（应用数学专业论文）倒向随机微分方程在保险业定价问题中的应用.pdf

北方工业大学硕士学位论文 摘要 倒向随机微分方程理论的发展只是近十几年的事情，虽然远远滞后于正向随机微分 方程的发展和应用，但是其在金融数学中的广泛的应用前景越来越受到重视。倒向随机 微分方程的意义是，已知最终的( 一般可以是不确定的) 目标变为现在的确定的解以制 定现在的决策。而保险定价正是已知最终的结果，当然这个结果是不确定的，即出险或 不出险。然后根据这个未来不确定的结果制定现在的保险价格保险定价恰恰遵循了倒 向随机微分方程的意义。保险定价本身也是近十几年来新兴起的个研究领域，由于保 险定价是保险工作无- i q | - 议的核心，因此得到不少研究人员的关注。 鉴于上述。本课题主要工作是：首先，针对保险定价在实际应用中的基础理论问 题，以随机过程为基础，利用倒向随机微分方程理论，基于投资，分别建立原保险定价 和再保险定价的倒向随机微分方程数学模型，其中，再保险又分为比例再保险和非比例 再保险分别进行讨论。进而，分别推导出一般情况下的保险定价公式。髓后，本文给出 了实证分析，分别用实际应用的方法和本文的方法定价，从而便于进行对比和得出结 论。最后，本文就定价公式的含义与实证分析的结果进行了深入的剖析，并就我国保险 定价中存在的一些问题，提出了相应的建议。 论文对目前某些研究者存在的不足的弥补和错误的修改，主要体现在：参数的设 定、公式的推导过程以及推导得到的定价公式上的修正和补充，还分析了使保险价格低 于目前定价的条件，且论证了其可能性，并且加入了非常说明问题的实例分析，在最后 对公式含义也给出了深刻的解释说明，这些都是本文的创新所在。 关键词：金融数学；倒向随机微分方程；保险定价 北方工业大学硕士学位论文 a p p f i c a t i o no fb a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i me q u a t i o n i ni n s u r a n c ep r i c i n g a b s t r a c t b a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( b s d e ) 缸d e v e l o p e do n l yl e s st h a nt w o d e c a d e s t h ed e v e l o p m e n to fb s d ei ss l o w e rt h a nf o r w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ，b u tl l l o r ea n dm o r er e s e a r c h e r sr e a l i z et h ei m p o r t a n c eo fb s d e t h e s i g n i f i c a t i o no f b s d ei st h a tw eh a v ek n o w nt h er e s u l t ( g e n e r a l l y , t h er e s u l ti su n c e r t a i n ) , t h e na c c o r d i n gt ot h i sr e s u l t , w es h o u l dc a l c u l a t ec u r r e n td e c i s i o n - m a k i n g b e c a l l s ew e s h o u l dc o u n tt h ei n s u r a n c ep r i c ea c c o r d i n gt ot h eu n c e r t a i nr e s u l to fi n s u r a n c et h a tw e h a v ek n o w n , s oi n s u r a n c ep r i c i n gc o n f o r mt ot h es i g n i f i c a t i o no fb s d e a st h ek e r n e lo f i n s u r a n c e , t h ei n s u r a n c ep r i c i n gb e c a m eaf o c u sl h a tm o r ep e o p l er e g a r d e h e e a n s eo fa l la b o v e , a u t h o rp r i c e st h ei n s u r a n c eb ym h t gb s d ei nt h i st h e s i s 1 1 地 t h e s i sh a sf o l i o w 缸gc o n t e n t s ：自嘶，b a s e do ni n v e s t m e n t , a u t h o rg i v e st h ei n s u r a n c e p r i c i n gm o d e la n dr e i n s u r a n c ep r i c i n gm o d e l ( r e i n s u r a n c ep r i c i n gm o d e lc o n s i s t so f p r o p o r t i o nr e i n s u r a n c ep r i c i n gm o d e la n dn o n - p r o p o r t i o nr e i n s u r a n c ep r i d n gm o d e r ) t h e n , t h ep r i c i n gf o r m u l a ea r ed o n e t h i r m y , t h ed e m o n s t r a t i o na n a l y s i st h a tc o n t r a s t s t h em e t h o di np r a c t i c ea n dt h em e t h o di nt h i st h e s i si sg i v e n f i n a l l y , a u t h o re x p l a i n st h e m e a n i n g so fp r i c i n gf o r m u l a ea n dt h eo u t c o m e so fd e m o n s t r a t i o na n dt a b l e ss o m e p r o p o s a l s a b o u t i n s u r a n c e i n d u s t r y o f o u r c o u n t r y t h et h e s i sh a sf o l l o w i n gi n n o v a t i o n s ：a u t h o rm o d i f i e st h ee r r o r sa n ds u p p l i e st h e d e f i c i e n c i e so fs o m er e s e a r c h e r s , i n d u d i n ge n a c t m e n to fp a r a m e t e r s , t h ed e r i v a t i o n p r o c e s s e so f t h ef o r m u l a e a u t h o ra l s oa n a l y z e st h ec o n d i t i o n st h a ti n s u r a n c ep r i c el o w e r t h a nt h e p r i c e i nt h ep r a c t i c e t h a na u t h o ri n c r e a s et h ei l l u s t r a t i v ed e m o n s t r a t i o na n a l y s i s , a n dt h ee x p l a n a t i o no f t h em e a n i n g so f p r i m gf o r m u l a e k e yw o r d s ：m a t h e m a t i c a lf i n a n c e ；b a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ； i n s u r a n c ep r i c i n g 2 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取褥的研 究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得j e 友王些太堂或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名擀字日期：。7 年占月易日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解j e 友王些太堂有关保留、使用学位论文的规定，有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借 阅。本人授权j b 友王些太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据厍进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：硒、伍 签字日期：0 7 年；月孑日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位； 通讯地址； 电话： 邮编： 笺柏加 天垆 名 期 签 日 师 字 导 签 北方i a k 大学硕士学位论文 l 导言 1 1 论文选题的背景及意义 随着市场经济的发展以及我国经济与国际的接轨，人们对于风险的规避越发需要， 保险业势必会得到飞速发展。保费是保险公司销售其产品“保险”或“再保险”的价 格。保险定价，即保费的厘定。保险定价是保险工作无可争议的核心。保险定价的研究 是近十几年来新兴起的一个研究领域，目前得到不少研究人员的关注。 倒向随机微分方程的发展也只是近十几年的事情，虽然远远滞后于正向随机微分方 程的发展和应用，但是其在金融数学中的广泛的应用前景越来越受到重视。 本课题针对保险定价在实际应用中的基础理论问题，以随机过程为基础，把倒向随 机微分方程理论应用于其中，建立保险定价的倒向随机微分方程数学模型，推出保险定 价公式。 我国保险业起步较晚，而且在较长的一段时间里是由国家垄断经营、统一险种、统 一费率、同一合同条款。在保险业运作中没有按照精算学、经济学办事。而我国已经加 入w t o ，保险业的国际化进程正在加快，国外的保险公司已经进入我国市场，保险企 业的运作必须遵循国际惯例。所以，在借鉴国外理论的基础上，为我国自己的保险产品 定价成为急需解决的重要问题。 精算师和保险人员主要关心的问题有三个，一是保费的厘定，二是准备金的提取， 三是破产概率的研究。其中保费的厘定是保险业务开展中最重要的一环，而后两个工作 又与之密切相关。而从投保人的角度来看，保单是一种商品，物美价廉的商品向来都是 顾客的首选，所以投保人在选择保险产品时，价格是其考虑的关键因素。因而定价是保 险工作的核心。 与一般的商品的定价相比，保险定价要困难的多。其主要原因在于：( 1 ) 一般情 况下，保险费率一旦厘定，在保险合同期内是不能调整的；( 2 ) 保险标的的风险不是 一成不变的，其变化受到多方匿不可预知因素的影响。因此，保险定价实质上是将一个 不断变化的风险对象确定相对固定的价槲“。 现在保险业中，竞争激烈，只靠保费盈利越来越艰难，投资对于保险业的盈利越来 越重要，而倒向随机微分方程已被应用于证券定价和组合中，已是很有力的投资工具 了。所以把倒向随机微分方程用于保险定价有很重要的现实意义与很广阔的发展空间。 北方工业大学硕士学位论文 1 2 国内外研究综述 1 2 1 保险定价在国际、国内的发展状况 在许多发达国家里，保险资金进行风险投资无论是在理论研究方面，还是在实际运 作方面都已经有了很大发展，当今，国际保险经营的一个显著特点是保险企业为了减少 经营风险，增加收益，日益注重投资技能的发挥，期货、期权等金融衍生工具交易成为 保险投资的一项重要内容。保险定价的研究开始融合金融资产定价的基本思想和方法。 两种重要的金融定价模型一资本资产定价模型( c a p m ) 和期权定价模型( o p m ) 在 保险定价研究中得到了广泛应用【2 习。国外一些从事保险定价研究的学者探讨在市场竞 争条件下的保险定价的问题。s p e l i m a n 根据微观经济理论发展了一个定价模型【l 棚。 m c c a b c 进一步分析了价格管制对于保险企业利润的影响1 5 j 。c t a n m i m 发展了一个两期 的定价模型嘲。随着险种的不断创新，保险定价技术也不断发展。如b a c i n e l l o 以期权定 价模型为基础讨论一次支付保费和分期等额支付保费的投资联结生死两全保险的价格确 定 7 1 ，m i l e v s k y 比较各种人寿保险定价的研究，并以期权定价理论为基础讨论具有保证 收益率的死亡保险金给付的变额年仅保险的定价耵。在国外，目前比较经典的保险定价 理论有期望损失理论、期望效益理论、y a r d 对偶理论、w a n g 风险理论等”j 。 我国保险业起步较晚，而且在较长的一段时间里是由国家垄断经营、统一险种、统 一费率、同一合同条款。在保险业运作中没有按照精算学、经济学办事。到目前为止， 大多数研究都是基于上述国外的经典理论进行的，并没有形成一套适合我国经济情况的 保险定价理论。随着保险业的国际化进程正在加快，我国研究人员为保险定价理论作出 了不少有益且必要的补充。阙紫康就由于信息不对称而带来的不良后果做了很好的阐 述，同时为优化保单、合理定价提出了一些建议，但是他没有进行定量分析阴。任仕泉 将m c m c 方法引入到了损失分布模型中，这种方法对研究非负偏泰，且在同一级别的 保费存在某种相关的损失具有很好的刻画效果【埘。雷怡林用三参数伽马分布拟合非同质 的风险i l i 】。在非寿险中，由于造成损失的因素有很多，索赔方式多种多样，因此对期望 赔付额进行预测很重要，钟冠国将灰色预测模型用于非寿险预测【i z 】，可以得到比较精确 的预测结果，这对定价带来的作用不可忽视。刘海龙、吴冲锋、荣喜民和邓志民在应用 倒向随机微分方程为保险定价傲了一定的研究【1 3 1 日，但是其中某些研究在参数的设定、 公式的推导上存在一些问题，推导的结果存在错误，实例分析也不到位，而且对公式意 义的解释也处于空白。国内的研究虽有限，但是却提供了许多新思路，对定价的影响必 是深远的。 2 一 北方工业大学硕士学位论文 1 2 2 倒向随机微分方程的发展及其应用情况 从应用的角度，正向随机微分方程考虑的是如何认识一个客观存在的随机过程，而 倒向随机微分方程则是主要关心在有随机干扰的环境中，如何使一个系统达到预期的目 标。首先，简单介绍倒向随机微分方程的定义。 定义1 1 【1 8 】：设b ( t ) t 0 ，是定义在概率空间( q ，i 聊上的d 维b r o w n 运动，用i 。 表示由 曰( s ) ，j f 所产生的盯代数： l ，= 口 联5 ) o s s f 一个向量值的随机过程x t = x ( ，f ) 称为i ，适应的( ( 卜杈矗卿鲫，如果对于每一个 t 【o 】，置( ) 是关于i ，可测的随机过程。 定义1 2 1 1 司：倒向随机微分方程( b s d e ) 的典型结构是： i - d v i ( t ) = g ( ( f ) ，y ( t ) d t y ( t ) d b ( t ) i 形( d = z 这里叩是一个给定的i ，可测的随机过程。 倒向随机微分方程的研究大大滞后于正向随机微分方程，其研究才开始不久，我国 学者与法国同行一直处于国际领先地位。由于其本身具有丰富的数学性质，及其重要的 应用前景，而使它的发展非常迅速。1 9 7 8 年，b i s m u t 提出倒向随机微分方程的线性情 况【嘲，而非线性情况下的基本框架是由我国著名的金融数学家彭实戈与p a r d o u x 在1 9 9 0 年提出，并证明了它的存在唯一性阎。1 9 9 1 年，彭实戈通过倒向随机微分方程获得了 非线性f c y n r n a n - k a c 公式，使倒向随机微分方程的解与一大类常见的非线性偏微分方程 ( 组) 的解之间形成对应关系【2 ”。在经济学研究领域，d u f f l e 和e p s t e i n 在1 9 9 2 年独立 的提出了倒向随机微分方程的一个典型的情况，并发现可以用它来描述不确定经济环境 下的消费偏好即效用函数【丝l 。1 9 9 3 年，a n t o n e l l i 首先提出了僦向随机微分方程的一种 形式正倒向随机微分方程鲫。1 9 9 4 年，p r o t t 玎和我国著名金融数学家雍炯敏研究 了有限维正倒向随机微分方程的更一般形式网。1 9 9 4 年，e 1k a r o u i ，彭实戈和q u e n e z 发现金融市场的许多衍生证券的理论价格可以用倒向随机微分方程解出瞄捌。 到目前为止，倒向随机微分方程己比较成熟的应用于期权定价和证券组合中，成为 很好的投资工具。进入2 l 世纪以来，倒向随机微分方程在保险定价方面的应用 逐渐受到重视，在分析保险累积损失和有效投资的基础上利用倒向随机微分方程，建立 以投资收益相支持的保险价格调整模型，对一些常见类型的保险价格进行调整，这对保 险公司提高在市场上的竞争力大有帮助【1 s l 。 一3 北方工业大学硕士学位论文 1 3 论文的研究内容及结构 1 3 1 论文的研究内容 本课题针对保险定价在实际应用中的基础理论问题，以随机过程为基础，把倒向随 机微分方程理论应用于其中，建立保险定价的倒向随机微分方程数学模型，推出保险定 价公式。 研究内容主要包括有： ( 1 ) 在正向随机微分方程、偏微分方程等数学理论的基础上，深入研究倒向随机微分 方程理论的性质、解法和它在金融数学中的应用； ( 2 ) 深入了解保险定价的发展、一般定价方法，及其理论基础； ( 3 ) 深入剖析影响保险价格的各种因素； ( 4 ) 由于保费是保险公司销售其产品“保险”或“再保险”的价格。所以，在前两项 的研究基础上，将保险定价分为保险定价和再保险定价分别建立倒向随机微分方程数学 模型，进而推导出定价公式。 1 3 2 论文的创新 在国r 勾# l - 研究综述已经提到，倒向随机微分方程在保险业定价问题的应用才刚刚开 始，是一种保险定价的新方法。本文的研究弥补和修改了目前某些研究者的不足和错 误，在参数的设定、公式的推导以及推导的结果上都做了修正和补充；并分析了使保险 价格低于目前定价的条件，且论证了其可能性；还加入了说明问题的实例分析，而且对 公式意义做了深入的解释，填补了目前研究的空白。 1 3 3 论文主要内容和结构 论文针对保险定价在实际应用中的基础理论问题，以随机过程为基础，利用倒向随 机微分方程理论，基于投资，探讨保险定价公式。主要内容是： 第l 章：概括介绍了本课题的意义、研究现状、主要研究任务和创新点。 第2 章：论述了与定价模型建立和公式推导相关的倒向随机微分方程理论，及其应 用。 第3 章：概述了与本文研究密切相关的保险原理，总结和评述了学术界经典定价模 型，介绍了实际中应用的定价方法。 第4 章：在2 、3 章的理论基础上，建立保险定价模型，推导定价公式，分析了使 保险价格低于目前定价的条件，且论证了其可能性，给出实证分析。 4 北方工业大学硕士学位论文 第5 章：对第4 章得到的定价公式的含义和实证分析的结果做了深刻的阐释，并对 比了第3 章介绍的模型、实际应用的模型和本文的定价公式。还对全文进行总结，对本 课题进行了展望。最后，根据笔者在论文研究期间的感受，对我国保险业存在的一些问 题提出了建议。 论文结构示意图如下：。 i 倒向一栅荔箍蝴黼阙 5 北方工业大学硕士学位论文 2 倒向随机微分方程理论及其应用 2 1 倒向随机微分方程理论概要 2 1 1 倒向随机微分方程 为介绍倒向随机微分方程，我们需要对照一下经典的( 即正向的) 随机微分方程。正 向微分方程的研究已有近半个世纪的历史，取得了辉煌的成果。它不仅有直接的应用背 景，并且与其他数学分支如测度论、偏微分方程、微分几何、势论等发生t t l e 常自然的 而且常常是意想不到的联系，互相促进，相映生辉。许多著名的数学家都为之吸引，在 这一领域做出了杰出的贡献。其结果又反过来促进了其它学科的进展。近期一个典型的 例子就是p l l i o n s 等提出的非线性二阶偏微分方程的粘性解理论，其直接动力就是来 源予他在随机微分方程和随机控镑l 理论方面的研究。与这一进展形成鲜明对照的是：关 于倒向随机微分方程的研究才刚刚开始，其线性情况由b i s m u t 在1 9 7 8 年提出，而非线性 情况下的基本框架是由彭实戈与p a r d o u x 在1 9 9 0 年提出并证明其存在唯一性的。非常 巧合的是，在经济学的研究中，著名经济学家d u f f l e 和e p s t e i n 也独立地在1 9 9 2 年中提 出了这一方程的一个特别典型的情况。 倒向随机微分方程的研究之所以大大滞后于正向随机微分方程，现在回过头来分析 应不外乎以下两个原因：首先，正向随机微分方程与倒向随机微分方程在结构上有本质 的区别。所以难以从正向随机微分方程出发猜想出倒向随机微分方程的形式。其次，从 应用的角度讲，正向随机微分方程考虑的是如何认识一个客观存在的随机过程，而倒向 随机微分方程则主要关心在有随机干扰的环境中如何使一个系统达到预期的目标。从认 识论的瘸点来看这一滞后也是自然的。 倒向随机微分方程的理论研究的历史较短，但进展却很迅速。除了其理论本身所 具有的有趣的数学性质之外，还因为发现了重要的应用前景。著名经济学家d u f f l e 和 e p - s t e i n 发现可以用它来描述不确定经济环境下的消费偏好( 即效用函数理论这是计 量经济学的基础。彭通过倒向随机微分方程获得了非线性f e y r a n a n - k a c 公式，从而可以 用来处理诸如反应扩散方程和n a v i e r - s t o k e s 方程等众所周知的重要非线性偏微分方程 组。e lk a m u i 和q u e n e z 发现金融市场的许多重要的派生证券( 如期权期货等) 的理论价 格可以用倒向随机微分方程解出。 。6 北方工业大学硕士学位论文 倒向随机微分方程引入了一种新的方程结构。为便于了解这一新理论，我们打算在 进入其技术细节的讨论之前先看一下众所周知的常微分方程考虑以下两个( 定义于区间 【o 用上的) 常微分方程： 芑! 二三2 6 ( j z o ) ) ， o r ( 2 1 ) l x ( o ) = x o 。 ：5 竺2 g ( h f ) ) ， o s r ( 2 2 ) 【y ( d = y r 、7 其中6 ( ) ，g ( ) 是给定的函数，而，) ，是给定的数据。方程( 2 1 ) 的定解条件在初 始时刻t = 0 给出，我们称它为正向常微分方程。( 2 2 ) 的定解条件在终了时刻t = t 给 出，我们称它为倒向常微分方程。在数学上( 2 1 ) 和( 2 2 ) 的处理方法基本上是相同的。例 如，在一定的条件( 如l i p s c h i t z 条件) 下这两个方程都有唯一的解。但从应用的角度来 讲，这两个方程已经有了显著的区别。事实上( 2 1 ) 的存在唯一性是说只要知道了系统的 初始状态x 。就可以确定的计算出系统在将来任意一个时刻t 【o ，刀的状态。与之相对， ( 2 2 ) 的存在唯一则意味着我们能够计算出应该具备怎样的起点才能使系统达到预定的目 标y r 。 以上两个模型( 2 1 ) 和( 2 2 ) 实际上都假定了系统是不受随机干扰的理想情况( r v 确定性 系统) 。对于随机系统，两者之间的差别就不止是在应用的意义上了。连方程的数学结 构都发生了实质性的差别。 首先，方程( 2 1 ) 将被更一般的随机微分方程所取代 d r ( ) = 6 ( x ( ) ) 西+ 盯( 石( ) ) d 形( 2 3 ) 【x ( o ) = x 0 、 其中形是d 维布朗运动，代表了d 个互相独立的干扰源。一个典型的例子就是股 票的价格：t 时刻的第f 种股票的价格可以用x ( t ) 的第i 个分量来描述。我们可以这样来 直观的解释( 2 3 ) 的解x ( t ) ；系统在现在时刻f = 0 从给定的初始状态出发。按照( 2 3 ) 给出的规律运动，它在未来时刻t 的状态x ( 乃是一个随机变量。在现在时刻t = 0 我们 是无法确定出z ( n 的值的，只有当随着时间的变化r 变为“现在时刻”时我们才能观 察到x ( 乃的精确值( 股票的价格是一个很好的例子) 。具有上述特点的随机过程被称为 ( 相对于上述布朗运动而言的) 适应过程。适应性是随机分析理论中的一个非常重要的基 本概念。 7 北方工业大学硕士学位论文 我们立刻体会到这一适应性的要求使得对随机微分方程( 2 3 ) 与常微分方程( 2 1 ) 的解 的存在唯一性的意义变得非常不同了：在有随机干扰的情况下的存在唯一性并不意味着 可以通过现在的初始状态精确的预测出未来时刻丁的状态。它实际上是一种统计意义上 的存在唯一性。 以下我们转而考虑常微分方程( 2 2 ) 的不确定情况下的推广，即倒向随机微分方程。 我们仍然要求方程的解是适应的。应该注意到这一要求是非平凡的：它意味着我们要通 过将来时刻t 给定的一个( 一般可以是随机的) 目标y r = n 解出现在时刻的值y ( o ) 。这一 要求乍一看起来似乎不现实。为了更好的理解，下面我们举一个离散时间情况下的非常 简单的例子，它在金融数学中是非常典型的。 我们将模型充分化简；设在一个证券市场中流通两种证券，一种债券和一种股票。 债券是无风险的：今天买l 元的债券明天连本带利可获1 2 元。而股票是有风险的：今 天买l 元的股票则明天是否获利就要看运气，若是“好运天”它值1 4 元，但若是“坏 运天”则它只值l 元。设想有一个投资者为明天制定的“财政目标”是：若明天是好运 天则他要获a 元，若明天是坏运天则他要获b 元。 问题：他今天要投入多少元才能实现这一财政目标? 这是一个初等代数问题。解 法：设他今天要投a y 元，其中用z 元买股票( 从而用y z 元买债券) 。则上面的问题等 价于下列代数关系： j 1 2 y 她0 2 肛a( 2 4 ) 1 1 2 y 一0 2 z = b 显然这一方程组有唯一的解： y = 考( 口+ 6 ) ，z = 主( ) 这里要强调一下解的存在唯一性的意义：若投资者要想达到明天的财政计划，那么 他今天的决策必须包括( y ，z ) 两部分，他不仅要决定今天的总投a y ，而且还必须将其 中的z 元，即风险部分( 经济术语为p o r t f o l i o ) 用来买股票。 上述例子虽简单，但它深刻地反映了倒向随机微分方程所要处理的问题的实质。这 个投资者今天虽然无法预知他明天的收益( 它还是一个随机变量，要等明天到来时才能知 道) 。但尽管如此，这个投资者仍旧可以确切地计算出他今天应如何去做才能达到明天的 不确定收益( 注意到这里处理的虽然是“不确定收益”问题，实际上“确定收益问题”也 是它的特殊情况，即半= b 。有趣的是此时风险部分投资为零，这一现象在倒向随机微分 8 - 北方工业大学硕士学位论文 方程中也有对应) 。上述例子所处理的问题的模型很有代表性，大量的投资决策以及很 多工程决策中都会遇到类似的问题。 我们特别强调上述例子所算出的解。即投资决策的结构：投资者不仅需要投入y 元，并且还必须将其中的z 元买股票才能达到既定的财政目标。这一点显露出了我们要 引入的倒向随机微分方程将与正向随机微分方程及正向或倒向常微分方程在结构上的本 质差别。因为我们不仅要确定今天的总投入，还必须同时确定其中的风险投资。 倒向随机微分方程正好适用于处理这类问题，它的典型结构是： f - d r ( o = g f f ( t ) , z ( t ) , o a t z ( t ) d w ( t )n n 1 y ( 乃= 善 w 这里f 是一个给定的辱可测的随机变量( 关于辱可测在这里的具体含义是：它是只 有到t 时刻才能确定的量) 。l ，( r ) 和z ( f ) 是两个要同时解决的过程。与前面例子的一个 恰当的类比是：0 时刻代表今天，t 时刻代表明天，】，( o ) 对应着y ，z ( o ) 对应着z 。 关于解的存在唯一性定理，粗略的说：只要g 和善满足适当的条件，则存在唯一的 一对随机过程( 】，( ) ，z ( ) ) 满足b s d e ( 4 1 6 ) 。特别地，当t = 0 时，( y ( o ) ，z ( o ) ) 就唯一地 被确定。这就给出了为达到明天的目的而今天需要做出的决策。我们看到：倒向随机微 分方程( 2 6 ) 在结构上与正向随机微分方程( 2 3 ) 及倒向常微分方程( 2 2 ) 有显著差别。这一 点也是倒向随机微分方程的研究起步晚的原因之一。我们再回头来看一下方程组( 2 4 ) 的 解( 2 5 ) 。它反映了金融学里的一个典型的现象：如果投资者明天的目标是非负的： a o , b 0 ( 即他一定不会赔钱) 。并且a + b 0 ( 即他有获益的可能性) 。则他今天的投 入y 必须是正的。这一点在金融数学中被称为满足无套利( n o l l - a l b i l r a g e ) 条件。关于这一 点在倒向随机微分方程中也有对应的结果，称为比较定理( 见定理2 2 ) 。 正向随机微分方程是正向常微分方程的一个自然的推广：当盯；0 时( 2 3 ) 就退化为 ( 2 1 ) 了。那么，如何将倒向随机微分方程_ ( 2 6 ) 看作是倒向常微分方程的推广呢? 答案是 当g o r ，z ，f ) 和善都不具随机性时( 即不含x 时) 方程( 2 6 ) 的解就退化为 y ( t ) ；y ( f ) ，z ( t ) ；0 。其中y ( ) 是一个确定性的( 从而是适应的) 过程。它满足下面的常 微分方程： l口 卜_ ) ，( f ) = g ( y ( f