（应用数学专业论文）最优停时与美式期权定价.pdf

摘要期权是二十世纪7 0 年代中期首先在美国出现的一种金融创新工具，2 0 多年来它作为一种防范风险和投机的有效手段而得到迅猛发展按照交易时间的不同，期权有欧式期权和美式期权之分由于美式期权可在其有效期内任何营业日进行交易，因此，它比欧式期权应用得更为普遍，国际金融衍生市场交易的大多数期权都是美式期权，尤以股票期权市场最为突出然而，美式期权提前执行的可能性，促使其收益不仅取决于到期日的基础资产价格，而且具备路径依赖特征，所以对其定价，确定最佳实施期就显得复杂，这也是投资者最关心的问题本文考虑了美式看涨期权的最优停时问题，即美式期权的最佳实施期问题在离散模型下，美式看涨期权的最优停时为；在连续模型下，美式看涨期权的最优停时为其最后时刻，对永久美式看涨期权来说最优停时不存在；在股票价格带p d 砖d 刀跳的连续时间模型rr2 下，永久美式看涨期权的最优停时为f + = i n f ，o ：彤= x + 一lr 一一舾( u ) l f ，【l么jj。r ，| v 、。 +期权的初始价值为c 埠= e n xln ( 1 + ) p 一七1 l l 刀= 1j关键词美式看涨期权最优停时最佳实施期鞅a b s t r ac to p t i o n sa u r eak i n do ff i n a n c i a l i n n o v a t i v ei n s t n l i l l e n tw t l i c hc 锄ei n t ob e m gmt h em i d 19 7 0 si na m e r i c a a sab e t t e rm e a n sf o rp r e v e n tf i n a n c i a lr i s k s ，t h e yh a v ed e v e l o p e dq u i c k l yi nt h ep a s t 帆od e c a d e sa 1 1 dm o r e a c c o r d i n gt ot r a l l s a c t l o nt l m e ，o p t l o n sc a j lb ed i v i d e di i l t ot w os e c t i o n s ；a m e r i c 姐o p t i o n sa n de u r o p e a i io p t l o l l s a m e n c a l lo p t l o n sg i v et l l eh o l d e rt h er i 曲tt oe x e r c i s e 也eo p t i o na to rb e f o r cm ee x p l 巧d a t e ，s oa m e n c 锄o p t i o n sa r ec o 瑚m o n l yu s e d i nt h ei n t e m a t i o n a lf i n a n c i a lm a r k e t ，a m e n c a no p t l o n st r a n s a c t i o n sa r em o r ed y n 锄i c ，e s p e c i a l l yi nm em a r k e to fs t o c ko p t i o n s t h eh o l d e rc a i le x e r c i s et h eo p t i o np r i o rt oe x p i r y ，s ot h ep a y o 行o fa m e r l i c a no p t i o n sl sg o v e m e dn o to n l yt h ep r i c eo fu n d e r l y i n ga s s e t sa tm a t u r i t yb u tt h ep r i c ep a m t h i sc h a r a c t e n s t i co fa m e r i c a j lo p t i o n sr e n d e r ss o l u t i o n st ov a l u et h e ma 1 1 dd e t e m l l n eo p t l m a le x e r c l s em o m e n ts o m e w h a td i m c u l t w h a ti n v e s t o r sa r ec o n c e r n e da b o u tm o s ta r et h e s ep r o b l e m s i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h eo p t i m a ls t o p p i n gp r o b l e ma n dp r i c i n go fa m e r i c a nc a l lo p t i o n s o p t i m a ls t o p p i n go fs t a n d a r da m e r i c a l lo p t i o n si s i nt h em o d e lo fd i s c r e t et i m e ：o p t i m a ls t o p p i n go fs t a n d a r da m e r i c a l lo p t i o n si sm a t u r i t yi nt h em o d e lo fc o n t i n u o u st i m e ，a n do p t i m a ls t o p p i n go fp e 叩e t u a la m e r i c a nc a l lo p t i o n sd o e s n te x l s t w ea l s od i s c u s st h eo p t i m a ls t o p p i n gp r o b l e mo fp e 坤e t u a la m e r i c a l lc a l lo p t l o n sw h e ns t o c kp r i c e sf o l l o wai u m p - d i f j h s i o np r o c e s s ，t l l eo p n m a ls t o p p m gl sf = ；n f r 。：口= x 一 ，一兰手一允e c u ， f )i s c = p n x ( 亟c t + u 胛，) 口x 一七 +t 1 1 ei 1 1 i t i a lv a l u ek e yw o r d s ：a m e r i c a l lc a l lo p t i o n s ，o p t i m a ls t o p p i n g ，o p t i m a le x e r c i s em o m e 鸭m a r t i n g a l e华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。作者签名：同芬学位论文版权使用授权书目期：? o 铴降s 月f 日本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。作者签名：罔务日期：o 叼年芏月偈目导师签名：俩协日期讪静，月日本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程”中的规定享受相关权益。回重途塞坦变厦澄厦! 旦坐生；旦二生；旦三生蕉查!作者签名：同务日期：声口o ? 年1 月，孑日导师签名：白协日期：啡厂月沙日硕士学位论文m a s t e r st h e s i s第一章绪论1 1 期权的定价理论和研究现状现代金融衍生证券诞生于上世纪七十年代，伴随着金融衍生证券市场的蓬勃发展给现代金融学提出了非常复杂的数学问题研究衍生证券主要解决的是衍生证券的定价问题及证券投资决策问题在所有衍生证券中，期权的研究最为广泛，这是因为与其他衍生证券相比期权易于定价，并且其他衍生证券可表示为若干期权合约的组合形式期权诞生三十多年来，作为防范风险和投机的有效手段它得到了迅猛的发展期权赋予其购买者在预先约定的时间或以前的某个时刻以预先敲定的价格买入或卖出某项标的资产的权利，为获得这种权利就必须支付给期权出售者费用( 期权价格) ，反应出买卖双方对某一权利做出的价值判断但期权的价格很难从市场直接反应，因此期权定价一直是金融数学的一个重要课题2 0 世纪6 0 年代末，在无套利机会、没有交易费用等一系列理想假设下，b 肠缸和办d 胁得到了描述期权价值变化的随机微分方程，即所谓的占一s 方程经过一定的数学运算后，曰肠以和向d 彪s 得出了标的资产为不付红利股票的欧式看涨期权定价的解析表达式，这就是经典的b s 模型脓，f d ”【1 】是第一个考虑股价非连续变化场合下期权定价问题的学者1 9 7 6 年，他假设股价服从跳跃一扩散过程，在此假设下，他导出了形式十分复杂的欧式买权定价公式，它是无穷个b s 期权定价公式的加权平均在另一方面，g 甜等人在1 9 7 9 年提出股价变化服从对数泊松分布的假设，从而得到了所谓的“跳跃过程”期权定价模型，这是一个离散的买权定价模型近几年，彳砌( 1 9 9 2 ) ，砌耙s ( 1 9 9 1 ) ，陈超和邹捷中( 1 9 9 9 ) 等许多学者进一步推广了这方面的工作、跳跃扩散模型已成为当前研究期权定价的热点之一按照交易时间的不同，期权有欧式期权和美式期权之分由于美式期权可在其有效期内的任何营业日进行交易，因此相对于欧式期权其应用更为广泛国际金融衍生证券市场交易的期权大多是美式期权，尤其以股票期权市场最为突出然而美式期权可提前执行的这一特性，使得其收益不仅取决于到期日的基础资产价格，而且具备路径依赖特征，所以对其确定最佳实施期以及定价就相对比较复杂，这也是期权投资者比较关心的问题从理论上讲，美式期权的定价问题没有解析解，只能使用解析近似解方法或数值解方法进行求解在解析近似解方法的研究中，比较著名的有由坳c m f 最早提出，并由肋加，l p 一4 如s f & 砌口彪y 在文献【2 】中提出扩展的二次方程近似法c 甜、r d 船、r “6 泐胞加( 1 9 7 9 ) 年利用二叉树模型法求解美式期权定价乃厅瑚d 疗( 1 9 8 3 ) ，所d d 硪e 以及d p 纪叩比( 1 9 9 6 ) 采用插值法对美式期权进行定价1 9 6 5 年，放屁口玎最先研究了美式期权提前执行性质和最优停止问题之间的关系因为在那时无套利定价方法还没有被应用，所以他是在现实概率之下，而非鞅概率之下进行研究的心砌行在无套利定价理论的框架下，研究了美式期权的基本性质在1 9 7 9 年和1 9 8 1 年，协玎妇d 刀分别和脚、尸z 括勋合作，写了两篇对期权定价理论发展有巨大影响的论文在论文中，作者建立了经济学中的无套利、完全市场等概念和鞅分析理论中的等价鞅测度、鞅表示定理之间的联系，即市场不存在套利机会的充分必要条件是存在一个等价鞅测度这一成果为鞅分析理论在期权定价理论的应用开辟了道路，同时也为期权定价理论的进一步发展提供了强有力的工具文献【3 解决了资产价格过程遵循连续半鞅时均值一方差方法下套期保值策略问题最优停时理论是概率论中一个具有很强应用背景的领域心砌刀和尸，函切在文献【5 】【6 】中运用最优停时理论研究了具有固定交易费用的证券投资问题，给出了具有二个风险证券的投资决策问题的一种简化算法1 9 8 4 年b p 刀s d 螂s 口刀【7 】声称在完全市场条件下美式未定权益定价是可能的，并且利用最优停时问题可以刻画它的执行时间。膨晚f 抛z 和日r 三p 彤加在文献【8 】【9 】中对金融数学有关的最优停时问题提出了鞅方法，这一方法对求解最优停时问题非常有效，金治明在文献【1 0 】 1 1 】中对最优停时理论与应用做了比较系统的介绍，为进一步的研究奠定了理论基础1 2 本文的主要工作和结构本文的主要内容如下：第一章主要介绍了美式期权的定价理论和研究现状第二章在离散模型下美式期权的价值函数为u ( x ) = 0 一后) + 时，利用鞅理论和最优停时理论，得到美式看涨期权的最佳实施期为更一般地，当u ( x ) 为连续的凸函数，u ( o ) = o ，且对任意的x 当( x ) o 时满足u ( ( 1 + ，) x ) ( 1 + ，) u ( x ) ，则最优停时都为第三章利用鞅方法及最优停时理论得到美式看涨期权的最优停时为其最后时刻，对永久美式看涨期权来说最优停时不存在，即提前执行该美式期权不是最优的第四章利用鞅方法讨论标的资产价格服从带跳过程模型下永久美式看涨期权的最优停时和定价问题，得到带m 沁d ，2 跳的价格过程是鞅的充要条件是= ，一俎( 阢) ，在这个条件下得到期权的最佳实施期为f厂2 1f = i 1 1 f r o ：粥= x 一l ，一一舾( 坼) ， ，期权的初始价值为lizjj2c = p n 工+ ( 鱼c ，+ 己厶， p 工一七 + 3第二章离散时间模型2 1 基本定义及引理市场模型描述如下：( 1 ) 股票交易时间是离散的，且无卖空限制，没有交易费用或税收，不支付红利；( 2 ) 市场由无风险债券和风险证券股票构成；( 3 ) 无风险利率为常数；( 4 ) 期权为股票的美式看涨期权，其执行价格为七，记当前时刻为阼，期权到期日为，股票当前价格为s 玎，到期日的价格为s 设( q ，f ，尸) 是一个完备的概率空间， e ，o 门) 为f 的单调递增的子仃一代数列假设无风险债券的价格b 聆满足= ( 1 + ，| ) b ，一1 ，= 1 ，为无风险利率风险证券股票的价格过程晶满足：岛= ( 1 + 岛) 晶一1 ，= x o ，o 珂其中，户= ( 成) 是一个独立同分布的随机序列，并假设它只取两个值口、6 ，且一1 口 ， 6 投资组合九= ( 嘏，以) ，策略过程矽= ( 九) 是可料过程投资组合的价值圪( 嘞= 簖吃+ 旌晶定义2 1 美式看涨期权是一张在规定到期日之前以敲定的价格向期权出售方购买一定数量和质量的标的资产的合约定义2 2 称瓦2 毒2 百斋o 刀为品的折现价格过程定义2 3设美式未定权益是一个非负适应过程厂= ( 厶) o 如，称投资策略驴为未定权益厂= ( 厶) 的复制策略，若( ) 厶，o 狞尸一口s 定义2 4 称投资策略是自融资的，若满足嘏+ 以岛= 墨l 巩+ 旌+ 1 ，o 刀定义2 5 称随机序列( 以，) o ”是：( 1 ) 鞅：若对一切以，可积，且有e ( 以+ l 厶) = 磊。( 2 ) 上鞅：若对一切玎，k 可积，且有e ( x h + l r ) 以；( 3 ) 下鞅：若对一切疗，可积，且有e ( + l 吒) 以定义2 6 如果将比添加到鞅( 上鞅、下鞅) 序列的最后) ，o 刀，4若对任意的刀，e ( l 晶) = 以然是一个鞅，则称阢) 是右闭鞅。定义2 7 称概率测度q 是p 在( q ，f ，d 上的等价鞅测度，如果q p ，器产( q ，f ，p ) 且折现价格过程，。聆在q 下是鞅定义2 8 记万= o ，1 ，2 ) u + ) ，称取值于万中的随机变量f 是停时，若对任何玎丽有如：f = 以) 吒定义2 9 设为定义在( q ，f ，p ) 上的收益函数，设c 为使e ( e ) ，令x s u p ， f 力) ，约定i 斌) ：，0 1 臼则每个乙都是停时，停止过程( 一) 为鞅，且对任意的门，如= e ( 吃磊) = 伽s u p e ( 珐晶) ：盯叫) 特别的，e 乓在r 的最大值在死处达到，即e y 月= e 强= s u p e 弓：仃“) 证明：显然( ) 为控制( ) 的上鞅如果( 乙) 为另一个控制( ) 的上鞅，则乙匕由倒退归纳法易证乙易知每个瓦是停时，对朋一1 有y ：l l y 勿= 所+ 1 】( y 胍+ 1 一y 埘)而在【乙坍+ 1 上， ，故= e ( + 1 ) 于是，e ( 7 飘l y ) = 1 m + l 】e ( ( 7 m + l e y 小+ l 吒) ) = o因此，对每个门，联一) 为鞅则= y 予= e ( 毋厄) = e ( r )对任意的盯r ，有e q 叮| f 0 e b 口| f 0 y n因为乙r ，故= e ( 吃尼) = 伽s u p e ( 坛兄) ：盯碟)所以e y 玎= e 厂乙= s u p e 坛：仃叫 注：引理2 3 表明，对时间有限的随机序列，最优停时一定存在引理2 4 美式期权的定价为c = s u pe 幸以f 再) ，即为b f 二，吒l 最优停o f 时问题的值证明：因为有限，由引理2 2 ，对任意的有界停时f ，) = e + 【口f 匕( 矽) 】，其中倪= ( 1 + 广) ，矿是等价鞅测度，下的期望设是一个( x ，瓜) 保值策略，即6( 矽) = x ，且对任意的刀，有( 扔厶故x s u p ， r 厶) 若存在最小复制策略，也即存在停时盯，使得对一切国q ，( 矽) = 厶，那么x = ( 勿= f k 盯( 扔】= 矿陋_ 】，因此x = s u p 矿 f 厶) 于是美式期权的定价磊嘛) = x = s u p 矿 f 厂f ) = e 陋盯厂仃】归结为最优停时问题弓i 理2 5若( s 一七) + = o ，口e ，贝i j ( s ，一宓) + = o 口p ，彳【o ，一1 】2 2 主要结果美式看涨期权的价值函数为u ( x ) = ( x 一七) + ，利用鞅理论和最优停时理论给出其最佳实施期定理2 1 离散美式看涨期权的最优停时为矾m = 祥，= 错胚畦= 殇ve + 1 ) ，刀一l ，( 1 ) 当( s 一l 一七) + = o 时，因为 o ，故7 一l = 矿厢一1 ) y 一l = o ( 2 ) 当( s 一l 一后) + o 时，m = 甓等们轧)= 锗河 一声一- = 鲁v 南峙叶矿霓r 鲁+ 垆七r 暑)又因为南k 1 ( 1 + 口) 一七r 暑+ 陬“h r 暑)7赤【( 1 州m “r 而和r 七) + ，故7 一，= 等等爷ve 气腿r 。) _ e 气聃鼢。) 鞴。而聃一2 = 等等等ve 4 ( 聃。f 之)= 案葶v 彬( 州啪慨- 2 】，蚶( 胁雠1 ) 舢= 篙# ，故e 宰【e 奉( 聃厢一1 ) f 一2 】 e 4 ( 埔一l 目一2 )、= 南陋2 h r 暑椭“m r 暑矗矗降肛2 ”r ) - 纠+ 嘞- 2 亿d当( s 一2 一七) + ：o 时，因为y _ l o ，所以y 一2 = e + ( 触一l 风之) 珞- 22o 当( s 一2 一是) + o 时，由( 2 1 ) 知7 ，一2 一2 同理可证，当刀= o ，1 ，2 ，一3 时，如 所以f = i n f 0 刀， = 定理2 2 美式看涨期权的最佳实施期为证明：由引理2 4 知，美式期权的最佳实施期就是解。霎，心f 力) 所得的最优停时在，下，e + 南产一， = 南e m 风h 川= 志 ( 1 + 口) 暑+ ( 1 + 6 ) 暑卜( 1 + r 尸l 、6 一口沪口j8：皇丝= !( 1 + ，广_ 1碱， 南l 燃叔邮哩2 蜘尸确新獭渡删 器l l ( 1 + ，) 刀j o 【( 1 + ，) 竹jo ，l s 舢轨腼 筹l 蝴，下轨龋陋2 硼澍储m ，e 幸! 巡e 幸蝉( 1 + ，) f( 1 + ，) 。可知，e 幸蝉：s u pe + 螋( 1 + ，) 。o f ( 1 + r ) 从而可知美式看涨期权的最佳实施期为，此时美式期权为一在时刻执行的欧式看涨期权定理2 3若u ( s ) = 0 ，( 1 + ，) x 】( 1 + ，) u ( 曲，则【，( s 门) = o ，其中以= 一1 ，一2 ，o 证明：由比以s e 疗不等式e 器产j 南u 仁易) )3 矗尹u ( ( 1 + ，b )高叭跗，所以 嚣劳j 为下鞅当以曲) - o 时，从而叭既) = o 定理2 4 设u ( x ) 为连续的凸函数，u ( o ) = o ，若对任意的x 当u ( x ) o 时满足u ( ( 1 + 厂) x ) ( 1 + ，) u ( x ) ，则最优停时为砜在定理条骶醌觏+ l 器，则护器事实上，9稍让矿 等铲 石品k 木u ( 1 刊) + g 幸u 慨( 1 + 6 ) ) 】 一i pu 1 6 h i l 十口 十印u i ) h i 十口，i( 1 + ，r ”“11志u 慨( 1 + r ) )一( 1 + ，r 1 叫1 八瓦专u 慨) ，“+ ，r一“眦只要证- l 器由e f y r r1 1 ：e + r u ( s 1 ( 1 + p ) ) ( 1 + ，) 一j 一1 】一旦! 坚! 兰型二! 坚! 塑垡竺! 兰拦= ! ! ! 垒塑= = - = - 一( 1 + ，) j 7 vi f ；七5 可u ( s 一( 1 + ，) ) ( ，j r ii + ，i ( 1 + ，) 州。 篙簪( 1 + ，) “1从而，在趣躲件下，m 群张，最优停时硝哦呦州，器训洲推论2 1 美式看涨期权的定价为：西( a ) = 薹南b p 、岬瑚t 训。& ) 】证明：g = x = s u pf ( 口z )o 蒯= 矿逝坳精掣= 兰南b p 弋肛蜘+ 6 ) 心口) 一s 。) 】l o( 1 ) u ( x ) = 一七) + 一如一ho 七l 1( 价值函数满足齐次性) 第三章连续时间模型3 1 基本的定义引理连续市场模型描述如下：( 1 ) 股票交易是连续进行的，且无卖空限制，没有交易费用或税收，不支付红利；( 2 ) 无风险利率为常数；( 3 ) 期权为股票的美式看涨期权，其执行价格为七，记当前时刻为f ，期权到期时刻为丁，股票当前价为s ，丁时刻价格为s 丁假设无风险债券的价格岛满足：慨= 啦衍，玩= 1 ，r 为常数，股票的价格过程s f 满足：搬f = s f 出+ a s f d f( 3 1 )其中( 磁) ，o 为完备概率空间( q ，f ，尸) 上的标准布朗运动，仃为股票价格波动率，“为股票价格的预期收益率定义3 1在完备概率空间( q ，f ，p ) ， 毋 f o 为f 的单调递增的子仃代数列称适应的可积随机序列，磊 f o 是鞅，若对o s f 有e c ) = 墨，口s 定义3 2 非负广义随机函数f ( f ：q 一【o ，】) 称为僻) f o 的停时，若果对一切的f o ， f f ) 是毋可测的，且尸p s 有一( 0 ，f s )( 3 ) 增量独立：一- i ，一。一一一2 ，2 一。与都是相互独立的( o h 2 厂( 国) ，那么投资者不会实施期权而继续投资，这样会得到更大的收益y 咚( 妨定义3 8 永久美式期权是一张没有到期日或者到期日不确定，在生效后任何时间都可以实施的美式期权引理3 1 ( g 泌绷o v 定理) 【1 4 】设随机过程( 岛，历) f r 满足p ( 矗护孑幽 o ；否则为o 注：g 以口玎d v 定理实际上给出了一个布朗运动满足一定条件的平移，在一个与原测度等价的测度下仍是布朗运动引理3 2设( ，忍) f r + 为尸一肋w 加运动，对任意的口尺令口初遇时f 口= i n f ，o ：= 口) = i i 呱f 0 ：口) ，则p ( 吃 ) = 1 ，这表明对任意的口尺，跏w 砌玎运动将以概率1 通过它，进一步对任意的口，尺，龟，p = i 叫f o ：= 耐+ 所，也有尸p 口，夕 ) = 1 证明：先求吃的分布，令m f = s u p ，则f ( r ) = 尸( _ f a f ) = p ( m f 口)= 2 p ( 口) = 去f p 吖2 2 出于是p p 口 o o ) = l i mf ( f ) ：l l i m 了学p 吖2 2 ，出：1 f 一f 寸z 瓜。作等价测度等= z 髻，z 夕= e 毗懈则吖= 一耐是q 一肌w f 口珂运动，龟，p = f 三= i n 印o ：矿= ) ，所以尸( r 口， ) = q ( f 二 o ，p 一口s 且昭f ( 国) = 1 ，因此由引理3 1卯奉( 缈) = z f ( 国) 护( 国)定义了( q ，竹) 上的概率测度令孵：岛+ 坚f ，则它对等价概率测度，为标准布朗运动由( 3 1 ) 得d t = r e 一一s td f + e nd st= 薯( ( “一，) 出+ 以8 f )= t d d wt则墨：岛e x p ( 仃一车f ) ，即 岛) 对，是鞅3 2 主要结果由引理3 3 股票的价格过程满足s ：e x p ( 奶+ ( ，一车) f ) 美式看涨期权的价值函数为u ( x f ) = ( x r 一七) + ，考虑期权持有者何时实施期权获得利润最大，即问题转化为找到最优停时f 幸使得，( 0 ) ：s u p 矿旷f 辑一矿】：矿 ，q p + 】，其中z是关于等价鞅测度下的期望定理3 1 ( 1 ) 美式看涨期权的最优停时为丁( 2 ) 永久美式看涨期权的最优停时广不存在，令五= 奶+ ( ，一手) f ，乃= 吾l 。g ( 去) ，。 占 o 为常数) ，有p 一，f u 僻) p 一，丁u 幡)从而r + ：r 是最优停时即在【o ，r 期间的美式看涨期权中，最佳实施期就是其最后时刻( 2 ) 股票的价格过程满足s ：e x p + p 一兰；m ，则口一u 僻) = p 一e r e 一，u )令m f ：p _ ，f p ，为使鸠为鞅，需满足一吾y 2 仃2 = y o 一等) 一，这样得到关于y的二次方程，解之得 h舻专从而，由g 拈口刀。v 定理，膨f = e x p 孵一圭y 2 仃2 f ) 为鞅令m 。= 1 ，令m ) 叫芦( 驴以) ，艇( 1 0 9 去声)令厂( x ) ：o ，得到x ：l o g + l o g j ，则厂( x ) 在x 处达到最大值j 0y l( 气 ) p 1 y 吖醋，记为c 从而对所有的o f ，有p 州叭母) = e 一矾s ) 必，m从而对所有的停时f ，由加d 6 停时定理，有一u ( s ) ， f c 事对停时f 有_ 厂f + u ( s r ) l f ，c e ( m ；， 1 而n = 1 ，y 2 = 一暑，此时厂( x ) o ，因此厂( x ) 在区间( 1 0 9 去声) 内单调仃。一u递增，因而无最大值，从而不存在最优停时而对于非随机时间疋，有坝妒禺彳p 叽一拉勋以 += e ( p 硼一三仃2 乙一妇一r 乃 t p 硼k 一；盯2 七p 一，、1= i e p 硼t 一三仃2 疋一勋一，巧 一- e p 硼乞 盯2 瓦一妇一，乃 1 口棚k 一三盯2 一1 ( 否则会出现负的价格) ，且( ) f o ，( f ) f o 和u 是相互独立的方程( 4 1 ) 的解为：一2s ： 箭( 1 十一+ 川 = 1其中，是独立同分布的随机变量，为f 即时刻股票价格的相对跳跃高度，并且在任何两次跳跃之间都满足b 肠c 尼一办d 协模型，f 1 ，f 2 ，f ”，遵循助船d 刀过程定义4 1具有参数见的p d 泌d 以过程是一族定义在( q ，f ，p ) 上，状态空间为= o ，1 ，2 ，) 随机变量 也，r o ，佃) ，且满足下列三条性质：( 1 ) x 0 = 0w p 1( 2 ) 对于任意的o f l f 2 锄，增量所刀一以n l ，一l 一一2 ，z f 2 一x f l ，x f l 相互独立( 3 ) 对于o s f 是相互独立的4 2 主要的结果定理4 1设e ( f u l l ) ，那么带跳的价格过程 墨) 是鞅的充要条件是证明：由引理4 2 股票价格相对跳跃高度是独立于e 的，又e ( i u l i ) ，于e c 墨厂e ，= 墨e p 一，一譬( f s ) + 盯( 职一) ，童曼+ u j ，么= 墨可p 一，一譬( f s ) + 盯( 形一眈磬- + u 机+ ，么由于一和f m 独立于仃一代数e ，根据公式e f ，南( 1 + ) ：口a ( e ( “) _ 1 ) 得 = l一，e 西协沙枇叫 塞曼州l = 虬+ l= 墨2 一一( f d g 狮一s ) 顾叽)1 8硕士学位论文m a s t e r st h e s i s= 奠p 【一，+ 旭( u 1 ) 】( f s )若 s ) 是鞅，则必须满足一厂+ 旭( u ) = 0 ，从而= ，一舾( u 1 ) ，定理得证考虑期权持有者何时实施期权获得利润最大必b e f 6 p 硐阳日尺上e 砌p 在文献 8 】【9 中对金融数学有关的最优停时问题提出了鞅方法，这个方法对求解最优停时问题非常有效设置= 叫+ ( ，一舾( ) 一譬y ，丁，美式永久期权未定权益为( 以) ，不妨设概率测度p 就是等价鞅测度，解美式期权问题就是寻找一个最优停时r 丰，使得矿= s u p e ( p 一，f 厂( t ) ) ， ) 】= e 事【p 一，f ( x r ) ，扛 。o ) 】f 2 u此时y 就是美式期权的定价，f 4 就是最佳实施期，然而眵tf 堪狲过峨= e 一娜t 一吖噼抖国诚引入等价鞅测度q ，使得球_ 厂f 厂( 鼍) 汲删= 吻啦门域删】为此必须p 一成：p 棚一圭厅2 f从而，一y ( 2 ，一舾( 坼) 一譬) ：昙y 2 口2这样得到关于，的二次方根，它的两个根是y - = 一三一= = 一墨学+y l2 一二气，l 上+。一，一九e ( 【厂1 ) 一仃2 ，2舱2 一二 上一仃显然抱 o ，1 o ) 令c + = s u p p 一厂( x ) j r如果最大值在某x 牛处取得，则最优停时便是满足p 仃事 呦：1 的停时1 9r = i i 以，o ：五= x ) 而c 。就是最优停时问题的值，即相应的芙式者7 张别秋嗣定价定理4 2 在价格过程带p d 泌d 刀跳的模型中，永久美式看涨期权厂c 五，= 鱼c + ， p 置一尼) + 的最佳实施期为f + = i n f ，。：仃= x 一 ，一! 手一允e c u ， ， ，期权的初始价值为c 幸= p n 工+ 鱼c t + u _ ， p x + _ 七 +其中x ：l n j 一釜1 n ( 1 + ) 证明：c x ，= ( c 磐，+ u 矗，p x r 一后 +k 九= l= $ 1 + u _ ) p 置一七，n t五l n 七一l n ( 1 + u - ) ；n = ln t墨 l n 七一釜l n ( 1 + ) ，则需满足y 1 ，所以必须取y = 所此时最优停时f + ：i n “f 0 ：x ：x + ，注意到在带跳的模型中，在等价鞅测度下五= 粥+ ( ，一舾c ，一譬 r ，所以f = ；n f i 。：。形= x 一 ，一兰手一力e c ， ，_ 由引理3 2p p 搴 0 的情况，即要求股票在初始跳跃时刻q 的相对跳跃高度的均值大于零，其他情况有待进一步研究2 1硕士学位论文m a s t e r st h e s l s第五章结论目前对衍生证券定价理论和方法的研究越来越重要，许多待研究的课题摆在研究者的面前。下面我们从本文的主要工作和创新之处以及本文工作的进一步研究方向来结束本文。本文首先阐述了期权定价理论的历史背景和研究现状。其次，本文介绍了期权定价理论的一些相关的基本概念，包括：自融资策略、鞅、停时等等，最后运用鞅方法及最优停时理论得到美式看涨期权的最优停时为其最后时刻，对永久美式看涨期权来说最优停时不存在。并且在连续模型下讨论了标的资产价格服从尸d 括s d 以跳过程时永久美式看涨期权的最优停时，给出了定价公式，这是本论文主要创新之处。但本文还中还有些问题需要进一步研究：( 1 ) 只给出了美式看涨期权的最优停时为最后时刻，对美式看跌期权及其他新型期权的最优停时需要进一步研究。( 2 ) 连续模型采用鞅方法，此方法的理论体系己经逐步得到了阐述和完善，但许多情况下对条件的要求过高或比较特殊，更一般的情况还需进一步研究。硕士学位论文m a s t e r st h e s i s参考文献【1 】m e r t o n ，r c ，o p t i o np r i c i n gw h e nu n d e r l y i n gs t o c kr e t u m sa r ed i s c o n t i n u o u s j 】，j o 啪a lo ff i n a n c i a le c o n o m i c s 19 7 6 、厂ol3 ：12 5 14 4 【2 约翰赫尔，张陶伟译期权，期货和其它衍生产品华夏出版社，2 0 0 0 ：1 5 7 3 】g o 证e r o u xc ，l a u r e n t 皿p h 锄h m e a i l v a r i a l l c eh e d g i n ga 1 1 dn 呦e r a i r e 【刃m a t h e m a t i c a lf i n a n c e ，l9 9 8 ，8 ：17 9 - 2 0 0 4 】r h e i n l a l l d e rt ，s c h w e i t z e rm r p r o j e c t i o no nas p a c eo fs t o c h a s t i ci n t e g r a l s 四a 皿a l so f p r o b a b i l i t y ，1 9 9 7 ，2 5 ：1 8 1 0 - 1 8 3 1 【5 】m o n o na ，p l i s k as o p t i m a lp o n f o l i om a n a g e m e n tw i t hf i x e dt r a n s a c t i o nc o s t s【j m a mf i n a j l c e ，19 9 5 ，5 ( 4 ) ：3 3 7 3 5 6 【6 】p l i s k asr ，s e l b ymj 0 naf k eb o u n d a r yp r o b l e mt h a t a r i s e s i np o n 白l i om a n a g e m e n t h o w i s o nsd e t a l e d s m a m e m a t i c a lm o d e l si nf i n a n c e c 】l o n d o n ：c h a p m a n & h a l l ，1 9 9 5 ：1 0 5 1 1 1 7 b e n s o u s s a na o nt h et h e o r yo fo p t i o np r i c i n g 【j a c t aa p p l i c a n tm a t h e m a t i c a l ，19 8 4 ，2 ：1 3 9 1 5 8 8 】b e i b e lm ，c r 邑c h ehr an e wl o o ka to p t i m a ls t o p p i n gp r o b l e m sr e l a t e dt om a t h e m a t i c a lf i n a i l c e s t a t i s t i cs i n i c a ，7 ( 19 9 7 ) ：9 3 10 8f 9 】b e i b e lm ，c r e c h ehr 0 p t i m a ls t o p p i n go fr e g u l a rd i 妇m s i o n su n d e r 砌d o md i s c o u n t i n g t p