（概率论与数理统计专业论文）logistic总体的参数估计与拟合优度检验.pdf

摘要 摘要 本论文研究l o g i s t i c 总体参数估计与拟合优度检验。研究的主要内容分三部 分：繁一部分是关于l o g i s t i c 总馋各黢中心矩、榉本次序绞诗篷期望向量与协方 差阵及若干个特殊的样本次序统计量函数期望的计算问题；第二部分是关于 l o g i s t e 总体分蠢参数瓣估计阅题；第三部分是关于l o g i s t i c 慧体戆缀合饯凄检 验问题。 主婺成栗疑英理论与实际意义 i 给出了大样本情形下，样本双侧截尾比分别趋近于定数时，艇予l o g i s t i c 总体 j i 型截鼷样本的总体分布参数的极大似然估计与近似极大似然估计分鄹存在、 唯一且蟾会予真实参数的结论。特别媳，当榉本双测截尾比相等时，两釉估 计量有榴同渐近币恋分布的结论。这一一成果的取得，为我们找到了大样本，且 样本双侧截尾比相同情形下，用近似极大似然传计蛰代极大似然估计的理论饿 攒，大大缓解了这一情形下求极大似然估计之豳难。 2 给出了小样本鼹形下，用基予l o g i s t i c 惑诲珏蘩截尾撵本酶总体分匆参数懿凝 大似然体计或近似极大似然估计构造总体分布参数无偏估计的方法。 3 。讨论基于l o g i s t i c 总体珏鳖截尾释本蕊若干令样本分经数静总体分奄参数豹近 似最佳线性无偏估计；给出了该近似最佳线性无偏估计的计算公式，估计方差 与协方蓑静投隈表达式及菇谤量静天样本往质等；给壅了全撑本，样本分位点 个数固定，但一i 超过1 0 情形下，使上述近似最佳线性无偏估计有最大相对联合 估计效率时，弹本分位数选敬法及最大确对联会信 卡效率；为大群本请形下， 陔近似最佳线性无偏估计的应用提供了理论依据。 4 给出了简单、实厢韵基于数据标准化的l o g i s t i c 总体舷台优度检验法与墓于线 性模型残差分撕的i o g is t i c 总体的拟合优度检验法。丰富了l o g i s t i c 总体拟合 优度检骏法。 剑糕点 1 用理论推导与随机模拟相结合的方法，讨论基于l o g i s t i c 总体i i 型截尾样本的 总体分审参数靛摄大议然佶计帮远 菠裰大 菠然铬诗淘大样本性震，小群本性质 以及两种估计的比较等。给 ： _ i 用邋似极大似然估计替代极大似然估计方法及其 璎论依据，大大缓解了该情形下求蕊体分匆参鼗辍大强熬儒钼+ 之圈难。 北京l l ：业大学理学博士学位论文 2 耀优他技术德到全样本，样本分位点令数固定，僵不越过l o 绪形下，傻基于 l o g i s t i c , 憩 $ 珏型截尾样本静若干个样本分位数的总体分帮参数的近似蠛谴线 性无缡估训+ 有最大摆对联合估计效率对，样本分位数豹选取方案及最大楣对联 合估计效率。 关键词：l o g js t i c 总体，参数估计，拟合优度检验，线性模型。 a b s t r a c t i nf h i sp a p e r ，w es t u d yf h ep r o b l e ma b o u tf h ep a r a m e t e r e s t i m a t i o na n d f h eg o o d n e s s o f f i ft e s tf o rt h el o g i s t i cp o p u l a t i o n t h ep a p e rc o n s i s t so f f h r e ep a r t s f ir s t ，w eg i v ef h ec a l c u l a t i o nf o re v e r yo r d e rc e n t r a lm o m e n tf or l h el o g i s t i cp o p u l a t i o n ，m e a nv e c t o ra n dc o v a r i a n c em a t r i x0 fl h eo r d e r s t a t i s t i c0 fr a n d o ms a m p l ef r o m h el o g i s t i c p o p u l a t i o n a n dm e a n so f s e v e r a s p e c i a | f u n c t i o n sf o rt h eo r d e rs t a t i s t i c0 fr a n d o ms a m p l ef r o m h e l o g i s t i cp o p u l a t i o n s e c o n d l y ，w ed i s c u s st h ep a r a m e t e re s t i m a t i o nf o rt h e l o g i s t i cp o p u l a t i o n f i n a l l y ，w es o l v et h eq u e s t i o na b o u tt h eg o o d n e s s 一0 f f i tt e s tf o rt h el o g i s t i cp o p u l a t i o n ma j o rr e s u l t s 1 t h ef o l l o w i n gr e s u l t sa r eo b t a i n e d ：t h em a x i m u m 1 i k e l i h o o de s t i m a t o r sa n d l h ea p pr o x i m a t em a x i m u m1 i k e l i h o o de s t i m a t o r si n d i v i d u a l l ye x i s lu n i q u e l y a n dc o n s i s t e n tt of h er e a fp ar a m e t e r su n d e rt h el a r g es a m p l ea n d h e s a m p l ec e n s o r e dr a t i o so ft w os i d e si sac o n s t a n lr e s p e c t i v e l yb a s e do n i h et y p ef lc e n s o r e ds a m p l eo f h el o g i s t i cp o p u l a t i o n na d d i t i o n t w o k i n d so fe s t i m a t o r sh a v eas a m ea s y m p t o t i cn o r m a d i s t r i b u t i o nw h e n h e s a m p t ec e n s o r e dr a t i o so f w os i d e sl se q u a l s ow eo b t a i nt h et h e o r yt h a t w ec a nu s et h ea p pr o x i m a t em a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t o r s n s t e a d0 ft h e m a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t o r so ft h el o g i s t i cp o p u l a t i o nb a s e do n h e t y p e l lc e n s or e ds a m p l eu n d e rs a m p l ec e n s o r e dr a t i o s0 t w os i d e sw h e n e h es a m p l ec e n s o r e dr a t i o s0 ff w os i d e si s e q u a la n do v er c o m ef h e d i f f i c u l t y0 fs o l v i n gl h em a x i m u mi i k e l i h o o de s t i m a t o r s 。 2 w eg i v et h em e t h o dt oc o n s t r u c tu n b i a s e de s t i m a t o r sw i t ht h ea p p r o x i m a t e m a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t o r sa n dl h em a x i m u ml i k e t i h o o de s t i m a t or s0 f t h el o g i s t i cp o p u l a t i o nb a s e do nt h ef y p ef c e n s o r e ds a m p l e 。 摘要 3 w ed i s c u s sa s y m p t o t i c a l l yb e s tl i n e a ru n b i a s e de s t i m a t o r s ( a b l u e ) o ft h e l o g i s t i cp o p u l a t i o nb a s e do ns e l e c t e dor d e rs t a t i s t i c sa n dg i v e h ef o r m u t a 0 fc o m p u t i n gt h ea b l u e f h ev a r i a n c ea n dt h ec o v a d a n c eo ft h ea b l u e i n | i m i t ，a n dp r o p e r t i e so ff h ea b l u e a n ds oo n w eg i v et h eo p t i m u m c h o s e no fs p a c i n gw h i c hi st h ea b l u ew i t hm a x i m u m a s y m p t o t i cr e l a t i v e e f f i c i e n c yb a s e do nc o m p l e t es a m p l ew h e ns e l e c t e do r d e rs t a t i s t i c s n u m b e ri sl e s st h a n10 a n do b t a i ni t sm a f m u m a s y m p t o t i cr e l a t i v e e f f i c i e n c y 。 4 w eg i v ef h em e t h o do fg o o d n e s s o f f i tt e s tb a s e do nn o r m a l i z e ds p a c i n g s t a t i s t i c sa n db a s e do nt h er e s i d u a l a n a l y s i so i n e a rm o d e lf o rt h e l o g i s t i cp o p u l a t i o n w eb r i n gm or es i m p l ea n du s e f u im e t h o d so f g o o d n e s s o f f i tt e s f 。 n n o v a t i o n w ed i s c u s s h ep r o p er t i e so f h em a x i m u m | i k e l i h o o de s t i m a t or sa n dt h e a p p r o x i m a t em a x i m u mi i k e l i h o o de s t i m a t or sb a s e do nt h el y p eli c e n s or e d s a m p l eo ft h el o g i s t i cp o p u l a t i o nu n d e rt h el a r g es a m p l ea n dt h es i n a i | s a m p i er e s p e c t i v e l y ，a n df h e nw ec o m p a r et w ok i n d so fe s t i m a t o r s 2 w eg i v et h eo p t i m u mc h o s e no fs p a c i n gw h i c hi st h ea b l u ew i t hm a x i m u m a s y m p t o t i cr e l a t i v ee f f i c i e n c yb a s e do nc o m p l e t es a m p l ew h e ns e l e c t e d o r d ers t a t i s t i c sn u m b e ri sl e s sl h a n 0 ，l sm a x i m u ma s y m p t o t i cr e l a t i v e e f f i c i e n c yf s a l s o0 b t a i n e d k e yw o r d s ：l o g i s t i cp o p u l a t i o n ，p a r a m e t e re s t i m a t i o n ，g o o d n e s s o f f i e s t ， f n e a rm o d e l i i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为 获得北京工业大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与 我一阂工作的同志对本研究所傲的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示了谢意。 签名：纽丛! 之。日期：趁翌：益! ，。 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以 公布论文豹全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保 存论文。 ( 保密的论文在解密震应遵守此规定) 签名：缓丛! 缝导师签名：盔誓跚垒醑期：一2 殳竺互，互，门 第1 肇l o g i s t i c 分蠢 1 1 引畜 1 1 1研究回顾 第l 章l o g i s t i c 分布 i l v e r h u l s t ( 1 8 3 8 潮，1 8 4 5 社】) 挺墩霜l o g i s t i c 濑数作增长魏线藉，稠麓该麴线进 行人口统计学的研究一赢流行到十九世纪末。进入二十世纪，l o g i s t i c 函数在诸多领 域得到了广泛应用。p e a r l 和r e e d ( 1 9 2 0 pj ，1 9 2 4 4 1 ) ，s c h u l t z ( 1 9 3 0 滞) ，p e a r l ，r e e d 鄹l ( i s h ( 1 9 4 0 陋1 ) 先螽鼹l o g i s t i e 趋线建立生物橇然增长模型。s c h u l t z ( 1 9 3 0 5 t ) ， 0 1 i v e r ( 1 9 6 4 p ) 瑗l o g i s t i c 函数建立农产晶数量灞长模型。诲多学者，包掇p e a r l ( 1 9 4 0 8 1 ) ，b e r k s o n ( 1 9 4 4 ，1 9 5 1c ”j ，1 9 5 3 1 1 1 ) ，f i n n e y ( 1 9 4 7 r z j ，1 9 5 2 ( ”1 ) 兔聪讨论 了l o g i s t i c 函数在计量生物学上的应用。在p l a c k e t t ( 1 9 5 9 【1 4 】) 将l o g i s t i c 函数殿用到 生存分聿厅矮，f i s k ( 1 9 6 t 【 s 】) 又将l o g i s t i c 函数应用到诗重经滂学。c o x ( 1 9 6 6 【】6 3 ) ，d a y 和k e r r i d g e ( 1 9 6 7 f 7 ) ，a n d e r s o n ( 1 9 7 2 渊，1 9 7 3 “，1 9 7 4 【”3 ) 镣先后又将l o g i s t i c 函数应用到医疗诊断。目前，l o g i s t i c 函数在计量缀济学以及计灏生物学等领域中的 应用，特别是l o g i s t i c 阐归分析模型的应用，因其模型结构简单、易于操作、凰应用 效巢好，楚n l o g i s t i c 滔螺模墼成为人们鲻决诸多颁域实际瓣蹙的镳爱工具。然面， 在l o g i s t i c 图妇模型酌参数估计及模凝的镁设检验讲题中，还存在许多需要进一步深 入研究之内容。 在h o g i s t i c 函数与l o g i s t i c 分布程各领域内成用研究的同时，关于h o g i s t i c 分布 熬参数 鑫诗及分毒数缀合侥度检验等理论磅究瞧取褥了一系残重要残粱。如 g u 瑚b e l ( 1 9 4 4 f n l ) ，g u m b e l 帮k e e n e y ( 1 9 5 0 【2 2 1 ) ，t a l a c k o ( t 9 5 6 2 3 1 ) ，g u m b e l 与p i c k a n d s ( 1 9 6 7 m 1 ) ，d u b e y ( 1 9 6 9 【2 5 1 ) 先后给娃j 了l o g i s i c 分布与极值分布间的多种麓系； g e o r g e 和m u d h o l k a r ( 1 9 8 1m 1 ，1 9 8 1 ，1 9 8 2 2 8 1 ) 先后给出了h o g i s t i c 分布与指数分 布闻弱关系等。这些理论臻究或渠鹣取褥，对l o g i s t i c 分毒的参数绩诗及分露豹揪台 优度检验簿理论阔题的研究起了巨大的推动律蠲。远二+ 年来，随着计算梳技拳的飞 速发展，利用计算机模拟技术，开发l o g i s t i c 分布的参数估计及分布的拟合优魔检验 新方法，捅广l o g i s t i c 分布的应用范嘲，己成为l o g i s t i c 分布新的研究热点a 关予l o g i s t i e 丞数； l 】l o g i s t i c 分毒受多、更谬缎戆理论研究与应用研究之残采的 介绍，可参阕b a l a k r i s h n a n ( 1 9 9 2 1 2 踯) ，该书是一鄢关于专门耩究l o g i s t i c 分碴i 滴题 的权威性蔫作。本文的研究思想部分地建立在该著作基础之上。 北京工业大学理学博士学位论文 | ! | _ i i i 目i ! ! $ _ 目! ! g _ ! 目1 1 1 2 本文主要研究内容与结构 研究内容分三帮努：第一部分罴美予l o g i s t i c 分布蘧论，特剐楚关于l o g i s t i c 惑 体麓肇样本次序绞计量均值定量与协方菱阵躯计算趣题数研突，该粼分磷究戏票妁取 得，为联续甄部分的进步研究提供了技术支撑。第二部分熄关于l o g i s z i c 总体分布 参数估计问题的研究。估计方法主要包：基于l o g i s t i c 总体姒型截尾样本分布参数的 极大似然估计、近似极大似然估计，及利用若干个样本分位数构造具有较高相对估计 效率的近似最毪线筏无偏倍计。第三部分是燕予l o g i s t i c 总伴的拟合优度检验问题。 论文共分辇，褥究港客浆第一部分，教在论文第1 耄第2 至4 节；研究内容豹第二 部分放在论文第2 、第3 两章；磅究连窑的第三部分，放在论文第4 章。 1 2 分布函数及各阶矩 设随机变量的分布函数为 1 f ( x ；岛玎) = = = 赢， 一。工 ( 1 一1 ) 其中 0 为未知参数。则称爿为服从参数z 和盯的l o g i s t i c 分布，记 作z ( 此o - ) ，和盯分别称分布的位置参数和尺度参数。 若并三( 此们，由公式( 卜1 ) ，知x 有概率密度函数 f ( x ；a ，拶) = ( 1 - 2 ) l 。2 ，1 矩的计算 由公式( 卜2 ) ，得嚣( 并) = ，戈酶k 阶中- 给矩 e ( x 一) = f o ( x 一) 。，( x ；，d ) 匝c = 仃2 lu k e - u ( 1 + # + ”) d u ，k = l ，2 ，a ( 1 - 3 ) 由e - u ( 1 + g “) 。必“魄偶函数，摄 。f 0 ，k = 2 m 一1 ， e ( x 一) 。 2 0 r 2 mf u z m e - u ( 1 + e - u ) 一2 出，七：2 搬 1 圳 其中m ：1 , 2 ，a 。于是，在讨论l o g i s t i c 分布三( 肼盯) 豹蠡除串心短蓬x 一颤戈) r 懿计 算时，只考虑k 为稍数豹情形。 第1 章l o g is t i c 分布 对任意搬= 1 ，2 ， ，首先考虑公式( 1 4 ) 中广义积分 2 , n e u ( 1 + e - u ) 一2 d u 的计算问 题。妇幂级数二，( 一1 ) “黼”在区间( - 1 ，i ) 内收敛到芹( 1 + x ) 1 2 ，知幂级数 二。( 一1 ) 8 - i h e - “在( 。，* ) 内浚敛劐e 一。a + e 一“) _ 2 。孰琵，袈幂缓鼗二，( 一1 ) “* “2 8 君一 在( o ，) 内收敛到“抽e 1 ( 1 十e - u ) ，且商 u2 m eu ( 1 + e “”) 一2 幽= ：。( 一1 尸n u 2 n e - n u 如 = 删“摊“胁挺) 3 v ”g ( 嘲 m 5 、 = 二，( 一1 ) - 1 n - 2 m f ( 2 m + 1 ) “ = ( 2 埘) i 艺：，( 一1 ) ”1 n 。” 其中r 为魏玛( g a m m a ) 遗数。虫公式( 1 4 ) 与( 卜5 ) ，褥 e ( z 一) “= 2 ( 2 m ) ! a 2 “( 一1 ) ”1 去，m = 1 ，2 ，a ( i - 6 ) 利用贝努利( b e r n o u l 1i ) 级数( 参见文献( 3 0 ，p 1 3 7 ) 静广告= 譬玩，m = 1 , 2 , a e ( x 一) “= ( 2 抽一2 ) ( 加) “b 。，m = 1 , 2 ，a ( i - 7 ) 其中巩为麓努乖j 数，嚣至绣取 蠢舞下( 参晃文献 3 国，p 3 t 6 ) 。 表1 1 b e r n o u l l i 数b l 至毽 t a b l e 卜1b e r n o u l l in u m b e r sb 1t o b s i 2 l2345 分数形式1 61 3 01 4 21 3 05 6 6 小数形式 0 1 6 6 6 70 。0 3 3 3 30 0 2 3 8 10 0 3 3 3 30 。0 7 5 7 6 特别地，当卅分别取1 和2 时，有 州耻哪刊。= 孚，e ( x 刊4 = 百7 帮4 0 - 4 m 8 ) 迸一步，记 g t = ：兰t e a 生r 篓( 二x 臻) ，g ：= 舌v 生a 墨t 二( x 兰) 2 ； 8 f”2 “【 2 分别为x 的偏度系数与峰度系数时，则g ，= 0 ，g ：= 4 2 。 一3 一 j t 象工披大学理学博士学位论文 1 。2 。2 样本均值与样本穷差 若x l ，* 2 ，a ，x 研2 ) 为l o g i s t i c 分布l ( a ，盯) 的简单样本，记焉和s ：分剐为样本 均值与样本方罄，邵 x n - - - - 啬缸。击喜t 矿甜 s ， 则 嚣( 毛) ：，v a ，( 墨) ：孚，e = 华。 镰l e ) j 疗j 荆文献 3 1 3 ，p 3 2 q b 公式 v a r ( s ：卜1 n e ( x 刊4 一高陋( 珊( 1 - 1 1 )再群l 蚪一” 饕 v a r 霹，= 篆卜剖( 1 - 1 2 ) 从而，由公式( 1 - 1 0 ) - 与( 1 - 1 2 ) ，褥l o g i s t i c 分布( 胁d ) 简单样本墨，x 2 ，a ，x 。的样本 均值瓦，样本方差s ：的期望与方菱。 1 。3 次序统计盈 在计冀l 。g i s t i e 分奄l 6 u ，g ) 筵擎搂本麓，x 2 ，a ，并。戆次序绞诗麓而，通舻a ，) 的 期望向凝、方差与协方差矩障时，我们不妨龙讨论芦= o ，口= 1 的特殊憾况，然爆将该 情况推广到和盯取其他值的一般情况。 1 。3 。1 矩豁计算 迂。 妒。i 2 ) ，a ，) 为拣雄l o g i s 髓e 努态五海1 ) 戆簿肇榉本豹次j 葶统计量，f ( z ) 与 ，( ) 分别为t ( o ，1 ) 的分布函数和概率密度函数。对f = l ，2 ，a ，n ，有。；) 的概率密度函数 z ( 茹) 2 否匆f 兰：羔一f 荔强8 。，： 。，一，。， 蹦8 一 8 ”1 2 而面瓦面而刁 q 一 筹l 露l o g i s t i c 分在 记 矿z o ) a z _ i 孚磊f ：8 却“) ；( 1 + p 。p 州如，i f l 1 ( i 一1 ) ! ( ”一f ) ! l 。 、。 。 。 为) 的母国数，并作变量代换“= ( 1 十矿2 ) 一，得 材j f ) =_ i 孚f 扩争( 1 - u ) ( n + t - i - t ) - ! d l a 一1 ) 1 0 一) ! o = _ - = = 嚣0 + t ，n + 1 一i t ) ( 1 1 4 ) ( f 1 ) 1 0 0 1 。 。 r ( i + t ) r ( 赶+ 1 一l f ) # 一1 ) ! ( 摊一谬 对m 。( r ) 求导，并记矿( ) = r ，( ) r ( ) ，得 掰，均= r ( i + t ) r ( n + 1 - 话i - 磺t ) - i r ( i 矿+ t ) u ( n 一+ t - i - t ) = m ，( f ) 【矿( f + f ) 一 f ，( h + 1 一i f ) 其中口( ，) 与r ( ) 分别为贝塔( b a t a ) 函数和伽玛( g a m m a ) 函数。 送一步，霹捶出甄 0( 1 - 1 6 ) 七= 1 , 2 ，a ， 喜吉= 各蝎蝴蒯， 茎吉= 譬一霎专， m = z ，毛a 注：公式( 卜1 6 ) 与( 1 1 7 ) 参见文献 3 2 ，p 1 1 l ：s p l 2 。 记硝器= 蔗( z 品) ，口 = e ( z ( ) l 屈；。= v a r ( z ( f ) ) ，以= 1 , 2 ，a ，m = 0 , 1 ，a ，i = 1 ，a ，”。 有 a 篾= 薹( m i l 啬。“p 忙o ，+ c 一- ，k + l i f ( k ) c n + l - i ) 1 m = 1 , 2 , a c ，一- s ， 利用口箸= e ( z 。) ) = 1 及公式( 卜1 7 ) 与( 卜1 8 ) ，得 吒_ o ，= a 簿= 等 ( 1 - 1 9 ) 与 l 一，一，i = 1 ，a ， n 2 g = y ( f ) 一i c ，+ 1 一f ) = ：刮 l r 一，净妞2 】+ l ，a ，摊 rn - i( 1 - 2 0 ) i l r 2 3 - r ， f = l ，h 砖 2 y 。+ y ”+ 1 一d 。1 。：3 一至n - t ，一金，f 。2 ，a ，。一l a 兽紫a ：。+ 照，h = 2 , 3 ，a ，i = l ，a ，n 利溺公式( 卜1 9 ) 与( 卜2 0 ) ，可求击样率大小沟h 的标准l o g i s t i c 分布三( o ，1 ) 第f 个 次序样本墨。期望、方莲及二阶矩t 并有 掰肌= 一掰。+ l 叫。，属，= 反+ 1 叫。，一i ；2 n = 盘i 粥_ 。， i = l ，a ，h - 6 - y ， 一 y l r 一d ；，(，l i i ) 巩 (缈 第1 章l o g i s t i c 分布 关于标准l o g i s t i c 分布l ( o ，1 ) 第f 个次序样本f ) 的三阶殿三阶以上矩的计算，虽 很早就有人进行过研究，并给出了计算公式，如d a v i s ( 1 9 3 5 ) 【3 4 1 ，a b r a m o w i t z 与 s t e g u n ( 1 9 6 5 ) 3 5 i ，g u p t a 与s h a h ( 1 9 6 5 ) 2 3 s h a h ( 1 9 6 6 ”1 ，1 9 7 0 ”1 ) 等，但其计黪公 式过于复杂，应用上也不方便。我们利翊口罂= 1 及公式( 1 1 6 ) 至( 1 一1 7 ) ，通过计算 机可轻松地迭代出z 。的三阶及三阶以上矩n l 。3 2 协方差计算 首先，对任意的1 i ，n ，由z ( 。) 与z ( d 联合概率密度融数 n ! ( i 一1 ) ! 伽一，) ! ( ， n ! ( i 1 ) ! n 一，) l j i - 1 ) ! ( ) i f _ x _ j 一。- 、f 寰! i ! 纂：o 掰。v 2 1 ) 一丛生善兰祟，一。，兰y 。i 一1 ) 1f l + e - x ) l e - y ) 4 “1 。 为计算z “) 与z ( ，) 的联合母函数肘，膨，f 2 ) 2e ( e 1 1 ”“) ，令 u = ( t + 一) ，v = ( 1 + # 一) 一1 得 m ( l ，f ：) = 口” 一+ ，( 以y ) 出咖( 1 - 2 2 ) 。2 ie f 。( 1 一# ) 一一u y 。v “l v ) ”7 d u d v ( i - 1 ) ! ( # 一，) ! u i l ! 女 、。 由球不为整数，r i x l 】 + 淼薹蔫篇叭舯h e n + l - j 臻t 鳅脚“吨3 于是，覆；l 与气，) 的协方麓为 成卅= c o y ( z ( ，一力) 盎髓；。一c r i ；n c g i i ，墨挥 ( 1 2 4 ) - 8 - 一 出趣 丝 繁1 豢l o g i s t i c 分露 但是，直接用公式( 卜2 3 ) 计算掰。或公式( 卜2 4 ) 计算c o y ( 曩r ) ，。) 并不方便。为 方便地绘擞g 。或o v ( = ( f j ，：p 懿诗纂公式，我镌先弓l 入三个弓l 理( ；l 理l 3 ，l 至 1 。3 3 ) ，然蜃用其攉导搿。：。的计算公式，并以定理( 定理l + 3 1 ) 的形式给出这一结果。 引理1 3 1 若：【1 ) ，文2 ) ，a ，2 ( 。) 为标准l o g i s t i c 分布二( o ，1 ) 简单样本的次序统计量， 记g ；。拦层0 ( 。 z n ) ，1 墨i j s 站墨磐蓐 a f ，；。= 口。十l 。j ，月+ l 一咖， 1 i 歹s 筇 ( 卜2 5 5 证明由公式( 1 - 2 1 ) ，得 g 。：l 露f ，j i ) b ( j , n 十l d l - l y 【l f ( y ) i ”d f ( y ) x f “秘) f f 岁) 一f ( x ) l 扣。d f ( x ) 令“：f ( x ) ，v ：f ( y ) 。有x = l n u 0 一“) ，y = i n v ( 1 一v ) 投 。引即_ i ) b ( j 肘l 卅rl ( 1 - v ) 州恤击咖p 州广11 1 1 击咖 再令s = 1 - - v ，t = 1 一群，簿 。；似f 棚刚，n + 1 卅rf ( 1 “l n 竿- d t l s - ：( ) _ 。1 1 n 孚凼 ：瞅“一i ) b ( j ，n + l 嘲】。l ( 1 - t ) “l 摭上l - t 成。妒 ( ) 卜。击出 ：b ( n + t - j , j - i ) b ( _ n + 1 - i i , i 一) 8 。+ l _ 。+ l 咄， b ( i ，j i ) b ( j ，n + 1 一) 1 。 2 a 州1 州 诞毕。 弓l 蘧l 。3 。2 记f ( 善) 与，( 曲分澍必标准l o g i s t i e 分布烈毽 ) 的分布酝数与概率密 度函数，附任意自然数七= l ，2 ，a ，任意实数y ，肖 f 政触：幽 1 叫湖一芝华 ( 1 _ 2 6 ) 冉 ，一 f 其中约定f 7 ( y ) r = 0 。 证明对女：l ，2 ，a ，任意实数y ，记j 。( 力= l f ( x ) 出e 方面，当七2 时，有 硝炉f f t - ( x ) h l 一荆船叱( y 卜一2 ( x ) f ( x ) d x 吨一等等 另一方筒，令“：f ( x ) ，有x = l n u ( 1 一 ) 】，且 9 北京工妲大学理学博士学位论文 g _ _ e _ 目_ _ _ _ _ _ | _ _ _ # 目_ _ 自_ 目_ g ! _ _ 脚i ! l l l l l l l l l l i i i i i i * | _ 目s _ s _ _ 讯力= f 暾= f 9 撕猿击= f 。击叔= - i n 1 一f c v ) 子是，当k 2 时，脊 ) = 一l n 【1 一，( y ) 卜芝墨掣 成立。港约囊f ( y ) r = 0 ，躐上式鼹聋= 1 也鑫然成立。 涯攀。 萼| 爨i 3 ，3 设簸壤嶷登并鼹葳参数，? 黪第一型露誉分雀，鞠并有概率密度蕊 数 ，( 。赢。疆q 芦一，o x ( 1 靛萄 l 一曲, - 2 - - x r - i g 一“k j = 历s 。- 1 。，j ( 轴冀) x 蛩一( 1 一瑚g 一妁”2 苏一；茁丧百j 。l 敷 - l o - 第1 章l o g i s t i c 分布 = 吾志洳咖“p 圹2 出一舾y 飞h 广1 出h ：竺盟，。r 盟，。三 rrr 于是，# t i 。= 。一。一l ( ，+ s 1 ) 。再利用，= 一1 r ，得 _ 。一吾一南一人一百b = 帅) 一吣 ) 其次，再由( 1 一x ) 暇从参数s 和，的第一型贝塔分布，得 e 1 n ( 1 一髫) 】= 矿( s ) 一矽( r + s 同样，对r ，s = 1 , 2 ，人，记 。以 1 n 2x l 2 志j ( 1 n 班”1 ( 1 州) ” 有= r f ( 1 n 工2 xr - 1 出弓与 厶；“。r 筹备，s = 2 , 3 , a 由上式，可得 护。孚一等一兰，s = 2 , 3 , a 姨嚣，毒 e 1 n 2 】= ( r ) 一矿( r + s ) 十【矿( r ) 一y ( ，十s ) r 公式( 1 _ 2 7 ) 壤磊瑟式懿谨冁类 爨，菇略。 证毕。 怒理1 3 。1 蓍z 1 ) ，龟) ，a ，) n 融l o g i s t i e c e ) v n l ( o ，1 ) 篱擎榉本静次痔绞诗量， i g a ，删= e ( 气；) z ) ，“嚣= 妒( ，) 十y 0 十l j ) 十【y ( j ) 一妒0 十l 一) 】2 ，l i j 胛，有 。叫：+ 蓑静，1 旧姒p k ”1 弦州刊叭j + k - r a 抑”h h 懈蓑等mm 州m ”h m + 1 - 卜删川卜坝榭- j ) n ( 1 2 8 ) 其中v ( ，) 和+ ( ) 由公式( 1 一1 7 ) 给出。 证明出公式( 卜2 1 ) ，褥 搿。= 【嚣( f ，一t ) g ( j , n 十l 一歹) 】”f 。y 1 - f ( y ) 8 一d f ( y ) f 。x f “( 羔) 【芦) f o ) 】一“d f ( x ) 瓣上式中翳螽一个积分，将 芦( y ) 一f 瑚一。展开，并稍褥弓l 理1 3 2 ，褥 炉“( 赋嘏y 卜f 渊州d f ( x ) = 警曲“( 7 己。p “飞够 = 譬等e 剥f j - i - l - l 一 = 篆等等( 之_ 1 ) f - l - “e y 妒”，一芦”5 翻、 = 薯等。 f j - i - - ”( y ) y f ”o 。仙卧删+ 蔫下f k ( y ) j i e k 。= 【嚣( f ，j - i ) b ( j ，n + l 一剜一，缮 矿。茎鬻r ? 渺p 酬- j f j - ( y ) d f ( 力 岷。篙篝- i 。灿卜删”+ “灿【1 - f ( y ) d f 魄，笠m ；o 笠k = 1 1 ( 删( - i ) | i ( l j - m i 。) 辩融n - j f ：+ k - i - m - i ( 彬湖 令上式右端的互项分剐为a ，b ，c ，并记 m t , j ；n = b ( f ，川磁j , n + l - j ) 】_ 篝( 歹? ) 首先，由公式( 1 2 1 ) ，蠢 “= 篙。聃l 叫舻拶力帮、 = ) 差- i - t 。剐卅l 枷 面寿丽【1 - f ( y ) 】 - j f j - 1 ( y ) d f ( y ) ：搿岩j - i - i 髓。，s ( j ，n 十l 一歹) 卅神 + 叫黼r 善( _ 1 ) ”熹( 乙。j 1 2 一 l i i i - - _ - - _ - l _ _ _ s ! s ! d _ _ _ | 目自懒_ _ _ e | _ 再由文献 3 1