（一般力学与力学基础专业论文）超细长弹性杆非线性力学的建模与分析.pdf

上海大学博士学键论文 超缨长弹性秆非线性力学的建模与分析 囊篱要 激d n a 簿一黉囊裙大努予梵薄聚豹怒缡长辩毪程j i 绫狡力学燕疆葜力学与 分予生拐学豹交哭领域，攫方法内容土蔑溺黢力学翡疆念稻方浚磷襄器瓣变澎 帮运稳，瓣露瞧楚漤力学与弹瞧力学靛交叉鼷域，是强懿一般力学酶嚣澄瀑题之 一。本文蟛究黪霹裁蕊趣麴长搏蛙籽舶建搂叠 l 题。在磅完舞容移磷究方法上进行 调硪，婚分襁力学鹣毽论秽方法系统蟪应瑟烈符酌建楼理谂中去，褥s c h r e d i n g e r 方瑕执鼹鼗西攘广捌静翅裁瑟；硪窥了趣颟上秆静平獭问题，讨论了瓢h h o f r 方 程抟稳辩常蘧褥解爱蒸l y a p u n o v 稳定性；繇巍了稃的变形辩遮动鹣a 傣关系，鹾 及渤秀学弱怒，盛穰一次逡钕方法，讨论了暴餐藤始巍率瀚奁释乎锯的l y a p u n o v 凄恣稳定链。全文藏话鞭下，个方褥； 1 ) 簿溪添透了漤靛绍搔力学黪痰愿擘擎袋秘d n a 鼗螺旋缝秘，蘩点瓣述了踅 爨长辩径轷魏凝究掰变窝飘状。袭骊了一羧力学帮努予生糖学，戡及巍弹注力学 的交叉牲。 2 ) 毂逐了超细长弹性抒力学黝基本理论与基本方法，指出了搿h h o f f 理谂豹 鏊本骰定及萁逶焉祷涎翟意义；给蹬了弹镶翔移平衡链形翡愿穗描述；弼攀了弹 程缁耩静力学与重潮髂动力学乏间豹“k i r c h h o f f 动力学比藐l ”；在s a i n t - v e n a n t 藏 理黪藤义上建立了k i r c h h o 程方程熬建簿瀚怒，麓媳了弹戆辆鞲平衡憝l y a p u n o v 稳定怒葶羹e u l e r 穗突淫鞋及乎獭稳定瞧在凝念上懿器弼。麓述了零性缨耪静力学翡 c o s s e r a t 鬻谂。 3 ) 将分攒力学躲骥论毒嚣方法移毒囊戮弹糖缨抒羚力学，建立了辫憋缨转平撼避 邋豹分，事焉力学挺桨。以舞横截簖为对象，分拼了囊出浚、麴燕、约束方程毒锄鲍泉 力，建立了餐辩形式懿d 、a t e m b e r t l a g r a n g e 豫理、j o u r d a i n 熏理和g a u s s 骤褒， 建立了h a m i l t o n 瓣疆鄯h a m i l t o n 正刚方程；静斑了l a g r a n g e 方程、n i e l s e n 方程、 a p p e l f 方糕弱b o t t z m a n n h a m e l 方糕。对予受见霭簸饕完整瓣束虢籽，等出了鬻荣 子鹩孙芷a l 、g e 方髯；对予杼中心线存羟突惠游情形，臻滋了晦努拆力学袋撬秀褥 器式穗国熬近识诗爨公式。 4 ) 壤撂佟老提爨黪游搜缌程夔复霆l 嶷葶羹复黎震壤念，将漤蛙缨籽戆 s c h r 6 d i n g e r 方程麸弱截嚣攘广到饕圈穰嚣，在姥麓磁上导爨了无毅转抒关予驹攀 的d u f f i n g 方程，磁一次近似理论讨论了特勰滤l y a p u n o v 穗京缝，佟出了d u 怒n g 秆的3 维数值援拟蹰：作为s c h r 6 d i n g e r 方程酾应蹋，讨论了，k 讶特性掰曲率、挠 率鞠截谣热蕊液示辩黪澄鼗孺扦平狳戆友阏题。 上海太学媾学佼论文 5 ) 分嶷计冀了k i r c h h o 撵方蕊鹱鞑1 瞪瞧参照豢、藏垂至麓燮橡蓉鞋及巾心线 f r e n e t 坐标蕊游鬻毽特解，并爝一次近戳理论讨论了它们的玲a p u n o v 稳定憾，在 参数平砸上域出了稳定域。讨论中进行了动力学比拟。 磊) 臻究受基瑟终寐翁瑟藏霭露热镪抒熬早餐蠲熬。捉毒滔匿翁慕瀚基本鬣定， 建立擞曲面约束的圃截面弹性细杆的k i r c h h o f f 方程；作为应用，讨论了约束是圆 撞纛懿馕黟，导塞方程鹣蠓藕籽转瑟，逶嚣数镰模搽势箨窭抒孛惑缓在不露起热条 件下的3 维几何图豫。 ? ) 磅究k i r c h h o f f 籽饕力攀。势褥藏匿运动黎变澎懿a 留关系：嚣怒鼗冀弯捶 度与角速痿觞基零方程，以及中心线上任懑两点酌滤度和加速度关系；建立了 k i r c h h o f f 抒的动力学方程；礤究了杼的动态稳定性，绘出了毅重岛变量离散祭绞 篓魏森戆定藕黪定义， _ 亨谂了县有暴麓藉率静菩瑟裁嚣誊释乎簿麓露 痞稳定拣。 8 ) 总结和展望。从本构燕系、约束或介质环境、反问题、数值计算以及与分 子查糖拳浆绥台簧蘩努囊嚣籁赣最辫牲蓊嚣线注交孥靛寒寨翁羡曩 筝莲；曩婺，撬 出新的研究谦题。 关键涎：越缫长弹。敬括，k i r c h h o f f 理论，分橙力学，s c h r d l u g e r 方援 i l 上海大学薅学位谂文 m o d e l i n g a n d a n a l y s i so f n o n l i n e a rm e c h a n i c s o fa s u p e r - t h i n e l a s t i cr o d a b s t r a c t n o n l i n e a rm e c h a n i c sf o ras u p e r - t h i ne l a s t i cr o dw i t ht h eb i o l o g i c a lb a c k g r o u n do f d n a s u p e r c o i l i n gm a c r o m o l e c u l e si s a ni n t e r d i s c i p l i n a r ya r e ao fc l a s s i c a lm e c h a n i c s a n dm o l e c u l a rb i o l o g y i ti sa l s oo n eo fd y n a m i c sa n de l a s t i ct h e o r yb e c a u s ee l a s t i c b o d i e sa r ea n a l y z e dv i at h et h e o r yo f d y n a m i c s i ti si nf r o n t i e r so fg e n e r a lm e c h a n i c s ( d y n a m i c s ，v i b r a t i o na n dc o n t r 0 1 ) t h i s d i s s e r t a t i o n i n v e s t i g a t e st h em o d e l i n go fa c o n s t r a i n e ds u p e r - t h i ne l a s t i cr o da n da n a l y s e so ft h es t a b i l i t yi ne q u i l i b r i u m t h e e x i s t i n gr e s e a r c hr e s u l t sa r es u m m a r i z e d a n a l y t i c a lm e c h a n i c s i ss y s t e m a t i c a l l ya p p l i e d t om o d e la ne l a s t i cr o d 。t h es c h r 6 d i n g e re q u a t i o ne x p r e s s e db yc o m p l e xc u r v a t u r e so r c o m p l e xb e n d i n gm o m e n t si s ，r e s p e c t i v e l y , e x t e n d e df r o mc i r c u l a rt on o n c i r c u l a rc r o s s s e c t i o n 。e q u i l i b r i u mo f ar o dc o n s t r a i n e do nas u r f a c ei si n v e s t i g a t e d s p e c i a ls o l u t i o n s o ft h ek i r c h h o f f e q u a t i o nr e l a t e dt ov a r i o u sr e f e r e n c ef r a m e s ，s u c h a si n e r t i ac o o r d i n a t e s y s t e m s ，p r i n c i p a lc o o r d i n a t es y s t e m sf i x e di nc r o s ss e c t i o na n dt h ef m n e tc o o r d i n a t e s y s t e m so f c e n t r a ii i n eo far o d ，a r eo b t a i n e da n dt h e i rl y a p u n o vs t a b i l i t yi sa n a l y z e d g e o m e t r i c a lr e l a t i o n s h i p sb e t w e e nd e f o r m a t i o na n dk i n e m a t i c so fac r o s ss e c t i o na r e d e r i v e d d y n a m i c a le q u a t i o n so f ac r o s ss e c t i o no far o da r ee s t a b l i s h e da n dt h e o r e m s o nt h ef i r s t a p p r o x i m a t i o ns t a b i l i t ya r ed e v e l o p e d t h ed i s s e r t a t i o nc o n s i s t so fe i g h t p a r t ss h o w n b e l l o w ： 1 ) t h ea p p l i c a t i o nb a c k g r o u n d o fe l a s t i cr o dm e c h a n i c sa n dd n a s u p e r c o i l i n g s t r u c t u r ea r eo u t l i n e d t h e s u p e r - t h i n e l a s t i cr o dr e s e a r c h h i s t o r y a n dc u r r e n t d e v e l o p m e n t s a r ed e t a i l e d i ts h o w st h e i n t e r d i s c i p l i n a r y o fc l a s s i c a l m e c h a n i c s ， m o l e c u l a r b i o l o g y a n de l a s t i cm e c h a n i c sf o rt h i ss u b j e c t 2 、t h eb a s i c t h e o r ya n d m e t h o do f a s u p e r - t h i ne l a s t i cr o d m e c h a n i c sa r ea d d r e s s e d 。 t h ef u n d a m e n t a l h y p o t h e s i s ，a p p l i c a t i o nc o n d i t i o n sa n ds i g n i f i c a n c e so f t h ek i r c h h o f f m 州了翻鼍p r e s e n t e d ，g e o m e t r i c a jd e s c r b 。_ t l c mo f at b i l _ e l a s t i c ! 、醐e q 翻i b 南_ p 确 i sg i v e n e x a m p l e so f ”t h ek i r c h h o f f d y n a m i c a la n a l o g y ”b e t w e e ns t a t i c so f a s u p e r t h i n e l a s t i cr o da n d d y n a m i c o f ah e a v y r i g i db o d y a r e p r e s e n t e d d e t e r m i n a t i o ns o l u t i o no f k i r c h h o f f e q u a t i o n o ns a i n t v e n a n t sp r i n c i p l ei se s t a b l i s h e d i ti sd i s t i n g u i s h e dt h a t t h ec o n c e p t sa m o n g l y a p u n o vs t a b i l i t y ，e u l e rs t a b i l i t ya n ds t a b i l i t yo f as t a t eo f e q u i l i b r i u m t h ec o s s e r a tt h e o r y o ns t a t i c so f at h i n e l a s t i cr o di si n 靠o d u c e d ， 3 ，) b ya p p l y i n gt h et h e o r ya n dm e t h o do fa n a l y t i c a lm e c h a n i c st ot h em o d e l i n go f a 1 1 1 t 海大学鹣士学位论文 一”一_ t h i n + e l a s t i c r o d ，t h ef r a m e w o r ko f a n a l y t i e a l m e c h a n i c si s c o n s t r u c t e d 岛rt h e e q u i l i b r i u mo f a s u p e r - t h i ne l a s t i cr o d f o rt h ec r o s ss e c t i o no far o d ，c o n c e p t ss u c ha s f r e e d o m ，c o n s t r a i n t sa n dc o n s t r a i n e de q n a t i o n sa n dc o n s t r a i n e df o r c e s8 转a n a l y z e d a n dv a r i o u sv a r i a t i o n a lp r i n c i p l e so fm e c h a n i c s , s u c ha st h e d 、a l e m b e r t - l a g r a n g e p r i n c i p l e ，t h e j o u r d a i n p r i n c i p l e ，a n d t i l eg a u s s p r i n c i p l e s a r e e s t a b l i s h e d ，t h e p r i n c i p l e sa r ea p p l i e d t od e r i v et h eh a m i l t o nc a n o n i c a le q u a t i o n ，t h e l a g r a n g ee q u a t i o n ， t h en i e l s e n e q u a t i o n ，t h ea p p e l ie q u a t i o na n dt h eb o l t z m a r m 。h o m e le q u a t i o n f o rt h e c a s et h a tar o di s s u b j e c t e dt oc o n s t r a i n t s ，t h el a g m n g ee q u a t i o nw i t hu n d e t e r m i n e d m u l t i p l i e r i s p r e s e n t e d i nt h en e i g h b o r h o o d o fa s i n g u l a rp o i n t ，t h ee q u a t i o n o f e q u i l i b r i u m 逸t r a n s f o r m e di n t ot h es a m ef o r m a st h eo n ef o rc o l l i s i o n s 。 4 。1 t h 。s c h r o d i n g e re q u a t i o ne x p r e s s e db yc o m p l e xc u i n a t t l f e so rc o m p l e xb e n d i n g m o m e n t sa r e g e n e r n i z e df r o mc i r c u i a rt on o n - c i r c u l a rc r o s ss e c t i o nb ym o o t i so f c o m p l e xr i g i d 晦o rc o m p l e xf l e x i b i l i t yr e s p e c t i v e l y w h e n 蠡。埘n c i p a ic o o r d i n a t e s y s t e n lf i x e di nt h ec r o s ss e c t i o nc o i n c i d e sw i t ht h ef r e n e to n eo f t h ee e n t e r l i n eo f ar o d ， t h e s c h r o d i n g e re q u a t i o nl e a d st ot h ed u f f i n ge q u a t i o na b o u tt h ec u r v a t u r eo ft h e c e n t e r l i n eo far o d l y a p u n m rs t a b i l i t yo fi t ss p e c i a ls o l u t i o n si si n v e s t i g a t e db a s e do n t h ef i r s t a p p r o x i m a t i o ns t a b i l i t yt h e o r y , t h e3 一d i m e n s i o n a ln u m e r i c a ls i m u l a t i o no f t h e d u f f i n gr o di sp e r f o r m e d ，a sa l la p p l i c a t i o n o ft h e s c h r 6 d i n g e re q u a t i o n , i n v e r s e p r o b l e mi st r e a t e dw h e n t h eb d l a v i o ri ng e o m e t r yi se x p r e s s e d b yc u r v a t u r e ，t o r s i o na n d a n g l eo f c r o s s s e c t i o nr e l a t e dt of r e n e tc o o r d i n a t e ， 5 ) s p e c i a ls o l u t i o n so f t h ek i r c h h o f f e q u a t i o nr e l a t e d 姆v a r i o u s 批& f e n c ef r a m e s ，s u c h a si n e r t i ac o o r d i n a t e s y s t e r n s ，p r i n c i p a lc o o r d i n a t es y s t e m sf i x e di ne r o s ss e c t i o na n d f r e n e tc o o r d i n a t es y s t e m so f c e n t r a ll i n eo f a r o d ，a r eo b t a i n e d 。t h ef i r s t a p p r o x i m a t i o n s t a b i l i t yt h e o r y i sa p p l i e dt os t u d yt h el y a p u n o v s t a b i l i t yo f t h o s es p e c i a ls o l u t i o n s s t a b l ea r e a sa r ed e t e n l a i n e di nt h ep a r a m e t e r p l a n c + d y n a m i c a la n a l o g y i sm a d ei nt h e s e d i s c u s s i o n s 。 8 ，t h ee q u i l i b r i u mo f as u p e r - t h i ne l a s t i cr o dw i t hc i r c u l a rc r o s ss e c t i o nc o n s t r a i n e dt o as u r f a c ei s a n a l y z e d 。t h ek i r c h h o f fe q u a t i o ni se s t 曲酗h o df o rc o n s t r a i n e dr o d 。t h e e q u a t i o ni sa p p l i e dt ot h ec a s ei 瓤w h i c ht h ec o n s t r a i n e ds u r f a c ei sac y l i n d e r , a n da s p e c i a ls o t u t i o no fah e l i c a lr o di sd e r i v e d ，t h e3 - d i m e n t i o n a lp l o t so ft h er o da t d i f f e r e n t n i f i a c o n d i t i o n sa r ed r a w n a c c o r d i n g 协n u m e r i c a lc o m p u t a t i o n _ 。，d y n a m i c so f ak i r c h h o f fr o di ss m d i e d t h eg e o m e t r i c a r e l a t i o n s h i p sb e t w e e nt h e m o t i o na n dt h ed e f o r m a t i o no fac r o s ss e c t i o na r ea n a l y z e d ，a n dt h ed y n a m i c a l e q u a t i o n o fac r o s ss e c t i o ni se s t a b l i s h e d e q u i l i b r i u ms t a b i l i t yo far o di ss t u d i e di nt h es e n s eo f d y n a m i c s d e f i n i t i o n so fs t a b i l i t yo f d i s c r e t ed y n a m i c a ls y s t e mw i t ht w oi n d e p e n d e n t v a r i a b l e s ，i , e ，t i m e a n d a r c , c o o r d i n a t e ，a t eg i v e n a n dt h e o r e m so nt h e f i r s t - a p p r o x i m a t i o ns t a b i l i t yf o r t h es s t e ma r ed e v e l o p e & 匕海大学博士学位论文 8 ) c o n c l u s i o n so ft h ep a p e ra r eg i v e n f u t u r er e s e a r c ht o p i c sp r o p o s e d t h o s et o p i c s i n c l u d ear o dw i t hn o n l i n e a rc o n s t i t u t i v er e l a t i o n sa n d o rs 嘲e e t e dt ov a r i o u sk i n d so f c o n s t r a i n s ，i n v e r s ep r o b l e mo fr o dm e c h a n i c s ，n u m e r i c a ls i m u l a t i o nf o rm o r eg e n e r a l e a s e ，a n dp r o b l e m sa r i s i n gf r o mm o l e c u l a rb i o l o g y k e y w o r d s ：s u p e r - t h i n e l a s t i c r o d ，k i r c h h o f ft h e o r y , a n a l y t i c a l m e c h a n i c s ， s c h r 6 d i n g e re q u a t i o n v 上海大学 y 6 7 8 2 3 6 零论文爱答辩委曩会全捧娄爨零囊，蘸谖簿禽主海夫学蒜壹攀爨 谂文震登要求。 答辩委员会揸名l 主程； 工谗单位鞭稼 拗篓碡灞辈旃 瀹主脚匦詈 戮彬镌燃卿豸媲地妫洲叭 导 舞：i 专蔓药 原创性声明 本人声明：艨墨交的论文楚本人在导孵搬导下进行豹硪究王 乍。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其德人融发表 或撰霹遥憋 雾究藏暴。参与弼一工彳擘兹其恐嚣志对本研究所擞豹任舞 贡献均已在论文孛作了骥确的说鞠荠裘示了灞意。 签名：剪囊鬏加芦。厂 本论文使用授权说明 本入完全了髂上海太学有关保露、使瘸学位论文的裁定，获9 ：学 棱有权保整论文及送交论文复印件，允许论文被燕阕移倦阕；学校可 以公布论文肫全部或部分内容。 保密豹论文在解密后鹰遵守此觏定) 签名： 丝导爨签名：隧鼠期： 函谚、厂 上海大学懈士学位论文 第一牵前言 1 1 弓l 言 经典力学帮分子生物学这两门学耱在上毽缌7 0 年代拽蜀了结台熹，d n a 等 类生物大分子以超细长弹性杆为力学模型用k i r e h h o f f 弹性杆理论研究其平衡和 稳定犍翊趣，形瘦一令分子生鐾学与力学交叉数赣鹣醪究领域。这一孥辩豹交叉 起因于分子生物学需要研究生物分子的空间形恣，它照其生物化学性质的重要决 定因素之，露其力学模型属予k i r c h h o f f 弹性辑理论的研究范畴。分予生物学背 景为弹性细秆力学不断提出新的研究课题，经典力学为分子生物学现象作出力举 解释，这种交叉与渗透极大地促进了学科的发展，反映了当代料学发展的基本趟 努。 本章首先简述超细长弹性杆的应用背景和d n a 双螺旋结构，重点阐述弹性细 杼研究翡历变稻瑷狡、壤连奉逡题靛意义戳及本文豹主溪工终及菸特熹。 1 2 超细长弹性杆非线性力学的 应用背景翻d n a 双螺旋结枣每 长期以来，弹性细烀力学 謦为弹性力学的分支是以柱、电缆、绳索、钻抒等 为其工程背景加以研究的。而促成其近代发展怒却是分子生物学。 在分子生物学领域中，w a t s o n 署h c r i e k ( 1 9 5 3 年4 n 2 5 目的英国自然杂志) 提 图1 ，1d n a 双螺旋结构， 图1 2d n a 趟螺旋结构 出d n a 分子的双螺旋三维结构模型成y 0 2 0 t ：纪嫩伟大的科学发现之一，他俩斟此 荣获1 9 6 2 年漤爱尔奖“越。扶此以压，关予d n a 媳基础理论研究不断驭撼突破，促 上海大学博士学位论文 进了以遗传工程为代表的生物技术的迅速发展。d n a 双螺旋结构由两条螺旋形脱 氧核替酸镳帮联系二臻夔线麓碱基瓣组成( 燕餮1 1 ) ，可瑷分藏多令层次狰4 i ：一 级结构，即化学结构，指d n a 分子中的核替酸的排序：二级结构，指d n a 的双螺 旋绥橡；三级结构，揆双螺旋链的援麴，铡熟，超螺旋缝稳( 见图l 。2 ) 。为有霹戆硬 究这种三维结构的几何形态及稳定性，f u l l e r 提出可以建立一种简化的宏观力学模 型【甜，即简化为具露原始扭率的圆截砸线弹性细杆【6 】。以这瓣力学横型为基础，经 典力学静基本原理和方法可以得到充分应翊。所需疆的基本物理常数，如杨氏模 量、泊松比，以及相应的抗弯和抗扭刚度等均可由实验测定( 见表l 。1 ) 7 1 ，其余 参数可由袭中数据谤算褥劐，镄弼，截面豹直径、对主季蠡瓣馁往鬣帮对形心静投 惯性矩等几何参数，以及剪切模量簿物理参数。微观的d n a 分子以弹性细杆为宏 戏力学模型，其超纲长性霹爝入钵纲照的觳大染龟髂获含戆d n a 分子说唆：螺蓑 直裰约为2 n m ，而长度可达7 e m ，杼长为直径的3 5 x 1 07 倍! 如此超细长分子链往复 缠绕容纳奁拳径仅羚f 髓熬狭夺数缨施棱空阕内。困i i 毫d n a 熬弹性爨模型娃蕻援蠛 细长性和超大变形而完全不同于传统弹性力学的研究对象。 表1 1d n a 的几何和物理参数的舆型实验数据 参数名称符号实验数爨 截丽积4 3 1 1 0 - 1 4 c m 2 扬氐模量豆1 6 x 1 0 9 d y n e e m 2 泊松比 vo 2 3 挠弯刚度 “。b 1 。3 x 1 0 一”e r g t c m 抗翘刚度 c1 o 1 0 一”e r g c m 原始曲率掣o 0c m ”1 原始扭率彩； 1 8 1 0 7 c r r l 一1 1 。3 超细长弹性杼非线性力学 的研究历史和现状 弹性细杆的平街和稳定性是经热的力学问题，其研究历史最早可追溯到d a n i e l b e r n o 珏l l i 秘e u t e r 1 7 3 0 ) 8 1 。e u l e r 建立躲绥长基抒的稳定整理论在褒找王程援 术中得到广泛的应用，稳定性已成为衡嚣压杆承载能力的重要指标之【9 1 。 k i r c h h o f f ( 1 8 5 9 ) 建立的弹性缨杼静力学理论属于小应变大位移( 戗括大转动) 理 论f l 。1 ，强电缆、绳索、锚杆等为其工程背景，研究平衡和稳定性问题。遮一理 上海大学博士学位论文 论的特点是杆的静力学平衡方程与重刚体的定点转动动力学方程在数学形式上完 全一致，因而可以对弹性杆静力学进行动力学比拟，即用动力学的概念和方法研 究杆的静力学问题。由于对象的不同，也带来了一些新的和困难的问题。k i r c h h o f f 理论在l o v e ( 1 9 2 7 ) 的弹性力学著作中有详细的叙述【l 2 】。国内关于弹性杆的研究多 从固体力学的角度研究其应力和应变的关系以及通常意义上的大位移问题，而关 于k i r c h h o f f 理论的论述和研究工作不多，仅在陈至达( 1 9 9 4 ) 以及武际可和苏先樾 ( 1 9 9 4 ) 1 约著作中有简略的介绍【1 玉。没有找到国内出版的包括此部分内容的其它 弹性力学著作。 国内或中文文献对弹性细杆k i r c h h o f f 理论的研究较少且多限于工程技术背 景。武际可( 1 9 8 7 、1 9 9 4 ) 等从k i r c h h o f f 方程出发研究了弹性细杆受压时平衡的e u l e r 稳定性【1 41 5 】；指出如果扰动方程没有非零解，则平衡位形是稳定的，反之是不稳 定的，给出了5 个算例。吴柏生( 1 9 9 1 ) 研究矩形截面细长杆在轴压下的后屈曲行为 和二次分叉，分析了各个解支的稳定性【1 “。陈至达( 1 9 9 4 ) 用一维拖带坐标阐述了 k i r c h h o f f 理论，给出了应用椭圆积分求解梁与框架大挠度的一些数值结果，用 k i r c h h o f f 方法建立了任意形状截面杆的运动方程，讨论了螺旋弹簧的平衡问题i l 。 以石油工程为背景，刘风梧( 1 9 9 8 ，1 9 9 9 ) 等研究了管柱在压扭组合作用下的屈曲行 为1 1 7 。18 】：李尧臣( 2 0 0 2 ) 研究圆截面杆在曲线井中的屈曲问题 1 9 1 。刘延柱( 2 0 0 1 ， 2 0 0 2 ，2 0 0 3 ，2 0 0 4 ) 以d n a 双螺旋结构为背景，建立了螺旋杆力学模型【2 们，显然 较文献中的直杆，或是具有原始曲率和扭率的曲杆，螺旋杆力学模型更符合双螺 旋结构的实际情形；将动力学中的两个重要的基本概念应用到弹性细杆的静力学 中去，研究了非圆截面弹性细杆的平衡稳定性和分岔【2 1 1 ；建立了双自变量离散系 统平衡的动态稳定性定义和一次近似方法，讨论了直杆平衡的动态稳定性，指出 静态稳定是动态稳定的必要条件1 2 2 1 。这里的稳定性是指l y a p u n o v 稳定性 2 3 1 。讨论 了弹性细杆的螺旋平衡的分岔和稳定性【2 4 】。对弹性细杆基因模型作了综述，提出 了一些值得探讨的问题【2 ”。 近3 0 年中，弹性细杆非线性力学的英语研究论文超过二百篇。除力学期刊以 外，多发表在化学物理( c h e m i c a lp h y s i c a ) 、物理化学( p h y s i c a lc h e m i s t r y ) 、物 理评论( p h y s i c a lr e v i e wl e t t e r s ，p h y s i c a lr e v i e w ) ，高分子化学( b i o p o i y m e r s ) 、 以及分子生物学( m o l e c u l a rb i o l o g y ) 等学科的刊物上。f r i s c h - f a y ( 1 9 6 2 ) p 6 j a n t m a n ( 1 9 7 2 ，1 9 9 5 ) 1 2 7 , 2 8 】和i l y u k h i n ( 1 9 7 9 ) t 2 9 1 的专著系统地总结了弹性杆非线性力学的经典 理论。 弹性细杆的平衡和稳定性问题有着广泛的实际背景，电缆、绳索、钴杆、纤 维乃至自然界中攀藤植物的细茎都可将弹性细杆作为其力学模型。以海底电缆等 工业技术为背景，z a j a c ( 1 9 6 2 ) 口o j ，c o h e n ( 1 9 6 6 ) 驯，j a m e s ( 1 9 8 1 ) j ，k n a p ( 1 9 8 8 ，1 9 9 4 ) 3 3 , 3 4 1 ，c o y n e ( 1 9 9 0 ) 3 5 1 等对圆截面杆的平衡稳定性问题作了深入的研究。由于数学 微分方程的相似性，弹性杆非线性力学的研究结果也与更广泛的领域发生联系， 如卷浪的传播、涡管的运动、太阳黑子的形成等。而近代最重要的促使弹性细杆 上海大学博士学位论文 力学发展的新领域是分予生物学。 大量的研究论文是以分子生物学为背景，弹性细杆是作为d n a 等一类生物大 分子的力学模型研究的。在表现弹性杆的几何形态上是用截面的姿态坐标，例如 e u l e r 角等；用扭转数( t w i s t i n gn u m b e r ) 、连接数( 1 i n k i n gn u m b e r ) 和缠绕数( w r i t h i n g n u m b e r ) 等表示中心线和截面相对中心线的拓扑性质【3 ”，杆的中心线又分为封 闭和不封闭2 种情况。在建模方法上有k i r c h h o f f 方程的矢量方法，有最小势能原 理和l a g r a n g e 方程和h a m i l t o n 原理为代表的分析力学方法【4 4 ”，以及由这些方程 经数学变换导出的其它形式的方程，如s c h r 6 d i n g e r 方程。在研究内容上主要是平 衡和稳定性问题以及混沌、分岔等【4 ”。求解目标主要是解析解和数值解以及解的 可视化。在杆的运动形态上大多属于静力学，运动学和动力学相对较少。在杆与 周围的接触上，多不考虑所处环境，少量文献研究考虑自身接触或存在约束或存 在介质的情况。 代表性工作主要有： f u l l e r ( 1 9 7 1 ) i s l 最早研究了d n a 双螺旋结构的拓扑性质，定义并研究了缠绕数 这一空问曲线的几何不变量，讨论了d n a 双螺旋分子连接数的影响因素和局部受 扭杆的螺旋减弱问题【4 14 4 】；还讨论了生物学中的一些数学问题【4 ”。 v a nd e rh e , d e n 、c h a m p n e y s 和s t u m p 等f 1 9 9 7 2 0 0 3 ) 发表了一系列文章，研究 了非圆截面杆的平衡和屈曲等问题【4 “j 。在考虑剪切变形的情况下用c o s s e r a t 理 论建立了平衡方程【4 6 】，并用打靶法计算了边值问题【5 3 j ：讨论了平面上的杆的平衡 等问题 48 】；研究了依靠端点力和力偶约束在柱面上的杆的平衡问题，当截面是对 称时平衡方程等同于单自由度振子的振动方程口。”】。用匹配渐近展开方法研究了 在重力和液体浮力联合作用下受扭固支杆的平衡问题【5 。以电缆为背景，研究在 固定端条件下压弯变形杆的侧向不稳定性【5 i ：以工程绳索和生物纤维为背景，研 究了n 股绳索的几何和平衡问题f 5 “。考虑杆之间的接触力，改进了不可仲长弹性 杆的缠绕模型口9 1 。用渐近方法和数值方法研究了有限长的杆在一端用铰支悬挂和 重力作用下的平衡问题。对杆的互相缠绕进行的几何研究【5 8 “。利用k i r c h h o f f 动力学比拟和扭转数、连接数和缠绕数概念计算了屈曲后杆的几何性质【4 ”j 。 s t a r o s t i n 等用k i r c h h o f f 理论研究了环状d n a 的3 维几何形状1 6 ”，并考虑了 与自身的接触【6 6 ”1 ，用弹性力学近似方法给出了封闭d n a 的各种3 维几何形状【6 。 s h i 和h e a r s t 对杆平衡方程形式的研究最为突出1 6 “7 i i 。对于圆截面杆，建立了 以复曲率为变量的，与孤立子理论中的s c h r 6 d i n g e r 方程具有相同数学形式的平衡 微分方程，使应用孤立子理论的概念和方法研究杆的平衡和稳定性问题成为可能。 此方程可以导出以挠性线的曲率和挠率为变量的微分方程，进而得到初积分和用 椭圆函数表示的解析解。用曲率和挠率为变量的平衡方程将为解决一类平衡的反 问题带来方便。 对弹性细杆动力学的研究是以g o r i e l y 等人的工作为代表。用摄动方法研究了 弹性细杆平衡的稳定性旧7 3 】；并进行了非线性分析【7 47 5 】；研究了直螺旋杆的稳定 上海大学博士学位论文 性和分瓮现象【7 6 _ 7 8 ；描述了受扭杆自发环( s p o n t a n e o u sl o o p i n g ) 的形成，讨论了 其稳定性问题m 8 0 1 ，等等i 8 1 1 。 d a y i s 和m o o n ( 1 9 9 3 ) ”等研究了弹性杆力学中的分岔和混沌问题。 将d n a 双螺旋的力学模型取为对称、线弹性杆进行平衡问题研究的还有早期 的b e n h a m 的工作m ”。8 “。 值得注意的是z h o u ，z h a n g 和o u y a n g 与分子生物学实验结合的理论工作表明 了这一交叉学科的实际意义 8 9 - 9 1 j 。 t o b i a s 和c o l e m a n 等的工作面较广【9 2 - 9 4 】。为求解弹性杆的平衡位形和用连接数 的改变a t w 表示弹性变形能而提出了基于k i r c h h o f f 理论的有限元方法，这个方法 还可以处理存在自身接触的问题1 9 5 j ；用k i r c h h o f f 理论处理了端点受约束的环状 d n a 片段的平衡问题【9 6 】；在杆端受约束时的弹性势能中引入l a g r a n g e 乘子并对 e u l e r - l a g r a n g e 方程应用n e w t o n r a p h s o n 方法进行数值计算，讨论了带切口和不 带切i = 1 的环的平衡问题【9 7 】；讨论了具有原始曲率和原始扭率的封闭圆环的转动动 力学憎驯；用e u l e r 参数表示位形，对具有原始曲率且沿杆长方