（理论物理专业论文）yangbaxter系统的纠缠和berry相位.pdf

摘要 量子信息理论的发展，促进了对各种可用于量子信息处理的物理资源的广泛 研究。量子纠缠，以及量子几何相位，由于在量子信息理论中的广泛应用，相应 的研究已经深入到物理学的各个领域。本文通过研究y a n g b a x t e r 系统中几何相 位以及量子纠缠的物理性质，得到了一些有意义的结果。这对我们理解几何相位 以及量子纠缠的物理意义，并应用到量子信息过程中，具有积极意义。 本论文分为五章；全文通过两个例子来讨论y a n g b a x t e r 系统的纠缠以及几 何相位的物理意义，以及它们是如何实现和相互关联的。 第二章至第四章构成本文的核心部分。第二章着重介绍了y a n g - b a x t e r 系 统。首先，给出一个m 代数，由m 代数构造辫子群代数，通过y a n g b a x t e r 化 得到幺正的y a n g b a x t e re q u a t i o n ( y b e ) 的解辰( 臼，矽) 。其次，根据我们近期研 究成果直接给出一个s 矩阵，得到一个辫子群关系的解，同样把这个辫子群关系 的解通过y a n g b a x t e r 化得到幺j 下的y b e 的解j ( 秒，矽) 。第三章，着重讨论了量 子纠缠问题。从第二章得出的y b e 的解j ( 秒，矽) 出发，当j ( 乡，矽) 矩阵作用到直积 态时，我们就得到了任意纠缠的纠缠态。进而研究了它们的纠缠度以及最大纠缠 态。第四章，着重讨论了从y b e 的解辰( 乡，痧) 矩阵出发构造的振子的哈密顿量， 以及y a n g b a x t e r 系统b e r r y 相位的物理意义。 论文的最后为总结及展望。 关键词：y a n g b a x t e r 系统；b e r r y 相位；纠缠；辫子群代数 a b s t r a c t w i t ht h e d e v e l o p m e n t o f q u a n t u m i n f o r m a t i o n ( q i ) t h e o r y , q u a n t u m e n t a n g l e m e n ta n dg e o m e t r i cp h a s eh a v eb e e ns t u d i e de x t e n s i v e l yb e c a u s eo ft h e i r w i d ea p p l i c a t i o n si nq i i nt h i st h e s i s ，t h eq u a n t u mg e o m e t r i c p h a s ea n dq u a n t u m e n t a n g l e m e n ti nt h ey a n g b a x t e rs y s t e ma r ed i s c u s s e dr e s p e c t i v e l y t h i sd i s c u s s i o n l e a d st os o m ei n t e r e s t i n gr e s u l t s ，w h i c ha r e h e l p f u lf o rt h eu n d e r s t a n d i n go ft h e p h y s i c a li m p l i c a t i o n so fq u a n t u mg e o m e t r i cp h a s ea n dq u a n t u m e n t a n 9 1 e m e n t t h i sp a p e rc o n s i s t sf i v ec h a p t e r s t h ew h o l e p a p e rd i s c u s s e st h ee n t a n 9 1 e m e n t a n dt h ep h y s i c a ls i g n i f i c a n c eo ft h eg e o m e t r i cp h a s ei nt h ey a n g b a x t e rs y s t e m ，a s w e l la st h e ya r eh o wt or e a l i z ea n dh o w t oc o r r e l a t e t h ec o r eo ft h i s p a p e ri s c o m p o s e do fc h a p s 2 - 4 c h a p 2c o n c e n t r a t e so ni n t r o d u c i n gt h ey a n g b a x t e rs y s t e m f i r s to fa l l ，ama l g e b r ai sg i v e nt oc o n s t r u c tab r a i dg r o u p a l g e b r a w eg e tau n i t a r y s o l u t i o nr ( o ，矽) o ft h ey a n g - b a x t e re q u a t i o n ( y b e ) s e c o n d l y , t h e p a p e rp r e s e n t sa n e ws 。m a t r i xd i r e c t l ya c c o r d i n gt oo u rr e c e n tr e s e a r c hr e s u l t sa n d o b t a i n sas o h j t i o n o ft h eb r a i dr e l a t i o n i nt h es a m ew a yw eo b t a i nau n i t a r ys o l u t i o n k ( o ，矽) o ft h e y b ev i ay a n g - b a x t e r i z a t i o n a c t i n g o nt h es o l u t i o n c h a p 3c o n c e n t i a t e so n d i s c u s s i n gt h eq u e s t i o no ft h ee n t a n g l e m e n t d e r i v e df r o mt h es o l u t i o no fy b ei n c h a p 2 ，w es h o wt h a ta r b i t r a r ye n t a n g l e m e n ts t a t e sc a nb ea c h i e v e db yr e l a t i n gt h e u n i t a r ym a t r i xr ( o ，) t oe n t a n g l e m e n t t h e nt h ed y n a m i c so fe n t a n g l e m e n ta sw e u a st h em a x i m u m e n t a n g l e m e n ts t a t e sa l es t u d i e d c h a p 4c o n c e n t r a t e so nd i s c u s s i n g a no s c i l l a t o rh a m i l t o n i a nw h i c hc a n b ec o n s t r u c t e df r o mt h es o l u t i o n k ( o ，痧) m a t r i x o fy b e ，a sw e l la st h e p h y s i c a ls i g n i f i c a n c eo ft h eb e r r yp h a s ei n y a n g - b a x t e r s y s t e m f i n a l l yt h es u m m a r ya n dp r o s p e c ta r ep r e s e n t e d k e yw o r d s ：y a n g b a x t e rs y s t e m ；b e r r yp h a s e ；e n t a n g l e m e n t ；b r a i dg r o u pa l g e b r a h 独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下独立进行研究工作所取 得的成果。据我所知，除了特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果。对本人的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文 中作了明确的说明。本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 鎏望 日期： 学位论文使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规 定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的 复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将 学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或其它复制手段保存、汇编本学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：至銎立 日 期：迎7 u 缒 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 指导教师签名： 同期： 电话： 邮编： 东北师范大学硕士学位论文 第一章绪论 卜1 引言 q u a n t u my a n g b a x t e r 方程( 简称q y b e ) 的建立起源于两个方面的物理研究： 一是一维量子多体问题；二是统计力学中的二维精确可解问题。在对具有6 函数 势相互作用的一维量子多体问题的研究中，q y b e 是在1 9 6 7 年由杨振宁作为自洽条 件首先发现的。随后，在研究统计力学中的二维精确可解模型时，r j 巴克斯特( 1 9 7 2 年) 也独立地建立了称为t r i a n g l e s t a r 关系。随着各方面的研究成果的积累，人 们发现q y b e 普遍存在于量子可积问题，并且起着核心的作用。 对1 + 1 维量子可积模型和统计力学中的二维精确可解模型的研究，目前主要有 两种方法：一是早期的b e t h e - a n s a t z 方法及其推广( h a b e t h e ，1 9 3 1 ；l h u l t h e n ， 1 9 3 8 ；c n y a n g 和c p y a n g ，1 9 6 6 1 9 6 9 ；e h l i e b ，1 9 6 7 ：r j b a x t e r ，1 9 7 l 等) 二是后期发展起来的量子逆散射方法心 驯( q u a n t u mi n v e r s es c a t t e r i n gm e t h o d ) ， 也就是场论方法( l d f a d d e e v 、e k s k l y a n i n 和l a t a k h t a j i n ，1 9 7 8 - 1 9 7 9 ； h b t h a c k e r 和d w i i k i n s o n ，1 9 7 9 ；j h o n e r k a m p ，1 9 7 9 等) 。文献中常见的 b e t h e a n s a t z 方法是一次量子化方法，量子逆散射方法是二次量子化方法，一般说 前者比后者要广，但对某些具体模型它们得到的物理结果是一致的。近三十年来， 有关q y b e 的研究取得了长足进展h 。2 ，作为处理一大类非线性量子可积模型的普遍 理论，它已成为理论物理研究中一个蓬勃发展的分支。 在力学中，只要知道系统所有的运动积分，这个系统就是完全可积的。显然， 完全可积性给系统一种限制。最理想的情况是构造一个理论框架，从它出发，原则 上可以进一步用物理算符实现这些关系，从而可以将h a m i l t o n 量具体化。杨一巴克 斯特方程包含了极为丰富的物理内容，近年来，越来越多的研究表明它是处理一大 类非线性量子可积模型的普遍理论。 纠缠( e n t a n g l e m e n t ) 是近年来在量子物理文献中经常出现的一个词汇。从历史 上讲，纠缠态概念最早是由爱因斯坦、波多尔斯基和罗森在他们著名的“e p r 佯谬 文章啦2 1 中提出来的。这篇文章对正统量子力学基本原理和概念的诠释提出了激烈的 批评。e p r 给出的二粒子体系的波函数就是一个典型的纠缠态。纠缠态的奇妙性质 揭示了量子规律内在的非定域性，这种与经典物理规律完全背离的非定域性使得量 子物理现象显示出种种令人费解的特征，引起了以爱因斯坦和波尔为首的关于量子 力学的本质及其完备性的长期争论。然而早期关于量子纠缠及其非定域性的讨论大 多局限于哲学思辨，直到1 9 6 0 年b e l l 不等式乜3 1 的提出才使得这方面的研究具备了 实验基础。b e l l 通过几条非常普遍的假设，引出了关于量子可观测量的关联测量的 东北师范大学硕士学位论文 一个不等式，任意的经典定域理论都要满足这个不等式：而量子理论预言，对量子纠 缠念的测量结果有可能破坏这个不等式。 随后的大量实验证实了量子理论的预言，从而严重冲击了定域实在理论。值得 关注的是，最近的理论和实验研究表明，量子纠缠不仅破坏定域实在论，而且与某 些非定域的理论也不相容，所谓“非定域性是不是量子纠缠的本质仍然是一个没 有解决的问题。 除了在物理学基础领域的进展以外，从上世纪九十年代以来，随着量子信息和 量子计算研究的快速发展，纠缠态的潜在应用价值开始被人们认识到。无论是信息 以量子比特为载体进行的隐形传输乜4 j ，还是比经典算法以指数形式节省计算资源的 量子算法，它们的实现都离不开纠缠态。因而近年来纠缠逐渐被当作一种重要的物 理资源引起人们越来越多的关注，并已经广泛地应用于量子信息处理和量子通信一 量子态远程传输、纠缠的传输、量子密匙分配、量子纠错、量子计算等等本质上都 是利用了量子纠缠这一基本资源。量子纠缠也体现在对量子位相的研究中，因为多 粒子体系的量子位相本质上反映的就是多粒子量子态的纠缠特性。 量子纠缠的重要地位使得对量子纠缠的定性和定量描述显得尤为重要。现在只 有两体系统的纯态已经研究清楚，而对多体的纯态和混合态，怎样描述量子纠缠的 程度仍是有待解决的关键性问题。本文将简要回顾量子纠缠的一些基本概念，和度 量纠缠的常用方法。 另外，相位是量子力学中的重要概念，它是所有干涉现象的根源，它和几率幅 一样具有深刻的物理意义。但是由于其物理含义较为晦涩难懂，所以在早期的量子 力学的研究中，一般只重视对于量子态几率幅的研究，而量子念的相位在很长时间 内没有得到足够的重视，它是在量子力学向着深层次的发展过程中逐渐被重视起来 的，并且得到很快的发展和应用。近些年来，随着对量子力学深层次的挖掘，量子 相位的研究是成为现代量子物理发展的重要方向之一。 几何相位的概念首先是p a n c h a r a t n a m 在1 9 5 6 年的论文瞳5 1 中引入的，基于对 偏振光的干涉的研究，他提出了这样的问题，给出两束偏振光，是否有比较它们相 位关系的自然方式，他的回答是，让两束光干涉，如果合成的强度最大，则他们相 位匹配( i np h a s e ) ，这实际上给出了比较任意两束不正交偏振光关系的一种方法( 比 较相位的规则) ，不过，这个规则对于比较正交偏振光的相位就不适用了，它们不干 涉且叠加强度对两束光的相位是不敏感的。对于偏振光1 ，2 ，3 ，一般来说，如果1 和2 共相，2 和3 共相，那么l 和3 并不一定共相，研究表明3 多出1 的相 位是p o i n c a r e 球面上由1 2 3 所围绕的立体角的1 2 ，后来的研究表明，这个额外 相位实际上是b e r r y 相的早期实例。 1 9 8 4 年，b e r r y 在研究量子态在循回绝热演化系统中的变化规律时，得到一个 非常深入和有趣的结果。量子绝热定理告诉我们，如果体系起初处在一个含时 2 东北师范大学硕士学位论文 h a m i l t o n 量的瞬时本征态，且这个含时h a m i i t o n 量随时间参数作缓慢变化，则这 个瞬时本征态仍旧是系统的本征态。而b e r r y 发现，如果h a m i l t o n 量( 环境) 回到 初始的值，则量子态也回到初始状态，但是除了获得一个动力学相因子外，还有一 个额外的相位，它和系统的具体变化过程有关，这个相位就是著名的b e r r y 相位。 随后，b s i m o n 给出了这个相位的几何解释啪3 ，指出b e r r y 相因子具有几何拓扑特 征，它代表h e r m i t 线丛上的和乐( h o l o n o m y ) ，而绝热演化则自动定义了这个纤维 丛上的联络。从这个意义上说，b e r r y 相因子与规范结构有着密切的联系。b e r r y 相 因子的存在不久就被相应的光学实验以及核磁共振试验等所证实 1 9 8 7 年，a h a r o n o v 和a n a n d a n 将b e r r y 发现的相位做了重要的推广乜7 矧，去除 了对“绝热”这个外部参数的依赖，得到了一般情况的循回演化的相位，这个工作 的关键在于，他们区别出了对h a m i l t o n 量期望值的积分这个动力学相位，如果这个 动力学相位被去除了( 一般通过实现平行传输条件来去除) ，那么系统相位的演化仍 旧可通过自然联络来决定，这样，这个循回演化的相位就仍回到原来的b e r r y 相位。 而又过不久，j s a m u e l 和r 。b h a n d a r i 基于p a n c h a r a n a m 的早期工作又将此相位 进一步推广到非循回以及非幺正的演化体系中汹3 。他们认为，如果体系初始状态为 i y ( o ) ) ，经过一段时间的演化，体系态矢量变为i ( f ) ) ，f ( f ) ) 比f y ( o ) ) 多了_ 个 总相位7 ，r = a r g ( ( o ) i ( f ) ) ，总相位有两部分组成，动力学相d 和几何相g ， t 、 c i ) d = - ii 衍( 甲( f ) | i 甲( f ) ) ，g = ，- 0 d 。对于一个具体的二态体系，几何相的绝 6 a l 热近似极限应该给出b e r r y 相。文献上有时也称几何相n 为“非绝热的b e r r y 相”。 几何相的研究深入到物理学的各个方面，在分子动力学，线性反映理论和波包再生理 论等中得到广泛应用口们。 2 0 0 0 年，e s j a o q v i s t 首先用s c h m i s t 分解的方法研究了处于恒定磁场中无 相互作用的自旋l 2 粒子对体系的几何相，发现只有当体系的纠缠度为0 时，体系 的几何相才可以简化为两个子体系的几何相的求和 在量子计算中，b e r r y 相位扮演着很重要的角色，量子门算符可以通过几何作 用作用在系统的波函数上得以实现，这就是所谓的几何量子计算。几何相位仅仅依 赖于整个系统的几何性质，而不是演化的细节。这样几何量子计算对局部的不精确 度和波动是不起作用的，这是退相干的主要来源。研究几何相位可以对量子信息科 学构造一个新颖的框架。已经有研究表明几何相位可以被开发作为探测临界区域的 一种工具，不用经过量子相位跃迁口1 3 钔，在文献 3 3 中，d a j k a 等人发现几何相位 可以探测可能的退相干各向异性度。 东北师范大学硕士学位论文 卜2 论文的选题背景及意义 y a n g b a x t e re q u a t i o n ( y b e ) 及其相关的数学物理性是近几年来理论物理和数 学物理研究领域的前沿分支之一。辫子群表示如何构造相应的代数，并能进行 y a n g b a x t e r 实现，这是一个有意义的问题。 近年来，辫子算符和y b e 已经引入到量子信息和量子计算领域中。k a u f f m a n 和 l o m o n a c o 已经研究出幺正的辫子算符在量子计算中的作用。指出辫子矩阵可以被认 为是通用量子门。这就激发了一个新的方式研究量子纠缠和基于辫子算符理论的 b e r r y 相位，包括y b e 。这个方向的第一步是由z h a n g 等人开始的。在文献 3 4 中， 产生量子比特纠缠态的矩阵，就是一个幺正的辫子变换。再晚些时候，在文献 3 5 给出描述g r e e n b e r g e r h o r n e z e i l i n g e r 态或者基于幺正辫子表示理论的n - q u b i t 纠缠态的方法。c h e n 等人在文献 3 6 ，3 7 中应用幺正辫子算符来实现纠缠态变换以 及生成g h z 态，以及线性c l u s t e rs t a t e s 。对于幺正的k ( e ，缈) 矩阵，文中构造了一 个哈密顿量，并探讨了b e r r y 相位和y a n g - b a x t e r 系统的量子临界。在近期的研究 文献 3 8 中，发现任意纯的2 - q u d i t 纠缠态可以由通用y a n g - b a x t e r 矩阵得到。 b e r r y 相位在物理中的意义重大，对b e r r y 几何相及其相关问题的研究，至今仍是 现代物理学界许多学者研究和关注的热门课题之一。 纠缠态的奇妙性质揭示了量子规律内在的非定域性。量子纠缠除了作为量子理 论中重要的基本概念，近年来随着量子信息和量子计算领域的快速发展，它逐渐被 当作一种重要的物理资源引起越来越多的关注。因而定量考察量子态之间的纠缠度 成为一个有重要意义的工作。相互作用多体系统发生的量子相变与其基态结构有紧 密联系。由于纠缠是量子非定域性或者整体性的体现，这种多体系统的全局关联与 量子纠缠之间的关系成为近期理论研究的热点之一。 i - 3 论文的主要研究内容 本文主要研究y a n g b a x t e r 系统、b e r r y 相位和纠缠及其在y a n g b a x t e r 系统 中的联系。 在第二章，首先给出一个m 代数，由此m 代数构造一个辫子群代数，然后根据 我们近期研究成果直接给出一个s 一矩阵，它们满足辫子关系，那么s 一矩阵是与t h e d o u b l ec o n t r o ln o t ( d c n o t ) g a t e 局部等效的。应用y a n g - b a x t e r 化，导出幺正的 y b e 的解爱( 臼，) 。第三章，通过j ( 臼，) 矩阵作用到直积态上，可以生成任意2 - q u b i t 4 东北师范大学硕士学位论文 的纠缠态。 在第四章，从幺正的矩阵j ( 口，) 出发，构造了系统的哈密顿量。还研究 y a n g b a x t e r 系统的b e r r y 相位。我们证明哈密顿量系统和一个频率为m c o s o 的两 个费米子振荡系统是等效的。 最后总结展望。 东北师范大学硕士学位论文 第二章y a n g - b a x t e r 系统 2 - 1y a n g - b a x t e r 系统简单介绍 经典物理中存在着许多可积模型，目前常遇到的有十几种。人们长时间研究它 们的孤子解口1 。但是，再复杂的具体经典解的发现也无助于力学系统的量子化。 对于非线性问题的求解，我们可以在求解量子力学中的单体问题的基础上，使用微 扰论的方法来求出修正部分。然而，当相互作用比较强的时候，则要寻求问题的严 格解。这不仅是求解的技术问题，更重要的是严格解的性质与微扰论各阶叠加的结 果常常有本质的不同，许多经典孤子解提供了这方面的例证。f d d e e v 学派在实现从 经典到量子的研究方面做出了重要的贡献。而以y a n g - b a x t e r 方程( 简称y b e ) 为 中心的有关理论，是比较系统的处理某些非线性模型的成功理论，是解决非线性问 题理论发展的一个巨大飞跃，其研究对象是多体系统。回顾理论物理发展的历史， 经典可积问题的理论建立于1 9 6 5 年，而对于量子可积问题理论的建立则开始于1 9 6 7 年杨一巴克斯特方程的建立。 杨一巴克斯特方程及其相关的理论起源于两个方面的物理研究：一是一维量子 多体问题，二是统计力学中的二维精确可解问题。最早引入有实在物理意义的q y b e 的是杨振宁，1 9 6 7 年他在处理具有6 一函数作用势的一维问题时，为保证多体散射 的自洽条件而引入了q y b e 的原始形式。1 9 7 2 年，澳大利亚学者r j b a x t e r 在研究 统计力学中的二维精确模型时，为了对角化他所定义的转移矩阵，从另一角度独立 的得到了称之为t r i a n g l e s t a r 的关系。当时这两种形式并未很好的结合起来。直 到以l d f a d d e e v 为首的前苏联列宁格勒学派进一步发展了量子反散射方法，发现 杨振宁与r j b a x t e r 引入的这类关系可以写成一般形式： r 1 2 ( “) r 2 3 ( “+ v ) r 1 2 ( v ) = 恐3 ( v ) 墨2 ( 甜+ v ) r 2 3 ( “) 这对一大类低维量子可积模型有巨大的用途，定名为y a n g - b a x t e r 方程。随着各方 面研究成果的积累，人们发现q y b e 普遍存在于量子可积问题中，并且起着核心作用。 近三十年来，有关q y b e 的研究取得了长足进展。作为处理一大类非线性量子可积模 型的普遍理论，它已成为理论物理研究中一个重要的分支。 杨一巴克斯特方程有三种类型的解：1 ) 有理解，它是无周期的，对应于y a n g i a n ； 2 ) 三角解，它是单周期的，三角函数对应于实轴上的单周期函数，双曲函数则对应 于虚轴上的单周期函数，三角解对应于量子代数；3 ) 椭圆解，它是双周期的。此三 者脱胎于经典理论。我们主要研究了有理解及其三角解的情况。q y b e 解的重要意义 在于确定了局域算符( 格点上) 之间的交换关系。对给定的一种类型的q y b e 的解， 则相应的确定了一种代数关系，对代数关系的不同物理实现，也就对应不同的物理 6 东北师范大学硕士学位论文 模型。 本章首先构造一个m 代数，然后从m 代数出发构造出辫子群代数。然后对辫子 群代数的解进行y a n g b a x t e r 化。根据物理要求，得到幺正的y a n g b a x t e r 方程的 解，进而研究这个系统的纠缠特性，以及几何性质。重点应用三角参数化方法。如 果引入y a n g b a x t e r 方程的一般形式为： r 1 2 ( u ) r 2 3 ( 甜+ v ) 蜀2 ( ，) = 恐3 ( v ) 曷2 ( “+ v ) r 3 ( “) ( 2 1 ) 那么得到三角参数的方程： r i 2 ( x ) r 2 3 ( 拶) 墨2 ( y ) = r 2 3 ( y ) r 2 ( 砂) 足3 ( x ) ( 2 2 ) 2 - 2m 代数及辫子群代数 我们先是主要来回顾一下辫子群理论。 m 代数满足如下关系： m ： 一i 【m m 土。m = m 。 这里m = 1 1 1 2 固o i f _ lo m o i f + l 圆圆i 州 其中i i 代表第f 个格点上的单位矩阵，m 代表m “。 寻找一个具有以下结构的m 代数 m = 4 弋x ( 2 3 ) 式，得到一个m 代数的解： 写成矩阵形式为： o o 0o 0v d0 0口 b 0 o0 0 0 a = e i # ，b = 1 ，c = 一1 ，d = 一p 一矽。 m = 000 o 0l0 0100 一p 一彬000 由m 代数可以构造一个辫子群代数。 7 ( 2 3 ) 东北师范大学硕士学位论文 s 代数满足关系式为： 弘p 器翟& 1i f 啦2 ( 2 4 ) 取辫子群代数为以下形式： s = p o + f m )( 2 5 ) 把式( 2 5 ) 代入辫子群代数关系( 2 4 ) 中，得到对厂的限制。 p 3 ( i + f m , ) ( i + f m i + 。) ( i + 似) = p 3 i i + f ( 2 m , + m ，。) + f 2 ( 聊+ m m ，+ m i + 。m ) + f 3 m m + 。m p 3 ( i + 似，) ( i + 彤f ) ( i + 似士。) = p 3 i + 厂( 2 m 。+ m ) + 厂2 ( 峨。+ 必。m + m m 。) + 厂3 m 。m m + 。 得到f 2 = 1 ，即f = 1 。这样得到s 的两个解： s = p ( i + m ) ，s = p 7 ( i - m ) 那么适当选取p 和p ，则s 和s 互逆。 s s t = s s = p p fi m + m - m 2 = 2 p p t 如果取p = p 7 = ，则s s = i 。 二 s = 去( - + m )= 击( r m ) 一般说，标准的八顶角模型是“i c em o d e l 的一般化。在这个模型中，每一个 顶点可以被一个矩阵元表示，这一点如b o l t z m a n n 分量解释一样。在文献 4 2 中， 作者舍弃b o l t z m a n n 分量非负的情况，得到一些有用的量子门满足y b e 。受此启发， 我们舍弃非负情况，变换模型矩阵元的位置。希望这种方法可以得到些有用的结 果。 在我们近期研究成果中，s 一矩阵可以取以下形式： s = 0 q a 3 0 a 5 0 0 a 7 a 2 0 0 c 4 0 a 6 a s 0 ( 2 6 ) 东北师范大学硕士学位论文 这里q ( 江l 8 ) 是待定的参量。 a l a s = 口2 口5 = 嗍吗= 魄= 丢，我们让口l = q 及 哆= 口6 。b k 关a s 2 = 1 ，得到q 2 = - a 2 2 。在q = - i a 2 = 百1 p 印的情况下，得到一个新 二 的s 一矩阵如下形式： 】 s = 二 4 2 o e - t 一i e _ 洚 0 e 肇i e t # 0 0 0 e i # 00 i e i 审 e 一矽一抬一矽0 ( 2 7 ) 这里参量矽是实数。可以证明s 2 = ，s + s = s s + = i ，因此s 一矩阵是幺正的。第i 和 i + 1 点阵，s 可以根据自旋算符展开： s = 万1 学( + 殴) + ( 1 一f ) ( g 殴t 一譬酸) + 疆1p 叫 萼( 筇+ 殴。) + ( 1 + f ) ( $ 殴t 一耳殴) ( 2 8 ) 这里筇= 爿+ 群，筇= 剐一群是第f 个粒子自旋角动量的升降算符。辫子关系 ( 2 4 ) 和s 2 = ，与置换算符，f + 。= 去( 1 + 匠谚+ 。) 满足关系很相似。因为置换算符尸和s 没有相同的本征值，我们不能通过幺正变换从一个算符变到另一个。因此我们可以 说s 是一个辫子矩阵。幺正辫子矩阵可以作为量子门被构建h 3 | 。通过详细计算我4 1 得到s 矩阵局域等价于d o u b l ec n o t 门。 1o oo o1 oo o0 o1 o0 10 = ( 彳o b ) s ( c q d )( 2 9 ) = 戡小= i 身c = 小三p 弘( ：一纠 2 - 3 辫子群的y a n g - b a x t e r 化 众所周知，通过y a n g - b a x t e r 化作用在辫子关系的解上得到幺正的y b e 的解， 例如，如果s 有两个本征值，那么幺正的辫子算符墨y a n g b a x t e r 化为： 9 东北师范大学硕士学位论文 喇2 不1 - s ，+ 砖一1 ) ( 2 1 0 ) 这里豆是豆m 的简写。幺正的友矩阵满足y b e ，y b e 的形式为： 豆( x ) 豆+ 。( 砂) 豆( 少) = 豆+ 。( y ) 豆( 拶) 豆+ 。( x ) ( 2 11 ) 这里增3 , 黼- x 和y 作为特定的参量。j ( x ) 的渐近线行为是不依赖x ，即 l i m ，一豆( x ) = s 。1 ( 2 1 2 ) 总体上说，基于y b e 可以构造多自旋相互作用哈密顿量。因为页是幺正的，它可以 用态l y ( o ) ) 的演化来定义： ( f ) ) = 是o ) l 沙( o ) ) 这里豆( r ) 是含时的，可以被认为是特定的相应含时参量豆。 通过对态i 沙( f ) ) 对时间f 求偏导。得到方程： ( 2 1 3 ) 伽捌o t 瑚 o k 西, ( t ) k ，) 卜) 删) ( 2 1 4 ) 这里( f ) = 统望竽豆+ ( f ) 是哈密顿量控制态i y ( f ) ) 的演化。 因此，通过y a n g b a x t e r 化的方法导出了y a n g b a x t e r 系统的哈密顿量。 我们知道m 2 = 一i ，则m 有两个本征值f ，则由关系式s = i 1 ( i + m ) 得到s 也 v 么 有两个本征值：五= 击( 1 + f ) ，如= 去( 1 一f ) ，对于两个本征值的辫子群可以采取 以下y a n g b a x t e r 化的方法： j ( x ) = p ( x ) ( 砖+ 五如x s 。1 ) 将 ，五代入式( 2 1 5 ) 得： j ( x ) = p ( z ) ( 砖+ x s 一) 1 0 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 东北师范大学硕士学位论文 将s = 去( i + m ) ，s = 万1 ( i m ) 代入上式： 雄一c x ) ( x s + x - 1 s - i 一 譬- + 譬卅 = p 压( x ) l r 、t x 仃1 ) i + ( x 可1 ) m ( 2 1 7 ) 下面考虑幺正条件： 友( x ) + 爱( x ) = j 毛( x ) 爱( x ) + = 1 爱( x ) + = 豆( z - 1 ) = 爱( x ) _ z + x _ x 1 ) m + ) i + ( x - l - x ) m ( x + x 。1 ) 2 x + x - 1 得至i j ，【x x 。= ：x x * 一。，这里取x = x + ，即x 是实数。 j ( x ) = 等 ( 札( 一一1 ) m 引入参数0 ，方法如下： fx + x = f s i n o l z - - x = f e o s o 雄) = 譬【s i n 0 1 + c o s 0 m 】 取譬乩卧= 田_ 解得 豆( 臼，矽) = s i n 0 i + c o s 8 m 矩阵形式为 ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 扩u 一一n，一 譬 、- 、 f 力 ，j i 、 l 一刚 爱 东北师范大学硕士学位论文 j ( 秒，) = s i n 0 i + c o s l f ) m = s i n 口 0 o c o so e 一嘲 0 o s i n 口c o s 目 - - c o s 秒s i n p 00 c o s o e 彬 0 o s i n 乡 ( 2 2 6 ) 例子2 通过y a n g - b a x t e r 化从s 矩阵导出一个幺正矩阵j | 。如下，我们给出附 加的光谱的参量甜和v 的y b e 形式： 豆( “) 豆卅( “+ v ) 豆( v ) = 豆+ 。( v ) 豆( “+ v ) 豆+ 。 ) ( 2 2 7 ) 天 ) 的渐近线行为是不依赖甜的，通过y a n g b a x t e r 化方法可以构造一个幺正的矩 阵爱 ) 。很容易证明j ) = p ( u ) ( i + i u s ) 是y b e 的有理解( “为实数) ，这里p ( “) 是 归一化因子。我们可以选择适当的p ( “) 来保证爱( “) 是幺正的。为了寻找一个幺正矩 阵j ) ，j i + ) 应该对天( 甜) 或j i 卅 ) 的逆矩阵是等效的。结果，我们根据s 矩阵得 到幺正的j ( 扰) 矩阵： 衲2 丽1 ( ，+ f 沾) ( 2 2 8 ) 引入一个新的变量口， 那么矩阵j ) 可以写成 r ( o ，矽) = s i n t g i + i c o s o s 在幺正的j ( 臼，矽) 矩阵中有两个参量口和矽。 1 2 ( 2 3 0 ) 寿击 宝 m 优 豇 东北师范大学硕士学位论文 第三章纠缠弟二早纠z j 里 3 - 1c o n c u rr e n c e 的定义 w o o t t e r s 提出并证i ! j j1 司以用c o n c u r r e n c e 来精确度量二粒子系统纠缠的方法 4 4 1 。设p 为2 - q u b i t 系统的密度矩阵。首先得到一个旋转后的密度矩阵： 矽= ( qo q ) p ( q 圆q ) ( 3 1 ) 其中q 为泡利矩阵。于是c o n c u r r e n c e 可定义为 = m a x 一五一以一五，0 )( 3 2 ) 其中以2 ( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) 为算符辰= 力的本征值，且有如下关系： = m a x ，如，丑，五( 3 3 ) 当然，c o n c u r r e n c e 也可以度量纯态系统的纠缠。如果p 为纯态，即p = l ) ( 沙i ， l 汐) = ( q o q ) i ) ，声= i 汐) 舻i ，尺= 厢= l ) ( i 妒) 缈i 仅有一个非零的本征值 m 硝。 对于二量子位的纯态ly ) ，c o n c u r r e n c e 为 c a 占= m 妒) i ( 3 4 ) 下面来推导两量子位的任意纯态的纠缠值，即c o n c u r r e n c e 。设 i 沙) 仰= 1 0 0 ) + a ：1 0 1 ) + 鸭i l o ) + 1 1 1 ) ，( q 为实数且归一化) 彳= 1 在h i l l b e r t 空间中，l 缈) 可以写成如下的形式 可以得到l 痧) 沙) = q ( 3 5 ) 东北师范大学硕士学位论文 妒) = ( q 。q ) l 沙) l 吕0 ；0 三0 ： r一1 i 一10 0 0巨：同 b 回 k - a ：1 当c o n c u r r e n c e = 1 时纠缠最大，相反，当c o n c u r r e n c e = o 时，纠缠最小。 3 - 2 从天( p ) 出发得出纠缠态 借助c o n c u r r e n c e 研究纠缠问题。 从天( 9 ) 矩阵出发研究纠缠性质。把赢( 臼) 作用到直积态i o o ) ，1 0 1 ) ，1 1 0 ) ，1 1 1 ) 上 将得到四个纠缠态： j ( 秒，) i o o ) = s i n 00 0 ) - c o s 8 e 一9 1 11 ) j ( 乡，矽) 1 0 1 ) = s i n o l 0 1 ) - c o s o1 0 ) 天( 9 ，矽) 1 1 0 ) = 一c o s 乡1 0 1 ) + s i n 秒i l o ) 爱( 乡，# ) 1 11 ) = c o s o e 彬1 0 0 ) + s i n o11 ) 这样得到四个态的c o n c u r r e n c e ： c ( 1 ) = c ( 2 ) = c ( 3 ) = c ( 4 ) = 1 2 c o s 9 s i n 臼l = i s i n 2 0 l 讨论：当乡= 时，c ( 1 ) = c ( 2 ) = c ( 3 ) = c ( 4 ) = 1 ，系统处于最大纠缠态。 当秒= 0 时，c ( 1 ) = c ( 2 ) = c ( 3 ) = c ( 4 ) = o ，系统处于可分离态。 得到的四个态纠缠度相同。( 可以讨论乡= 时，四个态变为贝尔态) ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 那么在我们的研究成果中，幺正k ( o ，矽) 矩阵中有两个参量秒和矽。我们现在来 证明任意的2 - q u b i t 纠缠态可以基于幺正矩阵j ( 口，矽) 获得。当k ( o ，矽) 作用在直积态 k z 兰- i k ，o h + 。( k , l = o ，1 ) 上时，k ( o ，矽) 矩阵把2 - q u b i t 纯态变换成纠缠态： 。) 哼s i n 呻) + 万i 。- c - i # | 0 1 ) + 疆1 v ( - m 1 1 0 )( 3 1 2 ) 1 4 东北师范大学硕士学位论文 0 1 ) - - 去c o s 能咖i o o ) + s i n o l 0 1 ) + 去c o s 如叫1 1 1 ) 么v 二 1 。) 专一万1c 。s 能矽1 0 0 ) + s i l l 乡1 1 。) + 忑1 c 。s 如一肇1 1 1 ) ) 一万ic 。s 1 0 1 ) 一击c 刚p 矽1 1 0 ) + s i n 0 - t ) 不难得出4 个纠缠态式( 3 1 2 ) ，( 3 1 3 ) ，( 3 1 4 ) ，( 3 1 5 ) 的纠缠度如下： ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) c ( 1 ) = c ( 2 ) = c ( 3 ) = c ( 4 ) = c o s 2 0( 3 1 6 ) c ( 吼f - 1 ，2