（计算数学专业论文）双曲守恒型方程若干数值方法研究.pdf

2 0 0 9 上海大学博士学位论文 摘要 本文研究一维双曲守恒律方程的数值方法主要有两部分，第一部分是将茅 德康等提出的针对线性标量方程的e n t r o p y - u l t r a - b e e 格式推广到非线性守恒型方 程和e u l e r 方程组，第二部分是给出利用r k d g 有限元方法数值模拟一维可压缩 多相流的一个简单算法 本文的第一个工作是将线性标量方程的e n t r o p y - u l t r a - b e e 格式推广到非线性 标量方程的计算，设计了一个所谓的e n t r o p y m o n o t o n e 格式我们证明了e n t r o p y - m o n o t o n e 格式是t v d 的，满足熵条件数值实验表明e n t r o p y - m o n o t o n e 格式远 好于标准的g o d u n o v 格式，其效果几乎和二阶e n o 格式相同 文【3 1 】中将前述的针对线性标量方程的e n t r o p y - u l t r a - b e e 格式应用于e u l e r 方程组，改进了数值解在第二特征场的分辨率，特别是克服了切向间断的数值磨 损然而，由于文【3 1 】中数值熵的计算不甚合理，因此格式一直受密度和熵的非 物理振荡的困扰本文的第二个工作是改进文 3 1 】的工作我们纠正了该文中的 这一问题采用了新的方法来计算数值熵，消除了格式的非物理振荡新建的格 式要比文【3 1 中的要简单和整洁得多数值实验表明该格式是十分有效的，同样 克服了切向间断的数值磨损，提高了解在第二特征场中的精度 本文的第三个工作试图将标量方程所发展的e n t r o p y - u l t r a - b e e 格式和e n t r o p y - m o n o t o n e 格式应用到e u l e r 方程组中去由于e u l e r 方程组的第一特征场和第三 特征场是非线性的，我们试图将上面所述的e n t r o p y - m o n o t o n e 格式推广到这两个 特征场上去由于e u l e r 方程组的第二特征场是线性退化的，我们试图将所发展 的e n t r o p y - u l t r a - b e e 格式推广该场上去数值实验表明所建立的格式是十分有效 的，克服了切向间断的磨损，改善了数值解在第二特征场上的精度，部分地改善 了其在第一特征场和第三特征场上的精度 本文的第四个工作是利用r k d g 有限元方法数值模拟一维多介质可压缩流 我们设计了一个算法充分考虑到r k d g 方法的局部性，所得的格式简单，计算量 双曲守恒型方程若干数值方法研究 和存储量都很少 关键词：e n t r o p y - u l t r a - b e e 格式，e n t r o p y - ，i o n o t o n e 格式，e u l e r 方程组，r k d g 有限元，多相流 2 0 0 9 上海大学博士学位论文 i i i a b s t r a c t t h i st h e s i si n v e s t i g a t e ss e v e r a ln u m e r i c a lm e t h o d sf o rh y p e r b o l i cc o n s e r v a t i o n l a w s t h et h e s i si sd i v i d e di n t ot w op a r t s t h ef i r s tp a r te x t e n d st h ee n t r o p y - u l t r a r b e es c h e m ed e v e l o p e db ym a oa n dh i sc o - w o r k e r sf o rt h el i n e a ra d v e c t i o ne q u a t i o n t on o n l i n e a rc o n s e r v a t i o nl a w sa n de u l e rs y s t e m s ，t h es e c o n dp a r tu s e sr k d g m e t h o d st ob u i l da s i m p l en u m e r i c a lm e t h o df o rm u l t i - m e d i u mc o m p r e s s i b l ef l o w s t h ef i r s tc o n t r i b u t i o no ft h i st h e s i si st oe x t e n dt h ee n t r o p y - u l t r a - b e es c h e m e f o rt h el i n e a ra d v e c t i o ne q u a t i o nt ot h en o n l i n e a rs c a l a rc o n s e r v a t i o nl a w s ，a n d d e s i g na s o - c a l l e de n t r o p y - m o n o t o n es c h e m e t h ea u t h o rp r o v e st h a tt h ee n t r o p y - m o n o t o n es c h e m ei st v da n ds a t i s f i e st h ee n t r o p yc o n d i t i o n n u m e r i c a lt e s t ss h o w t h a ti t i sb e t t e rt h a nt h es t a n d a r dg o d u n o vs c h e m ea n di sa l m o s tc o m p a r a b l et o t h es e c o n do r d e re n os c h e m e t h ep a p e r 3 1 】a p p l i e dt h ee n t r o p y - u l t r a - b e es c h e m ef o r l i n e a ra d v e c t i o ne q u a - t i o nt ot h ee u l e rs y s t e m s t h es c h e m ed e v e l o p e di n 3 1 】i m p r o v e st h er e s o l u t i o no f t h es o l u t i o ni nt h es e c o n dc h a r a c t e r i s t i cf i e l da n do v e r c o m e st h en u m e r i c a ls m e a r i n g o fc o n t a c td i s c o n t i n u i t i e s h o w e v e r ，t h en u m e r i c a le n t r o p yi nt h a ts c h e m ei sn o t c o m p u t e di nap r o p e rw a y a n dt h u st h en u m e r i c a ls o l u t i o n sa l w a y ss u f f e rf r o mt h e n o n p h y r s i c a lo s c i l l a t i o n si nt h ed e n s i t ya n de n t r o p y t h es e c o n dc o n t r i b u t i o no ft h i s t h e s i sc o r r e c t st h ep r o b l e mi n 3 1 】a n dd e s i g n san e ww a yt oc o m p u t et h en u m e r i - c a le n t r o p y t h en e ws c h e m ee l i m i n a t e st h en o n p h y s i c a lo s c i l l a t i o n si nt h ed e n s i t y a n de n t r o p y , a n di ss i m p l e rt h a nt h eo r i g i n a ls c h e m ei n 31 n u m e r i c a lt e s t ss h o w t h a tt h en e ws c h e m ei se f f i c i e n t ，o v e r c o m e st h en u m e r i c a ls m e a r i n go ft h ec o n t a c t d i s c o n t i n u i t i e s ，a n di m p r o v e st h er e s o l u t i o no ft h en u m e r i c a ls o l u t i o ni nt h es e c o n d c h a r a c t e r i s t i cf i e l d t h et h i r dc o n t r i b u t i o no ft h i st h e s i si st r yt oe x t e n dt h ee n t r o p y - u l t r a - b e e s c h e m ef o rt h el i n e a ra d v e c t i o ne q u a t i o na n dt h ee n t r o p y - m o n o t o n es c h e m ef o rn o - l i n e a rs c a l a rc o n s e r v a t i o ne q u a t i o nt ot h ee u l e rs y s t e m s b e c a u s et h es e c o n dc h a r - a c t e r i s t i cf i e l di sl i n e a r ，w ea p p l i e dt h ee n t r o p y u l t r a - b e es c h e m et ot h i sf i e l d b e - i v 双曲守恒型方程若干数值方法研究 c a u s et h ef i r s ta n dt h i r dc h a r a c t e r i s t i cf i e l d sa r en o n l i n e a r ，w ea p p l i e dt h ee n t r o p y - m o n o t o n es c h e m et ot h e s et w of i e l d s n u m e r i c a lt e s t ss h o wt h a tt h eb u i l ts c h e m e i se f f i c i e n t ，i to v e r c o m e st h en u m e r i c a ls m e a r i n go fc o n t a c td i s c o n t i n u i t i e s ，i m p r o v e s t h er e s o l u t i o no ft h en u m e r i c a ls o l u t i o ni nt h es e c o n dc h a r a c t e r i s t i cf i e l da n di m - p r o v e sp a r t l yt h er e s o l u t i o no ft h en u m e r i c a ls o l u t i o ni nt h ef i r s t a n dt h et h i r d c h a r a c t e r i s t i cf i e l d s t h ef o u r t hc o n t r i b u t i o no ft h i st h e s i si st ou s et h er k d gm e t h o dt oc o m p u t e m u l t i m e d i u mc o m p r e s s i b l ef l o w s t h ea u t h o rd e s i g n san u m e r i c a lm e t h o dw h i c h c o n s i d e r sf u l l yt h el o c a lf e a t u r eo fr k d g s ot h es c h e m ei se v e r ys i m p l e ，i t ss t o r a g e c o s ta n dc o m p u t a t i o nc o s tr e d u c e sal o t k e yw o r d s e n t r o p y - u l t r a - b e es c h e m e ，e n t r o p y - m o n o t o n es c h e m e ，e u l e r e q u a t i o n ，r k d gf i n e i t ee l e m e n tm e t h o d ，m u l t i m e d i u mc o m p r e s s i b l ef l o w 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了文中特 别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果 参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示了谢意 签名：p 东荣三日期：2 d 。c 7 、功 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：陈荣三 导师签名：出仇众日期：1 研、伽 2 0 d 9 上海大学博士学位论文 1 第一章引言 科学和工程中的很多实际问题都可以用偏微分方程来描述然而大部分的偏 微分方程是无法得到理论上的精确解，只能通过一些数值方法来求其近似解随 着计算机的出现和发展，科学计算已经成为科学技术和工程中的一个重要手段， 成为理论分析和实验相并列的现代科学研究的三大工具之一 作为科学计算的一个重要分支，计算流体力学自从2 0 世纪6 0 年代兴起以来， 由于与其它学科的相互渗透和结合，得到了蓬勃发展而守恒型方程的数值计算 和数值模拟方法的研究是计算流体力学中极为迫切也是最最具有挑战性的工作之 一守恒型方程组具有如下形式： 饥+ ，( 仳) z = 0 ( 1 1 ) 守恒型方程( 1 1 ) 是拟线性双曲型方程对于它，无论所给的初值及边界条件 如何光滑，常常发展和生成间断，并且这种间断也可能消失这种间断的产生和 消失反映了流体力学中间断的产生和消失这种特性给求解方程组( 1 1 ) 带来了困 难一般间断可以分成两种，一种是线性间断，如一维的切向间断和二维的滑移 线，另外一种就是非线性间断，通常说的激波另外，解的连续部分是简单波，如 稀疏波和压缩波等。 针对( 1 1 ) ，一些计算工作者提出了大量的计算格式，如g o d u n o v 方法【1 8 】， t v d ( 2 2 ) ，e n o ( 5 2 ) ，w e n o ( 2 7 ) ，d g ( 【7 】，【5 】， 6 】和【8 ) 等所有的这些格式 都是通过适当的引入数值粘性以达到计算的稳定性，但是数值粘性会使间断被磨 损了对于非线性间断，激波，由于两边有压力差存在，其磨损不是很严重，特别 是一些高精度高分辨率格式在网格足够细的情况下磨损变得非常小然而，对于 线性间断，一维的切向间断和二维的滑移线，由于其两边没有压力差，其磨损非 常严重，即使是用当今流行的格式在非常细的网格下进行计算，其磨损还是非常 大不能被人们所接受 为克服线性间断的磨损，人们发展了很多的方法和技巧，例如y a n g 的人工 压力方法 6 5 】，h a r t e n 的s u b c e l l 技巧【2 3 等在这儿我们想着重提一下所谓的 u l t r a - b e e 格式，该格式是由r o e 针对线性方程提出 4 8 】，后由b d e s p r d s 进一步 研究和发掘 1 6 】，这是一个一阶的t v d 格式，其t v d 限制器对应这s w e b y 那著 2 双曲守恒型方程若干数值方法研究 名的t v d 的外边框，该格式一个吸引入的特点是它能精确地分辨线性间断但 u l t r a - b e e 格式的缺点也是明显的，由于不满足熵条件，格式会计算出非物理的解， 数值解有产生梯形结构的倾向 f b o u c h u t 曾在【2 】2 中对u l t r a - b e e 格式做了一个熵修正，然而相当复杂，很难 将其推广到e u l e r 方程组f l a g o u t i 龟r e 曾将该格式推广到非线性方程，引进了带 台阶的数值解重构，见【3 0 】，然而此时对数值流的计算很繁琐，且没有推广到e u l e r 方程组z x u 和c 一w s h u 曾将u l t r a - b e e 格式应用到e u l e r 方程组，见文 6 4 】 由于该格式在熵条件上的缺陷，他们只将其应用到切向间断附近，以改善间断的 分辨率该数值方法对一维和二维都是成功的 最近几年来，茅德康等针对发展偏微分方程的数值模拟提出了一种新的方法， 见【6 9 】， 7 0 】， 7 5 】和【7 6 下面我们将具体介绍该方法的核心思想为了叙述 的方便，我们以标量发展方程为例标量发展方程为 u t = c ( u ) ，( 1 2 ) 这里u 是未知量，c 是空间微分算子另外引入一些额外的量，巩( u ) ，巩( u ) ， 其中阢( 乱) ，i = 1 ，k 可为关于u 的非线性函数，在实际应用中它们可以取为有 物理意义的熵和能量这些引入的量满足对应的偏微分方程 ( 阢( “) ) t = 白( u ，u ) ，( 1 3 ) 上述方程从( 1 2 ) 得到，岛是相应的微分方程算子该方法将同时离散方程( 1 2 ) 和( 1 3 ) 定义数值解在k 时刻每个网格包含多个量， 喈，叼1 ，v ，n ，七，它们分别是 u ，巩( 乱) ，v k ( u ) 的近似近似可以是很多形式，这里采用的是网格平均的近似 每个网格数值解可以是多项式重构， r ( x ；u n ，叼，叼) = s 置o + s 芏1 ( z 一巧) + + s 呈知( 茁一吻) 七，z ( x j i 2 ，x j + 1 2 ) ，( 1 4 ) 其中嘞或者u 引n 可以由下列方程得出 弘1f x 叫j b l ：2 她乱n ，叼，u ? ) d x2 哆， ! z z j + i 2 巩( 她u n ，叼，曜) ) 如= 吩，2 = 1 ，尼 ( 1 5 ) ( 1 6 ) 2 0 0 9 上海大学博士学位论文 3 利用所重构的解，用适当的数值方法在时间方向上离散( 1 2 ) 和( 1 3 ) ，我们可以计 算下一时间层上的数值解u 叶1 和扩+ 1 该方法与间断有限元方法有些相似，见【7 】其数值解在一个网格中由多个数 值实体来刻画但是该方法与间断有限元方法不同在于：问断有限元在一个网格 中的数值实体是数值解多项式表示的系数，它和解成线性关系然而上述方法在 一个网格中数值实体与解之间的关系可以是非线性的，因为矾( u ) 可取为u 的非 线性函数，因为我们可以选择u ( u ) z 为缸非线性函数，所以它们可以和解具有真正 非线性的关系因为( 1 3 ) ( 1 6 ) 中的重构解是非线性的，所以即使是对线性方程该 格式也是非线性的在这个意义下，该方法可以叫做“非线性间断元方法” 该格式在长时间计算和克服耗散方面优于传统的格式在发展这些方法时， 茅德康等首先针对如下线性传输方程 仳+ u 霉= 0 ( 1 7 ) ( 1 7 ) 满足无穷多个守恒关系的事实，他们选择u 2 和u 3 作为两个额外的守恒量来 构造格式由此设计的格式能保证两个和三个守恒关系，见文【7 5 】数值实验结果 表明保持三个守恒的格式比保证两个守恒的格式计算效果更好随后，崔艳芬、 茅德康将线性熵守恒格式应用到k d v 方程的计算( 见文【1 4 】) ，数值结果表明该格 式在长时间的数值模拟中具有非常好的稳定性和保结构性质，他们的另外一个工 作是对线性传输方程的保持两个守恒律的差分格式进行了数值分析( 见文【1 5 】) ， 揭示了这种格式在计算中各步的误差相互抵消这一性质，这是其它的格式所不具 有的 李红霞，王志刚和茅德康在文【3 1 】中将这一技巧应用到守恒方程间断解的计 算，其目的是为了改善线性间断的磨损问题为了讨论更本质和原始，文【3 1 】中的 重构并不是如( 1 6 ) 和( 1 7 ) 中那样是分片线性，而是如本文第二章各节中所述那 样是分片阶梯的，具体见2 2 该节对线性传输方程建立了一个所谓的e n t r o p y - u l t r a - b e e 格式，该格式中的数值解在各网格中由两个数值实体来刻画，一个是数 值解的网格平均u ? ，另外一个是数值熵的网格平均叼解的重构函数的台阶是 由熵守恒来计算得到的为了克服非物理振荡，格式用用u l t r a - b e e 的t v d 限制器 来限制重构的台阶从这一点来说所建立的格式是对u l t r a - b e e 格式的一个熵修正 ，但是这个修正和文【1 6 】) 是不同的文【3 1 】中的数值结果十分理想，格式克服了 线性间断的磨损，同时也提高了数值解在光滑区域的精度 4 双曲守恒型方程若干数值方法研究 文【3 1 】将所发展的e n t r o p y - u l t r a - b e e 格式推广到了e u l e r 方程组，将之应用到 第二特征场，改善数值解在该场内的分辨率，所设计的格式显示出了良好的性质， 它大大地改进了第二特征场线性波的精度，特别是克服切向间断的磨损然而该 格式中数值熵的计算不甚合理，因此该格式一直受到非物理振荡的困扰，特别是 密度和熵上，尽管设计了十分复杂的熵限制器，仍然不能完全解决问题 本文的第一个工作是将线性标量方程的e n t r o p y u l t r a - b e e 格式推广到非线性 方程的计算，设计了一个e n t r o p y - m o n o t o n e 格式如同文【3 1 】那样，为了讨论的 原始和基本，我们只讨论一阶格式，也即重构函数是分片常数的台阶函数格式 的高阶精度的推广不在本文的考虑之中，它将是我们以后的工作在上面我们提 到f l a g o u t i 己r e 也有一个将u l t r a - b e e 格式推广到非线性守恒方程的工作，并考 虑了格式的熵控制f l a g o u t i & r e 的格式对数值解在每个网格中也采用了带台阶 的重构，但是f l a g o u t i a r e 的重构台阶可以放在网格中的任意点，因此格式的数 值流函数的计算十分复杂而我们本文推广的e n t r o p y - m o n o t o n e 格式在重构函数 时，重构台阶永远置于网格的中心，从而避免了数值流计算的困难我们证明了 e n t r o p y - m o n o t o n e 格式是t v d 的，满足熵条件，数值实验表明e n t r o p y m o n o t o n e 格式远好于标准的g o d u n o v 格式，其效果几乎和二阶格式相同 本文的第二个工作是改进文 3 1 】的工作如前面所述，文 3 1 中数值熵的计 算不甚合理，我们纠正了该文中的这一问题采用了新的方法来计算数值熵，消 除了格式的非物理振荡新建的格式要比文【3 1 】中的要简单和整洁得多数值实 验表明该格式是十分有效的，同样克服了切向间断的数值磨损，提高了解在第二 特征场中的精度 本文的第三个工作试图将标量方程所发展的e n t r o p y - u l t r a - b e e 格式和e n t r o p y - m o n o t o n e 格式应用到e u l e r 方程组中去由于e u l e r 方程组的第一特征场和第三特 征场是非线性的，我们试图将上面所述的e n t r o p y - m o n o t o n e 格式推广上去由于 e u l e r 方程组的第二特征场是线性退化的，我们试图将所发展的e n t r o p y - u l t r a - b e e 格式推广上去数值实验表明所建立的格式是十分有效的，克服了切向间断的磨 损，改善了数值解在第二特征场上的精度，部分地改善了其在第一特征场和第三 特征场上的精度 本文的第四个工作是给出了r k d g 有限元方法计算多相流的简单算法，该算 法是 1 0 】的方法和r k d g 有限元方法的一个结合，该算法是每个时间步在界面附 2 0 0 9 上海大学博士学位论文 5 近求解r i e m a n n 问题，界面附近的网格的计算通过r i e m a n n 问题解来得到该算 法不像原来的g h o s tf l u i d 方法那样，将含有一个流体的流场分成只含有一个流体 的两个流场，每个流场由真实流场和虚拟流场组成这样在每一步的计算都要存 储两个流场的信息和计算两个流场本算法只需要存储一个流场，计算也是在一 个流场上 本文的结构如下： 本文第一章是引言；第二章是标量方程的e n t r o p y - u l t r a - b e e 格式和e n t r o p y - m o n o t o n e 格式；第三章是e n t r o p y - u l t r a - b e e 格式在e u l e r 方程组中的应用，这一章 主要是处理切向间断；第四章是是第三章的进一步发展，主要是将第二章中处理 非线性场的技巧和第三章处理线性间断( 切向间断) 的技巧综合起来，得到的格式 使得三个特征场的分辨率都提高了；第五章主要是给出了一种用r k d g 有限元方 法计算多相流的简单算法，该算法充分利用了d g 方法的局部性，使得整体计算 量和存储量不大；最后，第六章是结论和展望 6 双曲守恒型方程若干数值方法研究 第二章标量方程的e n t r o p y u l t r a - b e e 格式 和e n t r o p y m o n o t o n e 格式 本章首先回顾标量线性方程的e n t r o p y u l t r a - b e e 格式，然后将标量线性方程 的e n t r o p y - u l t r a - b e e 格式推广到非线性标量方程，并设计了一个针对非线性标量 方程的e n t r o p y m o n o t o n e 格式第一节我们介绍标量守恒方程和熵条件第二节 我们介绍台阶重构的g o d u n o v 格式第三节介绍标准的g o d u n o v 格式第四节 将介绍标量线性方程的e n t r o p y 格式第五节我们介绍标量线性方程的u l t r a ，b e e 格式第六节介绍线性方程的e n t r o p y u l t r a ，b e e 格式本章的第七节介绍非线性标 量方程的e n t r o p y m o n o t o n e 格式本章的第一节是第六节主要是回顾文【3 1 】中的 e n t r o p y - u l t r a - b e e 格式第七节是我们将e n t r o p y u l t r a - b e e 格式推广到非线性标量 方程，设计了一个e n t r o p y m o n o t o n e 格式，该格式是t v d 和满足熵条件的我们 还对非线性b u r g e r s 方程进行了数值实验，数值实验表明与一阶g o d u n o v 格式以 及二阶的e n o 格式相比，本章的格式分辨率更高 2 1 标量守恒方程和熵条件 标量守恒方程的一般形式为 u t + ，( u ) z 7 - - 0 ，( 2 1 1 ) 这里f ( u ) 是关于u 的连续函数为了方便起见，我们假设，u ) 0 ，即关于乱非 凹众所周知，方程( 2 1 1 ) 的解会发生间断，此时解函数仳是按弱的意义下满足 ( 2 1 1 ) 的但是方程( 2 1 1 ) 的解不唯一为了保证解的唯一性，弱解还必须满足如 下的熵条件， ( 札) t + f ( 仳) z 0 ( 2 1 2 ) 其中v ( u ) 是仳的任一凸函数，u ( 札) 0 ，矿( u ) 称为仳的熵函数，而f ( u ) = 厂，7 ( u ) u 7 ( u ) d x 成为熵流函数此时( 2 1 2 ) 也是在弱的意义下满足的，详细描述见 【3 6 】注意，当u 是光滑时，( 2 1 1 ) 按照经典意义满足，此时( 2 1 2 ) 的等号成立， 且也是按照经典意义下满足 2 0 0 9 上海大学博士学位论文 7 当f ( u ) = a m ，其中a 为一固定常数时，方程( 2 1 1 ) 退化为 毗+ a m z = 0 ( 2 1 3 ) ( 2 1 3 ) 是一个线性传输方程，此时方程有如下形式的通解 u ( z ，t ) = 妒( z a t ) ( 2 1 4 ) 同样方程( 2 1 1 ) 容许间断解，且解按照弱的意义下满足方程此时熵条件( 2 1 2 ) 中等号成立，也即 u ( u ) t + a u ( u ) z = 0 ，( 2 1 5 ) 对弱解也成立 到目前为止，几乎所有的模拟( 2 1 1 ) 的数值方法都被要求在离散的意义下满 足熵条件( 2 1 2 ) ，也即熵要减少，即使是在方程退化为线性传输方程( 2 1 3 ) 时，但 由前面的讨论知此时熵实际上是不减少的我们认为这是数值方法对熵条件( 2 1 2 ) 的过度满足这恰恰是间断，特别是线性间断在数值模拟中被严重磨损的原因 我们在下面设计的e n t r o p y - u l t r a - b e e 格式和e n t r o p y m o n o t o n e 格式中将克服这一 缺点 2 2 台阶重构的g o d u n o v 格式 本节所描述的台阶重构的g o d u n o v 格式是对标准的g o d u n o v 格式的一个推 广如同标准的g o d u n o v 格式一样，数值解札? 为对t n 时刻精确解网格平均的近 似， 哆一1f x j + 墨u ( z ，钏z ( 2 2 1 ) 如同标准的g o d u n o v 格式一样，台阶重构的g o d u n o v 格式也按重构，发展和网格 平均三步来进行 i ) 重构和标准的g o d u n o v 格式不同的是，每一个网格内重构解是包含两片 常数的阶梯函数， r c z ；，= 哼+ ：霉：巧x j - 1 茁2 x 勺 + 。x 2 j ，, c 2 2 2 ， 8 双曲守恒型方程若干数值方法研究 这里哆称为重构半台阶，我们称这样的重构为台阶重构不难看出上述重构自 动满足 丢层2 斯胁哼 ( 2 2 3 ) i i ) 发展以重构函数r ( z ；) 作为t n 层的初值，求解以下初值问题 时m ) 沪0 ， 峨锄 州n 引饥1 ， ( 2 2 4 ) i ( z ，亡住) = 冗( z ；) ， 一。 z 。 、 定解问题( 2 2 4 ) 的精确解为z ，( z ，t ) i i ) 网格平均在t = t n + 1 时的数值解计算为 哆+ 1 1 x j + 壬v ( z ，) 如 ( 2 2 5 ) 通常情况下我们采用以下的通量形式来计算数值解 矿1 = 哼一a ( 穗 一茁 ) ， ( 2 2 6 ) 其中数值流函数为 魂1 2 = m ( 哼+ 留，略1 一瞬1 ) ) ( 2 2 7 ) 这里，u + ( 口，w ) 表示分别以 和w 为左右状态的r i e m a n n 问题的解在z ：0 处的 值特别是当( u ) = 口乱，方程( 2 1 1 ) 退化为方程( 2 1 3 ) 时，此时 2 2b 嚣a 蓦 仁2 本章以下各节的所有格式都是台阶重构的g o d u n o v 格式 2 3 g o d u n o v 格式 标准的g o d u n o v 格式是一个半台阶哆= 0 的台阶重构格式，此时，重构函数 和铲有关，即 r ( z ；u n ) = 哼( 2 3 1 ) 2 0 0 9 上海大学博士学位论文 9 由( 2 2 7 ) 得数值流函数为 群1 2 = i ( u + ( 哼，u j n + 1 ) ) g o d u n o v 格式按如下的意义满足熵条件， ( 2 3 2 ) v ( u y + 1 ) u ( u y ) 一a ( j 再1 2 一j 再1 2 ) ， ( 2 3 3 ) 见 3 6 】在以下的讨论中我们称u ( u 7 ) 为g o d u n o v 数值熵众所周知， g o d u n o v 格式含有过多的数值粘性，因此其对解得线性波，特别是线性间断磨损是十分严 重的我们以一个数值例子来表明这一点 算例2 3 1 考虑以下初值问题 仳t + t 正z = 0 ，0 u ( 哆) 方程( 2 4 4 ) 必有两个互为相反数的根由于回声是对 u z 的逼近，在格式中我们总是取莺年的符号和叫n + 1 一呦n 一1 相同这样就唯一确定 了哆 - g | | |tt n 1 0 图2 4 1 g 的图像 哆声 1 2 双曲守恒型方程若干数值方法研究 命题2 4 2 ( 3 1 】中的命题2 1 ) 如果初始时j e n s e n 关系( 2 4 8 ) 满足，那么该关系在 格式中得以保持 证明：由( 2 2 5 ) ，( 2 4 5 ) 以及j e n s e n 不等式即可得命题结论 由命题2 4 1 和命题2 4 2 即可得( 2 4 4 ) 是可解的，因此熵格式是可行的 图2 4 2 算例2 3 1 ，e n t r o p y 格式，t = 1 0 ，1 0 0 个网格 我们用e n t r o p y 格式来重新计算算例2 3 1 ，此时取u ( u ) = u 2 ，则由( 2 4 4 ) 和霹声和让知1 一u n ，一1 同号可得熵的半台阶为 呼声= s g n ( u 2 + l 一呼1 ) 叼一( 哆) 2 ( 2 4 1 2 ) 数值结果在图2 a 2 中，从图2 4 2 不难看出，e n t r o p y 格式改善了解的光滑部分 的精度，但是在间断处出现了非物理振荡 1 i 2 5 标量线性方程的u l t r a - b e e 格式 文【4 8 】中对线性传输方程( 2 1 3 ) 提出了所谓的u l t r a - b e e 格式，此格式在【1 6 】 中被进一步的研究和发掘u l t r a - b e e 格式是t v d 格式，其t v d 限制器对应着 s w e b y 那著名t v d 梯形的外边框( 参见前面的引文) 本节将讨论该格式，并指出 2 0 0 9 上海大学博士学位论文 1 3 该格式也能写成一个台阶重构的格式 显然，u l t r a - b e e 格式的重构函数只和u n 有关，此时( 2 2 2 ) 式成为 r c z ；u n ，= 嵋+ ：荔：耄- 1 z 2 x q 0 和u l 仳m u r 此时，t n 时刻的台阶应为 留=( 2 5 4 ) 这是因为在j o 网格两侧的网格内的数值解分别是常数枷和r ，那儿应无台阶 显然，为了保证哼+ 1 也具有( 2 5 3 ) 的形式，台阶嚷可有如下两种取法 i ) 取 嚷= 嘶一让仇，( 2 5 5 ) 此时第如网格的重构函数为 r c z ；u n ，= ：= ：二( u f 一u m ) ，哆x j 如o _ i z 2 ( x 哆如 _ + x 。j 2 0 , c 2 5 6 ， 如 加 如 “ m n u 乱 u ，i，、一， = 哆 为 如 如 。嚷o ，-_-_，、l_一， 1 4 由( 2 2 8 ) 知数值流函数为 瑶一i 2 = a u l ， 瑶+ 1 2 = a u r 将( 2 5 7 ) 和( 2 5 8 ) 代入( 2 2 6 ) 可得 双曲守恒型方程若干数值方法研究 喈+ 1 = 三三+ c 蜘一“r ，；三窭； c2