（计算数学专业论文）常应力组合杂交方法对wilson非协调元的一些改进.pdf

四川大学硕士学位论文 常应力组合杂交方法对w i l s o n ：4 e 协调元的一些改进 专业： 计算数学专业 研究生：曹睿 导师：谢小平教授 摘要 基于组合杂交变分原理的组合杂交有限元法具有增强低阶位移格式稳定性 和粗网格精度的内在机制。它不需要应力与位移逼近满足所i g i n f - s u p 或l b b 稳 定性条件，因而其应力模式的选取较为灵活，可以使用最简单的分片常数应力 模式。同时，在不加密网格情形下，组合参数的恰当选取又可降低模型的能量 误差以提高有限元数值精度。由于应力参数可在单元水平消去，采用组合杂交 法的改进不需要增大计算规模。本论文主要讨论采用常应力模式时组合杂交有 限元法对w i l s o n 非协调元的两类改进：不修正非协调应变的改进和修正非协调 应变的改进。研究表明，改进后的格式都能达到比w i l s o n 非协调元更高的数值 精度，同时，后一类改进还能有效克 日p o i s s o n l o c k i n g 。 关键词：有限元；w i l s o n 元；组合杂交方法 四川大学硕士学位论文 s o m ei m p r o v e m e n t so fw i l s o n sd e m e n t b yc o m b i n e dh y b r i df i n i t e e l e m e n tm e t h o d sw i t i tc o n s ts t r e s sm o d e m a j o r ：c o m p u t a t i o n a l m a t h e m a t i c s g r a d u a t e r u ic a o a d v i s o r - p r o f x i a o p i n gx i e a b s t r a e t t h e c o m b i n e d h y b r i d m e t h o d i s o f a n i n t r i n s i c o f e n h a n c i n g c o a r s e - m e s h a c c u r a c y a n d s t a b i l i t yo f l o w e ro r d e rd i s p l a c e m e n ts c h e m e s i ts a t i s f y i n gt h es o c a l l e di n f - s u b c o n d i t i o no rl b bs t a b i l i z ec o n d i t i o ni sn o tn e c e s s a r y , s oi t sf l e x i b l et os e l e c tt h es t r e s s m o d e t h ep a t c hc o n s ts t r e s sm o d ec a nw o r kw e l l t h ec o m b i n a t i o np a r a m e t e rp l a y s a l li m p o r t a n tr o l ei na d j u s t i n gt h ee n e r g ye r r o rw i t h o u tr e f i n e dm e s h e s s u c hk i n do f i m p r o v e m e n tg a l lb er e a l i z e dw i t h o u tm o r ec o m p u t a t i o n a lc o s t 。s i n c et h es t r e s sp a r a m - e t e r sc a l lb ee l i m i n a t e da tt h ee l e m e n tl e v e l t l l i sp a p e ri sd e v o t e dt oi m p r o v e m e n to f t h en o n c o n f o r m i n gw i l s o n se l e m e n tb yt h ec o m b i n e dh y b r i dm e t h o dw i t ht h em o s t s i m p l e s ts t r e s sm o d e - - t h ec o n s t a n tm o d e ：t h ei m p r o v e m e n tw i t h o u tm o d i f i e dn o n c o n - f o r m i n gs t r a i nt e r m s ，t h ei m p r o v e m e n tw i t hm o d i f i e dn o n c o n f o r m i n gs t r a i nt e r m sn u m e r i c a le x p e r i m e n t ss h o wt h a tt h ei m p r o v e dv e r s i o nc a na t t a i nah i g h e rn u m e r i c a l a c c u r a c yt h a nt h a to f w n s o n se l e m e n t , a n dt h es e c o n dm e t h o dc a na v o i dt h ep o i s s o n l o c k i n g n u m e r i c a le x p e r i m e n t ss h o wt h a tt h ei m p r o v e dv e r s i o nc a na t t a i nah i g h e r n u m e r i c a la c c u r a c yt h a nt h a to f w i l s o n se l e m e n t t h ee n e r g yc o m p a t i b i l i t yc o n d i t i o n , i n t r o d u c e di nz h o u ( c o m b i n e dh y b r i df i n i t ee l e m e n tm e t h o dw i t h o u tr e q u i r e m e n tf o r b a b u s k a - b r e z z ic o n d i t i o n , t oa p p e 砷i st h eu l t i m a t ek e yt ot h ea c h i e v e m e n to fh i g h p e r f o r m a n c e k e y w o r d s ：h n i t ce l e m e n t ：c o m b i n e dh y b r i dm e t h o d ：w i l s o n se l e m e n t ； 四川大学硕士学位论文 1 引言 如何构造具有较高精度的低阶有限元法从7 0 年代早期开始即成为固体和结 构力学有限元离散研究领域的一个热点课题。标准的斗节点协调位移元即等参 双线性q 4 元是一种最低阶的四边形元，但其数值精度较低为改进其性能， 发展了几类有效途径，1 9 7 3 年w i l s o n 首次通过非协调内插函数在线性协调等参 元q 4 中引进单元内自由度构造了能够达到二次协调等参元计算精度的非协调 元q 6 【1 1 ，该单元在规则网格情况下能精确描述纯弯曲，在不规则网格情况下 却不收敛。基于h e l l i n g e r - r e i s s n e r 变分原理的假设应力杂交方法暖3 】，基于胡海 昌鹫津久一郎变分原理的增强应变方法【4 】，以及基于组合杂交变分原理的 组合杂交方法等。这些方法的一个重要特征是，能在不增加计算规模的情况下 达到增强的数值精度。通过添加“无节点”非协调“b u b b l e ”模式和保持力学 变分原理的几何特征。组合杂交变分原理首先由周天孝1 5 - 7 1 提出。该方法通过 将h e l l i n g e r - r e i s s n e r 变分原理和其对偶形式原杂交变分原理加权组合得到了一 种新的变分原理，通过调节组合系数降低能量误差从而到达提高有限元精度的 目的。事实上理论分析和数值试验都表明，组合杂交方法不仅具有通常杂交元 的性质而且具有一些最d , - 乘法的性质，比如：不需要i n f - s u p 条件，弱形式通 常是强制的，位移应力空间可以各自独立选取等特点由于避免t i n f - s u p 条件 因此应力的选择十分简单，比如最简单的常应力元也能得到收敛的结果。特别 的，组合杂交方法能够有效提高传统低阶四边形元的粗网格精度。随着混合杂 交元的发展，特别是相应理论的完善，有限元方法得到了长足的发展。 自从提出杂交应力元模式以来，大量的研究工作相继发表，混合杂交元已 经成为有限元新的研究热点。杂交元方法不仅有效提高了传统有限元的精度， 而且为非协调元提供了理论说明，特别在克服小参数l o c k i n g ，薄板剪切l o c k i n g 等方面有着突出的优势。本文将利用文献【7 g l 的思想，利用组合杂交有限元法 来改进w i l s o n 非协调元的数值性能。 四川大学硕士学位论文 2 组合杂交变分格式 首先，考虑如下的弹性问题： 一d i v o = ，矿= d 【d 功】 i n q o - 一司r i = 亍，竭r 0 = 0 ，o n r = a q = 于l ur o ( 1 ) ( 2 ) 其中，qcr 2 是一有界开集，声代表位移，矿代表应力张量，s ( 西= ( v 疗+ v 7 功代表应变，d 代表弹性模量矩阵，你表分布载荷，于表示给定的面力。 设死= u 置l 为q 的规则四边形网格剖分，u h = 畦。研和p 分别为位移 和应力逼近的有限维空间，满足： 、 以c 以：= p 日1 ( q 2i ：矿l r o = oj ， 钟k ：= s p a n b “b b l e f u n c t i o n j j ， 矿c 份兀h ( d i v ；幻= 兀 t = ( 1 1 i 2 2 , t 1 2 ) 7 l 2 ( k ) 3 ；d i v r l 2 ( k ) 2 ) 其中，b u b b l e f u n c t i o n s 指每个单元置上独立定义的非协调内部位移， 讲竹= ( o r l l # x l + d r l 2 锄，d r l 2 o x l + 升恐o x 2 ) r 对应于上述线弹性问题的修正组合杂交变分原理为： 硝( 一，萨) 2 璐嚣嘲( f 力， ( 3 ) 其中，组合杂交能量泛函为 啭( f 力= f 【丁1 - - o 反力州力一，栅一万于枷 “胃r n a k 帕厂【t d 力一- r 1 d - i f 】撒。 口( o ，1 ) 为组合参敷，位移矿= 站+ 西u h ，屯畦为协调位移，订e 研为非协 调的单元内部位移，应力tev 分片独立。 问题( 3 ) 对应于如下变分问题：求( 一。砂) 伊u 使得 c m ( o - 6 ，f ) 一a b ( r , 矿) = 0 ，v t e 妒，( 4 ) 0 6 ( 口 ，力+ ( 1 一o ) d ( 驴，力= f ( 0 + g ( 屯) 。v 矿u 6 ( 5 ) 2 四川大学硕士学位论文 j 窿f f ! a ( o - , t ) = ，矿d - i t d i 2 ，b ( r o = z f , e ( o d n ，d ( a , 0 = j d 功d d 力d q n置鬈 | 吣： 帆。 n g ( 力：占 于谢5 j r l r 、a k 对组合杂交格式( 4 ) ( 5 ) ，有如下的抽象的误差估计定理【5 6 1 ： 引理2 1 对任意有限维空间v h x u h ，问题f 却f 5 ) 存在有睢一的有隈元解( 一，矿1 v h u h 使得 咿一硎。皿制订一咖“c 掰【矿叫嚣气i 铲l p l i i i 】+ 瓣旧一札 ， ( 6 ) r e p出r m程沪 鼽例v 7 萨( 沙2 ) m ，i i t i i v ：= ( 1 1 t i i + 渺酬矿，c 为与卓元直 径 k 无关的常数，b l 亿西) = zf r 疗i ，l d s 威 注2 1 口= l 的情形对应于基于h e l l i n g e r - r e i s s n e r 变分原理的假设应力杂交有限元 法p ：3 1 ，此时，v hxu 6 必须满足单元秩不缺条件或某种i n f - s u p 条件p 1 0 】这 就从理论上排除了简单的常应力模式的使用。 注2 2 口= o 的情形对应非协调格式。因为某些非协调b u b b l e 会导致发散的格 式，引理2 1 表明，组合两种对偶格式可以使不收敛变成收敛，从而将低精度格 式变成高精度格式成为可能 正如【7 】中所指出的，引理2 1 以误差估计的形式表明方法的渐进收敛性，但 它仅反映了有限元的细网格精度注意到组合杂交变分原理( 3 ) 可以等价的 表示为： n 嚣矿萨) 2 蒜嚣略n 力 ( 7 ) e u “忭曲 = i n f 先u = i n f 涎p i i p ( o + 。s u p p y 。i 一j f 聊d 武9 ) d n + 口d 力m 一j f r 1 ：叫) n p ( 力一g r i e n v f 。kk r ( f 一。d 订) 矿1 ( f 一。d 力) 掘) 这里势能泛函 = 群 聊蹦一f 置一f t r 妒 s k 叫 3 四川大学硕士学位论文 在假设有限元网格给定时，文献【7 】讨论了组合杂交方法增强租网格精度的机 制： 引理2 2 通过两种方式：优化选择参数a 和选择适当6 “的跆位移模式啡，可以 获得组合杂交格式的优化型它具有t 列意义t 的褪网格能量高精度： i 嗡( 一，矿) 一n p ( 田l m i n l l n p ( 国一n p ( 前) i ，i i - l p ( 力一n p ( 透) j ， ( 8 ) 这里哦u 乏为协调有限元解，避u 皂e u ：为非协调有限元解。 3 常应力模式下对w i l s o n 元的组合杂交改进 3 1 不修正非协调应交情形 设任意四边形置n 的顶点为尸( 而* ) f = l ，4 ，& 它= 【一l ，l 】2 - 置为通 常的等参双线性变换，如图所示： 其中 图l ：等参单元变换 【；】= 尸r c ”，= ；妻c - + 。c + 狮，【三】 【嘉耋笔耋1 = - 1 二：1 】 4 四川大学硕士学位论文 定义 ( ，2 ：= f 矿| 词s p a n | 1 f 。叩勃1 2o f ；，v k 死l t 研：= 破纠置s p a n 1 一尹，1 一j 7 2 2o 1 ，v k e t h ， 瑶：= f y ；m = c o f l s t 。v k t h l ， 它们分别晨不协调等参双线住位移于至咧、w l l s o n 4 f 协调b u b b l e 位移芏i b j 利，于 片常应力子空间，则w i l s 非协调位移空间为c ，备：= 畦。研对v 矿= 屯+ 卉 吨，v r 增，有如下形式的表达： 屯i x = lm 0n 。i 飓0 是m 0 三m 0 是i 秽 。 l 234l 。 = 愕01 。0 矿。名。：矿卜叼甜 ， f i r = r f t l f ，f ”，= f c c ，c 1 ) r v o r ，( 1 2 ) 其中，m = ( 1 + d ( 1 + 聃缈4 ( i = l ，2 ，3 ，4 ) ， 口字= ( h lb l 啊) 7 r s 为节点位移 在问题( 3 ) 或( 4 ) ( 5 ) 中取u 6 = ，盘，伊= 增即得w i l s 非协调元的组合杂交 对应元c h q 6 ( 口) 。 当网格剖分死满足，当| i l = m a x x 盯 x 一o 时，任意单元矧拘两对角线中点 距离为o ( h 2 ) 阶，此时有 b l m 卉) = o ( h 2 ) ，v - r 垤，y 卉e 研 ( 1 3 ) 成立【5 6 1 。于是，根据引理2 1 ，立刻有下述收敛阶估计： 定理3 1 当扩= 【，矗，v h = 崤时，问题似j f 为存在睢一的有限元解( 一，驴) y x u h 使得 i i 口- 一矿o n + i l a 一驴us c h ( 1 4 ) 其中c 为依赖- y ：o - 和a a 与h 无关的常数。 5 四川大学硕士学位论文 j ：d 栅= o 瞄删舐 ， d 屯) = 爱0 矗 西 aa 曲缸 xn c 程 6 x n c q g 四儿l 大学硕士学位论文 令 d 访) = 【j 】：愀 - 8 x | 钠 赢o 0 a 却 do 毋出 x n i a y a f1h 懒j 2 k 0 盯l 麟1 【铆j n i b i + 如目1 幻+ 如fj 【篙 = 明。1 【篙】= 高【- 如1 2 。- “j z 2 】 麟o o , 1 】 ，= 怯- “j s 2 | l j l = 如+ ，l f + 2 1 7 j o2 a 2 b 4 一a 4 b 2 ，j t5a 2 6 3 一a 3 b 2 ，j 32a 3 b 4 一a 4 b 3 在求解单元刚度矩阵的过程中，j a e o b i a n 的行列式始终采用协调部分计算的 真实地单元的行列式的值。 求解非协调部分应变8 研) 的j o b i 姐伴随矩阵【，】时，我们令f = o ，1 = 0 ，得 到： 晶= 匕：】 在这里我们利用q m 6 元的思想引入前面的常应力的组合杂交问题中，便可 以的到一种新的c t - i q m 6 元。 7 町f 2 2 4 口 + + i 1 _ 口 4 r_j_-l = 1l_-_j 儿如 婴型盔兰堡主兰竺堡塞 4 单元刚度矩阵的形成及静力凝聚过程 对任意的四边形区域q 。其应力与位移( t 力可以用等参坐标对于c h q m 6 元，由 2 节我们可以得出以下的矢量矩阵表达： 乱e 口) ) = l0o olo 0 o1 = ：s o q ( t ) 配售，目) ) = 诌+ 西= n c q g ) + ，秽 在e 等参坐标系映射下的j 啪b i 锄矩阵可以如下表示： - f 篙篙外i a l + a e r 麓j 其中m ，b 由以下矩阵表示： 口l 占i 啦如 幻 国以 l = 一 4 z ly l 恐y 2 而朔 x ， f 笏】= 盯1 f 荔】：高 兰呐j u 2 儿 锄a a 芋j 由上面可以得到( 4 ) 的积分项： ， n n 刁t 嘞= 厶f ，1 矿投= ，) 7 正i l ij - i 。t d 一一s 。i j l 删 = ：0 ( r ) ) 1 a 一h 办m ；正w t v 廊= 正f t l i 鲁+ m 参z ( 等+ 箬) 碲 8 胁】叫雾】 蟹铆 。 埘锄 盯 棚 西 篡。蟛旧。i ! 卜 矿 矿 一 蹯 ) 广b 秽扩 ，山 y 甲 p 四川大学硕士学位论文 其中有 t = l0 o0 01 0 o ol lo 因为在非协调部分的计算中，我们采用的【矗】= c o n s t ( 帕= o ) ，所以。这非 协调部分应该单独计算。 类似可得到公式( 5 ) 中的积分项： d ( t 回船) = f 8 ( v ) d e ( ) d x d y = ：p 订) 1k o q c u ) 皿 其中，娲可以由2 2 的数值积分公式近似得到。 通过公式( 5 ) 可以得至1 1 1 2 x 1 2 的单元刚度矩阵也： 局= a b t a 一1 b4 - ( 1 一a ) c o 使用静力凝聚过程可以消去内部的位移参数，我们最后就可以得 到c h q m 6 元的8 x 8 的单元刚度矩阵。 5 数值试验 本节通过数值试验来检验q m 6 的数值性能。数值结果也与其他几个有代表 性的四节点有限元作了比较，这些元分别是等参双线性元( q 4 ) 、w f l s o n 元 ( q 6 ) f 1 】p l a n - s u m i h a r a 元( p - - s ) 【2 】、z h o u - n i e 元( c h ( o - 1 ) ) 饲、】( i e z i l o u 元( e c q 4 l q 6 ) 【3 】 5 1 梁弯曲问题 一平面应力梁承受两种载荷，如图1 表1 给出了各个元所计算出的能量 值、点a 处的最大位移和点b 处的法向应力。从表中可看出，能量越精确，位 移值也越精确；c h q m _ 6 ( o 0 2 5 ) 给出了较好的能量值和位移值。 9 四川大学硕士学位论文 f y 岛= 3 t r - b 3 卜e _ 1 0 0 0 图2 ：悬臂梁问题的有限元网格剖分 z _ 表l ：简支悬臂集的数值结果 示倒一 示例二 网格类型单元 n w y n whv b q 4 _ o 3 0 e a1 4 74 8 7o 2 9 e a1 8 7- 6 1 2 0 6 1 6 6 e a7 9 3- 2 5 5 11 | 2 6 e a8 n 52 8 1 6 q m 6 1 2 s e a 5 9 3 1 8 0 4 1 0 4 e a6 5 22 1 7 0 p - s1 2 8 e a5 9 31 8 7 11 0 4 e a6 5 22 2 3 9 e c q 4 l q 6 1 6 6 e a7 9 32 5 3 91 2 6 e a8 0 62 8 0 7 c h q 6 ( 0 5 1 2 0 0 e a9 5 13 1 6 915 0 e 4 9 5 63 4 6 7 c h q 6 ( 0 3 1 - 1 8 5 e a8 7 82 8 7 91 3 s e a8 8 7，3 1 6 1 c h q 6 ( o 1 ) 一1 7 2 e 48 1 92 6 4 9- 1 2 9 e a8 3 o2 9 2 0 ( a )c h q 6 ( 0 0 5 ) 1 ，6 9 e a 8 0 6 - 2 5 9 9 - 1 2 7 “8 1 82 8 6 7 c h q 6 ( o 0 2 5 ) 1 6 8 e 47 9 92 5 7 51 2 6 e a8 1 12 8 4 2 c h q m 6 ( 0 5 ) 1 6 2 e , 47 4 32 8 2 81 2 8 c a7 9 42 7 4 5 c h q m 6 ( o | 3 ) 1 4 5 e a 6 6 92 4 8 l- 1 1 6 e a 7 2 62 4 6 5 o t q m 6 ( o 1 ) 1 3 3 e a6 1 5- 2 2 3 41 0 t e a6 7 42 2 5 7 c h q i 6 ( 0 0 5 ) 1 3 0 e 46 0 32 1 8 210 6 e a6 6 22 2 1 2 c h q m 6 f 0 0 2 5 ) 1 2 9 e a5 9 8 2 1 5 8 - 1 0 5 e 46 5 72 1 9 1 q 旬f i 4 e a4 5 71 7 6 20 7 6 c 4 5 0 72 4 4 8 0 6 1 9 4 e a 9 8 42 4 2 7 - 1 5 1 e a1 0 0 43 3 5 5 q m 6 1 8 6 e a9 6 12 5 1 31 5 l e a9 8 1 - 3 4 4 2 p - - s1 8 6 e 49 6 23 0 1 4 1 4 7 e a9 8 2- 4 1 3 7 e c c h 、l q 6 - 1 9 4 e a9 8 5 3 0 0 2 - 1 5 l e a 1 0 0 54 1 5 9 续f 页 量t i_l，。_ 四川丈学硕士学位论文 示例一示例二 同格类型单元 n n w y v 8 c h q 6 ( 0 5 ) - 3 7 7 e 41 9 1 9- 4 5 l o2 9 2 e , 41 9 4 1- 6 2 7 9 c h q , 5 ( 0 3 1 2 7 2 e 41 3 8 6- 3 3 2 l- 2 1 l e 41 4 0 6 - 4 6 0 9 c h q 6 ( o 1 ) 2 1 4 e 41 0 8 82 6 6 01 6 7 c 41 1 0 93 6 8 1 ( b )c h q 6 ( 0 0 5 ) 2 0 3 e 41 0 3 _ 32 5 3 81 5 8 e 41 0 5 43 5 l o c h q 6 ( 0 0 2 5 ) - 1 9 8 e 41 0 0 82 4 8 11 5 5 e 41 0 2 9- 3 4 3 l c h q m e ( 0 5 1 - 3 6 0 e 41 8 7 0舶8 72 8 4 e 41 8 9 5- 6 4 6 9 c h q m 6 ( o 3 ) 2 6 1 e 41 3 5 0 - 3 4 4 6 - 2 0 6 e 41 3 7 3 - 4 7 , 4 0 c h q m 6 ( o 1 ) - 2 0 6 e 41 0 6 2- ”5 51 6 3 e 41 0 8 33 7 8 0 c h q m 6 ( 0 0 5 ) 1 9 5 e a -1 0 0 92 6 2 81 5 5 e 41 0 3 o3 6 0 3 c h q m 6 f o 0 2 5 ) 1 9 1 e 49 8 42 5 6 91 5 l e a , 1 0 0 53 5 2 l 精确解- 2 0 0 e 41 0 0- 3 0 0 01 5 4 e 41 0 2 65 0 5 2 梁弯曲问题：对于网格扰动的敏感性试验 在这个标准测试中，我们只分析两个剖分单元的梁弯曲问题( 图2 ) 单元 扭曲的程度由扰动参数e 来决定。 e = oy = n 3 4 - - e - - 4 图3 ：悬臂梁的网格扰动测试 表2 ：悬臂梁的同格扰动铡试 1 0 0 0 t 0 0 0 z - 一一 蘑顸 t ，工 四川大学硕士学位论文 目 精确解 b c q 、l j 蕊1 0 0 1 0 09 3 l m 5 h ，h t 0 0 1 0 0 a j i m j ) l 鹋射i 62 6 1 7 7 70 卦j 67 c h q 【0 j ) 2 ，2 0 0 6 l 7 加6 j ，i 了6 7 o i q 6 ( 0 3 )1 4 2 9 ，1 4 7 91 2 2 0 1 1 6 51 3 ii ，t z 0 j1 4 4 6 i 2 8 j1 5 2 l ， 3 0 2 c h q 6 ( 0i ) l i ll ，1 1 1 11 1 34 l 1 2 1 a 1 0 3 8 a 地( o 耐 1 0 53 1 0 539 1 0 ，8 721 0 7 6 9 5 4 c h ( o 脏5 )1 0 2 6 1 0 2 l 9 3 1 1 3 i ，9 67 c h q m s m 3 )1 4 4 6 1 砑i 1 5 31 1 1 3 0 - 2 c h q 盹1 )l i l i l l l l i 3 4 l 0 0 5 c i - i q i m 1 1 0 53 1 0 s 31 0 7 4 c h o m 巾m 5 ) 髀n 彤l1 1 3 l ， q 1 j m q t o t o 1 i s “ p _ s e c q 、l q c h q i ( 0 5 )- 3 2 l “ a q 0 b j ) - 3 j 5 e 4d j 3 “ c h 咯( 0 3 ) - 2 j 6 “ j 3 c 4 c h 魄( 0 1 j o d l “ c h 。( 0 )0 l 1 0 4 i9 l “ a l 魄( o m 5 1 m- is 6 “ a q h k 3 ) - 2 3 ，“o a l “0 j 6 c 4 - 2 6 d a i q m 【o i 2 n l “ c h q m m 0 5 ) 19 i “ c h 呲( 0 0 2 5 i7 0 “ 1 ，一 1 j 6 “ 5 3c o o k 平面应力板问题 梯形扳一边固支，另一边受单位均布载荷( 见图3 ) ，用来检验使用斜网格剖 分的平板单元的性能。此问题没有解析解，细网格结果为能量w 一1 1 9 7 ，垂 向位移v c = 2 3 9 1 ，最大原理应力n 。哪= o 2 3 6 ，最小原理应力矿威胁) = - o 2 0 1 表3 的数据表明，q m 6 具有较好的数值精度。 四川大学硕士学位论文 彻 图4 ：c o o k 平面应力板问题 表3 ：c o o k 平面应力板问题 c v cn o m n矿凰鲫n w 同格类型 2 2 4 4 2 24 x 42 x 2 4 42 x 24 4 q 4 1 1 91 8 3o 1 0 80 1 8 l以0 0 5- o 1 4 35 9 0- 9 1 4 q 6 2 2 42 3 5o 1 7 4o 2 2 00 1 8 0o 1 9 01 1 1 71 1 7 4 q m 6 2 1 o2 3 o0 1 7 7o 2 2 3- 0 1 6 7n 1 8 6i o 4 61 1 5 l p - s2 1 12 3 00 1 8 50 2 2 4- 0 1 5 5旬1 8 6 - 1 0 5 01 1 5 1 e c q 4 l q 6 2 3 12 3 50 1 8 80 2 2 2- 0 1 7 5m 1 9 11 1 4 81 1 7 5 c h q 6 ( 0 5 ) 2 6 9 22 4 4 30 2 0 0o 2 2 4- 0 2 2 61 9 51 3 3 81 2 2 3 c h q 6 ( 0 3 1 2 5 0 42 4 o lo 1 8 90 2 2 3- 0 2 0 7- 0 1 9 31 2 4 41 2 o l c h q 6 ( o 1 ) 2 3 5 72 3 6 4o 1 8 1o 2 2 l- 0 1 9 1- 0 1 9 1 1 1 7 2一1 1 8 2 c h o 6 ( 0 0 5 ) 2 3 2 52 3 5 60 1 7 9o 2 2 00 1 8 8- 0 1 9 11 1 5 6- 1 1 7 8 c h q 6 ( o 0 2 5 ) 2 3 2 3 5 10 1 7 8o 2 2 0m 1 8 6- 0 1 9 0- 1 1 4 81 1 7 6 c h q m 6 ( 0 5 ) 2 4 2 5 2 3 舳o 2 0 50 2 3 0- 0 1 9 91 8 9 1 2 0 4- 1 1 睨 c h q m 6 ( o 3 ) 2 2 7 9 2 3 4 7o 1 9 20 2 2 7o 1 8 4 o i 鲳1 1 3 2一1 1 7 5 c h q m 6 ( 0 ，1 ) 2 1 5 8 2 玉1 7o 1 8 2o 2 2 4- 0 1 7 2_ o 1 8 6 1 0 7 21 1 5 9 c h q m 6 ( 0 0 5 ) 2 1 3 i 2 3 0 9o 1 8 00 2 2 3- 0 1 6 9 一o 1 8 61 0 5 91 1 5 5 c h q m 6 ( o 0 2 5 ) 2 1 1 82 3 0 50 1 7 80 2 2 3- 0 1 6 80 1 8 6 1 0 5 21 1 5 3 细网格解 2 3 9 50 2 3 6 0 2 0 l 1 1 9 6 6 3 、 四川大学硕士学位论文 5 4 泊松l o c k i n g - f r e e 测试【1 1 l 泊松l o c k i n g 丘优测试将通过以下的两个问题来说明。一个是平面应变的纯 弯曲铡试( 图4 ) ，另一个是平面应变等边三角形膜测试( 图5 ) 从这两个问 题的数值计算结果，我们可以看出q m 6 在位移和应力上都给出了很好的近似。 5 4 1 平面应变的纯弯曲测试 第一个例子给出的是被划分成5 个单元的平面应变下的纯弯曲悬臂梁的例子 ( 见图5 ) 表4 6 分别给出了a 点y 方向的位移n ，能量w 及b 点x 方向的应 力口。的近似解。、 l 呈 i 窒 。羔。；i i 。- 1 - 。_ _ _ _ _ r 、_ _ _ _ _ _ _ 。_ l l _ - - _ 。 。_ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ - 。_ 一 0 0 0 1 0 0 0 e = i g 0 0 - - 吁气- 呻r 卜一 图5 ：平面应变纯弯曲测试问题 表4 ：平面应变纯弯曲测试“ 泊松比( y ) o 2 50 ，4 90 4 9 90 4 9 9 9 q 4 4 2 19 13 82 9 q 6 9 2 27 4 87 3 9 7 3 8 q m 6 9 0 37 4 37 3 57 3 4 n9 0 47 4 37 3 57 3 4 e c q 4 l q 6 9 2 3 7 4 87 3 ，97 38 c h q 6 ( o 5 ) 1 7 9 81 4 5 o1 4 3 2 1 4 3 0 c h q 6 ( 0 3 ) 1 2 9 91 0 4 91 0 3 71 0 3 5 c l q 6 ( o 1 ) 1 0 2 o8 2 68 1 68 1 5 c h q 6 ( o 0 5 ) 9 6 9 7 8 4 7 7 67 7 5 c h q 6 ( 0 0 2 5 ) 9 4 5 7 6 67 5 6 7 5 6 缮下页 四川大学硕士学位论文 o 2 50 4 9o 4 9 90 4 9 9 9 c h q m 6 ( o 5 ) 1 7 5 51 4 3 51 4 1 9t 4 1 8 c h q m 6 t 0 3 1 1 2 6 91 0 4 01 0 2 91 0 2 7 c h q m 6 ( 0 1 ) 9 9 88 2 o8 1 18 1 o c h q m 6 ( 0 0 5 ) 9 4 87 7 97 7 07 7 o c h q m 6 f o 0 2 5 ) 9 2 57 6 0 77 5 2 7 5 1 e x a c t 9 3 87 6 07 5 17 5 - o 表5 ：平面应变纯弯曲测试兀w 泊松比( ” o 2 50 4 90 4 9 90 4 9 9 9 q 4 - 0 7 8 “- o 1 7 “- 0 0 6 e 40 0 4 c a q 6 - 1 8 1 e 41 4 7 e 4- 1 4 5 e 41 4 5 e ，4 q m 6 - 1 7 5 e 41 4 4 e 4- 1 4 3 c a1 4 3 e 4 n1 ，7 5 “一1 4 5 e 41 4 3 e 41 4 3 e 4 e c q 4 l q 6 - 1 8 2 e 41 5 2 e 4- 1 5 0 e 4- 1 5 0 e 4 c h q 6 ( 0 5 ) 3 5 3 c 4- 2 8 4 c 42 8 0 e 4- 2 8 0 c 4 c h q 6 ( 0 3 ) 2 5 5 e 4- 2 0 6 e 4- 2 0 4 e 4- 2 0 3 e 4 c h q 6 ( 0 1 ) 2 0 0 e 4- l 6 2 “- 1 6 0 e 41 6 0 e 4 c h q 6 ( o 0 5 ) 1 9 l e a - 1 5 4 e 41 5 3 e 41 5 2 e 4 c h q 6 ( o 0 2 5 ) - 1 8 6 “- 1 5 1 e , 41 4 9 e 41 4 9 e 4 c h q m 6 ( o 5 ) 3 3 8 0 42 7 7 “2 7 4 e 42 7 4 c 4 a q l 叱( 0 3 ) 2 4 5 c a2 0 2 e 41 9 9 “1 9 9 “ c h q m 6 ( 0 1 ) 1 9 3 e 41 5 9 c 41 5 8 e 41 5 7 “ c h q m 6 ( 0 0 5 ) 1 8 4 e 41 5 2 “1 5 0 e 4i 5 0 e 4 c h q m 6 ( 0 0 2 5 ) 1 7 9 e 4i 4 8 e 4- 1 4 6 c 41 4 6 c 4 e x a c t，1 8 8 e 41 5 2 e 41 5 0 c 41 5 0 e 4 表6 ：平面应变纯弯曲测试即 泊松比( 订 o 2 50 4 90 4 9 90 4 9 9 9 0 4 1 4 3 51 8 0 7- 1 7 8 11 7 7 2 续下页 四川大学硕士学位论文 o 2 50 4 90 4 9 90 4 9 9 9 q 6 2 4 8 61 9 4 34 4 1 6 04 6 6 3 0 q m 6 2 4 8 52 4 9 22 4 9 22 4 9 2 n2 9 9 12 9 9 5 2 9 9 5 2 9 9 5 e c q 4 l q 6 3 0 0 43 43 43 0 0 4 c h q 6 ( 0 5 ) 4 6 2 7 4 2 1 68 8 6 0 7”2 5 7 0 c h q 6 ( o 3 ) 3 4 昕2 9 1 7 6 3 2 1 66 6 6 2 6 0 c h q 6 ( 0 1 ) 2 7 2 52 1 9 64 9 1 0 95 1 8 ”0 c h q 6 ( 0 0 5 ) - 2 6 0 02 0 6 3 4 6 5 l o 4 9 1 0 1 0 c h q 6 ( o 0 2 5 ) 2 5 4 12 0 0 24 5 3 1 14 7 8 4 3 0 c h q m 6 ( 0 5 ) 4 6 5 9- 4 6 6 3 4 6 6 4- 4 6 6 4 c h q m 6 ( 0 3 ) 3 4 1 8- 3 4 2 33 4 2 33 4 2 3 c h q m 6 ( 0 i ) 2 7 2 72 7 3 32 7 3 4 - 2 7 3 4 c h q m 6 ( o 0 5 ) 2 6 0 02 6 0 6姗2 鲫 c h q m 6 ( 0 0 2 5 ) 2 5 4 2- 2 5 4 82 5 4 82 5 4 8 e x a c t- 3 0 0 0 5 a 2 平面应变等边三角形膜测试 、 从原理上来说，在o 点( 平面应变的等边三角形重心) 的流体静力学上的 应力p d 应当不依赖与泊松比的变化，也就是说p d 在泊松比y - - * 0 5 的时候应当是 一个常数在这个问题中，我们考虑从顶点施加的压力p = 3 0 0 0 ，如图6 所示。 在流体静力学上的应力p d 根据公式( 1 + y ) ( 卵+ 卵) 3 得到其中砰与哆为相交 于o 点的三个四边形单元中心的近似应力的平均值。 1 6 四川大学硕十学位论文 p上p 卜一2 簋2 b _ i 、 卜一蠼l 伊1 表7 ：三角形膜问题。点位移 同格类型 ( 1 )1 2 ) 泊松比( y ) 0 30 4 90 4 9 90 4 9 9 9o 30 4 90 4 9 90 4 9 9 9 q 4 - 5 8 2一1 8 6旬2 4o 0 22 1 8 o 8 0 旬1 8- o 0 2 q 6 6 5 1 5 8 55 8 05 8 02 3 01 8