（流体力学专业论文）非线性波浪作用下污染物输移扩散研究和波浪传播的抛物缓坡方程模型.pdf

摘要 本文讨论了二阶s t o k e s 非线性波浪作用下流体微团的平动和变形对污染物 输移及混合扩散的影响，推导了相关公式，得出了波浪场作用下污染物输移及混 合扩散的基本规律，为进一步研究波浪场中的纵向离散系数提供了一定的理论依 据。建立了基于有限元方法( f e m ) 的对流扩散数学模型，对理论推导的结果进 行了验证。研究结果表明：在非线性波浪场中，污染物的混合扩散除了受漂移速 度影响外，具有明显各向异性的特征。 本文在高阶抛物缓坡方程的基础上，综合考虑了波浪长距离传播的底摩阻问 题和风的影响，还考虑了近岸区波浪多次破碎问题以及弱非线性项对计算结果的 影响，以扩大抛物缓坡方程在解决实际工程问题中的适用范围。此模型适用于没 有建筑物的自然地形条件下的大面积波浪场的折、绕射推算。 本文建立了一个基于普通贴体正交网格系统的抛物型缓坡方程模型，并给出 了其在保角坐标系下的特殊形式，利用该模型研究了扩张防波堤和环形渠道内波 浪的传播这两个典型算例。对每一个算例，首先采用解析的方法构造了普通f 交 网格系统和正交保角网格系统进行计算。计算结果表明，对相同的算例，在工f 交 保角网格系统下得到的结果明显优于普通正交网格下得到的结果。为增强模型的 实用性，本文将所建立的模型与一种保角网格系统的数值生成方法结合起来，并 在数值网格系统上对上面的两个算例进行了重新计算。计算结果表明，将该数值 网格生成技术形成的网格系统与本文所建立的缓坡方程模型相结合，能得到可靠 的计算结果。 用抛物缓坡方程模型进行了工程实例计算。模拟了东海大桥工程区域的波高 分布，从而得到建筑物设计波高。 关键词：污染物、输移扩散、抛物缓坡方程、正交网格、保角网格 a b s t r a c t i nt h i s p a p e rt h et r a n s o o f ta n dd i f f u s i o no fc o n t a m i n a n t si n n o n l i n e a rs t o k e s w a t e rw a v ed u et os h i f la n dr o t a t i o no ft h em i c r of l u i dm a s si sd i s c u s s e d ，a n ds o m e c h a r a c t e r so ft h et r a n s p o r ta n dd i f l u s i o no fc o n t a m i n a n t si nw a v ef i e l dh a v eb e e n o b t a i n e dan u m e r i c a lt r a n s p o r t d i f f u s em o d e lb a s e do nf i n i t ee l e m e n tm e t h o d 伊e m ) i se s t a b l i s h e dt ov e r i f yt h et h e o r e t i e a lr e s u l t s ，a n dg o o da g r e e m e n t sa r eo b t a i n e d t h e r e s u l t ss h o wt h a ti nw a v ef i l e dt h et r a n s p o r ta n dd i f l u s i o no fc o n t a m i n a n t s i s a n i s o t r o p i c ，a p a r tf r o mb e i n ge f f e c t e db y d r i f tv e l o c i t y b a s e do nt h ee x t e n d e dp a r a b o l i cm i l d s l o p ee q u a t i o n , t h eb o t t o mf r i c t i o na n d w i n de f f e c to nt h ew a v ep r o p a g a t i n gt h r o u g hl o n gd i s t a n c ea r ec o n s i d e r e d t h i s n u m e r i c a lm e t h o dc a i lc a l c u l a t et h ew a v ef i e l da f t e rw a v eb r e a k i n gm o r et h a no n c e t h ee q u a t i o ni n c l u d e st h ew e a kn o n l i n e a rt e r ma n dh i g ho r d e rd i f f e r e n t i a lt e r mt h a t c a nf o r e c a s tw a v eh e i g h td i s t r i b u t i o nm o r ea c c u r a t e l y i nt h i sn u m e r i c a lm o d e l t h e a p p l i c a t i o no ft h ep a r a b o l i cm i l d s l o p ee q u a t i o ni se x p a n d e di ns o l v i n gt h ep r a c t i c a l e n g i n e e r i n gp r o b l e m t h i s r e f i n e dm o d e li ss u i t a b l ef o r c a l c u l a t i n g t h ew a v e r e f r a c t i o na n dd i f i r a c t i o ni nl a r g ew a t e ra r e aw i t h o u ts t r u c t u r e s i nt h i sp a p e ran u m e r i c a lm o d e lf o r s i m u l a t i n gp r o p a g a t i o na n dt r a n s f o r mo f w a t e rw a v e si nc o a s t a la r e ai ss e t u pb yu s i n gp a r a b o l i cm i l d - s l o p ee q u a t i o n i n o r t h o g o n a lc o o r d i n a t e s a n dt h ep a r t i c u l a rf o r m a to f t h i se q u a t i o ni nc o n f o r m a ls y r s t e m i sa l s os e tu p t w ot y p i c a le x a m p l e ss a m e l ye x p a n d e db r e a k w a t e r sa n dc i r c u l a r c h a n n e la r es t u d i e dt ov a l i d a t et h em o d e l a tf i r s tt h ee x a m p l e sw e r es t u d i e db y u s i n g t h ec o m m o no r t h o g o n a lc o o r d i n a t e s t h e nt h es a m ee x a m p l e sw e r ec o m p u t e db y u s i n gt h ec o n f o n n a ls y s t e m ，t h ec o m p u t a t i o n a lr e s u l t ss h o wt h a tm u c hb e t t e rr e s u l t c a nb eo b t a i n e db yu s i n gt h ec o n f o r i l l a lc 0 0 r d i n a t e s 也a nt h a tb yu s i n gt h ec o m m o n o r t h o g o n a ls y s t e m an u m e r i c a lt e c h n i q u ef o rg e n e r a t i n gc o n f o r m a l 鲥di sc o m b i n e d w i t ht h en u m e r i c a lm o d e it o i m p r o v et h ep r a c t i c a b i l i t yo ft h em o d e l a n dt h i s c o m b i n a t i o nh a sag o o dr e s u l t ， t h e a p p l i c a t i o n s o fm o d e lo f p a r a b o l i cm i l d - s l o p ee q u a t i o n i r l p r a c t i c a l e n g i n e e r i n gp r o j e c t sa r ec a r r i e do u t t h em o d e li su s e di nt h ep r o j e c to f t h ed o n g h a i b r i d g et oc a l c u l a t et h ew a v ed i s t r i b u t i o ni nt h ep r o j e c ta r e a k e y w o r d ：c o n t a m i n a n t s 、t r a n s p o r ta n dd i f f u s i o n 、p a r a b o l i cm i l d s l o p ee q u a t i o n 、 o n h o g o n a lg r i d 、c o n f o r m a l 鲥d 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得墨鲞盘鲎或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：h q 芝 签字日期：髀年，月，2 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解鑫盗盘鲎有关保留、使用学位论文的规定。 特授权鑫生盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：弓r 锱乏 导师签名：钧嘶 签字只期：o 叩年 f 月皿日 签字日期：衅年f 月，f i 第一章绪论 1 1 研究的背景和意义 第一章绪论 近岸海域地区是外海和陆地的交汇地带，蕴藏着丰富的自然资源。自古以来 人类就在这旱栖息生存，从不间断地进行着开发海洋的活动，象种植和捕捞海洋 生物、建造海岸工程、建立海滨游乐场所等等。波浪是海洋、河口最常见的自然 现象之一。波浪的运动规律对于岸滩演变、堤坝等建筑物受力、航道港池设计、 水域内泥沙、污染物等物质输移扩散等问题的研究具有重要意义。 一方面，随着经济的迅速发展和对海洋能源的需求，越来越多的海岸、海洋 工程正在或即将实施，工程规模日益扩大，实施要求不断提高。因此，深入地研 究海域内波浪的运动规律也日显重要和迫切。尤其在近海工程中，波浪更是不容 忽视的重要影响因素。 另一方面，在经济不断发展的同时，损害及污染海洋水质的生态环境问题也 随之产生，而且呈现出范围扩大、危害加重、影响深远的趋势。天津市位于渤海 湾西岸。多年以来，渤海湾天津近岸海域接纳了天津市全部的工业废水、生活污 水、汛期雨污水等，也接纳了河北省和北京市的大量污水，年排放量可达十多亿 吨。由于常年水量短缺，无清水稀释，排入海域污水浓度很大。大量污水的直接 排入造成渤海湾近岸海域环境质量恶化。另外，海上漏油，溢油事故也是造成海 水污染的重要原因之一。研究污染物在近岸海域的输移扩散规律有着非常现实的 意义。 针对虬上两个方面，本文分别对波浪作用下污染物的输移扩散规律和描述大 面积波浪场的抛物缓坡方程数学模型进行了研究。并将抛物缓坡方程数学模型应 用于到工程实践当中。波浪作用下污染物的输移扩散规律的研究为进一步研究波 浪场中的纵向离散系数提供了一定的理论依据。对抛物缓坡方程的研究不仅为计 算污染物的输移扩散提供了依据，而且波浪本身对海上工程也是非常重要的。 1 2 相关研究工作回顾 1 2 1 波浪作用下污染物输移扩散规律的研究进展 长期以来，潮流及风生剪切流引起的湍流及纵向离散被认为是污染物混合和 扩散的主要因素，关于剪切流引起的污染物的混合与扩散得到了广泛而深入的研 究( s m i t h s c o r e l 5 1 ，1 9 9 7 ) 。近年来，随着研究和观测的深入，发现在某些情 第章绪论 况下，短峰波对近岸海域污染物的混合及扩散也起着重要的作用。t a oa n dh a n l l o ( 2 0 0 2 ) 角基于抛物缓玻方程的数值模拟方法研究了在具有缓坡浅水特性的近岸 海域中污染物的输移扩散规律，指出波浪破碎及波生沿岸流对破碎带内排放的污 染物的输移扩散具有显著的影响。p e a r s o n 等1 1 7 1 ( 2 0 0 2 ) 采用实验手段研究了波 流共同作用下波高对斜坡底部海岸上溶解物混合的影响，指出污染物的混合速度 与波高的平方成正比。根据f i s h e r 等f 8 j ( 1 9 7 9 ) 对振荡流纵向离散系数的研究， 在短周期波作用下，污染物在深度方向扩散的时间尺度远大于波浪周期，一般在 不考虑初始段的情况下，短峰波振荡对污染物混合和扩散的影响可以忽略。 但在某些情况下，由于扩散系数相对较小或流速的垂向梯度较大，波浪质点 的非线性振荡运动及l a g r a n g e 余流引起的污染物离散作用会变得显著。g i a r r u s s o 等【w ( 2 0 0 0 ) 采用数值模拟的方法研究了随机波产生的余流对油等表面漂浮污 染物扩散的影响，指出不应该忽略余流对漂浮污染物扩散的影响。l a w 2 ”( 2 0 0 0 ) 通过解析方法研究了l a g r a n g e 余流对纵向离散系数的影响，得出随着系数 1 t 4 d t 的增大，波浪对扩散的影响显著增加的结论( 其中h ：波高；d ：分子 或湍流扩散系数；t ：波周期) 。在某些情况下，虽然离散系数k 很小，但k d 可能达到很大的值，因此研究波浪对污染物的离散作用仍有实际意义。判断离散 效应强弱的标准应采用离散系数与扩散系数的比值k d ，而不是离散系数茁本 身。 1 2 2 直角坐标系下缓坡方程的研究进展 1 9 7 2 年荷兰人b e r k h o f f 【1 ) 在缓坡的假定下利用摄动法推导出了一个叫做缓 坡方程的二阶偏微分方程，它实际上是l a p l a c e 方程对线性波在垂向上的积分形 式，它综合考虑了波浪的折射、绕射问题。自缓坡方程一问世，就吸引了许多海 岸工作者的兴趣，对它进行了大量的研究，包括方程的改进，数值方法的建立。 工程中的应用等。b o o i j ( 1 9 8 3 ) 【2 】对b e r k h o f f 的椭圆型缓坡方程进行了准确性 验证，结果显示当坡度达到1 ：3 时，方程仍能给出正确的结果。但是在工程应 用过程中。由于海床形式任意，同时还存在着沙坝等地形，数值计算结果可能会 因此受到一定的影响。 由于椭圆型缓坡方程本身的特点，它是一个边值问题，在四周边界上要给出 边界条件，在全域内求解，它对计算机的速度和内存要求较高，使它在实际工程 中的应用受到了限制。为了提高缓坡方程的求解效率，人们寻求对它的变换。非 常成功的是r a d d e r ( 1 9 7 9 ) 【3 1 提出的抛物型缓坡方程，他使用入、反射分离方 法，忽略波浪的反射，假定波浪沿一个主方向传播，推导出一个缓坡方程的抛物 近似。随后，众多的学者们致力于它的开发和扩展。y u e 和m e i ( 1 9 8 0 ) 4 3 推导 了一个常水深下的弱非线性斯托克斯波传播的抛物缓坡方程。k i r b y ( 1 9 8 3 、1 9 8 4 ) 2 第一章绪论 【5 】【6 1 提出了缓变地形下的弱非线性波浪传播的抛物缓坡方程，l i u 和t s a y ( 1 9 8 4 ) l7 也提出了一个非线性的三次薛定谔方程，方程的线性部分就是抛物缓坡方程。 k i r b y ( 1 9 8 6 ) 瞄j 用p a d e 展开和最小误差方法，对抛物缓坡方程进行了改进， 使它适用于大角度的波浪传播，大大提高了抛物型缓坡方程的实用性。但抛物缓 坡方程的最大限制是不能考虑波浪的反射，对于有建筑物区域的波浪场计算，它 就变得无能为力了。但是抛物缓坡方程的计算采用步进法，能够大大节省计算机 机时和内存，非常适合于大面积波浪场的计算，因而受到海岸工作者们的喜爱。 求解抛物缓坡方程的差分方法多使用c r a n k n i e o l s o n 格式，使空间步长达到二阶 精度。 缓坡方程要实际地应用到工程计算中，必须要考虑底摩阻对波能的损耗作 用，波浪破碎问题，波浪的非线性问题，波浪的随机性，波流相互作用问题和风 对波浪的作用。国内外学者纷纷致力于缓坡方程在这方面的改进工作。b o o i j ( 1 9 8 1 ) 在b e r k h o f f 的缓坡方程中加入了一个耗散项来考虑底摩阻问题。后来， d a ! r y m p l e ( 1 9 8 4 ) 一1 等给出了摩阻因子的具体表达式。a k i r aw a t a n a b e 等( 1 9 8 6 ) ”建立了考虑波浪破碎的时变缓坡方程，k i r b y ( 1 9 8 4 ) 【6 l 在抛物缓坡方程中考 虑了破碎。p a n c h a n g ( 1 9 9 0 ) 【l o 】使用r a d d e r 推导的抛物缓坡方程建立了随机波 模型，计算了不规则波在一个浅滩上的传播。g a o 和r a d d e r ( 1 9 9 8 ) 在改进 了边界条件的情况下同样应用线性叠加原理建立了随机波模型，同时考虑了风和 流的作用，并用此方法计算了h a r i n g v l i e t 和f r i e s c h ez e e g a t 海湾的波浪场，计算 结果与观测结果符合得比较好。我们课题组也曾将抛物型缓坡方程应用到东海大 桥波浪场计算的实际工程应用中。 缓坡方程的另一类变形是双曲型缓坡方程。c o p e l a n d ( 1 9 8 5 ) 推导了一个一 阶双曲型方程组可以很好地模拟反射边界条件下的波浪传播，它的计算时间要少 于椭圆型方程。但对大区域的波浪场的计算，计算时间仍相当可观，开边界处理 也比较困难。 1 2 3 曲线坐标系下缓坡方程的研究进展 在海岸工程中，经常需要模拟具有复杂边界的区域内的波浪场，比如河口、 海湾、有防波堤掩护的港池等。对于这类计算区域，若采用笛卡儿坐标系下的网 格系统，难以精确地拟合边界。而采用贴体网格系统则可以很好地解决边界拟合 问题。采用抛物缓坡方程一个主要条件是水波的传播方向与主坐标之间的角度应 限制在一定范围之内。采用曲线坐标可以使主坐标方向与波的传播方向大体一 致。这样可以显著增加抛物缓坡方程的使用范围。 在推导贴体坐标系下的抛物缓坡方程时，有两种方法：第一种是先在笛卡儿 坐标系下做抛物化近似，然后再进行坐标变换；第二种是先对笛卡儿坐标系下的 第一章绪论 椭圆型缓坡方程进行坐标变换，然后再做抛物化近似。l i u 和b o i s s e v a i n ( 1 9 8 8 ) 1 2 1 采用第一种方法推导了一个基于代数坐标变换的贴体网格系统的抛物型缓坡 方程，并用此方程模拟了两扩张防波堤间波浪场。k i r b y ( 1 9 8 8 ) 【l “对l i u 和 b o i s s e v a i n ( 1 9 8 8 ) 【12 j 的算例进行了探讨，指出在一般情况下，用上面的两种推 导方法得出的方程具有不同的形式，并建议使用第二种方法。k i r b y 、d a l r y m p l e 和k a b u ( 1 9 9 4 ) 【1 4 j 推导出了保角坐标系下的低阶和高阶近似的抛物缓坡方程， 并对两扩张防波堤间波浪场和环形渠道内的波浪场进行了计算。对于扩张防波堤 算例，k i r b y ( 1 9 8 8 ) 【j “发现，在采用基于非正交的贴体网格系统的抛物缓坡方 程来计算两扩张防波堤间波浪场时，会出现计算不稳定的现象，并指出此现象是 由于方程中的交叉导数项引起的。而对同样的算例，在保角坐标系下，计算的稳 定性很好，且结果与解析解总体上符合得较好( k i r b y ，1 9 9 4 ) 【“】。对于普通的 正交坐标变换，能否获得同样好得效果呢? 本文将就此问题进行讨论。 1 3 本文的主要工作 本文的主要工作包括： 1 研究了二阶s t o k e s 非线性波浪作用下流体微团的平动和变形对污染物输 移及混合扩散的影响，推导了相关公式，得出了波浪场作用下污染物输移及混合 扩散的基本规律，为进一步研究波浪场中的纵向离散系数提供了一定的理论依 据。建立了基于有限元方法( f e m ) 的对流扩散数学模型，对理论推导的结果进 行了验证。 2 建立适用于模拟大面积近岸海域波浪场的波浪传播数学模型。模型以高阶 近似抛物缓坡方程作为控制方程，同时建立波浪多次破碎模型。通过实验数据对 数学模型进行了验证。 3 建立了一个基于普通贴体正交网格系统的抛物缓坡方程模型，并给出了其 在保角坐标系下的特殊形式，利用该模型研究了扩张防波堤和环形渠道内波浪的 传播这两个典型算例。将所建立的模型与一种保角网格系统的数值生成方法结合 起来，并在数值网格系统上对上面的两个算例进行了重新计算。 4 将第二章所建立的模型应用到东海大桥波浪场计算的实际工程应用中。 4 第二章二阶s t o k e s 波浪场中污染物输移扩散研究 第二章二阶s t o k e s 波浪场中污染物输移扩散研究 本章推导了描述二阶s t o k e s 波场中流体微团平动及变形的公式，并讨论了流 体微团的运动对污染物输移及混合扩散的影响；建立了基于f e m 的对流扩散数 学模型，通过数值模拟的方法研究了波浪场中污染物的输移及混合扩散，数值模 拟结果验证了关于波浪场中污染物输移及混合扩散的一些结论；最后，对研究结 果进行了简要的总结。 2 , 1 流体微团的运动 本节从流体的局部运动来讨论波浪场对污染物的输移及混合扩散的影响。流 体微团的运动可分解为平动、转动和变形。因为波浪场中各变量均呈周期性变化， 所以在考虑波浪场长期作用时应该考虑其流体微团周期平均的运动。 图2 1 坐标示意图 选择如图1 所示坐标系。本章中的波浪均为右行波。二阶s t o k e s 波场中的纵 向速度和垂向速度分别为： 詈= 筘涮c o s ( 妇训2 d2 涮c o s 2 慨训( 2 1 a ) 詈= 裕兰豁s i n 慨训2 万2 面s i n h ( 阿2 k z ) s i n 训 ( 2 1 b ) 其中，x 、z 分别为纵向和垂向坐标， c = l t 为相速度，j = 日上为波陡， r 为时间，“、w 分别为纵向和垂向速度， 三为波长，丁为波周期，日为波高，d 为 第二章二阶s t o k e s 波浪场中污染物输移扩散研究 水深，k 为波数，为波的角频率。 2 1 1 流体微团的漂移速度 令流体微团在静止时位于g 。，z 。) 处，在波动时，其位置为g 。+ 鼻z 。+ r ) ，则 该流体微团的速度可在( ，气) 点近似展开为：( 下标0 表示在x 。，毛) 点的值) 警= ( “+ ( 罢) 。( “) 。疵+ ( 警) 。( w ) 0 斫 c z z a ， 鲁= ( w ) 0 + ( 罢 。如) 。出+ ( 警) 。如) 。出 c z 舶， 将式( 2 1 ) 代入式( 2 2 ) 得： d d t = c 硝詈蔷器c 。s 陋一耐) + ；渤2 j 2 詈i 嵩葛c 。s 2 陋一肼) 】 c z 3 曲 十1 2 c 7 r2 8 2 c o s h ( 2 k z 五) - c 丽o s 2 厂( n - r o t ) + 咿) d r d t = c 府要器葛s i n 慨一训+ 三勖2 j 2 而s i n h ( 2 垃) s i n 2 陋一国r ) ( z m ) + o ( a 3 1 由上式可知，流体微团的运动经周期平均，并忽略其高阶项后具有水平向右的平 移速度可即漂移速度( 与波浪传播方向相同) ，其大, j , g b ： 孔k 2 矿j2 黝s i n h k d2 il ( 2 4 ) 由上式可知漂移速度驴与c 、万2 成正比，并且随着在水中深度的增加而减小。 第二章二阶s t o k e s 波浪场中污染物输移扩散研究 2 1 2 流体微团的转动 由式( 2 1 ) 可得到描述流体微团转动的张量 ：1 0 ：一u ) 0 = o r = o 表示流体质点没有转动，即二阶s t o k e s 波场为无旋场。 2 1 3 流体微团的变形 由式( 21 ) 可得到变形速度张量 1 j y 口 占j 吩三0 ：+ ) ；( u + “；)w ： ( 2 5 ) ( 2 6 ) s j = 一s 2 一柑旦s i 堕n h 渊( & s i n 慨一耐) 一三2 石2 占2 1 s i 竺n h 翳k 蓦d s i n 【2 慨一研) 】 g 7 曲 、 7 4 1) 、 ，j = c k 脚涨葛c o s ( h 训+ 吾 舶2 熹端c o s 【2 慨侧b 嘲 变形速度张量s 反映了流体微团拉伸、压缩与扭曲的情况。 这里应用二向应变分析的方法来求出主相对拉伸方向a ( 主相对拉伸方向为 变形速度最大的方向，盘为该方向与x 轴正向所成角度) ，及与其对应的主相对 拉伸速度s 一与主相对压缩速度s 。将该流场与某一弹性固体相对照：速度可 对应于变形；变形速度张量对应于应变张量。应用二向应变分析的结果 2 l j ： t a n ( 2 口) s ：一， 引= 一2 1 c 孚) 2 + l 钏2 将式( 27 ) 代入上式得 r 2 8 a ) ( 2 8 b ) 、jz w o ：0 ，一2 一 _，。，l = 尼 q 7 一，一u 幢 = s 中其 第二章二阶s t o k e s 波浪场中污染物输移扩敷研究 啡小一差篙辫g 哟t a n 卜一面瓣i 高掣赫 q 1 9 的 e # = 赫周蕊碉忑面而而 ( 2 9 b ) 可以看到，对某一固定相位，主相对拉伸速度随着波陡的增加而增大，随着z 的 增加而增大。随相位的推移，同一水深处主拉伸方向逆时针旋转，其旋转的平均 速度比相位角的旋转速度慢一倍( 如图2 2 a ) ，其主相对拉伸速度( 考虑高阶项) 在各方向上有所不同，沿一、三象限方向主相对拉伸速度较大( 如图2 2 b ) 。即随 着相位的推移，流体微团将沿不同方向拉伸，同时沿其垂直方向被压缩，其拉伸 的强度( 主相对拉伸速度) 沿各个方向有所不同。 矧三三= 霉k 一乡 m 1 二二：爱引，。多，。 孔歹7 一sf 4 5 - r 9 0 可3 5 1 f 2 2 5 2 7 0 3 1 5 3 6 0o11 8 0 图2 2 a 主相对拉伸方向 t h e t a ：相位a l p h a ：主相对拉伸方向( 与x 轴夹角) 水深：l o m 周期：1 0 s 波高：15 m 00 6 00 4 0 0 2 望 ：0 叫00 2 o0 4 一o0 6 瓜 一 z = 5 0 f “ i t一 - u + z = 25 f 1 l j 、j - 一 r 一 。厂 ：， w - 0 、1 2 0 、1 - 0 0 8 _ 0 埔- 0 0 4 0 、0 200 0 20 由400 6 e x ( t s ) 图2 2 b 主相对拉伸速度 e x 、e z 分别表示主相对拉伸速度在两方向的分量 水深：l o r e 周期：1 0 s 波高：1 5 m o巴西op日工dl 第二章二阶s t o k e s 波浪场中污染物输移扩散研究 从图2 2 可以得出如下规律：在波峰处，主相对拉伸速度沿一、三象限方向， 其主相对拉伸速度较大，在波谷处，主相对拉伸速度沿二、四象限方向，其主相 对拉伸速度较小。所以流场经过整周期后有整体被沿一、三象限方向拉伸的趋势。 或者以拉格朗目的观点来看，某一流体微团处于上半个轨道时，受到沿一、三象 限方向的拉伸，其拉伸速度较大，处于下半个轨道时，受n - 、四象限方向的拉 伸，其拉伸速度较小，故经过整周期后该流体微团具有沿一、三象限方向被拉伸 的结果。 流体微团的这种呈周期性的变形运动会影响流场中的污染物的混合扩散。由 于流体微团经整周期后被沿一、三象限方向拉伸，而使污染物分布随之产生的变 化。例如，静水中点源经过一段时间后将呈圆形分布，在波浪场中，该圆形分布 将沿一、三象限方向被拉伸，沿二、四象限方向被压缩，从而呈现出类似于椭圆 形的分布( 如图2 5 ) 。即在一、三象限方向污染物扩散的较快，二、四象限方向 污染物扩散的较漫，于是污染物的扩散具有明显各向异性的特征。波浪场中的流 体微团的在各个方向被交替地拉伸与压缩，加剧了污染物的混合。 2 2 基于f e m 的对流扩散数学模型 为了验证上述理论分析，本节建立了基于有限元( f e m ) 的数学模型。该模 型中，每一个时刻的波浪场用解析的方法确定，而浓度场则用有限单元法求得。 针对不同的波浪参数，采用相应的势波理论解析解的结果来确定每一个时刻的自 由表面位置和速度场( 如图2 3 ) ，并在此基础上通过有限单元法求解对流扩散方 程来研究污染物在波浪场中的混合扩散。 1 0 8 6 e n 4 2 0 一 e 匕 二 三 二 鬈 一多 匡 攀 匡 一 车 三 一 一 一 一 一 三 _ 一 一 多 三 誊 _ ： 一 ! 三 一 一 一 一 _ 一 一 一 j 。 一 一 j 一 _ 。 x ( m ) 图2 3 有限元网格划分 第一章二阶s t o k e s 波浪场中污染物输移扩教研究 2 2 1 控制方程及边界条件 式 在如图2 2 所示的垂直二维笛卡尔坐标系统下，对流扩散方程可写成如下形 笙+ “篆+ w 篆= 皿百a2 c 州：矿o ：c a to x玉如 1 2 。岔2 f 2 1 0 ) 上式中r 表示时间：z 、z 分别为横、纵坐标：c 表示浓度；“、w 分别为x 、z 方 向的速度；d 和d ：分别为z 、z 方向的扩散系数。 在固壁和自由表面上可以采用全反射的边界条件； _ o c ：0r 2 1 1 1 o n 、 7 式中n 为边界的外法线方向。 考虑到本次研究的计算量并不大，可在z 方向适当地增大了计算域的长度， 每次计算时当污染物扩散到边界之前结束计算，因此，对左右边界也采用边界条 件( 2 11 ) 。 2 2 2 数值求解方法 考虑到波浪自由表面为复杂的曲线，本章采用具有良好边界适应能力的f e m 方法建立求解二维对流扩散方程的数学模型。对控制方程( 2 1 0 ) 采用f e m 方法离 散，对单元体应用伽辽金加权余量法可得如下的单元积分关系式： 时e + 阱e 。+ m 百a c e = 。 f 2 1 2 1 其中 k 、 a 和【m 为n x n 阶的系数矩阵，n 表示每个单元的节点数目，e e 为n 维矢量，表示单元节点上的浓度值。各项的具体表达式如下： o 第二章二阶s t o k e s 波浪场中污染物输移扩散研究 k 卜彤 皿罢( 罢 7 + 2 誓( 薯 7 d s f 2 1 3 ) 以上各式中瓜表示对单元进行面积积分，t ”表示对矩阵取转置，驴、旷。 分别表示单元节点上的流速， u 8 = 【u ，u 2 ，u v 。= k ，匕，一 石为单元插值函数。 ( 2 1 4 ) 对式( 2 1 0 ) 中的时间导数项，采用c r a n k n i c k l s o n 格式离散，由此可得如下的 方程组( 为叙述方便，以下略去各矩阵和矢量的上标“e ) ： ( 吲+ 云阻】) e + ( 旧一言阻 ) e ”+ 心 ”伊+ k r l e ”1 ) = 。 c z ，t s ) 其中a t 表示时间步长，上标n 和n + 1 ”表示求解的时间步数。上式即为用f e m 方法求解二维对流扩散方程( 2 1 0 ) 的单元积分关系式。对每个单元写出( 2 1 3 ) 式， 形成关于所有节点的总体矩阵，并给定适当的初始浓度分布，即可按时间推进求 得每一时刻计算域内的浓度分布。 2 2 3 对流扩散数学模型的验证 如图2 4 ，整个x - z 平面内存在均匀流场u = o h n s ，w = o 1 m j s ，初始时刻在计 算区域中心点抛撤污染物，总质量m o = 1 6 u n i t ，扩散系数皿劬：= 0 0 0 1 m 2 s 。该 问题有如下的解析解： c ：蜀茜却卜号学一掣4 d t 1 亿4 珂皿d ： 1 l4 或f ： l 7 计算区域大小为1 2 m x l o m ，网格数目为6 0 x 5 0 ，时间步长为o 1 s 。图2 4 给出了 t = - 5 0 0 s 时刻全场中数值模拟结果与解析解的比较( 坐标已经过平移) 。从图2 4 可阻看出，数值解和解析解的等值线几乎完全重合。 卜 ，；l，叫协。 一痧 一，p 一一一缈 州0 v ”胪彤w叫卜书 第二章二阶s t o k e s 波浪场中污染物输移扩散研究 1 0 9 8 7 6 三5 n 4 3 2 1 o 2 3 数值模拟的结果 埘m ) 图2 4 ( 验证) 卢5 s 时刻浓度等值线 实线：数值解：虚线：精确解 为了验证上述分析的结论，现设计下面的算例( 点源扩散) 。 水深1 0 m ，波高10 m ，周期1 0 s ，计算区域长度2 0 m ，粘性系数o 0 0 1 m 2 s ， x 、z 方向空问步长均为o 2 m ，x = 0 处初始相位为9 0 ”，波浪场用二阶s t o k e s 波场。 初始时刻将在网格节点( 2 5 ，3 7 ) 处的浓度值设定为1 0 u n i t ，其它节点处为0 。 在静水中自由扩散5 个周期( 即5 0 s ) 后，其浓度场分布为二维准正态分布。然 后，再以此时的浓度场为初始浓度场，分别在静水中和上述波浪场中扩散1 5 个 周期( 即1 5 0 s ) 。将初始时刻点源位置分别改在网格节点( 5 0 ，2 5 ) 、( 5 0 ，1 3 ) 处，重复以上步骤。将波高值分别改为1 5 m 、2 0 m ，重复以上步骤。 将上述算倒中的几组等值线叠加，得到图2 5 。从图2 5 中我们可以看到，由 于污染物跟随流体质点运动，污染物会产生漂移。并且漂移速度随着波高的增加 而增大，随着在水中深度的增加而减小。将污染物平移速度( 以污染物中心为准) ， 与污染物中心点处流体微团的漂移速度对比可得表2 1 。由表2 1 可知，污染物 的平移速度与中心点处流体微团的漂移速度非常接近，其中污染物的平移速度稍 大，而且这种差距随波高的增大而增加。产生这种现象的原因是，漂移速度公式 f 2 ，4 ) 忽略了高阶项，随着波高的增加，其高阶项的作用逐渐增大，进而导致了上 述现象。同时这也从另一方面验证了程序的准确性。 蔓= 至三坠! ! ! ! 竺茎鎏望主竖墨塑塑整芏墼塑塞 1 0 8 莒6 百 4 2 0 x l m l 图2 5 浓度为0 0 5u n i t m 2 和0 1 0 n n i t m 2 的等值线( 叠加图) l ，5 、9 分别为静水中在( 2 5 ，3 7 ) 、( 2 5 ，2 5 ) 、( 2 5 ，1 3 ) 三个位置布源的结果 2 、3 、4 的条件为：源点位置与l 相同，波高分别为1 o m 、1 5 m 、2 o m 6 、7 、8 的条件为：源点位置与5 相同，波高分别为1 o m 、1 ，5 m 、2 o m 1 0 、l l 、1 2 的条件为：源点位置与9 相同波高分射为1 o m 、1 5 m 、2 o m 表2 1 污染物平移速度 点源位置 平移速度( m s ) ( 节点位胃) 波高( m )污染物平移速度 中心点处流体微团的漂移速度 ( 模拟结果) 1 o0 0 1 5 5o 0 1 5 8 ( 2 5 ，3 7 )1 50 0 3 5 00 0 3 7 3 2 o0 0 6 2 20 0 7 0 5 1 00 ，0 1 2 3o 0 1 2 6 ( 2 5 2 5 )1 50 0 2 7 70 0 2 9 3 2 00 ，0 4 9 20 0 7 0 5 1 oo 0 1 0 50 0 1 0 8 ( 2 5 ，1 3 )1 50 ，0 2 3 60 0 2 4 9 2 o0 0 4 2 00 0 4 5 7 第二章二阶s t o k e s 波浪场中污染物输移扩散研究 从图2 5 中我们还可以看到，污染物随流体微团沿一、三象限的拉伸而呈现 类似于椭圆形的分布：这种拉伸的程度，随波陡的增大而增大，随在水中深度的 增加而减小。另外，可以通过数值的方法计算经过静水和波浪场扩散后同一等值 线所围的面积及污染物的量。结果显示，两种情况下，同一等值线所围的面积及 污染物的量非常近似。我们可以这样考虑波浪场对污染物扩散的作用，它使污染 物在自由扩散的基础上，在一、三象限方向上被拉伸，在二、四象限方向被压缩， 即污染物的扩散具有明显各向异性的特征。 2 4 结论 本章从理论上分析了波浪场对污染物输移和混合扩散的影响，指出波浪场中 污染物的输移速度与波场中流体微团的漂移速度相等，而污染物的扩散具有明显 各向异性的特征，即污染物沿一、三象限方向扩散的较快，沿二、四象限方向扩 散的较慢( 相对于右行波而言) 。 建立了污染物对流扩散的有限元( f e m ) 模型，通过数值模拟验证了本章理 论分析的正确性。 第三章直角坐标系下的抛物缓坡方程 第三章直角坐标系下的抛物缓坡方程 自从b e r k h o f f ( 1 9 7 2 年) f l 】推导了经典的缓坡方程以后，许多海岸工作者对 它充满了兴趣，为了提高它作为预报海洋波浪传播模型的效率，对它进行了许多 改进和扩展。其中抛物化的缓坡方程最为普遍。这主要是因为抛物化缓坡方程韵 数值解法是采用步进法，可以大大节省计算机的内存和计算时间，对于面积较大， 波浪传播距离较长的波浪场数值模拟它具有很大的优势。但是由于它的假定，使 它的应用也受到了限制。忽略波浪的反射，使它不能应用在有建筑结构物区域内 的波浪计算中，这是无法克服的。另外，它假设波浪以个主要方向，在和这个 主方向央角很小的范围内传播。这个假设也使它的应用受到了限制。但是，使用 一定的方法就可以放宽角度的限制，例如k i r b y ( 1 9 8 6 年) 口2 j 的极值处理对大入 射角的处理是很成功的。本文以k i r b y 的方程为基础建立了波浪传播的数学模型， 考虑了非线性项，底摩阻问题，波浪破碎问题和风的作用，并对数学模型进行了 验证。 3 1 抛物型缓坡方程的推导 3 1 1 椭圆型抛物缓坡方程 水波速度势o ( x ，y ，z ，f ) 的控制方程为l a p l a c e 方程，三维直角坐标系下的形 式为 可2 毗彤) 删+ 窘= 窘+ 窘+ 拿= 。 b ， 为了研究水平二维问题，可将方程沿垂直方向积分 w g 2 b ，舻k = o ( 3 固 其中，w ( z ， ) 为垂直积分中的权函数，d 力为当地水深。对于长波运动，权函数 w = l 。然而对于浅水短波问题则不同，在水面附近水体运动较强，随着水深加大， 运动逐渐减缓。因此选择的权函数应当表现出水体运动的垂向变化。 局部水平地形下线性波速度势可表示为 中g ，y ，= ，r ) = 庐0 ，y ) i ( z ，h ) e 1 “ 1 5 ( 3 3 ) 第三章直角坐标系下的抛物缓坡方程 其中 如y ) ：一塑。忙：一掣d t 4 0 3 z 应7 ( 34 ) 弛，舻掣， ( 3 5 ) 4 为波幅，h 为波高，为k 为波数，o j 为角频率，且满足色散关系式 珊2 = g k t a n h 埘 ( 3 6 ) 由( 3 5 ) 式可知厂体现水波速度势沿2 方向的分布情况，故可在( 3 2 ) 式中取 w 忙弛，垆酱 将垂直积分式( 3 2 ) ，左边分为两项进行处理， i t e m l ：r w v 2 中如 上h z = f w ( 3 7 ) ( 3 8 a ) r 3 ，8 b ) 则ltemi+ltem2=0 ( 3 9 ) 将线性波速度势( 3 3 ) 和权函数表达式( 3 ，7 ) 代入( 3 8