（应用数学专业论文）kp系列的附加对称及其q—形变推广.pdf

摘要 本文研究k p 系列和g k p 系列的附加对称及其相关问题 给出了b k p 系列的7 - 函数的v i r a s o r o 约束及其生成元的具体形 式对于c k p 系列，构造附加对称生成元，并证明附加对称流形 成一个无穷维l i e 代数峨。；进一步给出c k p 系列的弦方程和 对l a x 算子l 的v i r a s o r o 约束由g k p 系列的特殊附加对称 流a ：得到弦方程，并给出2 约化的口一k p 系列( 即口一k d v 系列1 的v i r a s o r o 约束 关键词：k p 系列，b k p 系列，c k p 系列，口一k p 系列，附加对 称，弦方程，v i r a s o r o 约束 a b s t r a c t ht h i sp 8 秽e rw es t u d yt h ea d d i t i o n a 差s y n h n e t r i e sa n dt h ea s s o e i a 毛e d p r o b l e mo ft h ek pl l i e r a r c h ya n d 口一k ph i e r a r c h 弘t h ev 打a s o r oc o n s t r a i n t s o nt h er c t i o na n dt h ee x p h e i tf o r i i l so ft h e r a s o r o 霉广e n e r a t o r so ft h e b k ph i e r a r e h y 躲eo b t a i n e d 。a 危e re o n s t r u c t i n g 也ea d 出t i o n a ls y 磁擞e t 西e s o ft h ec k ph i e r a r 矗l y w es h o wt h a tt h ea d d i t i o n a l 洲1 m e t r yn o 飘，sf o ma 主n 最n i t ed i m e 璐i o na l l g e b r ah 氍，躲dt h 强w ed e r i v et h es t r i n ge 衅a t i o n a n dt h ev i r a s o r oc o n s t r a i n t so nt h el a xo p e r a t o r 己o ft h ec k ph i e r a r c 鲰 b 氇s e d 强t ks p e e i 甜越d i t i o 毪越s y 蚴菇黟鑫o w s 瓮。一f 州) ，谯e 或斑曙e 畔鑫乇i 强 o ft h eq ? k ph i e r 盯c h yi s 舀v e nf i r s t ，a n dt h e nt h ev i r a 8 0 r oc o n s t r a i n t so f t k2 涮毽e e d 窖一k p 敦l e r a r 由( i e 窖一k d vh i e 潮f 吐y ) 戳a 薹s 囝e 越聪l a 砉甜 e x p l i c i t l y k e y w o r d s ：k ph i e r a u r c h y b k ph i e r a r c h 弘c k pk e r a r c h y 口一k ph i e r a r c h y a d 击毫i 鼹砖s y 毯糯或r i e s ，s 专r i 稳g 键毽威i 锄i ，、蠢f a s o 珀e 垮毛r a 主强辐 v 论文原刨性和授权使用声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工 作所取得的成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含任何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一阉工作的同志对 本研究所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权，即： 学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电 子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论 文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 致谢 本文的研究工作是在导师程艺教授和贺劲松副教授的悉心指 导下完成的，在这里向他们表示衷心的感谢我从本科大四开始跟 随两位老师学习可积系统的楣关知识，几年来在学业上取得了缀大 的进步，这与两位老师的严格要求和耐心指导是分不开的在学习、 科研和生活中，两位老师言传身教，为我树立了良好的榜样他们 经常给我有益的建议和鼓励，帮助我克服研究中遇到豹难题，在这 一过程中，我也体会到了数学研究的艰辛和问题解决时的喜悦贺 劲松老师对科研的喜爱和执着，工作的勤奋和认真，以及对学生的 关心和照顾，给我留下了至深印象，将始终激励我一生，圊时，我还 要感谢李翊神和季孝达两位教授，他们时时刻刻关心着我的成长， 在学习过程中时常给我指导和帮助李老师渊博的知识和严谨的治 学作风让我受益噩浅，是我今恁学习和研究工傺的榜样这里还要 感谢陈卿教授，陈效群副教授和左达峰副教授，他们也在几年的学 习生活中给予我很多鼓励感谢苏育才教授在代数方面的指导，不 厌其烦的耐心解答我们的闻题，正是在他的帮助下，我们才能顺剩 完成本文关于代数方面的内容在此谨向八位老师致以诚挚的谢意 和崇高的敬意 感谢我们组的吴志伟、张玲、虞静、季美、李奎冬、刘少俸、易 戈、涂俊壹等师兄弟，与他们一起讨论数学问题，互相鼓励，对我的 帮助很大几年来我们组坚持开设讨论班，这对我也是一种很好的 锻炼和提高。 时光飞逝，我已经在中国科学技术大学数学系度过了九年的学 习时光在这九年中，科大严谨和朴实的学风一直影响着我，数学 系积极向上的学术氛围为我的学习提供了良好的环境。在此要感谢 数学系的张韵华、黄稚新和张伟三位老师以及我本科的班主任许 文增老师，他们在我顺利完成学业的过程中给予了很大的帮助感 谢同窗成志耨、王海亮、杨超、曾雷和吴俊，我们一起度过了难忘 的大学时光在今后的学_ 习和生活中，我会继续严格要求自己，争 取更大的进步，我以我是科大数学系的学生而倍感自豪 最后，谨以此文献给我的父母和家人，感谢他们沟我的学业和 生活所付出的艰辛以及对我无微不至的关怀和支持 第一章绪论 孤立子与可积系统的研究最早可以追溯到羔8 3 4 年，英国科学家、造船 工程师r 1 l s s e uj s c o t t 在勘察爱丁堡到格拉斯哥的运河河道时观察到，一只 运行的木船摇荡豹船头挤窭高约q 。3 米到e 。5 米、长约王0 米的一露水来， 当船突然停下时，这团水竟保持着它的形状，以1 3 千米小时的速度往前传 播 王 。1 0 年屠，在英国科学促进协会第重_ ；莲届会议上，德发表的论文i 2 】，生 动地描述了这个现象：1 8 3 4 年秋，我看到两匹骏马正沿运河拉着一只船迅速 前进突然，船停了下来，然而被船所推动的一大团永却不停止它们堆积在 船头周围激烈地扰动着，随后形成一个滚圆、光滑又轮廓分明的大水包，其 高度约有l 1 5 英尺，长约3 0 英尺，以每小时大约8 9 英里的速度，沿 着水面向前滚动。我骑在马上一直跟随着它，发现它的大小、形状和速度变 化很缓慢，直到l 2 英里盾，它才在蜿蜒的河道上消失 瑚e l lj 。s t t 认识到，这不是普通的水波。因为普通的水波是由水面 的振动形成的，在扩展一小段距离后即行消失；而他所看到的这个水团，却 具有光滑规整的形状，完全在水面上移动，衰减得也很缓慢。他把这圃奇特 的运动着的水堆称为“孤立波”或“孤波”r 1 l s s e uj s c o t t 还仿照运河的状 况建造了一个狭长的大永槽，模拟当时的条件给水以适当的推动，果然从实 验上再现了在运河上观察到的孤波，他认为这应当是流体力学方程的一个解 羔8 9 5 年，荷兰数学家k o r 毛e w e g 和德的学生& i e s 在研究浅水中小振幅长 波运动时，考虑到可把水简化为弹性体，具有弹性特征之外，还注意到水具 有菲线性特征与色散作用，这些次要特性在一定条件下会形成相干结构。他 们由此提出了单向运动浅水波k o r t e w e 分d ev r i e s ( k d v ) 方程【3 】，它是如下 形式的非线性偏微分方程： 岛2 = 6 铭毯z + 髓敬军( 王。盖) 出方程得出的波的表面形状与孤波的表面形状十分相似，放焉给出了一个类 似于罗索孤波的解析解，孤波的存在才得到了公认k d v 方程可以描述数 学物理中很多有趣豹现象，如摧述微小振幅的浅水波的渐进变佬、冷等离子 体中的流体磁力波、非调和晶体中的离子声波等等 在k o r t e w e g 和d ev r i 鹪的工作之后，人们发现能象k d v 方程那样精 确可解的方程很少，使得这方面的研究进展非常缓慢2 0 世纪6 0 年代，电 2 0 0 8 年中国科学技术大学博士学位论文第2 页 第一章绪论 子计算机被广泛应用之后，为这一理论研究带来契机其中一个重要转折点 是1 9 6 5 年美国科学家z a b u s k yn j 和k r u s k a lm d 给出的关于k d v 方 程数值解的研究f 4 1 ，他们在电子计算机做数值试验后意外地发现，以不同速 度运动的两个孤波在相互碰撞后，仍然保持各自原有的能量、动量的集中形 态，其波形和速度具有极大的稳定性，就像弹性粒子的碰撞过程一样，所以 完全可以把孤波当作刚性粒子看待于是他们将这种具有粒子性的孤波，即 非线性方程的孤波解命名为“孤子 1 9 6 5 年以后，人们进一步发现，除水 波外，其它一些物质中也会出现孤波在固体物理、等离子体物理、光学实 验中，都发现了孤子并且发现，除k d v 方程外，其它一些非线性方程，如 s i n e g o r d o n 方程、非线性薛定谔方程等，也有孤子解 1 9 6 7 年，g a r d n e rc s ，g r e e nj m ，k r u s k a lm d ，m i u r ar m 5 1 提出 了求解k d v 方程反散射方法( i n v e r s es c a t t e r i n gm e t h o d ) 并得出了k d v 方 程n 个孤波相互作用的精确解，这个方法经l a xp d f 6 1 和a b l o w i t zm j ， k a u pd j ，n e w e ua c ，s e g u rh 7 ，8 1 等人推广到一系列的非线性演化方 程中去，完善为一个较普遍的解析方法9 1 ，大大推进了孤子的研究越来越 多的数学家对此产生了浓厚的兴趣，研究文章也层出不穷包括l a x p d ， g e l f a n di m ，d r i n f e l dv g 等在内的许多著名数学家都对孤子与可积系统 进行了相关研究，并取得一系列的研究成果f 1 0 - 1 9 1 ，对这一领域的发展做出 了巨大的贡献 孤子与可积系统的研究是一个十分广泛的范畴，其中包含了数学物理的 许多分支一方面可以从分析和微分方程理论的角度来研究，像上面提到的 反散射方法，它可以用来解决很多非线性方程的求解问题；另一方面也可以 从几何的角度出发，通过三维空间中局部曲线和曲面的几何性质来构造孤子 方程，如零曲率方程，s i n e g o r d o n 方程实际上，从几何角度出发，k d v 系 列可以在一个圈群( l o o pg r o u p ) 的几何中实现还可以通过几何变换来求解 可积方程，如几何b 旋l ( 1 u n d 变换2 0 ，2 1 1 关于孤子方程可积性的研究，上世 纪7 0 年代，g e l f a n di m 和d i c k e yl a 1 8 1 引入了代数的方法，引进了 g e l a n d d i c k e y ( g d ) 系列1 ，通过变分来构造p o i s s o n 括号而后，由a d l e r m 清晰地表述并推广到n 阶变分算子的情形f 2 2 2 4 】通过对g d 系列的 h a m i l t o n i a n 结构的研究，使得对其可积性有了一个深刻的认识8 0 年代 d r i n f e l dv g 和s o k o l o vv v 1 3 1 通过建立n 阶微分算子和矩阵算子的对 1 g d 系列也可以看作k p 系列的7 1 约化 2 8 年中国科学技术大学 霉士学缀论文 第3 页 第一章绪论 应关系，给出了上述结果的k a c - m o o d y 代数解释。到了年代，r a d u l 【2 鼋 彻底解决了基于拟微分算子描述的k p 系列中关于h a m i l t o n i a n 结构的问 题，毯溉l t o 珏i 糕结构在可积系统的研究中是十分重要的，触及了可积晦本 质以k d v 方程为例，h a m i l t o m a n 结构意味着可以将方程写成如下形式： 窑= 乏等， 2 ， 一= 一一 1l 。二| 矾如乩 r 1 其中，殿= ，胁称为h 栅衄t o n j a n 量( 它是一个局部的性质) ， 是钍， 的多项式，称为守恒律密度，；是变分算予。定义函数锰所在的函数空闻是 一个有限维光滑流形m 由二e 面的定义，l ( d v 方程有两个h a m i l t o m a n 结 构( p i s s o 珏括号) ： ，互) ( o ) 一， ( 6 ，乩) 删2 + 0 6 ，6 缸十2 u ( 6 ，艿u ) ，】幻6 让出， ( 1 3 ) j 广 1 ，孬) 汹) 一( 6 ，抛) 7 的6 钍。 ( 1 4 ) j 其中，歹= 。| f 歹( 嚣) 玉和参= 歹雪( 簦) 妇是流形掰上的泛丞。 除上述k d v 方程及g d 系列之外，另一个十分重要而且更广泛的可积 系统是薹( a d o 珏媾8 e v _ p 蘸v i 勰k i l i ( k p ) 系列 1 4 ，王趴囱1 9 8 0 年起，k p 系列开 始成为经典可积系统这一领域中最重要的研究课题乏一d a t ee ，k a s h i w 缸a m ，j i m b om ，m i w at 在1 9 8 3 年给出k p 系列的下函数存在性定理【1 4 】， 类似薹( d v 方程，k p 系列的h 撇i l 毛。珏i 勰结构也有相应的研究。第一个结 构最早由w 乱a n a b ef 2 6 1 给出，划u lf 2 5 】第一个彻底地解决了这个问题 e h 雒k 珏乎l i e ，s h a wj i i 融c h 躲g 和y e 珏挂。c 【2 7 】给出的规范变换( g 勰g e n a n s f o r m a t i o n l 是求解k p 系列的一种非常有效的方法对称的研究在k p 系列的理论发展中起着关键的作用，其中附加对称、弦方程、v i r a r o s o 约束 引起了极大的关注。事实上，附加对称有羲两种不麓的表达。第一静是圭9 8 6 年由o r l o v 和s e h u l m a n ( o s ) f 2 8 1 给出，他们通过定义一个算子m ，从而 霉导到附加对称流的具体形式( 作用在波函数上，等价于作用在l a x 算子 上) ，从而构成一个无中心的蹦+ 代数；与上述结果对应的是显含时间变 量亡和空间变量z 的对称，这可以追溯到由o e v e l 和f u c h s s t e i n e r 【2 9 ，3 0 】以 及c h e n 3 王 等人的工作。第二种怒s 蘸ob a 矗l u n d 对称，圭作焉在k p 系列 的丁函数上的顶点算子x ( a ，p ) 给出，x ( a ，p ) 为十代数的生成元【1 4 】 比较奇怪的是很长一段时间，没有给出两荸申类型对称的直接联系但是实际 2 0 0 8 年中图科学技术大学博士学位论文 第4 页 第一章绪论 上，由0 r l o v 和s c h u l m a n 定义的附加对称流构成的w j + o o 代数，可以通过 在k p 系列的丁函数上的作用，进行中心扩张f 3 2 3 4 1 ，在这一过程中a d l e 卜 s h i o t p v a nm o e r b e k e ( a s v m ) 公式起着重要的作用几乎在同一时间，完全 从可积系统的角度d i 呔e y 绘出a d l e r - s h l o t 缸v 雒m o e r b e k e ( a s v m ) 公式一 个非常直接和简洁的证明3 5 1 d i c k e y 还得到附加对称在g r a s 8 m a n n i a n 上 的作用，同时给出一个附加对称在r 函数上的作用的宣接推导过程【3 6 】 我们知道，k p 系列有两个特殊的子系列：b k p 系列【1 4 ，1 5 1 和c k p 系列 l 翻。b k p 系列对l a x 算子的约束条件是三一一0 五孕，丽c 至( p 系列对算子的约束条件是上= 一厶其中车表示一个形式共轭算子：对于 任意一个拟微分算子p = 秘，定义p = ( 一1 ) 伊魏；对于两个算子， f a b ) 一b + 当有了k p 系列的附加对称之后，如何构造b k p 系列和 c k p 系列的附加对称成为个自然而且有兴趣的问题 1 9 9 硅一王9 9 5 年，j o h 褪v 褪d el e u r 3 7 ，3 8 1 通过代数方法褥到了b k p 系列的对7 _ 函数的部份v i r a s o r o 约束和a s v m 公式t a k a s a l 【i 【3 9 】找到了 对b 至( p 系列的附加对称的会适限制2 0 0 ? 年，鬏l 【4 嘲利用擞的结 果f 3 9 1 和d i c k e y 的方法f 3 6 】给出了b k p 系列的附加对称生成元的具体形 式，露时给出豁k p 系列的a s v m 公式的一个改进证明与冷雹中麓代数 方法相比，这个新的证明更加简洁和清晰值得一提的是，由于b k p 系列 的约束条 丰，带来很多不同于薹( p 系列的交化，这使得研究变得比较困难。 比如说，b k p 系列的附加对称生成元是受相应限制的【3 9 】( 特别请见文中方 程( 4 0 ) ) 这个事实说麓b k p 系列的附加对称生成元是不同子k p 系列的直 接对应的结果 另外，由于受到理论物理、量子代数研究的大力推动，q d e f o r m a t i o n k p 系列( 霉一k p 系列) 在近年也是十分重要的研究对象+ 擘一形变的可积系统， 又称为量子形变的可积系统，其基础是量子微积分 4 1 ，4 2 】( 或者称为口一微 积分 量子微积分晕在二十世纪甥就已经出现，大约扶1 9 l o 年开始，f 。 h j a c k s o n 是第一个系统的研究口一积分和g 一微分的数学家【4 3 ，4 4 】1 9 8 0 年以来，菲交换几何阻5 l 的发展和利雳量子反散射方法【王7 l 研究量子可积 模型，导致了量子微积分在量子群中的研究特别地，s m a j i d 从辫子微分给 嬲了霉一微分 4 6 ，4 7 。最岳，量子代数，特别是用窖一形变振子( 王一d e 黏疆l e d o s c i l l a t o r ) f 4 8 5 0 1 给出了s ( 2 ) 的实现以后，在核物理、分子光谱、统计力 学中了有了很多应用降l 】。 2 0 0 8 年中国科学技术大学博士学位论文第5 页 第一章绪论 最近几年，人们在口一形变的量子可积模型f 5 2 ，5 3 1 、g 一形变的玻色气 体( q d e m e db 髓e9 8 s 及其玻色一爱因赣坦凝聚 5 4 ，5 翻、譬一形变的费米气 体及其热力学f 5 6 ，5 7 卜g 一形变的热力学和维里定理 5 8 ，5 9 l 、口一形变的 p o i s s o n 括号及其经典动力学f 6 0 1 、哈密顿量具有s ( 4 ) 对称的g 一形变的 核模型一薯线形对模型漆羔 等方面遴行了大量研究这些研究表明基于量子 代数和量子微积分的模型( 与基于李代数和通常微积分的模型相比较而言) 能更好的描述一些实验问题，如分子振动谱、转动谱等，也为物理的不少领 域提供7 许多更好的理论模型( 尽管其中一部分还有待进一步改进) ，得到 一些新的结果因此可以说量子微积分不只是简单的把通常的微积分中的微 分算子a 用口一微分玩替换下的结果，而是有深刻的数学背景并在物理等 其他学科有潜在应用价值，尽管在很多情形下辞一形变的物理含义是不清楚 的但是最近发表在p r l 上的文献f 6 1 1 的结果表明，在具有鼠( 4 ) 动力学 对称的哈密顿壁凰描述的核模型中，g 一形变不仅导致 更接近实 验值，丙且通过窑= r 和阐絮芝三曼使得哈密顿量域关于犍进行展开 ( 当n _ 0 时) ，展开的零阶项就回到未形变的h ，展开的高阶项引入了多 体相互作用换句话说，口一形变在一定程度上反映了多体相互作用的效应， 而且不可能通过增加强度来吸收掉这个效应这个结果在探索窖一形变的意 义方面是一个很大的进展，而且启发我们从多体相互作用方面去进一步寻求 g 一形变的物理意义那么，研究口一孤立子的相互作用也是有益于g 一形变物 理意义的研究的。特别是鼙一形变j 暑线性s 出r 雒i n g e r 方程的解的相互作用， 因为非线性s c h r 石d m g e r 方程有非常明确的物理意义 口一形变可积系统的构造是将经典可积系统中对搿的微分a 替换为q 。微 分挽，这可以看成是经典可积系统的一种形变或类似，当形交参数譬一l 时 将退化为经典的可积系统最近，以下的三种g 一形变的可积系统被广为研究： 第一种是g 一形变n 阶k d v ( 口一n k d v 或者称为q g e l f a n d _ d i c k e y 系列) 嗡2 ，6 锑，当鼋_ l 时，它将约化得到n 阶k d v 系列，当= 2 时譬一n k d v 系列称为口一k d v 系列，它与经典情况下的k d v 系列对应，譬一n k d v 系 列继承了经典n 阶k d v 系列的几个可积结构，例如无穷守恒律( i n i n i t e c o 璐嚣张专i 鼹l 鑫w ) ，双啥密尔顿结构潞4 ，6 5 ，函数麓6 ，6 7 1 ，8 荟i ；c l 【l u 矗变 换f 6 8 】- 第二类是q k p 系列f 7 0 ，7 1 1 ，它的下函数f 7 2 ，7 3 】，双哈密尔顿 结构f 7 4 1 和附加对称( a d m t i o n 献s y m m e t r y ) f 7 1 1 都被广为研究；第三类是 譬一a k n s d 系列 ? 巩它的双线性恒等式及彳函数已经给出。 2 0 0 8 年中国科学技术大学博士学位论文 第6 页 第一章绪论 本文将主要研究b k p 系列、c k p 系列和q k p 系列的附加对称及其 相关问题对于b k p 系列来说，我们从b k p 系列的附加对称流出发，用 可积系统的办法，给出b k p 系列的弦方程和丁函数的v i r a s o r o 约束与 b k p 系列不同的是，由于c k p 系列没有一个独立的7 - 函数，导致我们得不 到c k p 系列的a s v m 公式不过，这不影响c k p 系列的附加对称和弦方 程的存在性，我们将构造c k p 系列的附加对称生成元，并证明附加对称流 形成一个无穷维l i e 代数孵。此外，由附加对称流我们给出c k p 系列 的弦方程和附加对称的生成函数之后继续讨论g 一形变情形，在口一k p 系 列的附加对称基础上，基于l a x 算子的方法得到g k p 系列的弦方程，并 由此出发研究对口一k p 系列的7 - 函数的v i r a s o r o 约束和v i r a s o r o 生成元 的具体形式，最后讨论q 一形变的形式和意义 文章的结构如下：我们在第二章中简要地回顾一下k p 系列及其附加对 称，包括一些定义、公式和基本性质；第三章详细地讨论b k p 系列的附加 对称和弦方程，给出一些特殊的附加对称流，以及b k p 系列的对7 - 函数的 v i r a s o r o 约束第四章探讨c k p 系列的附加对称和弦方程；第五章由附加 对称出发给出口一k p 系列的弦方程和对7 - 函数的v i r a s o r o 约束；最后一章 总结本文的主要结果以及提出值得进一步研究的问题 第二章k p 系列及其附加对称 在这一章，我们简要地回顾一下k p 系列及其附加对称相关研究在第 一节中，首先给出k p 系列定义的两种形式，并列磁一些具体的流方程，之 后介绍k p 系列的h a m i l t o i l i a n 结构：第二节中，利用波算子来描述k p 系 列的波函数、双线性等式，之后给出f 函数的存在性定理，这些将是探讨 k p 系列的附加对称的理论基础；第三节，回顾k p 系列的附加对称相关研 究，包括附加对称、弦方程、v i r 8 8 0 r o 约束，并给出k p 系列的f 匆等式和 a d l e 卜s k o 乇咎v a nm o e r b e k e ( a s v m ) 公式。 2 。lk p 系列及其基本性质 本节首先描述k p 系列及其基本性质【1 4 ，l 圈k p 系列的定义基予一个 一阶微分算子( m d o ) ： ， 三= 秽+ 鼋砉l a 一1 + t 砉2 a 一2 + 链3 a 一3 + ， ( 2 。1 ) 其中a = 击，a 一1 为a 的形式逆，被称为k p 系列的l a x 算子 羔蕨b 越毫z 关系成立： 扩。m ) ：壹变业掣筹， 其中竹为任意整数为了以后的计算方便，这里罗列几个具体例子： q 一 蚤专乳 譬ol = l 铲2 | 8 专p 挚ql = 荸毽 乎专毽8 专p ； 铲o = l 净弋l t 乎斗龟p 乎黩 l la + l 博 扩。歹= ，伊5 ，7 伊+ 1 0 ，萨书王0 ，肼铲+ 5 ，4 ) a ，乳。 其中，= a ，= a 2 ，( 竹) = 扩， 当嚣为负整数时王，e i b b i 专z 关系如下给出 矿1of = 8 1 一 。8 2 七 1 f 8 3 一， 7 2 0 0 8 年中国科学技术大学博士学位论文 第8 页 第二章k p 系列及其附加对称 2 1k p 系列及其基本性质 a 一2o 厂= ，a 一2 2 ，7 a 一3 + 3 ，7 7 a 一4 一， a 一3o ，= ，a 一3 3 厂7 a 一4 + 6 ，7 a 一5 一， a 一4o ，= ，a 一4 4 ，7 a 一5 + 1 0 ，a 一6 ， a 一5o ，= ，a 一5 5 ，7 a 一6 + 1 5 ，a 一7 ， k p 系列的第一种定义形式为l a x 方程： 匀 巩l = 吼，l 】，忌= 1 ，2 ，3 ，巩2 兹， ( 2 2 ) 是关于乱 = u l ( 亡1 ，t 2 ，t 3 ，；z ) 的无限维偏微分方程组，其中风用来表示 算子p 的微分部分，即玩= ( p ) + = 啦伊，相应地，积分部分记为 ( p ) 一= 驴一风将系数_ u ，u 2 ，) 视作微分多项式代数a 的生成元 不难得到a l = a 三，因此我们可以认为亡1 与z 等价，即t 1 + z _ 亡l ，因此 u i 是无穷变量t = ( 1 ，亡2 ，亡3 ，) 的函数，即地三u l ( t ) 注2 1 方程( 2 2 ) 可以由线性方程l 妒= 入矽，讥。= b m 砂的相容性条件得 到 这里罗列一些具体的风和流方程： b 1 = d ， b 2 = a 2 + 2 u 1 ， b 3 = 伊+ 3 t 正1 a + 3 u 2 + 3 乱1 ，z ， 鼠= 伊+ 4 乱1 a 2 + ( 4 u 2 + 6 让1 z ) a + 4 乱3 + 6 2 ，z + 4 t 上1 ，z + 6 “；， b 5 = a 5 + 5 u 1 伊+ ( 5 乱2 + 1 0 乱1 ，z ) a 2 + ( 5 u 3 + 1 0 u ；+ 1 0 u 2 声+ l o u l ，) a + 5 u 4 + 2 0 乱1 乱2 + 1 0 u 3 ，z + 1 0 t 正2 ，z + 2 0 让1u 1 工+ 5 u 1 ，z z z 如流： t 2 流： ，1 = 乱 ，z ，i = 1 ，2 ，3 ， u 1 ，t 2 = 2 钍2 z + u 1 ，z z ， ( 2 3 ) ( 2 4 ) 2 8 年中国科学技术大学博士学健论文 第9 页 第二章k p 系列及其附加对称 2 1k p 系列及其基本性质 t 上2 ，t 2 = 2 ，+ 2 钍3 ，+ 2 t 正1 u l ，善， 舌3 流： t 正l ，坛23 性2 ，砧+ 钆l ，z 霉+ 3 瓤3 ，+ 6 锃l u l ， 抛，3 = 3 乱3 ，黼+ 链2 ，埘茁十3 i 虹声十6 缸l 牡2 + 6 锃2 缸l 弗， 由方程( 2 4 ) 、( 2 5 ) 及( 2 6 ) 出发，并令t 2 = 箩，3 = 亡，可得 3 札s ，= ( 4 魄一甜一6 u ) 芒， ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 。7 ) ( 2 8 ) 这个方程被称为k a 面m 乇s e v p 蘸锈8 s b i 蠢( k p ) 方程，这正是把这个系对命名 为k p 系列的原因若进一步要求k p 方程中u 与无关，并令_ 4 毒，让_ 链2 ，则得到k o 赡e w e 分如v r i e s ( k d v ) 方程： z “：= = 6 钍缸z 十u 霉 ( 2 9 ) 命题2 1 由方程( 2 2 ) 定义的k p 系列的向量场 巩，七= 1 ，2 ，3 ，) 互相可 交换，即如( 文厶) = 文( l ) ， 这个性质是十分重要的，向量场良与可交换意味着k p 系统( 2 2 ) 中的 任一个方程都诱导出其他方程的一个对称沿着另外一个向量场对一个方程 的解作变换，可以得到同一个方程的新的解换句话说，如果二是k p 系列 l a x 方程的解，那么对于任意的m ，则l 十e a m l 在0 ( e 2 ) 下也是解 k p 系列的第二种形式可以表示成z 被h 瓣黯a b a 毫( z s ) 形式溶纠，并 被称为零曲率方程： 魏一鼠+ 【，鼠】= o ，诧，m = 2 ，3 ，4 ，( 2 。l o ) 该方程可由方程( 2 。2 ) 导嬲。 例2 1 在方程( 2 1 0 ) 中取n = 3 ，m = 2 ，并设2 t 1 一u ，屯一耖，亡3 = 亡，同样 可以得到k p 方程： 3 钆鲫= ( 4 一甜一6 乱t k ) 嚣 2 0 0 8 年中国科举技术犬学博士学位论文第l o 页 第二章k p 系列及其附加对称5 2 1k p 系列及其基本性质 k p 系列有两个重要的子系列：b k p 系列和c k p 系列，是本文后两章 研究的对象另外，k p 系列有一些推广，比如第五章研究的尊一d e f o r m a t i o n k p 系列( 窖一x p 系列) ，是将经典k p 系列中对z 的微分a 替换为鼋。微分 晓得到的系统 接下来简要地介绍一下k p 系列的冀鑫瓣i l 毛。越勰结构，第一个结构最早 由w a t a n a b ef 2 6 1 给出，r a d u l 【2 5 第一个彻底地解决了这个问题对于任意 的正整数戆，k p 双h a m i l t o n i a n 结构可以自然地约化成g d 的h a m i l t o 嫩a n 结构 为了考虑k p 系列的h a 越1 t o i l i a n 结构，我们设： 艺= a + 戡o + “1 a 一1 十呦a 一2 + t 正3 a 一3 十， ( 2 1 1 ) 这里加了镯项。此时 l n = a n + 一l 扩一1 + 口。一2 扩一2 + 引入以下记号：卵= a 一 ，( 秽) 妇) ，其中，a 每一个霍d o ：a = 嚷伊对应的导子良一a ，) a 锄p ) 生成l i e 代数矿q o 的对偶 空间q 1 由以下形式的算予构成： x 一艿一再一，+ o 嘶1 墨一，= 铲一1 x 对于每一个自然数纷，k p 系列有以下的嚣个h a 越l t 强i a n 映射：日：q 1 _ ， 日竹o ( x ) 一巳。( 。) f x ) ， a n o ( x ) = ( 五竹x ) + 三n 一三n ( x 厶n ) + ， 妒x ) 一色。汹) ( x ) ，a 摊( x ) = 一f ，置】+ 【9 ，墨】。 对于每一个0 流，对应于上述两个h a m l i t o n i a n 结构的h a m i l t o n i a n 量分别 是： 五，= 嘲删z ，妒，一朋 ( 2 1 2 ) 注2 2u o = o 或朝n 一1 = o 的约化等价于 嬲妒，蒜】姐 2 8 年中莺科学技术大学博圭学彼论文 第l l 页 第二章k p 系列及其附加对称 2 2k p 系列的波函数和r 函数 2 。2k p 系列的波函数和7 - 函数 k p 系列的l a x 算子三= 孕整l 矿1 专现a 一2 勘参一3 可以表示 成d r e s s i n g 形式： z ，= 妒川 ( 2 。1 3 ) 其中拟微分算子毋= 姚a 一( 铷o = 1 ) = 1 + 切1 a 一1 十切2 a 一2 + t u 3 a 一3 + i = o 被称为出e s s i n g 算子，或波算子。则其形式逆可以写为： 一1 1 + 1 a 一1 + 耽a 一2 + 地a 一3 十 其中馥可童 铆l ，劬，溉及其微分来表示，前屁项妇下所示： u l 燃一l ， 眈2 一翅2 + 铷；， 铂一一伽3 + 2 叫1 耽一伽l 锄：伽 注2 3 渡算子在相乘一个常系数算子g = 1 + c l p 一1 + c 2 a 一2 + 如为 常数) 的意义下唯一 引理2 2 【) 可以用 伽1 ，她，毗) 来表连 镪一一戳，善q i ( 馨l ，娩，戳一1 ) 这里q t 为微分多项式 很容易写出前几个系数： 耄| l2 一蛰l 。墨， 22 一叫2 ，霉+ 训1 伽1 ，霹， = 一蛾 髫+ 镏l 嬲2 ，鬈+ 甾l ，霪铆2 一锄；瓣l ，善一铋； 命题2 3 通过d r e s s i n g 变换，a ”上矢量场变换到a 。上： 妒= 一贮咖 ( 2 1 4 ) 而且流是交换的，这个方程被称为s 醚d 方程，其中= 忐， 2 0 0 8 年中国科学技术大学博士学位论文第1 2 页 第二章k p 系列及其附加对称 5 2 2k p 系列的渡函教和7 函数 为了讨论k p 系列的波函数，先引入一个级数， 有如下性质： ( t ，z ) = z m ， a m e f ( 。，2 ) = z 。m e ( 。，z ) = 6 k e e ( 。，引 k p 系列的波函数定义为： 伽( t ，名) = e ( t 力= ( 1 + 等+ 等+ ) 手( 啦) = 西( 亡，z ) ( 啦 ( 2 1 5 ) 其中毗= 毗( 亡) ，t = ( t 1 ，亡2 ，t 3 ，) 接下来考虑k p 系列的共轭波函数 伽( t ，名) ，这里的共轭木表示一个形式共轭算子：对于任意一个拟微分算子 p = a 伊，定义p = ( 一1 ) 伊a ，简单的如矿= 一a ，( a - 1 ) = 一a - 1 ；对 于两个算子，( a b ) = b + a + 不难得到如下两个命题： 命题2 4k p 系列的波函数满足方程： l 七叫= z 七叫，叫= l ? 叫，七z ( 2 1 6 ) 命题2 5k p 系列的共轭波函数为 满足方程： 叫( t ，z ) = ( 咖) 一1 e 一淝2 ) = 西+ ( ，z ) e 一讹引 l 叫+ = z 伽+ ，叫；= 一? 叫，尼z ( 2 1 7 ) 引入两种分别关于a 和z 的形式留数： 嗍a n i = 口扎 r e s 。o t 夕= o 斗 首先给出两个关于拟微分算子著名而富有技巧的引理，这些引理在研究 k p 系列的双线性恒等式以及丁函数时有着重要的作用 z k 汹 = z f 2 0 0 8 年中国科学技术大学博士学位论文 第1 3 页 第二章k p 系列及其附加对称 2 2k p 系列的波函数和7 函数 引理2 6 ( ，肛影6 2 5 ) 对两个任意的拟微分算子p 和q ，等式 r e s 。 ( p e ) ( q e 一霉。) 】= r e s a 尸q 】( 2 1 8 ) 成立 引理2 7f ，肛纠5 6 3 2 一砂) 设，( z ) = 啦z 一，则 一 r e & k 一1 ( 1 一z ( ) 一1 + z 一1 ( 1 一( z ) 一1 】，( z ) = ，( ( ) ( 2 1 9 ) 供中( 1 一z ( ) 一1 理解为e 1 的级数，同样理解( 1 一( z ) 一1 为z 一1 的级数， 上面两个引理的留数语言相对于6 ( a ) 语言【1 5 】容易理解，不加证明的 给出： 命题2 8 对任意( i 1 ，i 2 ，) ，k p 系列的双线性恒等式成立： r e s 。( 磷1 船t u ) 伽= o ( 2 2 0 ) 双线性恒等式还可以写为： 7 e s ；叫( 7 ，z ) 叫( 亡，z ) = o ， 其中，( t 7 ) 理解为形式展开 巾7 ) = ( 矗一亡，) ( t 幺一) 磷1 鼢邢) z - ! ! 双线性恒等式的对偶形式可以写为： 7 e s ：( 磷1 鳃叫) = o ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 以上讨论了k p 系列的波函数叫和共轭波函数加+ 满足的一些性质，现 在考虑问题的另外一个方面，即给定形如伽，叫+ 的函数，如何探讨与k p 系 列的关系，有如下结论： 命题2 9 以j 设 曲“ 一 ez l 山 铷 = 刁“ t z 毗 础 = 叫 2 0 0 8 年中国科学技术大学博士学位论文第1 4 页 第二章k p 系列及其附加对称 2 2k p 系列的波函数和7 函数 为形式展开，其中叫o = 叫；= 1 ，毗和埘；是气的函数，如果对任意i o ， 均有r e s ：( 伊伽) 矿= o 成立，若设= 妣伊，则有叫( t ，z ) = e 印( ，z ) t = 0 和叫( t ，z ) = ( ) 1 e 印( 一( 厶2 ) ) i 例如果对i 七0 的任意指标，伽、叫满足双线性恒等式： r e s ：( 雠1 船伽) 叫+ = o 则伽和叫+ 为k p 系列的l a x 算子l = a 妒一1 的波函数和共轭波函数 接下来，转到k p 系列的7 - 函数上来为此先定义一个移动算子g ( ( ) ， 其在函数，( ，z ) 上的作用为： g 邢训卜* 一去忠一去， 利用上述记号，来描述k p 系列的7 - 函数的存在性定理： 定理2 1 0 存在函数7 l ( 亡1 ，亡2 ，) 使得 靴，= 堑长蔫半= 季 ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 由于r e s p = 舞甓故所有的动力学坐标u t 都可以用丁函数来表示， u 。：嘉h 丁， u 12 丽1 n 丁 u 。= 三( 彘一昙) ， u 22 互i 否磊一礤jmr ， 一丢( 2 彘+ 昙一3 彘 同样，毗也可以用7 函数来表示： h 丁一( 昙m ) ， 1d 7 叫12 一孑瓦， 1 ，a 2 7 -a 丁、 加z2 爵l 孤一瓦) ， 一一击( 嘉一3 轰+ 2 毫) 32 一爵【万一3 丽+ z 瓦j 2 0 0 8 年中国科学技术大学博士学位论文第1 5 页 第二章k p 系列及其附加对称 2 3k p 系列的附加对称、弦方程和v i r a s o r o 约束 2 3k p 系列的附加对称、弦方程和v i r a s o r o 约束 k p 系列的l a x 算子 l = a + u l a 一1 + u 2 a 一2 + u 3 a 一3 + ， 满足关系： 仇一l 兰= 砂( 仇一a j c ) 一1 对等式愀一扩，刎= o 两边做d r e s s i n g 变换，可得k p 系列的l a x 方程 【鼠一l 晕，三】= o 不难验证如下定义的算子r 也能和仇一秒交换： r = f 哦伊 i = 1 对等式限一矿，r 】= o 同样做d r e s s i n g 变换，得方程 【巩一l 晕，m 】jo ( 2 2 5 ) 即 反m = 【l 晕，m 】 ( 2 2 6 ) 其中m = 矽r 矽，称之为k p 系列的m 算子【2 8 】等式m = r 两边同 时作用在e e ( 啦) 上，有m t u = 晚叫( 其中晓= a 出) 综合等式己伽= z 训可 以得到 m m 叫= 刀伽， 万m l z 叫：歹6 i m 叫 定义2 1 1 微分方程 q i m = 一( m m