（计算数学专业论文）带bd反应项的捕食食饵模型的共存态及渐近行为.pdf

带b d 反应项的捕食一食饵模型的共存态及渐近行为 郭改慧 摘要l o t l 睁v b l t e r r a 模型在种群动力学的理论研究中具有非常重要的地位 在过去的几十年里，经典的l o t l 卧v b l t e r r a 模型已被广泛研究 由于种群间捕食关系的普遍存在性及重要性，捕食食饵模型更加受到国内 外学者的广泛关注针对具体的数学模型，一个关键的因素即所谓的。功能反应 函数”，它表示食饵的种群密度关于时间的变化率它不仅受食饵密度大小的影 响，而且受捕食者本身密度的影响b e d d i n g t o n - d e a n g e l i s 反应函数改进了h o m n g - 7 i h n e r 反应函数和具有比率依赖的反应函数，较为合理地反映了捕食者与食饵的 相互作用关系 本文运用非线性分析和非线性偏微分方程的知识，特别是抛物型方程( 组) 和 对应椭圆型方程( 组) 的理论和方法，研究了一类带b e d d i n g t o n d e a n g e l i s 反应函 数项的捕食一食饵模型 z n ， o ， z n ，t o ， z 锄，t o ， z q 的动力学行为，包括正平衡解的存在性，多重性、稳定性、唯一性以及解的一致持 续生存所涉及的数学理论包括：上下解方法、比较原理、全局分歧理论、稳定性 理论、拓扑度理论等本文主要有两章内容： 第一章研究了该模型正平衡解的性质，可分为三部分：第一部分运用极值原 理、上下解方法和锥映射不动点指标理论得到正平衡解存在的充分条件；第二部 分利用分歧理论给出了平衡态系统正分歧解的结构，并讨论了局部分歧解的稳定 性；第三部分利用特征值扰动理论、标准椭圆正则化理论、s o b 0 1 吖嵌入定理及指 标理论讨论了正平衡解的多重性唯一性及稳定性，并讨论了参数对解的影响 第二章研究了该模型解的长时行为运用上下解方法和稳定性理论，对解的 持续性进行讨论，并依此给出正解一致持续的充分条件 关键词：b e d d i n g t o n - d e a n g e l i s 反应项不动点指标分歧稳定性一致 持续 窑一 一 卧 独 一 一 吩 舡 = = 仉 篓是 一 一 = 曩 旷 旷一出 c o e x i s t e n c es t a t e sa n da s y m p t o t i cb e h a v i o ro f p r e d a t o r - p r e ym o d e lw i t hb df _ u n c t i o n a l r e s p o n s e g u o g a i - 撕 a b s t “屺tl o t k a - v b l t e r r am o d di sak i n do ft h em o s ts i g i l i f i c 棚1 tm o d e l si n m a t h 咖舡c a lb i o l o g y t h i sm o d e lp l a y bav e r yi m p o r t a n tr o ki ne c o l o 留：i np a s t d e c a d 镪，c l a 豁i c a ll o t i 潍v b l t e mm o d e lh a sb e e nw i d e l ys t u d i e d r h ed y n a n l i ci n t e r a c t i o nb e t w e e np r e d a t o r sa n dt h e i rp r e yh 鹪l o n gb e e no n e o ft h ed o m i n a n tt h 咖器i nm a t h e n l a t i c a lb i 0 1 0 盯d u et oi t su n i v e r s a l 商曲m c ea n d i m p o r t a n c e ac r u c i a le l e m e n to fa l lm o d 幽i st h e 阶c a l l e d 。f u n c t i o n a lr e s p o n s e 。， w l l i d hi st h ef u n c t i 加r e p r e s 翘吡i n gt h ep 哟7c o n s 呦p t i o np e r1 1 n i tt i m e i nt h i sp a p e r ， ak n do fp r e d a t o 卜p r e ym o d e l 证t hb e d d i n 昏o n - d e a n g e l i 8 c t i o n a lr e s p o i l i 8 s t u d i e d t h i 8m o d e lp r o f e s s 留t h eh o h i n 哥t m n e rm o d e l 粕dt h er a t i o - d e p e n d e n t m o d e l ，粕di tp m d u c e s r i c h e rd y l l 锄i 礴t h 加t h ep r e v i o 璐唧r 髑i o n s m a i n l y 戚n gt h et h e 硼e s o fn o n l i n e 盯粕a b 豳a n dn o i l l i n e a rp a r t i a ld i 艉r e n t i a l e q u a t i o n s ，e s p e c i a l l yt h o o fp a r a b o h ce q u a t i 咄衄do o r r e s p 伽d i n ge m p t i ce q u 舡 t i o 璐，w eh a v e 锣s t e m a t i c a l l l ys t u d i e dt h ed y n a n l i c a lb e h 删o ro ft h ep r 耐a t o r - p r e y m o d e l 祈t hb e d d i n g t o n - d e a n g e l i 8 劬c t i o n a lr 既p o n s e ，龇c h 鹪c o 既i s t 印o e ，舢1 t j p l i c i 锄u l l i q u e n e 嚣，s t a b i l i t yo fp o s i t i v es t e a d ys t a t 鹤a n dt h el o n 酵i m eb e h 删o r o fs p e c i 鹤t h et o o l s 璐e dh e r ei i l c l u d es u p e r - s u b l u t i o n sm e t h o d ，c o m p 妇n 面n c i p l e ，g l o b a lb i f l l r c a t i o nt h e 0 吼l i n e a rs t d b i l i t yt h e o ma n d 缸吐p o i n tt h e o r yo f t o p o l o 醪t h e m o d e l i n t h i sp a p e r t a k e s t h e f o h n 嬲b e l o w ft l t _ 归( 俨俨再老而) ， 蚝q ，b o ， 仇一口= ( c t ，+ r 彘) z q ，t o ， lu = = 0 ，z 鲫，t 0 ， lt ( z ，o ) = t 正0 ( z ) o ，钉( z ，o ) = t j 0 ( z ) 2o ， z q ， t h em a i n n t e i i t sa n dr 曙l l l t si nt h i sp a p e ra 舱鹪f o n o w s ： i i l c t i o n1 ，w es t a t eo u rm a i na n a l y t i c a lr e s i l l t so ne q u i l i b r i a t h ea b o v e s y s t 咖f i r s t ，靶v e r a ls 墒c i e n tc o n d i t i o 璐f b rc o e x i s 乞e n c eo ft h es t e a d y 一8 t a t ea l 电 舀v e nb yt h es t 舭l d 盯d 矗x e d - p o i n ti n d e xt h e o r yi nc o n e s e o o n d ，t h e 百o b a ls t n l c t u r e o ft h ec o 喇s t e n c e l u t i o n sa n dt h e i rl o c a ls t a b i l i t ya r ee s t a b l 讪e db yl l s i n gb i f u r c 舡 t i 彻t h e o 啊t h i r d ，t h em u l t i p l i c i t y ，u n i q u e n 嘲a i l ds t a b i l i t yo fp o s i t i v es t e 甜y - s t a _ t e s o d u t i o 璐t ot h i 8s y s 溉a r ed e r i v e db ym e a 以so fp e r t u r b a t i o nt k l o qo fe i 掣艇v a l u 鹤， i i i 8 t a i l d a r dr e g t l i a r i t yt h e o 吼s o b o l e 、r 锄b e d d i n gt h e o r e m 卸d 触e d - p o i n ti n d e xt h e o r y s e c t i o n2c o n t a i l l st h e1 0 n g t i n l eb e h a v i o ro fs p e c i 鹤n l e 后a n dm a 8p a r a i i l e t e r s p l a y 、，e 】叮i m p o r t a n tr 0 1 e si nd e c i d i n gt h en u m b e ro ft h ec 0 仞【i s t 朗c es o l u t i o i l 8 k e y w o r d s ： b e d d j n g t o n d e a n g e l i s 劬c t i o n a tr e s p o i l s e f i x e dp o i n ti n d 既 b 巍r c a t i o n s t a b i l i t yu 幽mp e r s i s t e n e e 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 作了明确说明并表示谢意。 作者签名：毫丝蛰日期：塑盘：乡 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西师 范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文的电 子版和纸质版：有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校 图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索； 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名：奎垄丝f日期：丝宴：! ： 前言 种群动力学已发展为生物数学的一个非常重要的分支学科，它在生态学理论 中，特别是动植物保护和生态环境的治理与开发等领域都有着非常重要的作用 生物学家针对种群的相互作用关系进行大量的实验，并对实验数据进行统计 分析以及合理细致的机理分析，建立微分、积分或者差分方程形式的数学模型，以 用来描述、预测，调节和控制物种的发展过程和发展趋势数学家用数学的理论 和方法针对所建立的数学模型，研究生态系统中种群的长期变化规律，得到一些理 论上的结果，再用来解释和解决具体的生物学问题。这对于研究生态学有重要意 义，可以使人们更好的认识自然目前，种群数学模型已成为开发资源，更合理地 使用资源和保护环境的一个重要工具 最早的生态模型是1 9 2 6 年由a j l 0 t h 和v v o l t e 玎a 两名数学生态学先驱 提出的，通常称之为l c i t k a 广v 胡t e r r 8 模型，该模型在种群动力学的理论研究中具有 非常重要的地位典型的具有扩散的两种群h v c d t e r r a 模型为 饥= d 1 仳+ ( n 一乩一) “，z q ， o ， 仇= 如口+ ( d 一饥一，t ，) t ，z q ，f o ， 其中n 为胪中的有界开区域，且边界a n 充分光滑，t ( z ，) ，村( z ，t ) 分别表示区 域q 中两种群的密度参数d 1 ，如，口，6 ，c ，d ，岛，均为常数，其中d 1 ，如为扩散系数， o ，d 为两种群的出生率，6 ，为反映种群自身密度制约的参数，c ，e 为表示种群相互 影响的参数根据种群的相互影响关系，可以将上述模型分为三类：( i ) 如果c 0 且e 0 ，则为竞争模型；( i i ) 如果傀 0 ，则为捕食一食饵模型；( i i i ) 如果c o ， 其中8 ，6 ，c ，d ，m ，9 1 ，兜均为参数模型的生物背景和各参数的生物意义可参见 文献【8 ，9 】文献【9 】讨论了该模型相对应的。线性。系统( 9 1 = o ，啦= o ) 的整 体渐近行为，包括种群灭绝性和周期轨道的存在性文献【l o ，n 】分析了该模型的 。l 晒s t i c 。系统渤 o ，啦= o ) ，给出了种群的持续性、灭绝性及整体渐近稳定性 引入下面无量纲参数： 一 6：d。1 1 缸2 舭面5 虫口，6 2 函d 2 面，七5 面m 2 不 并记面= 缸，雷= t ，5 = 6 ，i = d ，j ；= 是，晚= m ，于是上述模型可化为 k ， ( t ) = o u r ；蒜) t ，z q ，。 o ， ( ) = ( c 一钉+ 丁；惫) u ，z q ，t o 在空间不均匀分布的情况下，u ，t ，不仅是时间变量t 的函数，也是空间变量z 的函数本文即研究如下反应扩散系统： t 垭一u = ( a 一“一t 熹) u ， 仇一 = ( c 一秽+ r 彘) t ， t ( z ，o ) = t 上o ( z ) o ，t ，( z ，o ) = t 幻( z ) o ， 2 z q ， o ， q ，t o ， ( 1 ) z 鲫，t o ， z q ， 其中q 为剜。中的有界开区域，且边界御充分光滑t ，t ，分别表示食饵和捕食者 的密度参数g ，6 ，d 均为正常甄m ，七为非负常数c 可正可负，c 0 表示捕食者 有其他的食物来源 如果七，m = o ，则( 1 ) 即为经典的m i 卧v o l e 玎a 捕食一食饵模型，此类模型 在过去的几十年里已被广泛研究( 见文献 1 2 - 1 4 】) 如果七= o 且m o ，则( 1 ) 即 为带h o u i n 分t a 舢脚反应项的捕食食饵模型文献【1 5 】首次讨论了该类模型，利 用分歧理论给出了正平衡解的存在性文献【1 6 】进一步讨论了该类模型，得到了 正平衡解存在的充分条件及必要条件，并且指出当m 充分大时，这些充分条件不 是必要的，但它没有对此时解的具体情况作详细论述文献【1 7 1 9 】则深入研究了 该类模型当m 充分大时正平衡解的情况，给出了解的多重性、唯一性及稳定性条 件文献f 2 0 】研究了此类模型解的长时行为，运用线性半群估计和一致持续理论， 证明了极大吸引子的存在性，并得到了种群持续生存的条件 本文第一章主要讨论了模型( 1 ) 正平衡解的性质，即考虑如下椭圆系统： e 蜜 善舰 的共存态问题本章内容可分为三部分：第一部分运用极值原理和上下解方法得 到正平衡解的一个先验估计，进而通过构造紧线性算子，把( 2 ) 的正解转化为该 算子的不动点，再结合锥映射不动点理论给出了正平衡解存在的充分条件；第二 部分利用分歧理论给出了平衡态系统( 2 ) 正分歧解的结构，并讨论了局部分歧解 的稳定性；第三部分利用特征值扰动理论特征值变分原理、标准椭圆正则化理 论、s o b 0 1 e v 嵌入定理及指标理论讨论了正平衡解的多重性、唯一性及稳定性，并 讨论了参数对解的影响最后一部分的内容比较繁琐，实现起来也很困难，文中对 此进行了较为详细的论述 第二章研究了模型( 1 ) 解的长时行为首先运用极大值原理、上下解方法和 稳定性理论，考察了系统( 2 ) 在平凡解，半平凡解处的渐近性和稳定性情况，进而 对解的持续性进行讨论，并依此给出正解一致持续的充分条件 3 、， 2 ，i 亿 m z z 第一章带b d 反应项的捕食- 食饵模型的共存态 1 1引言 l o t l 睁v b l t e r r a 模型是种群动力学研究的核心内容由于种群间捕食关系的普 v b l t e r r a 捕食一食饵模型中的反应函数为一条无界的直线，并不能准确反映种群间 的相互作用关系，在研究捕食一食饵系统的过程中，人们通过大量的实验对功能反 由b e d d i n g t o n l 7 】和d e a n g e l i s 【8 l 提出的捕食一食饵模型形如： 器二毫薰= m ，t ，( f ) = c ”一9 2 t 2 + 忐，z 嘎t o ， p 一叫 其中口，6 ，c ，d ，七，m ，g l ，出均为参数模型( 1 1 1 ) 的生物背景和各参数的生物意义 豇= 仇 ，雷= 蚋；= 去，孑= 熹，鬲= 去，伉= 去 t = 仇t ，口= 虫t ， d = 了，d = 丫，詹= i ，伉= i 9 2 r9 1 k9 2 kg l k 并记露= t ，面= 秒，6 = 6 ，d = d ，七= k ，疵= 仇，于是模型( 1 1 1 ) 可化为 o ) = ( n 一“一t 岳“，z q ，。 n ( 1 1 2 ) t ，( t ) = ( c t ，+ t 彘) z q ，t o ，卜一叫 这里，t 口( 1 + m u + 勋) 即为b e d d i n 酵o n - d e a n g e l i s 反应函数，它与h o l n 争n e r 反应函数非常相似，只是分母中多了一项勋，这一项表示捕食者之间的相互干涉 同时，b e d d i n g t o i 卜d e a n g e l i s 反应函数保持了比率依赖反应函数的所有优点，并避 免了低密度问题引起的争议，较为合理地反映了捕食者与食饵的相互作用 在空间不均匀分布的情况下，u ，t ，不仅是时间变量f 的函数，也是空间变量z 的函数本文即研究如下反应扩散系统： 5 q ， o ， z q ，t o ， ( 1 1 3 ) z 锄，t 0 ， z q 嘉一 一 卧 独 一 一 0 妇卜 舡 1 i = q 刊 麓置 一 一 = b 驴 旷一毗 其中q 为科。中的有界开区域，且边界a n 充分光滑u ，钉分别表示食饵和捕食者 的密度参数o ，6 ，d 均为正常数，m ，七为非负常数；c 可正可负，c o 表示捕食者 有其他的食物来源 如果七，m = 0 ，则( 1 1 3 ) 即为经典的l o t l 卧v o l t e r r a 捕食，食饵模型，此类 模型在过去的几十年里已被广泛研究( 见文献【1 2 - 1 4 】) 如果七= o 且m o ，则 ( 1 1 3 ) 即为带h o l l i n 分r 1 1 a n n e r 反应项的捕食一食饵模型文献【1 5 】首次讨论了该 类模型，利用分歧理论给出了正平衡解的存在性文献【1 6 】进一步讨论了该类模 型，得到了正平衡解存在的充分条件及必要条件，并且指出当m 充分大时，这些充 分条件不是必要的，但它没有对解的具体情况作详细论述文献【1 7 19 】则深入研 究了该类模型当m 充分大时正平衡解的情况，给出了解的多重性、唯一性及稳定 性条件文献【2 0 1 研究了此类模型锯的长时行为，运用线性半群估计和一致持续 理论，证明了极大吸引子的存在性，并得到了种群持续生存的条件 本章将讨论模型( 1 1 3 ) 正平衡态解的性质，即考虑如下椭圆系统： f 一u = 一“一毒) 札，z q ， 一钉= ( c t ，+ _ _ j ) ， z q ， ( 1 1 4 ) iu ：钉：o ， 1 + 僦钉删q ， 的共存态问题，主要可分为三部分：第一部分运用极值原理原理和上下解方法得到 正平衡解的一个先验估计，进而通过构造紧线性算子，把( 1 1 4 ) 的正解转化为该 算子的不动点，再结合锥映射不动点理论给出了正平衡解存在的充分条件；第二部 分利用分歧理论给出了( 1 1 4 ) 正分歧解的结构，并讨论了局部分歧解的稳定性； 第三部分利用特征值扰动理论、特征值变分原理、标准椭圆正则化理论，s o b o l 钾 嵌入定理及指标理论讨论了正平衡解的多重性，唯一性及稳定性，并讨论了参数 对解的影响最后一部分的内容比较繁琐，实现起来也很困难，文中对此进行了较 为详细的论述 1 2 预备知识 这一节主要介绍本章要用到的预备知识，即关于特征值问题，分歧以及不动 点指标的一些基本概念和基本结论 记锑( 孬) = u c 1 ( n ) ：训铀：o ) 定义四( - ) 中的范数即为通常的b a n a c h 空间c 1 ( _ ) 中的范数，则锘( 硒是b 锄a c h 空间 考察如下特征值问题 一+ 口( z ) = a ，q ，毋= o ，z 锄( 1 2 1 ) 6 引理1 2 1 | 2 1 】设g ( z ) c 1 ( _ ) ，则( 1 2 1 ) 的所有特征值满足： o o ( z q ) 引理1 2 2 【6 ，冽令g ( z ) e 1 ( 豆) 且u 0 ，o 扛q ) ( i ) 如果o 一+ g ( z ) 妒o ，那么a 1 ( g ( z ) ) 0 ( i i i ) 如果一+ 口( z ) 咖兰o ，那么a l ( g ( z ) ) 三o 记r ( 功是b a i l a c h 空间上的线性算子丁的谱半径 引理1 2 3 【矧令g ( 功c 1 ( 孬) ，p 为正常数使得豆，一口( z ) + p o 那 么以下结论成立： ( i ) a 1 ( g ( z ) ) 1 ( i i ) a l ( g ( z ) ) o = 专r 【( 一+ p ) 一1 ( 一口( z ) + p ) 1 1 ( i i i ) a l ( g ( z ) ) = o = 专r 【( 一+ p ) _ 1 ( 一g ( z ) + p ) 】= 1 考虑单个方程： 一u = t l ，( z ，“) ，z q ， t l = o ，z a n ， ( 1 2 2 ) 其中q 是中的有界开区域，且具有光滑边界假设，( z ，t ) ：q 【o ，) 一r 满足下列条件： ( h 1 ) ，( z ，) 是关于z 的c ”函数，o 口 1 ； ( h 2 ) ，( z ，t ) 是关于u 的c 1 函数，且对任意( z ，t ) q 0 ，o o ) ， ( z ，“) o ； ( h 3 ) 存在正常数c ，使得当( z ，t 1 ) 丽l c ，o o ) 时，( z ，u ) o 下面的引理1 2 4 是【2 2 】的主要结果也可以参见文献【6 1 4 】 引理1 2 4 ( i ) 对任意z 孬，( 1 2 2 ) 的非负解t ( z ) c ( i i ) 如果a l ( 一，( z ，o ) ) 之o ，那么( 1 2 2 ) 没有正解，且平凡解u = o 是全局渐 近稳定的 ( i i i ) 如果a 1 ( 一，( z ，o ) ) o ，那么( 1 2 2 ) 存在唯一正解，且是全局渐近稳定的， 此时，平凡解t = o 是不稳定的 7 若，( z ，) = o ( z ) 一“，则当a 1 ( 一d ( z ) ) o 和c 1 连续曲线( a ，庐) ：( 一6 ，6 ) 一r 互使得对任意| s | o ，使得对任意o l o n o l ，一工( ) 可逆， 且i n d 旺( 丁( 口，) ，o ) 在一c 知) 和( 0 0 ，n 0 + ) 上均为常数，但i n d 麟( r ( d 1 ，) ，o ) i n d 鼹口( 眈，) ，o ) ，其中d o e a 1 n o 眈 o ，使得当i i 一l i o ，使得! ，+ 王，z ) ， 其中。c f ”表示集合的闭包记岛为包含于 k 中的x 的最大子空间， s = z 可吒f z 可瓦 。 设r 为x 上的n c l l e t 可导的紧算子，且! ，w 为t 的不动点，丁( ) c 彬那么 t 在掣点的n 铀e t 导算子r ( 可) 保持1 和岛不变若存在x 的闭线性子空间 墨使得x = so 蜀，且- k 是生成的，则r 在! ，点的指标与空问j 0 和s 中的 9 一个特征值有关设q ：x 一瓦为x 沿岛到的投影算子，则根据文献 5 】中 的定理2 1 和定理2 2 可得 引理1 2 1 2 如果t 在点可的n c h e t 导算子r ( 掣) 在 上没有非零不动 点，则i n d 叙( z 可) 存在，且 ( i ) 如果qo r ( ! ，) 存在大于1 的特征值，则i n d e 】( w ( 正! ，) = 0 ； ( i i ) 如果q o r ( ! ，) 没有大于或等于1 的特征值，则i n d e ) ( w 掣) = i n d e x 岛( r ( 可) ，o ) 这里i n d 甑& ( r ( ! ，) ，o ) 为在空间s 上线性算子r ( 可) 在。处的指标 我们还可以通过d a n c e r 指标定理来计算不动点的指标，下面我们以引理形式 给出这一定理 引理1 2 1 3 阳7 】设w 是e 中的一个楔，a ：一w 是紧映射，且存在不 动点珈w ，使得月珈= 珈令工= ( 珈) 是a 在珈处的n c l l e t 导数，则 工：一w 。如果j r l 在e 上可逆，并且 ( i ) 工在w 上具有n 性质，则i n d 麟w ( a ，珈) = 0 ； ( i i ) 己在i 瓦。上不具有q 性质，则i n d e 】( ，珈) = i 1 1 d 口( e ( 厶o ) 一( 一1 ) 4 ， 其中盯是l 大于1 的特征值的代数重数之和称具有q 性质，是指如果存在 t ( o ，1 ) ，矾岛，使得“，一t 工u s ，矾与s 的定义如前面所述， 1 3 正平衡解的存在性分析 利用极大值原理和上下解方法很容易得到方程( 1 1 4 ) 正解的一个先验估计 引理1 3 1 若( “， ) 是方程( 1 1 4 ) 的一个正解，则 d “ a 1 ( i i i ) 如果c a t ，而方程( 1 1 4 ) 存在正解，则有口 a 1 ( i 干著雨) 证明( i ) 假设( 牡，钞) 是方程( 1 1 4 ) 的一个正解，则( “，t ，) 满足 m 一牡= ( n t 一t j 施) u ，u i 2 o 由引理1 2 2 知，n = a l 托+ 耳老而) 由特征值的比较原理知 a 1 ，与已知 条件矛盾假设( t ，t ，) 是方程( 1 1 4 ) 的一个非负非零解，我们只须说明其中一个 1 0 分量为零的情形如果t | o ，札三0 ，那么口 a 1 ，与已知条件矛盾同理，如果 t ，o ，t 兰o ，则c a 1 ，同样与已知条件矛盾 ( i i ) 如果( t ，t ，) 是方程( 1 1 4 ) 的一个正解，那么由( i ) 知d a 1 ，因此方程 ( 1 1 4 ) 存在非负解( e o ) 由于 一札= ( n u t 志) u ( 。一乱) u ， u i 棚= o 因此u 是方程( 1 2 3 ) 的一个下解由引理1 2 5 知，t e ”又由于口满足 一t ，= ( c t ，+ 再老而) 口，= o 因此c = a 1 扣一i 干老而) a 1 ( 一番) 而又由于e m n ，故有c a 1 一者， 即c + 志 a 1 ( i i i ) 如果( t ，t ，) 是方程( 1 1 4 ) 的一个正解，则有o a l ，故e 【o i 存在且唯一， 进而有t e 【口】又由于c a 1 ，因此有t ，e 【c 】，故、 n 呐( u + 志) 州 ( i ) x = 锑( q ) o 锑( q ) ； ( i i ) w = b o 恳，其中只= 妒c ( - ) ：妒( z ) o ) ； ( i i i ) d ：= ，t ，) x ：钍口+ 1 ，t ，c + i = + 1 ) ； ( i v ) d ，：= ( m d ) n 形 撕h 小矿1 ：囊， 其中p 是充分大常数，使得m a ) ( n + 6 ( c + i 宰) ，c + i 睾) a l 或c a 1 ，则i n d e ) ( w ( ，( o ，o ) ) = o ； ( i i ) 若o a l ，则p 1 o ，那么有引理1 2 3 知，q o 盈( 0 ，o ) 存在大于1 的特 征值，因此i n d e x w ( ，( o ，o ) ) = 0 ；若口 a 1 且c o ，那么q o 盈( o ，o ) 没有大与等于1 的特征值，因此由引理1 2 1 2 知 i n d e x w ( ，( o ，o ) ) = i n d e x 黾) ( ，( o ，o ) ) = ( 一1 ) o = 1 口 引理1 3 4 i n d e ) 【( ，d ) = 1 证明由度的同伦不变性知 i n d 救w ( ，d ，) = d e g ( ，一，d ，o ) = d e g ( j 一，d ，o ) 当z ( o ，1 ) 充分小时，d e g w ( ，一磁，d ，o ) = i n d e ) 【( 名，0 ) 由于此时t o a 1 ( 毒蒜) ，则i n d e x w ( ，( e 【o 】，o ) ) = o ； ( i i ) 若c a - ( 毒耕) ，则丁l a 1 ( 春耕) ，则i n d 麟彬( ，( e m ，o ) ) = o ；若c a 1 ( i ；) ，则i n d e ) 【w ( ，( o ，e 【c 1 ) ) = o ； ( i i ) 若 a 1 ，a 1 ( i 蒜) a 1 时，方程( 1 1 4 ) 除( o ，o ) 、( e f 。l o ) ( o ，e 【c j ) 之外， 至少还存在一个正解 证明( i ) 当d a 1 ，a 1 ( i ；：蔫) a 1 时，由引理1 1 3 - 1 3 6 知 1 = i n d e ) 【( ，d ，) i n d e x ( ，( o ，o ) ) + i n d e x w ( ，( e 叫，o ) ) + i n d e x w ( ，( o ，e 【c 】) ) = 0 + 0 + o = o 因此，在d ，上方程( 1 1 4 ) 至少还存在一个正解 口 1 4 平衡态系统的全局分歧及稳定性 本节的目的在于寻求( 1 1 4 ) 的共存解，即( 1 1 4 ) 的正解由引理1 3 2 ，如果 n a l ，则方程( 1 1 4 ) 没有非平凡的正解因此，我们仅考虑口 a ，的情形设a 为以下边值问题的主特征值 枷+ 高刮，- o ( 1 4 1 ) 相应的特征函数为西，且满足l i 。= 1 1 4 首先固定c a 1 ，取。为分歧参数，从半平凡的非负解分支 ( 口；o ，e 【c 1 ) ) 出发， 构造方程( 1 1 4 ) 的正解引入如下空间： 锚( - ) = t ( z ) c 1 ( _ ) ：( z ) = o ，z a q ) 具有通常的c 1 范数i i i i ； x = 诺( 而) q ( 孬) ； e = ( d ，u ，t ，) r + x ：t ，t ， o ，z q ) 令u = t ，x = t ，一e f c l ，则o u e 【d 1 ，x 0 ，且u ，x 满足 f 一u 一( 口一禹p + r ( 州) ， z q ， 一龇= ( c 一2 e 【d h + 熹u + 足( x ) ，z q ， ( 1 4 2 ) 【“，= x = o ， z 锄 其中 脚= 撬一高。， 脚= 高揣一怒- x 2 显然f = ( f l ，足) 连续，f ( o ，o ) = o ，且f 关于( “，x ) 的n g c h e t 导数d ，x ) f i ( 0 ，o ) = o 令k 为( 一) ，则( 1 4 2 ) 等价于 fu = o u 一6 k ( 毒) + k 蜀，x ) ， z q ， x = c x 一2 ( x o 【c 】) + d ( 毒) + b ，x ) ，z n ， 【u = x = o ， 一 z a q 定义算子丁：肘x x 为 m 加( 。x = 篇愚篝糍x ，) 则t ( n ；u ，x ) 为x 上的紧可微算子令g ( ；u ，x ) = ( “，x ) 一r ( 8 ；u ，x ) ，则g 连续， 且g ( n ；o ，o ) = o 那么易知g ( n ；u ，x ) 满足o 【，e m ，x 0 的零点恰好是方程 ( 1 1 4 ) 的非负解 定理1 4 1 若c a 1 ，则( 口i t ，”) = ( i ；o ，0 【d ) 为方程( 1 1 4 ) 的分歧点，且在 ( 五；o ，e i d ) 的邻域内，( 1 1 4 ) 存在正解，其中a 由( 1 4 1 ) 给出 证明记g ( 口；u ，x ) 关于( 叫，x ) 在( o ，o ) 点的n 6 c h e t 导数为工( 口；o ，o ) = d ( 呲) g ( 口；o ，o ) ，则 m nn 、，、一“，一n 肌+ 6 k ( 蒜) 以嵋0 妯2 【x - c 蝌2 融e 【c 】) 。端纛) j 1 5 因此三( q o ，0 ) ( u ，如= o 等价于 f 幽+ ( 一蒜) u - 0 z 呱、 x + ( c 一2 e 胀+ 禹一o ，蚝q ，i i u2x 2 o ， z 硼j 取口= a ，则u = 西因此x = 皿d = ( 一一c + 2 e 【c 】) 一1 ( 毒孰圣) 而且易证 明虬 o 因此( l ( 五；o ，o ) ) = s p a n ( 圣，d ) ) 另一方面，l ( a ；o ，o ) 的伴随算子 扩( 丘；o ，o ) 为 州邮巾= ( 一a 二篡恩：5 蒜) 因此口( a ；0 ，o ) ，x ) = o 等价于 f 幽+ ( a 一高) u + d 蒜x = o z 呱 ) + ( c 一2 e 【d ) x = o ， z q ， lu = x = o ，z 锄 由于算子( 一一c + 2 0 | c 1 ) 的特征值均大于0 ，从而有x 三o 因此u = 圣即 ( p ( a ；o ，o ) ) = s p 髓 ( 圣，o ) ) 由n e d h o l m 选择公理，c o d i m r ( l ( a ；o ，o ) ) = 1 ，且 r ( l ( a ；o ，o ) ) = ( u ，x ) x ：j u 圣d z = o ) 令 l 1 ( a ；o ，o ) ) 。( 圣，皿d ) = d ：( w ，x ) g ( a ；o ，o ) ( 西，皿d ) = ( 一k 圣，o ) 假设存在( 峋，x o ) x 满足 f 咖一a + 6 k ( 禹) = 一k 圣， z x 0 一蛾。+ 2 k e m ) 一扰( 糍) = o ，z q ， 【峋= x 0 = o ， z 施 即( 蛐，x o ) 满足 f 蛳+ ( i 一高= 包 z 呱 洳+ ( c 一2 e f c l ) 勋+ i 蒜峋= o ，z g ，【峋= 洳= o ，z 砌 在上式第一个方程两端同乘以m ，在q 上积分得 z 舭叫a 一撬出= 上抛 从而有厶圣2 出= o ，与| l 圣| j 。= 1 矛盾因此l 1 ( a ；o ，o ) ( 垂，雪