（工程力学专业论文）功能梯度材料断裂分析的一种计算模型及其应用.pdf

功能梯度材料断裂分析的一种计算模型及其应用 摘要 功能梯度材料是一种新型的复合材料，其断裂力学分析对材料的优化设计 至关重要，然而功能梯度材料参数可以在空间的某个方向上按任意连续函数变 化，这给断裂力学分析带来很大的数学困难。针对这一点，本文应用前人的一 个计算模型：即将功能梯度材料分成若干个子层，在每个子层中，假设材料参 数沿厚度方向按线性函数变化，在各子层界面上材料参数连续并且等于它( 们) 在该处的实际取值，并通过算例表明该模型十分有效。 同时本文从研究功能梯度材料的路径守恒积分出发，对功能梯度材料断裂 问题的，+ 积分进行推导，在分析其代表的物理意义之后，以其作为表征功能梯 度材料裂纹尖端场强度的参量进行研究。 最后，本文采用有限元法结合文中模型研究了功能梯度材料中裂纹与梯度 方向成一定角度时裂尖场的应力强度因子的变化趋势。 通过研究表明该模型和，积分对于功能梯度材料的断裂力学分析十分有 效，以期为今后这方面的研究提供一定的理论依据和基础。 关键词：功能梯度材料；裂纹尖端场；，+ 积分；应力强度因子；有限元 a c o m p u t a t i o nm o d e la n da p p l i c a t i o no ff r a c t u r ea n a l y s i so f f u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a l s a b s t r a c t f u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a l s ( f g m s ) a r ean e wt y p eo fc o m p o s i t e s f r a c t u r e m e c h a n i c sa n a l y s i so f s u c hm a t e r i a l si se s s e n t i a lt ot h e i ro p t i m u md e s i g n h o w e v e r , t h ep r o p e r t i e so ff g mm a yv a r ya r b i t r a r i l ya l o n gac e r t a i ns p a t i a l d i r e c t i o n w h i c hm a k e st h ed i r e c ta n a l y s i sv e r yd i f f i c u l ti nm a t h e m a t i c s b a s e do n t h ef a c t ，ap r e d e c e s s o r sm o d e li sa p p l i e di nt h i sa r t i c l e ：t h ef u n c t i o n a l l yg r a d e d m a t e r i a l sa r ed i v i d e di n t os e v e r a ls u b - l a y e r s ，a n dw ep o s t u l a t et h em a t e r i a l p a r a m e t e r sc h a n g ea l o n gt o l i n e a rf u n c t i o n si ne a c hs u b l a y e r s m a t e r i a l p a r a m e t e r sa r ec o n t i n u o u so nt h es u b i n t e r f a c e sa n de q u a lt ot h e i rr e a lv a l u e s a n d t h et e s ts h o w st h a tt h i sm o d e li sv e r ye f f e c t i v e m e a n w h i l et h e j i n t e g r a lo ff u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a l st h a tr e p r e s e n tt h e p a r a m e t e ro fc r a c k t i pf i e l dh a v eb e e ns t u d i e di nt h i sp a p e r i th a ss h o w nt h a tf o r f g m sc r a c kp r o b l e m st h ep a t hi n d e p e n d e n t j i n t e g r a lh a st h ep h y s i c sm e a n i n go f e n e r g yr e l e a s er a t eo fc r a c k - t i pa n dh a sr e l a t i o n s h i pw i t ht h es t r e s si n t e n s i t y f a c t o r s t h e nt h es t r e s s i n t e n s i t y f a c t o r so fc r a c k t i pu n d e rg i v e na n g l e sa r e c o n c e r n e da n ds t u d i e d ，w h i c hi sb a s e do nt h ep r e s e n tm o d e la n df i n i t ee l e m e n t m e t h o d s ot h em o d e la n d j i n t e g r a lm a yb ev e r ye f f e c t i v ei nf r a c t u r em e c h a n i c s a n a l y s i s a l lt h e s ew o r k sc a np r o v i d et h e o r e t i c a lb a s ea n dg i s tf o rt h ef u t u r e r e s e a r c ho ff g m s k e yw o r d s ：f u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a l s ；n e a r t i pf i e l d ；j i n t e g r a l ；s t r e s s i n t e n s i t yf a c t o r s ；f i n i t ee l e m e n tm e t h o d 插图清单 图1 1 陶瓷金属功能梯度材料的概念1 图2 1 功能梯度材料示意图1 0 图2 2 具有穿透裂纹的平板1 2 图2 3 无外作功时无限平板的能量平衡1 3 图2 4 裂纹的力学特征分类图1 5 图2 5 裂纹前沿坐标系统1 9 图2 6 梯度材料板中边缘裂纹扩展示意图2 2 图2 7 ，积分回路2 4 图3 1 八结点正方形母元映射为八结点子元2 9 图3 2 本文计算模型示意图3 4 图3 3 含裂纹的梯度界面层一3 4 图3 4 争= 2 2 时界面层中线裂纹应力强度因子随的变化( ( y ) 为指数函数) ，o7 - o 3 9 图3 5 丝= 0 0 5 时涂层界面裂纹应力强度因子随；的变化( ( y ) 为指数函数) 硒 4 0 图3 6 丝= 2 0 时涂层界面裂纹应力强度因子随；的变化( ( 力为指数函数) 盹 4 0 图3 7 生= 0 0 5 时涂层界面裂纹应力强度因子随的变化( z ( y ) 为抛物线函) ，| o 吣 4 l 图3 8 丝= 2 2 时界面层中线裂纹应力强度因子随善的变化( z ( y ) 为三角函数) 4 2 图3 9 边缘裂纹的f g m 平面4 4 图3 1 0 连续性能模型下，积分随梯度和裂纹长度的变化4 5 图3 1 l 本文模型下，积分随梯度和裂纹长度的变化4 6 图3 1 2 = = 0 1 “4 6 e l 图3 1 3 竺互= 0 2 4 7 e 图3 1 4 詈= 1 ”4 7 q 口 图3 1 5 詈= 5 4 8 q 图4 1 裂纹与梯度方向成一定角度的模型5 2 图4 2 裂尖网格划分示意图5 2 图4 3 裂纹与梯度垂直方向成不同角度下的i 型应力强度因子曲线5 3 图4 4 裂纹与梯度垂直方向成不同角度下的i i 型应力强度因子曲线5 3 表格清单 表3 1m 值对界面层中线裂纹应力强度因子的影响( 剪切模量为指数函数) 3 8 表3 2 值对界面层中线裂纹应力强度因子的影响( 剪切模量为指数函数) 3 8 表3 3 值对界面层中线裂纹应力强度因子的影响( 剪切模量为三角函数) 4 2 表3 4 不同路径下，积分的值 4 4 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得金壁王些太堂或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名曼讳签字眺刁年月p 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金壁王些盎堂有关保留、使用学位论文的规定有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借 阅。本人授权盒壁至些盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名量磅锍 j獭名：彳锄冲砰 签字日期多7 年6 衫日 电话： 邮编 ，日 句 p 去 臼 崤 年 毕雨1者作 ： ： 飙 披堆童 雕 论单地 字 位作讯 签 学工通 致谢 值此论文完成之际，谨向我的导师何沛祥老师表示真诚的感谢l 导师对我 研究生阶段的学习及论文的撰写自始至终提供了很多的帮助，倾注了大量的心 血，对我论文的选题、修改直至定稿一直给予热情地精心地指导，提出了很多 宝贵的修改意见。 同时，导师渊博的知识，严谨的治学态度，热情谦逊的品格，平易近人的 作风都给我留下了终生难忘的印象，是我以后学习、生活和工作中的楷模，使 我终生受益。 感谢0 4 级研2 9 班同学在学习与生活中给予我的帮助l 最后，感谢我的家人，我学业的顺利完成离不开他们的支持，他们是我克 服困难的动力l 三年的研究生阶段学习转眼即逝，感激之情油然而生，无以回报这么多关 怀过我的师长和朋友，唯有将来努力工作，奋斗不惜。 作者：吴坤铭 2 0 0 7 年4 月1 0 日 1 1 课题的提出 第一章绪论 2 0 世纪8 0 年代以来，随着科技的飞速发展，对材料的性能要求越来越高， 尤其是在诸如超高温、超低温、超高压等极限环境下更要求零件有特殊的性能。 世界各国的学者在长期研究传统材料的基础上，不仅更加深入地从工程技术方 面完善已有的材料，还从理论上陆续提出了许多新概念，并且在实践中制备出 一些具有特殊性能的材料，使材料科学呈现空前的繁荣景象。 功能梯度材料( f u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a l s ，f g m ) 的概念是在1 9 8 7 年。由日本几位材料科学家提出的。所谓功能梯度材料是指一种材料，其功 能，如组分、结构、性能随空间或时间连续变化或阶梯变化的高性能材料。一 开始时是用于解决在设计制造新一代航天飞机的热保护系统中出现的许多问 题，而真正对功能梯度材料的研究应该说始于1 9 8 7 年，典型的用作防热结构 的功能梯度材料如下图1 1 所示，通过控制过渡区的成分、微观结构和孔隙 率，使外层陶瓷与内层金属的热膨胀系数差得到补偿，使结合部位的宏观界面 消失，从而得到具有热应力缓和功能的高性能功能梯度材料，这样一方面避免 了金属和陶瓷之间因物理及力学性能上的巨大差异所造成的界面应力问题，另 一方面又能充分缓和材料在使用过程中因高温度落差所产生的热应力。 o 陶瓷金属- 6 夺纤维o 微孔 图1 1 陶瓷金属功能梯度材料的概念 目前，功能梯度材料的研究在世界不少国家得到开展。作为f g m 概念发 源地的日本，已投入了巨大的人力和财力开展f g m 研究。在1 9 8 7 年，日本科 技厅以应用于航天航空领域的超高温结构材料的开发作为目标，启动了一项为 oooo + o + o + o + o + -+夺+辛辛争 夺。夺。夺。夺。夺 o o o o o o o o o o o o o o o o o 期5 年的称为。用于应力缓和的f g m 开发基础技术的研究”的研究项目在 这5 年里，成功地开发了热应力缓和型f g m ，取得了举世瞩目的成果。由于 该项目大获成功，日本科技厅于1 9 9 3 年再次设立了一个为期为5 年的称为“功 能梯度结构的能量转换材料的开发研究项目”的大型研究项目，掀起了梯度功 能材料研究的第二个高潮。 除日本外，其他国家如美、德、法、瑞士、俄罗斯”。等国也开展了这方面 的工作，1 9 9 3 年美国国家标准技术研究所开始开发超高温耐氧化保护涂层为 目标的大型f g m 研究项目。我国武汉工业大学袁润章教授在金属陶瓷复合刀 具的研究中开始了这方面的工作；随后，上海硅酸盐研究所，沈阳金属所、天 津大学、哈尔滨工业大学等单位，在材料设计、工艺合成和评估等方面做了大 量的工作，并取得了可喜的成果。 鉴于f g m 具有组成和显微结构连续变化、适应环境和可设计性的特点， 其应用领域已从航空航天拓展到核能、生物医学、机械、石油化工、信息、民 用及建筑等其他诸多领域。很多互不相容的功能( 比如耐热性、耐腐蚀性、韧 性以及可加工性等) 都可以结合在一个结构部件中，这些功能的不同组合又可 以产生新的功能和新的材料。但是由于加工工艺等一些因素，使得功能梯度材 料中有存在裂纹的可能性，而裂纹的存在对材料的各方面的性能影响是很大 的。研究功能梯度材料的裂纹问题已成为断裂力学中的一个热点课题”。许多 研究者采用解析的方法通过对功能梯度材料中裂纹问题的研究，得出一个重要 的结论：如果功能梯度材料的性质是连续的和分段可分的，那么功能梯度材料 中裂纹的行为和均质弹性材料是相似的。相应的，基于均质线弹性力学的应力 强度因子( s t r e s si n t e n s i t yf a c t o r ，s i f ) 可以用于估算裂纹行为。 以往研究中多采用解析方法，来解决功能梯度材料中的裂纹问题，但能用 解析法求出精确解的只是少数方程性质比较简单，且几何形状相当规则的问 题。对于大多数问题，由于方程某些特征的非线性性质，或由于求解区域的几 何形状比较复杂，则不能得到解析答案。因此人们多年来寻找和发展了另一种 求解途径和方法一数值解法。特别是近年来，随着电子计算机的飞速发展和广 泛应用，数值分析方法已成为求解科学技术问题的主要工具。已经发展的数值 分析方法分为两大类：一类以有限差分法为代表，其特点是直接求解基本方程 和相应定解条件的近似解；另一类数值分析方法是首先建立和原问题基本方程 及相应定解条件相等效的积分提法，然后据之建立近似解法。上述不同方法在 不同领域或类型问题中得到成功的应用，但也只限于几何形状规则的问题。其 基本原因是：它们都是在整个求解区域上假设近似函数。因此，对于几何形状 复杂的问题，不可能建立合乎要求的近似函数。而有限单元法的出现，是数值 分析方法研究领域内重大突破性的进展。有限单元法的基本思想是将连续的求 解区域离散为一组有限个、且按一定方式相互联结在一起的单元组合体。尤其 2 在需要得到高精度结果的裂纹前沿应力奇异性问题的计算中。更体现了有限单 元法的价值。因此，有限单元法已经广泛用于断裂力学的分析中。 1 2 断裂力学问题 传统的强度理论是在假设材料无缺陷、无裂纹的基础上建立起来的，在生 产实践中经受了长期的考验。但随着现代生产的发展，新工艺、新材料、高强 度材料的广泛采用，结构在高速、高压、高温与低温环境下的使用，以及大型 结构日益增多，用传统强度理论设计的结构发生了很多断裂事故。这些意外的 断裂事故出现在工程结构的许多方面：如1 9 3 8 年3 月1 4 日，比利时架设在阿 尔伯特运河上的费廉尔德大桥( 桁架结构) 断成三段，坠入河中；1 9 4 7 年至 1 9 5 0 年，比利时有1 4 起桥梁构件发生脆性破坏事故，事后分析指出，事故大 都是出现初始裂纹造成的；美国在第二次世界大战期间建造的2 5 0 0 艘自由轮， 有近7 0 0 艘发生了严重的破坏，其中有1 4 5 艘断成两截，有1 0 艘的破坏是在 平静的海面上发生的。 分析众多灾难性事故的原因，发现这种低应力脆性破坏主要是由宏观尺寸 的裂纹源引起的，这些裂纹源可能是焊接质量不高，内部有夹杂或存在应力集 中、使用过程中腐蚀、疲劳引起的裂纹等等。尤其是现代高强度材料的大量使 用，这些材料对裂纹非常敏感，促使断裂事故不断增加。因此，我们必须重视 裂纹的存在，而不承认裂纹存在的传统的材料力学和弹塑性力学的判断强度的 准则显然是不够用了，我们还需要研究带裂纹物体的种种力学性质。因此，在 生产斗争中，在惨痛的事故基础上逐渐形成了一门新型学科断裂力学。 断裂是由于裂纹的不稳定扩展造成的。因此，断裂力学判断强度的准则与 裂纹前沿的力学状态有关。基本准则假定在所有材料中存在类似裂纹的缺陷并 且预测是否裂纹前沿附近的应力超过了材料的强度极限从而导致裂纹扩展。经 典的解析法得出应力与到裂纹前沿的距离的平方根成反比，这是具有奇异性 的。应力强度因子( k ) 是衡量裂纹尖端应力场强弱程度的力学参数，是断裂 力学中决定裂纹是否扩展的一个重要参数，而且，实验事实表明断裂通常发生 在应力强度因子达到临界值的情况下，因此应力强度因子的确定是工程结构安 全和经济设计的先决条件。 在断裂力学中，裂纹尖端的应力场、应变场以及表示裂纹尖端应力场强弱 程度的应力强度因子的求解都是重要的研究内容。但是，只有极少数简单、特 殊的断裂力学问题存在解析解，绝大多数工程实际中所遇到的断裂力学问题都 要借助于数值分析的方法才能得到解决。事实上，数值计算已经和理论、实验 一起成为科学研究的三大支柱。数值计算对于各种问题的适应性强，应用范围 广，它能详细给出各种数值结果，通过图像显示还可以形象地描述力学过程。 它能多次重复进行数值模拟，比实验又省时又经济。由于裂纹尖端附近的应力 3 场存在奇异性，以致直接应用常规数值方法分析断裂力学问题的效果往往较 差，因此需要结合断裂力学的特点发展更有效的数值计算方法。随着断裂力学 研究的日益深入。需要求解的问题日趋复杂化和多样化，使得如何建立高效、 高精度的计算方法成为学者们研究的热点。由于计算机科学、计算数学和力学 等学科的不断发展，用于解决断裂力学问题的数值计算方法不断涌现，它们正 成为推动断裂力学研究不断发展的重要工具。 1 3 功能梯度材料的断裂力学研究方法 许多新材料如功能梯度材料是由不同相组成的材料，各相之间存在界面。 若沿界面存在裂纹( 称这种裂纹为界面裂纹) ，则研究这种裂纹的扩展规律就 形成了界面断裂力学。 界面断裂力学的基本任务是寻找控制界面裂纹开裂和失稳扩展的物理参 量，并建立扩展准则。一旦找到这样的物理参量，求得工程中不同的界面断裂 问题的物理参量是界面断裂力学的一大任务。对于界面断裂力学的研究起始与 5 0 年代末，1 9 5 9 年w i l l i a m s 最先分析了各向同性双材料界面裂纹问题”。，他 i 一 采用渐近级数展开法，得到i 型和型裂纹尖端应力具有，：的振荡奇异性、 型裂纹尖端应力具有r ：的奇异性而无振荡性的结论。由w i l l i a m s 解可得出 裂纹面互相嵌入的结论，这在物理上明显的不合理，虽然在数学上是严密的。 于是，研究者陆续提出新模型旨在消除振荡性和裂纹面相互嵌入的现象。 在设计功能梯度材料时，需要处理其断裂破坏这一重要课题，这是因为在 材料成型以及随后的使用过程中都有可能出现大量的微裂纹，这些微裂纹的扩 展及合并会进一步产生一些主裂纹。这些缺陷影响着材料的使用寿命并有可能 带来安全隐患。所以，功能梯度材料的断裂力学问题成为重要的研究方向和研 究热点。对该问题的研究主要有两种方法，即解析方法和数值计算方法。由于 解析方法对研究对象的几何形状和加载条件要求的严格性，使其很难广泛应用 于一般的功能梯度材料裂纹问题的研究中。而数值方法作为一种研究手段克服 了解析方法的缺陷，现已经广泛的应用到裂纹问题的研究中。数值计算方法中 比较常用的是有限元方法，无单元法和边界元法等。 1 3 1 解析法 解析方法作为一种经典的方法有着广泛的应用。该方法具有推理严密并能 对所研究问题做定量分析的特点，因而可以采用该方法研究一些功能梯度材料 中的断裂力学问题。通过采用随厚度里指数变化的弹性模量，o z t u r k 和 e r d o g a n t 毗研究了含有功能梯度材料夹层的复合材料中轴对称的裂纹问题； 4 a k t i s o n 和l i s t ，d h a l i w a l 和s i n g h 以及d e d a l e 和e r d o g a n 研究了承受力 学荷载的非均匀体中的裂纹问题；d e d a l e 和e r d o g a n 进一步研究了平面应变 条件下含有功能梯度材料的复合材料中接触面的裂纹问题；e r d o g a n 和 o z t u r k 求出了承受反平面剪切载荷作用下，存在功能梯度材料的复合材料中 接触面裂纹问题的解；e r d o g a n 等研究了垂直于接触面的两完全粘和的半 平面板材料的平面弹性问题和两完全粘和的均匀半平面板材料中的型裂纹 问题；o z t u r k 和e r d o g a n 进一步研究了两均匀的半空间介质中包含功能梯度 材料并且承受着或扭应力或张应力作用下的币型裂纹问题。 在计算机出现以前，解析法在解决工程问题起到了积极的作用，随着计算 机的飞速发展以及解析法应用的局限性，解析法逐渐失去其优势地位，现在一 般将其和数值计算方法结合起来研究工程问题。 1 3 2 有限元方法 有限元方法( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，f e m ) 的基本思想是将连续的的求 解区域离散为一组有限个、且按一定方式相互联结在一起的单元的组合体。由 于单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同形状，因此可 以模型化几何形状复杂的求解域。有限单元法作为数值分析的另一个重要特点 是利用在每一个单元内假设的近似函数来分片地表示全求解域上待求的未知 场函数。单元内的近似函数通常由未知场函数或及其导数在各个结点的数值和 其插值函数来表达。这样一来，一个问题的有限元分析中，未知场函数或及其 导数在各个结点的数值就成为新的未知量( 也即自由度) ，从而使一个连续的 无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。一经求解出这些未知量，就可以 通过插值函数计算出各个单元内场函数近似值，从而得到整个求解域上的近似 解。显然随着单元数目的增加，也即单元尺寸的缩小，或者随着单元自由度的 增加及插值函数精度的提高，解的近似程度将不断改进。如果单元是满足收敛 要求的，近似解最后将收敛于精确解。 从应用数学角度来看，有限单元法基本思想的提出，可以追溯到c o u r a n t 在1 9 4 3 年的工作，他第一次尝试应用定义在三角形区域上的分片连续函数和 最小位能原理相结合，来求解s t v e n a n t 扭转问题。一些应用数学家、物理学 家和工程师由于各种原因都涉足过有限单元的概念。但只是到1 9 6 0 年以后， 随着电子计算机的广泛应用和发展，有限单元法的发展速度才显著加快。 现代有限单元法第一个成功的尝试，是将刚架位移法推广应用于弹性力学 平面问题，这是t u r n e r ，c i o u g h 等人在分析飞机结构时于1 9 5 6 年得到的结 果。他们第一次给出了用三角形单元求得平面应力问题的正确答案。三角形单 元的单元特性是由弹性理论方程来确定的，采用的是直接刚度法。他们的研究 工作打开了利用电子计算机求解复杂平面弹性问题的新局面。1 9 6 0 年c l o u g h 5 进一步处理了平面弹性问题，并第一次提出了“有限单元法”的名称，使人们 开始了有限单元法的功效。 四十多年来，有限单元法的理论和应用都得到迅速的、持续不断的发展。 有限单元法最大的优点是适用于一般的几何形状、材料和外荷载情况。应用已 由弹性力学平面问题扩展到空间问题、板壳问题，由静力平衡问题扩展到稳定 问题、动力问题和波动问题。分析的对象从弹性材料扩展到塑性、粘弹性、粘 塑性和复合材料等，从固体力学扩展到流体力学、传热学等连续介质力学领域。 在工程分析中的作用已从分析和校核扩展到优化设计并和计算机辅助设计技 术相结合。可见，随着现代力学、计算数学和计算机技术等学科的发展，有限 单元法作为一个具有巩固理论基础和广泛应用的数值分析工具，在经济和科学 技术发展中发挥更大的作用。如b a o 和w a n g 用有限单元法对金属基底功能 梯度涂层结构中的多个垂直于表面的裂纹作了研究；b a b a e i 和l u k a s i c w i c z 用 有限元法研究了f g m 中裂纹尖端由于机械和热应力引起的摩擦接触问题，分 析了裂纹长度和裂纹位置对应力强度因子的影响 工程结构中的有限元分析一般过程为： ( 1 ) 结构离散化。将连续体划分成有限个单元，在单元的边界上设置节点， 将相邻单元通过节点相连接。 ( 2 ) 选择位移函数。连续体离散化后，就可以进行单元分析。单元分析时 要求用节点位移表示单元内点的位移、应变和应力。而应变和应力又是位移的 函数，所以，对单元内的位移做出假设，建立位移函数是有限单元法的关键。 ( 3 ) 建立单元刚度方程。位移函数确定以后，将位移函数带入弹性力学的 方程中，即可得单元刚度矩阵。 ( 4 ) 总体刚度矩阵的组装。对每个单元进行上述分析建立单元刚度矩阵 后，可利用节点位移的协调性将各个单元的单元刚度矩阵集合形成弹性体的整 体平衡方程。 ( 5 ) 线性方程组的求解。可以利用迭代法或高斯消去法等数值方法进行求 解。 1 3 3 无单元法 无单元法是一种新的数值计算方法，其特点是采用滑动最小二乘法所产生 的光滑函数来近似场函数，计算形函数，从而只需计算域的几何边界及计算点， 摆脱了单元限制，大大简化了前处理工作。由于提供了场函数的连续可导近似 解，在材料分析中，使得位移及应力、应变计算结果均连续，不需进行后处理 修匀。无单元法的节点生成非常容易，根本不存在其它方法所遇到的网格重构 问题，因而在开裂计算中有很好的应用前景。 由于无单元法具有前后处理简单、计算精度高、在计算过程中便于增减等 6 优点，已广泛应用于板弯曲计算，弹塑性问题分析以及线弹性开裂分析。陈建 等”采用无单元方法计算了含边沿裂纹功能梯度材料的应力强度因子问题。 1 3 4 边界元法 边界元法( b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ，b e m ) ，是继有限元方法之后成为 一种有效的数值方法，在固体力学、流体力学、电磁场等领域得到了广泛的应 用。 边界元法的最大特点是降低了求解问题的维数。由于采用边界变量表达 物体内部变量，一般情况下只需在物体的外表边界上进行离散即可，这样原有 问题用边界元法求解降低了一维。另外，这种方法具有较高的精度。由于采用 的基本解是无限域( 或半无限域) 内的满足微分方程和无限域( 或半无限域) 边界条件的解析解。因而在用边界量求解内部物理量的过程中引入的误差较 小。边界积分方程本身所讨论的问题也是一种精确提法，其误差仅来源于离散 化的处理。 边界积分方程可通过两种途径来建立，即直接法和间接法，相应地称为直 接边界元法和间接边界元法。直接边界元法中，积分方程内出现的未知量是真 实的物理变量，例如：弹性力学问题中以全部系统边界上的全部张力和位移为 未知量建立直接边界积分格式求解，而物体内部的张力和位移则可通过数值积 分由边界值推算出来。而间接边界元法采用类似于弹性力学中的应力函数或流 体力学中的流函数等为未知函数，利用辅助变量构造边界元格式求解，一旦这 些辅助变量求解出来。所求的真实物理量就可以通过辅助变量表达出来。 同有限元方法相比，传统的边界元法有如下优点：可以使所考虑问题的维 数降低一维，即可把三维问题转变成二维问题来处理，将二维问题转变成一维 问题来处理。因此具有输入数据少，计算时间短等优点。此外由于只对边界离 散，离散化误差仅来源于边界，区域内的有关物理量可由解析式的离散形式直 接求得，因此提高了计算精度。求解时要改变域内点的数量或位置也非常方便， 对于只需求出边界值的问题，关于区域内的物理量可以不必进行计算，能提高 计算效率。另外，有限元方法较难处理裂纹前沿的区域，如果要得到精确的应 力和位移分布，问题的区域就必须被离散成越来越小的单元，而使方程组的维 数增大，较难达到快速、精确的要求。 同有限元方法相比，传统的边界元法也有如下的弱点：应用范围没有有限 元广泛，而且边界元法要以存在解析基本解为先决条件，对于非均质等复杂问 题，其基本解还有待研究。另外一个弱点是边界元法求解的代数方程组的系数 为满阵，一般情况下为反对称矩阵，因此其解的规模受到限制。 7 1 _ 4 基于本文计算模型在功能梯度材料断裂力学问题中的应用 近年来，由于功能梯度材料( f g m ) 在工程等领域得到了广泛的应用，因 而受到众多学者的关注 由于梯度材料参数在空间上可按任意连续函数变化，所以直接考虑实际函 数形式在大多数情况下无法进行解析求解。然而考虑到一条任意变化的连续曲 线可以用一系列分片连续的直线段来逼近，因此本文在对功能梯度材料进行平 面断裂分析时应用前人的一个计算模型：将厚度为功能梯度材料层分成若 干个子层( 设共分层) ，在每个子层中，材料参数( e ，z ，等) 按线性函数变 化，在每个子层之间的界面上，参数连续且等于材料实际模量。 同时其裂纹问题的研究已经有了较大进展，j i n 和n o d a 已证明f g m 裂 尖场有着和均质材料相同的奇异性和分布，e r d o g a n 和w u 给出了解析解。 裂纹问题的研究往往归结为求，积分，在均质材料中- ，积分是独立于路径的， 但在f g m 中，由于材料的非均匀性而使得，积分与积分路径有关。为了保证， 积分的守恒性，必须对其加以修正，本文在文献”。的基础上推导给出一个适 合f g m 的，积分。 由于有限元法能较好的模拟裂纹的扩展，而且精度高，它在场函数近似和 对局部特性描述方面具有其他方法不可比拟的优点，结合本文的功能梯度材料 计算模型和f g m 的，+ 积分，将对文中的计算模型在功能梯度材料裂纹问题中 的应用进行研究探讨。 l - 5 本文研究内容及创新点 随着科学技术的发展，涂层技术的应用范围十分广泛，比如耐腐蚀、耐氧 化、耐高温材料系统。在基底涂层类型的结构中，涂层和基底之间的界面的 脱黏是一种非常典型的失效形式。为了防止脱黏，可以在涂层和基底之间引入 一个梯度层，或者用一层功能梯度材料代替均匀涂层。功能梯度材料层的底部 具有与基底材料相同的性质，其顶部则具有与涂层材料相同的性质，从底部到 顶部材料的性质为连续变化。但是由于加工工艺等一些因素，使得功能梯度材 料中有存在裂纹的可能性，因此研究功能梯度材料中的裂纹问题已经成为断裂 力学中的一个热点课题。 因此，本文将对前人所提出的计算模型在功能梯度材料裂纹问题中的应用 进行研究探讨。具体研究内容如下： 1 ) 分析了功能梯度材料的裂纹尖端场，从分析中得知功能梯度材料的裂 纹尖端场和均匀材料的裂纹尖端场的分布规律相同。 2 ) 对文中计算模型进行研究探讨，并结合数值算例说明该计算模型十分 有效。 3 ) 本文在传统，积分的基础上，经过推导给出一个适合于梯度材料的，积 分，并分析和比较了，积分与，积分的关系、，积分与能量释放率以及应力强 度因子的关系，因此，积分可以用来作为梯度材料裂纹的断裂参量。并基于文 中计算模型结合数值算例进行研究探讨。 4 ) 采用有限元法及文中的计算模型，来研究当裂纹的方向与梯度方向有 一定角度时，裂尖场的强度和裂纹与梯度夹角的关系。为了计算精度，在裂尖 处用圆和角分线来划分网格，其它部分则采用标准四边形网格，分析中采用的 单元类型为四边形八节点等参数单元，在进行平面断裂分析时，采用文中的计 算模型。通过计算结果得出：在本文研究的范围内，斜裂纹比垂直梯度方向的 裂纹具有更大的破坏力，其裂尖场的应力强度因子随着裂纹与梯度增大方向的 夹角的减小而变大。 通过本文研究以期为今后的功能梯度材料断裂问题提供一定的理论依据 和基础。 9 2 1 概述 第二章功能梯度材料裂纹尖端场 鉴于f g m 具有组成和显微结构连续变化、适应环境和可设计性的特点， 其应用领域已从航空航天拓展到核能、生物医学、机械、石油化工、民用及建 筑等其他诸多领域。很多互不相容的功能( 比如耐热性、耐腐蚀性、韧性以及 可加工性等) 都可以结合在一个结构部件中，这些功能的不同组合又可以产生 新的功能和新的材料。下图2 1 给出了功能梯度材料的示意图( 其中黑方框表 示一种组分材料，空心方框表示另一种组分材料) 口口口口一 口口口口口 口口一一口 口口一口口 口口一口 口口口口口 口口口口 图2 1 功能梯度材料示意图 正是由于功能梯度材料的这种特点，因此它能有效地克服传统复合材料的 不足扯7 侧。正如e r d o g a n 在其论文中指出的，与传统复合材料相比，功能梯 度材料有如下优势： 将功能梯度材料用作界面层来连接不相容的两种，可以大大地提高粘 结强度； 将功能梯度材料用作涂层和界面层可以减小残余应力和热应力； 将功能梯度材料用作涂层和界面层可以消除连接材料中界面交叉点以 及应力自由端点的应力奇异性； 用功能梯度材料代替传统的均匀材料涂层既可以增强连接强度也可以 减小裂纹驱动力。 但是由于加工工艺等一些因素，使得功能梯度材料中有存在裂纹的可能 性，而裂纹的存在对材料的各方面的性能影响是很大的。研究功能梯度材料的 裂纹问题已成为断裂力学中的一个热点课题。许多研究者采用解析的方法通 过对功能梯度材料裂纹问题的研究，得出一个重要的结论是：如果功能梯度材 料的性质是连续的和分段可分的，那么功能梯度材料中裂纹的行为和均质弹性 材料是相似的。 l o 2 2 断裂力学基本理论 2 2 1 断裂力学基础 断裂力学是固体力学的一个分支，是研究含裂纹物体强度和裂纹扩展规律 的一门学科。断裂力学萌芽于2 0 世纪2 0 年代格里菲思( g r i f f i t h ) 对玻璃低应力 脆断的研究，5 0 年代作为一门真正的学科建立起来。断裂力学的任务：求得 各类材料的断裂韧度；确定裂纹体在给定外力作用下是否发生断裂，即建立断 裂准则；研究载荷作用下裂纹扩展规律；研究在腐蚀环境和应力同时作用下物 体的断裂( 即应力腐蚀) 。 一般情况下，按照传统的常规设计方法所设计的构件，绝大多数都能够保 证安全使用。但是，有时也会发生意外的断裂事故，如1 9 3 8 1 9 4 2 年间，世界 上有4 0 余座全焊接铁桥未见任何异常现象却突然发生断裂而倒塌等，人们对 这些事故进行了大量的调查研究发现，断裂处的最大工作应力往往并不高，甚 至远远低于材料的屈服极限，即为低应力脆断，而裂纹是造成构件低应力脆断 的祸根。 断裂力学研究的内容几乎完全是断裂为主的破坏。1 9 2 0 年g r i f f i t h 研究玻 璃中裂纹的脆性扩展，成功地提出以含裂纹体的应变能释放率为参量的裂纹扩 展准则，其内容：结构体系内裂纹扩展，体系内总能量降低，降低的能量用于 裂纹增加新自由表面的表面能，很好地解释了玻璃的低应力脆断现象。g r i f f i t h 理论可用于估算脆性固体的理论强度，并给出了断裂强度与缺陷尺寸之间的正 确关系。 1 9 4 4 年泽纳( z e n e r ) 和霍洛蒙( h o l l m o n ) 又首先把g r i f f i t h 理论用于金 属材料的脆性断裂。不久欧文( i r w i n ) 指出，g r i f f i t h 的能量平衡应该是体系 内储存的应变能与表面能、塑性变形所做的功之间的能量平衡，并且还指出， 对于延性大的材料，表面能与塑性功相比一般是很小的。同时把g 定义为“能 量释放率”或“裂纹的驱动力”，即裂纹扩展过程中增加单位长度时系统所提 供的能量，或裂纹扩展单位面积系统能量的下降。 2 0 世纪5 0 年代，i r w i n 又提出表征外力作用下，弹性物体裂纹尖端附近 应力强度因子准则( 亦称k 准则) 。其内容为：裂纹扩展的临界条件为k = k , c ， 其中芷，为应力强度因子，可由弹性力学方法求得，k ，为材料的临界应力强度 因子，可由试验测定。i r w i n 的另一贡献是，能量方法相当于应力强度方法。 1 9 6 3 年韦尔斯( w e l l s ) 发表有关裂纹张开位移( c o d ) 的著名著作，提 出以裂纹张开位移作为断裂参量判别裂纹失稳扩展的一个近似方法。其内容 是：不管含裂纹体的形状、尺寸、受力大小和方式如何，当裂纹张开位移万达 到临界值4 时，裂纹开始扩展。皖是表征材料性能的常数，由试验得到。 1 9 6 8 年赖斯( r i c e ) 提出围绕舍裂纹体裂纹尖端的一个与路径无关的回路 积分，定义为二维含裂纹体的，积分。，积分可用来描述裂纹尖端附近在非线 性弹性情况下的应力应变场，建立山= 厶断裂准则。如为表征材料断裂韧性 的临界，积分值，可由试验确定。 由于研究的观点和出发点不同，断裂力学分为微观断裂力学和宏观断裂力 学。微观断裂力学是研究原子位错等晶体尺度内的断裂过程，宏观断裂力学是 在不涉及材料内部断裂机理的条件下，通过连续介质力学分析和试样的实验作 出断裂强度的估算与控制。宏观断裂力学通常又分为线弹性断裂力学和弹塑性 断裂力学。 线弹性断裂力学是应用线弹性理论研究物体裂纹扩展规律和断裂准则。线 弹性断裂力学可用来解决材料的平面应变断裂问题，适用于大型构件和脆性材 料的断裂分析。目前，线弹性断裂力学已发展的比较成熟，但也存在一些问题 ( 如表面裂纹分析，复合型断裂准则，裂纹动力扩展等) 有待进一步研究。 弹塑性断裂力学是应用弹性力学、塑性力学研究物体裂纹扩展规律和断裂 准则，适用于裂纹尖端附近有较大范围塑性区的情况。由于直接求裂纹尖端附 近塑性区断裂问题的解析解十分困难，目前多采用，积分法，c o d 法，r 曲线 法等近似或实验方法进行分析。 1 g d 伍t h 能量平衡法 0 图2 2 具有穿透裂纹的平板 对于一单位厚度的“无限大”( 2 a 形) 平板。具有一条长为2 4 的穿透厚度 的裂纹，在无穷远处受到均匀拉伸应力盯作用，如图2 2 所示。 这块有裂纹的平板的总能量可表示为： u = u o4 - 眈+ 以一，( 2 1 ) 式中：一承受载荷的无裂纹平板的弹性应变能( 常数) ； 圯一平板中引入裂纹而导致弹性应变能的变化值； n 一形成裂纹表面导致弹性表面能的变化值； 1 2 f 一外力完成的功，f = 载荷位移。 g r i f f i t h 运用英格利斯( i n g l i s ) 提出的应力分析来表示单位厚度平板的以，即： 讥= 譬 ( 2 2 ) 而弹性表面能q 等于材料的弹性表面能密度兄和裂纹新表面面积的乘积，即： u = 2 ( 2 a y , )( 2 3 ) 对于没有外力做功的情况，即固定位移状态，f = 0 。( 2 4 ) 将以上各式带入式( 2 1 ) 并对口求偏导令掣：o 可得裂纹扩展的平衡条件： 要( - 譬兄) ：o ( 2 5 ) 瓦【- 了+ 4 口兄) 5 o ( 2 5 ) d i j d a 图2 3 无外力作功时无限平板的能量平衡 图2 3 说明了这点。图2 3 a 表明方程式( 2 5 ) 中的两个能量项以及它们的和 是裂纹长度( 2 口) 的函数；图2 3 b 表示导数掣，弹性能由于裂纹扩展潜在的增 a t 量砌而引起释放，释放的能量超过裂纹扩展所需的表面能时，引入的裂纹将 失稳扩展。 根据平衡条件，可得： 下2 - 0 - 2 a ：4 托 ( 2 6 ) f ，f、， 移项，得： 1 3 d 4 = ( = = 生) 2( 2 7 ) 万 方程式( 2 7 ) 指出，在理想脆性材料中，裂纹