策 等因素的影响，微观方面的行业和经济组织自身的影响，引起了回报率呈现可能 第三章投资组合中的可能性以及模糊数的均值和方差 性分布。可能性分布一般由凸模糊集表示，如三角模糊数、二次函数的模糊数及 指数函数的模糊数等。 3 3 模糊数的可能性均值 = p r i 一( f ) 土”；如l j l l r - 0 ，- d t r l a ( t ) o ( a 的支集的闭包) 一般 来说，如果彳是一个模糊数，那么对于所有r 【o ，1 1 ，是r 的紧凸子集。 令彳和曰f ( 跨是满足= k ( 办口2 ( 朋和b 7 = 吼o ) 6 2 ( r ) 1 的模糊数。在 彳s 口。j ：r 瓴( y ) + a 2 ( r ) ) d r j ：y ( 6 l ( r ) + 屯。聊， ( 7 ) 五。，_ j ：r 瓴+ 如。膨r2 正铲 ， 由上式可以看出，m 是所有r 水平集的算术均值的水平加权平均，也就是说， 吼o ) 8 1a ：o ) 的算术平均的权重刚好是， 然后，我们可以把m 似) 洲写成 蛔州小4 2 ( 眦= 坐丝专坐丝 2 可字+ 半h 譬气r a 2 ( 矿r ) a r ) - 现在我们对于j i f ) 等式的右边作详细分析。由m 。嗍表示第一个量，可 第三章投资组合中的可能性以及模糊教的均值和方差 肌面删，2 譬 ：上竺! 兰! ! 堡鲨! 竺兰! = ：上竺! 兰竺! ! 塑：竺! ! ! ：! ! f j o , l a a , ( r ) l d rj ：e o , t a 4 。( y ) 】h r 其中p o s 表示可能性，也就是 p o s a q o ) 1 2 li ( ( 一* o ) 】) 2s u p 彳以) = ， r 因为1 是连续的，所有眠a ) 是y 一截集最小的下可能性加权平均，这也是 为什么我们称它为4 的下可能性均值的原因。同理，a 的上可能性均值膨) 洲 为 咖脚2 譬 ：上竺竺三竺! 殳鲨! 兰：上p o s a a 2 ( r ) l x m a x a r d r j ：胁口乏如o ) f yj ：鼢p a d r ) d r 。 其中 p o s a 之如( r ) 】一ii ( 陋2 ( r ) ，) ) 2s u p4 0 ) = ， - 柚，“) 由m ( a ) = i m 似) m ) 1 可以看出m 似) 是一个以彳的上、下可能性均值为界的 闭区间。 定义l 渊区间材o ) 是可能性均值4 的区间。 如果4 是确定的区问p ，b 】的特征函数，那么 f 如，6 ，o ，o ) 一k ，b 】，也就是说， 区间值是它本身的可能性均值。同时，根据扩张原理，m 在f 上是一个线性函 数。 通过( 8 ) 介绍明确可能性均值作为它的上、下可能性均值的算术平均， 也就是 五似) = 型掣 麓= ；多投资组合中的可能性以及楱期数的均值耜方蓑 饲1 令a - ( 4 ，玛) 是一个中心为4 ，左宽口 o ，右宽) 0 的三角模糊数，那么 a 的y 一截集为 a - l a - o - r ) a ，a + ( 1 一r ) 卢】 v r 【0 ，1 】， 也就是说。 m o ) - 2 f o r a 一0 一r ) a d r - a - 詈， ) y 【4 + ( 1 一r ) p l a r - 口+ 譬 所以 肘a ) 一【4 一詈 争 霸- 工，降一( 1 一y 妞+ 4 + ( 1 一y 妒p y 一4 + 鲤6 特别地，当月- ( a ，口) 是一个对称三角模糊数时，我们有肘一) - a 如果彳是一个 有顶点豳一，吼1 的对称模糊数，那么等式 o ) g 卑 一定成立。 现在介绍由d d u b o i s 和h p r a d e 幽1 提出的区问值期望 e - 阻o ) e 即) 】和严格递减型函数的l r - 模糊数的区间值可能性均值 膨a ) = 眦o ) 膨a ) 1 的关系。 一个从型模糊数4 f 可以由以下隶属度函数来描述嘲： 4 m ) 1 ( 玛当譬_ 一口蟊t ， a 1 ， 当h 【g ，吼】， r 学，当q + q 卅， 0 ， 其他 其中阢，吼】是爿的顶点；吼是下模态值，q + 是上模态值；，只：f o ，l 卜 0 ，1 ，l ( o ) = r ( 0 ) = l 和l ( 1 ) = r ( 1 ) - o 是非增且连续的映射。我们用符号 爿1 旺，吼，a ，声k 表示彳的支集的闭包是【乳一口，矾+ 用 2 6 第三章投资组合中的可能性以及模糊数的均值和方差 如工和胄是严格递减函数，那么可以得到a 的y 一截集。也就是， a 7 - 【n c e r l ( ，) ，q + + 卢r 1 ( r ) 】， o , 1 1 根据文献 2 1 。a e f 的上下可能性均值可以由 e “) 。孽- 一g 冲， 似) 。鼋+ + “r o ) 出 来计算。 注意到a 的支集是有界的，并且上下可能性均值可以写成以下形式： m - 埴r 瓴一a l - ( r ) ) , t r - q 一一y 矿o v m 似) - 须r 钒+ 卢r 4 ( r 脚 ，- 口+ p j ：o o y r 一1 ( r ) e r 由此可以得到以下引理。 引理l 反映了小隶属度的点被认为在定义上下概率性均值要比定义上下可能 性均值更加重要。 有一些特殊的情况，就是当一一( 吼，鼋+ ，o 0 ) 时，可能性均值和概率性均值是 相等的，也就是以下等式一定成立 e ) - m - 阻，吼】 例2 令一- 0 ，a ，户) 是一个中心为4 ，左宽口 o ，右宽芦) o 的三角模糊数，那么 m “) 【口一詈，4 + 争c e 似) 一扣一号，口+ 争 矗泓口+ 竽讹- 半竽 但是，当a 是个对称模糊数时，那么以下等式一定成立。 m ) = e 似) 3 4 可能性的方差 _ f ( r ) 的可能性方差嗍为 第三章投资组合中的可能性以及模糊数的均值和方差 翰忡z 删( 丛学】2 ) 咖 + j ：肋脚如，( 【丛宅笋吨】2 ) d r 2 i ：r ( 【! i 1 2 ：2 。专! l 垃一q c ，】2 + 【! l ! ：羔! ；! i 盟一a z c r ，】2 ) d ， 2 知心( 小嘶卿y a 的方差被定义为算术均值和它的水平集端点的偏差的平方的期望值，也就 是，左端点和它的截集的端点的算术均值的距离的平方的下加权可能性平均，加 上右端点和它的截集的端点的算术均值的距离的平方的上加权可能性平均。 备注l 从概率论的观点来看，当，水平被当作是具有声( 2 ，1 ) 分布( 也就是水 平越高，权重或者是密度越高) 的随机变量时，模糊数a 的可能性均值和方差可 以分别地被看作是概率值为0 5 的4 ( r ) 和4 ：o ) 的随机变量的给定r 下的条件均 值和方差的期望值。这样就产生了一个在e 似) 和陀，问定义的“一致性”。 a 的标准方差如果由 一厕 来定义 例如，如果爿一( 口，口，卢) 是一个三角模糊数，那么 场r ) 一缸r ( 口+ 声( 1 一 ，) 一( 口一口( 1 一y ) ) ) 2 d r - 鱼盟2 4 ， 特别地，如果爿- 0 ，口) 是一个对称三角模糊数，那么 哳口) - 等， 有一些特殊情况，当a - 瓴o ) 是一个模糊点( 也就是对任意y f o ，l 】， 口。( r ) b a 2 0 ) 一口一常数) ，就有砌，u ) - 0 如果彳是确定区间【口，纠的特征函数，那么 第三章投资组合中的可能性以及模糊数的均值和方差 砌删一瓤肛4 ) 2 加( 争2 ， 也就是， 吒- t b - a ，矗口) 一下a + b 在概率论里，有一个相对应的结果是：如果随机变量的两个可能结果有相等 的概率，那么期望值就是它们的算术均值，而标准差是它们距离的一半。 现在来说明模糊数的方差是不随位移的变化而改变的咖。令爿f ( r ) ，并 且0 是一个实数。如果a 由0 值而改变，那么我们可以得到一个模糊数，由b 表 示，满足性质：对于所有工r 有占( d 彳0 一日) 那么从关系式 口71 【q ( ，) + 疗，a 2 ( r ) + 口1 ， 可以得到 v a r ( b ) 一瓤y ( ( 口：( 小小“( 小咿d r 一瓤盹( 沪嘶咖r - v a t ) 模糊数a 和b 的协方差可以被定义为 c b l ，似，口) - 瓤r q ：( y ) 一4 l o ) ) ( ( r ) 一岛o ) ) d r 考虑到s u p p ( 力= h 日0 ) a 2 ( 0 ) 】和s u p p ( 磅= 【6 l ( o ) 6 i ( o ) 】，我们发现测量两个模 糊数a 和b 的y 一截集的乘积的大小的协方差，是与在s u p p ( 加和s u p p ( 磅中的全 集的，一截集的乘积十分接近的。 由于 瓴( 0 ) - a ：( 0 ) ) ( o ) 一6 2 ( 0 ) ) ，瓴( r ) - a , ( r ) x b 2 ( r ) 一6 l o 胁0 ， 对于任意的y ( o ，1 ) ，有 继如警幽，c o v ( a 固，o 分别在s u p p 和s u p p ( 功中，对( 连续) 模糊数a 和b 的任意对都成立。 在一些特殊情况中，当a 是常数( u p4 。( r ) 一口：( y ) - 4