（应用数学专业论文）分数布朗运动环境下的期权定价.pdf

摘要 期权定价理论是金融数学的核心问题之一b l a c k 和s c h o l e s 在1 9 7 3 年提出 b l a c k - s c h o l e s 期权定价模型，此模型的基本假设之一是期权标的资产价格过程遵循随 机微分方d s ( t ) = s ( t ) t d t + c r d b ( t ) ) ，其中，盯常数， b ( f ) ，0 t t ) 是标准布朗运 动在此假定条件之下，b l a c k 和s c h o l e s 得到欧式期权价格解析表达式，即著名的 b l a c k - s c h o l e s 期权公式 近几年来一些学者研究发现：在金融市场中标的资产价格短期或长期具有一定的 依赖性或相关性，所以更为合理地应假定标的资产价格遵循随机微分方程 d s ( t ) = s ( t ) t d t + c r d b n ( t ) ) ，其中 ( f ) ，0 f t ) 为分数布朗运动，h ( 0 h 1 ) 是 h u r s t 参数特别地，当h = 1 2 时分数布朗运动即为标准布朗运动同时实证研究发 现标的资产价格的h u r s t 参数h 1 2 本文是在假定期权标的资产价格过程由分数 布朗运动驱动的基础上，对期权定价理论作进一步研究全文分为七章 第1 章绪论，主要介绍了期权定价理论发展历史与现状，本文选题的依据以及研 究的主要内容 第2 章是预备知识，引入了分数布朗运动概念、关于分数布朗运动的随机积分及 有关性质、拟条件期望和拟鞅的定义 在第3 章中，我们首先给出在分数布朗运动环境下金融市场的描述以及未定权益 定价、以及分数型风险中性定价定理，其次研究了分数布朗运动环境下幂期权定价问 题，得到了欧式幂期权定价公式以及平价关系，推广了b l a c k - s c h o l e s 公式 在第4 章中，假定金融市场中期货价格过程服从由分数布朗运动驱动的随机微分 方程，无风险利率随时间变化，利用分数型随机微分方程理论和拟鞅方法，得到了欧 式期货未定权益的一般定价公式，由此给出欧式期货买入期权与卖出期权的定价公式 以及平价关系 第5 章，我们假定标的资产价格过程由分数布朗运动驱动，建立了具有随机寿命 的欧式未定权益定价模型，并获得一些具有随机寿命的欧式未权益的定价公式 在第6 章中，我们给出分数布朗运动环境下期权定价的一种数值模拟方法，对于 难以得到定价公式的亚式期权和回望期权进行了数值模拟定价利用计算机编程来实 现数值模拟，并通过一个实例分析了数值模拟结果 第7 章结束语，总结了本文在分数布朗运动环境下期权定价理论的主要工作，以 及需要进一步研究的一些问题 关键词：期权定价；分数布朗运动；拟条件期望；拟鞅；幂期权；期货期权；随机寿命； 数值模拟；亚式期权；回望期权 o p t i o np r i c i n g i nf r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n e n v i r o n m e n t a b s t r a c t o p t i o np r i c i n gt h e o r yi sn i l eo fc o l ep r o b l e m si nf i n a n c i a lm a t h e m a t i c s b l a c ka n d s c h o l e sb r o u g h to u tb l a c k - s c h o l e so p t i o np r i c i n gm o d e li n1 9 7 3 i nt h em o d e lo n eo ft h e b a s i ch y p o t h e s i si s 廿】a tt h e 岫d d y i l l ga s , s e t s p r i c ep r o c e s so b e ys t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a l e q u a t i o nd s ( t ) = s ( t ) u d t + a d b ( t ) ，w h e r e ，e l a r ec o n s t a n t s ，( 口( f ) 0 f r i s s t a n d a r db m w n i a nm o t i o n u n d e rt h i sh y p o t h e s i s ，b l a c ka n ds c h o l c so b t a i n e da i l a l 蜘c a l e x p r e s s i o nf o rp r i c eo fe u r o p e a no p t i o n , n a m e l yt h ec e l e b r a t e db l a c k - s c h o l e so p t i o np f i c i i 唱 f o r m u l a i nr e c e n ty e a r s ，h o w e v e r , s t u d yo fs o m es c i e n t i s t si n d i c a t e st h a tu n d e r l y i n ga s s e t s p r i c e h a sd e p e n d e n c yo rp c z t t i n e n c ea ts h o r tt e r mo rl o n gt e r mi ns o m ed e g r e e t h e r e f o r ei t s r e a s o n a b l et o s u p p o s ou n d e r l y i n ga s s e t s p r i c ep r o c e s ss a t i s f y s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n d s ( t ) = s ( t ) i z d t + 盯( ( f ) ，w h e r e 9 h ( f ) ，0 t t ) i sf r a c t i o n a lb m w n i a n m o t i o n , h ( o h 1 ) i sh u r s tp a r a m e t e r s p e c i a l l y , w h e n h = 1 2 ，f r a c t i o n a lb r o w n i a n m o t i o nb c g , o m e ss t a n d a r db r o w n i a nm o t i o n a tt h es a m et i m ee m p i r i c a lr e s e a r c hd i s c o v e r s t h a th u r s tp a r a m e t e rhi s n te q u a lt o1 2f o ru n d e r l y i n ga s s e t sp n c e i nt h i sd i s s e r t a t i o n , w e d i s c u s s e do p t i o n 砸c i n gp r o b l e mw h e nu n d e r l y i n ga s s e t s p r i c ep r o c e s sd r i v e nb yf r a c t i o n a l b m w n i a nm o t i o n t h e r ea r es c v e i lc h a p t e r si nt h i sd i s s e r t a t i o n i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c e dt h eh i s t o r ya n dc u r f e mr e s e a r c h0 1 1o p t i o np d c i l l gt h e o r y , a n de x p l a i n e dt h er e a s o nf o rs t u d y i n g “sp r o b l e ma n dm a i nc e n t e n ti n t h i sd i s s e r t a t i o n c h a p t e r2i sd e v o t e dt ob a s i cn o t i o na n dr e s u l t s ，s u c ha st h ec o n c e p t i o no ff r a c t i o n a l b m w n i a nm o t i o n , s o m ep r o p e r t yo fs t o c h a s t i ci n t e g r a jf o rf a c t i o n a lb m w n i a nm o t i o n , a n d t h ed e f i n i t i o no f q u a s i - c o n d i t i o n a le x p e c t a t i o na n dq u a s i m a 血g a l e i nc h a p t e r3 ，w ef i r s t l yd c s e r i b e dt h ef i n a n c i a lm a r k e ta n dp r i c i n go fc o n t i n g e n tc l a i m u n d e rf a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o ne n v i r o n m e n t , a n df r a c t i o n a lr i s kn e u t r a lp r i c i t l gt h e o r y , t h e n d i s c u s s e dp o w e ro p t i o np r i c i n gu n d e rf r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n w eg e tt h ep r i c i n g f o r m u l ao f p o w e r o p t i o na n dp a r i t y r e l a t i o n s h i pe x t e n d sb l a c k - s c h o l e sf o r m u l a i nc h a p t e r4 ，s u p p o s i n gf u t u r ep n c ep r o c e s so b e y ss t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o nd r i v e n b yf i a c t i o n a lb m w n i a n m o t i o na n dr i s k - f r e ei n t e r e s tr a t ec h a n g e dw i t ht i m e ，w eg o tp r i c i n g f o r m u l ao fe u r o p e a nf u t u r ec o n t i n g e n tc l a i n lb ym e a n so ff r a c t i o n a ls t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a l e q u a t i o nt h e o r ya n dq u a s i - m a r t i n g a l e a n dt h e nw ep u tf o r w a r dt h ep r i c i n gf o r m u l aa n d p a r i t yr e l a t i o n s h i pf o re u r o p e u n c a l la n d p u tf u t u r eo p t i o n i nc h a p t e r5 ，w es t u d i e dt h ep r i c i n gm o d e lo f e u r o p e a n c o n t i n g e n tc l a i mw i t hs t o c h a s t i c l i f eu n d e rt h eu n d e r l y i n ga s s e tp r i c ed r i v e nb yf i a c t i o n a lb m w n i a nm o t i o n , a n do b t a i ns o t - t i c p r i c i n gf o r m u l a so f c o n t i n g e n tc l f l j l r lw i t hs t o c h a s t i cl i f e i nc h a p t e r6 ，w ed i s c u s s e dt h en u m e r i c a ls i m u l a t i o nm e t h o df o ro p t i o np r i c i n gu n d e r f r a c t i o n a lb m w n i a am o t i o ne n v i r o n m e n t , a n dg o tt h es i m u l a t i o np r i c ef o ra s i a no p t i o na n d l o o k b a c ko p t i o nf o rw h i c hi t sd i f f i c u l tt 0g e tp r i c i n gf o r m u l a w ef i n i s h e dt h en u m e r i c a l s i m u l a t i o nb yc o m p u t e rp r o g r a m m i n ga n da n a l y z e dt h es i m u l a t i o nr e s u l t sw i t ha ne x a m p l e i nc h a p t e r7 ，w cs t a m n a f i z e dt h em a i nr e s u l t si nt h i sd i s s e r t a t i o n , a n dp o i n t e do u ts o f t i e u n s o l v e dp r o b l e m s w e n f u - q i a n g ( a p p l i e dm a t h e m a t i c s ) d i r e c t e db yp r o f e s s o rx u e h o n g k e yw o r d s ：o p t i o np r i c i n g ，f r a c t i o n a lb m w n i a nm o t i o n , q u a s i - c o n d i t i o n a le x p e c t a t i o n , q u a s i - m a r t i n g a l e ，p o w e ro p t i o n , f u t u r eo p t i o n , s t o c h a s t i cl i f e ，n u m e r i cs i m u l a t i o n , a s i a n o p t i o n , l o o k b a c ko p t i o n 西安工程大学学位论文知识产权声明 本人完全了解西安工程大学有关知识产权的规定，即：研究生在校攻读学位期间 学位论文工作的知识产权归属西安工程大学本人保证毕业离校后，使用学位论文工 作成果或用学位论文工作成果发表论文时署名单位仍然为西安工程大学学院有权保 留送交的学位论文的复印件，允许学位论文被查阅或借阅；学校可以公布学位论文的 全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存学位论文 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 学位论文作者签名 指导老师签名： 日期： 主扬镪 嘞番 砌7 ；，7 西安工程大学学位论文独创性声明 禀承学校严谨的学风与优良的科学道德，本人声明所呈交的学位论文是我个人在 导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和 致谢的地方外，学位论文中不包含其它人已经发表或撰写过的研究成果，不包括本人 已申请学位或他人已申请学位或其它用途使用过的成果与我一同工作的同志对本研 究所作的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了感谢 学位论文与资料若有不实之处本人承担相关责任 学位论文作者签名：麦移兹 日 期细7 芗7 第1 章绪论 1 1 期权定价理论发展历史与现状 1 绪论 金融数学是运用数学工具来定量研究金融问题的- f - j 学科；近年来，金融数学正 在蓬勃发展，得到了广泛的研究金融数学研究的主要内容有：市场的描述以及一些 基本性质的讨论、投资风险的度量与规避，资产f 包括各种金融衍生证券) 的定价、投资 消费效益的最优化等等【i j 金融数学的历史最早可追溯到1 9 0 0 年，法国学者l o u i sb a c h e l i e r 【2 】在这一年发表了 他的博士论文投机理论，这宣告了金融数学的诞生此后，在金融数学领域的研究 取得了两次具有里程碑意义的突破性成果，被后人誉为“华尔街的两次革命”第一次 是m a r k o w i t z 的均值方差理论1 3 1 ，第二次是b l a c k s c h o l c s 期权定价公式【4 1 1 9 7 3 年，两位伟大的金融理论家和实务家f i s h e rb l a c k 和m y r o ns c h o l e s 发表了他 们的著名论文“期权定价与公司债务”( t h e p r i c i n g o f o p t i o n s a n d c o r p o r a t e l i a b i l i t y ) ，给 出了欧式期权定价的显式表达式 4 1 即著名的b l a c k - s c h o l e s 公式这是现代金融数学 的一项具有里程碑意义的突破性成果不久，m e n o n 【月减弱了该理论所依赖的条件，使 其更符合实际 期权是一类非常重要的金融衍生证券，期权的买方有权在将来的某一约定时间或 某一约定时间段内以约定的价格( 称为执行价格) 购买或卖出某种约定的标的资产如果 是购买标的资产，则为买入期权；如果是卖出标的资产，则为卖出期权如果只能在 期权到期时执行期权，为欧式期权；如果可以在到期之前任何一个时刻执行，则为美 式期权 期权定价理论是金融数学的核心内容之一，其经过几十年的发展，取得了丰硕的 成果： ( 1 ) b l a c k s c h o l e s 期权定价模型的修正及进一步研究。一方面，对b l a c k - s c h o l e s 模型作实证研究 6 - g l 与理论研究 9 - 1 2 1 另一方面，对b l a c k - s c h o l e s 模型进行修正，有考 虑红利支付的【1 3 1 4 】；有考虑交易费用的【1 5 - 1 6 1 ：有考虑随机无风险利率r 或随机瞬时波动 率盯的【1 7 1 8 】；有考虑标的资产为各种不同类型的资产，如期货期权【1 9 1 ，外汇期权等 ( 2 ) 离散时间模型的研究1 9 7 9 年，c o x ，r o s s ，r u b i n s t c i n t 2 l 】提出了二叉树期权 定价模型，文献 2 2 】考虑了含交易费用的二叉树期权定价模型文献【2 3 】考虑了三叉树 期权定价模型对般离散模型，有研究有限状态阱】和无限状态瞄l ，以及离散时间金 第l 章绪论 融模型到连续时间模型的收敛问题 擒3 0 1 ( 3 ) 美式期权及奇异期权定价理论的研究m e t o n 于1 9 7 3 年提出并研究了美式期 权的基本特征翻b e r n n a n l 3 ”等对美式期权及其最优停时，美式期权价格的逼近等方面 进行了深入的研究对美式买入期权，g e s k e 和r o l l 弛确定了其定价公式 ( 4 ) 标的资产服从非几何布朗运动时的期权定价理论研究如考虑标的资产价格在 服从几何布朗运动的基础上存在异常变动跳跃、o - u 过程、半鞅、适应随机过程、一 般过程等p 3 0 目； ( 5 ) 期权定价的数学理论和数学方法的研究如倒向随机微分方程理论，偏微分方 程的有限差分注_ 3 研及蒙特卡罗模拟定价方法【柏】。 1 2 选题依据 期权作为金融市场中的衍生证券之一，在规避金融风险有着极其重要的应用，所 以期权定价理论的研究显得十分重要，也是金融数学的核心问题之一 最早研究期权定价理论是由b l a c k 和s e h o l e s 在1 9 7 3 年提出的b l a c k - s c h o l e s 期权 定价模型1 4 1 ，此模型的基本假设如下：交易可连续进行；不存在无风险套利机会：相 同借贷利率下可无限借贷：证券无限可分；期权有效期内无红利支付；市场无交易费 用且证券允许卖空；股票价格遵循随机微分方程d s ( t ) = s ( t ) u d t + a d b ( t ) ) ，其中，盯 常数， 口( ，) ，0 f n 是标准布朗运动在此假定条件之下，b l a c k 和s c h o l e s 得到期 权定价的b l a c k - s c h o l e s 公式 近三十年来，国内外对b l a c k - s c h o l c s 模型有更进一步深入研究，关于股票价格模 型的实证和理论、b l a c k - s c h o l e s 期权定价模型的实证和理论研究仍然是一个热门课题， 相继出现了研究期权定价理论的方法如：基于均衡的均衡推导法、基于无套利方法的 无风险投资组合法、鞅方法、倒向随机微分方程和随机最优控制方法1 4 1 - 4 2 1 ，以及二叉 树阱, 4 3 1 、蒙特卡罗模拟 4 0 4 4 、有限差分法h 5 垮数值方法；同时相继也出现了各种不同 的定价模型，如：随机利率或随机瞬时波动率下期权定价模型【l7 1 叼、带跳的期权定价 模型闱、随机寿命的期权定价模型 4 7 1 等这些模型及其定价方法的出现均为期权定价 理论以及应用研究奠定了基础 但是，近几年来一些学者研究发现：在金融市场中股票价格短期或长期具有定 的依赖性或相关性所以，更为合理的假定是股票价格遵循随机微分方程 a s ( t ) = s ( t ) l t d t + c r d b h ( t ) ) ，其中 ( f ) ，0 ，t ) 为分数布朗运动，h ( 0 ：1 ，则( f ) 是持久的q e r s i s t 吼t ) 或有长程关联性( 1 。1 1 9 _ 瑚g ed 印e i l d e n c e ) ， 即 厂( 甩) = e b 。( n ) 【曰。( 甩十1 ) 一b 。( 以) 】) 0 ，对所有珂= 1 2 且，( 行) = m 分数布朗运动的另一个重要的性质是自相似性( s e l f - s i m i l a r i t y ) ：对任意的h ( 0 ，1 ) 和口 o rb n ( c t t ) ，。r = 口”取( ，l 。矿有相同的有限维分布 分数布朗运动的这些性质使得它成为包括金融数学在内的许多应用中的一个非常 有用的工具 2 1 2 2 关于分数布朗运动的积分及有关性质 本章主要引用h u 和o k s 锄d a l ，e l l i o t t 和h o e k 以及刘韶跃博士在关于分数布朗运 动随机积分方面所做的工作陋5 3 7 r 嘲有关分数布朗运动的随机积分请参阅文献 2 ，6 0 】， 本文限于篇幅关系只引用其中的一些结论 第2 章预备知识 对分数i t 5 积分，有p 歹0 性质： ( 1 ) e i r y ( t ) d b h ( t ) = 0 ； ( 2 ) ( 分数i t 6 等距性) 例如果，球( r ) ，i ；t0 h 1 ，有 e ( j r y q ) d b z ( t ) ) 2 】= 研( 峨w ) ) 2 d 0 + 日d 甲( m ；y ) ( s ) 掣( 肘：y ) ( f ) 凼训 特别，如果j ，= 厂日( r ) r 0 0 ， x ( r ) = x ( t o ) e x p f 口( 5 ) 凼+ f ( s ) d ( s ) 一j 1d m ，( s ) 】2 西) 6 第2 章预备知识 显然，如呆f l ( s ) = 为鬲瓤，且x ( f 0 ) ( t o u ) 力硎始条仟，则珂t o 0 ， x ( o = x ( t o ) e x p f 口( 。出+ 所毋( f ) 一吼( f 0 ) 卜p t 一”】 定理2 2 1 1 2 1 ( 分数型i t 6 公式1 ) 设，( s ，工) ：r x r r 且，c 啦( r x r ) ，并假设 ，( ，毋( j ) ) ，f 罢夕( l ( s ) ) 出及f 等厂( s ，( s ) ) s 2 n 1 出均属于r ( p ) ，则 ，( 以( 砌= f ( o ，o ) + f 昙厂( s 吼( 呦出+ f 昙厂( s ，( 呦西 + f 丽0 2 ，( 蚂删西 定理2 2 2 1 2 1 ( 分数型i t 6 公式2 ) 如果x ( f ) 满足 j ( f ) = x + f “o ) a s + f v ( s ) 蛾( s ) ， f 0 ， 其中, v 为确定性函数，”_ ( r ) ，1 ，蜀( 胄) 设厂c 2 ( r ) ，且积分f 厂( x ( s ) ) “o ) d s 和日f 厂。( x o ) ) s 2 ”v 2 ( 5 ) 出收敛则 ，( x ( ，) ) = 厂( z ) + f ，( x ( s ) 姐( s ) 凼+ h f ，”( x o ) ) s 2 ”一1 v 2 0 ) d s 定理2 2 3 脚( 分数型g i l s a n o v 定理) 设为( s 7 ( 胄) ，厂，p ) 上的分数布朗运动，对 r ( r ) ，定义一新的概率测度户满足 历d p ( 叻= e x p - l l 1 2 ) ( 2 4 ) 则在概率测度户下，露( f ) = ( f ) 一上m 。( o ，) ( j ) 矽( s ) 出为分数布朗运动 2 3 拟条件期望和拟鞅 设概率空f q ( s 似) ，厂，p ) 使得b 。( f ) 在p 下为一分数布朗运动 定义2 3 1 1 2 l 假设g = 薹l 瓯( s ) 磷“( s ) 属于矿，则g 关于石( f ) = 盯 易( n 0 j t ，的拟一条件期望定义为 第2 章预备知识 丘【g 】= = 研g i 石= g 。荟l 。胛删磷( 2 5 ) 其中u o ，f ) ( j ) = ，( o ，f ) ( 而) i ( 0 ，r ) ( ) ，称g 夕为。磊( f ) 可测，如果 朝g 】= g ( 2 6 ) 注意到目( r ) 】= ( j ) e b n ( t ) l 石( j ) 】 定义2 3 2 嘲称石( f ) 适应过程g ( f ，c o ) 为拟鞅，如果g o ) 乡( v ，) ，并且有 最 g ( 纠= g ( j ) ( v t j ) 由拟条件期望的定义，显然有 引理2 3 1 1 2 1 ( 1 ) ( ，) 为拟- 鞅； ( 2 ) 如果，宵( 矗) ，g ( r ) = f ( s ) d b n ( s ) ，则称g ( r ) 为拟一鞅 引理2 3 2 唧】对任意o r r 和a c ，有 鼬。圳n 】- 。唰- ，每一一， 引理2 3 3 设，为一个满足e 【，( 磁( 研】 o ) 0 所以我们的市场是无套利的并 且我们称概率户为风险中性概率 另外，假设未定权益f 4 为石可测随机变量，我们可以找到一个资产组合 o ( t ) = ( r ) ，v ( f ) ) 和初始投资z 使得 ，( 奶= z 缸( r ，劝 口j 结合( 3 1 0 ) 目p v j 得 p ”，= z + fp 一”c n ，p ) s g ) 碡( f ) 为此，对b ”f 应用分数型c l a r k e - o c o n e 定理嘲，用毛( r ) 代替( r ) 有 p 一”f = 自p 。7 ，】+ f 丘【p 1 7 印，】d 峨( f ) 其中童，丘，西，分别为在概率户下的数学期望、拟条件期望和随机梯度嘲因此， z = z 8 ( o ) = 童旷7 7 用，0 1 2 ) 即为未定权益f 在0 时刻的风险中性定价公式，并且 v ( f ) = s o ) 。1 p 。“。仃。1 丘【掣f 】( 3 1 3 ) 决定了资产组合) 也就是说，对任意这样的未定权益f 均是可复制的。所以，市 场为完全市场，( 3 1 2 ) 式为f 在t = 0 时的风险中性定价 在分数型b l a c k s c h o l e s 市场模型下我们有如下结论 引理3 1 1 圆在风险中性概率测度户下未定权益f 名为石可测随机变量在f = 0 时刻的定价为 z = z 。( o ) = 雪p 一”f 】( 3 1 4 ) 第3 章幂期权定价 引理3 1 2 1 6 0 ( 分数型风险中性定价) 任意有界石可测未定权益f r ( 户) 在任意时 刻，【o ，刀的价格为 f ( f ) = e - r ( 1 - o 豆, t l q ， ( 3 1 5 ) 其中最表示在风险中性概率测度户下的拟- 条件数学期望 引理3 1 3 口1 欧式未定权益在期满前f 【o ，刀时的价格为 v ( s ( f ) ，? 1 ，f ) = e - r ( t m ) f f s ( t ) e x p ，( r f ) 一三1 盯2 ( t t m _ i t m ) + 盯而】) 去e 乞 ( 3 - 6 ) 引理3 1 4 f 删( 分数型b l a c k - s c h o l e s 公式) 设无风险利率，和波动率盯均为常数，则 到期时为7 1 的欧式买入期权在r 0 ，t 】时的价格为 c ( s o ) ，t ，f ) = s ( f ) j ( 畦) 一k e ”7 一n ( a d ； ( 3 1 7 ) 欧式卖出期权在t 【o ，t 】时的价格为 其中 p ( s ( f ) ，t ，f ) = 一s ( ，) ( 一吐) + k e ，7 叫( 一吐) ，( 3 1 8 ) 纠一仃孵：鬟s ( t ) 之+ rt 蠹tt x ；2 t t m 竺t t m 。 推论3 1 1 删设无风险利率，红利率g 及波动率盯均为常数，则到期时刻为t 的 欧式买入期权在t 【o ，刃时的价格为 c ( s ( ，) ，t ，f ) = s ( t ) e 一4 “n ( d i ) - k e ”“( 破) ； ( 3 1 9 ) 欧式卖出期权在t 【o ，t 】时的价格为 1 2 第3 章幂期权定价 p ( s ( f ) ，t ，r ) = 一s ( t ) e 一4 7 。( 一d 0 + k e ”7 一。( 一d 2 ) ， ( 3 2 0 ) 其中( y ) = e 了杀e 一导出为标准正态分布的分布函数( 以下均同) ， 吐：坚号擎， 州一盯一：坚号乒 注：由( 3 1 9 ) 式计算有 旦丛祭盟：p 叫一 ( 刊( 吐) + ， ) 熹】 d d 一卜f ) 【( 卅懈) + ，( 吐) 器】 由于 从而 所以 ( d 2 ) = 去e 一譬= t s ( t ) c ( r - e x r - t ) 瓦1e 一手= 半训m f ( 吐) k e - ( r - o n ( d z ) o 口d 。2 = s ( ，) e - q ( t - o n t ( 、f f a a d r l j ；骞】， 芈趔f ) e - q ( t - t ) 【筹j v ，( d o 一州( 删+ 尬- r ( r - t ) n ( a oa 丁 、7 r 2 h f 2 h 1 1 弘。时，有笔掣锄) 蒂+ 彪- r ( r - t ) n ( 咖愀买 入期权价格c ( s ( ，) ，t ，t ) 关于丁为增函数 3 2 欧式幂期权定价及平价公式 由( 3 7 ) 式很容易知道有下式成立 第3 章幂期权定价 s ( r ) = s ( f ) e x p ，( 7 t f ) + 盯( ( r ) 一晶( f ) ) 一号三( 丁2 ”一f i n ) ， ( 3 2 1 ) 由分数型风险中性定价定理，可得定理3 2 1 定理3 2 1 在无风险概率测度p 下，如果收益率r 和波动率盯均为常数，则一执行 价格为k ，到期时为r 的欧式买入幂期权在到期前任一时刻f o ，川的价格为 c ( ，r ，f ) ：s 一( f ) e r ( n - i x t - t ) + 掣即2 吖” ，( 吐+ ( 一一1 ) 盯打矿万) 一k e 一7 7 n ( d 2 ) ，0 2 2 ) 其中 破：二l n s l ( t ) ，n 垒t y 2 2 u _ t 2 n ) ：正一盯打呼破：l ，垒：正一盯打呼 ，灯丁”一，2 8 1 证明：由引理3 1 2 的风险中性定价原理， c ( s ( f ) ，t ，f ) = 丘”“，( s ( r ) ) 】= 丘”“。m a x ( s ”( 丁) 一k ，o ) 】，( 3 2 3 ) 其中丘是风险中性概率测度p 下的拟条件期望，结合( 3 2 1 ) 式由引理3 1 3 知进一步计 算( 3 2 3 ) 得 c ( s ( ，) ，t ，) = 口一“7 7 e 【( s ”( 丁) 一k ) i a 一川p ( ，) e x p 州) 一譬( t 2 h _ f i n ) + 佣撕瓦瓦) 訇去e 乞 ( 3 2 4 ) 其中 一= ( f ) e x p r n ( t r ) 一孚( r ”一t 2 # ) + 盯h 打矿了百r 研 由于 掣州) 一h a ，2 、t ”一t 2 ) = x ：x l _ = 了面考争一生吐) n o 、j t ”一t “ 1 4 第3 章幂期较定价 l k 去e 一导出= x e 面1 e _ k 2 出= k 3 v ( 4 ) ， ( 3 2 5 ) 以及 腓) e x 咖( ) 一譬( t 2 - t t m 加n 厅7 x ) 去e + 屯 = p ( f ) 酬叫) 一譬( t 2 h _ l t m 加n 撕征瓦) 去e 一乞 毋o ，e r n ( t - t + n 2 - ( n - 1 ) d , 2 ( t 2 - t 2 m ) 击扣一7 出 掣州“卅砷一一一一。厨i 去e ，咖 ：跏) p “伊卜妒即2 q ”( 吐+ ( n - 1 ) 盯厅( 芦) ， ( 3 2 6 ) 其中y ：工一加以面二彳，结合( 3 2 5 ) 及( 3 2 6 ) 代k ( 3 2 4 ) 式中可知定理成立 对于欧式卖出幂期权，其到期日为t 的损益为，( s ( ，) ) = m a x ( r s ”( r ) ，0 ) ，根据 相同的方法能够得到卖出幂期权的定价公式 定理3 2 2 在无风险概率测度p 下，欧式卖出幂期权在到期前任一时刻f o ，t 】的 价格为 p ( s ( f ) ，r ，f ) ：一s 一( f ) e r ( - d ( r - t ) + 掣口2 ( 产2 “( 一吐一( 九1 ) 盯打巧万) + k e 。“( 一d 2 ) ， ( 3 2 7 ) 其中一，吐，( ) 的记号代表意义如前定理3 2 1 中所示 证明；由引理3 1 2 的风险中性定价原理。 p ( s ( f ) ，t ，r ) = 丘p 1 “，( s ( 丁) ) 】= 丘p 。“m a x ( k s ”( 丁) ，o ) 】， ( 3 2 8 ) 其中e 是风险中性概率测度p 下的拟一条件期望，结合( 3 2 1 ) 式由引理3 1 3 知进一步计 算( 3 2 8 ) 得 p ( s ( ，) ，t ，r ) = e ”“丘【( k s ”( 丁) ) l 】 玎科肛帮酣咿一孚( t 2 q _ t z ) + 册历征瓦”去。乞， 第3 章幂期权定价 其中 由于 以及 纠e x p r n ( m n a 2 a ( 、t 2 n _ t 2 n ) 而) k ) t n s i - ( t ) + r ，f f ) 一了1 1 0 - 2 ( t t m _ t t m ) = x s l 三杀尹务生以 1t柑、一 ( 3 2 9 ) i l ，k 击e 一手出= k e - - ；石e 2 出= k n ( 硼， ( 3 ，。) 脾归p ，咽f ) 一, ”, 。；2 ( 、t 2 n _ t t m n 而) 去e 毛 = e e x p ”( ) - - - 譬( t t m - t t m ) 一厅= 瓦) 去e 出 毋咿廿扣以一一e 去e 一肝7 出 d 咿吩- 1 ) 破一一e 秤去e ，砂 = ( f ) p 州卜如，以一 r