（计算数学专业论文）基于二维不可分插值滤波器的图像尺寸转换方法.pdf

摘要 摘要 在图像处理领域中，图像插值可以实现图像的缩放显示和提高图像的分辨率， 在图像的清晰化处理和三维显示中具有十分重要的实用价值。 本文给出了一种图像尺寸转换的新方法，该方法使用了线性相位二维不可分 f i r 插值滤波器和线性相位二维不可分f i r 抗混叠滤波器。与最近邻域法，线性插 值法，双三次样条插值法，三次b 一样条插值法，二维f f t 插值法和二维可分插 值滤波器等方法相比，该方法可以获得更好的转换效果，包括整体误差和局部特 征的保留两个方面。实验结果和理论分析都也表明了这点。 首先深入研究了带通采样基本原理、内插和抽取的基本原理以及它们对信号 频谱的影响、分数倍采样的基本原理等，本文针对整数倍抽取部分，分析了多相 实现结构、多级实现结构和数字滤波实现结构三种方法。然后，概述了以前的几 种插值方法以及其对插值函数的要求，其次实现并比较了几种较为成熟的单帧图 像插值算法；最后提出了一种时域设计方法对二维不可分滤波器进行了优化，灵 活地实现了任意频率响应的滤波器设计并对设计出的滤波器性能进行了分析。将 滤波器的设计归结为一个约束优化问题进行解决。尤其是把正则阶作为约束条件 之一，从而保证了滤波器通带的平坦性和阻带的快速衰减。 本文通过大量的仿真实验验证，本文所提出的这两种图像插值方法，对于自 然景物、动物照片和人物图片等几类图像数据都可以得到较好的结果。 关键词：抽取插值二维不可分离插值滤波器采样率转换图像尺寸转换 垒! 堕坚 一一 a b s t r a c t i nt h ef i e l do ft h ed i g i t a li m a g ep r o c e s s i n g ，t h em a g n i f y i n ga n dt h er e s o l u t i o n e n h a n c e m e n tc a nb er e a l i z e db yi m a g ei n t e r p o l a t i o n ，w h i c hi sv e r yi m p o r t a n tp r a c t i c a l l y i nt h es h a r p n e s sp r o c e s s i n ga n dt h e3 - dd i s p l a y i n g i nt h i sp a p e r , an e wm e t h o do fi m a g es i z ec o n v e r s i o ni sp r o p o s e db a s e do i l2 - d n o n - s e p a r a b l el i n e a rp h a s ef i n i t e - i m p u l s er e s p o n s e ( f i r ) i n t e r p o l a t i n g f i l t e r sa n d a n t i - a l i a s i n gf i l t e r s c o m p a r i n gw i t ht h en e a r e s tn e i g h b o ri n t e r p o l a t o r , t h e b i l i n e a r i n t e r p o l a t o r , t h eb i c u b i ci n t e r p o l a t o r , t h ec u b i cb - s p l i n ei n t e r p o l a t o r ，t w o d i m e n s i o n f f ti n t e r p o l a t o ra n dt w o d i m e n s i o n a ls e p a r a b l ei n t e r p o l a t i n gf i l t e r sm e t h o d s ，t h e m e t h o da c h i e v e sb e t t e rp e r f o r m a n c ei nt h eg l o b a le l t o ra n dl o c a lf e a t u r ep r e s e r v a t i o no f i m a g e s ，w h i c h i ss h o w n b yt h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t sa n dt h e o r e t i c a la n a l y s i s f i r s t l y ，b a s e do na n a l y z i n gt h eb a s i ct h e o r i e so fb a n d - p a s ss a m p l i n g ，i n t e r p o l a t i o n a n dd e c i m a t i o n ，e f f e c to ns i g n a ls p e c t r u ma n df r a c t i o n a lf a c t o rs a m p l i n g ，t h e p o l y p h a s es t r u c t u r es t r a t e g y ，t h em u l t i s t e ps t r u c t u r es t r a t e g ya n dt h ed i g i t a lf i l t e r s t r u c t u r es t r a t e g ya r ee x h i b i t e da s r e a l i z i n gs t r a t e g i e sf o ri n t e g r a lm u l t i p l ed e c i m a t i o n s y s t e m s e c o n d l y ，t h ep a p e ro v e r v i e w e dt h er e q u i r e m e n t so ft h ef o r m e ri n t e r p o l a t i o n a l g o r i t h m st ot h ei n t e r p o l a t i o nf u n c t i o n t h e n ，s e v e r a ls c a l i n ga l g o r i t h m so fs i n g l e i m a g ea r er e a l i z e d ，a n da l s ot h er e s u l t sa r ec o m p a r e d f i n a l l y ，an e ws y n t h e s i st e c h n i q u e o f2 一dn o n s e p a r a b l el i n e a rp h a s ef i ri n t e r p o l a t i n gf i l t e r si sp u tf o r w a r d w h i c ha l l o w s t od e s i g np o l y n o m i a l b a s e di n t e r p o l a t i o nf i l t e r sw i t ha r b i t r a r yf r e q u e n c yr e s p o n s e s i n a d d i t i o n ，d e s i g n e df i l t e r sc h a r a c t e r sa r ea n a l y z e di n t h i sp a p e r t h ed e s i g no ff i l t e r i s t r a n s l a t e di n t oa no p t i m i z a t i o np r o b l e mw i t hs o m ec o n s t r a i n t s e s p e c i a l l y , r e g u l a r i t ya s o n eo ft h ec o n s t r a i n t sa s s u r et h ef l a t n e s si np a s s b a n da n dt h eh i g ha t t e n u a t i o ni n s t o p b a n d al o to fe x p e r i m e n t si nt h i sp a p e rv a l i d a t et h a tt h et w om e t h o d sc a na c h i e v e p r e f e r a b l er e s u l t st os o m ei m a g ed a t as u c ha sn a t u r a ls c e n e r y ，a n i m a lp i c t u r e sa n d p e r s o n a l i t yp i c t u r e s k e y w o r d ：d e c i m a t i o ni n t e r p o l a t i o n 2 - dn o n s e p a r a b l ef i ri n t e r p o l a t i n gf i l t e r s a m p l er a t ec o n v e r s i o ni m a g es c a l i n gc o n v e r s i o n 创新性声明 本人声明所里交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得西安电子科技大学或其它 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均己在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名：二豪趣 日期：三塑当出一 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究生在 校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保证毕业离 校后，发表论文或使用论文工作成果时署名单位仍然为西安电子科技大学。学校 有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或 部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复印手段保存论蕲 本人虢砉墨互 导师签名 社 日明塑： 日期套碰! f ：茎 第一章绪论 第一章绪论 在人类社会进入信息时代的今天，图像信息的处理、存储和传输在社会生活 中的作用将越来越突出，人们对图像信息的需求也越来越追切。图像通常是来源 于自然景物等客观事物，其原始的形态是连续变化的模拟量。当图像以数字形式 进行处理和传输时，由于具有质量好、成本低、小型化和易于实现等优点，图像 的这种存储和传输格式己经成为该领域当前和未来的主要发展趋势。 据研究，在人类所接受到的全部信息中，有7 0 【l 】【2 以上是通过视觉得到的。 和语音或文字信息相比，图像包含的信息量更大、更直观、更确切，因而具有更 高的使用效率和更广泛的适应性。因此，图像信息对于人们的生活和工作是非常 重要的。广义上讲，图像处理分作图像的模拟处理( 如早期照相店的手工修改照片) 和图像的数字处理；后者通常称作数字图像处理，或计算机图像处理，或简称为 图像处理【j j 。 图像放大和缩小( 简称放缩) 是数字图像处理的基本内容，在实际应用中是 一个重要的问题，它广泛应用于医学图像、遥感图像以及多媒体和一些数字图像 处理软件( 如a c d s e e ，p h o t o s h o p ) 。最典型的图像尺寸转化的方法最典型的有 两种：几何变换和离散数字图像的连续表示。另外用硬件的方法也可以实现图像 的尺寸转化一j 。 1 1 图像尺寸转换及国内外研究现状 为适应特殊的应用场合或者得到一个较好的视觉效果，常常需要对数字图像 进行尺寸转换。比如，对一幅具有较高采样率的图像进行存储或传输时，可以降 低采样率，使其在较低采样率进行存储或传输，这样可以节省存储空闻和传输费 用，然后再对其进行重构，以恢复原来具有较高采样率的图像。对于图像的尺寸 的转换来说，改变图像尺寸，尤其是对图像放大，那么放大所用的插值也是很重 要的。通过插值可以实现图像的放大显示，提高图像的分辨率。如对卫星图像的 侦查，对军事和国防事业具有重要的意义。但是，由于硬件性能的限制，卫星照 片往往达不到所需的分辨率，若从硬件上着手改进将需要昂贵的代价，而采用图 像插值技术来提高数字图像的分辨率和清晰度，从软件方面进行改进和弥补硬件 的不足是很有现实意义和价值的。一般来说，图像插值须满足以下两条假设： ( 1 ) 插值的像素灰度值在二维欧氏空间中是一个连续的曲面： ( 2 ) 所采用的图像插值模型应满足插值条件，即在原图的采样点上，插值结果 应与原图中的象素值保持一致。 基于二维不可分插值滤波器的图像尺寸转换方法 迄今，常用的传统的图像尺寸转换算法有：文献【7 1 给出的m 带插值滤波器算 法；文献【8 】的三次卷积插值方法，双三次插值方法【9 】，零阶保持滤波器方法和双线 性插值法。1 9 7 8 年h ic ，a n d r e w s 提出了通过三次样条插值进行图像尺寸转换的方 法【5 ；1 9 9 0 年给出了一种应用2 维快速傅立叶变换对图像进行插值的方法1 6 】；1 9 9 3 年s c c h a n 提出了通过子序列傅立叶变换对2 维信号进行插值以实现改变图像尺 寸的方澍1 0 j ，1 9 9 8 年s o r a i n t a r a 提出了一种运用余弦调制进行f i r 滤波器设计的 算法1 1 1 1 ；1 9 9 8 年s o r a i n t a r a 将一个半带滤波器作为原型滤波器，按照不同的尺度 变换因子对原型滤波器进行余弦调制得到相应的插值滤波器，在空间域和时域实 现了图像的尺寸转换，然而采用这种方法得到的插值滤波器阻带衰减较差，因此 改变尺寸后的图像需要经过预滤波才能收到较好的视觉效果【”j ：从2 0 世纪7 0 年 代到8 0 年代的文献中可以找到许多种插值方法。1 9 8 3 年p a r k e r ，k e n y o n 和t r o x e l 出版了题为“插值方法比较”的论文 4 ”，1 9 8 8 年，m e a l a n d 提出了相似的研究【4 4 】。 但是，h o u ，a n d r e w 和k e y 做的前期工作，还比较了全局和局部插值方法。1 9 8 7 年p e v a i d y a n a t h a n 提出了一类滤波器一一特征滤波器的设计算法【1 3 1 ；2 0 0 2 年 s e u n 裔o o ny a n g 用一个膨。带特征滤波器作为原型滤波器，所需要的膨带插值滤波 器通过采样这个原型滤波器的三次样条插值而得到，从而实现了图像尺寸的转换 啊： 1 2 用于采样率转换滤波器设计的发展与应用 在数字电话系统中，传输的信号既有语音信号，又有传真信号，甚至是视频 信号，这些信号的频率成分相差甚远。所以，该系统应具有多种采样率，并根据 所传输的信号自动完成采样率转换。八十年代末，p p v a i d y a n a t h a n 等人提出，基 本的采样率转换模块由抽取过程和插值过程组成【1 4 】一【1 8 1 ，其中抽取过程由抗混叠滤 波和下采样组成，插值过程由上采样和滤波组成。在采样率转换系统中，滤波是 抽取和内插过程的重要组成部分，数字滤波起着关键性的作用 1 9 】【2 0 】【2 1 1 ，因此，滤 波器的设计方法对于多速率系统的应用是重要的。 在过去的二十年中，采样率转换理论以及抽取滤波器和插值滤波器的设计都 得到了丰富的发展，各种各样的滤波器设计算法和采样率转换结构得到了研究。 1 9 8 1 年，h o g e n a u e r 提出了一类经济有效的线性相位f i rc i c ( c a s c a d e d i n t e g r a t o r - c o m b ) 滤波器【2 ”，从而实现了按整数因子的采样率转换。2 0 0 3 年，d b a b i c 等基于多项式插值理论，提出了种离散时间模型算法印l ( d i s c r e t t i m em o d e l1 及其改进【2 4 】【2 5 】f 2 6 】实现了有理因子的采样率转换。基于这种离散时间模型算法，2 0 0 3 年，vl e h t i n e n1 2 7 j 提出了图像响应合并方法( i r c ：i m a g er e s p o n s ec o m b i n i n g1 ，并 用这种方法对有理因子采样率转换进行了分析。2 0 0 1 年，d b a b i c 2 8 】将c i c 滤波 第一章绪论 器和线性内插结合起来，实现了无理因子的采样率转换。自从1 9 8 9 年r z a r o u r 【2 9 j 提出了可变的数字滤波器设计以来，可变数字滤波器的研究及其在采样率转换器 上的应用得到了丰富的发展口o 】一 3 5 】，这类滤波器包括截止频率可变的f i r i i r 滤波 器，通带带宽可调的线性f i r 滤波器等。2 0 0 4 年m k t s u i l 3 6 1 对可变的复值数字 滤波器的设计及其在复信号采样率转换中的应用进行了研究。适合于整数倍采样 率变换的方法还有半带滤波法，因为它特别适合于实现2 的幂次方倍的抽取和内 插，而且计算效率高，实时性强，因此它在多速率信号处理中有着特别重要的位 置。 除了以上的方法以外，关于图像内的插值，即改变图象的尺寸还有以下一些 技术。1 9 9 0 年d u r a n d 等提出将数字图像网点( g r i d p o i m ) 上的颜色值插值成b 一样条， 再根据缩放要求重采样新的网点，构筑成新的数字图像输出【4 2 】。1 9 9 7 年，a l b i o l 等提出了基于数学形态学的图像放大技术，利用线性插值和梯度计算，该方法对 于像素变化缓慢的区域采用线性方法插值，而在边界处进行特殊处理口_ 7 】。1 9 9 8 年， l e e 等给出了高阶样条缩放方法。利用斜投影算予构造简单快速的图像缩放算法 1 3 8 o 2 0 0 0 年，l e u 利用边界分割技术( s t e pe d g em o d e l ) 对图像进行放大，得到了比最 近邻域法和双线性插值更有效的放大效果【3 9 】：同年，r e v a t h y 等提出了基于图像金 字塔算法的小波变换图像缩放方法，该方法缺点是放大因子只能为2 的幂次【4 0 。 2 0 0 1 年，b a l i e s t e r 等在文章中f 4 l j 研究了将图像插值归结为二阶偏微分方程的变分问 题的求解方法。 以上所有这些方法，其优点是快速生成目的图像，视觉效果良好：不足的是 图像中物体边界层次模糊。 1 3 本文主要研究工作 对于单幅图像的插值，经典的插值算法是利用邻近像素点灰度值的加权平均 来计算未知像素点处的灰度值，而这种加权平均一般表现为信号的离散采样值与 插值基函数之间的二维卷积。对于不同基函数，会有不同的插值效果和插值误差， 也会有不同的计算量。 对于插值模型，由于考虑到计算量的开销和工程实现的难易程度，我们往往 假设插值基函数是可分离的，这样就可将二维图像插值模型简化为一维插值模型。 一幅数字图像，可以用矩阵表示，另外，还可以将这个矩阵按行或者按列堆叠为 一个一维矢量。在图像尺寸转换应用中，图像被看成是一个采样点在整数点上的 二维离散信号，先对其进行插值然后再二次采样。现在大多数的方法采用了变量 可分离的滤波器进行插值，其优点在于：滤波器设计简单，实现过程对行列分别 处理：其缺点也非常明显，可分二维滤波器一般支撑区间大，不利于在图像尺寸 基于二维不可分插值滤波器的图像尺寸转换方法 转换过程中保持图像的细节信息，或者说，局部的奇异性( 如奇异点、边缘、纹 理) 会扩散到更大的范围，从而使这些重要特征变模糊。针对这些不足，本文采 用二维不可分插值滤波器和抗混叠滤波器进行图像尺寸的转换。滤波器在满足相 同的通带和阻带性能条件下，由于不可分结构中自由参数多，可以设计支撑区域 更小，空间局部性更好的滤波器。从而在图像尺寸转换过程中能够更好保持图像 的重要细节信息。 本文的主要内容分两部分：第一部分研究了采样率转换过程中二维不可分离 插值滤波器和抗混叠滤波器的设计算法。根据采样率转换过程中信号频谱变化带 来的影响频谱混叠效应和镜像效应，研究了二维不可分插值滤波器和抗混叠 滤波器的空域设计算法，以对通带和阻带的要求作为优化的目标，以滤波器的结 构为约束条件，将滤波器的设计转化为一个约束优化问题进行解决。我们也希望 插值过程保持图像的一些平滑特征，纯色图像经过插值后仍保持是纯色的，灰度 值随空间位置线性变换的图像，插值后仍保持灰度值的这种线性变换性质等。这 些性质可以通过插值滤波器的i e 贝1 j 阶约束实现。第二部分利用设计的不可分抗混 叠滤波器和不可分插值滤波器用于图像尺寸转换，与其他传统的图像缩放方法比 较，得到的实验结果在主观和客观上都证明了采用本文的不可分离方法改变尺寸 后的图像，能够较好地保持原图像的整体特性和局部细节，用于滤波后的图像保 持了较好的原图像的特性。 第一章为本文绪论部分，主要介绍了关于图像缩放和滤波器的各种设计方法。 第二章是本文的预备知识，简述了图像在各种不同采样格式下的有理采样率转化 问题和一般方法框架：第三章研究各种传统图像插值方法的算法思想并给出了仿 真；第四章给出了二维不可分插值和不可分抗混叠滤波器的空域设计方法，给出 了频谱图并做了分析和比较，介绍了滤波器的多相和多级实现结构：第五章把用 本文思想设计的二维不可分插值和抗混叠滤波器应用到了图像尺寸转化上进行了 实验仿真，并和其他传统插值方法的实验仿真结果比较，分析了各种算法的性能 和好坏，得出自己方法最好的结论；屉后总结了全文，讨论了不足和对将来工作 的展望。 第二章有理采样率转化及滤波器的基本知识 第二章有理采样率转化及滤波器的基本知识 采样率转换通常分为“抽取”和“插值”。抽取是降低采样率已去捧多余数据 的过程，而插值则是提高采样率以增加数据的过程。几乎所有的离散序列都是人 们试图为表示一些基本的连续信号而构造出来的。连续信号可以有很多种离散表 示法，例如，傅立叶级数展开，台劳级数展开，非正弦的正交函数展开等。但是 最常用的表示是周期抽样。本章在二维的系统中先研究了连续信号和把该连续信 号进行周期采样所得到的离散序列之间的关系，包括常用的矩形采样还有其他不 同几何形状的采样；然后分析了采样转换过程中信号频谱变化带来的混叠效应和 镜像效应和滤波器具有的基本性质。 2 1采样率转化改变图像尺寸流程图 图像尺寸转换是两维离散信号有理采样率转换的应用之一。二维离散信号有 理采样率转换过程如下图所示。图中x ( n t ，啦) 表示原图像，y ( - 1 ，”2 ) 表示尺寸转换后 的图像，l 卞，m 上分别表示上采样和下采样算子，滤波器h ，g 分别表示二维插值滤 波器和二维抗混叠滤波器。 图2 1 图像尺寸转换的流程图 以 i ，n 2 ) 图2 1 表示有理采样因子转换的一般结构。分数倍变换可以通过先进行l 倍内 插再进行m 倍抽取来实现。要注意的是必须内插在前，抽取在后，以确保中间序 列i ( n l ，”2 ) 的基带谱宽度不小于原始谱输入序列谱x ( 嵋，慢) 或输出序列谱y ( 啊，也) 的基带频谱宽度，否则将会引起信号失真。 当使用矩形抽样时候，矩阵矿成为如下： 对应图像尺寸转换的流程图2 1 ，里面的采样矩阵l 和m 是整系数的对角矩 阵，表示如下： l ：i 厶0l ，m ：lm t0 l 0 岛jl 0 m ：j 厶，三：，m ，肘：是正实常数，分别为水平抽样间隔和垂直抽样间隔。 采样增加图像的尺寸和提高采样速率 基于二维不可分插值滤波器的图像尺寸转换方法 曼c 强，瑰，= ：岛，也) 耋；竺：乏；i ：2 乏：乏乏 下采样减小图像的尺寸，降低采样速率 y ( q ，恐) = 歹( m i 强，鸩刀2 ) 将抽取和内插结合起来，就有可能用某非整数因子来变更采样率。当王，正相 等时候图中示出一个内插器，把采样周期从r 降到t l ，然后紧跟着一个抽取器， 该抽取器又将采样周期提高肘倍，所产生的输出序列y ( n l ，心) 真正有效的采样周期 为t = t m l 。 图像的水平、垂直方向采样速率的转换因子分别为1 m j 和l 2 m 2 ，常常是有 理数。当厶 m 时，采样速率增加，图像尺寸变大，一般不存在频谱混叠，不需要 对信号的带宽提出限制，不需要抗混叠滤波器；当厶 虬 - 图3 1 点( x ，y ) n 2 d n x n 插值的l d 分解 因此，二维的插值可通过水平方向和垂直方向上的一维插值来完成。对一幅图像 进行缩放，实际是对空间域的二维离散信号进行处理，这个过程可以通过对原图 像的行信号，再对其列信号作一维的离散信号处理来实现。因此我们以下在讨论 1 8 基于二维不可分插值滤波器的图像尺寸转换方法 各种算法时，除双线性插值外，都是用一维离散信号来说明的，实际应用时，需 对图像的行列信号分别进行处理。 对于单幅图像的插值，经典的插值算法是利用邻近像素点灰度值的加权平均 来计算未知像素点处的灰度值，而这种加权平均般表现为信号的离散采样值与 插值基函数之间的二维卷积。其模型 4 9 】可简单描述如下，设原始图像的离散采样 值为 x ，。：2 ：x ( t j ，f 2 ) l ，l ； ，：。：e ( 3 _ 1 ) 其中，x ( t 。，t 2 ) 表示一幅图像在二维欧式空间中的连续形式，互，五分别为横向 和纵向的采样步长( 在本文中取五= 互= 1 ) 。而记插值后的图像灰度值巧川为 托，( t l ，：) = q ，、足睁一，7 1 2 一慢) ( 3 2 ) 一 = 1 1 1 2 其中，q 。为模型参数，k ( f ，如) 是指可分离的插值基函数，即k ( ，f ：) = 矿( ) 庐( f ：) ， 且庐( f ) 还必需满足对称性：( f ) = 妒( 一f ) ， r r 。 由于假设参数化模型( 3 1 ) 中的插值基函数x ( t ，t 2 ) 是可分离的，这样就可将二 维插值模型简化为一维插值模型，为简单起见，记插值后的模型为 玛( f ) = q g h ) ( 3 3 ) 其中，以= x ( n t ) 为信号的离散化采样值，插值基函数( r ) 满足对称性和插 值条件：庐( f ) = ( 一f ) ， ，r 。一般地，模型参数e x 。，但是由插值条件， 模型( 3 3 ) 必须满足以= c , , e j ( m - n ) t 也即x 。= ( 二+ 只，这里，只= ( 所) ，“+ 表示卷积运算。 ” 基于参数化模型( 3 3 ) 的图像插值方法常用的基函数有矩形函数、三角函数 【5 l 】、多项式函数、样条函数和s i n c 函数【删等。下面介绍其中几种基函数及其 性能，同时一起说明一些传统插值方法的算法。 3 2最近邻域插值 最简单的插值方法是所谓零阶插值或称为最邻近插值 5 5 】，即令输出像素的灰 度值等于离它所映射到的位置最近的输入像素的灰度值。最邻近搔值计算十分简 单，在许多情况下，其结果也可令人接受。然而，当图像中包含像素之间灰度级 有变化的细微结构时。最邻近插值法会在图像中产生人工的痕迹，出现明显的块 状现象，整幅图像十分粗糙。 最近邻域法( 又叫零阶插值，n e a r e s tn e i g h b o r ) ，这种方法是最简单，实现起来 第三章常用的图像插值算法 也是最容易。其基本思想就是用原图像中的特定点的象素值来填充缩放后的图像， 即将原始的信号进行逐点处理，把其中的每一点都用其灰度值进行m 次复制( m 为 缩放倍数) 。它所采用的插值函数为一个常量函数( 矩形函数) ： r11 ( ，) = 1 ，一主；( 3 4 ) 10 d t h e r w i s e 插值函数的波形如图3 2 所示，频谱特性如图3 - 2 ( b ) 。由于最近邻域插值简单性和很 小的计算开销，使得这种方法在很多场合得以应用。但是，该最大的缺点在于较 低的代数拟合阶( 一阶) ，使得在插值后的图像中常常出现方块效应和锯齿效应。 日 06 口 q 口 0宅 1l2 一口e 图3 2 ( a ) 3 3 双线性插值法 图3 2 ( b ) 线性插值( 1 i n e a r i n t e r p o l a t i o n ) 算法也是一种应用较为广泛的图像插值方法，这 主要是由于其较低的计算量和高于最近邻域插值的代数逆合( 二阶) 。因为采用线 性插值算法在对图像的放大是对行列信号作两次处理后得到的，所以称这种方法 为双线性插值。其解析表达式为 ，= 。，笔黧。 但是，它通常会平滑捧图像中许多重要的高频信息。 最邻近域法产生的图像平滑，但当放大倍数增大时， 的块状现象。 ( 3 - 5 ) 线性插值放大产生的图像较 放大后的图像也会出现明显 线性插值的基本思想是：在原始离散信号的两点c ，c l + 。，间插入若干个点， 这些点的灰度取值使c ，c + 。之间的灰度值呈线性过度。其基本思想就是把目标点 附近的原始点的灰度值按一定的权值相加，其权值一般取为目标点和原始点之间 基于二维不可分插值滤波器的图像尺寸转换方法 的距离。 其图像和频谱特性如图3 3 ( a ) 和( b ) 所示 l o 8 0 6 04 0 2 l 图3 3 ( a )图3 3 ( b ) 程序稍复杂一些，运行时间稍长一些。如图2 一l 所示，令f ( x ，y ) 为两个变量的 函数，0 z l ，0 y 1 ，其在单位正方形顶点的值已知。假设我们希望通过插值 得到正方形内任意点的f ( x ，y ) 值。首先可以通过一阶线性插值得出f ( x ，0 ) ： f ( x ，o ) = f ( o ，0 ) + x f ( 1 ，0 ) 一f ( o ，o ) 】 类似的，对f ( x ，1 ) 进行一阶线性插值： f ( x ，1 ) = f ( o ，1 ) + x f ( 1 ，1 ) 一f ( o ，1 ) 】 最后，对垂直方向进行一阶线性插值，以确定f ( x ，y ) ： f ( x ，y ) = f ( x ，o ) + y f ( x ，1 ) f ( x ，o ) 】 合并上述三个式子，可得： f ( x ，y ) 2f ( o ，o ) + x 【( 1 ，o ) f ( o ，0 ) 1 + y f ( o ，1 ) 一f ( o ，o ) 】 一 + x y f ( 1 ，1 ) + 厂( o ，0 ) 一厂( 0 ，l 卜厂( 1 ，o ) 1 ( 3 - 6 ) 一般情况下，在程序中进行双线性插值计算时，直接使用3 次一阶线性插值即 可。直接用3 次一阶线性插值只要进行3 次乘法和6 次加减法运算，用上式只需要4 次乘法和8 次加减法运算。 3 4三次卷积插值 由于线性插值在图像放大倍数较大时效果比较差，我们可以把相关的原始点 由 一l ，1 】扩展为 一2 ，2 】，同时改变其采样函数，以取得较好的效果。三次卷积( c u b i c c o n v 0 1 u t l o n ) 州硒但幽双是s i n x 的一个近似。它的波形特性如图3 4 所示。 互 第三章常用的图像插值算法 l| z 蓐 _ 、7 l ” 1 广3 w _ o j v 图3 4 三次卷积的采样函数 由于三次卷积的采样函数不是线性的，所以其放大图解比较复杂。我们在这 里只给出其算法的矩阵形式。关于三次卷积的基本理论及其算法的推导见参考文 献【5 6 1 。 该算法是三阶卷积在二维空间的表现形式，目标象素点的灰度值： g ( x ，y ) = a b c ( 3 - 7 ) 式中：( x ，y ) 是目标点的坐标，( f + “，j + v ) 是目标点对应在原始图像中的坐标， f ( m ，”) 是原始图像中象素点( m ，) 的灰度值。 a = s o + ”) s ( “) s o 一“) s ( 2 一“) 】 b = f ( i - 1 ，一1 ) f ( i ，一1 ) f ( i l ，)f ( i ，j ) f ( ；- 1 ，j + 1 ) f ( i + 1 ) f ( i 一1 ，+ 2 ) f ( i ，- ，+ 2 ) f ( i + l ，j 一1 ) f ( i + l ，歹) f ( i + l ，+ 1 ) f q + 1 ，j + 2 ) c = s ( 1 + v ) s ( v ) s o v ) s ( 2 一v ) r f 1 2 1 ，1 2 + lr 1 3r i 1 跗) 。t 4 - , i r , ： 5 嘶1 - 蔓l - l r l _ 2 f ( i + 2 ，j 1 ) ( “2 ，) 厂( f + 2 ，+ 1 ) f ( i + 2 ，j + 2 ) 3 5双三次插值 为了克服s i n c 函数的无限支撑性和缓慢的衰减速率，可以在某一个对称区间 【_ ，”】，n z 内用参数化双三次卷积函数对其进行拟合参数化，其解析表达式为明： 基于二维不可分插值滤波器的图像尺寸转换方法 f ( d + 2 ) i f | 3 一( d + 3 ) i ，1 2 + li t i l o ( t ) = 口l ，1 3 5 a l t l 2 + 8 a - 4 a 1 - ( n - + 6 ) 。) ( 4 - 4 ) 滤波器 ( 4 5 ) 占是一个很小的整数，2 s 是过渡带宽度。 在图像处理中，常常要求滤波器是线性相位的，以便消除滤波过程中的相位失真。 非零相位的响应会使线条和边沿失真，而对称性既能简化滤波器的设计，又能避 免失真情况的发生。所设计的f i r 插值滤波器的表达式为： 厅( m ， ：) = ( 一，”2 ) = ( 碍，一他) ( 4 - 6 ) ( l 一，l 2 ) 带插值滤波器的正则阶是一个重要的概念，在小波设计中被广泛使用。 2 带二维滤波器k - 阶正则推导： 若尺度函数滤波器 ( 强，n ：) 的z 一变换满足： 酶小车聊班可一 竿门一兰) 嘶：， 件， q”2 。 一 o ( z ，z ：) 不再含有因子1 + z ，称尺度滤波器 ( 啊，n 2 ) 是足阶止则的。 k 阶正则的频域表示：设h ( q ，吐) 为尺度函数滤波器晟( q ，肝：) 的傅立叶变换则 一铂i ( 竿 。 竿卜一， ， 容易推出：鬻| 。：。，。：。= ( o ，o ) ( 4 9 ) 上式说明：q = 石，：= 石是( q ，0 ) 2 ) 的k 阶零点，得到滤波器是一个典型的低通 滤波器。 k 阶正则的时域条件： ( 一1 ) 1 + 啊心 ( 碍，吃) = o ，置，k 2 = o ，1 ，- k - 1 ( 4 一l o ) 但( 一1 ) ”2 舻”2 * ：h ( n l ，他) o ( 厶，岛) 一带二维插值滤波器k - 阶正则推导： ( 厶，上：) 一带二维插值滤波器矗( m ， ：) 是k 一阶正则的，如果滤波器h ( n 。，# 72 ) 的z 变换能够因式分解为 第四章二维不可分插值滤波器和抗混叠滤波器的设计 h ( ：，：) ：( ! ! ：! ：i ：；：至兰) x ( ! ! 二1 2 ：! ：；：兰l 兰* q ( ：，屯) ， ( 4 1 1 ) q ( z ，z ：) 不包含前两个因子。上式表明频率混叠( 2 x k i q ，2 1 x l ：) 点是滤波器频率 响应的k 阶零点( 是= 0 ，j 一1 ，t = o ，五一1 并且( 女，f ) ( o ，o ) ) ，公式表达即是 日川( q ，) l 2 0 ，颤，k 2 。o ，1 州2 ，k 一1 ；k ，= 1 ，三一1 ( 4 - 1 2 ) 这些条件适合分析滤波器的性质，但不适合f i r 滤波器的空域设计。下面给出 正则阶另一个等价条件。( 厶，厶) 一带的二维插值滤波器五( _ ，n ：) 的厶+ 厶个多相位滤 波器定义为 ( 啊，) ；h ( l , r 6 + ，l 2 n 2 + 毛) ，= o ，l ，厶一l ，1 2 = o ，1 ，厶一1 ( 4 1 3 ) 它的二维傅立叶变化表示为： 日( q ，o o = 艺p 一“1 e 一几4 而( 厶惕+ ，厶也+ 1 2 ) e - j o h n t e l 4 = e - j l l e 4 e - f 1 2 0 ；z h i , b ( l v o , ，厶哆) ( 4 - 1 4 ) 对0 5 求导数，根据式( 4 - 8 ) ，可以推导出： 望甓孚= 鬈酗妒舳e 鸭弧胁圳+ 蓉耖咕鳓竺选等型 = 蒸静伽们e 硼：( 0 0 ) + 争咕蹦百g 。h i i i 1 = ( 一“) e 们e 。“q 一：( o ，o ) + g 删e 。”z - ，= o = 0 0 = 0“w 1 = 蓑静伽蚋e 讥蒸争眩蹦百。n l t , 1 2 = ( 一) e 州”p 讥4 + 三p 。刚口。吼i - = 0 ；o = 0 = ou “1 卸 所以，下面证明：箩笋口 p ，咄h z ：o 所以下面证明蕃善8 。州p 。咄1 i = o ；o = 0v “ 令等飞： ( 4 1 5 ) a “：= 向气气( 璃，n 2 ) b q p 地也( 一j m ) ( 4 1 6 ) q = ( 一j ) 啊q ：( ，n 2 ) p ”1 9 ”2 = 嘶( 惕，n ：) 基于二维不可分插值滤波器的图像尺寸转换方法 所以对式子： o g l l , 1 ：e - j 等m h 等吼 当毛= ：= 0 ，q = q = 0 = ( _ 力g 笔薹l + ( 们董* , = 0 莹l z = o0 1 ( ”- 0 1 0 n ( 0 ，o ) = ( _ ，) g l + ( 一j ) ， ，o ) f = 0f ，= 0 所以篆- i 鼢- 1 ，e 1 p 2 ”一扎2 # 一丛竽 当毛哎0 时 一1 岛一】 ( - j l i ) e 1 v 止4 = 0 = 0 ，2 = 0 ( 4 - 1 7 ) 所以h - il 2 - 1 。- j 酗”：一型岩! 占( 墨，屯) ( 4 舶) 7 1 2 0 ；0 a g , 得出结论： 茚，孛九( 啊洎：( 慢) = 群鱼。( 惕) 2 吃( 啦) = ( 一k k ( 4 - 1 9 ) 十矿吨髂，- l 2 进一步，插值滤波器k 阶正则的充分必要条件是：所有多相位滤波满足 囊一：( 强，吗) = l ； ”。啦，b ( n 。，啦) = ( - 0 “t 2 “厶厶) 岛，如= 1 ，2 ，- k - 1 选择台适的正则阶可以保证处理一幅图像时维持对图像边缘的清晰，而且使 周围的光滑部分更趋于光滑，使得放大后的图像的方块效应变弱。详细的叙述了 对称性，插值性和正则阶后，于是，二维不可分对称插值滤波器设计可以描述成 下面一个带线性约束的二次优化问题： m i n 。( j b ( 一， ：) ) = 口j k 【日( q ，c 0 2 ) 一r 2 2 d q d c 0 2 + ( 1 一口) j 上】，h 2 ( q ，q q d q s t正则阶约束条件( 4 1 9 ) ； 对称性约束h ( r h ，n 2 ) = ( 一q ，n 2 ) = ( 玮，一n 2 ) ，v n l ，n 2 f 4 2 0 1 第匹章二维不可分插值滤波器和抗混叠滤波器的设计 3 5 注1 ：在图像处理中，常常要求滤波器是线性相位的，以便消除滤波过程中的 相位失真。( 4 - 2 0 ) 中的对称性条件要求滤波器关于水平、垂直轴对称和原点中心对 称，这也保证了滤波器频率响应实的对称函数。从而在通带平坦和阻带能量计算 中不需要模运算，目标函数是滤波器系数的二次函数，优化问题易于求解。 注2 ：图像尺寸转换应用中，一般选择二阶正则就足够了。这保证插值过程会 保持图像灰度值的线性变化特性。 注3 ：目标函数中的加权系数口( 0 ，1 ) 用来调整通带和阻带的要求，经常采用 口= 0 5 。目标函数是滤波器系数的正定二次函数，约束条件是两组线性等式。因 此优化问题具有唯一解，最优解容易得到荠且不依赖于求解初始条件。 注4 ：设计自由度是我们关心的另一个问题。以l l - l 2 = l 为例，二维插值滤波 器设计时，需要保证支撑区间的对称性和多相位滤波器长度接近或相等，于是滤 波器支撑区间宽度取为l p ( 若l p 是奇数) 或l p + i ( l p 是偶数) 。以取l