（应用数学专业论文）广义生灭过程的对偶理论及相应的算子半群.pdf

广义生灭过程的对偶理论 及其相应的算子半群 应用数学专业硕士研究生赵海霞 指导教师李扬荣教授 摘要 关于m a r k o v 过程理论的研究，众多数学家们已得到了一系列完善的普遍性理论本 文着力于将这些现有的结论应用到具体的q 一矩阵一一广义生灭矩阵q 上去，得到广义 生灭矩阵q 在一些性质上具体的数字刻画，并籍此讨论了广义生灭矩阵q 的最小o 一 函数的性质进一步地，我们求出了广义生灭矩阵的对偶q 一矩阵驴，除了讨论q 及 最小驴一函数的一些性质外，我们还考虑了最小q 一函数与最小驴一函数之间可能存 在的联系最后，结合线性算子半群理论，我们讨论了两类由广义生灭矩阵q 演绎而得 的算子半群为叙述简便起见，本文至此将广义生灭矩阵q 简称为q ，广义生灭矩阵的 对偶q 一矩阵q 简称为驴 我们在第二章中主要讨论了0 的一些具体性质，如单调性、对偶性、f r r 性并得到 如下结果： 命题2 1 1q 是单调的当且仅当 ) 器1 为单调递减数列 命题2 1 2q 是对偶的当且仅当 ) 器1 为单调递减数列 命题2 1 3 q 是f r r 的当且仅当l i m = 0 我们还证明了q 零入等价于0 强零入这是个较好的结论，因为对于一般的q 一矩 阵而言，它在f o o 内零出等价于它在恁内零出，故可统称为零出；但它在2 内零入不一 定就能保证它在f l 内也是零入的，即一个q 一矩阵是零入的，但它可能不是强零入的 广义生灭矩阵q 在这方面则具备了较好的性质，由此我们结合q 强零入和零出的数字刻 画，得出了最小q 一函数单调性、对偶性、f r r 性的数字刻画以下是第二章的主要结 果， 命题2 1 5 q 零入等价于q 强零入 命题2 1 7 设p n 0 ，n = 1 2 且 ) 巽1 为有界数列，则q 是强零入的当且仅 当s = + o o 其中，s = 登( 矗i + 上+ + 址) n = l # n + 1 a np n + 1 - q 命题2 1 8 设k 0 ，n = 1 ，2 ，则q 是零出的当且仅当r = + o o 或元= + o o 其中，r 引o c 石1 + 括觥) ，五= 至( 舞+ 糍雠) 定理2 2 2q 的最小口一函数是单调的当且仅当( h 器l 单调递减且r = + c o 定理2 2 3q 的最小q 一函数是某单调q 一函数的对偶当且仅当( 1 ) 器l 单调递 减且( 2 ) ( a ) l i mh = 0 ，s = + o 。或( b ) r 0 ，n = 1 ，2 ，且 ) 黯l 为有界数列，则驴是零出的当且仅 当s = + 显然，当 ) 器l 有界时，q + 强零入等价于q 零出，驴零出等价于o 强零入此 外，我们还讨论了最小驴一函数的一些基本性质， 定理3 1 1 0 口的最小驴一函数是单调的当且仅当l i m = 0 且s = + o o 定理3 1 1 1 当l i i n = 0 时，驴的最小q 一函数是f r r 的当且仅当r = + o o 或 s + o o 最后，我们发现在一定条件下，最小q 一函数与最小驴一函数存在如下联系； 定理3 1 1 2 当 协 罂1 单调递减趋于0 且r = + o 。时，最小q 一函数的对偶是最小 0 + 一函数 我们在第四章中分别探讨了由q 定义而得的两个算子口o 、西在c o 、f l 空间上生 成正压缩岛半群的充要条件，同时也以线性算子半群理论为工具甜论了最小q 一函数 的f r r 性我们得到如下主要结论， 定理4 1 1 设 h ) 器l 为递减数列，则下述( a ) ( b ) ( c ) 相互等价， i i ( a ) q o 在c o 上生成正压缩岛半群； ( b ) 最小0 一函数是f r r 转移函数； ( c ) s = + o 。或r 0 ，n = 1 2 0 i sz e r o 书x i ti f a n do n l yi fr = + o r 五= + o o , w h e t e r = n 萎= l ( 击+ 括+ + 觥) ，五= n 墨= l ( 薏+ 糕+ + 气著警) t h e o r e m2 2 2t h em i n i m a lq - f u n c t i o ni sm o n o t o n ei fa n do n l yi f h ) 器li sd e c r e a s i n g a n d r = + 0 0 t h e o r e m2 2 3t h em i n i m a l0 - f u n c t i o ni sd u a li fa n do n l yi f ( 1 ) ) 嚣l i sd e c r e a s i n g a n d ( 2 ) ( a ) 0 骢h = 0 ，s = + o oo r ( b ) r 0 ，t l = 1 ，2 ，a n d v n 口o oli sb o u n d e d ，t h e n 矿i s z e r o - e x i ti fa n do n l yi fs = + o 。 o b v i o u s l y , i f 忍ii sb o u n d e d ，t h e n 驴i ss t r o n gz e r o - e n t r a n c ei fa n do n l yi fqi sz e r o - e x i t ，q 4i sz e r o - e x i ti fa n do n l yi fqi ss t r o n gz e r o - e n t r a n c e b e s i d e st h a t ，w es t i l ls t u d ys o m e b a s i cp r o p e r t i e so ft h em i n i m a lq + 一f u n c t i o n ： t h e o r e m3 1 - 1 0t h em i n i m a lq t f u n c t i o ni sm o n o t o n ei fa n do n l yi f 熙= 0a n d s = + 。o t h e o r e m3 1 1 1i f 热= 0 ，t h e nt h em i n i m a l 驴- f u n c t i o ni sf r ri fa n do n l yi f r = + o r s + 0 0 f i n a l l y , w ef i n dt h ef o l l o w i n gr e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h em i n i m a lq f u n c t i o na n dt h em i n i m a l q l f u n c t i o nu n d e rs o m ec o n d i t i o n s ： t h e o r e m3 1 1 2i f ) 黯li sd e c r e a s i n g ，0 骢= 0a n dr = + ，t h e nt h ed u a lo ft h e v m i n i m a lq - f u n o t i o ni st h em i n i m a lq f u n c t i o n i nc h a p t e rf o u r ，w es t u d yt h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n su n d e rw h i c ht h eg e n e r a l i z e d b i r t h - d e a t hm a t r i xg e n e r a t e sp o s i t i v ec o n t r a c t i o nc 0 - s e m i g r o u p so nc oa n dl lr e s p e c t i v e l y a t t h es a m et i m e ，w es t u d yt h ef r rp r o p e r t i e so ft h em i n i m a l 口。f u n c t i o nb yu s i n gt h et h e o r yo f s e m i g r o u p so fl i n e a ro p e r a t o r s t h ef o l l o w i n g sa r et h em a i nr e s u l t s ： t h e o r e m4 1 1s u p p o s et h a t 器li sd e c r e a s i n gs e q u e n c e ，t h e nt h ef o l l o w i n ga r ee q u i v - a l e n t ： ( a ) q 0g e n e r a t e sap o s i t i v ec o n t r a c t i o nc 0 - s e m i g r o u p0 1 1c o ； ( b ) t h em i n i m a q - f u n c t i o ni saf r r t r a n s i t i o nf u n c t i o n ； ( c ) e i t h e r s = + o oo r r + o o t h e o r e m4 1 2t h ef o l l o w i n gs t a t e m e n t sa r ee q u i v a l e n t ： ( a ) q 1g e n e r a t e sap o s i t i v ec o n t r a c t i o nc o s e m i g r o u po n1 1 ； ( b ) t h eo p e r a t o ri qo nk i si n j e c t i v e ，w h e r eqi st h eo p e r a t o rw i t hm a x i m u md o m a i n o n f o o ； ( c ) e i t h e r ( i ) a m = 0 f o rs o m e8 n b s e q u e n c e h k o f k ) o r ( i i ) m = s u p n ：k = o ) 0 时，有 p r x ( t 。+ 1 ) = j l x ( t 。) = i ，x ( 如一1 ) = i n - i ，x ( t 1 ) = 1 ) = b x ( k + 1 ) = j l x ( t , ) = i ) 此等式称为m a r k o v 性质如果对于5 ，t 满足0 8 t 及任意f ，j e ，条件概率b 仁( t ) = j l x 0 ) = i 只依赖于t 一8 而与8 ，t 无关，则称随机过程仁( t ) ；t 0 ) 是齐次m a r k o v 链 此时p r x ( t ) = j l x ( 8 ) = ，= e , i x ( t s ) = je x ( o ) = i ) 称 p i j ( t ) = 耳 x ( t ) = j l x ( 0 ) = ) v ，e ，t 0 为该随机过程的转移函数 由参数连续m a r k o v 链理论【3 】知道，任何一个m a r k o v 过程被它的转移函数唯一确 定，因此，对m a r k o v 过程的研究就转化为对转移函数的研究标准转移函数的定义如下， 2 定义1 3 2 1 3 1 ( 标准转移函数) 设可敬集e = 0 ，l ，2 ，) 是状态空问p ( t ) = p 玎( t ) ；i ，j e ，t 0 称为标准的转移函数，如果它满足；( 1 ) 对任意的t 0 ，( ) 2o 且 种，= 幻= 。1 糍i ； ( 2 ) 对任意的i e ，t 0 ，砌( t ) 1 ；特别地，若对v t o ，i e ，( t ) = 1 ，则 称f 岛( t ) ； ，j e ，t 0 是忠实的，否则称为非忠实的； ( 3 ) 对任意的t ，j e ，p 玎( 亡+ 8 ) = n ( t ) p 幻( s ) ； ( 4 ) 对任意的i e ，l 邶i r a ( t ) = 1 或等价的，对任意的t ，j e ，船砌( t ) = ( 标准 性) 本文始终假定转移函数是标准的，即满足上面的( 1 ) 到( 4 ) 同时由文献【3 】知，对 于一个标准的转移函数来说，一定存在如下形式的极限； i i m 型! ! 生= 奶v i , j e t t o t 。 我们规定q = 蚴； ，j e ) ，则得到争矩阵q 及相关概念的定义 定义1 3 3 【3 】( 口一矩阵) 矩阵q = q j ；i ，j e 称为铲矩阵，如果它满足 0 s o 为l d 、驴一函数 4 定义1 3 1 7 1 q ( q 的对偶q 一矩阵) 设q 为保守且单调的口一矩阵，则称矩阵 q = ( 蝣) = ( ( 劬女一毋一l ，k ) ) i ，j e = 其中，q - l , k i0 ，为q 的对偶q 一矩阵 定义1 3 1 8 1 1 】( 强连续半群) 设工是b a n a c h 空间， 丁鼢t2o ，是映x 到x 内的有 界线性算子的单参数簇如果它满足， ( 1 ) t ( o ) = i ( j 是x 上的恒等算子) ； ( 2 ) t ( 8 + t ) = t ( s ) t ( t ) 对一切8 ，t 0 成立( 半群性质) ； ( 3 ) l “0 i r a i i t ( t ) x z 0 = 0 对一切z x 成立( 强连续性) 则称 t ( t ) ；t o 是强连续半群或岛类半群，简称岛半群 定义线性算子a 如下； 跗) - z 峨嘧! 学存在 且对任意的z d ( a ) ，规定 ax=lim三坚=d+t疵(t)xtlo t 脚 m 则称a 是半群 t ( t ) ；t o ) 的无穷小生成元，简称生成元，d ( a ) 是生成元a 的定义域 定义1 3 1 9 1 1 1 设t ( t ) 是b a n a c h 空间x 上的岛半群，如果对任意的t 0 有l i t ( t ) 1 1 曼 1 ，则称t ( t ) 为强连续压缩半群或国压缩半群，简称压缩半群 定义1 3 2 0 1 1 1 1 设x 是b a n a c h 空问，x 是其对偶空间，对比x 。称 f ( 砷= ：z x ，缸，砖= z l l 2 = l | 1 2 ) 为z 的对偶集 ( 注：若矿x ，z x ，符号( 矿，。) 或( z ，矿) 都表示矿在z 点的值) 线性算子a 是耗散算子，如果它满足对比d ( a ) ，存在矿f ( x ) ，使得有 船( 血，矿) 0 引理1 3 2 1 1 “】线性算子a 是耗散算子当且仅当 0 ( a j a ) x l f a 0 。0v 。d ( a ) ，a 0 关于岛压缩半群的两个经典刻画一一h i l l e - y o s i d a 定理和l u m e r - p h i l i p s 定理， 定理1 3 2 2 1 1 i ( h i l l e - y o s i d a 定理) 个( 无界) 算子 是b a n a c h 空间x 上的岛压缩 半群t ( t ) 的生成元的充要条件是t 5 ( a ) a 是稠定的闭算子； ( b ) ( o ，+ o o ) cp ( a ) 且预解算子r ( a ：a ) 满足 1 i i r ( a ：a ) 0s v 0 定理1 3 2 3 “ ( l u m e r - p h i l i p s 定理) 设a 是b a n a c h 空间x 上的一个稠定线性算子， ( 1 ) 如果a 是耗散算子且存在一个知 0 使得i m ( a o ，一a ) = x ，那么a 是x 上 某个压缩半群t ( t ) 的生成元； ( 2 ) 如果a 是x 上压缩半群t ( t ) 的生成元，那么对v a 0 ，有i m ( m a ) = x 且a 是耗散算子另外，对比d ( a ) 及比f ( z ) ，有r e ( a x ，矿) 10 在本文中涉及到如下序列b a n a c h 空间 1 1 = 扣= ( x i ；i e ) l o o = 忙= ( x l ；i e ) c o = 伽= ( x i ；i e ) 蚓 2 j = 0 j = 1 j 2 j = o j = 1 j = 3 j 3 o h 0 o，f1【 = = 呲 晒 嘲 由上面两个表达式可得：( 2 1 ) 式成立当且仅当一7 1 一1 2 ，即7 i 能 当i 1 ，j f + 1 时 钒= 2 ， 0 一m 0 ( 乍+ m ) o 0 j = 0 j i 一 ，= l = i 2 i + 2 f 0j = 0 i - 7 i + 10 f + 2 由上面两个表达式可得，( 2 1 ) 式成立当且仅当一乍s 一乍+ i ，即m y i “综上所述， q 是单调的当且仅当 箍。单调递减 从q 的构造可看出口是保守的，由对偶的定义可得0 对偶等价于口单调，故有下 述结论， 命题2 1 2q 是对偶的当且仅当 罂l 单调递减 关于q 的f r r 性，由q 的构造及定义1 3 1 1 可得下述结论t 命题2 1 3 q 是f r r 的当且仅当l i n lh = 0 命题2 1 4 q 是r e u t e r 的当且仅当q 是f r r 的 证明：先证必要性q 是r e u t e r 的，故w e ，有墨翻0i _ + o o 由q l q 保守可得：对w e ，有一j - 1 和：登驰- + 0i - + o o 特别地，当j ：1 时，有 l = o i = ， f l 一艺蜘= 一帅= 一 7 1 0f o 。由命题2 1 3 可得q 是f r r 的 下证充分性q 是保守的，故登：一窆蚴 1 = 口 l = 劬 则有 l i r ae 啦l = 一l i m 吼f j = j 一1 = 0 一i = 一l i r aq l l = 0 j - l = 一0 1 = 0 = 0 实际上，由充分性的证明过程可知，任一保守的f r rq 一矩阵一定是r e u t e r 的 下面我们来看q 强零入、零出的数字刻画强零入、零出是两个非常重要的概念，不 仅在本章下一节中讨论最小q 一函数的性质时会频繁用到，而且在第四章中讨论由q 演 绎出的算子半群时也会涉及众所周知，对于一般的q 一矩阵，它在k 内零出等价于它 8 在毪内零出，所以我们可以统一称之为零出；但它在z 内零入不一定在z l 内也零入， 即零入不一定强零入关于这一问题，q 则具有下述较好的性质t 命题2 1 5 q 零入等价于q 强零入 证明，充分性显然成立为证明必要性，我们设”= ( ：t i e ) 1 1 ( a ) ，使得y = ( ：n e ) 1 1 ，我们将证明l 或一f 由”( a j q ) = 0 可得 a 蜘一 y n y n = 0 n 2 1 由上式可得i o 由鲰，n 1 所决定，所以我们首先来考虑含有y n ，n 1 的等式，即 ( a + a l + 1 1 ) 掣l p 2 抛= 0( 2 2 ) 一k l y n l + ( a + k + 7 n + ) 一+ l + l = 0 竹= 2 ，3 ， ( 2 3 ) 不失一般性地，我们可设驵 0 ( 若l 0 ，由归纳及( 2 7 ) 可得0n 2 ，因此y o = h 轨0 简而言之，f ，即z l ( a ) cz ( a ) ，必要性得证 有了命题2 1 4 ，对于广义生灭矩阵q 而言，零入即强零入，故我们不妨统一称之为 强零入在此基础上，我们来看q 强零入及零出的数字刻画 9 引理2 1 6 【3 】设 厶，7 1 i ) ， g n ，n 1 ) 及 k ，n 1 ) 为非负数列，数z o ，z i 满 足0 z o 巩，又从的取法可看出0 ，n = 1 2 下面我们来 找y z 即 鲰一c o l 可求和的充要条件令第二式中的z n = 矗，厶= 等兰 ，k = 0 ， g n = i 等! 圭等，则第二式与弓i 理2 _ 1 6 中的( 2 8 ) 有相同的结构又如= 塞n + 讥m ， 且 器1 有界，不妨设0 m ，则有a y k 如s ( a + m ) y k ， 矗) 器l 有界 等价于 甚1 可求和则由引理2 1 6 可得 黯1 可求和等价于( f n + 月k ) + o 。 其中，h 。= 0 ，n = 1 ，2 ，故 凰= 0 r = ( a + + 1 ) ( l + 生+ 二旦苎生+ + 苎盘+ 苎丛_ l 一) 鲰+ 1p n + 1 j ，l卢n + l 肛n f 上t l l+ l p 2h + l p 2 q - l 由 ) 器l 有界及级数的性质，可得晶 + o 。等价于s 0 ，故( 2 1 5 ) 可化为 f ( a + a l + 7 1 ) z l = a l z 2 i + 1 一：甓( 。一一。) + 警。22 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 由( 2 1 6 ) 的第一式可知，z 2 ；r i ，取2 ：1 = i ，r t = 2 3 可依次取定，由第二式可 知+ l2z 。，从而z 。0 ，t l = 1 2 令= z 。，厶：警，k = 0 ，g n = 筹则 0 z l z 2 ，第二式与引理2 1 6 中的( 2 8 ) 有相同的结构由引理2 1 6 知， 燥：1 即 z 。) 是l 有界当且仅当登( r + ) + o 。其中，k ：0 ，n ：1 ，2 ，故 n = l 爿n = 0 矧( 击+ 忐+ + 麟) + 瓢p - n , 。u l + ( 蚤+ 嚣+ + 糍) 记r = ，圣( 七+ 姑+ + 觥) ，置= n 墨= l ( 薏+ 糍+ + 雠) ，由级数的 性质可得，登晶 + o o 当且仅当r + 。且元 + 。由$ 。，n ：0 ，1 ，2 ，的取 法知 z 。 器。有界即为z = ( z 。) 器o 珐综上所述，q 非零出当且仅当r 0 ，方程( a ，一q ) x = 0 ，毪仅 有零解现设对a 0 ，方程( ，一q ) z = 0 ，珐有非零解z ，则令矿= 南。，有 1 ( a j q ) 矿= ( a i q ) i h z = 0 i i4 i i 且z ；= 1 南而= i 南，故0 sz ：1 ，从而若q 非零出则q 非正则反之易得若q 非正则则0 非零出即0 非正则等价于q 非零出，从而q 正则等价于q 零出 定理2 2 2q 的最小口一函数是单调的当且仅当 h ) 茫l 单调递减且r = + c o 证明；由文献【1 0 1 知，一个q 一矩阵q 的最小q 一函数单调的充要条件为q 单调 且正则又由命题2 1 1 ，引理2 2 1 及命题2 1 7 得，0 单调等价于 h ) 器l 单调递减 q 是保守的，故q 正则等价于q 零出又 黯l 单调递减则 黯l 有界，此时q 零出等价于r = + o o 从而q 的最小口一函数是单调的当且仅当 ) 黯l 单调递减且 r = + o o ，定理得证 定理2 2 3q 的最小q 一函数是某单调q 一函数的对偶当且仅当( 1 ) ) 器1 单调递 减，且( 2 ) ( a ) ，! 魄= 0 ，s = + 或( b ) r o ( 因此对所有a 0 ) 方程k 产也+ 萎姒，0 q s l ，i e 存在解z = ( x 1 ) i e 满足s u p x d = 1 ，其中， d = ( d i ) = ( 一) 由上一节内容可知，q 对偶等价于 罂l 单调递减，q 是f r r 的等价于0 骢= 0 而在 伽 黯有界的条件下，q 是强零入的等价于s = + o o 下 面来考虑上述条件( 2 ) 之( b ) 的具体数字刻画q 保守，故d = 0 又由命题2 1 7 的证 明过程知，方程( m q 扣= 0 可找到解。= ( z 。) ：b 珐等价于r 0 i i 矿i i = 。s u p 。 。： = 留志 = 南裂蝴 = 丽1 忪i i = l 故( 2 ) 之( b ) 成立当且仅当r + c o 综上所述，最小q 一函数是某单调q 一函数的对 偶当且仅当( 1 ) h 甚l 单调递减，且( 2 ) ( a ) ，墨臻 t n = 0 ，s = + 或( b ) r 1 ，j i 时 j 1 0 0 j i + 1 结合上述壶q ：，j f 及磊3 略。，j 的表达式可得壹吐壶g 玉，。，i ，j pq 是 对偶的 命题3 1 3q 是单调的当且仅当驴是保守的 证明，先证明必要性；o 是单调的，即有哦螬雌j i + 1 特别地， 当 = 0 时 鲒k = 0j 1 ； f - t z + 萎( 一+ 1 ) j ：0 驴21 曼嚣一训掣 一，一熙m 1 j 20 l 竹一1 一规 t n + t j 2 ) 箍l 为非负数列，故极限2 堍 t n + z 有三种可能：( 1 ) 为有限非负数a ；( 2 ) 为+ o o ；( 3 ) 离散不存在( 3 ) 显然不成立，否则毛嚷与毛q a ，j 1 无法比较大小 l i m + l2 + o o ，则要，讯q l ，kj l 矛盾，故，溉3 n + z + o 。若舰7 n + l 2 a0，则kt ， j ” k o q 氛= 一a 0 ，n = 1 2 且 ，。o o ：1 为有界数列，则驴是强零入的当且 仅当r = + o o 其中， r 2 三( i 1 + 忐+ + k t n 彬t 2 、i 证明，由命题3 1 5 知，矿零入等价于驴强零入，故我们仅需证明对任意的a 0 ， 有寸( a ) = b 1 1 ，”0y ( m 一驴) = o = o ) ，即方程( a j 一驴) = 0 在f 中仅有零 解我们下面来看y ( m 一驴) = 0 在z 中存在非零解的等价数字刻画方程y ( a j 一驴) = 0 的具体表达式如下t 9 0 = 0 ( a + q 1 ) y l a 1 抛= 0 ( 他一1 1 ) 掣1 + 似+ a 1 + 仇+ p 2 ) y 2 一沁始= 0 ( 一，y 2 ) y l + ( 柏一 2 一p 2 ) 抛+ ( a + a 2 + 加+ p s ) y s b 驰= 0 ( 3 3 ) n - 2 ( 1 。一 。一1 ) 弧+ ( 1 n m l l 一 正l 一1 ) 掣n 一1 + n + a n 一1 + * i + h ) 聃i h y n + l = 0 = 1 由( 3 3 ) 第一个式子可得 ( 3 3 ) 的第二个式子则可写为 将上式加到( 3 3 ) 的第三式上得 将上式加到( 3 3 ) 的第四式上得 依此进行，由归纳可得 则方程y ( m o ) = 0 又可写为 y o = 0 a l p 2 = n + 7 1 ) y l a 2 y 3 = n + 1 2 ) y l + n + 7 2 ) y 2 + # 2 y 2 知y 4 = o + 1 s ) y l + n + 1 s ) y 2 + n + 1 s ) y s 十肛3 驺 h + 1 = o + 伽) 量挑+ 鼽，n 2 k = l ra l 抛= ( a + 7 1 ) y l j( 3 4 ) l ( a + ) 挑+ 蜥= h y n + l t l 2 、 = l 令如= 1 + + ( y o = 0 ) ，相应地，1 = 5 1 ，y n = 矗一晶一1 ，n = 2 ，3 ，又h 0 ， 1 7 故( 3 , 4 ) 可化为 fo + a l + 1 z ) a l = a l 如 i “l 一“：警晶吲矗1 ) 喇 。5 由( 3 5 ) 可看出一旦6 1 0 任意取定，则相应地整个数列 矗，n 1 ) 也唯一确定，而且 而 以0 又由 矗，n21 ) 的令法可知9 l = 以 0 ，相应地，v n ，n 2 也唯一确定， 而且有踟0 ，n 2 对( 3 5 ) 的第二式，我们令 = 如厶= a + f 一t n 如：譬k ：ot 1 22 则( 3 5 ) 的第二式与引理2 1 6 的( 2 ，8 ) 式有相同的结构，由引理2 1 6 可得数列编，l2l 有界当且仅当量( 晶+ e k ) + o 。，其中 晶= 厶+ 鲰厶一1 + 跏如一l 厶一2 + + 砌鲰1 卯 + 鼽肌一1 9 2 9 z j k = k + g n h ”1 + 鲰鼽一1 k 一2 + + 鲰鼽一1 9 2 h z 具体地 晶= 半+ 掣+ 掣+ + 气戋掣+ 糕 风= 0 薹n 妻= 2 c 圭+ 忐+ “+ 黯，+ 互o o 畿+ 至c 亲+ 丽g r d y n - 1 + + 寄) 由 h ) 墨，的有界性及级数的性质可得萎晶 + o o 当且仅当r 一 晶 帆糌 + k 上m 上h 祷 竹等 产 晶 = h 如 缸 则( 3 1 1 ) 的第二式与引理2 1 6 的( 2 8 ) 式有相同的结构，由引理2 1 6 可得数列 ，n 1 ) 有界当且仅当( f n + z k ) + o o 。其中， r 邛+ 枷，c 六+ 熹+ + 者盖+ 杂盅志，“l + li ，l + 1 hi ，l + l p 2 ，正，l + l 1 1 2 十1 1 h n = 0 故 尹( 晶+ 凰) = 尹n + + 1 ) ( l + 生+ + 二蔓生) n = 2 ( 晶+ 凰) = n = 2 ( + m ) ( 者+ 志+ ”+ 害k 。n + l 去) 邶十ip n 十l ，啊p z + 志三高( m t ) 由 墨。的有界性及级数的性质可得登( f n + 1 - i ) + o 。当且仅当s + c o ，即数列 ) 箍l ( ( “) 器1 ) 有界当且仅当s 0 ，l = i 2 则q 是零出的当且仅当驴 是强零入的 在有了上述关于驴的基本性质之后，我们现在来讨论最小驴一函数f + ( t ) 的基本 性质首先，我们来讨论最小驴一函数p ( t ) 的单调性和f r r 性 定理3 1 1 0 驴的最小驴一函数是单调的当且仅当l i m = 0 且s = + o o 证明：由文献 1 0 1 及引理2 2 1 知，一个g 一矩阵驴的最小驴一函数单调的充要条 件为驴单调且正则出引理2 1 1 知驴保守时，驴正则等价于驴零出由命题3 1 1 及命题3 1 3 知0 堍= 0 既等价于驴保守又等价于驴单调，即毒骢= 0 既可保证 q + 正则等价于驴零出，又可保证矿单调又由命题3 1 7 知，此时，o + 正则等价于 s = + o o 从而，驴的最小矿一函数f + (