（应用数学专业论文）变额保单的定价问题.pdf

摘要 鬻4 16 t 2 5 本文运用金融经济学的基本思想，结合精算学原理，以偏微分方程为基本模 型讨论了类似期权的变额保单的定价问题。 - 。- _ h 一 首先，在金融经济学中“市场无套利”的假设下，运用资产定价的基本理论 及髓s 引理，采用类似于处理期权定价的模型的方法，构造了适用于一般类型保 - - - - - 一， 单定价的统一金融数学模型框架。旧此方法建立的数学模型具有较大的可扩展性， t 它既可被具体为寿险险种的定价问题，又可被具体为非寿险险种的定价问题，既 可用于处理不含有波动因素的问题，又可用于处理含有波动因素的问题。针对不 同的险种，只要在统一模型框架的基础上稍作修改，就可用来处理相应险种的保 单定价问题。、l 具体来说，本文在统一数学模型的基础上，分别从寿险险种及非寿险险种中 择取一例，详细讨论了两类类似期权的变额保单的定价问题。一类是寿险中具有 最低死亡受益的投资连结型的险种变额寿险险种；另一类是非寿险中既具有 ， 自留额又有最高理赔额限制的超额损失保险险种。这两类险种的共性是：未来标 的资产或标的损失的不确定性使得与之相关的保单受益额也是非确定的。因此此 、 类险种的定价问题已超出了传统精算学的范畴。1 本文则从金融数学的角度出发， 主要采用p d e ( ) a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ) 方法详细讨论了此类含有波动因素的变 额保单的定价问题，并与精算中的常用方法作了多方面的比较，同时将一般的期 望贴现值方法进行了推广。从讨论中可显见，p d e 方法对传统的精算方法是包容 - h - _ 一 的，且具有广阔的可延展性。 关键词：风险中性；m s 引理；偏微分；期望贴现值? 分类号：0 1 7 5 2 3 ，f 8 4 0 6 7 。 a b s t r a c t b a s e do nf i n a n c i a la n da c t u a r i a lt h e o r i e s ，t h i sp a p e ri st oe v a l u a t ev a r i a b l ep o l i c i e s w i t lc o n t i n u o u s p a y o u t s t h a tr e s e m b l eo p t i o n p a y o u t s f i r s t l y i ti sa s s u m e dt h a tt h e r ei sa r b i t r a g ef r e em a r k e t ；a n dt h e na c c o r d i n gt o r i s k n e u t r a lp r i n c i p l ea n di 论st h e o r e m 、t h ep o l i c yv a l u a t i o nm o d e lb a s e do np a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o ni sd e v e l o p e d ，w h i c hi ss i m i l a rt ot h eo p t i o n - p r i c i n gm o d e l d u et o t h ef l e x i b i l i t yo fs u c hm e t h o d ，t h ei n i t i a lm o d e lc a l lb en o to n l yu s e dt oh a n d l et h e p r i c i n g o f l i f ei n s u r a n c ep o l i c yb u ta l s on o n l i f ei n s u r a n c e p o l i c y i tc a n b eu s e d t o ，o n l y w i t hal i t t l ea d j u s t m e n t ，d e a lw i t ht h e c o r r e s p o n d i n gp o l i c y s e c o n d l y , b a s e d o nt h ei n i t i a lf i n a n c i a lm a t h e m a t i c a l m o d e l ，w ed i s c u s s t h e v a l u a t i o no f t w od i f f e r e n tv a r i a b l ep o l i c i e sw h i c hc o m ef r o ml i f ei n s u r a n c ea n dn o n 1 i f e i n s u r a n c er e s p e c t i v e l y o n ei si n v e s t m e n t - l i n k e dp o l i c yc h a r a c t e r i z e db yam i n i m u m d e a t hb e n e f i t ，t h eo t h e ri se x c e s so fl o s s t r e a t yw h i c hh a sap r e v i o u s l ya g r e e du p o n d e d u c t i b l ep a y m e n ta n dam a x i m u m i n d e m n i t y l e v e l t h eu n c e r t a i n t yo f t h ef u t u r el o s s l e v e lo ri n v e s t m e n tr e t u r nl c a d st ot h es t o c h a s t i cn a t u r eo ft h er e l e v a n tc l a i ml e v e l t h e d i s c u s s i o nf o rt h e i rp r i c i n gi sb e y o n dt h et r a d i t i o n a la c t u a r i a ls c i e n c e ，w h i c hi sm a i n l y u s e dt oh a n d l i n gt h ec e r t a i nm o d e l s ot h i sp a p e re x p l o r e st h ep r i c i n go ft h ev a r i a b l e p o l i c i e sb ym e a n so fp d e m e t h o da n dd o e sc o m p a r i s o nt ot h et r a d i t i o n a la c t u a r i a l m e t h o d j ti so b v i o u st of i n dt h a tp d em e t h o dh a saa d v a n t a g eo v e rt h et r a d i t i o n a l a c t u a r i a lm e t h o di nd e a l i n gw i t ht h ep o l i c yw i t hs t o c h a s t i cn a t u r e k e y w o r d s ： r i s k - n e u t r a l ；i t st h e o r e m ；p a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ；e x p e c t e d d i s c o u n t e dv a l u e c l a s sm a r k ：0 1 7 5 2 3f 8 4 0 6 7 复旦大学硕士论文 第一章引言 随着市场经济在中国的迅速发展以及社会保障体制改革的深入展开，大大增 强了人们的保险意识，同时也对商业保险体系的发展和完善提出了更高的要求。 其中，保险产品的准确定价日益成为人们关注的焦点。不仅如此，保单价值的合 理评估对于整个保险市场的发展及金融风险的回避有着明显的积极的作用。 一、保单定价问题的历史及现状。 迄今为止，各国金融学家、精算学家对保单定价问题进行了深入的研究，制 定了多种定价方法。 最初是传统的精算方法，而精算方法针对寿险与非寿险又区分为寿险精算 方法与非寿险精算方法。在寿险精算中( 参见【l 】) ，在未来受益额、利率、死亡 率确定性假设的基础上，将未来受益额的精算现值定义为保单的趸交价值。这种 方法与金融经济学中期望贴现值的思想是完全一致的。而在非寿险精算中，则是 从概率统计的角度出发，利用现有的经验数据，对保险标的的损失分布包括损失 的频率及每次损失的额度大小进行科学的预测而进行定价的( 参见【2 ) 。 近几年来，金融理论的研究方法也逐步运用到这一领域，特别是对含有波动 因素的保单定价问题提供了十分巧妙的方法。首先是m e r t o n ( 1 9 7 7 ) 与s m i t h ( 1 9 7 9 ) 率先将此方法运用到保单定价问题：其次是s h i m k o 于1 9 9 2 年针对损失分布含 有波动因素的财险保单运用此方法建立了其定价模型，且在l o g n o r m a l 分布的 假设下采用l a p l a c e 变换求出其解析解( 参见【3 】) ；再次是毛丹于2 0 0 0 年将此技 巧成功地运用于非确定性死亡效力的寿险险种的定价问题，具体求解则主要是采 用偏微分方程的数值求解法进行的( 参见【4 】) 。 二、本文的主要工作。 本文首先在金融学中的“市场无套利”的假设下，运用资产定价的基本理论 及打二。j 引理，采用类似于处理期权定价的模型的方法，构造了具有普遍意义的 保单定价的统一金融数学模型框架。其普遍性表现在：它既可被具体为寿险险种 的定价问题，又可被具体为非寿险险种的定价问题，既可用于处理不含有波动因 复旦大学硕士论文 素的问题，又可用于处理含有波动因素的问题。针对不同的险种，只要在统一模 型框架的基础上稍作修改，就可用来处理相应险种的保单定价问题。 接下来在统一数学模型的基础上，分别从寿险险种及非寿险险种中择取一 例，详细讨论了两类较为复杂的变额保单的定价问题。一类是寿险中具有最低死 亡受益的投资连结型的险种变额寿险险种，另一类是非寿险中既具有自留额 又有最高理赔额限制的超额损失保险险种。这两类险种的共性是：未来标的资产 或标的损失的不确定性使得与之相关的保单受益额也是非确定的。因此此类险种 的定价问题已超出了传统精算学的范畴。本文则从金融数学的角度出发，主要采 用p d e ( p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ) 方法详细讨论了此类含有波动因素的变额保 单的定价问题，并将一般的期望贴现值方法进行了推广。 三、本文的组织结构。 第二章为具有普遍意义的保单定价模型的建立及其偏微分方程的推导。运用 金融经济学中资产定价的基本理论及s 引理，并结合精算知识，建立了适应于 一般类型保单定价的统一数学模型，归结出一般形式的偏微分方程。 第三章在第二章统一模型的基础上，以寿险险种中的变额保单为例，详细讨 论了其定价问题。首先对无随机波动率的简单情形分别采用常微分方程的方法和 传统的精算方法求得该方程的解析解。其次对随机波动率不为零的一般情形采用 了两种方法求解。方法一，偏微分方程( p d e ) 求解法，通过一系列的变量变换， 最终得出该方程的解析解：方法二，g e d v ( g e n e r a le x p e c t e dd i s c o u n t e dv a l u e ) 方 法，从金融经济学中期望贴现值的角度出发，结合风险中性的概念，运用随机过 程等相关知识，进而求得相应的保单价值。 第四章仍在第二章统一模型的基础上，以非寿险险种中的超额损失保险为 例，探讨其定价问题。设其未来损失包括损失频率及损失额度均含有波动因素， 且为l o g n o r m a l 分布。分别采用偏微分方程求解法及推广的期望贴现值方法求 得了相应的保单价值。 第五章指出了有关问题的进一步思考与探讨，供有兴趣的读者参考。 复旦大学硕士论文 第二章统一数学模型的建立 本章将从金融数学的角度出发，运用精算学及金融资产定价的有关知识， 建立一个既适应于变额寿险又适应于一般的非寿险险种的统一数学模型。 2 1 模型的建立 首先引入如下符号及定义： 1 ) t 一投保期限： 2 ) t 一从保险计划开始的时间，r o ，t 】； 3 ) ，( r ) 一无风险利息效力，本文中r ( ，) 是给定的。 假设c ( t ) 为t 时刻的财产损失额( 对于非寿险) 或投资帐户的资产值( 对于 变额寿险) ，由于多种不确定的因素，c ( t ) 为一随机过程，其变化遵循如下随机 微分方程： d c = a ( f ，c ) d t + 1 7 ( f ，c ) a w , ， ( 2 1 1 ) 其中口( r ，c ) ，q ( f ，c ) 分别是c ( ，) 的增长率及随机波动率。d 彬为标准布朗运 动，满足e a w , 】_ 0 ，v a r d w l - d t 。 设a ( f ) 为f 时刻的理赔发生频率，即单位时间内的理赔次数。同样假设其为 一随机过程，且遵循如下随机微分过程： d 2 = ( f ，a ) d t + 盯2 ( f ，旯) d ， ( 2 1 2 ) 其中p ( t ，五) ，盯：( f ，旯) 分别是理赔频率五( r ) 的增长率及随机波动率，而d 为标准 布朗运动，同样满足e d z 2 】- 0 ，z a r a w 2 】= d t 。 设两随机过程d 彬与d 的相关系数为p ，即d 彤d = p a t 。 在以上假设下，保单的价值v = v ( t ，c ，a ) 将取决于投保开始的时间t ，投资 帐户或财产损失的值c 及理赔发生频率a 。 3 复旦大学硕士论文 据瞄。s 引理( 参见【5 】) ，并结合( 2 2 1 ) ，( 2 2 2 ) 式，就有v ( t ，c ，兄) 满足下式 d y = 翌a td i + 翌o cd c + 鼍d 九+ 2 鼍耙+ 2 朵d + 盟c 9 c a 2 d c d a 8 丸| 8 则 = ( 詈+ 郇 c ) 丽o v + 肌，筹+ 圭砰( f c ) 罟+ 圭积“) 筹 ( 2 ) 呐l ( f m ( f ，淼m 啪c ) 豢d 竹：( f ，署崛 设c ( t ) 的风险市场价格为丸，定义：目。( ，c ) = a ( t ，c ) 一丸q ( ，c ) d c = 口l ( f ，c ) d t + c 1 ( ，c ) ( 疵, i t + d 啊) = 鼠( ，c ) d t + q ( f ，c ) d w , + ， 其中d 彬= d 暇+ 疵西。 同样地，设旯( f ) 的风险市场价格为九，定义：口2 ( ，2 ) = f l ( t ，五) 一九盯：( f ，丑) 则 掀= 岛( ，z ) d t + 盯2 ( ，：o d w ；， 其中 d 孵= 办d t + d w 2 。 假设市场是无套利的，故存在一个风险中性的概率测度q ( 参见 5 ) ，在q 之下，成立 e 。 d 彬】= 0 ，e 。【d 哝】- 0 。 经过风险调整后，( 2 1 3 ) 变为： d y = ( 警鸲( f ，c ) 丽o v 坞( f 五) 筹+ 三“( f c ) 罟+ 吉咄“) 罟 呐l ( f m ( f 五) 翥m 毗c ) 豢州坞( f 署d 孵 阴们= ( 警+ 啪c ) 筹+ 啪棚瓦8 v + 圭q 2 - u - - 万0 2 v + 圭a ；( f 五万0 2 v ( ：。) 巾们毗五) 翥肌 4 复旦大学硕士论文 另一方面，从经济学的角度来考虑，在i t ，+ 础 内发生的理赔次数为五( f ) 加 设每次理赔的净风险额为n ( t ) ，且n ( t ) 与f 时刻的财产损失额或投资帐户的资产 值c ( t ) 有关。则 r ，+ 击】内的净风险总额为n ( t ) x ( t ) d t 。不考虑退保因素，则 在风险中性的概率测度q 之f ，【f ，r + d t 】内保单价值的期望增量等于这期间的 无风险利息收入减去净风险总额( 参见【6 】) ，即有： e 。 d 矿】= r ( t ) v d t n ( t ) 2 ( t ) d t = ( ，( ，) 矿一n ( t ) 2 ( t ) ) d t ， ( 2 1 5 ) 联立( 2 1 4 ) 与( 2 1 5 ) ，可得如下p d e ： 百o v + o i ( f ，c ) 丽o v + 0 2 ( t , 五) 署+ 圭盯沁固万a 2 v + 三叫z m ，丽c 3 2 v + 胪l ( f ，c ) 畎) 翥- ，( ，) v + n ( f ) 旯= o 。 ( 2 1 6 ) 此外，考虑到本文讨论的险种无论是变额寿险还是非寿险都是保障型的，不 含有储蓄的性质，即无生存受益，从而保单到期值为零。即有终值条件： t = r ；v ( t ，c ，a ) = 0 。( 2 i 7 ) 联立( 2 1 6 ) 、( 2 1 7 ) 即得统一的金融数学模型，用p d e 表示如下： ，詈+ 叩，c ) 豢+ 吼( f ，a ) 署+ 丢讯f i c 万0 2 v + 丢盯；( t , 2 ) 0 似2 v 1 呐l ( ，m ( f ，五) 意叫缈+ ( 伽_ 0 ， o t t 、f = 7 1 ；v ( t ，c ，五) = 0 。( 2 1 8 ) 至此，用于保单定价的统金融数学模型已建立。用此方法建立的数学模型 具有较大的可扩展性，针对具体的险种，只要在统一模型的基础上稍作修改，就 可用于处理相应的保单定价问题。 以下章节里将在统一模型的基础上，分别从寿险险种及非寿险险种中各择一 例，详细讨论两类较为复杂的变额保单的定价问题。 复旦大学硕士论文 第三章变额寿险保单的定价 近几年随着资本市场风险的加大，特别是中国人民银行短期内七次降息，以 固定给付、固定利率为主要特征的传统寿险产品使保险业面临着利差损的强烈压 力，这就迫使各大寿险公司积极推进产品创新，加大与外部资本市场的联系，纷 纷推出一些兼具保险保障与投资理财双重功能的投资连结型保单，这类险种的一 个典型特点是：未来受益额与保险公司的投资收益直接相连。而未来投资收益的 随机波动性使得与其相关的受益额也是非确定的。其中变额寿险就是投资连结型 险种的典型代表，它是一种死亡给付、受益额根据单独设立的投资帐户的收益而 调整的终身寿险( 注：终身寿险在一定程度上可看作定期寿险) ，保险公司通常 会承诺一个最低的死亡给付水平，但很少承诺最低保证利率。 本章将对变额寿险的定价问题作如下详细讨论，共分三步：( 3 1 ) 变额寿 险统一模型的建立。( 3 2 ) 不含波动因素的变额寿险保单的定价。( 3 3 ) 含有 波动因素的交额寿险保单的定价。 3 1 变额寿险统一模型的建立。 本章中的变额寿险保单是指保额随其保费分离帐户的投资收益变化而变化 的终身寿险，但不管投资收益如何，保额不会低于某限额b 。具体而言，在第二 章统一模型的基础上，作如下具体假设： 1 ) 投保人投保时的年龄为x 岁。 2 ) c ( f ) 将对应于该被保险人在t 时刻投资帐户的资产价值，假设它仍遵循以 下肺。j 过程：d c = 口( f ，c ) d t + q ( f ，c ) d w l 。 3 ) 在给定保险期限内，变额寿险至多发生一次理赔。于是在第二章中的丑( ，) 6 复旦大学硕士论文 ( 单位时间内的理赔次数) 将转化为u ( t ) ( x 岁投保的人在x + r 岁死亡的 概率力度) 。j t j u ( t ) 遵循如下朋。j 过程：咖= p ( t ，u ) d t + a 2 ( f ，) d 。 4 ) 一旦发生理赔，保单立即终止，理赔额与投资帐户的资产值c ( t ) 直接相 连，且不会低于某限额b ，故此时f 时刻的死亡受益为m a x ( c ( t ) ，b ) ，从而 净风险额( f ) = m a x ( c ( t ) ，6 ) 一矿。 第二章所用其它符号和假设暂保持不变。在以上所作的具体假设下，p d e ( 2 2 8 ) 将具体为： f - 警州f c ) 豢+ 0 2 肋署弓啪c ) 罟+ 互1 砒) 窘 + p r y i ( f ，c ) 吲) 蒜七( f ) 训n m a x ( c , b ) - 0 ， i 【，= r ；v ( t ，c ，a ) = 0 ，0 ， t 。 ( 3 1 1 ) 以下两节将针对这种变额寿险保单不含波动因素与含有波动因素的两种情 况作具体探讨。 3 2 不含有波动因素的模型。 针对保单定价，p d e 方法对传统的精算方法是包容的。为了说明这一点， 有必要先以随机波动率为零的简单模型为例，分别采用p d e 方法和传统的精算 方法进行比较。 忽略，以) ，c ( f ) 变化的波动性，即假设： 咖= f l ( t ，u ) d t d c = c t ( t ，c ) d t 盯，= 0 盯= 0 ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) 另外为了比较结果的直观，r ( f ) 取为常数，。 于是原先较复杂的p d e ( 3 1 1 ) 就变为一阶偏微分方程： j ，警+ 毗c ) 等+ 肌棚嚣- ( ，+ 肋矿+ m a x ( c ，6 ) - o ，( 3 2 3 ) 【，= t ；v ( t ，c ，) = 0 ，0 t t 。 - 复旦大学硕士论文 f 型兰生二掣= o + ( ，) ) v - m a x ( c ( ，) ，6 ) ( f ) ，0 t t 是一个条件随机变 量，则被保险人在时刻，存活而在时刻f 死亡的条件概率密度函数是： 一m 矗( 咖，( f ) = e ( f ) 。 由精算知识( 参见【1 】) ，则未来死亡受益的精算现值： 矿( ，) = e 7 。i7 。m 翻来死亡受益的现值】 = e 兀圳h 啪 m a ) 【 c p ( z ) lb e ( m h ) 】 ：t f m a ) ( c ( r ) ，b e - r ( r - o e p 4 ( r 矽r 。 ( 3 2 6 ) 显然，用p d e 方法求出的结果( 3 2 5 ) 与用传统的精算方法得出的结果 ( 3 2 6 ) 是完全一致的，这就说明p d e 方法对传统的精算方法是包容的。 下面我们将看到p d e 方法在处理含有波动因素的保单定价时比传统的精算 方法有较大的优势。 复旦大学硕士论文 3 3 含有波动因素的变额寿险保单的定价。 上节处理的是一种随机波动率为零的模型，传统的精算方法是可以胜任的。 但考虑到变额寿险的保额与保费分离帐户的投资收益直接相连，实际上未来市场 的投资收益率是不确定的，从而与之相关的变额寿险的受益额也应是不确定的。 因而对含有波动因素的变额寿险保单的定价问题进行探讨将更具有实际意义。 于是在3 1 节的基础上，再作如下具体假设 ( i ) 投资帐户的资产值c ( ，) 服从l o g n o r m a l 分布，即满足下式： d c = 口( r ) c d t + o c d w ，其中盯为常数。 ( i i ) 死亡效力a ( t ) 是关于f 的确定性的函数。 ( i i i ) 投资资产c ( f ) 的市场风险价格为( ，) 。 由于c ( ，) 是可自由交易的资产，故它的市场风险价格( f ) ：旦皇生型 盯 ( 参见【5 】) ，即有口( ，) = ，( ，) + d 乳( ，) ，于是对c ( r ) 进行风险调整如下： d c = 口( f ) g 讲+ o c d w = ( ，( f ) + 印f ( f ) ) c d t + o c d w = ，( f ) c d t + o c ( d w + ( ，) d t ) ， 令d e c = d w + ( ，) 击， 则d c = ，( f ) c d t + o c d w + 。 又因市场是无套利的，故存在一风险中性的概率测度q ，而在测度q 之下为 标准布朗运动。 于是此时保单在r 时刻的价值v = v ( t ，c ) 依赖于从被保人投保开始的时间f 9 复旦大学硕士论文 。 及投资帐户的资产值c 。由第一部分统一模型的推导过程，可得基本方程 b ) ( ，) = 0 ， ( 3 3 1 ) 至此，对于我们假设的变额寿险的具体险种，建立了一个统一的p d e 模型， 以下将分别采用偏微分方程的方法与推广的e d v 方法分别求得保单的价值 v ( t ，c ) 。 3 3 1 p d e 方法： 采用p d e 方法是指通过直接求解( 3 3 1 ) 以得到此变额寿险保单在任意时 刻f 的值v ( t ，c ) 。具体求解过程如下 由齐次化原理( 见参考文献【7 】) ：w ( t ，c ；f ) 满足 f 罾川们警2 c 2 罟- ( ，( m 肿肌。，o t a ，则矾一+ o o ，d 2 - - - ) + o o , 于是 ( d ) = 妒( d 2 ) = i ，由式( 3 3 6 ) 可得： ，) ：- v ( t cp 4 u ( r ) c d r ，) = 。 ，( 3 3 7 ) ( 2 ) 籼詈+ m 凼m p “砒舢。_ 一，d 2 - - - ) - o o , 于是 妒( 吐) = 声( d ：) = 0 ，同样可得： y ( f ，c ) = 6 r ( f ) 8 一f 2 。卜r ，出d f ( 3 3 8 ) c 。，若- n 詈+ p c s ，出= 。，即j “”“= a ，则矾一。，d 2 - ，0 , 于是 ( 吐) = ( d ：) = j 1 ，同样可得： y ( r ，c ) ：6 r ( ，一加 胁把肿灿( ，) 例，。 ( 3 3 9 ) 综合( 3 3 7 ) 一( 3 3 9 ) 式， 矿( c ) = j r p f i ，j 卜p 枷6 ( f ) 、m a x t 一，e ；。4 b ) d f = j r p f r r j 卜j ”西( r ) m a x ( c ( f ) ，b ) d r 。 ( 3 3 1 0 ) 显然，( 3 3 1 0 ) 同( 3 2 5 ) 及( 3 2 6 ) 。这从另一个角度说明传统精算中的定价方法 复旦大学硕士论文 可视为偏微分方程求解的特殊情况。 3 3 2 g e d v 方法： 以上采用的是偏微分方程的方法，通过巧妙的变量代换，求得了保单的价值， 无疑换元的步骤是较为复杂的。我们不妨从金融经济学的角度出发，即保单的现 金价值等于未来现金流的期望现值，其结果的得出将更为直观。 在传统精算学中，对以固定给付为主要特征的保险产品都是采用e d v 方法 进行定价的，即求未来现金流的期望现值。考虑到传统的寿险险种仅涉及剩余寿 命这一随机因素，因而只需关于随机死亡因子r ( x ) ( x 岁人的剩余寿命) 求期望。 我们不妨将这种方法应用于变额寿险保单的定价，即求未来死亡受益的期望现 值。不过，由于我们讨论的变额寿险保单涉及两个随机因素：剩余生命t ( x ) 及 投资帐户的资产值c ( t ) ，因而运用e d v 方法既要关于r ( x ) 求期望又要在风险中 性的概率测度下关于c ( t ) 求期望。 具体地，不考虑退保因素，v ( t ，c ) 是指x 岁投保的人在x + f 岁的保单价值， 即未来死亡受益的精算现值。 设r ( x ) 是x 岁投保人的剩余寿命，则t ( x ) l r ( x ) f 是一条件随机变量，据精 算数学知识( 参见【1 】) ，x 岁投保的人在x + f 岁活着而在x + f 岁死亡的条件概率 一i ( ) 出 密度为：e ； u ( r ) 。 由d c = r ( t ) c d t + o c d w ( 其中d w 在q 之下是标准w e i n e r 过程的微小增 量) ，据肺。s 引理， d l n c ：上犯一土上d c 2 + c2c 2 = 石1 ( ，( ，) c d t + o c d w ) - 击a 2 c 2 d t = ( r ( f ) 一a - - - 芋) d t + a d w ， 于是l n c ( r ) ：l n c ( f ) + p o ) d s 一譬( r 一，) + 仃妒( ，) 一( f ) ) 。从而随机变量 复旦大学硕士论文 1 n c ( f ) l c ( ，) 服从条件正态分布，其均值为l n c ( f ) + p ( s ) 西一手( r 一，) ，方差为 v ( t ，c ) = e q e m m 卜【未来死亡受益的现值 l c ( ，) ：e q e r “) ， m a ) 【( c 仃( x ) 眦一p 6 】| c ( f ) 】 “ ：e 。【_ 积( c ，。一jr ( s ) d s e - i u ( s ) d s 肿) d 枇) 】 彬t l m a x “，a r ( s ) d s e - i u ( s ) d s 肿，d | c ( ，) ：矿州训“如，弘志。一唑g 型撕 ：矿州啪肿，。赤f 唑芸型出 ，。 n c + f r c 一，。一；o l ( r - t ) 一x ) 2 + !“f 。一l - 焉丁出协 0 - 4 2 , - ( , - 一，) 一j 。 ：矿州啪肿，。考蒜r ( s ) d v 一唑芸型出 + 丽b i n ! b 。一唑掣州， = 弘一9 ，( + 州船c r ， c 。“曲“妒c d 一，+ a 。一c 以，) d r 。 lj 其中，d 。，d ：分另0 n ( 3 3 4 ) 及( 3 3 5 ) 式。显然用g e d v 方法得出的结果与用 复旦大学硕士论文 p d e 方法得出的结果( 3 3 6 ) 是完全一致的。 第四章非寿险保单的定价 第_ 章建立的统一金融数学模型不仅适用于变额寿险的保单定价，l i l ：i 样也适 用于一般的非寿险保单的定价。一般的非寿险险种必定要涉及两个随机因素：理 赔频率及每次理赔的额度大小。而保险公司每次实际支付的理赔额则取决于相应 的损失额度。在粘算实务小，是从统计的角度对损失的频率及每次损失的额度大 小分别作以预测而进行定价的。奉章则从另一角度出发，运用偏微分方程的方法 讨沧一般的寿险保单的定价问题，并对其某种特殊情形分别采用p d e 方法及 g e d v 办法求出了解析解。 具体地，木章是以超额损失保险为例米探讨相廊的保币定价问题，至十其它 的险种( 如比例保险) 几r 完全类似地处理。往方法上没有奉质的区别。所i 山超额 损失保险是指：因同一原因发牛的任何一次损失或因同一原因所导致的各次赔款 的总和，超过约定的自负额m 时，其超过部分由保险人负责至定额度m 。 4 1 模型的建立。 针对这种具体险种，第二部分建立的统一数学模犁具体如卜： 1 ) 丑( ，) 一t 时刻的理赔发生频率。设五( ，) 服从l o g f i o i m a l 分斫j ： d 2 = 0 2 ( t ) & i t + c r 2 五d 阡：，即0 2 ( t ，五) = 0 2 ( 0 2 ，盯2 ( ，五) = 仃! 五 c r 2 为常数，( f 晖表示已经过j x l 险响整) 。 2 ) c ( t ) 一，时刻标的资j “的损失额。同样设c ( t ) 服从l o g n o r m a l 分斫j ： d c = o l ( t ) c d t + 仃l c a w , ， 日| j 0 i ( ，c ) = 岛( ，) c ，仃l ( ，c ) = 盯i ( 1 ( 矾为常数，a w , + 表示已经过风险调整) 。 3 ) 设理赔频率五( ，) 与标的资产的损失额c ( t ) 不相火，即p = 0 。 4 ) 对丁非寿险保单红给定的保险期限内，理赔n ，多次发生从而，时刻 的风险净额n ( t ) 即为l 时刻的实际理赔额。i i i 千这卑规定有一个自负额 复旦大学硕士论文 聊，同时有一个理赔上限m 。于是：( ，) = m i n m a x ( c ( t ) 一所) ，o ，m 。 于是( 2 1 8 ) 式具体为如下的p d e ： 其中 f = r ： c o a c v + o ：旯等+ 圭水2 罟+ 寥牙罟刊矿州刎， ( ，) = m i n m a x ( c ( t ) 一m ) ，o l q ，0 ， 丁 v ( t ，c ，2 ；m ，m ) = 0 。( 4 1 1 ) 至此，对于我们假设的非寿险险种，( 4 1 1 ) 即为其p d e 模型，以下仍分别 采用p d e 方法及g e d v 方法求其保单的价值。 4 2p d e 方法在超额损失保单定价中的应用 w ( t ，c ，z ；f ) = m i n m a x ( c ( r ) 一m l o k 吖】矗，0 ， f ， ( 4 2 1 ) r 则 矿= 缈( ，c ，矗；r ) d f 为( 4 1 1 ) 之解。 于是只需求解p d e ( 4 2 1 ) ，先作如下变换： 其中当o ) ，磊( f ) ，乞( f ) ，叩( ，) 是为了消去方程( 4 2 1 ) 中与时间有关的系数，在 新的变量条件下，简单罗列如下关系： 詈= 【詈+ 詈膨瓢) + 罟知舯旨( ，) 一嚼( f ) 】p - 舶， 旧 盟西 ，、 龊 ：簧 乩 缈 m “ 新簪 l 矛 吲 吐 一争 艨 和 次 ，2蛴争 先 陟 d 呜 虬 缈一配 o f 栅 悱 接卣 耽舻怫 = = 唧茹蒜 啪 型阳 i f 鲨犯 复旦大学硕士论文 翌：一o w e 钟) e 吲_ - c a aa 旯 ) p 卣( ” 罂：婴拶分a 一= p e2 颤2 塑：堡 0 2 0 c0 2 0 c 这样( 4 2 1 ) 中的方程式变为： 等+ m ，+ 纠常等+ ( 乞+ 啪，) 万等+ i 1 仃f 雾+ 扣2 罟扪蝎v 肛。 取 p 2 p 出 f 驭，) = ! e ，( s ) d s - 1 _ 盯? ( r f ) l 拍，= 乒拉丢吲2 卜吐 h ，：扣 于是( 4 2 2 ) 变为： f竺=讯石丝+。2罟)叫20t o c( 万署+ 。2 警) = 。 | ” 把 “a 五 氟 【i ：o ； = m i n m a x ( c m lo i m 】万。 接下来将方程拓展到全空间，作如下代换 c = e 。“ 兄2e 。2 y 2 8 ( 4 2 2 ) ( 4 2 3 ) p 万一手a a i l 里俨a a 壅呈查兰堡主笙塞 ，a a 2 a 2 j 百2 可+ 两 l j ：o ；谚：m i n 【m a ) ( k ”t m ) ，o i m p 一：。 ( 4 2 4 ) 利用傅立叶变换，可得( 4 2 4 ) 的解是： 吼：，= 去王陋m 默”棚m 州吲趔咖 回复上述换元得： 砾，一，孙彘萨嗉姬。粤。警症d 万 记 a 加关了学挚职， e 无) 。葫坐刿p 彬( f ，c ，五；f ) = 2 肋l 口2 ( f 一，) e pd c d a( 4 25 ) 上：唑霎：= ! = 塑i 而：- 广一1 2 一一 e 2 井f 7 叫) e 盯乙d 万。 2 舾j 盯2 ( f 一，) p 驴专型e 9 d cd a ， ! 一广禁 ，n l卜 譬 “1 一 广扣互 肛丽 r，! “ 一卜一 一 一 ，扣两 ：量l 蓄 出 则 ( f ，c ，a ；f ) = 2 t c c r l 0 2 0 一，) p 复旦大学硕士论文 驴半口 w ( t ，c ，五；f ) = 啊( f ，c ，五；f ) 一( f ，c ，2 ；r ) 。 其中 暇( f ，c _ ；r ) = 嘉景而p j7 ( 5 冲 。 b m m ，( r - t ) - l n c 1 2 d cd 丸 f - n z + ? 如c ，出一；a ；t r 一，一t n j 2 2 卉( h ) d a d c f 犁一善一生2 0 ，( r - t ) 出 玎1 也 一 卜一 扣丙 陟面 ，忙l m 一 ，l一 灿 一o咖丽 喝 一p f 一 悯 一吒 ，一仃。型栅 复旦大学硕士论文 = 儿一( r ( s ) - 6 2 ( s ) ) d s f c 。5 b p ) 6 c d ，一，”妒c d 。， 其中如垒堕垒二兰n ， d 。l n c + f r i o l ( s ) 万d s - 1 r c r l 2 一( g - t ) , z ：以一盯。后。 同样地， c ，c ，五；r ，= 儿( ，喝“灿( 弘扣冲妒c 以，一+ 肘，c 巩， 其中如兰壶坐竺塑： 盯，、r f 以：i n c一旦+学ol(s)ds-al 2 ( r - t ) 砘1 历。 = 知一9 “订一岛n ) 灿 c 。b 扣) 4 c d ，一c d ，一啪c 以，一c d 。，+ 彤c d 。， 。 于是保单在，时刻的值 v ( t ，c ，五) = 少( ，c ，旯；f ) 打。 4 3g e d v 方法在超额损失保单定价中的应用 上节通过求解偏微分方程求得了保单的价值，本节将从金融经济学中期望贴 现值的角度出发，即保单的现金价值就等于未来现金流的期望现值，重新考虑其 定价问题。如果将“期望值”的概念拓展到“风险中性”的概率测度下来考虑的 话，这种方法是完全适用于本章已建立的模型的。考虑到此类非寿险险种涉及两 复旦大学硕士论文 个波动因素：理赔频率及每次理赔的额度，因而必须在风险中性的概率测度下， 关于二维随机变量求期望。 由本章的假设，理赔额c ( f ) 及理赔频率a ( ，) 分别满足下式： d c = 0 l ( t ) c d t + 盯c a w , ， d = 0 2 ( t ) 2 d t + a ：a d w ：。 据3 3 2 节，随机变量l n c ( f ) 1 c ( f ) 服从条件正态分布，均值为1 n c ( r ) + p 。o ) d s 一譬( r f ) ，方差为吼2 ( f f ) 。同样地，随机变量1 n 旯( f ) l 旯( ，) 也服从条件正态分 布，其均值l n a ( t ) + r 伫( s ) 出一譬( r 一，) ，方差为0 2 2 ( r f ) 。 从而二维随机变量( 1 n c ( f ) ，l n 2 ( r ) ) l ( c ( t ) ，a ( f ) ) 服从相关系数为零的二元正态分 布，即( 1 n c ( r ) ，l n z ( o l ( c q ) ， ( f ) ) 一 i n c ( t ) + 弘凼一孚卜吐m + 蜘出一譬卜吐啪r 一，翮r 一，) 由期望贴现的思想，在时间段( f ，r + d r ) ( f f t ) 内发生的理赔的期望现值 为： w ( t ，c ，2 ；r ) d r = e 。【在( r ，f + d f ) 内发生的理赔的贴现值i ( c ( ，) ，丑( f ) ) = e 。 m i n m a x ( c ( r ) 一m ，o ) l m a ( r ) d v e ：r ( s ) d v i ( c ( f ) ，五( f ) ) 】 一l ：e 。帅【m