（概率论与数理统计专业论文）受控于几何布朗运动的随机控制问题之研究(1).pdf

中文摘要 摘要：本文的第一部分研究了受控于几何布朗运动的最优停止随机控制模型，我 们称之为最优停止问题，其目的是找到一个停时，使得过程停止的时候期望收益 达到最大。我们运用随机分析的方法，通过变分方程来分别处理这个模型中所提 出的问题。在一组适当的充分条件下，我们分别证明了最优停时的存在性。该模 型的受控过程的状态方程为 一 g t 五= 石+ 上鼍凼+ 上哆d 彬，t o 其中，x 0 ，= o , l a ，1 7 为常数，称为漂移，仃称为扩散，仃o 我们的目标为，找到某一停时f + t ，使得： e e - e 矽( x ) ( x ) - s 删u p ep 州矽( 茸) 其中，t 表示所有e 停时全体， 0 是折扣因子矽( x ) 为定义在( o ，呦上的满 足一定条件的实函数，该函数为效用函数，本文提出了两类效用函数，为 船) _ ( ) + - 墨。等，和 矽( 力：。h ，一6 ) + ： o ，。 1 ，6 ：c 。邶t a i l f 。，刀。 l 扩，一b ，石 p 6 本文的第二部分，首先对以往随机控制类论文中一个较为重要的结论给出了 另一种新的证明。构造适合一定条件的函数是解决随机控制问题的一个重要方法， 因而这种思路和方法具有一定的参考价值。其次，对于一些论文中仅仅提及而未 做出任何证明的有用结论给出了严格而详细的推证。 关键词：几何布朗运动；最优停止；脉冲控制；变分方程；最优控制；伊藤公式； 随机控制；收敛 分类号：0 2 1 1 a bs t r a c t a b s t r a c t ：t h ef i r s tp a r to ft h i s p a p e rs t u d i e sm a i n l ys t o c h a s t i cc o n t r o lm o d e l s d r i v e nb yg c o m e t r i cb r o w n i a nm o t i o nw h i c hi s o p t i m a ls t o p p i n gp r o b l e m t h e o b j e c t i v ei st of i n das t o p p i n gt i m ef o rm a x i m i z i n gt h ee x p e c t e db e n e f i t i no r d e rt o s o l v e l i sp r o b l e m ，w er e l yo ns t o c h a s t i cc a l c u l u sm e t h o dv i av a r i a t i o n a l e q u a t i o n u n d e ras u i t a b l es e to fs u f f i c i e n tc o n d i t i o n s ，w ep r o v et h ee x i s t e n c eo fa l lo p t i m a l s t o p p i n gt i m e t h es t a t eo ft h i sm o d e li s x t = x + f u x s d s + 受a x s d 弧，t o h e r e ，x 0 ，= o ，仃a r ec o n s t a n t ，i sd r i f t ，仃i sd i f f u s i o n ，盯0 t h ea i mi st of i n das t o p p i n gt i m er t ，w h i c hm a k e s e 已卅矽( t ) ( x ) - s 刚u p e e e 矽( 五) h e r e ，td o n a t e sa 1 1t h ezs t o p p i n gt i m e s ， 0 ，ri sad i s c o u n t e df a c t o r 矽( x ) i sa f u n c t i o nd e f i n e do n ( o ，) w h i c hi sa nu t i l i t yf u n c t i o n i nt h i sp a p e rw e p u tf o r w a r d t w ok i n d so fu t i l i t yf u n c t i o n s ，w h i c ha r e 钏叫= 0 。筹，a n d ( 功： 1 n ，一6 ) + ： o o 1 ，6 ：c d 邶t 柏f o ，刀 i 铲，一6 x p ：蚴 t h es e c o n dp a r tf i r s t l yg i v e san e wp r o o fo fa ni m p o r t a n tc o n c l u s i o ni ns t o c h a s t i c c o n t r o lp a p e r s c o n s t r u c t i n gf u n c t i o nw h i c hs a t i s f i e ss o m ec o n d i t i o n si sa l li m p o r t a n t w a yt os o l v es t o c h a s t i cc o n t r o lp r o b l e m s s ot h i st h o u g h ta n dm e t h o dh a sr e f e r e n c e v a l u e s e c o n d l y , w eg i v er i g o r o u sa n dd e t a i l e dp r o o fo fs o m eu s e f u lc o n c l u s i o n si n s o m ep a p e r s k e y w o r d s ：g e o m e t r i cb r o w n i a nm o t i o n ；o p t i m a ls t o p p i n g ；i m p u l s ec o n t r o l ； a v a r i a t i o n a le q u a t i o n ；o p t i m a lc o n t r o l ；i tof o r m u l a ；s t o c h a s t i cc o n t r o l ；c o n v e r g e n c e c l a s s n o ：0 21 1 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。特 授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：动灯南喃 签字日期：口艿年多月二日 导师签名：机q 今 导师签名：训坩弓 签字日期：o g 年石月z 日 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得北京交通大学或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：考枳旗该 签字日期：p 年多月pe t 致谢 本论文的工作是在我的导师刘坤会教授的悉心指导下完成的，刘坤会教授严 谨的治学态度和科学的工作方法给了我极大的帮助和影响。在此衷心感谢两年来 刘老师对我的关心和指导。 师母汪玮老师在学习上和生活上给予了我很大的关心和帮助，在此向她表示 衷心的感谢。 王秋媛、王军老师在学习、生活和为人处事上给予了我许多可贵的指导，在 此表达我真挚的感谢。 付德华、王彦师姐对于我的科研工作和论文都提出了许多的宝贵意见，在此 表示衷心的感谢。 在撰写论文期间，于洋师姐和颜建江同学对我给予了热情帮助，在此向他们 表达我的感激之情。 另外也感谢我的家人，他们的理解和支持使我能够在学校专心完成我的学业。 第1 章绪论 1 1随机控制及其随机最优控制简介 随机控制是综合运用随机过程、分析理论、最优化控制、变分方程以及随机 微分方程等方面的知识，来解决金融决策、证券投资、卫星遥控和跟踪等方面的 实际问题，无论在学术理论还是实际应用方面都要其重要的价值和光明的前景 现代控制理论的奠基人属于美国科学家维纳( n w i e n e r , 1 8 9 4 1 9 6 4 ) 自从上个 世纪五十年代以来，由于计算机技术、航空航天技术的飞速发展，控制论技术得 到了很好的发展和应用其主要包括如下五个分支：线性系统理论，建模和系统理 论，最优控制及自适应控制 在对实际控制问题的研究中，人们认识到，由于某些外部及内部因素的干扰， 影响控制系统的不确定因素是时有发生的因此，随机控制理论得到了应用和发展 随机控制理论是研究具有随机信号，随机噪声和随机特性的系统控制理论这方面 的工作可分为两个方面来看： 1 、对随机过程的研究由于随机控制研究的是非确定性系统，传统的微分方程 v 理论在描述它时产生了很大的困难，1 9 5 1 年，伊藤( k i t o ) 发表了论随机微分方 程一文，使得对具有良好统计规律的非确定性系统的描述有了相应的理论基础 2 、对控制本身的研究这方面的主要理论有：庞特里亚金的极大值原理( 1 9 5 1 年) ，贝尔曼的动态规划法( 1 9 5 7 年) ，卡尔曼的滤波和预测理论( 1 9 6 0 年) ，这 些工作产生了随机最优控制理论和滤波理论 随机最优控制是随机控制理论的一个重要的分支，其主要利用最优状态估计 系统的运行状态，求出一个状态反馈，实现使给定性能指标( 一般称为费用函数 或收益函数) 为最小或最大指标相应的状态反馈称为最优控制策略随机最优控制 的突破发展主要是由于贝尔曼的动态规划原理的提出，并且人们已经证明，随机 最优控制策略与确定性最优控制策略是相同的，这就是确定性等价原理本文的主 要工作就是利用动态规划原理得出效用函数或费用函数所应满足的变分方程，并 给出最优控制策略 1 2几类常见的随机最优控制问题 本节介绍目前常见的几类随机最优控制模型，需要指出的是，这几类模型的 提出都是在对实际问题的分析中产生的，具有很强的应用背景 1 2 1奇异型随机最优控制模型 设( q f ，d 为一概率空间，形，t 0 为其上的一维标准布朗运动，鼻= c r ( w , ，0 j f ) 以b 表示全体f 适应左连续零初值有限变差过程全体，对任意 乡= 缶，t 0 ) b 有正则分解专= 等一f ，磊= 劈+ f 为其全变差第，乒皆为召中 单调非降过程这里定义控制f 为有限变差过程主要是由于在这类模型中控制费用 被单独计算在内对奇异型随机最优控制，视其费用函数不同，分别有如下三种模 型： ( 1 ) 折扣费用模型 对某口 0 及x r ，v 孝b ，费用函数为： 以( 孝) = e f e 一鲥 ( ) 出+ d 主】) ， 上式中玉= 工+ 形+ 缶，函数h 为一般非负偶函数( 下同) 第一个积分为黎曼积分， 第二个积分为关于单调函数的斯蒂阶积分，在不引起混淆的情况下，将其统一为 带有折扣费用的奇异型随机最优控制模型在一维情形下已经研究扩展的比较 完善这方面的文献可参考 1 ， 2 ， 3 1 ( 2 ) 平均期望费用模型 2 在这种情形下，对初值x r ，v 善b ，费用函数为： 以( 孝) = l i m i n f 三，f 。e 矗( t ) 出+ d 鲫， o 上式中2 石+ 形+ 鼻，最优控制即是寻找f 曰，使得以( f ) = m 白。i 矗n j x ( 考, ) 平均期望费用模型目前也有一些研究文献，可参看 3 】，【4 】，【5 】， 6 】 ( 3 ) 有限时间费用模型 对初值x r ，v 孝b ，费用函数为： f 以( f ) = e 上 五( ) 折+ d 参】) ， 有限时间费用问题目前研究文献较少，详细介绍参看文献 3 】 这里需要指出的是，除了对费用函数的研究扩展之外，对状态空间的研究与 扩展也是一个重要的方面例如将状态空间薯= x + 形+ 点扩展为 誓= x + f ( 五) 西+ f 盯( t ) d 形+ 缶， 函数( ) ，仃( ) 为满足某些性质的实函数，分别称为扩散系数和漂移系数这方面的 文献可参看 7 】，【8 】 1 2 2脉冲型随机最优控制模型 脉冲控制的原始模型最初由b e n s o u s s a n 和l i o n s 提出，后来r i c h a r d 9 1 将该模 型推广到无限直线上，r i c h a r d 模型简述如下： 设( f t , f ，p ) 为概率空间，彬，t o 为其上的一维标准布朗运动，f 。= 仃( 形，o s f ) 每一个控制，即指一列上升的互停时o = ：z - t 一及可测 随机变量毒，i = 1 ，2 ，令矿= ( l ，螽；t ，参；) 表示全体控制集合贝i j 对任意的初值 x r 和任意控制1 ，v ，定义费用函数为 以( y ) = e o op 一以b ( 专) + j - p 一历日( 少。) ) 凼) ， 上式中曰( 善) 为线性函数，日( y ) 连续且非负，初值为z 时，对应的状态方程为： y ( s ) = x + l l s + a e + 编铲】， l = 1 ，仃为常数且盯 o 最优控制问题就是求一个控制1 ，v 使对任意初值石成立： l ( v ) - i 倒n f 以( v ) 脉冲控制模型对于具有跳变控制的问题( 如存储问题) 中具有广泛的应用， 相应的文献参看 1 0 】， 1 1 】， 1 2 】另外脉冲控制也有相应的类似于奇异型控制的折 扣费用模型和平均期望费用模型 1 2 3带有停时的随机最优控制模型 这里带停时的意思为费用函数中含有停时，这既要求要得出最优控制，而且要 求出最优停时以奇异型最优控制为例，条件同l 中所述，并设丁表示全体e 适应 之停时，则对v 孝b ，f t ，费用函数为： 以( f ，f ) = e r p 一讲【j i l ( t ) 西+ d 毒】+ g ( ) ) ， 目的是寻找f 。b ，f + t 使得： 以( 善，f ) 2f 蠕以( 孝，z - ) c e 芦。r e l 4 带有停时的随机最优控制在实际中有很强的应用背景，如跟踪问题，经济学中的 “投入一产出 问题，投资中的最佳停止问题等相应的文献参看【1 3 】、【1 4 1 2 4最优停止随机控制模型 关于最优停止问题的一些特殊问题在概率论中已经有悠久的历史然而最初的 某些一般性的结果是在上个世纪四十年代后期由w a l d ，w o l f o w i t z 和a r r o w , b l a c k w e l l ，g i r s h i c k 在研究序贯统计决策问题时得到的最优停止理论作为概率论的一个 部分和它对统计的特殊应用，大约自1 9 6 0 年以来处于迅速发展之中，尤其广泛被应 用于经济金融的理论研究中，l a r r y s h e p p 和a n s h i r y a e v 在文献 1 5 】中提出如下 的最优停止随机控制模型： 设( q f ，p ) 为一概率空间，形，t o 为其上的一维标准布朗运动，z = 仃( 形，o s f ) 令五表示以下随机微分方程定义的系统状态： d r , = a x , d t + , r x t d w , ，x o = x 其中，x 0 ，w o = o ，t ，盯为常数，称为漂移，盯称为扩散 我们的目标为，找到某一停时r + t ，使得： y ( ) - s u ，p e ， p 州墨 f e r 一一 其中，丁表示所有z 停时全体， o 是一个折扣因子，墨= m a x ( m 呦a g x x 。，s ) ，对于固 定的值j z = ：c o 有关这方面的文献可参看 1 6 1 、1 7 、【1 8 1 1 3几何布朗运动的定义 早在1 9 0 0 年巴舍利耶( b a c h e l i e r ) 就曾经假定股票价格运动服从维纳过程， 但这引起了一个矛盾，即股票价格也可能为负数，这与现代公司有限负债前提相 5 矛盾而直接假设股票价格遵循一般维纳过程也忽略了一个事实，即投资者往往要 求股票的期望收益率是一个常数，而不管股票价格的绝对水平是多少因此，现在 通用的描述股价的适当形式为： a s ( t ) = l a s d t + o s d b ( t ) 或写成 i a s _ ( t ) = a d t + 仃抬( f ) s ( f ) 一 定义几何布朗运动 如果随机过程徊( f ) ，t o ) 是布朗运动，则称随机过程 x ( f ) ，t 0 ) 为几何布朗运 动( g e o m e t r i cb r o w nm o t i o n ) ，如果 彳( f ) = e b ( t ) t o ) 下面将证明，股票价格 s ( f ) ，t 0 ) 服从几何布朗运动 对于一般的金融资产，瞬时预期回报率l a 和回报率标准差盯可能不是常数， 而是金融资产价格和时间的某个函数，即a ( t ，s ( f ) ) 和c r ( t ，s ( f ) ) ，因此该金融资产 价格变化规律由下式表示 鬻刊蝴凇州蝴凇 显然此式是更一般形式由下可知，这时的爷( f ) ，0 f 乃是一个伊藤过程令 w ( t ) = e 即，则称 形( f ) ，t 0 ) 为几何布朗运行 取b ( t ) 的矩母函数( f ) = e e 站 则 ) 姐矿) 】= e 去扣d r 剐了 相应地 研矿( f ) 】- e e 矗】= ( 1 ) = e 2 d 形o ) 】= e w 2 q ) 卜【e ( 形o ) ) 】2 = e ( e 2 口一e ) = ( 2 ) 一= e 丑一 这样就得到了几何布朗运动的一阶矩和二阶矩 带漂移的布朗运动的定义 定义：设 b ( f ) ，t 0 ) 为标准布朗运动，若随机过程 x ( ，) ，t 0 ) 满足： d x ( t ) = a d t + 8 d b ( t ) ( 其中，万为系数) 6 则称 x ( f ) ，t o ) 为带漂移的布朗运动 一般称万为扩散系数，为漂移系数，它们不一定为常数，而是t 和x ( t ) 的函 数，有如下更一般的随机微分方程： d x ( f ) = 1 t ( t ，x ( t ) ) d t + 艿( f ，x ( f ) ) 招( f ) 带有漂移的布朗运动的背景是一个质点在直线上作非对称的随机游动，它具 有一定的趋向，在不规则运动中有一定的宏观规则运动存在，如分子的热扩散， 电子的不规则运行等确切叙述如下： 一质点在直线上每经过缸随机移动缸，每次向右移动缸的概率为p ，向左 移血的概率为q ，且每次移动相互独立，以x ( t ) 表示t 时刻质点的位置 令 ，f l ，第i 次向右移 1 1 1 ，第i 次向左移 则 x ( f ) = ( 厶) ( 五+ 鼍+ + x ，) 设缸= 石，p = ( 1 + 厄) 2 ，g = ( 1 - , u 4 么- 7 ) 2 ，对给定的，取充分小 a t ， 使，t 0 ) 都是正态过程，只是均值不为零这是 由其不对称性引起的，表示单位时间内质点漂移的平均值 1 4 本论文工作简介 7 本文主要分两部分第一部分研究受控于几何布朗运动的随机控制模型；第二 部分首先对以往论文中一个较为重要的结论给出了另一种新的证明其次，对于一 些论文中仅仅提及而未作出任何证明的有用结论给出了严格而详细的推证 对于第一部分，该模型为最优停止问题，l a r r y s h c p p 和a n s h i r y a e v 在1 9 9 3 年0 5 提出如下的模型： 设( q ，f ，竹为一概率空间，形，t 0 为其上的一维标准布朗运动， z = 盯( 形，0 s t ) 令置表示以下随机微分方程定义的系统状态： d r , = u x , d t + a x , d w , ，x o = 工 其中，石 o ，w o = o ，o r 为常数，a 称为漂移，o r 称为扩散 我们的目标为，找到某一停时f t ，使得： 矿( ”) _ s u ，p e ，p 厅墨 f e r -_ 其中，r 表示所有f 停时全体， o 是一个折扣因子，墨= m a x ( m a 。x x ，j ) 对于 固定的值s x = ；c o x g u oa n dj l i u 在2 0 0 5 年 1 6 】研究文献 1 5 的基础上提出了如下的最优停止问 题： 找到最优停时，使得： y = ( ，旯) - s u p 。疋，p 量 ， f e b ( l 一一 这里，是一个折扣因子，s t = m a x ( m a ：r ，x ，s ) 对于固定的值s x = ；c o ，五是一个 几何布朗运动即 d x , = j u x , d t + c r x t d w t ， 这里形，t 0 为一维标准布朗运动，b ( 旯) = 瓴，乞，) ，l ，吒一q ，q t 一。为独立 同分布，服从具有参数为名的指数分布 文献【1 6 】中假设收到的信号服从参数为旯的p o i s s o n 分布，最优原则由收到信号 的频率分类，讨论了两种情况：存在一个临界值，如果名 名。，最优停止问题利用 光滑适应原则的自由界公式得到解决，而最优停时由一个临界值五控制如果兄名， 当收到第一个信号就立即停止就是最优策略，即r = r 1 在文献 1 5 】、 1 6 的启发下，本文考虑如下的最优停止随机控制模型： 8 即 找到最优停时，使得 旷( 功= e e - r ：( x 。) = s 2 pe e p 一”( 置) 其中， 0 是一个折扣因子，r 表示所有停时全体置是一个几何布朗运动 蟛= , x , d t + a x a e ， 这里形，t 0 为一维标准布朗运动( x ) 为定义在( o ，0 0 ) 上的满足一定条件的实 函数 9 第2 章受控于几何布朗运动的最优停止随机控制问题 2 i模型介绍 本章节研究的模型如下： 令( q f ，只 z ) 脚) 表示一个满足通常条件的带有滤子的概率空间这里形，t 0 为e 一标准布朗运动 令置表示以下随机微分方程定义的系统状态： d x l = p x t d t + o x t d w ，x o = x 其中，x 0 ，= o ，仃为常数，称为漂移，盯称为扩散，0 即受控过程的状态方程为 置 - x + f 置凼+ f 仃k d 彬，t 0 ( 2 1 ) 我们的目标为，找到某一停时f t ，使得： e p 7 + 矽( t ) l = y + ( x ) _ s u p e e - ”痧( t ) ( 2 2 ) 一一f e i 其中，r 表示所有e 停时全体，- 0 是折扣因子矽( x ) 为定义在( o ，) 上的满 足一定条件的实函数定义当f = 时，p 一( 五) = 0 2 2主要定理及其证明 2 2 1效用函数( 一) 蜘班c h 矿= 品。等 1 0 r j l 理2 1 若， o ，其中口为方程互1o 2 x 2 + ( 一j 1 仃2 ) x - - g = o 的正根 引理2 2 若， 0 ，则存在常数毛 0 及( 0 ，) 上的连续可导函数v ( x ) ，它在 ( o ，x ) u ( z o ，嘞上二次连续可导且有 矿( x ) 庐( z ) ， 矿( x ) = ( z ) ， x ( 0 ，o o ) ( 2 4 ) x ，o o ) 圭仃2 x 2 y ( 力+ x y ( 力一，y ( 功= o ， z ( 0 五) ( 2 6 ) ：fc，2，r2j!：掣4-gxv(，r)，厂(：r)!；。，r e ! ( 。，a 。) ( 2 7 ) 证明：取以：p = 1 ，c ：一1 e 显然矿( 曲在( o ，x o ) u ( x o ，。o ) 上二次连续可导，下证 ：土( e ：) 口：土 e c zq ( 2 8 ) 神州q x 石 口， 五 “h ，、【 i l 、jx 令 纵 魁 矗一x 虫 嗽x 由 = l。 上 口= 让 群 蚴 涿 k ，l r 实 l n 墨：h 1 ：一1 由此可知( 2 8 ) 式中的第一个式子成立，即k ( x o ) = 一亿) 又 鲫：土口1 ) 州：p 一= i a 口 由此可知( 2 8 ) 式中的第二个式子成立，即k ) = “) 由( 2 8 ) 式可知y ( 功在( o ，o o ) 上一次连续可导 下证v ( x ) 在( o ，t ) u ( 墨，o o ) 上二次连续可导 矿”c石，=c口(of一-专1)x，az-2,。五x，。z，(。_) 显然可知( x ) 在( o ，五) u ( 五，) 是连续可导的，故矿( 功在( o ，以) u ( 墨，) 上是 二次连续可导 下面再证( 2 4 ) 式成立 ! 由于芄= e 口1 当x ( o ，1 】时结论显然成立 只需证明x ( 1 ，五) 时结论成立 1 2 一口 一 p i i 。了矿 = l 一石 柚一 k x x 口 石蕊h ，j，【 = 、， x ，l 矿 即须证明c x 8 i n x , v x ( 1 ，) 令f ( x ) = c x 口一i n x , 先证 厂( x ) 0 ，v x ( 后，) 厂( 功：缎- l 一一1 ：! ( 出，一1 ) 故欲证( 2 9 ) 式，只须证在( 1 ，) 上有锨，一1 0 因为c t t g , x a 一1 非降的，故欲证上式只须证锨r 1 由c ，墨的定义可知 似：上口( p i l ) 口：1 ( 2 9 ) 由此可知( 2 9 ) 式成立，故知厂( 功在( 1 ，) 上是单调非增的，又由定义可知 厂( 五) ：一1 i e l 口) 辞 ：0 厂( ) = 一【e 口) 牙 口= 一一一= 由此可知，f ( x ) o ，v x ( 1 ，五) ，即当石( 1 ，t ) 时，c x 4 l n x 至此( 2 4 ) 式得证 由定义可知( 2 5 ) 式显然成立 下面再证( 2 6 ) 式成立 由y ( 功的定义知，当x ( o ，墨) ，时，v ( x ) = c x 碍， 1 3 圭以2 叭卅肛叭矿似加1 2 o 2 x 2 c o ( 口一1 ) x a - 24 - 肛o g x c t - i _ _ 慨口 = 1 20 2 c 1 z ( 帅一口耐科陟啦- 1 ) 堋一， = 甜口1 1 0 2 口2d - c 一五1 仃2 ，口一， = 。 下面再证( 2 7 ) 式成立 首先由( 2 6 ) 式可知，当x ( o ，) 时， ( 2 7 ) 式成立 再证x ( 五，) 时，有 1 2o - 2 x 2 y 。( 石) + z y ( 功一，y ( 力o 此时，v ( x ) = l n x ，故知 y ( x ) ，：! xy ( x ) ”= 一7 1 三2 x 2 y 。( x ) + x y 。( x ) 一，y ( x ) = 1 0 2 1 2 ( 一7 1 ) + 膨：1 一儿x l = z c r 2 + - r l l l 石 由假设条件， 0 ，可知以上函数在 五，0 0 ) 上严格减，故欲证( 2 1 0 ) 式只须证 一i 1 盯2 + 一厂1 n z 。o 由的定义知 一三一+ 一厂l i l x = - 1 2o _ 2 + 一厂1 口= 三 ( 一三矿) 口一r 】 1 4 因为口为方程1 2 0 - 2 x 2 + ( 一三仃2 ) x - r = o 的正根 上式= 丢 o - 1 2 0 , , 2 c g 2 】 o 以及矿( x ) 为引理2 2 中得到的常数及函数，则 f = i n f t o ，墨盛( o 墨) 为本文模型的最佳停时，其中置，f o 表示方程( 2 1 ) 所 确定的状态过程，即 e p 一矿慨) - 矿( 工) _ s 倒u p e p 一”( 训 且旷( 功= y ( 功，v x 0 证明：设矿( x ) 为引理2 2 中得到的函数，五，t o 为初值为工时，方程( 2 1 ) 所确定的状态过程 先证对v r t ，v x 0 ，都有 e e - r r ( t ) y ( x ) 首先定义停时最= i n f r 。，五( 丢，z ) ) ，刀= 1 ，2 ，则由推广型的乃。a 公式得， i刀l 对v n e - r ( r s ) 矿( t 最) 一y ( 工) = r 一厅职置胁r 川仪) + 扣瓯p ”堂学d o , 8 2 ，z 旧2v ( 鼍) ) 2 卜m 从而 e r 碡o e 一艚以y ( 五) 2 凼e f 盯2 e - 2 r s 五y ( t ) 2 凼ej c o 盯2 e - 2 r s m c l s = 仃2 m e 广e - 2 8 凼= 2 r t y 2 m o o d 故知 e r 仃e - x v ( k ) d 形= 0 ， 对( 2 1 4 ) 式两边取期望即得 e p 晶y ( t ，、品) y ( z ) 当f 时，令n 专0 0 ，由f a t o u 引理( 见 3 8 ) 知 e p y ( t ) = e , o i m( 鼍晶) 臻e _ ，( f 晶) 矿( t & ) 矿( 工) 当f = 时，由模型中给出的定义! 鳃e 州矽( 墨) = 0 - 故有 e e 一盯矿( t ) = 。= e i _ 墼np ( m 蜀) 矿( t 品) l 磊i r a 8 - ，( f 晶) 矿( t ，、最) y ( 石) 再由( 2 4 ) 式知 1 7 e e 一”矽( t ) p n l n a +n l n a ( n l n a - 1 ) 2 盯2 引理2 3 若， n l n a + 三仃2 矿+ c 一三仃2 ，z 一，= 。 的正根： n i n a ( n i n a 1 ) 2 口= ( 三一参) + ( 拳一圭) 2 + 事 2 证明：因为r 声t n h l 口+ n l n a ( 忑n l n a 一- 1 ) 仃2 ，则口 n l n a 其中，口为方程 ( 2 1 9 ) 仃2 ，又口为方程三一，+ ( 一l o - z ) x - r = o 的正根，所以1 2 仃2 ( 刀1 1 1 口) 2 + ( 一言盯2 ) 刀l l l a - r - ，z l i l 口+ 所以口 n l n a 引理2 4 若， m i n a +n l n a ( n l n a - 1 ) 2 n l n a ( n l n a 一1 ) 2 仃2 - r 0 及( o ，o o ) 上的连续 可导函数v ( x ) ，它在( 0 ，x o ) u ( x o ，) j ：- 次连续可导且有 矿( 力矽( 石) ， 矿( x ) = 矽( x ) ， 圭仃2 x 2 矿。( 曲+ 工y ( 曲一，| 矿( 功= o ， 三仃2 x 2 2 矿。( 石) + 一。( 功 2 石( o ，o o ) ( 2 2 0 ) 石k ，) ( 2 2 1 ) x ( 0 ，五) ( 2 2 2 ) + p x v ( x ) 一r v ( x ) 0 ，z ( o ，) ( 2 2 3 ) 2 0 证明：取五：p 二i m 一a b ，c ：( 竺二n h a - n l n a丝) 盖j 竺堕生证明：取五：p 二一，c = ( 竺掣) 而芈 仅b仅一n i n a 令 吩，= 口0 茹 显然矿( z ) 在( o ，x ) u ( x o ，o o ) 上二次连续可导，下证 实际上，由定义 群= ( = ( c t - n l n a 、i 盎塑垫堡 a b 7 口一n i n a ( e 1 赢c t b ) 口 a - n l n a 、二惫丝坐垡r 丝 a b口一n i n a 、口一n i n a b n i n a 口一咒h l 口 扩w 一6 ：口l n ( p i 4 而r i 口6 b = o ) 幽口 竺垒 一6 ： 垒! ! 望! 口一ni na口一刀i na 由此可知( 2 2 4 ) 式中的第一个式子成立，即圪( 五) = k 亿) 又 硼x ：( 生l 粤旦) 击j 型掣l 口( e l o gn 羔) 川 口d 口一刀1 na ：( 生l 尝旦) 击上型掣l 口( 尘 口d口一刀1 na口一n1 na ：( 生芈) 击上芈口 口d口一以l i l 口 2 1 口一i ) ” ( 2 2 4 ) n 6 n 一 一k 一 一五 口 h 引 镏 口： = 吼 口 铲矗上础口= 铲( e b 兰) 。去础口 l g ni 。g a a - n l n a = 一竺垒一! ；1=型一(竺垒一)孟1n i nani na = 一一= 一t i “ 口一刀i n 口r 一垡l 一1 矗i 口一，zi n 口、口一刀i n 口。 、口一ni na 7 = 上塑( 竺坐) 盎口 由此可知( 2 2 4 ) 式中的第二个式子成立，即阮) = ( t ) 由( 2 2 4 ) 式可知矿( x ) 在( 0 ，) 上一次连续可导 下证矿( 石) 在( o ，五) u ( 薯，o o ) 上二次连续可导 吩，：仁c x c t 一6 翼篡，喇= 0 。攀；：譬喾羔。， 显然可知v x ) 在( o ，五) u ( 墨，) 是连续可导的，故y ( x ) 在( o ，五) u ( 墨，o o ) 上是 二次连续可导 下面再证( 2 2 0 ) 式成立 由于口 以h 口，故五：莎1 , 二荪a b p ：l 0 9 4 6 当x ( o ，p 。1l o s 一6 】时结论显然成立 下面证明x 0 _ 。l l o g a b ，五) 时结论成立 而( 泸矿一6 ) + ：扩，一6 ，觇0 l l o g a b ，) 即须证甜口 a i n x 一6 ，比( g i n l o g a b ，置) 令厂( 功= c x 口一0 ”一6 ) 先证 可知 厂( z ) o ，v x ( 七，五) 厂( z ) ：c 口x a 一一口，n ，! 以1 1 1 口 工 ：缎石州一x 之三刀h l 口= c 口石口一一x l o 岛2 二，z h l 口 z = c g , x 口一一矿h 4 1 n l n a = x n h a - i ( c a x ”柚4 一n l n a ) 故欲证( 2 2 5 ) 式，只须证在0 f l o g a b ，。，上h _ 础x 如一，l l i l 口o 因缎石弘幽4 一n l n a 为非降的，故欲证上式只须c a x 4 1 蛔n l n a 由c ，无的定义可知 c a x “1 m = (等) 孟石b n l 面n a ) 盖尝口( 口一万i n a a b 1 a b 口( 。e n1 0 8 d a t - n _ m a ) 口一月h 口 口一，zh 1 口 c l - p l i n a ) 山4 ( 2 2 5 ) 由此可知( 2 2 5 ) 式成立，故知厂( x ) 在( e i 。l o g a b ，五) 上是单调非增的，又由定义 厂( t ) ：( a - n l n a ) - 毛半眵1 1 0 s 一蕊a b 】口一口叫e ：嘞n ，+ 6 口d口一，l i n a = (c t - n l n a 、n 旦l n a 丝垫堡f ， o r b口一n i n a 塑坐竺一 丝 + 6 口一，l i n a口一，z i n a b n i n a a b + a b 一6 ，z i n a 口一以i n a = 0 丝i 盖一 丝 a n i n a 。晓一n i n a+ 6 由此可知，厂( z ) o ，坛0 ：i o 6 ，五) ，即当x ( p 。l o g a b ，) 时，戗a 铲，一6 至此( 2 2 0 ) 式得证 由定义可知( 2 2 1 ) 式显然成立 下面再证( 2 2 2 ) 式成立 由y ( x ) 的定义知，当x ( o ，t ) ，时，r ( x ) - 口， 三以2 y b ) + ( 小坝加1 2 c r 2 x 2 c c t ( 口一1 ) x a - 2 l 肛锨州一懈口 = j 1 以嘶叫“c 纵口一慨口= a 口 圭也( 口- 1 ) + 口一， = 口口i ! o - 2 c g 2q ( 一三1 仃2 ，口一， = 。 下面再证( 2 2 3 ) 式成立 首先由( 2 2 2 ) 式可知，当x ( o ，以) 时， ( 2 2 3 ) 式成立 再证x ( 墨，) 时，有 1 2 0 , 2 x 2 y 。( x ) + x v ( 力一，矿( 力0 此时，v ( x ) = 扩，- b ，故知 矿( 功，：矿，n l n a x 矿 ) n = a l a ：( n l n a ) z 一铲，n l n f a xx 三仃2 x 2 矿。( 石) + x y ( 工) 一，y ( 石) ：0 2 x 沪，( 堂) z 一铲，n l n 。a + 肛一n l n a 一，( 铲，一6 ) zxx x = 口h ，( ! 尘墅掣o r 2 + 乒t n l l l 口一，) + 而 由假设条件r 比n l l l 口+ n l n a ( n f l n a - 1 ) 欲证( 2 2 6 ) 式只须证 ，t i n 知”， “ l ni na ( ni na 1 ) 由五的定义知 2 0 - 2 可知以上函数在i x ，) 上严格减，故 仃2 + t ni na 一厂) + r b 0 口叫( 掣，+ 劬州+ 而 二唬r ( 半一+ 膨l n a - r m = 羔n i n a c 一一i 口一 = 6 = b n l n a ( n l n a 1 ) 口一，z l i l 口 口一，z 1 1 1 口 2 一+ l t n l n a r 】+ 而 半一 半一 b n i n a ，n i n a 一1 z孟【优【了一nina口一z 矿+ 砌一，】矿+ p ) 一r l 厂) 因为口为方程1 2 t t 2 x 2 + ( 一三仃2