（应用数学专业论文）波动方程位势井深度的计算与适定性.pdf

哈尔滨t 程大学硕士学位论文 摘要 本文引进一种新的位势井方法研究了一类半线性波动方程的初边值问题 解的适定性这种新的位势井方法提供了一套计算位势井深度的行之有效的 途径，并使得应用位势井理论处理问题的内外机制更加清晰明了，从而进一步 丰富和发展了位势井理论 本文首先通过构建新的变分问题来计算位势井深度并定义新的位势井， 然后采用新的位势井方法得到了解的不变集合新位势井方法结合紧致性方 法得到了解的整体存在性，结合凸性方法得到了解的有限时间爆破本文还通 过这套新位势井理论得到了临界初始条件下相应问题解的不变集合，整体存 在性和有限时间爆破本文中的主要定理揭示了解的初始值对整体适定性的 影响，非线性源项的增长阶数和项数对位势井深度的影响也在本文中得到了 形象刻画此外，本文还将新的位势井方法与以往的位势井方法做了比较，充 分总结了新位势井方法的优点和弊端 关键词：波动方程；整体存在性；有限时间爆破；位势井深度 哈尔滨工程大学硕士学位论文 a b s tr a c t t b j st h e s i ss t u d i e st h ew e l l p o s e d n e s so fs o l u t i o n st oi n i t i a lb o u n d a r yv a l u e p r o b l e mf o r ac l a s so fs e m i l i n e a rw a v ee q u a t i o n sb yi n t r o d u c i n gan e w p o t e n t i a lw e l l m e t h o d t h en e wp o t e n t i a lw e l lm e t h o dp r o v i d e sa ne f f e c t i v ea p p r o a c ht oc a l c u l a t e t h ed e p t ho fp o t e n t i a lw e l l ，a n dm a k e st h ei n t e r n a la n de x t e r n a lm e c h a n i s m st h a tw e u s ep o t e n t i a lw e l lt h e o r yt op r o c e s sp r o b l e mm u c hm o r ec l e a r c o n s e q u e n t l y t h i s w o r kf u r t h e re n r i c h e sa n dd e v e l o p sp o t e n t i a lw e l lt h e o r y t h et h e s i sc a l c u l a t e sd e p t ho fp o t e n t i a lw e l la n dd e f i n e sn e w p o t e n t i a lw e l lb y c o n s t r u c t i n gn e wv a r i a t i o n a lp r o b l e m t h e nt h ei n v a r i a n ts e t so fs o l u t i o n sa r eo b - t m n e db yn e w p o t e n t i a lw e l lm e t h o d t h eg l o b a le x i s t e n c eo fs o l u t i o n si so b t a i n e d b yn e wp o t e n t i a lw e l lm e t h o da n dc o n v e r g e n c em e t h o d t h ef i n i t et i m eb l o w u p o fs o l u t i o n si so b t a i n e db yn e wp o t e n t i a lw e l lm e t h o da n dc o n v e x i t ym e t h o d t h e t h e s i sa l s oo b t a i n st h ei n v a r i a n ts e t s ，g l o b a le x i s t e n c ea n df i n i t et i m eb l o w u po f s o l u t i o n sf o rt h ec o r r e s p o n d i n gp r o b l e mw i t hc r i t i c a li n i t i a lc o n d i t i o nb yn e w p o t e n t i a lw e l lt h e o r y t h em a i nt h e o r e m so ft h et h e s i sr e v e a lt h ef a c tt h a ti n i t i a lv a l u e o fs o l u t i o n si n f l u e n c e st h eg l o b a lw e l l p o s e d n e s so fs o l u t i o n s a n dt h ei n f l u e n c e o ft h en u m b e ro fn o n l i n e a rs o u r c et e r m sa n dg r o w t ho r d e ro ft h e ma r ec h a r a c t e r - i z e dv i v i d l yi nt h et h e s i s i na d d i t i o n ，t h et h e s i sm a k e sac o m p a r i s o nb e t w e e nn e w p o t e n t i a lw e l lm e t h o da n dp r e v i o u so n e i no r d e rt os u m m a r i z ea d v a n t a g e sa n dd i s - a d v a n t a g e so fn e wp o t e n t i a lw e l lm e t h o d k e y w o r d s ：w a v ee q u a t i o n ；g l o b a le x i s t e n c e ；f i n i t et i m eb l o w - u p ；d e p t ho fp o t e n t i a l w e l l 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本学位论文的所有工作，是在导师的指导下，由作者本人 独立研究完成的有关观点、方法、数据和文献的引用已在文中指出，并与参 考文献相对应除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含 任何其他个人或集体已经公开发表的内容对本论文所涉及的研究工作做出 贡献的其他个人和集体，均已在文中阐明本人完全意识到本声明的法律结果 由本人承担 作者( 签字) ：纠j 军 日期：砷年6 月f 日 哈尔滨工程大学 学位论文授权使用声明 本人完全了解学校保护知识产权的有关规定，即研究生在校攻读学位期 间论文工作的知识产权属于哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件本人允许哈尔滨工程大学将论文的 部分或全部内容编入有关数据库进行检索，可采用影印、缩印或扫描等复制 手段保存和汇编本学位论文，可以公布论文的全部内容同时本人保证毕业后 结合学位论文研究课题再撰写的论文一律注明作者第一署名单位为哈尔滨工 程大学涉密学位论文待解密后适用本声明 本论文( r l 在授予学位后即可口在授予学位1 2 个月后口解密后) 由哈尔滨 工程大学送交有关部门进行保存、汇编等 i 作者( 签字) ：剃洋导师( 签字) ：歹i f 面 日期： 2 0 d 7 年6 月箩日加坼年易月妒 哈尔滨工程大学硕士学位论文 1 1 半线性波动方程 第1 章绪论 波动方程对于量子力学及其发展，具有特别重要的地位和意义首先，波 动方程深刻地反映了微观客体运动的基本规律波动方程是直接从德布罗意 的物质波概念导出的，后来波函数的物理意义又得到了明确的统计解释，即波 函数绝对值的平方的数值表示粒子在该点出现的几率这就使波动方程更明 确的反映了微观客体的波粒二象性，使人类对于微观世界的认识再一次深化； 其次，波动方程的建立，提供了系统的、定量的处理有关原子结构问题的理 论在此之前，爱因斯坦的量子论和玻尔的原子结构理论，只能对原子机构和 运动规律作定性的描述，而波动方程建立之后，便由定性描述变为定量描述； 再次，波动方程原则上能解释除了物质的磁性及其他相对论效应之外的所有 原子现象，它在原子物理学中的应用较为广泛，随着波动方程的建立，许多新 兴技术相继诞生 因此，以波动方程为核心的波动力学迅速得到了物理学家们的普遍接受， 其中，半线性波动方程作为一类较基础且重要的波动方程，自2 0 世纪6 0 年代 便被广大数学工作者们所关注迄今为止，关于半线性波动方程解的适定性研 究，已经有了较多的成果，见文献【1 】一【2 6 对于下面佗维空间上的二阶半线性波动方程 钆托一a u = ，( u ) ，x q ，t 0 ( 1 - 1 ) g l a s s e y 在文献【1 6 】中研究了方程( 1 1 ) 的初边值问题和柯西问题，初值 条件为 扎( z ，0 ) q ，u t ( x ，0 ) p ，比sc r n 边界条件为 u ( x ，t ) = 0 ，z o g t ，t 0 哈尔滨工程大学硕士学位论文 或 u ( x ，t ) = 圣( z ，亡) ，刀a q ，t 0 或更般形式的线性齐次边界条件，其中q 是r n 中具有光滑边界a q 的有界 开区域，非线性项f ( u ) 满足：，( 让) 9 ( “) ，g ( u ) 为满足局部利普希茨条件的下 凸函数，且9 ( s ) 一a s 非负，对s o t 不减，当s _ + 。时9 ( 8 ) 增长足够快使得 ，o 。，s、一互1 积分t o = 入q 2 + p 2 一a s 2 + 2 9 ( ) d ) d s 收敛 作者对不同情形的问题，将初始条件中的0 l ，s 和f ( u ) 满足的上述基 本条件适当调整，再选取适当的砂( z ) ，构造咖( t ) = 矽( z ) u ( z ，t ) d x ，通过咖( t ) 的常微分不等式处理问题，证明了方程( 1 1 ) 初边值问题和柯西问题古典解的 有限时间爆破定理 众所周知，同一个偏微分方程在不同的非线性项约束条件和不同的初边 值条件下，往往会有不同的整体解存在定理与不存在定理 刘亚成在文献【1 7 】中同样研究了方程( 1 1 ) 的初边值问题，初边值条件为 钍( z ，0 ) = u o ( x ) ，饥( z ，0 ) = 钍1 ( z ) ，z q u ( x ，t ) = 0 ，z o f t ，t 0 其中qcr n 为有界域，不过要求非线性项，( 乱) 满足如下3 个条件： ( 1 - 2 ) ( 1 3 ) ( i ) ，c 1 ，y ( o ) = ，7 ( o ) = 0 ( i i ) ，( u ) 是单调的，当钍 0 时为下凸函数，当u 0 时为下凹函数 ( i i i ) ( p + 1 ) f ( u ) u s ( u ) ，i u s ( u ) i 7 1 f ( u ) l ，其中若r 。= 1 ，2 ，则2 p + 1 ，y c = zu p u 七 o ；m = u ，j i i u 一 配 u 6 o q zu 一 u b 。芦 一u p u 岛 0 ，胁 = u ， = u 一 托 u 哈尔滨r t 程大学硕十学位论文 ( i ) f ( u ) = ，( s ) d s ( i i ) ，c 1 ，f ( o ) = ，( o ) = 0 ，f 在原点的邻域内不为0 ( i i i ) ( a ) 对于u ( 一o o ，o 。) ，f ( u ) 是单调的当u 0 时，( u ) 下凸；当仳 0 时，f ( u ) 下凹或( b ) 对于u ( 一，o 。) ，( 乱) 下凸 ( i v ) + 1 ) f ( u ) u f ( u ) ，l u f ( u ) i ，y i f ( 乱) l 其中若礼= 1 ，2 ，则2 p + 1 ，y o o ；若n 3 删2 0 ，j ( u ) d ) u o ) 4 哈尔滨工程大学硕十学位论文 与井外集合 v = 让三酪( a ) l i r ( u ) 0 ，s ( u ) d ) 作者利用位势井方法得n t 这样的结论：若( u ) 满足规定的约束条件，并且 u o v ，e ( 0 ) d ，则问题( 1 1 ) ，( 1 2 ) ，( 1 3 ) 的弱解在有限时间爆破 由文献【2 6 】对位势井的定义，我们可以获知位势井方法是用势能项控制 非线性项对系统的影响，使得系统总能量正定的一种方法2 0 0 3 年，刘亚成在 文献【1 9 】中首次引进了位势井族，从而进一步丰富和发展了位势井理论刘亚 成在文献【1 9 】中研究了初边值问题( 1 - 4 ) ，( 1 2 ) ，( 1 3 ) ，其中qcr n 为有界域， 若佗= 1 ，2 ，则1 p o o ；若n 3 ，则1 0 ，g ( u ) d ) u o ) y = u 硪( q ) i j ( 饥) 0 ，j ( u ) o u u 即 d = u i n fj ( 钍) ，= u 础( q ) i m ) = 0 ，i l v u i i 0 ) 为了引进位势井族，作者定义 如( 铭) = 扣酬2 一而1 州p + l ，。 6 0 ，j ( t ) d ) u 9 ) ，0 6 1 与井外集族 k = u 础( q ) i 以( u ) 0 ，j ( u ) d ) ，0 6 o ，p g 的初边值问题，初边值条件都为( 1 2 ) ，( 1 3 ) 显然，它们属于一类具有负定能量 的半线性波动方程( 1 1 ) ，( u ) 由若干个士i u i ) 、- - 1 让( a 1 ) 之和构成 尽管本文中的三个方程初边值问题解的适定性已被很多数学工作者研 究，并取得了丰硕的成果但本文的创新之处在于引进与以往不同的位势井方 法来获得与以往相同或相似的结论，( 即整体解的存在性定理和爆破) ，并提供 一套计算位势井深度d 的行之有效的方法 本文构建新的变分问题，该变分问题继承原有的变分问题理念，以得到势 能表达式j ( u ) 的临界值d 然而新的变分问题并不引入n e h a r i 泛函，( 让) ，故 也无需引入n e h a r i 流形，于是稳定集与非稳定集的定义更为简化我们首先 改写j ( u ) 的表达式，用秒代替l i v u l l ，然后写出g ( y ) 关于y 的表达式，并求其 极值点珈，利用掣。定义稳定集与不稳定集即位势井 与井外集合 w = u 硪( n ) l l l x 7 u l i 0 u ( x ，0 ) = u o ( x ) ，饥( z ，0 ) = h i ( x ) ，z q u ( x ，t ) = 0 ，z a q ，t 0 其中qc 酞n 为有界域，非线性项的增长阶数p 满足 ( h ，) 当n ：1 ，2 时，l p 。o ；当佗3 时，1 p 暑笺 2 1 位势井深度的计算与位势井的引进 对于问题( 2 1 ) ，( 2 - 2 ) ，( 2 3 ) ，我们定义 e ( 1 ) = 扣1 1 2 + 妒1 让u 2 一而1 删p 小+ l ( 2 - 1 ) ( 2 - 2 ) ( 2 - 3 ) j ( u ) = 扣珏肚而1 p p + 十t l 引理2 1 设p 满足( h 1 ) ，u 硪( q ) ，i i v u l i 0 ，则，( p u ) 当0 弘 p 。时严 格单调递增，当m p ( 等纠 一 u 锄q 巾训= ( 等d ) 5 ) 9 ( 2 4 ) ( 2 5 ) 仉 理 | | 引 肌该 = i l 。唯n 彩 弘 ， 以 m 旦批乩 口d一“即旦批 ， ， “ 时 p p ) 优 p 。 p p 使 神 i 毗 以 “d 一从旦批 i l 吼 以 以 在 存 p 然 u 。p + 1 ( i i ) 若u o w ，则i l v u l l 2 u p 一+ 1 证明 ( i ) 由于u w ，故 酬l ( 警司5 又由计算出的位势井深度，即式( 2 - 5 ) ，可得 w l i 筹： ( i i ) 由上面对( p 的推导我们不难看出，若乱o w ，即i i v u l i = ( 等d ) 虿测酬训筹； 2 2 解的不变集合 定理2 1 设p 满足( h 1 ) ，u o ( x ) 硪( q ) ，u i ( z ) l 2 ( q ) ，0 e ( o ) d ( i ) 若u o ( x ) w ，贝0u ( 亡) 0 t o o ； l o 哈尔滨工程大学硕士学位论文 ( i i ) 若u o ( x ) v ，贝0u ( t ) v0 t o o 证明 ( i ) 反证法由于咖( z ) w ，若u ( t ) 譬w ，则必然存在第一个使u ( t ) c o w 的时刻t o ，0 t o ，即u ( t o ) o w ，则有 酬纠| l 一( 智司5 由引理2 2 中的( i i ) 可知 j ( 仳( t 。) ) = 扣u ( 圳2 一而1 帅。p + 1 = ( 丢一击) w ) 1 1 + 赤( i i v 绯。) 1 1 2 州嵝p 鞫+ l 晶酬蛐i 1 2 ， = d 显然，这与e ( o ) = e ( t ) = 去i l 饥1 1 2 + ，( “) d 相矛盾故u ( t ) 彬0 口 t ( i i ) 仍采用反证法，由于u o ( x ) v ，若u ( t ) 芒v ，则必然存在第一个使 u ( t ) o v 的时刻t o ，0 t o 。，即u ( t o ) o v 剩余部分的证明与( i ) 相同 2 3 解的整体存在性与有限时间爆破 定义2 1u ( x ，t ) 被称为问题( 2 1 ) ，( 2 2 ) ，( 2 3 ) 在qx 【0 ，t ) 上的弱解若 u ( t ) l 。( o ，丁；础( q ) ) ，u t ( t ) l 。o ( o ，丁；l 2 ( q ) ) ，并且满足 p tf t ( i ) ( 地， ) + ( v 钍，v ) d t = ( 1 u l p - 1 钍，u ) d r + ( 仳l ，u ) ，v v 硪( q ) l ，0j 0 ( i i ) u ( x ，0 ) = u o ( x ) 于础( q ) 哈尔滨工程大学硕士学位论文 定理2 2 设p 满足( h 1 ) ，u o ( x ) h a ( q ) ，u l ( z ) l 2 ( q ) 若0 e ( 0 ) d ，u o ( x ) w ，则问题( 2 一1 ) ，( 2 2 ) ，( 2 3 ) 存在一个整体弱解u ( t ) 己o o ( o ，o 。；h a ( q ) ) ，舰( 亡) l o o ( o ，o o ；l 2 ( q ) ) ，并且u ( 亡) w ，0 t 证明设 ) ) 为冠j ( q ) 的一个基函数系，构造问题( 2 一1 ) ，( 2 2 ) ，( 2 - 3 ) 的近 似解 u 仇( z ，t ) = 蛎( 亡) “o ( z ) ，m = 1 川2 - j = l 其中，g j m ( ) 满足如下的常微分方程组的初值问题 ( 钍m “，地) + ( v m ，v w 。) = ( i 钆m i p 一1 u m ，w 8 ) ，s = 1 ，2 ，m( 2 6 ) 卯m ( o ) = a j m 彰m ( o ) = 幻m m ，幻m 的选取应使得 孔m ( z ，o ) = a j r 珂w j ( z ) 一u o ( z ) 于础( q ) 7 = 1 t ( z ，o ) = 幻m 嘶( z ) 一u ( z ) 于己2 ( q ) 在式( 2 6 ) 两边同时乘以彰m ( 亡) ，再对s 求和，可得 d - 一7 阻i it i l 2 + 扣u m l l 2 一而1 埘： _ 0 对t 从0 到t 积分，得 ( 2 7 ) ( 2 - 8 ) 111 e r a ( t ) 。主i l u m t i l 2 + 主i i v 乱m i l 2 一南i i 驯 p + 1 l = e r a ( 0 ) ( 2 - 9 ) 1 2 哈尔滨工程大学硕士学位论文 其中 e r a ( o ) = 扣。( o ) 1 1 2 + 扣v ( 0 ) 1 1 2 一而1 i i 钆m ( o ) p + l 由式( 2 7 ) ，( 2 - 8 ) 和s o b o l e v 嵌入定理，可知( o ) 有界由于铷( z ) w ， 0 e ( o ) 0 进而对于充分大的7 n ，有( o ) 一e ( o ) ，0 ( o ) 0 ， 有( ) w 故 啊训 ( 掣圹1 唆 。o 进而有 蚓i v 孔m i | a ( 掣d ) i 1 胚亡 o o 若i i v u m l | 0 ，则由引理2 2 中的( i ) 和式( 2 9 ) ，可知 u m t l l 2 2 d ，0 t 0 0 若i i v u m i l = 0 ，则由式( 2 - 9 ) ，显然上式仍成立 从而存在u 及 ) 的子序列 ) ，使得当_ 。时，有： 札) 在l o 。( o ，；硪( q ) ) 中弱丰收敛于u ，且在q 【0 ，) 中几乎处处收 敛于让； 乱以) 在l o 。( o ，o o ；l 2 ( q ) ) 中弱球收敛于毗； 1 钆p i p q u p 在l o o ( o ，0 0 ；l 7 ( q ) ) 中弱牢收敛于i u l p 。钆，且在q 0 ，。) 中 几乎处处收敛于l 乱i p - 1 u ，其中7 ：型 哈尔滨工程大学硕士学位论文 仕氏【z o ) 网地刈艺积万，1 哥 ( 。，叫。) + z 。( v u r , , , v w 8 ) d 丁= f o ( 1 u l l 州，叫。) 打+ ( 和) ，叫。) 固走s ，令m ：_ o o ，得 ( u t , w s ) + f o 。( v u , v w 8 ) d 丁= z ( 1 扎 p - - 1 7 w s ) d 丁+ ( u ，伽。) 从而 ( 刚) + 。( v u , v v ) d 丁= z 。( i u p - l u ， u ) d 丁+ ( “t ，吐咖硪( q ) 又由式( 2 7 ) n - - 矢n ，u ( x ，0 ) = u o ( x ) 于硪( q ) 因此，u ( t ) 是问题( 2 1 ) ，( 2 2 ) ， ( 2 3 ) 的一个整体弱解，u ( t ) l 0 0 ( o ，。；h i ( q ) ) ，u t ( 亡) l o o ( o ，o 。；l 2 ( q ) ) 另 外，由定理2 1 中的( i ) 显然有v o t 。，u ( t ) w 定理2 3 设p 满足( h 1 ) ，u o ( z ) 硪( q ) ，u l ( x ) l 2 ( q ) 若e ( o ) d ，u o ( x ) v ，则问题( 2 一1 ) ，( 2 2 ) ，( 2 - 3 ) 的解在有限时间爆破，即存在某一时间0 t o 。，使得扣l i m ti l u ( t ) l l = + 。 证明设u ( 古) 为问题( 2 一1 ) ，( 2 2 ) ，( 2 3 ) 满足已知前提条件的一个弱解令 m ( t ) = i l u l l 2 ，则m 他) = 2 ( u ，u t ) m ( t ) = 2 1 1 t , 1 1 2 + 2 ( u ，u 此) = 2 1 1 u , 1 1 2 + 2 ( u ，a u + i u l 一1 乱) = 2 1 1 u , 1 1 2 2 1 1 w , 1 1 2 + 2 筹i = 2 1 1 u t i l 2 + ( p 一1 ) l l v u l l 2 2 ( p + 1 ) j ( u ) = ( p + 3 ) l l u t l | 2 + ( p 一1 ) l l v u l l 2 一z ( p + 1 ) e ( 0 ) ( 2 1 0 ) 1 4 哈尔滨工程大学硕士学位论文 ( i ) 当0 2 ( p + 1 ) e ( o ) ，0 t p + 3 ) l l u t i l 2 ，0 亡 o o ( i i ) 当e ( 0 ) ( p + 3 ) l l u t i l 2 ，0 t o o ( i i i ) 当e ( 0 ) = 0 时，由式( 2 - 1 0 ) 可知 m ( 亡) ( p + 3 ) l l u t i 2 ，0 t o o 因此综合以上三种情况可知，对于e ( 0 ) d ，有 m ( 亡) ( p + 3 ) l i u tj 1 2 ，0 t m 7 ( t o ) 0 ，进而m ( t ) m 他o ) ( 亡一t o ) + m ( t o ) 0 又由s c h w a r t z 不等式，可知 m ( t ) m ( t ) 一p 丁+ 3 ( m 他) ) 2 + 3 ) ( i l u i l 2 i i 仳。1 1 2 一( ，砚) 2 ) o 故对v t t o ( m _ 口( = 丽丢斋( m ( 亡) m ( 亡) 一( q + 1 ) ( m 他) ) 2 ) 。，a = p 丁- 1 哈尔滨工程大学硕士学位论文 因此，m 一口( t ) 为下凹函数故存在t 0 ，使l i 砸m 吨( 1 ) = 0 ，进而l i m m ( t ) = 呻 + ，即。l i m ti i u ( t ) l l = + 2 4 具临界初始条件的相应问题 在这一节中，我们来研究具临界初始条件e ( 0 ) = d 的问题( 2 一1 ) ，( 2 2 ) ， ( 2 3 ) 解的整体存在性与有限时间爆破首先，我们讨论井外集合y 的不变性 定理2 4 设p 满足( h 1 ) ，u o ( x ) 硪( q ) ，u l ( x ) l 2 ( q ) 若u o ( x ) v ，e ( o ) = d ，且( u o ，u 1 ) 0 ，则u ( t ) v0 t o 。 证明反证法由于u o ( z ) v ，则若u ( 亡) 隹v ，则必然存在第一个使u ( 亡) o v 的时刻t o ，0 t o ，即u ( t o ) o v ，而当0 t m 7 ( o ) ，又由于m 7 ( o ) = 2 ( u o ，u 1 ) 0 ，故m 7 ( t o ) = ( u ( t o ) ，u t ( ) ) 0 ，进而i u ( t o ) l il i u t ( t o ) l i ( u ( t o ) ，u t ( t o ) ) 0 ，f l p l l u ( t o ) l l 0 ，i i 魄( t o ) l i 0 又由于 e ( t 。) = 扣。( 圳2 + j ( u ( z 。) ) = e ( o ) = d 故得j ( u ( 亡o ) ) d ，这与式( 2 - 1 3 ) 矛盾因此，u ( t ) v0 t l l u 咖噼： j ( u 咖) = 壶i i w o m l l 2 一而1 l i 札p + l o 由式( 2 一1 5 ) 和在引理2 1 中的证明可知，使得j ( # u o ) 取最大值的以= 地( 咖) 1 故根据引理2 1 可知，j ( # u o ) 在【入仇，1 】上严格单调递增，进 而 了( u o m ) = 了( 入m u o ) j ( u o ) 故 o ( o ) = 扣。1 1 2 + 了( 钍咖) 扣。1 1 2 + j ( u 。) = e ( o ) = d 又由于显然有u o m ( z ) w ，故根据定理2 2 可知，问题( 2 1 ) ，( 2 - 1 4 ) ，( 2 3 ) 存在一个整体弱解u m ( t ) l 。( o ，o o ；弼( q ) ) ，且u m t ( t ) 三。( o ，o 。；l 2 ( q ) ) ，( 亡) w ，0 t o o ，而且满足 和 ( 。) = 蹋( 舌) = 刘1 t i l 2 + 扣乱m i l 2 一再1l u 叫p + 1 d ( 2 - 1 7 ) 由u m ( t ) w ，可知 i ( 掣矿唧 o 。 1 8 q 1 o h帆 丁 1 打 毗 十 刚 什 m m o 川 c m t i厂厶 + r d m “ ，厂厶 哈尔滨工程大学硕士学位论义 进而有 i l u m l l 卅蚓i v 训 a ( 訾d ) 虿，0 亡 o o 根据引理2 2 中的( i ) 和式( 2 一1 7 ) 可知 i i t i l 2 2 d ，0 t 。 后面剩余部分的证明与定理2 2 的证明相类似 ( i i ) 若l n u o 1 = 0 令入m ：1 一一1 ，u l m ：入m 仳1 7 n ：2 ，3 ，下面，我们考虑初始条件 乱( z ，0 ) = u o ( z ) ，u t ( z ，0 ) = u l m ( z ) ( 2 1 8 ) 和相应的问题( 2 一1 ) ，( 2 1 8 ) ，( 2 - 3 ) 由i | v 钆。i l ：0 ，可知了( 伽) ：0 ，并且昙i l u l1 1 2 ：e ( o ) ，故有 o e m ( o ) = 扣。m l l 2 + j ( 咖) = 扣k u 1 1 2 即) = d 故由定理2 2 ，可知问题( 2 1 ) ，( 2 1 8 ) ，( 2 - 3 ) 存在一个整体弱解u m ( t ) l o o ( o ，o o ；h 0 1 ( q ) ) ，且t ( 亡) l o o ( o ，。o ；l 2 ( q ) ) ，( 亡) w ，0 t 。o ， 而且满足式( 2 1 6 ) 和式( 2 1 7 ) 后面剩余部分的证明与( i ) 相同 综上所述，该定理证毕 定理2 6 设p 满足( h 1 ) ，u o ( x ) 硪( q ) ，u i ( x ) l 2 ( q ) 若e ( o ) = d ，u o ( x ) y ，且( 乱o ，u 1 ) 0 ，则问题( 2 1 ) ，( 2 - 2 ) ，( 2 3 ) 的解在有限时间爆破，即存在某一 时间0 t o 。，使得t l i m ti l u ( t ) l l = + o o 1 9 哈尔滨工程大学硕士学位论文 证明设u ( t ) 为问题( 2 一1 ) ，( 2 2 ) ，( 2 3 ) 的一个弱解令m ( t ) = i l u l l 2 ，则 m 心) = 2 ( u ，u t ) m ( 亡) = 2 1 1 u t i l 2 + 2 ( u ，u 扰) = p + 3 ) l l u 。1 1 2 + ( p 一1 ) l l v u l l 2 2 0 , + 1 ) e ( 0 ) 由于铷( z ) v ，且( u o ，u 1 ) 0 ，根据定理2 4 ，可知 2 0 , - + - 1 ) d ；2 ( p - i - 1 ) e ( o ) ，0 t ( p + 3 ) l l u t l l 2 ，0 t m 7 ( t o ) 0 ，进而m ( t ) m 他o ) ( 亡一t o ) + m ( t o ) 0 后面剩余部 分的证明与定理2 3 相同 2 5 新位势井方法与以往位势井方法的对比 以往的很多文献对问题( 2 1 ) ，( 2 2 ) ，( 2 3 ) ，都常采用n e h a r i 泛函i ( u ) 与势 能表达式j ( u ) 来定义位势井，在参考文献 1 9 】中： = ( u 硪( q ) i ，( u ) 0 ，a ( u ) d ) u 0 ) d = i n 。f j ( u )t 。 = “础( q ) l ，( u ) = 0 ，i l w l i 0 ) 哈尔滨工程大学硕士学位论文 ，( u ) = i i v u l l 2 一l i u p ，- i - ； 而本文对问题( 2 一1 ) ，( 2 - 2 ) ，( 2 3 ) 所定义的位势井 = u 嘲q 巾刮 ( 掣纠 其中 d = m ，。a x 、9 ( 秒) y e i o ，) 不但在形式上得到了简化，而且更易使我们了解其空间结构不仅如此，这 种位势井的新定义方式还正如我们在前面见证过的一样，使得在处理与文献 【1 9 】同样的问题( 2 1 ) ，( 2 2 ) ，( 2 3 ) 时，在得到相同结论的情况下，证明过程得 到了较大的简化此外，本文对位势井深度的新定义方式也会很容易得到位势 井深度的具体值，这就给出了计算位势井深度的一种行之有效的新方法，从而 避免了文献【1 9 那样对井深d 的复杂估计，这是以往位势井方法无法做到的 计算井深d 的意义在于： ( 1 ) 由于初始能量由井深控制，即e ( 0 ) d 两种情况下问题的解； ( 3 ) 若得到了d 值，会使位势井方法中所采用的变分法更直观，使相应的变 分问题得到简化； ( 4 ) 由于算出的d 是关于a ，p 的代数式，故可以得出d 与g ，p 的关系，这 就使得所研究的问题付诸于工程应用成为可能； ( 5 ) 计算出d 值，会改变以往对井深d 的复杂估计； ( 6 ) 计算出过山值d ，会使解的过山效应一目了然 然而，凡事都有两面性，本论文中的新位势井方法也有自身的弊端我们 知道，以往的位势井方法可以推广到位势井族，进而得到无穷多个不变集合与 2 l 哈尔滨工程大学硕士学位论文 到相应的结论 延续本论文中的思想，我们可定义 如( 让) = 扣u | 1 2 一而1 p p 仲+ l 。 6 。o 令y = i i v u l l ， 烈可) = 兰可2 一而c , p + l 旷1 定义位势井深度函致 删2 眺m a x 0 0 ) 9 6 ( 可)! ，1 0 ， ) 令夕；( ) = 0 ，得 碥= ( 击) 古 进而得 郴) 刊舻晶6 岩叮訾 ( 2 - 2 。) 由式( 2 1 9 ) 与式( 2 2 0 ) ，可得 = ( 掣挈) 5 采用定义位势井族 =