（计算机软件与理论专业论文）模糊推理的数学结构及其应用.pdf

摘要 本文主要研究r 模糊推理的数学结构及其应用。主要研究成果有彬，x w 。上 凡代数结构及其构造及模糊一可能推理的几种推理形式。文章分为两个部分：第 一部分主要研究了二维空间上r 。代数结构。第二部分讨论了不确定性推理。为了 研究r 。代数结构，我们引入了中点的概念。在此基础上我们得出了可去( 不可去) 、 可加( 不可加) 中点的r 。代数的充要条件，并进一步给出了一些奇数元非全序风 代数的构造方法。这一部分有重要的理论意义，它为研究更一般的r 。代数指明了 一个方向。第二部分讨论了模糊一可能推理方法，由于在人工智能，专家系统中 的推理部分涉及大量的模糊现象，模糊推理已成为不确定推理的主要方向。在本 义中我们主要针对产生式的左部是一模糊现象，而右部是一个状态或命题的形式 进行讨论，特别是右部带有可信度的形式。并建立了一些推理方法。这些推理方 法是针对不同情形的，在人工智能、专家系统中有一定的实践价值。 a b s t r a c t t h i st h e s i sm a i n l ys t u d i e st h ea l g e b r as t r u c t u r ea n da p p l i c a t i o n so f f u z z y i n f e f e n c e 。t h ec h i e fr e s e a r c h ：o n ei s r a l g e b l a s t r u c t u r eo f x w 。，t h e o t h e ri ss o m ew a y so ff u z z y p o s s i b l er e a s o n i n g 。i t c o n s i s t so ft w o p a r t s ：p a r ti i so nt h es t r u c t u r eo f r oa l g e b r a ，a n dp a r o n t h eu n d e t e r m i n i s t i cr e a s o n i n g 。i no r d e rt os t u d yr o a l g e b r as t r u c t u r e a l g e b r a ，w h e r er oa l g e b r a i st w o - - d i m e n s i o n a l ，w ei n t r o d u c em i d d l e p o i n tc o n c e p t 。 b a s e do ni t ，w ef i n dt h es u f f i c i e n t a n d n e c e s s a r y c o n d i t i o n sa b o u tm i d d l e p o i n t w h i c hi sa d d i t i v e ( u n a d d i t i v e ) o r r e m o v e a b l e ( u n r e m o v e a b l e ) 。t h e n w e g i v ec o n s t r u c t i v ew a y s o fn o n t o t a l o r d e r r oa l g e b r aw h o s ee l e m e n tn u m b e r s a r eo d d 。t h i sp a r th a st h e i m p o r t a n tt h e o r ym e a n i n g ，i tp o i n t so u ts o m ed i r e c t i o n f o rp e o p l ew h o s t u d y t h er n o s t g e n e r a lr 。a l g e b r a s t r u c t u r e 。i np a r ti i ，w ed i s c u s s f u z z y - - p o s s i b l e i n f e r e n c e w a y s 。 s i n c er e a s o n i n gi na ia n de x p e r t s y s t e m si n v o l v e sal a r g en u m b e r o ff u z z yp h e n o m e n o n s ，f u z z yr e a s o n i n g h a sb e c o m em a i nd i r e c t i o no fu n d e t e r m i n i s t i cr e a s o n i n g 。i nt h i sp a r t w e m a i n l yd i s c u s sp r o d u c t i o ns y s t e m s w h o s el e f tp a r ti saf u z z yp h e n o m e n o n ， b u tr i g h t p a r t i s as t a t eo rp r o p o s i t i o n 。e s p e c i a l l y ，r i g h tw i t hc e r t a i n f a c t o r 。atl a s tw eb u i l du ps o m e r e a s o n i n gw a y s 。t h e s ew a y e s a i mf o r d i f f e r e n tc o n d i t i o n s ，t h e yh a v es o m ep r a c t i c a lv a l u e si na ia n de x p e r t s y s t e m s o 2 引言 1 9 6 5 年，z a d e h 引入了模糊集的概念，并进一步提出了模糊推理的方法。从 此人们可以对以下的形式进行推理：己知a 斗b 且给定 a + 求 b 由于自然语占奉身就涉及大量的模糊现象，所以模糊推理迅速成为一种主要 的推理方法。在人工智能、专家系统、自动控制中有着广泛的应用，并由此而引 出了一个新的研究领域一软计算。这之后几十年间，关于模糊推理的方法不断涌 现，但是模糊推理一直没有一个成熟的模糊逻辑系统，有鉴于此，1 9 9 7 年，王 国俊教授提出了一一种模糊逻辑命题演算的形式系统 is i 。通过将模糊推理抽象化 和形式化的方法在经典逻辑学中建立了模糊推理的非模糊形式，从而在一定意义 下为模糊推理建立了严格的逻辑基础。1 9 9 8 年以来，王国俊教授引入了凡代数 的概念。给出了凡算子之后，许多学者此进行了深入的研究。得至岍多研究 成果h “”，王国俊教授进一步给出r o 等式的概念，并证明了r o 代数的完备性定 理。但是，在诸多研究成果中甚少涉及凰代数结构的研究。有鉴于此，我们在 二维空删上对r 。代数结构进行了讨论，希望对般的r 。代数结构的研究提供一 点借鉴。为了研究二维空间上凡代数结构，韩诚引入了中点的概念，我们发觉 中点在r 。代数中有着特殊的地位。通过它，我们可以把民代数分为可去( 可加) 、 不可去( 不可加) r i 点的。进一步，我们给出了二维空间上可去( 可加) 、不可 去( 不可加) 中点的r 。代数的充要条件。由于我们在构造一些奇数元的非全序 代数的时候存在一定的困难，所以本文还对奇数元非全序尺。代数的存在性进行 了讨论，给出了一些奇数元非全序民代数的构造方法。最后我们还对素数元的 非全序r 。代数结构进行了讨论，给出了1 1 ，1 3 ，1 7 元的非全序r o 代数必是i 或 i i 型r 。代数。 自从美国数学家p o s t 在1 9 4 3 年提出产生式系统以来，围绕产生式系统的各 种推理形式应运而生。主要的推理方法分为两大类：确定性与不确定性的推理方 法。由于自然界大量的现象是不确定的。所以，近年来不确定性推理( 近似推理) 方法逐渐成为一个主要方向。在许多文献中关于近似推理的方法也层出不穷。主 要是对以下的形式进行推理 已知a + b h 给定 a 求口+ 总的来看，主要有三种方法。第一，1 9 6 5 年左右，z a d e h 提出了模糊推理 的概念，并进一步提出了著名的c r i ( c o m p o s i t i o n a l r u l eo f i n f e r e n c e ) 方法。其 基本思想是：用模糊集表示模糊命题，把蕴涵式转化为模糊关系，然后将输入与模 糊关系合成即得输出。 第一，d i n g i z 等在19 8 9 年左右提出c m i ( c o m p a t i b i l i t ym o d i f i c a t i o n i n f e r e n c e ) 方法”1 。其基本思想是：求使( a 呻b ) = ( a 斗口+ ) 成立的b 。，引入一 个修f 函数，通过此修正函数将a 与a 的差距相应的作用在b 上即得b + 。 第三，王国俊教授与1 9 9 7 提出3 1 方法4 1 。其基本思想是：寻求使 ( 爿o b ) _ ( 爿+ 斗b + ) = l 成立的最小的 日+ 。 我们在学习中发现这些近似推理的产生式规则中较少涉及规则的前件是模 糊的，而后件是一命题或状态的形式。基于此陈仪香教授与2 0 0 1 年提出了模糊 一可能推理的概念。本文主要是结合上面三大类方法及可信度的方法，针对模糊 一可能推理的形式给出若干种推理方法。 第一章彬，x w 。，上r 。代数结构及其构 1 9 9 8 年，王国俊教授引入只。代数，并给出r o 算子。可以证明r 。算子较其它 算子有较好的性质，推理过程中它使信息最损失较少。只。代数有较好的性质， 研究它有重要的理论价值。国内许多学者对此进行了深入的研究，得到了一些重 要的研究成果。如尺。代数完备性定理、代数公理系统的独立性等。但是我们 在学习中发觉对月。代数结构不太清晰，构造一些r 。代数尚存在困难。基于此， 我们引入了中点的概念，试图对j r 。代数进行分类。本部分主要在二维空间上对r 。 代数结构进行研究。我们的想法是先在二维卜把情况搞清楚，进而为研究更一般 的r 。代数结构指明一个方向。通过中点，我们把风代数分为可去( 可加) 、不可 去( 不可加) 中点的r 。代数。接着我们又给出一些民代数的构造方法。从而在 二维上使人们对r 。代数有一个较清晰的认识。 1 1 r 。代数的相关定义 定义1 1 1 1 2 1 设m 是( 1 ，v ，_ ) 型代数，如果m 上有偏序使( m ，) 成为 有界分配格，且v 是关于的上确界运算，一是关于序的逆序对合对应，且 ( m 2 ) 1 j “= d ，a 日= 1 ( m ，)b _ + c ( a _ 6 ) 一_ c ) ( m 。)口斗( 6 斗c ) = b 斗jc ) ( m 5 ) d 峙b v c = ( 玎斗b ) v 一c ) ，a 斗b c = 斗b ) a ( a 斗c ) ( m 6 ) 一b ) v ( 叶b ) _ 一d v b ) = 1 这里1 是( m ，兰) 中的最大元，则称m 为r 。代数 定义1 2 【”1r 。算子 定义1 3 ”2 - 系统呒，令= f 。， 了，砉，告暑，l 在上定义 、口：1 一d ，d v6 ：m a x 扛，6 ，a jb = r o ( d ，6 ) 则呒为一全序r o 代数 定义1 4 i 设m 是凡代数，a 是m 的非空子集n 果a x , - j - - , ，v ，_ 运算封闭， 则称a 为m 的子r 。代数 定义1 5 点式定义：令a = ( 一，x 2 ) ， b = ( m ，y ：) 则有 1 a = ( 1 x i ，_ 1 x 2 ) ，口v b = ( x iv y l ，x 2v y z ) ，d _ 手b = ( x i 斗x 2 ，y l y 2 ) ， a 当且仅当x ，sx ，y l y 2 命题1 1 2 1 设 m ，l i ，是一族民代数，m = 兀m ，是其直积。在m 中点式 定义偏序s ，n , z a 、，、，一则m 构成风代数，称为似，i f ，的乘积凰代数a 定义1 6 【7 1 设m 为r o 代数，若对于m 中_ 1 运算，有_ d = d ，则称a 为中点 定义1 7 7 1 设m e 贸o ，a 为m 的中点若 ( 1 ) m 一扛 m 。，则称m 是可去中点的 ( 2 ) m 一忙 正婀。，则称m 是不可去中点的 定义1 8 t 1i r m 吼。，且m 无中点，若j m m ，使吖= m u ，则称m 是 可加中点的；f t 2 ，若这样的m 不存在，则称m 是不可加中点的。 6 蚰 烈 a 吾，dvdf - r，0，l ： 如 1 2 彬x w 。上可去，q ；0 n ，不可去，不可加中点的r o 代数的一些结论 在试图对r 。代数进行分类的过程中，我f f o l 入中点的概念，下面给出些 结论。 定理1l设m cr v , ，。，( n ，m 为奇数) ，且m 是含中点的非全序月。代数，则 是可去中点的。当且仅当m 中所有元皆可与中点比较大小 证明：充分性： 设m 是可去中点的，则a = ( 1 2 ，l 2 ) am 假设b = ( m ，n ) m 不可以与a 比较大小，不妨设m l 2 则ajb = ( 1 2 ，1 ) m 故( 1 2 ，0 ) m ，又口斗- - , b = ( 1 ，l 2 ) m 而 ( 1 ，1 2 ) 斗( 1 2 ，0 ) = ( 1 2 ，1 2 ) 。 故m 必为不可去中点的，矛盾! 所以m 中所有元 皆町与中点比较大小。 必要性：设m 中所有元皆可与中点比较大小。下面证明m 是可去中点的。 假设m 是不可表中点的，则去掉中点后m 一 ( 1 2 ，1 2 ) 不再是r 。代数，即 去掉中点后v 或叶运算不封闭。 ( 1 )若v 刁i 封闭：即3 b ，c m ，有6 vc = ( 1 亿1 2 ) ， 不妨设 b = ( 1 2 ，m ) ，c = ( n ，1 2 ) ，( m l 2 ，n 1 1 2 ，场 1 2 ，则( m i ，n - - - ( 1 2 ，1 2 ) = 0 2 ，1 ) m ( 1 2 ，1 2 ) j ( m i ，n 1 ) = ( 1 ，l 2 ) emi 故( 1 2 ，0 ) ，( o ，l 2 ) em 从而( 1 2 ，1 ) - - - ) ( 1 2 ，o ) = ( 1 ，0 ) m 这样一来m 。l ，至少含有8 个元素，这与m 是7 元矛盾! ( 2 ) ( ，月，) 与( 1 2 ，1 2 ) n l g 较， 这里又有3 种情况 r ( ”：) 与( 1 2 ，l 2 ) 不可比较：此时类似( 1 ) 可证的矛盾 2 。( m ：，”：) 与( 1 2 ，l 2 ) 可比较，且( m ：，h ：) 与( 1 ，n i ) n l l 8 z ：此时 容易得到m 是全序，这与m 是非全序矛后i 3 。：，n ：) - 与( 1 2 ，1 2 ) 可比较，l e ( m 2 ，n 2 ) 与1 ，一) 不可比较： 此时不妨设1 2 m l b 贝u 有( 口，) ( 6 ，b ) = ( 、口v 6 ，口v b ) ， 由一、v 运算封闭可知一v 6 ，_ 1 v 叻m t ( 3 ) 上、下两个框上元素对链a b 上元素专运算封闭 类似( 1 ) 可以验证 从而m 。中元素_ 运算封闭，故m 。为一心代数 定理1 5 令m = ( 暇。一 l 2 ) ( 。+ 、一0 2 ) 一c 其中c 是由所有与( 1 2 ，1 2 不可比较的元素组成的集合则m 是r o 代数，进一步m u ( 1 2 ，1 2 ) 是r 代数 证明：易知m c _ “，故只需证明m 对1 ，v ，寸运算封闭即可 ( 1 ) m 对一运算封闭 任取m 中一元素b ( m ，n ) ，不妨设m l 2 ，n l 2 则，埘 1 鬟2i m心l ( 1 2 , 1 2 ) 刘于2 。b f = ( lv mz ，_ 1 _ vn 2 ) ，显然b 寸c ( 1 2 , 1 2 ) ，即b 寸c m 故m 中寸运算封闭 综上，m 为一r 。代数，进一步，由定理1 2 知m u ( 1 2 ，1 2 ) 为一r 。代数 该定理实际上给出一种非全序凡代数的构造方法 推论1 2 m 是含k 元( k 是奇数，且k 9 ) 的非全序r 代数，且满足 2 ( k 一1 ) = q k 2 ( t l ，k 2 4 ，且，膏2 是偶数) ，则m 可以通过定理1 5 构造 下面给出一个例子：试构造一个含1 3 元的非全序月。代数根据定理1 4 与 此1 5 有两种方法 法1 ：根据定理1 4 ，令k = 6 ，可以构造m m = = 纂：= 法2 ：根据定理1 5 ，可以构造m 怍卜：拇却嘲mu ( 1 2 肌 r ( o ，o ) ，( o j 即m = ( 爿( x ) 哼b ( y ) ) - l 故由命题2 知 爿( x ) 一日( y ) a ( x ) 斗b 。( y ) 由伴随对的概念知 a + ( x ) 固( 爿( x ) b ( y ”蔓b ( j ，) 若另有c ( y ) 满足( 爿( x ) 斗b ( ) ，) ) 寸( 4 ( x ) 。c ( y ) ) = l 由口最小知： 口( y ) sc ( ，) 故b + ( y ) = s u p a ( x ) o ( 4 ( x ) b ( y ) ) y e j ， e x ( 2 ) 聚合方法 现在我们来考虑( 三) 的另一种推理方法，我们采用先聚合后推理的方法，基本 思想是这样的：把各个规则的前件作笛卡尔积，事实耿事实的各区间中点，得到如 下形式： a l 【口，口1 2 l x a 2 【a 2 l ，口2 2 】- - x a 。【口州，a 。2 】 b ( f 1 ) ( 五) 事实 ( x l ，x 2 ，- ，x 。) 口+ 下面我们采用领域专家对( 五) 的规则进行打分，例如m 个专家打分如下：为了 方便我们省去a ，a ：a 。 u f ：【a l f ；yr f 】 口f 2 ，1 2 】【a l 。，m 】斗b ( f l i ) u 2 ：【口2 1 ，y 2 l 】【口2 2 ，2 2 口2 。，y 2 。 一b ( f 1 2 )( 六) u 。： 口。l ，y m 】【口。2 ，。2 】 a 。，。 8 ( f l 。) ( 3 ) 推理方法 我们下面要做的工作是( 六) 式在事实( r o x ；，z ：) 下推理如何进行? 这 里有两个问题： l ( 六) 式的m 个规则能不能用? 就是说这1 1 1 个专家对规则( 五) 的打分会不会 偏差太大。 2 如何衡量 ( x j ，工；，工：) 与对应区间的距离? 我们先看第一个问题。 我们采用前面匹配度的方法。 定义2 9 称m ( u ，u ，) ( 通过定义4 求得) 为规则u ，u ，的前件的匹配度， a ，= ( ，o ) a ，= ( 卢，o ) ，称m ( a 。a ，) 为规则u ，u ，后件的匹配度。为以后叙述方便 简记为m ( f l ，) 定义2 1 0 称( 六) 式是不相容的，若存在u ，u ， 满足： im ( u ，u ，) 一m ( a ，d ，) i 占( 其中s 是预先指定的一个d , l t 数，视 具体领域而定) ，此时我们不做任何推理。 现在我们来看问题： ( 2 ) 通常衡量工+ = ( x j ，x ；，z ：) 与【，】【q ：，y ，： 陋。y 。 的距离是 取各个区间的中点( 兄， ：， 。) ，然后采用e u c l i d 的方法或其它常见方法求距离， 但是这有点4 i 恰当。举一个简单的例子。 如令x = 0 6 ，a = 0 1 ，0 5 】，b = 0 8 5 ，0 9 5 ，这时若用上述方法x 到a ，b 的距离 相等，但是因为区间b 的长度较小，对偏差变化更敏感，直感x 距离b 要近些，就是 说x 与某个区问的距离不但与区间的中点有关，还与区间距离有关我们给出下面 的定义： 定义2 1 1 ”1 设 口，c ，】o = l 2 _ n ) 是 o ，1 子区间，以p ，为中心，由，为宽度， 又x = ( z ：，x ；，x ：) 【o ，1 “ 则x + 与u = k i ，q x 【口。，c 。】间的p 敏感距离为 m = 澍掣 9 扩f ，己d = 二ie ! 二剑i 1 门百l 卯， j 这里p 称为上述距离的指数。 现在我们可以来看看( 六) 式的推理步骤： 1 判断( 六) 式的规则是否相容 2 求事实与各个规则的p 一敏感距离 3 选择与事实距离最小的那个规则与事实一起利用三i 算法进行推理 例3 事实王平x + = ( o 7 7 5 ，0 8 5 ，0 8 5 ) ，求王平成为科学家的可能。 解：( 1 ) 判断规则的相容性，取占= 0 2 m ( u 。，u ：) = 0 8 9 3 ，m ( f l , ，卢2 ) = o 7 9 0 ，i m ( v ，u ：) 一m ，卢：) i = o 1 0 3 0 2 m ( u ，u ，) = 0 9 3 9 ，m ( f l 。，屈) = 0 8 7 1 ，i m p i ，u ，) 一m ，及) j = o 0 6 8 0 2 m ( u ：，u ，) = 0 9 3 0 ，m ( 届，岛) = 0 8 7 9 ，i m ( u ，u 2 ) 一m ，：) l = 0 0 5 1 o 2 所以规则是相容的，可以进行推理 ( 2 ) 求p 一敏感距离取p = l d ( x ，u 1 ) = 1 , 2 5 ，d + ( x + ，u 2 ) = 1 0 8 ，d ( x ，u 3 ) = 0 7 9 所以x 距离u ，最近，我们选u ，与事实进行推理 ( 3 ) 推理 4 占 a 4 = 0 。形+ 0 7 名：+ 0 7 形，b = 0 。7 形 彳= 0 。7 7 形+ 0 8 形：+ 叭8 名， 求口 由定理2 易求占+ = o 嘭，即此时王平成为科学家的可能是o 8 5 注：我们此时把可信度当作单点模糊集来处理。 2 4 总结 在文章第一部分，我们给出了可去( 可加) ，不町去( tr a i n ) 中点的尼、代数 充要条件，给出了两种奇数元非全序r 。代数的构造方法，并进一步给出i 、i i 型r 。 代数的概念。我们相信对于任一r 代数，如果不是i 、i i 型风代数，那么必是两 个只。代数的乘积，如果这个问题弄清楚，风代数的结构必将十分清晰，以后我们 继续关注这个问题。 在文章的第：部分，我们建立了一些模糊一可能推理方法，由于推理更多的 是一门技术。有些推理方法，在逻辑上很严密，但在应用中，可能效果不是很好。 反之，有些推理方法在逻辑上不是很严密，但在应用中效果很好。这两者之i 明有 一定的辩证关系。以后我们将更好的关注这两者的结合点。 研究生期间主要研究成果 ( 1 ) 哭恒 于，韩成1 仝序r 。代数的结构 j 】 纯粹数学与应用数学 2 0 0 4 2 0 ( 1 ) 6 8 7 ( 2 ) 陈仪香，哭恒洋。模糊一口j 能推理的几种推理形式待发 ( 3 ) 韩诚，l ：义艳，吴恒洋。非全序r 。代数的存在性极其其构造 j 】。陕西师范大学学报 ( 自然利学版) ，2 0 0 4 ，3 2 ( 1 ) ：2 5 2 8 参考文献 【1 陈仪香、产生式系统的扩展彤式a m s s v 一2 0 0 1 一0 4 5 ( 2 】陈仪香，吴恒洋模糊一日j 能推理的几种推理形式待发 【3 程围胜，王围俊r o 代数及其基本结构【j 数学物理学报，1 9 9 9 ，1 9 ( 5 ) ：5 8 4 - - 5 8 8 4 d i n g ，l ，zs h e na n dm m u k a i d o n o , r e v i s i o np r i n c i p l ef o ra p p r o x i m a t e r e a s o n i n g a s e d0 nl i n e a rr e v i s i n g m e t h o d ”，p r o c2 n di n t e r n a t i o n a lc o n f e r e n c eo nf u z z y l o g i c a n dn e u r a ln e t w o r k s ( i i z u k a 9 2 ) ，p r 3 0 5 - 3 0 8 ，1 9 9 2 【5 g u o j u nw a n g o nt h el o g i cf o u n d a t i o no f f u z z y r e a s o n i n g j i n f o r m a t i o n s c i e n c e ，1 9 9 9 ，117 ：4 7 8 8 6 】g o r z a l e z a n ym bam e t h o do fi n f e r e n c ei na p p r o x i m a t e r e a s o n i n gb a s e do n i n t e r v a l - v a l u e df l l z z ys e t s j f u z z ys e t sa n ds y s t e m s 1 9 8 7 ，2i ：1 17 【7 】韩成，许文艳，吴恒洋非全序r 。代数的存在性极其其构造 j 】陕西师范大学学报( 自 然科学版1 2 0 0 4 、3 2 ( 1 ) ：2 5 2 8 【8 陆汝钤人t 智能( 上、下) 【m 】北京：科学； ：版社，2 0 0 0 【9 】裴道武r 。代数公理系统的简化与独立性 j 陕西师范大学学报( 自然科学 版) ，2 0 0 2 ，3 0 0 ) ：5 - 9 u o 任芳 r o 代数中的同余关系【j 】r 程数学学报，2 0 0 i 、1 8 ( 1 ) ：7 3 7 7 1 11 s h y i - m i n ge , w e n 。h o a rh ，w o e i - t z yj b i d i r e c t i o n a la p p r o x i m a t e r e a s o n i n g b a s e do n j 2 1 3 1 4 】 1 5 】 1 6 】 1 7 】 i n t e r v a l v a l u e df u z z ys e t s j ，f u z z ys e t sa n ds y s t e m s ，1