初中函数概念教学设计研究引发的一些思考.doc

初中函数概念教学设计研究引发的一些思考华实大松江实验中学 李莉教材分析学情分析练习设计问题设计过程测评行为改进教材分析、学情分析是教学设计的前提和基础；问题设计、反馈练习设计是教学设计的重点；过程测评、行为改进是改进教学设计的途径和归宿。其基本关系可以简单表示为：下面以初中函数概念教学设计为例进行探讨一、教材分析1、对教材的微观分析，所谓教材的微观分析主要是指对教材中单一课时内容进行分析。函数的应用正比例函数、一次函数的概念、图像和性质反比例函数的概念、图像和性质二次函数的概念、图像和性质几个基本函数研究函数的表示法解析法列表法图像法函数概 念常量 实际问题量 变化范围变量 函数定义域与函数值域整式实际问题分式根式首先，理清教材内容的逻辑结构，本节课内容之间的内在的逻辑关系可以用下图表示：然后，析出核心内容、内容核心以及所蕴涵的数学思想方法。贯穿函数单元的知识主线是：函数的概念函数的表示方法函数的基本性质函数的简单运用；思想方法主线是研究函数过程中体现出来的运动变化、对应联系、数形结合的思想方法和化归的思想方法。最后，正确领会正文、例题、习题的编写意图。教材通过描述地球有关特征的一些数量，让学生回顾我们经常遇到的各种数量；问题1具体讨论有关长度的数量问题，引入变量与常量的概念；问题2让学生通过计算、填表，体会两个变量的相互联系、相互依赖的含义；在讨论问题1、2的基础上，对函数的概念进行归纳；通过几个生活中的实例（例题1、2），说明两个变量相互依赖关系有多种方法，巩固对函数概念的理解。其中例题1、2都是为了学生进一步理解函数的概念设计的，要引导学生体会，判断一个变量是不是另一个变量的函数，主要看这两个变量是不是存在着确定的依赖关系；而通过例题2，要让学生进一步看到，表达两个变量之间的依赖关系的方法，不是只有解析式，还有图、表，这为学生进一步学习函数的表示方法做了一个很好的铺垫。初中阶段只要求学生能用解析式表达函数即可，因此课后4道习题均是用解析式表达的函数，其中第2题是一道开放性题目，需要学生举出函数的实例。教材中的练习分别以具有生活背景的代数问题和几何问题为载体的两个函数，要求指出其自变量、函数，并写出解析式。这些题的作用是对本课时的核心内容的强化，可以提高学生对函数概念核心的理解和对变化思想、对应思想的感悟。并能体会出函数解析式是变量之间对应关系的等式描述，是在明确谁是变量的前提下得到的数学表达式，因此，从逻辑上讲，是先确定变量，再有函数解析式，而不是先确定函数解析式再有变量。2、对教材宏观分析，所谓宏观分析是指将教材内容放在整个数学学科的大框架之中，或将教材内容放在教材体系之中，加以分析研究。首先，应该明确教材内容在数学课程标准中的具体要求。上海课程标准给出的函数概念教学要求：通过实例认识变量、自变量、因变量，知道函数以及函数的定义域、函数值、值域等概念；知道常值函数。全国课程标准给出的函数的目标是通过简单实例，了解常量、变量的意义。能结合实例，了解函数的概念和三种表示方法，能举出函数的实例。能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析。能确定简单的整式、分式和简单实际问题中的函数的自变量取值范围，并会求出函数值。能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系。结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测。析此目标，将其分解为具体的、可操作的、可检测的行为要求，即：通过简单实例，说出变量、常量的意义。在具体问题情境中，能识别变量与常量。能结合具体实例认识函数，并能判断两个变量之间是否存在函数关系。能举出可用函数表示的现实生活中的实例。值得注意的是，课标中的具体目标是学生在本学段学习结束时在认知等水平上应达到的最基本要求，不是当前学生学习的目标要求，更不是学生学习的最高标准。其次，要熟悉教材内容在教材体系中的地位和作用。关于函数，初中数学主要研究函数的概念、正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，高中数学重点研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、数列（以自然数集或其子集为定义域的函数）以及解析几何中的曲线方程（其实是一类隐函数），这些内容在中学数学中无论数量还是影响力都居于重要地位。作为初中数学四大学习领域之一的“数与代数”，其“四大主干”的三个数、式、方程(不等式)都可以用函数来“统帅”（另一个主干是函数自身）：数集的发展为函数的定义域和值域研究作了准备；“式”是函数关系的重要表达形式，“式”也可以看做是关于式中某个(或某些)字母的函数；方程或不等式的解集则可以理解为使左右两个函数值相等或不等的公共定义域的子集。显然，函数在“数与代数”领域中发挥着主导作用。函数的概念是本章内容的基础，一次函数是最简单的线性函数，正比例函数是特殊的一次函数。正比例函数的研究思路、研究方法对一次函数的研究具有方法论意义，用函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组，不仅体现了“数与代数”领域中重要知识点函数、方程(组)、不等式之间的内在联系，而且更加突出了函数的核心地位。最后需要将教材内容放在整个数学学科的大框架之中，从宏观上了解它在学科体系中的地位和作用。例如，本节内容中的函数概念，它是近代数学最基本的概念之一，它的引入是数学发展史上的一个重要里程碑，它使常量数学进入变量数学，实现了数学发展史上的一次重大转折，许多数学分支（如代数、三角、解析几何、微积分、实变函数、复变函数、常微分方程、偏微分方程、泛函分析等）都是以函数为中心展开研究的，函数已成为整个数学学科体系中的一个核心概念。二、学情分析1、对学生已有知识经验分析学生在小学时学到加减乘除运算法则，乘法口诀，就体现了运算说，一种对应关系。还有按规律数火柴棒的经历，也体现了一种对应。学生在六年级上学期学习圆和扇形时，就初步感知了两个变量的依赖关系；学习数据的表示（统计图表）时，认识数字与图形的联系和对应关系。六年级下学期学习数轴时，初步接触点与数的对应；学习二元一次方程时，认识二元方程中两个未知量取值的不确定和确定的依赖关系；学习一元不等式时，认识符合不等关系的一类量；在几何教学中，函数关系的例子非常多：像线段中点的定义、角的平分线的定义就揭示两个量之间的关系，还有两个角互余、互补，揭示的都是两个变量之间的关系。作为教师，一方面要在学习这些知识的过程中有意识地不断渗透变量的意识即在现实生活中存在着大量变量，且变量之间并不是独立的，而是相互联系的；另一方面，通过这些知识使学生熟悉把几何问题代数化的方法，为函数的代数和几何方法的结合打好基础，为后来函数的学习作好充分的准备。学生在七年级上学期用字母表示数，代数式的值的教学是培养学生对变量的认识、树立初步的函数观念的良好契机。数、字母、代数式之间的关系实际上就是数、自变数、函数之间的关系。代数式本身就是代数式所含字母的函数（函数解析说），代数式求值实际上就是给自变数一个确定的值，求对应的函数值。在字母表示数的教学中教师要促使学生感受到变量的意义，再让学生通过代数式的值与代数式中字母取值的之间的相互依赖关系，感受到变量之间的相互联系。在七年级下学期学习实数轴时，认识了实数与数轴上点的对应关系，实数大小的变化与实数轴所对应点的运动依赖关系；学习平面直角坐标系时，建立平面上的点和有序实数对的一一对应关系。上述分析表明，课本在正式引进函数概念之前，早已结合有关知识，渗透了函数的概念和对应的思想：通过代数式的值的概念，可以很好给学生渗透一些变量间的依存关系以及变量的变化范围等方面的初步知识，学习平面上的点和有序实数对间的一一对应关系，为学生学习函数的图形做好了准备，此外，方程（特别是二元一次方程）、等式的学习以及有关几何量的计算，进一步促进学生认识两个量之间是相互关联的，体会到两个变量之间的相互依存关系，都为学生学习函数知识作了很好的准备！此阶段可谓概念渗透阶段，使学生逐渐认识变量及变量之间的相互关系。2、可能存在的难点分析一般地，中学生在初中和高中两个阶段将面临数学课程对他们的四次大的难关：算术到代数的过渡（初一）、代数到几何的过渡（初二）、常量数学到变量数学的过渡（初三、高一）、有限到无限的过渡（高二）。由常量数学到变量数学的过渡，以函数要领的引入为标志，宣布了数学问题的研究由处理相对稳定的数学问题进入处理运动、变化的量与量关系的数学问题的领域，抽象层次的再一次提升；由数到形，又到数形结合，研究量与量之间运动、变化过程中表现出的关系，则又是一类研究对象与研究方法的转变而导致的不适应，就出现了由常量数学到变量数学过渡的这一难关。在函数概念认识上，谁是自变量，谁是函数，学生同样存在困惑。实际上，把一个变量叫做函数是相对的，这里，他一方面是指，它必须依赖于（即相对于）某个成为自变量的量，例如，一辆汽车用以每小时100公里的速度行驶，这辆汽车行驶的路程S可以看成时间t的函数。而不是说，路程这个量，命中注定是函数，我们也可以把时间看成路程的函数。另一方面，在有些问题中，路程可能就是一个常量。在初中阶段，为降低要求，常常会指明谁是谁的函数。在函数概念的认识上还会存在因果关系的误解。我们说“y是x的函数”并不意味y和x之间有什么实际生活上因果关系，或计算关系。有的老师为了学生便于理解，说“函数和它自变量的关系是，你变，我也变”。这种说法是错误的。因为当自变量在它的允许取值范围内取不同数值时，并不要求函数也取不同值。例如对于地铁路线来说，票价是站数的函数，但站数取1,2,3时，票价都是3元。如果改成“你定我也定”，则不但是准确的，而且入骨三分。三、问题设计本节课，结合教学内容和学生实际可设计如下问题：问题1、汽车以60千米时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时，先填写下表，再试用含t的式子表示s。t时12345s千米设计意图：由学生熟悉的行程问题出发引出常量、变量，暗含要先确定变量，才有函数解析式。问题2、下面由火柴棒拼出的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成，则所用火柴棒根数y（根）与正方形个数n（个）之间的关系为_.设计意图：找规律是小学里常见的题目，学生并不陌生，答案得出的方法也很多。关键是体会出y与n是两个变量，且知道一个，就知道了另一个，感受到它们之间确定的依赖关系。填表输入x（任意一个非负数）显示y（计算结果）按键=问题3、在计算器上按下面程序操作x01234567y试用含x的式子表示y.问题4图设计意图：通过输入输出图显示函数关系，让学生体会函数的本质属性对应。同时为后面引出函数解析式，并且知道解析式可以是有理式也可以是无理式且要注意自变量的取值范围埋下伏笔。问题4、某气象站测得当地某一天的气温变化情况，如图所示.指出0点、3点、8点、14点、24点的温度各是多少？设计意图：感受到变量之间的关系表示方式除了有解析法，还有图像法。本问题放在这里还为后面验证“谁”是“谁”的函数埋下伏笔，供学有余力的学生体会到温度度T称为时间t的函数，但时间t不是温度T的函数。问题5、近年来上海市区的环境绿化不断得到改善，下表是上海市区人均绿化面积变化的一些统计数据，观察说明近年来上海市人均绿化面积发生了怎样的变化？年份200020012002200320042005人均绿化面积（m2）4.55.57.09.410.011.0设计意图：感受到变量之间的关系表示方式除了有解析法、图像法还有列表法。 问题6：通过上述五个问题的解答，你能找出它们的共同特征吗？设计意图：认识变量，使学生们初步感受到：现实生活中存在大量“一个变量是随着另一个变量的变化而变化的”具体问题。 问题7：上述五个问题中各有几个变量？每个问题中的变量之间有什么联系？设计意图：突出函数概念的本质：一个变化过程，有两个变量，这两个变量一个知道，另一个就知道了（学生能说出来的语言）。函数概念呼之即出，用图表示并板书（帮助学生理顺思路，体会函数的本质）：y随x的变化而变化自变量x 函数y(一经确定) （值随之确定）。 问题8：这些变量之间的关表示方式有哪些？设计意图：知道函数的表示方式有图像、列表和式（解析式）。四、练习设计函数的概念前测1、要测量一块正方形的面积，我们不是直接测面积，而是测量边长，只要边长知道了，面积就知道了，你能说出为什么吗？设计意图：用学生熟悉的问题来突显函数的本质：有两个变量，知道一个，就知道了另外一个，也为我们为什么要学习函数给出了一个答案：即可以用一个比较容易得出的量来表示另一个不太容易得出的量。2、对于代数式，我们并不知道它具体的数值，但只要给出的数值，我们就能求出的值。如， ，= 设计意图：通过学生熟悉的求代数式的值的问题，让学生感悟到“数”与“数”之间的对应，即知道一个量，就能知道另一个量。3、购买一些签字笔，单价3元，总价为y元，签字笔为x支，根据题意填表：设计意图：通过一个实际生活中的问题，让学生感受两个变量之间确定的依赖关系。4、用20厘米长的绳子围成长方形。如果长为8，则面积为多少？如果长为6，则面积为多少？如果长用x表示，面积用y表示，你能用一个等式表示他们之间的关系吗？设计意图：用一个实际例子，通过由特殊到一般的思路，不仅能考查学生是否会用字母表示数，而且能感悟到两个变量之间的关系可以用数学表达式来表示。5、在上述问题中存在两个量，如问题一中，一个是正方形边长，一个是正方形面积；问题二中，一个是，另一个是你能再举一个涉及两个变量，只要知道一个量就能知道另一个量的例子吗？设计意图：考查学生是否能认识到生活存在这样两个变量，只要知道一个量就能知道另一个量，为函数的概念打下坚实的基础。 6、上述问题如果不考虑实际意义，你能说出他们有什么共同的特点吗？设计意图：引导学生学会归纳，到此函数的概念呼之欲出。函数的概念后测设计意图：这是一道开放性的问题，不同层次的学生回答的全面性不同。但只要学生能答出函数概念的本质，本节课的目标就达成了。观察图中小黑点的摆入规律，并按照这样的规律继续摆放，记第n个图中小黑点的个数为y解答下列问题：（1）填表：n1234567y13713 （2）当n=8时，y=_； （3）写出y和n的函数关系式。设计意图：通过求值并寻找规律感知函数的存在的意义，体会变量之间的相互依赖关系和规律，领会和理解函数的基本概念及其思想方法，感受函数是现实生活中数量关系的模型。五、过程测评应突出及时检验教学效果教学过程是一个预设与生成并存的动态过程，教学过程中教师要注重教学过程中的自然观察及测量、评估,据此检验目标达成度并随时修正教学过程.具体内容包括：学生独立学习情况怎样 教师引导过程怎样学生出现学习中问题教师怎样处理 学生的参与度如何学习目标达成度如何。本节课通过前测，结合之前学生学过的有关知识，渗透函数的概念和对应思想。教师设计的上述问题能够有效的引起学生的注意和学习兴趣。课前检测结果统计如下：题号123456正确率74%95%71%59%26%26%这种检测结果完全在意料之内，第1题，有6名同学没有动笔，有一名同学将正方形面积公式错写成了周长公式，有一名同学表述不清，说是面积是由边长围起来的，在与这个学生的交谈中，知道他是知道公式的，但是不会表述。第2题，求代数式的值的问题，学生很熟练，正确率非常高，除了一名特殊学生外，其他学生都能计算正确。但在实际讲授中，老师需要引导学生感受到代数式求值实际上就是给自变量一个确定的值，求对应的函数值。再让学生通过已知代数式的值求字母的取值，也就是已知函数值，求对应的自变量的值。感受到两个变量之间确定的依赖关系。第3、 4题，大部分学生都会计算具体的值，但在字母表示数时遇到困难，放弃没有做。第5题与第6题，考查了学生的理解力和归纳能力。得分比较低，指导老师上课时该如何引导学生思考。上完课后，我对学生的课堂效果进行了及时的检测，后测结果如下：第一题得分率为80%，第二题得分率是84%。六、行为改进突出怎样与学生实际对接课堂教学的成败的关键在于“先进的理念具体化体现在教师的日常教学行为上”【1】。通过教学实践与认真的总结与反思实现行为改进是先进理念变成行为的重要途径。行为改进，应突出怎样与学生实际对接，促进由“经历”向“获得”转化【2】。具体内容有：教学的重点难点如何实现关键性突破心理挣扎如何聚焦于内容学习如何促使每个学生理解学科本质意义如何调整练习设计的针对性如何检测目标达成度并进行反馈与调整【3】。 本节课学生虽然经历了“函数”概念教学完整过程，也经历了问题引导下的操作、探究、思维的过程，但“经历了获得了”【4】。对于学生的获得，我们不仅要关心获得了没有，更要关心获得的是什么。从本节课来看，学生对于基础知识、基本技能完全在预期之列、甚至超出预期。但是过程测评表明学生完全可能“通过操作对概念进行运算，却不知道自己在做什么”【5】。因此在学习函数概念时，要舍得花一定的时间，让学生感悟到为什么要引入这个概念？这个概念的本质是什么？有哪些事项需要注意？学生对于抽象的函数概念即便不会说，但只要会应用到生活中解决实际的问题，那才是学习函数的意义所在。比如求长方体游泳池水的体积，只需要测得水深即可（已知长方体的长宽），那么体积和水深之间有怎样的关系。又比如大坝蓄水池水的体积与水所在的刻度有怎样的关系，为何知道了刻度，就知道了水深。这些问题，都具有实际的现实意义，充分说明了学习和研究函数是现实的需要。也能引起学生学习函数的兴趣。另外让学生感悟到，现实生活中，我们一直在研究函数，因为有些量直接求很麻烦，我们可以借助于与之相关的量来求，只要求得这个简单的量，就能得出另外一个较复杂的量。我们数学研究的方法就是化繁就简。而如果把这两个量看做变量，那么它们之间就存在确定的依赖关系，即