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曲阜师范大学硕士学位论文 常利率下古典风险模型的一些极值联合分布 摘要 在现实复杂的经济环境中，古典风险模型并不能很好的描述保险公司的运转，所以一 直以来大家都致力于古典风险模型的推广，以使其更能刻画现实中保险公司的业务运行 通常保险公司将资产余额进行某种投资，并且在该种投资中保险公司可以从资产余额中 获取利息 本文我们将研究古典风险模型的一个推广，即常利率下古典风险模型，并以此来刻画 这种投资行为研究常利率下古典风险模型的文章有很多，如l iz h i g a n g ( 2 0 0 4 ) 给出了 常利率条件下的首中点分布，此外殷利平( 2 0 0 6 ) 给出了破产前极大值的分布和首次恢复 时前最大赤字的分布以及破产前瞬间盈余、破产赤字与破产前首次击中。的时刻的三者 联合分布和破产前瞬间盈余、破产赤字、破产前极大值与首次恢复时前最大赤字的联合分 布本文就将在这些结论的基础之上主要利用常利率古典风险模型的强马氏性来研究此 模型下的几个重要的联合分布，这些量包括破产前极小值，破产前极大值，破产前瞬间盈 余，破产赤字，首次恢复时前最大赤字，首次破产时与末离时间的最大值，首次破产时与 末离时的间隔，末离时前最大值与最小值 本文共分三节： 在第一节中，介绍了常利率古典风险模型以及本文将要用到的一些量 在第二节中，以引理的形式给出了本文将要用的一些基础知识和结论共有7 个引 理 在第三节中，给出了破产前极小值 的分布，破产前极大值和t b t ( 要f ，五，丁 。) 、0 t ，t 。) o t t 的联合分布，瓦 t 、破产前瞬间盈余、破产赤字和首次恢复时前最大赤字 ( 死 l 粒，i b i ，i n r x ，t c 。) t ，f 曲阜师范大学硕士学位论文 的联合分布，破产前极大值、首次破产时与末离时间的最大值、破产前瞬间盈余、破产赤 字和首次破产时与末离时间隔 ( s u px t ，s u px ，恐l ，l 而、i ，l 一丁丁 。o ) 0 丁t l 的联合分布，末离时前最大值与最小值 ( 。淝置，。璎x l 。) 0 u s t ，t h eu n i t e dd i s t r i b u t i o no f 咒 0 为 保费率， 0 的p c 坛s s o n 过程，表示到t 时刻为止索赔来到数 假设保险公司将资产余额进行某种投资，并且在该种投资中保险公司可以从资产余 额中获取利息假定利率为r 也就是说0 时刻1 单位货币在时刻t 变为e 尉单位货币或 者t 时刻1 单位货币等价于0 时刻e 坷单位货币在这种投资策略下，以x 。记保险公 司在t 时刻的资产盈余毯0 为保险公司的初始余额，则 r t 恐= e r t ( u + e 蝴5 d 以) ，t o ，= 弘 j 0 记s t = 菇e n ( 卜。) d 玩，以h ( t ，z ) 和h ( t ，。) 分别表示 & ；t o ) 的分布函数和密度 函数定义风险盈余过程 x 0 的破产时为丁， 丁：血f 扣x t 0 ) ， lo 。，x t 0 ，耽0 j 假设初始余额为让的最终破产概率为妒( u ) ，则妒( u ) = p r t ox t 露- 1 ：x 。a ) ( 磁= 。，若左集为空) ，其中k = 2 ，3 用g l ( a ，o ，t ) 表示露一露，忌2 的分布函数，以g l ( 札，o ，t ) 表示l 的分布函数令 g ( u ，。，t ) = p “( 露) = g t ( 让，。，z ) 木g p 一1 ( 。，。，t ) ， 第一节引言 其中掌表示卷积 假定u + 譬 0 ，由文献f 1 可知风险盈余过程 x t ；t o ) 的样本轨迹以概率i 趋于无穷，即 p mx = ) = 1 ， 故而 疋 。o ，a s 由于风险盈余过程 五；t20 ) 轨道右连续，故而当g i t 时，有 x t = a 口s 另外风险盈余过程 x t ；t o 还是强马尔科夫过程( 参见文献 2 】) 假设保险公司在资产为负时还能继续经营，那么由末离时l 的定义我们可以看到 p ( l l 时过程将不会再是负值显然有p ( t 0 ) 以下我们将尸( lx o = 乱) 简记为p ( ) 在文献f 3 1 中给出了带扰动古典风险模型中破产时、破产前瞬间盈余、破产赤字、破 产前极大值、首次破产时与末离时间极大值、末离时与首次破产时的间隔六者联合分布 在文献f 4 1 中给出了古典风险模型中末离时前极大值与极小值、首次恢复时前极大值与极 小值以及首次破产前极大值与极小值三对的联合分布文献 5 】给出了常利率下古典风险 模型破产前极大值和首次恢复时前最大赤字的分布以及破产前瞬间盈余、破产赤字与破 产前首次击中g 的时刻和破产前瞬间盈余、破产赤字、破产前极大值与极小值的联合分 布 在本文中我们将研究常利率下古典风险模型中的( i n f o 。 丁x t ，t 。c ) 的分布函数、 ( s u p o t t ，t 0 0 ) 的联合分布、( 瓦 t ，娩，i 砀i ，i n f 丁 c 一x t ，t 。o ) 的 联合分布以及( 砀，- ，i 晒i ，s u p o tx ，i n f t _ t l 五，l 一丁) 的联合分布和( s u p o lx t ， i n f o 一轰时， 9 ( u ，a ，t ) = 对t 正 一黄，u i n 三c 琉+ r a ， t = 0 t 0 g ( 让，a ，t ) 存在密度函数9 ( u ，a ，t ) ， 9 ( u ? 。，t ) = ( c + r a ) 危( t , u e r tj r c 0 te r v d y - - a ) 证明参见文献 1 】 引理2 2 设当u 一蠢且u n ，令a = 击i n 云a 蕊4 - r a ， 当0 t o ，芦( t ，u ，z ) = 尸“( t t ，x t 如) ， i o = p u ( 丁( t ，t + d t l ，叉t ( z ，z + d z ，l x t ( y ，y + d 箩】) ， ( 1 ) 如果z u e 砘+ c 片e 肋d u ，则 = 0 3 、， 0 一 d 昆 e z c + r eu ，、 忍 、 0r + o 笙三堇塑鱼塑迟 如果z = “e 冗。+ c f o re 冗”d u ，贝0 b = 入e a ，( u 8 尼+ c e 胁d u 十y ) d d y ，c y o ( 3 ) 如果z 一盖，且u o ，则有 ( i ) 当o = 一夤时，对t 0 ， ( i i ) 当o 一盖时，对s 0 ， 其中 g 1 ( u ，一瓦c ，) = o g l ( 札，a ，s ) = g ( u ，a ，s ) 1 + 一g ( a ，a ，5 ) 嘶= z 。e 一出，o ，帕 而且当f 0 9 ( o ，o ，f ，) 幽 0 ，y 0 ，令m = m a x i x 。| | t t 7 ) ，则有 尸。( m b i t 。) = 糕崭，0 b 夤， p u ( m b i t 。，i x t i = ) = 帮 户眦( i n f 丁 t 珏，d x 0 ，则 p ( 乃ss ，墨d x ) 2 小刈薹h c 删嘞( t , t t e r t + cj ( o 。t 扩虮 木愚”( t , b e n t + c f o te m 咖一6 ) ( s - t , x - b e n ( 8 - o 出， 其中( x 8 如) = ( z 恐。+ 如) ，( 托d ( x 一6 ) ) = ( z b 墨z 一6 + 如) 证明由过程的强马尔科夫性，我们知道 尸“( 磊s ，x s 如) = e 、尸u ( t b s ；咒如i 乡k ) 】 = 酽陬8 ，p ”( 咒如 既) 】 = m s ，p 6 ( x 8 一孔如) ( 2 6 1 ) 我们有 p ( 咒一t b d x ) = p f ( 6 e r o 一死+ 足一死) d zjx o = b ) = 尸 鼠一d ( z b e r ( 5 一瓦) ix o = b )( 2 6 2 ) = p 是一瓦d 一b e r ( 8 一瓦) ) = h ( s 一死，z b e 兄卜t ) d z 另外由引理2 2 我们知道 当6 u 一萎，令q = 击i n 蕊c + r b ，有 当0 t 口 g l ( u ，b ，t ) d t = 丘蜘 ( 一1 ) n g ( u ，b ，t ) 半9 ”( 6 ，b ，t ) d t 叫渺a 三卜1 ) n ( c + r b 尸“ ( t , 7 r e r t + c 上矿卜6 )n = u ”。 丰a n , ( z ，b e 忍+ c e p w d u 一6 ) 砒 ，0 分别将( 2 6 2 ) ，( 2 6 3 ) 代入( 2 6 1 ) 我们有 p ( t b s ，x 8 d x ) = e u m s ，p 6 ( 咒一d x ) = e “ 死s ，h ( s t b ，z b e r ( 8 一n ) ) d x 】 = 小刈薹兀c 删c t , t t e r tj r - c z 0 t 产扎 ：| c 九僻( t , b e m + c f o te 肋d 一6 ) ( s - t , x - b e n ( s - t ) ) d 如 引理2 7 设b 0 ，s 0 ，簧 y 0 ，则我们有如下的结果 尸( s u p o t lx t s ) = 仁始邓晰出 郴) ”刈薹o o ( 训c 埘) n + t , - y e n t + c f o t 尹妒6 ) 木扩+ ( t , b e r t + c z o o 。产d 一6 1 出 此) 小刈篆o o ( 州c + r 6 ) 计1 向( t , - - y e r tq - c 9 0 。t e r ”咖一6 ) 卑 ”+ ( t , b e r t + c f o t e 肋咖一6 ) ( s - t , x - b e r ( * - t ) ) 出如 6 ( 2 6 3 ) 曲阜师范大学硕士学位论文 其中 证明 p 一9 ( s u p o t s ) 一p 一譬( l 露，瓦 s ) 一p v ( 己 s ，死s ) = e y p 一掣( l 5 i 玩) 一e v 尸一( 己 死，t b s f 多h ) 一e 一琴【p 一。( s 瓦s5 l 玩) 】 = e y p x o ( 三 o ) 】一e 一” 死 s ，尸一( l 瓦j 乡) 】 一e 一秽m s ，p 叫( l s ；玩) 3 = e 一可( p 托( l o ) 】一p y ( 乃 s ) p 6 ( l 0 ) 一e 一( 磊s ，尸x 。( o ) j = 妒( z y e r s ) h ( s ，z ) d z 一妒( 6 ) p 一可( 死 s ) 一o o ，。o 一 妒( z ) 尸一y ( 孔s ，磁如) ， e 一 p x s ( l o ) = e 一” 尸一冒e r 5 十( l o ) 】 = p 。咄m ( l o ) 尸( s d x ) = 妒 一y e 鼢) ( s ，z ) 如 根据引理2 2 知 j p 叫( 死 s ) ， f t 2t j ( t 口) ( 一1 ) “( c + r b ) “+ 1 忽( t , - - y e m + cjoj e 肋d 一6 ) 8 n = o 宰扩( ，b e 用+ c e 鼬d u b ) d t 而利用引理2 6 p 一”( 正s ，x 。d x ) = o 一。( 1 ) n ( c + 尺6 ) “+ 1 ( t ， 一掣产+ c t e n d u - b ) ，c ”( t , b e n t + c t e 劫咖6 ) 九( s - t , x - b e n ( 8 - t ) ) 出如 7 第二节预备知识 所以 尸一v ( s u p o t a ) ( 一1 ) n ( c + r i b ) 州h ( t ， ，s n = o 术 “+ ( t , b e r t + c z o o t e r ”d 一6 ) d t 一矽护+ c f o t e n ”d u - b ) 帅) z 5 喜训c + 劢r t , - - y e r t + c tita eruoj o 虮6 ) 砂( z ) ( 一1 ) “( c + r 6 ) n + 1 危( d 一6 ) n = 0 木九“+ ( t , b e r t + c j ! o te 肋咖一6 ) 危( s - t , x - b e n ( s - t ) ) 班如 8 一 堂皇堕薹盔堂塑主堂垡迨塞 一一 一一 3 主要结果 首先我们利用此过程的强马氏性来求破产前最小值的分布函数在此首先我们将要 用到下面的引理 定理3 1 若u b 0 ，则有 州唧i n tx 。 _ b , t o o ) = 器三o o 八c 删州o 。 ( t , u e r t - t - cz 0 0 尹加6 ) 木忽n ，( t , b e r t + c t e 兄p d 一6 ) d t + o ”o t 一e r 。+ c 。：e r ”咖z 6 妒( 6 + y ) 一岛争h c 删“小“) e r p 护旷 木h ”( s , b e r t + c z 8 e 肋咖一6 ) d s ) 入r f i ( t , u - b , x ) ， + 可) 出妇由。 证明 定义t b 为初值为u 的风险盈余过程首次落到b 以下的时刻，定义于，正6 ，丁- 6 分别 为初值为札一6 的风险盈余过程首次破产时和首次击中b 的时刻以及首次落到一b 以下的 时刻，定义t 一，元分别为初值为6 + 砗的风险盈余过程首次破产时和首次取b 的时刻 尸“( o i n t f t 托6 ，t 。) = 严( 。 i n f 丁x # 乃，丁 。，死 丁) + p ( 。i n f t x b ，t 丁) ( 3 l 1 ) ：，+ r ， ，= 尸”( 死 丁，t 。o ) = e “ 尸m t ，丁 。o l 既) 】 ：e u 阢 t ，p ( 丁 l 气) 】 ( 3 1 2 ) ：p u 阢 t ，尸6 ( t ) 】 = 尸”( 死 t ) 矽( 6 ) 又 p ”( 死 丁) = p “( 瓦 t ，t ) + p u ( 瓦 t ，t = o 。) ( 3 1 3 ) = 尸“( t ，t 0 0 ) + p ”( 死 。c ) 9 第三节主要结果 将( 3 12 ) 式带入( 3 1 ，3 ) 式可得 州死 丁，丁 咖掣掣 由引理2 1 ，2 4 我们知道 p “( 死 。) = f g l ( u ，b ，t ) d t 从而我们有 g ( u ，b ，t ) 牛矿+ ( 6 ，b ，t ) d t r b ) n + 1 危( t , u e r * + c f o e r ”d 一6 、 木 n + ( t , b e r t + c z o t e 只”d 一6 、d t 慨 丁，丁 。) = 尚耋( _ 1 ) n ( 矿“咖“c p t 加6 ) 木矿( t , b e r t - t - c j ( o te 肋咖一6 ) 砒 ( 3 1 4 ) i i = p “( 碍。( 0 6 ) ，t t b ，t 0 0 ) = 酽 而。( 0 ，6 ) ，尸“( t t b ，t 。l 磊。) = e u 而6 ( 0 ，们叉一( t 露，丁 。o ) f 3 1 5 ) = 伊。6 码( 一b ，o ) ，p x e ( t - 6 磊，t 一6 。) 】 尸x 于( t - - b 磊，产6 。g ) = p 6 + 坼( 于 磊，t 一 。) = p 6 + x 亍( 亍 ) 一p 6 + x 亍( 磊 6 ，丁 。) = 尸“( 丁 o o ) 一尸“( o 椠丁x t 6 ，t o o )、0 丁、0 b 0 令 则以下结果成立 f ( u ，a ，b ) = p “ s u p 咒a ，死 t ，t 。) ， o t et o 。) = p u ( ? 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